Apostila_CALCULO_BASICO.pdf

Cálculo Básico

Professores Ana Clara da Mota

Áureo Pereira de Melo Maria de Fátima dos Santos Monteiro Lemke

São José dos Campos Janeiro – 2008

Pré-Cálculo ETEP-Faculdades

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ÍNDICE

Introdução

Porque estudar matemática?

• As catenárias e as curvas parabólicas 04

• O Teto parabólico do Capitólio 05

• Os flocos de Neve 05

• A Pele 06

• Os sismos 06

• As bolas de sabão 07

• Desintegração radioativa 07

• As ondas da praia. 08

Aula 1

1. Funções 10

1..1 – Definição 10

1.2 – Domínio e Imagem. 11

1.2.1 – Domínio – Conjunto A 11

1.2.2 – Imagem – Conjunto B 12

1.3 – Definição Formal 14

1.4 – Gráfico de uma função 16

1.4.1 – Sistema Cartesiano 17

Aula 2

2. Funções do 1° grau 19

2.1. Função Constante 19

2.2. Função Identidade 20

2.3. Função Linear 20

2.4. Função Afim 21

Aula 3

3. Coeficientes e zero da função afim 24

3.1 – Exercícios 24

3.2 – Funções crescentes e decrescentes 25

3.3 – Sinais de uma função 26

3.4 – Equação de uma reta 29

3.5 – Retas paralelas e perpendiculares 30


- 2 -

3.6 – Intersecção entre duas retas 30

Aula 4

4. Tipos de Função 32

4.1 – Função Par e Função Ímpar 32

4.2 – Função Composta 33

4.3 – Função Injetora, sobrejetora e Bijetora 34

4.4 – Função Inversa 36

4.5 – Exercícios 39

Aula 5

5. Inequações 2° grau e Função Modular 43

5.1 – Conceitos iniciais 43

5.2 – Exercícios Propostos 46

5.3 – Resolução de Inequação do 2° grau 46

5.4 – Função definida por várias sentenças 48

5.5 – Função Modular 48

5.6 – Exercícios propostos 49

Aula 6

6. Função Exponencial e Logarítmica 50

6.1. Função Exponencial 50

6.2. Função Logarítmica 51

Aula 7

7. Exercícios Propostos 53

Aula 8

8. Trigonometria 56

8.1 – Introdução – Dados Históricos 56

8.2 – Arcos e Ângulos 56

8.3 – Ciclo Trigonométricos 57

Aula 9

9.Função Periódicas – Função Seno e cosseno 60

9.1 – Função Seno 61

8.2 – Função Cosseno 63

Aula 10

10. Função Tangente e Função Cotangente 66


- 3 -

10.1 – Função Tangente 66

10.2 – Função Cotangente 69

Aula 11

11. Função Secante e Cossecante 71

Aula 12

12. Relações Fundamentais 75

Aula 13

13. Exercícios de Revisão 82

Aula 14

14. Exercícios complementares 87

14.1 - Domínio das funções 87

14.2 – Funções do 1º Grau 88

14.3 – Função do 2º grau 90

14.4 – Funções Compostas 91

14.5 – Inequações produto e quociente 92

14.6 – Função Modular 93

14.7 – Exponencial: Funções e Inequações 93

14.8 – Equações Exponenciais 94

14.9 – Logaritmos: Introdução 95

14.10 – Logaritmos : Equações 96

14.11- Trigonometria 97

Referências bibliográficas 99


- 4 -

Introdução - Porque estudar Matemática?

• As catenárias e curvas parabólicas

Uma corrente presa nos dois extremos e pendendo livremente dá origem a uma curva catenária. Esta

curva assemelha-se muito à parábola e até Galileu acreditou ao princípio tratar-se,

de fato, de uma parábola.

Quando se aplicam cargas, distribuídas em intervalos iguais, a uma curva

catenária, a corrente adapta a forma de uma parábola. É o que se sucede nas

pontes suspensas por cabos, como a ponte 25 de Abril, em Lisboa. A parábola

apenas se forma quando são adicionados à catenária os cabos de tração verticais.

Quando observamos os cabos elétricos suspensos dos postes de uma ponte reparem

que desenham uma curva que parece um arco de parábola, porém não é o gráfico de uma função

polinomial. O seu nome é catenária, do latim cadena, cadeia.

