Upload
internet
View
136
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1ª aulaApresentação e séries de Taylor (Revisão).
Calculo de derivada temporais usando Séries de Taylor
Com Apoio de :Marcos Mateus e Guillaume Riflet
Objectivos da Disciplina
• O que é um modelo,• Os modelos matemáticos,• Elementos que constituem um modelo,• Os processos de transporte e as equações de
evolução,• Os métodos Numéricos,• Programação/Linguagens gráficas,• Gestão Ambiental, Modelos, Monitorização e
Estudos de processos.
Programa
• Conceitos básicos de métodos numéricos,• Programação em Visual Basic,• Programação em PowerSim / Matlab,• Modelos Presa-Predador• Modelos Ecológicos,• Modelos Hidrodinâmicos,• Modelos de Transporte de Sedimentos.
Conhecimentos requeridos
• Mecânica dos Fluidos e Processos de Transporte,
• Programação,• Ecologia e funcionamento dos ecossistemas,• Ciclo dos Elementos e Ecologia,• Fluxos de massa e de Energia através de um
ecossistema.
Dificuldades Encontradas em Anos Anteriores
• Programação é a grande dificuldade.• Mecânica dos Fluidos é uma dificuldade
adicional, mas menor.
• Soluções: Acelerar o processo de aprendizagem de programação.
Equações que vamos resolver• Conservação da massa:
• Num modelo Hidrodinâmico também a equação de Transporte de Quantidade de Movimento:
)( kkjjj
kjk PFx
c
xx
cu
t
c
)( GravidadePressãox
u
xx
uu
t
u
j
i
jj
ij
i
Onde aparecem os conceitos requeridos
• Equação de Evolução (ou de Transporte),• Na equação de Transporte de Quantidade de
Movimento,• Em(F-P) • Se isto fosse conhecido bem como a
programação, a disciplina poderia ser chamada de “Mecânica dos Fluidos Computacional….”
Como se resolvem as equações
• Métodos Numéricos:• Diferenças finitas/Volumes Finitos• Elementos Finitos/Elementos de Fronteira.
• Como se constrói o método das diferenças finitas?
• Série de Taylor:t
i
n
nnt
i
t
i
t
i
ti
tti t
c
n
t
t
ct
t
ct
t
ctcc
!....
!3!2 3
33
2
22
O que representa a série de Taylor?
t
i
n
nnt
i
t
i
t
i
ti
tti t
c
n
t
t
ct
t
ct
t
ctcc
!....
!3!2 3
33
2
22
t
c
t1 t1+Δt
Δt
Δc
Outras derivadas
1ª Derivada: Δc/ Δt
Como usar para calcular as derivadas?t
i
n
nnt
i
t
i
t
i
ti
tti t
c
n
t
t
ct
t
ct
t
ctcc
!....
!3!2 3
33
2
22
)(
)( 2
tt
cc
t
c
tt
ctcc
ti
tti
t
i
t
i
ti
tti
tt
i
n
nntt
i
tt
i
tt
i
tti
ti t
c
n
t
t
ct
t
ct
t
ctcc
!
....!3!2 3
33
2
22
)(
)( 2
tt
cc
t
c
tt
ctcc
ti
tti
tt
i
tt
i
tti
ti
Método Explícito
Método Implícito
Outro Método
2/2/
3
332/
2
222/2/
!
2/....
!3
2/
!2
2/2/
tt
i
n
nntt
i
tt
i
tt
i
tti
tti t
c
n
t
t
ct
t
ct
t
ctcc
Subtraindo uma da outra:
2/2/
3
332/
2
222/2/
!
2/....
!3
2/
!2
2/2/
tt
i
n
nntt
i
tt
i
tt
i
tti
ti t
c
n
t
t
ct
t
ct
t
ctcc
22/
32/
2/
2/
tt
cc
t
c
tt
ctcc
ti
tti
tt
i
tt
i
ti
tti
Este método calcula a derivada no centro do intervalo de tempo e tem precisão de 2ª ordem. Dá a solução exacta até uma evolução parabólica
O que representa a série de Taylor?
t
i
n
nnt
i
t
i
t
i
ti
tti t
c
n
t
t
ct
t
ct
t
ctcc
!....
!3!2 3
33
2
22
t
c
t1 t1+Δt
Δt
Δc
Outras derivadas
1ª Derivada: Δc/ Δt
Método ImplícitoMétodo Explícito
Método Diferenças Centrais
• 2ª aula:• Uso das séries de Taylor para o cálculo das
derivadas espaciais. 1ª derivada e 2ª derivada. Diferenças centrais e diferenças descentradas.
