Matemática 1

Módulo 1

Capítulo 1-Aritmética Básica Múltiplo de um número Sendo a, b e c são números inteiros e a . b = k, diz-se que k é múltiplo de a e b. Exemplo: Múltiplos de 3 M(3) = {0, 3, 6, 9, ....} Observações: • O zero é múltiplo de todos os números. • Todo número é múltiplo de si mesmo. • Os números da forma 2k, k ∈ , são números múltiplos de 2 e esses são chamados números pares. • Os números da forma 2k + 1, k ∈ N, são números ímpares. Divisor de um número Sendo a, b e c são números inteiros e a . b = k, diz-se que a e b são divisores de k. Exemplo: Divisores de 12 – D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Observações: • O menor divisor de um número é 1. • O maior divisor de um número é ele próprio. Números Primos

Um número inteiro n (n>1) possuindo somente dois divisores positivos n e 1é chamado de primo. Exemplos: (2,3,5,7,11,13,19,...) Observação: • Um número quando não é primo,é chamado de composto. Quantidade de divisores de um número Para determinar a quantidade de divisores de um número procede-se da seguinte forma: I) Decompõe-se em fatores primos o número dado; II) Toma-se os expoentes de cada um dos fatores e a cada um desses expoentes adiciona-se uma unidade. III) Multiplica-se os resultados assim obtidos. Exemplo: Determinar o número de divisores de 90 15 = 3.5 (1 + 1).(1+1) = 2.2 = 4 Logo 15 possui 4 divisores Critérios de divisibilidade Divisibilidade Por 2 Um número é divisível por 2 se for par. Exemplos: 28, 402, 5128.

Divisibilidade Por 3 Um número é divisível por 3 se a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. Exemplos: 18, 243, 3126. Divisibilidade Por 4 Um número é divisível por 4 se os dois últimos algarismos forem divisíveis por 4 ou quando o número terminar em 00. Exemplos: 5716, 8700, 198200. Divisibilidade Por 5 Um número é divisível por 5 se o último algarismo for 0 ou 5. Exemplos: 235, 4670, 87210. Divisibilidade Por 6 Um número é divisível por 6 se for simultaneamente divisível por 2 e 3. Exemplos: 24, 288, 8460. Divisibilidade Por 8 Um número é divisível por 8 se os três últimos algarismos forem divisíveis por 8 ou forem três zeros Exemplos: 15320, 67000. Divisibilidade Por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos for um número divisível por 9. Exemplos: 8316, 35289. Divisibilidade Por 10 Um número é divisível por 10 se o último algarismo for zero. Exemplos: 5480, 1200, 345160. Mínimo Múltiplo Comum

Denomina-se menor ou mínimo múltiplo comum (M.M.C) de dois ou mais números o número p diferente de zero, tal que p seja o menor número divisível pelos números em questão. Exemplo: Determinar o M.M.C entre 6 e 8. Processo 1: M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, ....} M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, ...} Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 24 Processo 2: 6 –8 3 – 4 3 – 2 3 – 1 1 – 1 2.2.2.3 = 24 Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é = 24 Observação: • Se os números da fatoração forem primos o MMC do número dado será o produtos destes números primos. Máximo Divisor Comum Denomina-se máximo divisor comum (M.D.C) de dois ou mais números o maior dos seus divisores comuns. Exemplo: Determinar o M.D.C. entre 36 e 42 Processo 1: D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 21, 42} Logo o M.D.C. entre 36 e 42 é 6. Processo 2: 36 = 22.32 e 42 = 2.3.7 Os fatores comuns entre 36 e 42 são 2.3 Logo o M.D.C. entre 36 e 42 é o produto

de 2.3 =6.

Observações: Em uma questão, como diferenciar MMC e

MDC?

• Quando a questão remeter a algo que irá acontecer novamente, faça o MMC.

2 2 2 3

• Quando a questão quiser dividir em

partes iguais de maior tamanho possível,

faça o MDC.

Exercícios de Base

1) Sejam x e y o M.D.C e o M.M.C de 12 e 20, respectivamente. O valor de x. y é: a) 240 b) 120 c) 100 d) 340 2) número de divisores naturais de 72 é: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13

3) Um ciclista dá uma volta em uma pista de corrida em 16 segundos e outro ciclista em 20 segundos. Se os dois ciclistas partirem juntos, após quanto tempo irão se encontrar de novo no ponto de partida, levando em consideração ambas as velocidades constantes? 4) Três vizinhos têm por medidas de frente: 180m, 252m e 324m, respectivamente, e mesmas medidas para os fundos. Queremos dividi-los em faixas que tenham medidas iguais de frente e cujo tamanho seja o maior possível. Então cada faixa medirá na frente: a) 12 m b) 18 m c) 24 md) 30 m e) 36 m

5) Um alarme soa a cada 10 horas, um segundo alarme a cada 8 horas, um terceiro a cada 9 horas e um quarto a cada 5 horas. Soando em determinado instante os quatro alarmes, depois de quanto tempo voltarão a soar juntos? a) 240 horas b) 120 horas c) 32 horas d) 360 horas e) 320 horas

Exercícios de prontidão

1. (Uece 2015) O número de divisores positivos do produto das raízes da equação

22x 114x 56 0 é a) 12. b) 10. c) 8. d) 6. 2. (Uece 2008) A quantidade de números,

inteiros positivos, que são

simultaneamente divisores de 48 e 64 é

a) uma potência de 4. b) um número primo. c) igual a seis. d) igual a oito.