Trata-se do gráfico de uma função exponencial, transcendente (não–algébrica), de equação

( )axax eea21y −+= em que a é constante positiva.

Quais são as principais características desta função? Se dois postes

com mesma altura e afastados de 50m suportam um cabo o qual desenha uma catenária em que a = 0,08.

Qual a distância mínima do cabo ao solo? Qual é a altura dos postes?

Até ao séc. XVII suponha-se que era um arco de parábola; até mesmo Galileu o pensava. Mas em 1647

um jovem com 17 anos, Christiaan Huygens, provou com argumentos físicos que essa hipótese era falsa,

sem, contudo descobrir a expressão analítica da curva. Huygens foi um matemático e físico holandês

(1629-1695), construtor do primeiro relógio de pêndulo. Huygens retomou mais tarde o estudo da

catenária e publicou, já com mais de 60 anos, a solução do problema. Simultaneamente surgiram

trabalhos independentes, sobre a catenária, dos irmãos Bernoulli (Basileia) e de Leibniz (Hanover).


- 5 -

• O teto parabólico do Capitólio

É curioso verificar que no século XIX, o Capitólio foi projetado de modo a dispor de mecanismos de

escuta não eletrônicos. Projetado em 1792 pelo Dr. William Thornton, a

sua estrutura reconstruída em 1819, após ter sido incendiada pelas tropas

invasoras britânicas em 1814. A Câmara dos Representantes costumava

reunir no Stattuary Hall até 1857. Foi neste local que John Quincy Adams

descobriu o fenômeno acústico. Verificou que, em certos pontos, era

possível ouvir distintamente as conversas que estavam a ter lugar no ponto

oposto da sala, ao passo que as pessoas situadas ao meio nada ouviam e o barulho que produziam não

interferia com os sons provenientes do outro extremo. A secretária de Adams estava localizada sob o

ponto focal de um dos tetos que funcionava como refletor parabólico. Assim, podia facilmente ouvir as

conversas privadas dos outros membros da Câmara que estivessem sob o ponto focal.

• Os flocos de Neve

Qual é a relação entre um floco de neve e uma crise cardíaca?

A formação dos flocos de neve, as flutuações de certas populações animais, a freqüência das erupções

vulcânicas, a propagação das epidemias, as variações do clima, as irregularidades dos

batimentos cardíacos ... todos estes fenômenos são descritos pela teoria do caos, uma

teoria que procura a ordem na desordem , e a desordem na ordem. Hoje sabemos que

os batimentos cardíacos seguem uma curva irregular e aleatória e que o ritmo de um

coração normal tem uma natureza caótica.

Veja no exemplo o estudo do crescimento da populações de coelhos.

Fugiram 8 coelhos de um barco atracado em Kori, uma pequena ilha onde não havia coelhos nem

predadores; tendo bom clima e muito alimento reproduziram-se exponencialmente

e, passados uns tempos, davam um tal prejuízo à agricultura que o governador

mandou fazer a contagem de quantos coelhos havia para estudar as medidas a

adaptar. Contarem 4500 coelhos; três meses depois, nova contagem deu 9900

coelhos. Acreditando nas contagens, descreva uma fórmula que traduza o

crescimento desta população de coelhos. Quanto tempo passou desde a fuga dos coelhos até à realização

da 1ª contagem? Se não forem tomadas medidas, quantos coelhos haverá um ano depois da 2ª contagem?


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• A pele

Porque é que a pele de alguns animais é malhada e a de outros é riscada? Porque é que o leopardo tem

malhas e o tigre tem riscas? Porque é que o rato e o elefante não têm malhas nem riscas?

Todas estas questões têm hoje uma “resposta” matemática.

O modelo matemático descreve o modo como reagem e se propagam sobre a pele

dois produtos químicos diferentes: um que faz a coloração da pele e outros que não

faz essa coloração; ou mais precisamente, um que estimula a produção de melanina

(uma proteína que dá coloração à pele) e outro que bloqueia essa produção.

A equação matemática mostra que os diferentes motivos da pelagem, dependem

unicamente do tamanho e da forma da região onde se desenvolvem. Dito de outra

maneira, a mesma equação de base explica todos os motivos.

