Upload
minadab
View
486
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Análise Matemática I
Séries de Taylor e de Maclaurin
Joana PeresJoana Peres
MIEQ – 2009/2010
FEUP / MIEQ 1Joana Peres / Análise Matemática I
Aproximação de funções por meio de polinómios
Aproximação linear da função y = f (x) na visinhança do ponto x = a:numa visinhança de P, o gráfico da função y=f(x) é praticamente coincidente com o gráfico da recta tangente nesse ponto
)()( 1 xpxf ≈
))(()()(1 axafafxp −′+=
Donde se conclui que em x = a:)()(1 afap =
)()(1 afap ′=′
FEUP / MIEQ 2Joana Peres / Análise Matemática I
)(0)(1 afxp ′+=′
Derivando vem:
Aproximação de funções por meio de polinómios
Aproximação quadrática da função y = f (x) na vizinhança do ponto x = 0:
2210)( xcxccxf ++≈
22102 )( xcxccxp ++=
),0()0( 2pf = ),0()0( 2pf ′=′ )0()0( 2pf ′′=′′
Temos que determinar os coeficientes do polinómio:
C
tal que
Como
12212 )0(2)( cpxccxp =′⇒+=′
2222 2)0(2)( cpcxp =′′⇒=′′
022
2102 )0()( cpxcxccxp =⇒++=
2
2)0()0()0()( xfxffxf
′′+′+≈
)0(0 fc =
)0(1 fc ′=
2)0(
2fc′′
=
Então
FEUP / MIEQ 3Joana Peres / Análise Matemática I
Aproximação de funções por meio de polinómios
ExemploDeterminar a aproximação linear e quadrática da função ex na vizinhança do ponto x = 0.
xex +≈1
xe2
12xxex ++≈
xex +≈1
xee e
Como esperado a aproximação quadrática é mais precisa do que a aproximação linear na vizinhança do ponto x = 0.
FEUP / MIEQ 4Joana Peres / Análise Matemática I
Polinómios de Taylor
Problema:Dada uma função f qualquer derivável n vezes no ponto x = a, encontrar o polinómio pn (x) de grau n com a seguinte propriedade: o valor do polinómio e o valor de todas as suas derivadas até à ordem n ser igual ao valor da função e correspondentes derivadas até à ordem n em a .
Queremos o polinómio:n
nn axcaxcaxcaxccxp )()()()()( 33
2210 −++−+−+−+=
tal que:
),()( apaf n= ),()( apaf n′=′ )()( apaf n′′=′′ )()( )()( apaf nn
n =,,
CComon
nn axcaxcaxcaxccxp )()()()()( 33
2210 −++−+−+−+=
12321 )()(3)(2)( −−++−+−+=′ n
nn axncaxcaxccxp2
32 )()1()(.2.32)( −−−++−+=′′ nnn axcnnaxccxp
33 )()2)(1(.2.3)( −−−−++=′′′ n
nn axcnnncxp
nn
n cnnnxp )1()2)(1()()( −−=
)()( 0 afcapn ==⇒
)()( 1 afcapn ′==′⇒
)(2)( 2 afcapn ′′==′′⇒
)(2.3)( 3 afcapn ′′′==′′′⇒
)(!)( )()( afcnap nn
nn ==⇒
então:),(0 afc = ),(1 afc ′= ,
!2)(
2afc
′′=
!3)(
3afc
′′′= ,,…
!)()(
nafc
n
n =
FEUP / MIEQ 5Joana Peres / Análise Matemática I
Polinómios de Taylor e de Maclaurin
Definição do polinómio de Taylor de grau n da função f (x) centrado no ponto x = a:
nn
n axn
afaxafaxafafxp )(!
)()(!2
)())(()()()(
2 −++−′′
+−′+=
que é a melhor aproximação polinomial de grau n à função f (x) na vizinhança do ponto x = a.
Representação do polinómio de Taylor de grau n da função f (x) centrado no ponto x = a duma forma mais compacta:
Ao polinómio de Taylor de grau n da função f (x) centrado em x = 0chamamos polinómio de Maclaurin:
∑=
−=n
r
rr
n axr
afxp0
)()(
!)()(
Utilizada só quando conhecemos a fórmula geral de f (r)(a)
∑=
=++′′
+′+=n
r
rr
nn
n xr
fxn
fxfxffxp0
)()(2
!)0(
!)0(
!2)0()0()0()(
FEUP / MIEQ 6Joana Peres / Análise Matemática I
Polinómios de Taylor e de Maclaurin
Atendendo à forma como o polinómio de Taylor pn (x) foi construído, é de esperar que se verifiquem os dois factos seguintes:
na vizinhança do ponto x = a, a aproximação será tanto melhor quanto maior for o grau n de pn (x)
para cada valor fixo do grau n, a aproximação vai piorando à medida que nos afastamos de x = a
FEUP / MIEQ 7Joana Peres / Análise Matemática I
Polinómios de Taylor e de Maclaurin
Como devemos proceder para determinar o polinómio de Taylor de uma função:
A derivada de ordem r da função f (x): ( ) ( )[ ] ++ Ζ∈∀′≡ 0
def1 , )()( rxfxf rr
em que o índice (r) em expoente representa a ordem da derivada, e em que, por convenção, a derivada de ordem zero é a própria função f (x): f (0)(x) ≡ f (x).
