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Disciplina: Cálculo: Integração com uma variável Professora: Jéssica Pillon Torralba Fernandes REVISÃO: DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NO PONTO A origem do conceito de derivada está relacionada com o problema de se determinar a reta tangente a uma dada função f em a, como ilustrado pela figura abaixo. Como o único ponto que pertence à reta tangente a f em a é o ponto (a, f(a)), para determinar a equação da reta tangente, deve-se determinar o seu coeficiente angular m. Para determinar esse coeficiente, primeiramente deve-se calcular o coeficiente angular de uma reta secante passando pelos pontos (a, f(a)) e (x, f(x)), onde x a. Tal coeficiente angular é dado pela seguinte expressão: Vamos agora analisar o que acontece quando o ponto (x, f(x)) se aproxima do ponto (a, f(a)). Considere a sequencia na figura abaixo, tal que ≠ . À medida que se aproxima do ponto a, temos que ponto ( , se aproxima do ponto (a, f(a)). A reta secante determinada por esses dois pontos está cada vez mais próxima da reta tangente, como ilustrado na figura abaixo.

Apostila Revisão Derivada

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Derivada

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Disciplina: Cálculo: Integração com uma variável Professora: Jéssica Pillon Torralba Fernandes

REVISÃO: DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NO PONTO A origem do conceito de derivada está relacionada com o problema de se determinar a reta tangente a uma dada função f em a, como ilustrado pela figura abaixo.

Como o único ponto que pertence à reta tangente a f em a é o ponto (a, f(a)), para determinar a equação da reta tangente, deve-se determinar o seu coeficiente angular m.

Para determinar esse coeficiente, primeiramente deve-se calcular o coeficiente angular de uma reta secante passando pelos pontos (a, f(a)) e (x, f(x)), onde x ≠ a. Tal coeficiente angular é dado pela seguinte expressão:

���� − ����

� − �

Vamos agora analisar o que acontece quando o ponto (x, f(x)) se aproxima do ponto (a,

f(a)). Considere a sequencia na figura abaixo, tal que �� → ��� ≠ �. À medida que �� se aproxima do ponto a, temos que ponto (��, ������ se aproxima do ponto (a, f(a)). A reta secante determinada por esses dois pontos está cada vez mais próxima da reta tangente, como ilustrado na figura abaixo.

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Temos então que:

����� − ����

�� − �→ �,

Ou seja, à medida que �� se aproxima do ponto a, os coeficientes angulares das restas secantes se aproxima do coeficiente angular da reta tangente. Como isso deve ocorrer para qualquer sequencia tal que �� → ��� ≠ �, temos que:

� = lim�→�

���� − ����

� − �

Sempre que esse limite existe, dizemos que a função f é derivável no ponto a. Logo, denotamos esse limite por f ´(a), ou seja, temos que:

�´��� = lim�→�

���� − ����

� − �

é denominado de derivada de f no ponto a. Simbolicamente, a derivada de uma função y=f (x) é designada por qualquer das seguintes anotações:

f ´(x) / y ´ / ��

��

Regras de derivação

• Derivada de uma função constante: Se k é uma constante e f(x) =k para todo x,

então f ´(x)=0 Exemplo: Seja ���� = 5 → �´��� = 0

• Derivada de uma função potência: Se n é um número inteiro positivo e ���� =

��, então �´��� = �. ���� Exemplo: Seja ���� = �� → �´��� = 5��

• Derivada de uma função multiplicada por k: Seja f uma função, k uma constante

e g a função definida por ���� = . ����,então, �´��� = . �´��� Exemplo: Seja ���� = 8�" → �´��� = 8. �2�� = 16�

• Derivada da soma: Sejam f e g duas funções e h definida por ℎ��� = ���� +

����. A derivada da soma é ℎ´��� = �´��� + �´��� Exemplo: Seja ℎ��� = �" + 14� → ℎ´��� = 2� + 14

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• Derivada de uma função neperiana: Seja ���� = �, então �´��� = �

• Derivada de um logaritmo natural: Seja ���� = )� �,então �´��� =�

• Derivada do produto: Sejam f e g duas funções e h definida por ℎ��� =

����. ����. A derivada do produto é ℎ´��� = �´���. ���� + ����. �´��� Exemplo: Seja ℎ��� = �2�* − 1�. ��� + �"�

ℎ´��� = �2.3�" − 0�. ��� + �"� + �2�* − 1��4�" + 2��

= �6�"���� + �"� + �2�* − 1��4�" + 2��

= 6�, + 6�� + 8�� + 4�� − 4�" − 2�

= 6�, + 10�� + 8�� − 4�" − 2�

• Derivada do quociente: Sejam f e g duas funções e h definida por ℎ��� =-���

.���,

com g(x) ≠ 0. A derivada do quociente é

&´��� � �´���. ���� � ����. �´���/����0"

Exemplo: Seja &��� � "��*��

&´��� � �2�. �5�� � �2� � 3��5��5��" � 10� � 10� ' 1525�" � 1525�" � 35�"

Regras de derivada de funções compostas

Sejam u e v funções deriváveis de x e n constante.