Mas então, porque razão os tigres e os leopardos têm motivos diferentes uma vez que os seus corpos

são muito semelhantes? Porque a formação dos motivos não se produz na mesma altura durante o

crescimento do embrião. No primeiro caso, o embrião será muito pequeno e, no outro caso, será já

muito maior. Mais precisamente, a equação mostra que não se forma nenhum motivo se o embrião é

muito pequeno (rato), que se forma um motivo com riscas se o embrião é um pouco maior (tigre,

zebra), um motivo com malhas se é ainda um pouco maior (leopardo, girafa), e ... nenhum motivo se

for demasiado grande (elefante).

• Os Sismos

Parece existir uma necessidade humana de descrever os fenômenos naturais em termos matemáticos.

Talvez isto se deva ao fato de pretendermos descobrir métodos através dos quais

possamos ter algum controlo sobre a natureza – nomeadamente, por meio da previsão. É

o que se passa com os tremores de terra.

À primeira vista, parece pouco usual relacionar os sismos com os logaritmos, mas o

método utilizado para medir a intensidade de um tremor de terra estabelece essa relação.

A escala de Richter foi concebida em 1935 e mede a magnitude de um sismo calculando

a quantidade de energia libertada no epicentro.

Trata-se de uma escala logarítmica e, por isso, sempre que um valor nessa escala aumenta 1 unidade, a

amplitude da curva sismo gráfica aumenta 10 vezes e a energia libertada pelo sismo aumenta cerca de

30 vezes.


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• As bolas de Sabão

Que tipo de conceitos matemáticos poderá estar relacionado com as bolas de sabão? Os efeitos que as

películas de água de sabão formam são determinados pela tensão

superficial. Esta tensão diminui, tanto quando possível, a área da

superfície. Consequentemente, cada bola de sabão contém uma certa

quantidade de ar de maneira a que a área da superfície, para esse

volume, seja minimizada. Este fato explica a forma esférica das bolas

isoladas, enquanto num conjunto de bolas ligadas, como na espuma,

têm uma forma diferente. Na espuma, as arestas das bolhas fazem ângulos de 120°, no que se designa

por junções triplas. Essencialmente, uma junção tripla corresponde ao ponto onde se unem três

segmentos de reta, sendo de 120° a medida da amplitude de cada um dos ângulos da intersecção. Vários

outros fenômenos naturais apresentam junções triplas que corresponde a pontos naturais de equilíbrio.

Alguns exemplos são as escamas de um peixe, o interior de uma banana, a formação de grãos de cereal

e as placas da carapaça da tartaruga.

• Desintegração radioativa:

Uma porção de substância radioativa desintegra-se espontaneamente, segundo uma lei de decrescimento

exponencial dada pela expressão kt0emm −= onde m0 é a massa inicial (a massa no instante t = 0), k é

uma constante positiva de proporcionalidade que depende da substância radioativa em causa, t é o tempo

expresso em anos e e é o Número de Neper.

Um conceito importante no estudo da desintegração radioativa é o de "vida-média" de uma substância,

que se define como sendo o tempo necessário para que a sua massa inicial se reduza a metade e se

represente por T.

Através de cálculos adequados, chega-se à fórmula: -kteœ = que, mediante a substituição da constante K

pelo valor que ela tem para cada substância, permite determinar a vida média T dessa substância

radioativa.

Podemos assim saber que a vida média do rádio (elemento químico radioativo descoberto em 1899), pelo

célebre casal Curie) é de 1590 anos.


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• As ondas da praia

Nós vemos uma diversidade de ondas na nossa experiência diária. As ondas eletromagnéticas trazem a

televisão e o rádio até às nossas casas, as ondas de ultra-sons são usadas para acompanhar através de um

ecrã o crescimento de um bebe no útero da mãe, e uma variedade de

ondas na superfície dos rios, lagos e oceanos afetam o ambiente costeiro.

Os modelos matemáticos ajudam-nos a compreender estes diversos

fenômenos.

Muitos fenômenos de ondas são caracterizados por uma oscilação

simples, como a de um acenar de mão para cumprimentar. Visto ao longo de um estádio de futebol, uma

onda executada pelos corpos humanos parece propagar-se à volta do estádio, e é assim que as ondas de

som transportam a sua voz através de um quarto.