• Forma geral da equação. Métodos explícitos, implicitos e semi-implicitos (de Crank-Nicholson)
Derivadas no espaço?t
i
n
nnt
i
t
i
t
i
ti
txi x
c
n
x
x
cx
x
cx
x
cxcc
!....
!3!2 3
33
2
22
)(
)( 2
xx
cc
x
c
xt
cxcc
ti
txi
t
i
t
i
ti
txi
Método downwind
Método upwind
t
i
n
nnt
i
t
i
t
i
ti
txi x
c
n
x
x
cx
x
cx
x
cxcc
!....
!3!2 3
33
2
22
)(
)( 2
xx
cc
x
c
xt
cxcc
txi
ti
t
i
t
i
ti
txi
Subtraindo uma equação da outra
)(2
)(2
2
3
xx
cc
x
c
xt
cxcc
txi
txi
t
i
t
i
txi
txi
Diferenças centrais
Derivadas no espaço?**
3
33*
2
22***
!....
!3!2i
n
nn
iiiixi x
c
n
x
x
cx
x
cx
x
cxcc
**
3
33*
2
22***
!....
!3!2i
n
nn
iiiixi x
c
n
x
x
cx
x
cx
x
cxcc
)(2
)(2
22
****
2
2
4
*
2
22***
xx
ccc
x
c
xt
cxccc
xiixi
i
i
ixixi
Adicionando:
Equações Algébricas• Obtêm-se substituindo as derivadas pelas
aproximações:
• Explícito, diferenças centrais. Precisão de 2ª ordem no espaço e 1ªno tempo.
• Semi-implícito (Crank-Nicholson) diferenças centrais espaço. Precisão de 2ª ordem no tempo e no espaço.
22
2 2
2x
x
cccx
x
ccut
t
cc txx
tx
txx
txx
txx
txx
tt
22
2/2/2/2
2/2/2 2
2x
x
cccx
x
ccut
t
cc ttxx
ttx
ttxx
ttxx
ttxx
txx
tt
O que se paga pela precisão de 2ª ordem no tempo?
Explícito Upwind
• Precisão de 1ª ordem no tempo e no espaço para advecção. Segunda ordem para difusão.
22
2 2x
x
cccx
x
ccut
t
cc txx
tx
txx
txx
tx
tx
ttx
Como se obtém o valor em (t+Δt/2)?
• Adicionando as equações!
2/2/
3
332/
2
222/2/
!
2/....
!3
2/
!2
2/2/
tt
i
n
nntt
i
tt
i
tt
i
tti
tti t
c
n
t
t
ct
t
ct
t
ctcc
2/2/
3
332/
2
222/2/
!
2/....
!3
2/
!2
2/2/
tt
i
n
nntt
i
tt
i
tt
i
tti
ti t
c
n
t
t
ct
t
ct
t
ctcc
22/
2/
2
222/
2/2
.....2/2
tcc
c
t
ctccc
tti
titt
i
tt
i
tti
ti
tti
• Substituindo estes termos nas equações obtém-se a equação a resolver
Forma geral da Equação )(11 1111 PFcfcecdcfcecd t
iitii
tii
ttii
ttii
ttii
ti
ti
ti
tti c
x
t
x
tuc
x
tc
x
t
x
tuc 12212 2
21
2
Explicito, diferenças centrais:
x
tuCr
2
ºx
tDifN
Números de Courant e de Difusão
Upwind )(11 1111 PFcfcecdcfcecd t
iitii
tii
ttii
ttii
ttii
ti
ti
ti
tti c
x
tc
x
t
x
tuc
x
t
x
tuc 12212
21
Explicito, upwind:
x
tuCr
2
ºx
tDifN
Números de Courant e de Difusão
Qual é o melhor método?
• Se o erro de truncatura fosse o único indicador seria Crank-Nicholson, com diferenças centrais!
• Mas não é o único. Temos também que ver a consistência com os processos que estamos a estudar.
• Como se faz fisicamente a Advecção (propriedade transportiva) e a Difusão?
• O método upwind respeita transportividade.
• 3ª aula:• Resultados de modelos hidrodinâmicos,
qualidade da água e transporte de sedimentos: Apresentação feita na Universidade de Pau, em França.
• Difusão numérica e estabilidade de um método numérico. Ilustração das hipóteses físicas violadas no cálculo.