1. obter uma fórmula geral para a derivada de ordem r, por inspecção das primeiras três ou quatro derivadas de f (x);
2. fazer uma conjectura, com base nestas derivadas, acerca da fórmula que representa a derivada de ordem r de f (x), isto é, f (r)(x) = P(r), em que
Para algumas funções elementares relativamente simples:
representa a derivada de ordem r de f (x), isto é, f (x) P(r), em que P(r) representa a fórmula conjecturada;
3. validar a fórmula conjecturada pelo método de indução matemática;4. uma vez obtida a fórmula geral para f (r)(x), basta substituir x por a para
se obter a fórmula geral para f (r)(a), e depois dividir por r! para se obter a fórmula geral para os coeficientes cr =f (r)(a)/r! do polinómio de Taylor centrado no ponto a
Método de indução matemática:
⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
+=⇒=
=+ )1()()()( )(
)1()( )()1()(
)1(
rPxfrPxfii
Pxfirr
a conjectura f (r)(x) = P(r) é verdadeira
FEUP / MIEQ 8Joana Peres / Análise Matemática I
Polinómios de Taylor de algumas funções importantes
∑=
+++ +
−=
+−
+−+−=n
r
rr
nn
n xr
xn
xxxxp0
12125312 )!12(
)1( )!12(
)1(!5
1!3
1)(
Polinómios de Taylor de centrados no ponto x = 0xxf sen)( =
FEUP / MIEQ 9Joana Peres / Análise Matemática I
Polinómios de Taylor de algumas funções importantes
∑=
−=
−+−+−=
n
r
rr
nn
n xr
xn
xxxp0
22422 )!2(
)1( )!2()1(
!41
!211)(
Polinómios de Taylor de centrados no ponto x = 0xxf cos)( =
FEUP / MIEQ 10Joana Peres / Análise Matemática I
Polinómios de Taylor de algumas funções importantes
∑=
=++++=n
r
rnn x
rx
nxxxp
0
2
!1
!1
!211)(
Polinómios de Taylor de centrados no ponto x = 0xexf =)(
FEUP / MIEQ 11Joana Peres / Análise Matemática I
Polinómios de Taylor de algumas funções importantes
∑=
++
−−
=−−
+−−+−−−=n
r
rr
nn
n xr
xn
xxxxp1
1132 )1()1()1()1()1(
31)1(
21)1()(
Polinómios de Taylor de centrados no ponto x = 1xxf ln)( =
FEUP / MIEQ 12Joana Peres / Análise Matemática I
Polinómios de Taylor de algumas funções importantes
∑=
++ −=
−+−+−=
n
r
rr
nn
n xr
xn
xxxxp1
1132 )1()1(
31
21)(
Polinómios de Taylor de centrados no ponto x = 0)1ln()( xxf +=
FEUP / MIEQ 13Joana Peres / Análise Matemática I
Estimativa do resto de um polinómio de Taylor
Queremos calcular:Estimativa do erro cometido ao substituirmos a função f (x) por qualquer um dos
seus polinómios de Taylor
Temos que definir:o resto do polinómio de Taylor de grau n da função f (x) centrado no ponto x = a.
∑=
−−=−≡n
r
rr
nn axr
afxfxpxfxR0
)(def)(
!)( )( )( )()(Definição
Rn(x) pode por vezes ser estimado recorrendo ao seguinte teorema:
)()!1(
)( )( 1)1(
++
−+
= nn
n axn
cfxR
Teorema (Teorema de Taylor)Se f (x) for derivável (n+1) vezes no intervalo [a, x] , em que x > a, então existe um número c ∈ ] a, x[ tal que:
(Se x < a, basta trocar [a, x] por [x, a] e ]a, x[ por ]x, a[ no enunciado acima escrito)
FEUP / MIEQ 14Joana Peres / Análise Matemática I
Estimativa do resto de um polinómio de Taylor
Se conseguirmos majorar o valor absoluto do resto, isto é, descobrir um número positivo M tal que para todos os valores de x num certo intervalo:
MxRn )( ≤
vamos poder obter uma estimativa do valor de Rn(x).