Um tipo especial de ondas que se podem propagar por longas distâncias sem dispersão significativa, as

ondas solitárias, foi observado pela primeira vez por Scott Russell, em 1844, na superfície de um canal.

Muitas vezes iniciadas por sismos oceânicos, mas também susceptíveis à criação por erro humano,

ondas semelhantes propagam-se pelo oceano à velocidade de um jacto comercial e causam a devastação

quando colidem com a costa. Apelidado de tsunami pelos Japoneses que têm de enfrentar os seus efeitos

destrutivos, estas ondas podem propagar-se sem serem detectadas devido ao seu grande comprimento de

onda e pequena amplitude. Contudo, a diminuição de profundidade junto à linha costeira leva-as a

transformarem-se em ondas gigantescas que podem inundar uma região costeira. A sua forma especial

permite-lhes percorrer grandes distâncias sem se dispersarem tão depressa quanto as outras ondas.

Até recentemente, questões críticas sobre a teoria matemática para a existência de soluções da equação

estavam por resolver, e a solução desta equação estendeu ao limite os recursos dos mais poderosos

computadores. Contudo, os avanços matemáticos tornaram a sua solução uma rotina, permitindo

previsões corretas acerca da evolução das ondas. As primeiras técnicas numéricas para resolver a

equação eram lentas e pesadas. Mas agora, existem várias técnicas eficientes que podem produzir

resultados de confiança.

Não só a teoria matemática das ondas aquáticas nos ajudaram a compreender e a proteger o nosso

ambiente, mas o seu discernimento tem tido também um impacto significativo no desenvolvimento

tecnológico. Embora a onda solitária seja agora bem compreendida, outras ondas da água têm ainda

efeitos misteriosos no nosso ambiente e permanecem objetos de ativa investigação matemática.

A Matemática tem um papel fundamental nos estudos e modelos do ambiente. Matemáticas básicas

– cálculo, percentagens, proporções, gráficos, sucessões, amostras, médias, modelos de crescimento de

populações e probabilidade – todas estão relacionadas com questões atuais e críticas, como a poluição,


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a disponibilidade de recursos, limpeza do meio ambiente, reciclagem, CFC’s e crescimento de

populações.

"Mathematics & the environment" - Joint Policy Board for Mathematics


- 10 -

Aula 1

1. Funções

1.1 - Definição

Uma Relação é um conjunto de pares ordenados (x, y) de números reais. Veja no exemplo abaixo:

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −− 6,0;0

52;38;

23;2 π

Encontramos em nosso cotidiano diversas relações que envolvem grandezas, sendo que o valor que se

obtém para uma delas depende do valor de uma ou mais outras grandezas. Aqui, vamos trabalhar com

situações que relacionem entre si apenas duas grandezas.

Observe os exemplos

a) O valor de imposto a ser pago ( I ) (ISS - Imposto Sobre Serviço) sobre um serviço depende do seu

preço ( p ).

Reflita: Como o valor do Imposto ( I ) depende do preço do Serviço ( p )?

b) O preço a ser pago por uma refeição em um self--service ( P ) depende da quantidade de comida

colocada no prato ( k ).

Reflita: Como o preço a ser pago ( P ) depende do peso ( k )?

c) A receita obtida na venda de uma mercadoria ou serviço ( R ) depende da quantidade vendida dessa

mercadoria ou desse serviço ( q ).

Reflita: Como a receita ( R ) depende da quantidade ( q )?

As letras I, P e R são chamadas de VARIÁVEIS DEPENDENTES, pois seus valores dependem dos

valores de p, k e q.

As variáveis p, k e q recebem o nome de VARIÁVEIS INDEPENDENTES.

As situações descritas nos exemplos acima estabelecem uma relação de DEPENDÊNCIA entre duas

variáveis.

Substituindo, nas frases, a palavra DEPENDE pela palavra FUNÇÃO , temos:

a) O Imposto (I) é FUNÇÃO do seu preço de venda (p);

b) O preço da refeição (P) é FUNÇÃO de seu peso (k);

c) A receita (R) é FUNÇÃO da quantidade vendida (q).


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Simbolicamente, usaremos uma notação que indica a existência de uma relação de dependência entre duas

variáveis.