3. (Uece 2008) Foram utilizados 279

algarismos para numerar todas as páginas

de uma apostila, desde a página de

número 1. O número de páginas da

apostila é

a) 120 b) 129 c) 130 d) 139

4. (UECE – 2000.1) Dois relógios tocam uma música periodicamente, um deles a cada 60 segundos e o outro a cada 62 segundos. Se ambos tocaram (simultaneamente) às 10 horas, que horas estarão marcando os relógios quando voltarem a tocar juntos (simultaneamente) pela primeira vez após as 10 horas? a) 10 h e 31 min c) 13 h e 30 min b) 11 h e 02 min d) 17 h 5. (UECE – 2000.2) Fiz compras em 5 lojas, gastando em cada uma delas a metade do que eu tinha no bolso. Na saída paguei R$ 2,00 de estacionamento e ainda me restaram R$ 20,00. Ao entrar na primeira loja eu tinha: a) R$ 704,00 c) R$ 1.408,00 b) R$ 640,00 d) R$ 1.280,00

6. (UECE – 2009.1) A soma dos números

inteiros n, 3 < n < 12, para os quais a fração

pode ser representada por um número

decimal exato, é

a) 27. b) 29. c) 33. d) 41

7. (UECE – 2010.2) A média aritmética

entre os divisores primos e positivos do

número 2310 é

a) 5,6. b) 6,0. c) 6,3. d) 6,7.

8) (UECE 2010.2 adaptada)Um número

natural é primo quando exatamente tem

apenas dois divisores 1 e o próprio

número. Se a, b, c ,d são os números

primos menores que 10,então a soma de :

é um número racional

localizado entre:

a) 1,0 e 1,1 b) 1,1 e 1,2 c)1,2 e 1,3 d) 1,3 e

1,4

9) Um número natural é primo quando

possui exatamente dois divisores positivos.

Dois números naturais ímpares são

consecutivos quando a diferença entre o

maior e o menor é igual a dois. Se x, y e z

são os três números primos positivos

ímpares consecutivos então a soma

+

+

é igual a

a) 105 73 . b) 105 71 . c) 35 23 . d) 105

10) A expressão numérica 33 163545 é

igual a:

a) 3 1458 b)

3 729

c) 3 702 d)

3 382

A traçoeira armadilha do sucesso é um

alçapão em que costumamos cair quando ,

embriagados por eventuais êxitos,

passamos a nos achar melhores que os

outros, quando não invencíveis, e nos

afastamos da essência do sucesso: a

preparação.” – Bernardinho

Capítulo 2 - Conjuntos Numéricos

Conjunto dos números Naturais (ℕ)

Esse conjunto contém números positivos

incluindo o zero, ele é representado da

seguinte forma:

ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ... }

Observação:

As reticências (...) indica que ele é infinito a

direita.

-Conjunto dos números Inteiros (℞)

Nesse conjunto temos uma novidade, o

acréscimo dos números negativos. Sendo

representado da seguinte forma:

℞= { ..., -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,..}

Observação:

As reticências (...) indicam que o conjunto é

infinito tanto a esquerda quanto a direita.

Conjunto dos números racionais (ℚ)

É o conjunto que tanto contém os números

naturais quanto os inteiros, sendo que a

“novidade” agora são os números com

frações não infinitos,por exemplo: (½, ¾

,...). E os números com vírgula (números

decimais) também não infinitos, por

exemplo: (1,5 ; 1,9 ;2,5 ; e etc.)

ℚ = { ... , -4 ,-3 ,-2 , -1 , -½ , 0 , ½ , 1 , 2 , 5/2

,3 ,4 ,...}

Conjunto dos números irracionais (IR)

É o conjunto que contém os números

naturais, inteiros, racionais e agora os

números infinitos, por exemplo,

3,14159265... , note que esse número não

tem fim, por isso ele é classificado como

irracional.

ℝ = { ..., -4 , - -2,-1 ,0 ,1 ,2 ,3, , ...}

- Conjunto dos números Reais (R)

É o conjunto que engloba todos os outros

conjuntos, ou seja, todos os números

citados anteriormente pertencem aos

reais.

Podemos ter a seguinte representação

gráfica:

IR

Geratrizes de uma dízima periódica Toda fração que dá origem a uma dízima

periódica chama-se

Geratriz. Para determinarmos a Geratriz de

uma dízima periódica, procede-se assim:

I) Dízima Periódica Simples: é um número

fracionário cujo numerador é o algarismo

que representa a parte periódica e o

denominador é um número formado por

Q Z

N

tantos noves quantos forem os algarismos

do período.

Exemplos:

1) 0,777... =

2) 0,333... =

II) Dízima Periódica Composta: é um

número fracionário cujo numerador é a

diferença entre a parte não periódica

seguida de um período e a parte não

periódica, e cujo o denominador é um

número formado de tantos noves quantos

são os algarismos do período,seguido de

tantos zeros quantos são os algarismos da

parte não periódica.

Exemplos:

1) 0,3777... =

=

=

2) 0,32515151... =

=

=

Propriedades dos Reais

• Comutativa: a + b = b + a e a . b = b . a • Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) e (a.b).c = a.(b.c) • Elemento neutro: a + 0 = a e a . 1 = a • Simétrico: a + (– a) = 0

• Inverso: a .

= 1 a ≠ 0

Exercícios de Base

1) Dado que r é um número racional e Y um

número irracional, é verdade que:

a) x·Y é racional

b) Y2 é racional

c) x·Y pode ser racional

d) x·Y é irracional

e) x + Y é racional

2) Segundo o matemático Leopold

Kronecker (1823-1891), “Deus fez os

números inteiros, o resto é trabalho do

homem.” Os conjuntos numéricos são,

como afirma o matemático, uma das

grandes invenções humanas. Assim, em

relação aos elementos desses conjuntos, é

correto afirmar que:

a) o produto de dois números irracionais é

sempre um número irracional.

b) a soma de dois números irracionais é

sempre um número irracional.

c) entre os números reais 3 e 4 existe

apenas um número irracional.

d) entre dois números racionais distintos

existe pelo menos um número racional.

e) a diferença entre dois números inteiros

negativos é sempre um número inteiro

negativo.