Fórmula de Taylor “de grau n” com resto no ponto x = a
)()( )1()( +nn r ff=+= )( )( )( xRxpxf nn )(
)!1()( )(
!)( 1
)1(
0
)(+
+
=
−+
+−∑ nnn
r
rr
axn
cfaxr
af
)()!1(
)( )(!
)()(!2
)())(()( 1)1()(
2 ++
−+
+−++−′′
+−′+= nn
nn
axn
cfaxn
afaxafaxafaf
em que c é um número “compreendido entre a e x, isto é, c ∈ ]a, x[se a < x, ou c ∈ ]x, a[ se x < a.
FEUP / MIEQ 15Joana Peres / Análise Matemática I
Estimativa do resto de um polinómio de Taylor
• Se fizermos x – a = h ⇔ x = a + h podemos reescrever a fórmula de Taylor “de grau n” com resto no ponto x = a de uma forma alternativa:
)!1(
)( !
)(!2
)()()()( 1)1()(
2 ++
++++
′′+′+=+ n
nn
nh
ncfh
nafhafhafafhaf
)O( !
)(!2
)()()( 1)(
2 ++++′′
+′+= nnn
hhn
afhafhafaf
em que a notação O(hn+1) que se lê “da ordem de hn+1” pretende salientar oem que a notação O(h ), que se lê da ordem de h , pretende salientar ofacto de o resto do polinómio de Taylor de grau n ser proporcional a hn+1.
O resultado expresso no teorema de Taylor pode ser utilizado na prática para:
1. obter uma estimativa do erro cometido com a aproximação pn (x) para um valor fixo do grau n do polinómio;
2. calcular o menor valor do grau n que deve ser utilizado para um valor fixo do erro máximo que pode ser cometido.
FEUP / MIEQ 16Joana Peres / Análise Matemática I
Estimativa do resto de um polinómio de Taylor
Exemplo 1
Calcular 1/e utilizando o polinómio de Taylor de grau 3 para a função f(x) = ex centrado no ponto x = 0 . Em seguida, obter uma estimativa do erro cometido com esta aproximação.
E l 2Exemplo 2
Calcular e com erro inferior a 0.001, utilizando para o efeito um polinómio de Taylor de grau apropriado para a função f(x) = ex centrado no ponto x = 0.
FEUP / MIEQ 17Joana Peres / Análise Matemática I
Série de Taylor (ou de Mclaurin)
Se a função f (x) for infinitamente derivável no ponto x = apodemos em teoria considerar o polinómio de Taylor “de grau infinito” da função f (x) centrado no ponto x = a. A este polinómio “de grau infinito” chamamos série de Taylor da função f (x) centrado no ponto x = a (ou “em torno do ponto x = a ”):
∑∑→→
∞
−=≡−n
rr
nr
rax
rafxpax
raf )(def)(
)(!
)( lim )(lim )(!
)(Definição
∑∑=∞→∞→= rnnr rr 00 !!
No caso de a = 0 designa-se a série de Taylor pelo nome alternativo de série de Maclaurin da função f (x).
FEUP / MIEQ 18Joana Peres / Análise Matemática I
Série de Taylor (ou de Mclaurin)
A série de Taylor da função f (x) centrada no ponto x = a só será igual à própria função f (x) para intervalos bem definidos da variável x onde Rn(x)→0:
Teorema Se f (x) for infinitamente derivável no ponto x = a, e se então:
0 )(lim =∞→
xRnn
∑∞
=
−=0
)()(
!)()(
r
rr
axr
afxf
Se esta condição for satisfeita dizemos que:a série de Taylor da função f (x) centrada no ponto x = a convergepara a função f (x) ou então
f f ( ) l é lque a função f (x) pode ser representada pela sua série de Taylor centrada no ponto x = a .
O conjunto de valores reais de x para os quais este resultado é válido designa-se por:
intervalo de convergência da série de Taylor de f (x) centrada no ponto x = a .
fora deste intervalo de convergência, a função f (x) nunca deverá ser representada pela sua série de Taylor centrada no ponto x = a
mesmo se a função e a sua série de Taylor estiverem ambas definidas!