Notação Interpretação

a ) p ( f I = O imposto ( I ) é função do preço ( p )

b ) k ( f P = O preço ( P ) é função do peso ( k )

c ) q ( f R = A receita ( R ) é função da quantidade( q )

Função é um modo especial de relacionar grandezas.

Logo abaixo vamos observar um gráfico que relaciona o consumo de feijão por habitante em função do

tempo.

1.2. Domínio e Imagem

Podemos agrupar as variáveis independentes e dependentes em dois conjuntos distintos.

1.2.1 Domínio - Conjunto A

É o conjunto formado pelas DIFERENTES quantidades q que podem ser vendidas de uma determinada

mercadoria ou serviço. Este conjunto formado pelas possíveis quantidades q (variáveis independentes)

recebe o nome de DOMÍNIO.

0 86 90 93 94 95

23 22 20 18 16 •

••

••


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Domínio – Variáveis Independentes

Variáveis Independentes = Quantidades Vendidas

1.2.2 Imagem - Conjunto B

O conjunto formado pelas diferentes RECEITAS obtidas da venda de possíveis QUANTIDADES de

mercadorias ou serviços recebe o nome de CONJUNTO IMAGEM.

A Receita recebe o nome de variável dependente (R), pois seus valores dependem das quantidades

vendidas (variáveis independentes).

Imagem – Variáveis Dependentes

Variáveis Dependentes = Receitas Obtidas

O uso das letras x e y.

• x é a variável independente da função.

• Domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de x.

• y é a variável dependente da função.

• Imagem é o conjunto de todos os valores possíveis de y, isto é, todos os valores gerados pela

função por cada um dos valores do domínio.

• Um conjunto de dois números reais em uma determinada ordem forma um par ordenado.

Então o que é uma função?

Uma função é um conjunto de pares ordenados de números (x,y), no qual dois pares distintos não têm o

primeiro número do par em comum.

R1

R2 R3

R4

q1

q2 q3

q4


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Sejam os conjuntos A = a, b,c, d e B = e, f, g, h, i e as relações binárias R1, R2, R3, R4, R5 vamos

analisar cada uma delas:

a) i) (c, h), (b, g),(a, R1 =

O domínio da relação é D(R) = a, b, c A≠ e a imagem é o conjunto Im (R1)=g, h, i. O domínio dessa

relação é diferente de A, pois o conjunto A possui o elemento d e a relação R1 tem origem nos elementos

a, b, c. Observa-se, nesse caso, que nem todos os elementos dos conjuntos A (elemento d) e B (elementos

e e f) são usados.

.),/(!),( 11 RyxByRDx ∈∈∃∈∀

( !∃ significa “existe um único”)

b) i) (d, h), (c, g), (b, e), (b, f), (a, R2 =

O domínio da relação é D(R2) = a, b, c, d = A e a imagem é o conjunto Im(R2) = e, f, g, h, i = B. O

domínio dessa relação é igual a A, pois todos os elementos de A são originários da relação R2. Observa-

se, nesse caso, que todos os elementos dos conjuntos A e B são usados. O elemento b do conjunto A tem

duas imagens (e e g).

22 ),/(),( RyxByRDx ∈∈∃∈∀ ,

mas não é imagem única, pois (b , e) 2R∈ e (b, g) 2R∈ .

c) g) (d, i), (c, e), (b, f), (a, R3 =

O domínio da relação é D(R3)= a, b, c, d = A e a imagem é o conjunto Im(R3) = e, f, g, i. O domínio

da relação R3 é igual a A. Observa-se, nesse caso, que os elementos do conjunto A são todos usados e o

elemento h, do conjunto B, não é utilizado.

33 ),/(!),( RyxByRDx ∈∈∃∈∀ .

d) f) (d, g), (c, h), (b, i), (a, R4 =

Relação

Função


- 14 -

O domínio da relação é D(R4) = a, b, c, d = A e a imagem é o conjunto Im(R4)=f, g, h, i. O domínio

da relação R4 é igual a A. Observa-se, nesse caso, que os elementos do conjunto A são todos usados e os

elementos do conjunto B não são utilizados.