3) Em relação aos principais conjuntos

numéricos, é CORRETO afirmar que:

a) Todo número racional é natural, mas

nem todo número natural é racional.

b) Todo número inteiro é natural, mas nem

todo número natural é inteiro.

c) Todo número real é natural, mas nem

todo número natural é real.

d) Todo número racional é inteiro, mas

nem todo número inteiro é racional.

e) Todo número irracional é real.

Exercícios de prontidão

1) Considere as seguintes equações: I. x2 + 4 = 0 II. x2 – 4 = 0

III. 0,3x = 0,1 Sobre as soluções dessas equações é verdade afirmar que: a) II são números irracionais b) III é um número irracional c) I e II são números reais d) I e III são números não reais e) II e III são números racionais

2) Se um conjunto A possui 1024

subconjuntos, então o cardinal de A é igual

a:

a)5b)6c)7d)10

3) Sejam x e y números tais que os

conjuntos {0, 7, 1} e {x, y, 1} são iguais.

Então, podemos afirmar que:

a) x = 0 e y = 5

b) x + y = 7

c) x = 0 e y = 1

d) x + 2 y = 7

“Pedras no caminho? Guardo todas, um dia

vou construir um castelo…”

Fernando Pessoa

Capítulo 3- Conjuntos

Teoria dos Conjuntos

De uso corrente em Matemática, a noção básica de conjunto não é definida, ou seja, é aceita intuitivamente e, por isso, é chamada noção primitiva. Ela foi utilizada primeiramente por Georg Cantor (1845-1918), matemático nascido em São Petersburgo, mas que passou a maior parte de sua vida na Alemanha. Segundo Cantor, a noção de conjunto designa uma coleção de objetos bem definidos e discerníveis, chamados elementos do conjunto.

Pretendemos aqui introduzir alguns conceitos que também consideramos inicias. Conjunto: designado, em geral, por uma letra maiúscula (A, B, C, ..., X, Y, Z); Elemento: designado, em geral, por uma letra minúscula (a, b, c, ..., x, y, z); Pertinência: a relação entre elemento e conjunto, denotada pelo símbolo , que se lê “pertence a”.

Representação dos Elementos Exemplos: 1. Seja A o conjunto das cores da

bandeira brasileira, então: A = {verde, amarelo, azul, branco} 2. Seja B o conjunto das vogais do nosso

alfabeto, então: B = {a, e, i, o, u} 3. Seja C o conjunto dos algarismos do

sistema decimal de numeração, então: C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Diagrama de Venn

A apresentação de um conjunto por meio

do diagrama de Venn é gráfica e, portanto,

muito prática. Os elementos são

representados por pontos interiores a uma

linha fechada não entrelaçada. Dessa

forma, os pontos exteriores à linha

representam elementos que não

pertencem ao conjunto considerado.

Exemplo: Seja B o conjunto das vogais do

nosso alfabeto.

Relação de pertinência Um conjunto é formado por elementos. Um objeto a qualquer pode ser elemento de um determinado conjunto A. Quando for, dizemos que:

Caso contrário, dizemos que a não

pertence a A e escrevemos a A. Exemplo: Consideremos o conjunto: A = {0, 2, 4, 6, 8} O algarismo 2 pertence ao conjunto A, então: 2 A. O algarismo 7 não pertence ao conjunto A,

então: 7 A. Símbolos Matemáticos

a pertence a a e escrevemos a a

Subconjuntos Relação de Inclusão

Dizemos que o conjunto A está contido

no conjunto B se todo elemento que

pertencer a A, pertencer também a B.

Indicamos que o conjunto A está contido

em B por meio da seguinte simbologia:

Observ

ações:

I) Podemos encontrar outra notação para a

relação de inclusão:

II) O conjunto A não está contido

em B quando existe pelo menos um

elemento de A que não pertence a B.

Indicamos que o conjunto A não está

contido em B desta maneira:

Exemplos:

Se o conjunto A está contido no

conjunto B, podemos dizer o seguinte:

que A é um subconjunto de B. Como todo

elemento do conjunto A também pertence

ao conjunto A, podemos dizer também

que A é subconjunto de A e, por extensão,

todo conjunto é subconjunto dele mesmo.

Importante:

A relação de pertinência relaciona um

elemento a um conjunto e a relação de

inclusão refere-se, sempre, a

dois conjuntos.

Exemplo 1:

Considerando P o conjunto dos números

naturais pares e N o conjunto dos números

naturais, temos:

P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...}

< (é menor que)

> (é maior que)

≤ (é menor ou igual a)

≥ (é maior ou igual a)

{ } ou (conjunto vazio)

(“para todo” ou “para

qualquer que seja)

e

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}

Neste caso P N, pois todos os

elementos de P pertencem a N.

Representação por diagrama:

Exemplo 2: Se A é o conjunto dos

retângulos e B é o conjunto dos

quadriláteros, então A B, pois todo

retângulo é um quadrilátero.