Problema unidimensional
Ci
Ci-1
Ci+1
Explícito, Upwind, Cr = 1, Dif=0
i-3 i-2 i-1 i i+1 i+2 i+3
0 0 0 0 1 0 0 0 11 0 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0 12 0 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0 13 0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0 04 0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0 0
Time stepGrid point number Total
amount
ti
ti
ti
tti c
x
tc
x
t
x
tuc
x
t
x
tuc 12212
21
Cr=(Espaço percorrido num intervalo de tempo)/(passo espacial)
Cr=1, implica uma célula por passo => a aolução é exacta
Explícito, Upwind, Cr= 0.5, Dif=0
i-3 i-2 i-1 i i+1 i+2 i+3
0 0 0 0 1 0 0 0 1.001 0 0.00 0.00 0.50 0.50 0.00 0 1.002 0 0.00 0.00 0.25 0.50 0.25 0 1.003 0 0.00 0.00 0.13 0.38 0.38 0 0.884 0 0.00 0.00 0.06 0.25 0.38 0 0.695 0 0.00 0.00 0.03 0.16 0.31 0 0.506 0 0.00 0.00 0.02 0.09 0.23 0 0.347 0 0.00 0.00 0.01 0.05 0.16 0 0.238 0 0.00 0.00 0.00 0.03 0.11 0 0.149 0 0.00 0.00 0.00 0.02 0.07 0 0.09
10 0 0.00 0.00 0.00 0.01 0.04 0 0.05
Time stepGrid point number Total
amount
ti
ti
ti
tti c
x
tc
x
t
x
tuc
x
t
x
tuc 12212
21
Temos difusão numérica. A mancha espalha-se. Porquê? Porque violámos a definição de concentração. Como se resolve?
O que aconteceu?
t0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
t0+Δt 0 0 0.5 0.5 0 0 0 0 0
t0+2Δt 0 0 0.25 0.5 0.25 0 0 0 0
t0+3Δt 0 0 0.125 0.375 0.375 0.125
O modelo é estável: os erros que aparecem diminuem no tempo.
O modelo tem difusão numérica: a concentração vai baixando apesar de a difusão física ser nula.
Explícito, Upwind, Cr=2
t0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
t0+Δt 0 0 -1 2 0 0 0 0 0
t0+2Δt 0 0 +1 -4 4 0 0 0 0
t0+3Δt 0 0 -1 10 -16 8
ti
ti
ti
tti c
x
tc
x
t
x
tuc
x
t
x
tuc 12212
21
Temos um modelo instável: os erros aparecem e crescem. Porquê? Num modelo explícito Cr≤1. Os coeficientes têm que ser positivos.
As instabilidades são consequências da violação de princípios físicos
• Quando as propriedades aumentam num instante, nos instantes seguintes também só podem aumentar.
• Quando Cr>1 o coeficiente de Ci fica negativo. • Neste caso, durante um intervalo de tempo o
volume que sai de uma célula é maior do que o que lá estava no ínicio. Usando volumes finitos é fácil ver que isso é a causa do problema.
• (ver Patankar, Fluid Flow)
1D explicit central differences Courant=1
i-3 i-2 i-1 i i+1 i+2 i+3
0 0 0 0 1 0 0 0 11 0 0.00 -0.50 1.00 0.50 0.00 0 12 0 0.25 -1.00 0.50 1.00 0.25 0 13 0 0.75 -1.13 -0.50 1.13 0.75 0 14 0 1.31 -0.50 -1.63 0.50 1.31 0 15 0 1.56 0.97 -2.13 -0.97 1.56 0 16 0 1.08 2.81 -1.16 -2.81 1.08 0 17 0 -0.33 3.93 1.66 -3.93 -0.33 0 18 0 -2.29 2.94 5.59 -2.94 -2.29 0 19 0 -3.76 -1.00 8.52 1.00 -3.76 0 1
10 0 -3.26 -7.14 7.52 7.14 -3.26 0 111 0 0.31 -12.54 0.38 12.54 0.31 0 1
Total amount
Grid point numberTime step
Modelo Instável. Porquê? Há um dos coeficientes que é sempre negativo.Propriedade transportiva violada. Como se resolve?
ti
ti
ti
tti c
x
t
x
tuc
x
tc
x
t
x
tuc 12212 2
21
2
• 5ª aula:• Conclusão da aula anterior. Introdução ao
método dos volumes finitos como resposta à necessidade de maior relação entre os métodos numéricos e o princípio de conservação em que se baseia a equação de advecção-difusão.
Porque é instável?
• Por advecção (ou por difusão) quando as propriedades aumentam num ponto, nos pontos vizinhos só podem aumentar também.
• Isso implica que os coeficientes que multiplicam as concentrações nos pontos vizinhos têm que ser positivos.