.),/(!),( 44 RyxByRDx ∈∈∃∈∀

g) (d, g), (c, g), (b, g), (a, R5 =

O domínio da relação é D(R5)= a, b, c, d = A e a imagem é o conjunto Im (R5)=g. O domínio da

relação R5 é igual a A. Observa-se, nesse caso, que os elementos do conjunto A são todos usados e

somente o elemento g do conjunto B é utilizado.

.),/(!),( 55 RyxByRDx ∈∈∃∈∀

As relações R3, R4, R5 apresentam a particularidade de, para todo elemento de A, associar um único

elemento de B. Essas relações recebem o nome de aplicação de A em B ou função definida em A com

imagens em B ou, simplesmente, função de A em B.

1.3 Definição Formal

Dados dois conjuntos ℜ⊂ B A, , não-vazios, uma relação f de A em B recebe o nome de aplicação de A

em B ou função definida em A com imagens em B ou, simplesmente, função de A em B se, e somente se,

para todo elemento x de A existir um único elemento y em B, tal que .f y) (x, ∈

Notação:

f é função de A em B .),/(!, fyxByAx ∈∈∃∈∀⇔

Como toda função é uma relação binária de A em B, existe, geralmente, uma sentença aberta y = f(x) que

expressa a lei de correspondência entre os elementos dos dois conjuntos.

Para indicarmos uma função f, definida em A com imagens em B, segundo a lei de correspondência

f(x)y = , usamos a notação:

yxfxBAf

=ℜ⊂→ℜ⊂

)(:a

Por motivo de simplificação, muitas vezes usamos somente a lei de correspondência, y=f(x), para

indicar a função, ficando claro que ℜ⊂∈ Ax e ℜ⊂∈ By , sendo f uma função de A em B.

Exemplos:

1) xyxfx

BAf7)(

:==

ℜ⊂→ℜ⊂a

2) 42

1)(

:

+==

ℜ⊂→ℜ⊂

xyxfx

BAf

a

3) 1)(

:3 −==

ℜ⊂→ℜ⊂

xyxfxBAf

a 4)

8)(

:

−==

ℜ⊂→ℜ⊂

xyxfx

BAf

a


- 15 -

Observações:

x é denominada variável independente da função (varia sem depender de nenhuma outra variável).

y é chamada variável dependente da função (como f(x)y = , temos que y depende da variável x).

Seja )x(fy = uma função. Definimos AD(f) = como o domínio, BCD(f) = , o contradomínio e

B)f(CD Im(f) =⊂ , o conjunto imagem da função f.

Como a função é uma relação, esse conceito é uma extensão do anterior. Para determinarmos o domínio

(leia “o maior domínio”) de uma função, estaremos procurando qual o maior conjunto possível ℜ⊂A

que satisfaça a lei de correspondência definida (lembrete: para termos uma função, todos os elementos

do conjunto A têm de estar associados a um elemento em B).

Exemplos:

Seja )x(fy = uma função. Vamos determinar o (maior) domínio das seguintes leis de correspondência:

a) 7x y f(x) ==

Nesse caso, não existe nenhum valor de x ℜ∈ que não possa ser multiplicado por 7. Logo, qualquer x

ℜ∈ terá um valor ℜ∈y associado a ele. Daí,

D(f)=A= ℜ .

b) 4x2

1)x(f+

= . Como a divisão por zero é impossível, 2x + 4 0≠ . Temos, então, que x .2−≠ Logo,

D(f)= A = .2−−ℜ

c) 1-x y 3= . Da mesma forma que no exemplo da letra (a), não existe nenhuma restrição para x. Então,

D(f)= A= .ℜ

d) 8x f(x) −= . Sabe-se que só existe raiz de índice par (no caso 2) de números positivos ou iguais a

zero. .8x08x ≥⇒≥− Daí, D(f) = A = [8, ).∞+

Observação:

Uma função f com valores em ℜ só está bem definida quando sabemos seu (maior) domínio e sua lei

de correspondência.


- 16 -

Exemplo

senxy =

ℜ=)f(D

11|)Im( ≤≤−ℜ∈= yyf

1.4 Gráfico de uma função:

Dada a função )x(fy = , construir seu gráfico é representar, no sistema cartesiano ortogonal (ou plano

x y), o conjunto de pontos )x(fy e Ax/)y,x( =∈ .