Representação por diagrama:

Exemplo 3:

Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3}, B = {0,

1, 2, 3, 4, 5} e C = {0, 2, 5}, temos:

a) A B, pois todo elemento de A

pertence a B;

C A, pois 5 C e 5 A;

B C, pois todo elemento de C pertence a

B.

b) Um diagrama de Venn que representa os

conjuntos A, B e C é o seguinte:

Determinação do Conjunto de partes

Vamos observar, com o exemplo a seguir, o

procedimento que se deve adotar para a

determinação do conjunto de partes de um

dado conjunto A. Seja o conjunto A = {2, 3,

5}. Para obtermos o conjunto de partes

do conjunto A, basta escrevermos todos os

seus subconjuntos:

1) Subconjunto vazio: , pois

o conjunto vazio é subconjunto de

qualquer conjunto.

2º) Subconjuntos com um elemento: {2},

{3}, {5}.

3º) Subconjuntos com dois elementos: {2,

3}, {2, 5} e {3, 5}.

4º) Subconjuntos com três elementos:A =

{2, 3, 5}, pois todo conjunto é subconjunto

dele mesmo.

Assim, o conjunto das partes

do conjunto A pode ser apresentado da

seguinte forma: P(A) = { , {2},

{3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}}.

Número de Elementos do conjunto de

partes

Podemos determinar o número de

elementos do conjunto de partes de

um conjunto A dado, ou seja, o número de

subconjuntos do referido conjunto, sem

que haja necessidade de escrevermos

todos os elementos do conjunto P(A).

Igualdade De Conjuntos

Dois conjuntos são iguais se, e somente se,

eles possuírem os mesmos elementos, em

qualquer ordem e independentemente do

número de vezes que cada elemento se

apresenta.

Veja o exemplo abaixo:

{1, 3, 7} = {1, 1, 1, 3, 7, 7, 7, 7} = {7, 3, 1}

Por isso, convencionamos não repetir

elementos de um conjunto.

Observação:

Se o conjunto A está contido em B (A B)

e B está contido em A (B A), podemos

afirmar que A = B.

Observação

Se A não é igual a B, então A é diferente de

B e escrevemos A ≠ B.

Operações Com Conjuntos

União de Conjuntos:

Dados dois conjuntos A e B, a união (ou

reunião) é o conjunto formado pelos

elementos de A mais os elementos de B. E

é indicado por A B (lê-se: A união B ou

A reunião B). Representamos a união de

dois conjuntos da seguinte forma:

Exemplo:

Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e

B = {2, 4, 6, 8, 10}, calcular A B .

Se A tem n elementos, P(A) tem 2n

elementos.

Sol.: A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}

Graficamente, temos:

Observe que os elementos comuns não são

repetidos.

Intersecção de Conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, a intersecção é

o conjunto formado pelos elementos que

pertencem simultaneamente a A e B. E é

indicado por A B (lê-se: A intersecção B

ou, simplesmente, A inter B).

Representamos a intersecção de dois

conjuntos da seguinte forma:

Exemplo:

Sendo A = {2, 3, 5, 6, 8} e B = {3, 5, 8, 9},

determinar A B .

Solução.:

A B = {3, 5, 8}, apenas os elementos

comuns

a A e B.

Graficam

ente:

Exemplo

Calcule M N onde M = {2, 3, 5} e N = {4,

6}.

Solução.: M N , não há elementos

comuns. Nesse caso, dizemos que os

conjuntos são disjuntos.

Diferença de Conjuntos:

Dados os conjuntos A e B, podemos

determinar um conjunto cujos elementos

pertencem ao conjunto A e não pertencem

ao conjunto B. Esse conjunto é chamado

diferença entre A e B e indicado por A – B,

que se lê “A menos B”. Assim, define-se:

A – B = {x | x A e x B}

Graficamente, temos:

Exemplo :

Calcular

A – B,

sabendo

que A =

{3, 4, 6,

8, 9} e B

= {2, 4, 5, 6, 7, 10}.

Solução .: A – B = {3, 8, 9}, elementos que

estão em A mas não estão em B.

Exemplo

Sendo A = {1, 3, 5} e B = {0, 1, 3, 5, 6},

calcule A – B.

Solução .: A – B = , não existe

elemento de A que não pertença a B.

Exercícios de base

1. (Uerj 2015) Em uma escola circulam dois jornais: Correio do Grêmio e O Estudante. Em relação à leitura desses jornais, por parte dos 840 alunos da escola, sabe-se que: - 10% não leem esses jornais; - 520 leem o jornal O Estudante; - 440 leem o jornal Correio do Grêmio. Calcule o número total de alunos do colégio que leem os dois jornais. 2. (G1 - ifsp 2014) Uma empresa decidiu realizar uma pesquisa de mercado para o lançamento de um novo produto. Aos consumidores foi perguntado o que é levado em consideração na hora de comprar um produto: preço (P) e/ou qualidade (Q). Cada consumidor entrevistado poderia escolher mais de um item da pesquisa como mostra a tabela a seguir:

