Serie de Taylor

Métodos Numéricos

Serie de Taylor y la Valuación Numérica de Derivadas

MC. Ing. Rafael Campillo Rodríguez

Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica, U.V., zona Xalapa

La Serie de Taylor Aproximación a f’’(x)

Aproximación a f’(x) Introducción

Introducción

Brook Taylor en su trabajo “Methodus Incrementorum Directa et Inversa” (1715) desarrolló lo que hoy se conoce como cálculo de las diferencias finitas.

El mismo tratado contenía la famosa fórmula conocida como el Teorema de Taylor, cuya importancia sólo se reconoció hasta 1772, cuando Joseph-Louis Lagrange lo definió como “El fundamento principal del cálculo diferencial".

Brook Taylor,Reino Unido,1685 - 1731

Introducción (Cont.)

La Serie de Taylor es una herramienta matemática que si se usa apropiadamente facilita mucho los cálculos de aproximación de funciones. La idea fundamental detrás de la Serie de Taylor es la de poder aproximar los valores de una función f(x) para cualquier punto x, a partir de tener un punto de referencia a situado a una distancia h del primero y todo esto a partir de la creación de un “polinomio” basado en una serie de potencias infinita para la cual sea posible de manera sistemática calcular sus coeficientes.


El polinomio: p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + .......... + an xn

en el que los coeficientes ai son constantes, se llama “Polinomio de grado n”. En particular y=b+ax es un polinomio de primer grado; de igual forma, y=c+bx+ax2 es un polinomio de segundo grado.

Los polinomios pueden considerarse las funciones más sencillas de todas. Son funciones continuas para todo x y tienen derivadas de cualquier orden.

Recordemos que, la derivada de un polinomio de grado n es también un polinomio, de grado n-1; y sus derivadas de orden n+1 y superiores, son nulas.


El objetivo a lograr es encontrar el mejor polinomio que permita aproximar cualquier valor de f(x) para una función dada, con un valor casi exacto o teniendo un error mínimo.

No todas las funciones pueden ser aproximadas usando un polinomio y en particular por la Serie de Taylor, ya que presentan alguna singularidad.

Sin embargo, la mayoría de las funciones obtenidas en los casos prácticos dentro del área de la ingeniería, si son aproximables por este método.


Algunos ejemplos de series de funciones matemáticas aproximables por la Serie de Taylor son,

Exponencial:

Logaritmo Natural:

Funciones Trigonométricas:

0

,!

nx

n

xx

ne

1

1

( 1)ln(1 ) , 1

n n

n

x para xn

x

2 1

0

( 1)sin( ) ,

(2 1)!

nn

n

x xn

x

2

0

( 1)cos( ) ,

(2 )!

nn

n

x xnx

La Serie de Taylor

Comencemos el desarrollo de Taylor suponiendo lo siguiente:

“Supongamos que f(x) es una función continua y continuamente diferenciable en el intervalo [a,x]. Supondremos entonces que f ’(x), f ’’(x), f ’’’(x), … , f n(x) están definidas para dicho intervalo”

Del “Teorema Fundamental del Cálculo” sabemos lo siguiente:

'( ) ( )a h a h

aaf x dx f x

La Serie de Taylor (Cont.)

O bien,

De aquí que tengamos que:

[1]

'( ) ( ) ( )a h

af x dx f a h f xa

( ) ( ) '( )a h

af a h f xa f x dx

Ahora, supongamos que el valor de la derivada en cualquier punto x, f’(x), permanece constante a lo largo del intervalo [a,x] y con valor igual con f’(a), tendríamos que se cumple que:

Y entonces podríamos reescribir la ecuación [1], así:


'( ) '( )f x f a

( ) ( ) '( )a h

af a h f a f a dx


Y como f’(a) es constante: Resolviendo la integral:

[2]

( ) ( ) '( )a h

af a h f a f a dx

( ) ( ) '( )f a h f a f a h


La ecuación resultante en [2] debe ser válida para cualquier valor de x y también para cualquier función.

También sabemos que cualquier valor de x es igual con a+h; por lo tanto, se cumple lo siguiente:

⋮[3]

( ) ( ) '( ) ( )f x f a f a x a

'( ) '( ) ''( ) ( )f x f a f a x a

''( ) ''( ) '''( ) ( )f x f a f a x a

1 1( ) ( ) ( ) ( )n n nf x f a f a x a


Utilizando lo obtenido en [3] y sustituyendo en la ecuación [1], podemos desarrollar lo siguiente:

( ) ( ) '( ) ( ) '( ) ''( ) ( )a h a h

a af x f a f x dx f a f a f a x a dx

( ) ( ) '( ) ''( ) ( )a h a h

a af x f a f a dx f a x a dx

( ) ( ) '( ) ''( ) ( )a h a h

a af x f a f a dx f a x a dx


[4]

Como se puede observar, la ecuación [4] nos muestra lo que corresponde a la aproximación de segundo orden al valor de f(x).

( ) ( ) '( ) ''( )a h a h a h

a a af x f a f a dx f a x dx adx

2

( ) ( ) '( ) ''( )2

hf x f a f a h f a


Si se repite este procedimiento n veces, suponiendo que las derivadas de la función f(x) existen, se tendría la aproximación n–1 al valor de la función:

En donde el residuo o el error que se comete al truncar la serie infinita, para cualquier punto x es:

Con:

2 3 ( 1)( 1)( ) ( ) '( ) ''( ) '''( ) ( )

2! 3! ( 1)!

nn

n

h h hf x f a f a h f a f a f a R

n

( )( )!

nn

n

hR f x

n a x a h


Finalmente, podemos concluir que la expansión de la Serie de Taylor nos proporciona una aproximación al valor de una función en un punto x en términos del valor de la función y sus derivadas en un punto de referencia conocido, denominado a.

