UFRN

Universidade Federal do Rio Grande do Norte Escola de Ciências e Tecnologia

Erros de Truncamento e Séries de Taylor

ECT1303 – Computação Numérica 2014.1

• Manter o telefone celular sempre desligado/silencioso quando estiver em sala de aula;

• Nunca atender o celular na sala de aula.

Erros de Truncamento

Sua calculadora ou computador usa um polinômio de Taylor com muitos termos, suficientes para a precisão desejada!

Calculadoras e computadores só realizam operações aritméticas básicas.

Você já parou para pensar como sua calculadora calcula e0,03 ou sin (1,23) ???

Erros de Truncamento

Erros de truncamento surgem quando aproximações são usadas no lugar de um

procedimento matemático exato.

Todos os métodos numéricos são baseados em aproximações de funções

por polinômios.

Série de Taylor

Para analisar os erros de truncamento, utiliza-se uma

formulação matemática que é amplamente usada nos métodos numéricos para expressar uma função de forma aproximada –

a Série de Taylor.

Série de Taylor

A Série de Taylor prevê o valor da função em um ponto em termos do valor da função e suas

derivadas em outro ponto.

Observação: Válido para qualquer função lisa!

Construindo a Série de Taylor

• Seja x um ponto qualquer próximo de x0

• O polinômio de grau 0 (zero) que fornece a melhor aproximação de f(x) em torno de x0 é:

• Essa relação é chamada de aproximação de ordem zero.

• Quais as conseqüências dessa aproximação?

f (x) f (x0)

primeiro termo na série

Construindo a Série de Taylor

• Usando uma aproximação de primeira ordem (polinômio de grau 1), temos:

• Aproximação por uma reta com inclinação f ’(x0).

f (x) f (x0) f (x0)(x x0)

segundo termo na série

Construindo a Série de Taylor

• Um termo de segunda ordem é adicionado para capturar alguma curvatura que a função possa apresentar:

f (x) f (x0) f (x0)(x x0)f (x0)

2!(x x0)2

terceiro termo na série

Construindo a Série de Taylor

• E assim sucessivamente até se obter a expansão completa em série de Taylor:

• O resto (erro) representa todos os termos de n+1 até infinito:

onde ξ é um ponto entre x0 e x.

n

nn

Rxxn

xfxx

xf

xxxf

xxxfxfxf

)(!

)()(

!3

)(

)(!2

)())(()()(

00

)(3

00

2

00

000

Rn f (n1)()

(n 1)!(x x0)n1

Construindo a Série de Taylor

• A série de Taylor pode ser simplificada definindo um tamanho de passo h = x – x0:

e

n

nn

Rhn

xfh

xf

hxf

hxfxfxf

!

)(

!3

)(

!2

)()()()(

0

)(30

2000

Rn f (n1)()

(n 1)!hn1

Exemplo

Use expansões em séries de Taylor de ordem zero até ordem quatro para aproximar a função

em x = 1 a partir de x0 = 0.

Solução

• Temos f(0) = 1,2 e queremos encontrar f(1) = 0,2.

• A aproximação em série de Taylor com n = 0 é

• Com erro de truncamento de

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

f (x) 1,2

Et 0,21,2 1,0

Solução

• Para n = 1, a primeira derivada é calculada em x = 0:

• A aproximação de primeira ordem é

• Com erro de truncamento de

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

f (0) 0,4(0,0)3 0,45(0,0)2 1,0(0,0)0,25 0,25

f (x) 1,20,25h

Et 0,20,95 0,75

Solução

• Para n = 2, a segunda derivada é calculada em x = 0:

• A aproximação de segunda ordem é

• Com erro de truncamento

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

f (0) 1,2(0,0)2 0,9(0,0)1,0 1,0

f (x) 1,20,25h 1,0

2h2

Et 0,20,45 0,25

Solução

• A inclusão da terceira e quarta derivadas resulta exatamente na mesma equação do começo:

• Onde o resto é

f (x) 0,1h4 0,15h3 0,5h2 0,25h 1,2

R4 f (5)()

5!h5 0

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Considerações

• Em geral, a expansão em Série de Taylor de ordem n será exata para um polinômio de grau n.

• E para outras funções diferenciáveis como exponenciais, senóides?

• Quantos termos são necessários para chegar “suficientemente próximo” do valor exato?

• A equação do erro de truncamento é extremamente útil para comparar o erro de métodos numéricos baseados na expansão em Séries de Taylor.

Resto

• A forma geral do resto segue a seguinte equação:

• Essa expressão apresenta 2 problemas:

– ξ não é conhecido exatamente, simplesmente está em algum lugar entre xi e xi+1.

– É necessário conhecer f(x) para se calcular a (n+1)-ésima derivada de f(x). Entretanto, se f(x) fosse conhecida, não se precisaria fazer a expansão em Série de Taylor.

1)1(

)!1(

)(

n

n

n hn

fR

Resto

Resto

Conclusões

• Em geral, pode-se supor que o erro de truncamento diminui com a adição de termos na série de Taylor;

• Em muitos casos, se h for suficientemente pequeno, o primeiro e alguns outros termos da série diminuem consideravelmente o erro;

• Assim, conclui-se que poucos termos são necessários para se obter uma estimativa adequada.

Atividade

Use expansões em séries de Taylor com n = 0 até 6 para aproximar f(x) = cos(x) em x = π/3 com base no valor de f(x) e suas derivadas em x0 = π/4.

Compare a variação que ocorre no erro de truncamento.