Característica do

Produto

Número de

Votos

P 60

Q 45

P e Q 35

Admitindo que todos os que foram entrevistados escolheram pelo menos um dos itens da pesquisa, o número de consumidores entrevistados foi de a) 60. b) 65. c) 70. d) 75. e) 80. 3. (Cefet MG 2013) Em uma enquete realizada com pessoas de idade superior a 30 anos, pesquisou-se as que estavam casadas ou não, se tinham ou não filhos. Constatou-se que 45 pessoas não eram casadas, 49 não tinham filhos, e 99 estavam casadas e com filhos. Sabendo-se que 180 pessoas responderam a essa enquete, o número das que se declararam não casadas e sem filhos foi de a) 13. b) 23. c) 27. d) 32. e) 36. 4. (Fatec 2013) Em uma pesquisa de mercado sobre o uso de notebooks e tablets foram obtidos, entre os indivíduos pesquisados, os seguintes resultados: - 55 usam notebook; - 45 usam tablet, e - 27 usam apenas notebook. Sabendo que todos os pesquisados utilizam pelo menos um desses dois equipamentos, então, dentre os pesquisados, o número dos que usam apenas tablet é a) 8 b) 17 c) 27 d) 36 e) 45 5. (G1 - ifsp 2012) Em um restaurante de uma empresa fez-se uma pesquisa para saber qual a sobremesa preferida dos funcionários: pudim ou gelatina. Cada funcionário poderia indicar que gosta das duas sobremesas, de apenas uma, ou de nenhuma das duas. Do total de pesquisados, 21 declararam que

gostam de pudim, 29 gostam de gelatina, 10 gostam dessas duas sobremesas e 12 não gostam de nenhuma dessas duas sobremesas. Pode-se então afirmar que o número de pesquisados foi a) 52. b) 62. c) 72. d) 82. e) 92.

Exercícios de prontidão

1. (Uece 2015) Em um grupo de 300 alunos de línguas estrangeiras, 174 alunos estudam inglês e 186 alunos estudam chinês. Se, neste grupo, ninguém estuda outro idioma além do inglês e do chinês, o número de alunos deste grupo que se dedicam ao estudo de apenas um idioma é a) 236. b) 240. c) 244. d) 246. 2. (Uece 2015) No colégio municipal, em uma turma com 40 alunos, 14 gostam de Matemática, 16 gostam de Física, 12 gostam de Química, 7 gostam de Matemática e Física, 8 gostam de Física e Química, 5 gostam de Matemática e Química e 4 gostam das três matérias. Nessa turma, o número de alunos que não

gostam de nenhuma das três disciplinas é a) 6. b) 9. c) 12. d) 14. 3. (Uece 1997) Sejam Z o conjunto dos

números inteiros,

I = {x ∈ Z; 0 ≤ 2(x + 4)/3 ≤8} e J = {x ∈ Z; (x -

2)2 ≥ 4}.

O número de elementos do conjunto I ⋂ J

é:

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11

4) Se um conjunto A possui 1024

subconjuntos, então o cardinal de A é igual

a:

a) 5 b) 6 c) 7 d) 9

e)10

Não somos o que a sociedade e o acaso

fizeram de nós, e sim o que escolhemos

ser, desde o mais profundo do nosso ser.”

Peter Koestenbaum

Capítulo 4- Função

Introdução a função:

Sejam A e B dois conjuntos não vazios e

uma relação R de A em B, essa relação será

chamada de função quando para todo e

qualquer elemento de A estiver associado

a um único elemento em B.

Formalmente:

f é função de A em B ⇔ (∀x ∈ A, ∃| y ∈

B|(x, y) ∈ f)

Em outras palavras:

Dados dois conjuntos não-vazios A e B, são

uma função de A em B é uma regra que diz

como associar cada elemento xA a um

único elemento yB.

Usamos a seguinte notação:

f: AB ou A fB

Lê: f é uma função de A em B.

Domínio, Imagem E Contradomínio

I)Domínio de uma função f (D(f)) é o

conjunto formado pelos primeiros

elementos dos pares ordenados (x, y)

pertencentes a função.

Pela definição de função, todos os

elementos de A têm um único

correspondente em B; logo, o domínio de f

sempre é o conjunto A .

I)Imagem de uma função f(Im(f)) é o

conjunto formado pelos segundos

elementos dos pares ordenados (x, y)

pertencentes a f.

Im (f) → B

II) Contradomínio é o conjunto B.

Exemplo:

Dados os conjuntos A = { -2, -1, 0, 1} e B = {-

2, -1, 0, 1, 2, 3} e a função f: A B, definida

por f(x) = x + 1, determine:

D(f) = ( -2,-1,0,1)

Im(f) = (-1 , 0,1,2)

Cd(f) = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}

Valor de uma Função Denomina-se valor numérico de uma função f(x) o valor que a variável y assume quando a variável x é substituída por um valor que lhe é atribuído. Por exemplo: considere a relação y = x2 , onde cada valor de x corresponde um único valor de y. Assim se x = 3, então y = 9. Podemos descrever essa situação como: f(3) = 9 Exemplo Dada a função f(x) = x + 2. Calcule o valor de f(3) Solução: f(x) = x + 2, devemos fazer x = 3 f(3) = 3 + 2 f(3) = 5 Exemplo 2

Dada a função f(x) = x2 - 5x + 6. Determine o valor de f(-1). Solução: f(x) = x2 - 5x + 6, devemos fazer x = -1 f(-1) = (-1)2 - 5(-1) + 6 f(-1) = 1 + 5 + 6 f(-1) = 12

Função polinomial de 1°

Uma função f de R em R é do 1º grau se a cada x ∈ R, associa o elemento ax + b. Lei de formação f(x) = ax + b com a ≠ 0. a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear. Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 1º

grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta

oblíqua aos eixos Ox e Oy.

Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função y =

3x - 1

Como o gráfico é uma reta, basta obter

dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio

de uma régua:

a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1;

portanto, um ponto é (0, -1).

b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1;

portanto, 3

1x e outro ponto é

0 ;

3

1.

Marcamos os pontos (0, -1) e

0 ;

3

1 no

plano cartesiano e ligamos os dois com

uma reta.

x y

0 -1

0

Função de 1º grau crescente e

decrescente

Regra geral:

a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0); a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente

Tipos de função

Função Afim

Definição: Uma função é chamada de

função Afim se sua sentença for dada por

f(x) = ax + b, sendo a e b constantes reais

com a 0, onde x é a variável

independente e y = f(x) é a variável que

dependente de x.