• Só adicionando difusão é que isso pode acontecer….
Condição de estabilidade para diferenças centrais explícitas
Porque é que adicionando difusão o método fica estável?
Porque é que excesso de difusão torna o modelo instável?
Sumário• Séries de Taylor e erro de truncatura,• Estabilidade e crescimento do erro,• Positividade dos coeficientes,• Courant e nº de difusão.• Difusão numérica, e Passo Espacial• Propriedade Transportiva e Upwind,• Diferenças Centrais e Reynolds da Malha,• Conservação da massa.• Métodos implícitos e explícitos.• Será isto suficiente para percebermos o que estamos a
fazer?
Método dos volumes-finitos
ConsumoFontesSaiEntraaçãoTaxaAcumul
A equação de onde começámos é:
Esta equação resulta do princípio de conservação:
)( kkjjj
kjk PFx
c
xx
cu
t
c
Processos
• Taxa de acumulação:
• Fluxos:• Advectivo: (porquê o sinal “-”)?
• Difusivo:
vol
volcdt
ulaçãoTaxadeAcum
dAnucA
.
dAncA
.
Adicionando
PFdAncdAnuccdt AAvol
vol
..
Fácil de resolver se:1.Volume suficientemente pequeno para que as propriedades possam ser consideradas uniformes no seu interior e por isso que a concentração média seja representativa do que se passa no seu interior. 2.Se as áreas das faces forem suficientemente pequenas para que as concentrações sejam uniformes em cada uma das faces.
Para um volume rectangular de dimensões elementares
t
cVolcVol
t
cdcd
cdt
ttt
t
vol
vol
tt
vol
vol
vol
vol
******
1
.. zzzzzzyyyyyyxxxxxx
n
ii
A
dAcudAcudAcudAcudAcudAcudAnucdAnuc
***. zzzyyyxxx
A
ccccccdAnc
*
2/2/
*
2/2/
*
2/2/.
z
cc
z
cc
y
cc
y
cc
x
cc
x
ccdAnc zzz
zzzzz
zzyyy
yyyyy
yyxxx
xxxxx
xx
A
zyxVol Se o volume for constante no tempo a equação pode ser dividida pelo volume.
Fazendo convergir o volume para zero
)( kkjjj
kjk PFx
c
xx
cu
t
c
Obtém-se a equação diferencial de Advecção-Difusão
Que representa o princípio de conservação para um ponto.
Aplicando o princípio de conservação a um volume de dimensões finitas percebe-se onde (sobre o volume) é que cada propriedade deve de ser calculada.
Localização das variáveis no volume de controlo: Fluxos calculados sobre as faces
* 2/*
2/ xxxx cQucdA * 2/*
2/ xxxx cQucdA
tx
tx
ttx
ttx VolcVolc
*
2/
***
2/
xx
xxxxx dA
x
cc
*
2/
***
2/
xx
xxxxx dA
x
cc
Upwind 0:
0:
0:
0:
*2/
**2/
*2/
**2/
*2/
**2/
*2/
**2/
xxxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxxx
usecc
usecc
usecc
usecc
Diferenças Centrais
*
*2/
**
2/
2
2
xxxxx
xxxxx
ccc
ccc
Revisitando o Courant
x
tuCr
Quando Cr>1, o que passou no ínicio de Δt pela face da esquerda já ultrapassou a da direita. Ou, dizendo de outro modo, quando Cr>1 retiramos de uma célula numa iteração mais do lá estava para sair.
E o número de difusão?
2º
x
tDifN
O que é a difusividade?lu '
O que é a velocidade e o que é o u’?
Conceito de meio contínuo.
O que é a velocidade ?
• A velocidade num escoamento é o caudal por unidade de área.
• Tem as mesmas unidades do deslocamento por unidade de tempo.
• Cada molécula (num gás) tem a sua velocidade e cada grupo de moléculas (num líquido) tem a sua velocidade.
• Velocidade é “zero” significa deslocamento médio das moléculas nulo.
O movimento não representado pela velocidade
Cx Cx+∆x
Ver texto sobre propriedades dos fluidos e do campo de velocidades
bllld ucc l
clcc lll
Mas,
l
cul bd
.A difusividade é o produto da diferença entre a velocidade de uma porção de fluido e a usada na advecção pelo comprimento do deslocamento.
Porque é que o nº de difusão tem como limite 0.5 para estabilidade?
Quanto vale a difusividade num modelo?
• Será a difusividade molecular?• Será a difusividade Turbulenta?• Será dependente do passo espacial?
x
A difusividade é proporcional ao produto da velocidade pelo passo espacial.