FEUP / MIEQ 19Joana Peres / Análise Matemática I
Determinação do intervalo de convergência utilizando o teorema de Taylor
Utilizando o teorema de Taylor, é possível (embora trabalhoso!) calcular-se o intervalo de convergência da série de Maclaurin de cada uma das quatro funções cujos polinómios de Taylor centrados em x = 0 foram obtidos atrás:
IRxxxxxr
xr
rr
∈∀−+−=+
−=∑
∞
=
+ ,!5
1!3
1)!12(
)1(sen 53
0
12
IRxxxxr
xr
rr
∈∀−+−=−
= ∑∞
=
, !4
1!2
11)!2()1( cos 42
0
2
∑∞ 11 2
Para calcular logaritmos quando x > 1 usamos a conhecida propriedade dos logaritmos:
IRxxxxr
er
rx ∈∀+++== ∑=
,!2
11!
1 2
0
] ]1 , 1 ,31
21 )1()1ln( 32
1
1−∈∀−+−=
−=+ ∑
∞
=
+
xxxxxr
xr
rr
xx
+−≡+
11ln )1ln(
Como calcular ln(3)?
FEUP / MIEQ 20Joana Peres / Análise Matemática I
Cálculo da soma exacta de séries numéricas convergentes
Atribuindo valores numéricos a x dentro do intervalo de convergência da série de Taylor ou de Maclaurin de uma função f (x), esta série transforma-se numa série de números reais
que é necessariamente convergente para o valor que a função f (x) assume nesse ponto.
útil para calcular a soma exacta de muitas séries numéricas que sabemos serem convergentes não sabendo para que valor convergem.
IRxxxxr
er
rx ∈∀+++== ∑∞
=
,!2
11!
1 2
0e
rr
x
!41
!31
!2111
!1
0
1=+++++=⇒ ∑
∞
=
=
IRxxxxxr
xr
rr
∈∀−+−=+
−=∑
∞
=
+ ,!5
1!3
1)!12(
)1(sen 53
0
12
,!4
1!2
11)!2()1( cos 42
0
2 IRxxxxr
xr
rr
∈∀−+−=−
= ∑∞
=
] ]1 , 1 ,31
21 )1()1ln( 32
1
1−∈∀−+−=
−=+ ∑
∞
=
+
xxxxxr
xr
rr
1sen !7
1!5
1!3
11 )!12(
)1( 0
1=+−+−=
+−
⇒ ∑∞
=
=
r
rx
r
1 cos !6
1!4
1!2
11 )!2()1(
0
1=+−+−=
−⇒ ∑
∞
=
=
r
rx
r
2ln 41
31
211 )1(
1
11=+−+−=
−⇒ ∑
∞
=
+=
r
rx
rFEUP / MIEQ 21Joana Peres / Análise Matemática I
Obtenção de novas séries de Taylor ou de Maclaurinpor substituição a partir de séries conhecidas
Como as séries que deduzimos são identicamente iguais às correspondentes funções para todos os valores de x dentro do intervalo de convergência, é possível obter novas séries por substituição, desde que a série assim obtida seja ainda uma série de Taylor (ou de Maclaurin). O intervalo de convergência da nova série poderá ser deduzido entrando em linha de conta com a substituição efectuada e com o intervalo de convergência da série original.
⇒∈∀−+−=+
−= ∑
∞
=
+ )2(,)2(!5
1)2(!3
1)2( )2( )!12(
)1( 2sen 53
0
12 IRxxxxxr
xr
rr
IRxxxxxx rrr
∈∀−+−=−
=⇒ ∑∞
++
,!5
2!3
22)!12(
2)1( 2sen 55
33
1212
⇒∈−∀−+−+−+=−= ∑∞
=
− )(,)(!3
1)(!2
1)(1)(!
1 32
0IRxxxxx
re
r
rx
⇒≤<−−+−=−
=+ ∑∞
=
+
1 2 1 ,)2(31)2(
21)2( )2()1( )21ln( 32
1
1xxxxx
rx
r
rr
rr +∑= !5!3)!12(0
IRxxxxxr
er
rr
x ∈∀−+−=−
=⇒ ∑∞
=
− ,!3
1!2
11!)1( 32
0
21
21 ,
3822 2)1( )21ln( 32
1
1≤<−−+−=
−=+⇒ ∑
∞
=
+
xxxxxr
xr
rrr
FEUP / MIEQ 22Joana Peres / Análise Matemática I
Série geométrica de razão x
A série de Maclaurin da funçãox
xf−
=1
1)(
é por definição a série seguinte:
++++=∑∞
=
32
01 xxxx
r
r série geométrica de razão x
só converge quando 1 <xe converge para
x−11
jou seja:
] [1 , 1,1 1
1 32
0−∈∀++++==
− ∑∞
=
xxxxxx r
r
Por exemplo:
] [1 , 1,1)1( 1
1 32
0−∈∀+−+−=−=
+ ∑∞
=
xxxxxx r
rr
série geométrica alternada
FEUP / MIEQ 23Joana Peres / Análise Matemática I