Função Identidade

f: tal que: f (x) = x

Função constante

f: tal que: f (x) = c, sendo c ∈ :

Função Linear

f: tal que f (x) = ax (a 0)

Função Par

Uma função é dita par se, e somente se,

f(x) = f(–x) x pertencente ao domínio de f.

Observe que uma função par tem o gráfico

simétrico com relação ao eixo y (veja o

exemplo).

Ex.:

Função Ímpar

Uma função é dita ímpar se, e somente se,

f(x) = – f(–x) x pertencente ao domínio de

f.

Observe que uma função ímpar tem o

gráfico simétrico com relação à origem

(veja o exemplo).

Função Sobrejetiva (Sobrejetora):

Uma função f: é uma função sobrejetiva se

a imagem de é igual ao contradomínio de f.

Função Injetiva (Injetora):

Uma função f: S→T é injetiva ou um-para-

um se nenhum elemento de T for imagem

de dois elementos distintos de S.

Função Bijetiva (Bijetora):

Uma função f: S → T é bijetora se for, ao

mesmo tempo, injetiva e sobrejetiva.

Como Encontrar A Função Inversa

Dada a função f(x), para encontrar a função

g(x) = f-1(x), troca-se f(x) por y, depois y por

x, depois x por y, depois isola-se a variável

y e por fim troca-se y por g(x). Pronto, está

encontrado a função f-1(x).

Observação:

Nem todas as funções admitem inversa

(apenas admitem inversa as funções

bijetoras) e as que admitem inversa, em

muitas delas o cálculo acima é muito difícil,

logo, nem todas as questões de função

inversa devem ser resolvidas por esse

método, lembre-se que o domínio de uma

função é a imagem de sua inversa, que a

imagem de uma função é o domínio de sua

inversa e que o gráfico de f e de f-1 são

simétricos em relação a bissetriz dos

quadrantes ímpares. A saída pode estar aí.

Função Composta

Seja f uma função de um conjunto A em

um conjunto C e seja g uma função de C

em um conjunto B. Chama-se função

composta de g e f à função h de A em B em

que a imagem de cada x é obtida pelo

seguinte procedimento:

1o) aplica-se a x, a função f, obtendo-se f(x)

2o) aplica-se a f(x), a função g, obtendo-se

g(f(x))

Indica-se h(x) = g(f(x))

Pode-se indicar a composta por g o f (lê-se:

g composta com f ou g bola f) portanto (g o

f)(x) = g(f(x)).

Estudo do Sinal

I) a > 0

II) a < 0

Regra Prática:

Exercícios de base

1)Seja f:R R a função definida por

3xse5

3x2se4x

2xse0

)x(f 2

Então o valor de )13(f)2(f)2(f é:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

2) Dada a função :f , definida por

4

2x3)x(f

, )7(f 1 vale:

a) 10 b) 11 c) 11

d) 13 e) 14

3) O valor de x que é a solução da equação

x2

3x11

3

2x

satisfaz a desigualdade:

a) x < –6 b) –3 < x < 2 c) 3 < x < 9 d) x > 10

4) Seja f uma função real de variável real, definida por f(x) = ax + b. Se f(-1) = -6 e f(1) = -4, calcule b2 – a2.

5) Seja a função f:R R definida por:f(x) = 5 – 7x. Se g é a função inversa de f, então a abscissa do ponto de interseção dos gráficos de f e g é:

a) 1/4 b) 3/8 c) 1/2 d)

5/8

Exercícios de prontidão

1) O conjunto solução da inequação 1x2

1

<x1

1

, tendo como conjunto universo o

conjunto dos números reais, é:

a)

1xou2

1x/Rx

b)

1x0ou0x2

1/Rx

c)

1xou0x2

1/Rx

d) 1xou1x0/Rx

e)

1x0ou2

1x/Rx

2 )A área do triângulo cujos vértices são os pontos de interseção dos gráficos das funções f,g: R R, dadas por f(x) = 2x + 4 e g(x) = –0,5x + 4, com os eixos coordenados é:

a) 10 ua b) 15 ua

c) 20 ua d) 25 ua

3 )Sabendo que a função: f(x) = mx + n

admite 5 como raiz e f(-2) = -63, o valor

de f(16) é:

4) A função y = ax + b passa pelo ponto

(1,2) e intercepta o eixo y no ponto de

ordenada 3.

Então, a − 2b é igual a:

a) −12 b) −10 c) −9 d) −7 e) n.d.a.

5) Determine a função inversa de f(x) =

x

1x

a)x1

1

b)

x1

1

c)

x1

x1

d)x1

x1

e)x + 1

Se ficar olhando muito tempo para o abismo, o

abismo olhará para você. Cuidado com o que prende

sua atenção! Foque-se nas sua metas !” –

Desconhecido

Capítulo 5 Função 2°

Denomina-se função do 2o grau ou função quadrática, toda função f: R →R definida por: f(x) = ax² + bx + c /com a, b, c R e a ≠0. Raízes ou Zeros As raízes de uma função do 2o grau são os valores de x que tornam f(x) = 0. Esses valores são encontrados pela fórmula de Báskara:

0cbxaxcbxax)x(f 20)x(f2

a2

bx

a2

bx

a2

bx

2

1

onde ac4b2 (delta ou discriminante) Observação:

Se > 0 → a equação possui duas raízes reais e distintas.

Se = 0 → a equação possui duas raízes reais e iguais.

Se < 0 → a equação não possui raízes reais.