A excepção é a difusividade vertical em modelos 3D onde o passo horizontal é maior do que a profundidade.
Difusividade Vertical
A velocidade vertical calculada pelo modelo seria nula neste caso. Normalmente é muito menor que a velocidade local.
O maior vórtice tem diâmetro igual à profundidade. Mais perto do fundo ou da superfície li
O que são modelos implícitos?
• Porque são incondicionalmente estáveis?
tt
xxxttxx
tt
xxxttxx
ccc
ccc
2
2
2/
2/
O que representa a série de Taylor?
t
i
n
nnt
i
t
i
t
i
ti
tti t
c
n
t
t
ct
t
ct
t
ctcc
!....
!3!2 3
33
2
22
t
c
t1 t1+Δt
Δt
Δc
Outras derivadas
1ª Derivada: Δc/ Δt
Conclusões
• Séries de Taylor - volume finito, • Estabilidade e positividade dos coeficientes,
Nº de Courant e de Difusão,• Métodos implícitos e valores nas faces das
células (volumes)• Difusão numérica e erro de truncatura (o
método QUICK)• Difusividade e velocidade.
Dinâmica de populações
nkct
c
(n=0) => decaimento/crescimento de
ordem zero(n=1) => 1ª ordem……..
ktecc 0c0
c
t
K>0
K<0No caso de (n=1) => 1ª ordem:K >0 implica crescimento exponencialK<0 decaimento assimptótico para zero.
No caso de (n=1) => 1ª ordem:A solução analítica é:
Solução “Logística”
maxmax0 / ccckk
kct
c n
C0
c
t
Cmax
A solução designada por “Logística admite que o crescimento exponencial não é sustentável. Admitindo que há uma população máxima K deverá ser variável.
Solução Numérica (explícito)
maxmax0 / ccckk
kct
c n
*kct
cc ttt
kttk
k
/101
0
ttt ctkc 1Se usarmos um método explicito vem:
Discretizando a derivada temporal obtém-se:
Se k<o então o parênteses pode ser negativo e nesse caso a nova concentração ficaria negativa e o método ficaria instável:
Nesta passagem o sinal da desigualdade troca quando de divide por k<0
Solução Numérica (implícito)
maxmax0 / ccckk
kct
c n
tkcc
kct
cc
ttt
ttt
1/
*
kttk
k
/101
0
Se usarmos um método implícito a equação fica:
Neste caso o método pode instabilizar no caso de k>0:
Critérios de estabilidade
• Quando temos mortalidade, se o método for explícito o número de indivíduos que morre é função do valor que tínhamos no início do passo de tempo. Isso implica que o valor seja calculado por excesso. Se o passo no tempo for demasiado grande poderemos eliminar mais indivíduos do que os existentes e ficamos com um valor negativo (o mesmo se pode dizer para a concentração).
• Quando temos natalidade o problema coloca-se com o método implícito porque fisicamente o número de filhos é proporcionalmente ao número de pais e por isso o cálculo deve de ser explícito. O cálculo implícito seria equivalente a dizer que “os filhos já nasceriam grávidos”.
Generalizando poderemos dizer que:
• As fontes devem de ser calculadas explicitamente e os poços implicitamente. Se isso for possível evitam-se instabilidades no modelo.
• Se o modelo for estável qual deve de ser o passo espacial? O menor possível para que a solução numérica não se afaste da solução analítica. x
c0
c
t
K>0
K<0
implícito
explícito
Modelo Presa-Predador•Na equação:
Só a logística é que limita o crescimento. Na realidade aparece sempre um predador que cresce com a presa.
maxmax0 / ccckk
kct
c n
zmzzpggz
zpgppp
ckccket
c
cckckt
c
Equações de Lotka-Volterra
zpg cck
Problemas do modelo de Lotka Volterra
• Não conserva a massa. A Natureza precisa de pelo menos 3 variáveis de estado:
• Poderá kp ser constante? Será razoável que a presa consuma detritos? Precisamos de mais variáveis...
zmzzpggppD
zmzzpggz
zpgppp
ckcckeckt
c
ckccket
c
cckckt
c
1
Modelos Ecológicos
• Consultar teses de:• Pedro Pina• Sofia Saraiva• Marcos Mateus• .....• www.maretec.mohid.com • Livro do Valiela?
Tipos de modelos
• Relações de Redfield:• C:N:P = 116:16:1 átomos.• Relações fixas ou variáveis?• Quantos produtores primários?• Quantos produtores secundários?• E as bactérias?• E a mineralização da Matéria Orgânica?