Dicha expansión se realiza en una serie del tipo “Serie de Potencias” en términos de la distancia h=x-a, entre el punto x para el que se desea evaluar f(x) y el de referencia a, donde se evalúan las derivadas.


En base a lo anterior, la forma más conocida de representar a la Serie de Taylor es:

O también:

[5]

0

( )( )

!

ii

i

f af x h

i

0

( )( ) ( )

!

ii

i

f af x x a

i

Aproximación a f’(x)

Supongamos que se tiene una cierta función f(x), para la cuál se desea obtener el valor de la primera derivada en un cierto punto, que denotaremos como xi:

f’(xi)=?

f(x)

xi

La cuestión es: ¿Y si no recordamos como derivar?


Podemos recurrir a lo siguiente: Del cálculo diferencial e integral, y de la geometría analítica, recordemos que el valor de la derivada en un punto xi es exactamente igual al valor de la pendiente de la tangente a la curva en dicho punto. Es decir, en nuestro caso:

f’(xi)=m

f(x)

xi


Sería posible que, sin saber cálculo, aproximáramos el valor de dicha derivada si escogemos un par de puntos a ambos lados de xi, equidistantes por una distancia a la que llamaremos h:

f’(xi)=m

m = aproximación a f’(xi)

f(x)

h h

xi


En la aproximación anterior tenemos un valor de error muy significativo ya que h es grande. Si vamos acercando ambos puntos hacia xi, es decir haciendo h0, el error disminuye y nos aproximaremos al valor exacto:

f’(xi)=m

m = mejor aprox. a f’(xi)

f(x)h0

xi


Como podemos notar, se tendrán que realizar una serie de aproximaciones sucesivas para ir convergiendo hacia el valor exacto de f’(xi).

Esto puede resultar en un proceso largo, tedioso y sobre todo muy factible de errores al efectuar los cálculos.

Es aquí donde la Serie de Taylor resulta ser una herramienta matemática muy valiosa, ya que nos permitirá obtener una fórmula única para evaluar cualquier primera derivada de cualquier función en un punto dado, con tan sólo unos cálculos y sin existencia de iteraciones.


Veamos ahora la solución por Serie de Taylor. Supongamos el mismo caso anterior, pero, ahora hacemos una traslación de la f(x) de tal forma que el punto xi coincida con el origen (x=0) y con una h de valor muy pequeño (v.gr. 10-6):

f(x)

-h +h

xi=0

Por lo que los puntos adicionales quedarán en –h y +h.

Aproximación a f’(x) (Cont.)

Tomemos la ecuación obtenida en [5] de la parte anterior y desarrollemos la Serie de Taylor hasta sus tres primeros términos, considerando al punto +h con respecto al punto xi; es decir, como si xi fuese el punto a y +h el punto x.

Se tiene que: xi +h

[a]

2( 0)( ) (0) '(0)( 0) ''(0)

2!

hf h f f h f

2

( ) (0) '(0) ''(0)2

hf h f f h f


Hagamos lo mismo, pero ahora, considerando al punto -h con respecto al punto xi; es decir, como si xi fuese el punto a y -h el punto x.

Se tiene que: -h xi

[b]

2( 0)( ) (0) '(0)( 0) ''(0)

2!

hf h f f h f

2

( ) (0) '(0) ''(0)2

hf h f f h f


Restando término a término las ecuaciones [a] y [b] obtenemos lo siguiente:

De aquí:[c]

2

( ) (0) '(0) ''(0)2

hf h f f h f

2

( ) (0) '(0) ''(0)2

hf h f f h f

( ) ( ) 2 '(0)f h f h f h

( ) ( )'(0)

2

f h f hf

h


A manera de conclusión:

Si deseamos evaluar una derivada de una función f(x) en cualquier punto x (y sin saber derivar !!!), bastará con definir un cierto “Error permisible” ( ) muy pequeño (en el rango de 10-5 a 10-8) y, basados en la fórmula obtenida en [c], calcular:

( ) ( )'( )

2

f x f xf x

Aproximación a f’’(x)

El proceso para la obtención de la segunda derivada en un punto cualquiera x de cualquier función f(x) es muy similar a lo estudiado anteriormente para la aplicación de la Serie de Taylor para la primera derivada.

Vamos a utilizar las mismas ecuaciones [a] y [b] obtenidas en el apartado anterior:

[a]

[b]

2

( ) (0) '(0) ''(0)2

hf h f f h f

2

( ) (0) '(0) ''(0)2

hf h f f h f

Aproximación a f’’(x) (Cont.)

Pero ahora vamos a sumar dichas ecuaciones [a] y [b] término a término con lo que obtenemos:

De aquí:[d]

2

( ) (0) '(0) ''(0)2

hf h f f h f

2

( ) (0) '(0) ''(0)2

hf h f f h f

2( ) ( ) 2 (0) ''(0)f h f h f f h

2

( ) 2 (0) ( )''(0)

f h f f hf

h

Aproximación a f’’(x) (Cont.)

Finalmente:

Si deseamos evaluar la segunda derivada de una función f(x) en cualquier punto x (y también, sin saber derivar !!!), bastará con definir un cierto “Error permisible” ( ) muy pequeño (en el rango de 10-5 a 10-8) y, basados en la fórmula obtenida en [d], calcular:

2

( ) 2 ( ) ( )'' ( )

f x f x f xf x

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