1. Gráfico O gráfico de uma função do 2o grau (f(x) = ax² + bx + c) é uma parábola onde as raízes da função são os pontos onde a parábola toca o eixo x e o número real c, representa o ponto onde a parábola toca o eixo y. Podemos ter os seguintes casos: I) a > 0 e > 0

II)a > 0 e = 0

III) a > 0 e < 0

IV) a < 0 e > 0

V) a < 0 e = 0

VI) a < 0 e < 0

Soma das raízes de equação do 2° Considere uma função do 2º grau do tipo

f(x) = ax² + bx + c, onde x1 e x 2 são as raízes.

Temos:

x1+x2 =

Produto das Raízes de equação do 2°

x1.x2 =

Coordenadas do Vértice da Parábola As coordenadas do vértice são dadas por:

a2

bxV

a4y V

I) Se a > 0, temos: Parábola com a concavidade voltada para cima;

O YV =

é denominado de valor mínimo.

O conjunto imagem é dado por:

}a4

y/Ry{)fIm(

II) Se a < 0, temos: Parábola com a concavidade voltada para baixo;

O YV =

é denominado de valor máximo.

O conjunto imagem é dado por:

}a4

y/Ry{)fIm(

É importante lembrar-se que:

Se pedirem o valor máximo ou mínimo da função, então estão pedindo o yv . Se pedirem o valor que torna a função máxima ou mínima, então estão pedindo o xv . Se pedirem o ponto máximo ou mínimo da função, então estão pedindo o vértice V(xv, yv). Estudo do Sinal

I): a > 0 e > 0 y > 0 → x < x1 ou x > x2 y = 0 → x = x1 ou x = x2 y < 0 → x1 < x < x2

II): a > 0 e = 0 y > 0 → x ≠ x1 y = 0 → x = x1 = x2

y < 0 → Rx

III): a > 0 e < 0

y > 0 → Rx

y = 0 → Rx

y < 0 → Rx

IV): a < 0 e > 0 y > 0 → x1 < x < x2 y = 0 → x = x1 ou x = x2 y < 0 → x < x1 ou x > x2

V): a < 0 e = 0

y > 0 → Rx y = 0 → x = x1 = x2 y < 0 → x ≠ x1

VI): a < 0 e < 0

y > 0 → Rx

y = 0 → Rx

y < 0 → Rx Exercícios de base

1)(UECE) Seja a função real definida por f(x) = x2 – 3x. O conjunto de todos os valores reais

de x para os quais f(x + 1) 0 está contido no intervalo: a) [-1, 2] b) [0, 3] c) [2, 4] d) [-2, -1]

2) (UECE) Se a função quadrática f(x) = 5x² + 9x + m tem dois zeros reais e distintos, então o maior valor inteiro de m é: a) 3 b) 4 c) 5 d)6

3) Sejam m e n raízes da equação x2 + m+ n =

0. Se m 0 e n 0, então m + igual a: a) –1/2 b) 1/2 c) –1 d)1 4) O lucro de um fabricante com venda de certos objetos é L(x) = 400(15 - x)(x - 2), onde x é o preço de venda por unidade. O preço de venda por unidade para se obter o lucro máximo, em R$, é: a) 4,00 b) 6,80 c) 8,50 d) 9,20 e) 12,00 5) (UECE – 2004.2) Se s e p são,

respectivamente, a soma e o produto das

raízes da equação

x x 21 0

1 x x

,

então:

a) s = p b) sp é negativo c) s p d)

s p

Exercícios de prontidão

1) (UECE 2009.2)A parábola que é o

gráfico da função f : R → R, definida

por f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, tem

seu vértice no ponto (1, -16) e sua

interseção com os eixos coordenados

contém um ponto cuja ordenada é y =

-15.

Para esta função, f(-2) é igual a

a) -3. b) -5. c) -7. d) -9.

2) (UECE 2010.1)

Seja f : R→ R a função definida por f(x)

= ax2 + bx + c, onde a, b e c são

números reais não nulos. Se a função f

assume um valor máximo quando x = -

, então podemos afirmar

corretamente que,

A) se o valor máximo de f for um

número negativo, então c é um

número positivo e a equação f(x) = 0

não tem raízes reais.

B) se o valor máximo de f for um

número positivo, então c é um

número positivo e a equação f(x) = 0

tem duas raízes reais.

C) se o valor máximo de f for um

número positivo, então c é um

número negativo e a equação f(x) = 0

tem duas raízes reais.

D) se o valor máximo de f for um

número positivo, então a equação f(x)

= 0 tem duas raízes reais e uma delas

será sempre um número negativo.

3 (Uece 2015) Se a função real de variável

real, definida por 2f(x) ax bx c, é tal

que f(1) 2, f(2) 5 e f(3) 4, então o

valor de f(4) é

a) 2. b) 1. c) 1. d) 2. 4 (Uece 2015) Um objeto é lançado verticalmente, para cima, de forma que a altura alcançada h, medida em metros, e o

tempo decorrido após o lançamento t,

medido em segundos, estão relacionados

pela equação 2h 120t 5t 0.

Considerando h 0 e t 0 no instante do lançamento, então o tempo decorrido desde o lançamento até alcançar a altura máxima, e a altura máxima atingida são respectivamente a) 10 seg e 700 m. b) 12 seg e 720 m.

c) 12 seg e 800 m. d) 10 seg e 820 m.