1. 1 � 23 ⇒ 15 � 323�62′ .

Exemplo: 8 � �4�* ' 4��9

8′ � 7�4�* ' 4��,�12�" ' 4� � �4�* ' 4��,�84�" ' 28� 2. 1 � 2; ⇒ 15 � 25; ' ;′2 .

Exemplo: 8 � �12� � 6�"�5� ' 10�<

8′ � 2�12� � 6��12��5� ' 10�< ' �12� � 6�"�9��5� ' 10�>�5� �

� �288� � 144��5� ' 10�< ' 45�12� � 6�"�5� ' 10�>

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3. 1 � 2; ⇒ 15 � 2?;�;´2;@

Exemplo: 8 � ��AB"�C��

8′ � ���AB"�D�"������AB"�C����A � "���AB"�D���AB"�C��A

4.1 � E3 ⇒ 15 � E2�F3E�25�E > HIE ≠ 6� .

Exemplo: 8 � 3"�AB*��� ⇒ 8′ � 3"�AB*����)�3��4� ' 3� 5. 1 � I2 ⇒ 15 � I22′ .

Exemplo: 8 � �J�� ⇒ 8´ � �J�� K1)�� ' �. ��L � �J���)�� ' 1� 6. 1 � FMNE 2 ⇒ 15 � 252 FMNE2 .

Exemplo: 8 � )O�"�3�" ' 7� � 1� ⇒ 8´ � ,�B9*�AB9��� )O�"�3�" ' 7� � 1� 7. 1 � F32 ⇒ 15 � 622′ .

Exemplo: 8 � )��4�" ' 3�� ⇒ 8´ � ���AB*� �8� ' 3� � >�B*��AB*�

8. 1 � 2; ⇒ 15 � ;2;�625 ' 2;�F32�;′ .

Exemplo:

8 � ��" ' 1�"��� ⇒ 8´ � �2� � 1���" ' 1�"��"�2�� ' ��" ' 1�"���)���" ' 1��2� 9. 1 � PI32 ⇒ 15 � 25 QMP2 .

Exemplo: 8 � R���"� ⇒ 8´ � �2��SOR��"� 10. 1 � QMP2 ⇒ 15 � �25 PI32 .

Exemplo: 8 � SOR K��L ⇒ 8´ � �K� ��AL R� K��L � ��A R� K��L

11. 1 � TN2 ⇒ 15 � 25PIQ@2 .

Exemplo: 8 � U�√� ⇒ 8´ � �"√� RS"√�

12. 1 � QMTN2 ⇒ 15 � �25QMPIQ@2 .

Exemplo: 8 � SOU�3�� ⇒ 8´ � �12�*SORS"3��

13. 1 � PIQ2 ⇒ 15 � 25 PIQ2TN2 .

Exemplo: 8 � sec��" ' 3� ' 7� ⇒ 8´ � �2� ' 3�sec��" ' 3� ' 7�U���" ' 3� ' 7�

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14. 1 � QMPIQ2 ⇒ 15 � �25QMPIQ2QMTN2 .

Exemplo: 8 � cosec K�B����L

8´ � � K �"�����AL SORS K�B����L SOU� K�B����L � K "�����AL SORS K�B����L SOU� K�B����L

15. 1 � E[QPI32 ⇒ 15 � 25\6�2@

Exemplo: 8 � arcsen14x" ' 1 ⇒ 8´ � ">�\������AB��A 16. 1 � E[QQMP2 ⇒ 15 � � 25\6�2@

Exemplo: 8 � arccos25x* ⇒ 8´ � � 9��A\���"��D�A � � 9��A√��"��a

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

Calcular as derivadas das expressões abaixo:

1����� � 8�10�" ' 4� � 6�"�2����� � �� �b�" ' ���*, a e b são constantes

3����� � 10�4�" ' 15��� � 1�* 4���U� � �7U" ' 6U�"�3U � 1��

5���U� � c 7U ' 12U" ' 3d� 6����� � � � 1� ' 1 � √�

7����� � \�4�" � 8� � 10�"e 8���U� � f2U ' 1U � 1

9����� � 2*�AB,�B910����� � √�

11����� � 2*�AB,�12���U� � �gA ' 1U

13����� � 12 )��7�" � 4� 14����� � R��2� ' 4� 15���h� � cos Ki2 �hL 16���j� � 2 cos�2j" � 3j ' 1� 17����� � 3RS�� 18����� � R��� ' 1��