5. (Uece 2010) A idade de Paulo, em anos, é um número inteiro par que satisfaz a desigualdade x2 - 32x + 252 < 0. O número que representa a idade de Paulo pertence ao conjunto a) {12, 13, 14}. b) {15, 16, 17}. c) {18, 19, 20}. d) {21, 22, 23}. 6 (Uece 2008) A função quadrática f

assume seu mínimo quando x = 2 e é tal

que seu gráfico contém os pontos (-1, 0) e

(0, - 5). O valor de f(4) é

a) - 4 b) - 5 c) 5 d) 4

7) (UECE 2012.1) Se o gráfico da função f :

R R, definida por f(x) = x2 + bx + c,

intercepta o eixo dos y no ponto (0,4),

então pode-se afirmar corretamente que

a) a equação f(x) = 0 admite duas raízes

reais e positivas.

b) a equação f(x) = 0 não admite raízes

reais.

c) o produto das raízes da equação f(x) =0

é – 4.

d) a equação f(x) = 0 admite raízes reais

quando b 4 ou b – 4.

8) (UECE 2012.2)

Se as equações x2 – 6x + k = 0 e x 2 – 2x + 1

= 0 admitem uma raiz comum, então, o

valor de k é

A) 2. B) 3. C) 4. D) 5.

9) (UECE 2014.1)

Sejam f:R R a função definida por f(x) = x2 + x + 1, P e Q pontos do gráfico de f tais que o segmento de reta PQ é horizontal e tem comprimento igual a 4 m. A medida da distância do segmento PQ ao eixo das abscissas é A) 5,25 m. B) 5,05 m. C) 4,95 m. D) 4,75 m

“Felicidade é quando o que você pensa, o

que você diz e o que você faz estão em

harmonia.” – Desconhecido

Capítulo 6-Equação e Função

Modular

Definição de uma equação modular

Sendo x R, define-se módulo ou valor

absoluto de x, que se indica por |x| ou

abs(x), através da relação:

0

0

xsex

xsexx

Isto significa que:

O módulo de um número real positivo é igual ao próprio número. O módulo de um número real negativo é igual ao simétrico desse número.

Exemplos:

| +2 | = +2 | –7 | = +7 | 0 | = 0

Propriedades

I. |x| 0, x R

II. |x| = 0 x = 0

III. |x||y| = |xy|

IV. |x|2 = |x2| = x2, x R

V. |x + y| |x| + |y| (desigualdade triangular)

VI.

Nkknsex

Nkknsexxn n

,12,

*,2,||

Equações Modulares

O estudo das equações modulares será

mostrado através da resolução dos casos

mais comuns de equações desse tipo.

Exemplo

Resolva as equações:

a) 62 x

1º modo

4;8

46286262

V

xouxx

2º modo

032436446262 2222 xxxxxx

Logo,Resolvendo a equação do 2º grau,

obtemos 84 ''' xex . Assim

temos: 4;8 V

b) 143 xx

1º modo

5

4;

3

2

5

4

3

2

143134

)14(3143143

V

xoux

xxouxx

xxouxxxx

2º modo

032436446262 2222 xxxxxx

Resolvendo a equação do 2º grau, obtemos

5

4

3

2 ''' xex . Assim temos:

4;8 V

Inequações Modulares

Ao invés de decorarmos como se resolvem as inequações modulares, vamos aprender, através de um processo prático, de onde vem a estrutura de análise.

Exemplo:

| x | = 7 x = –7 ou x = 7

Conclusão:

I. |x| a e a > 0 –a x a

II. |x| < a e a > 0 –a < x < a

III. |x| a e a > 0 x –a ou x a

IV. |x| > a e a > 0 x < –a ou x > a

Exercícios de base

1) (Ufc 2008) Dadas as funções f : IR IR e g : IR IR definidas por f (x) = │1 - x2│ e g (x) = │ x │, o número de pontos na interseção do gráfico de f com o gráfico de g é igual a:

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 2. (G1 - cftce 2006) O conjunto de soluções da equação │ x - 1 │ + │ x - 2 │ = 3 é:

a) {0,1} b) {0,3} c) {1,3} d) {3} e) { } 3. (G1 - cftce 2004) A respeito da função f(x) = │x│, é verdadeira a sentença:

a) f(x) = x, se x < 0 b) f(x) = - x, se x > 0 c) f(x) = 1, se x ∈ IR d) o gráfico de f tem imagem negativa e) o gráfico de f não possui imagem

negativa 4. (Ufrgs 2013) A interseção dos gráficos

das funções f e g, definidas por f x x

e g x 1 x , os quais são desenhados no

mesmo sistema de coordenadas cartesianas, determina um polígono. A área desse polígono é a) 0,125.

b) 0,25.

c) 0,5.

d) 1.

e) 2. 5. (Uft 2008) Sejam f e g funções reais de

uma variável real definidas por:

f(x) = │ x - 1 │ e g(x) = 5

A área da região limitada pelos gráficos

dessas funções é:

a) 10 unidades de área. b) 30 unidades de área. c) 50 unidades de área. d) 25 unidades de área.

Exercícios de prontidão

1)(Ufrj 2008) Considere a função f: IR IR

definida por f(x) = │1 - x │. Determine os

valores de x para os quais f(x) = 2.

2) O conjunto solução de 1 < |x – 3| < 5 é o

conjunto dos números x tais que:

a)]-2, 2[ ]4, 8[ b) ]2, 4[ ]4, 8[ c)]-2, 2[ d) [4, 8]

3) A solução da inequação (2x −1)2 ≤ 5 a) {x ∈ ℜ| – 2 ≤ x ≤ 3} b) {x ∈ ℜ| – 1 ≤ x ≤ 6} c) {x ∈ ℜ| x ≤ 3} d) {x ∈ ℜ| x ≤ 7} e) {x ∈ ℜ| – 3 ≤ x ≤ 2}