Faremos, agora, alguns exemplos apenas como ilustração.

Exemplos:

Construir os gráficos das funções:

1) 2xy)x(f == . O gráfico dessa função é uma reta, onde D(f) = ℜ e Im(f) = .ℜ

2) 2xy

2

= . O gráfico dessa função é uma curva chamada parábola, onde D(f) = ℜ e Im (f) = ℜ +.

3) )x(fy = , onde ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤<−

−≤−=

1x,21x1,1

1x,2)x(f . O gráfico dessa função é um conjunto de retas, ou seja, para

valores de x 1−≤ , o valor da função é -2; para valores de x entre -1 e 1, o valor da função é 1; e para

valores de x > 1, o valor da função é 2, podendo ser visualizado no gráfico ( esboce!), onde D(f) = ℜ e

Im (f) = -2, 1, 2.


- 17 -

1.4.1 Sistema Cartesiano

Par Ordenado e Plano Numérico

Um conjunto de dois números reais em uma determinada ordem forma um par ordenado.

Exemplos: )y;x( ),53;2( ,)2;1( −−

O conjunto de todos os pares ordenados, formados por números reais, chama-se Plano Numérico, 2lR .

Cada par ordenado (x, y) denomina-se Ponto do Plano Numérico.

A distância entre )y ,(xP e )y ,(xP 222111 é dada por 212

21221 )yy()xx(PPD −+−==

Essa distância é chamada de distância euclidiana.

Veja o exemplo

O Payssandu Sport Club está precisando contratar um volante. Seu “olheiro” recebeu uma fita de vídeo da

atuação de um jogador do Juiz de Fora Sport Club em um jogo contra o Cruzeiro no estádio do Mineirão.

P1

D=?

P2

12 yy −

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

( ) ( )21y2y21x2x2D −+−=

4 34 21

12 xx

−

x

y

1o Quadrante

ordenada

abscissa

(x,y) 2o Quadrante

4o Quadrante 3o Quadrante

Sejam P1 e P2 dois pontos em R2 representados

pelos pares ordenados (2 ; 6) e (4 ; 10),

respectivamente, encontre a distância entre eles.

Sugestão: Lembre-se do Teorema de Pitágoras.

Em um triangulo retângulo, a soma dos

quadrados de seus catetos é igual ao quadrado

de sua hipotenusa.


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Nesse jogo, o volante fez diversos lançamentos para o centroavante de seu time, deixando-o cara a cara

com o goleiro adversário. O lance que mais chamou a atenção dos dirigentes do Payssandu foi um

lançamento, em profundidade, que resultou em um belíssimo gol para o Juiz de Fora.

Com auxílio de recursos computacionais, determinou-se que o volante estava a 20 metros da linha de

fundo do gol de seu time e a 15 metros da linha lateral esquerda do campo. O passe foi recebido pelo

centroavante de seu time, que estava localizado a 70 metros da linha de fundo do gol de seu time e a 40

metros da linha lateral esquerda do campo.

Você saberia calcular o comprimento do passe feito por esse jogador?

Esquema de Lançamento Cálculo da Distância

2yyy

2xxx 21

m21

m+

=+

=

1

20

40

70

volante

centroavante

P1

P2

y

x

15

P1

P2

Pmédio

m90,553125

)50()25(

)2070()1540(

)yy()xx(PPD

22

22

212

21221

==

+=

−+−=

−+−==

Ponto Médio

As coordenadas do ponto médio são dadas pela média

aritmética das coordenadas dos pontos extremos do

segmento de reta


- 19 -

Aula 2

2. Funções do 1º grau

Objetivo: Trabalhar com a reta sob várias formas de apresentação.

Definição 1: Sejam ℜ∈ba, , com .0a ≠ Chama-se função polinomial do 1º grau a função

baxyxfxBAf

+==ℜ⊂→ℜ⊂

)(:a

.

Observação:

O domínio de uma função polinomial do 1º grau é .ℜ

Exemplos:

Seja yxfxBAf

=ℜ⊂→ℜ⊂

)(:a

.

1) f(x) = y = 3x + 15, onde a = 3 e b = 15.

2) f(x) = y = -7x, onde a = -7 e b = 0.

2.1. Função Constante:

Definição 2: Seja baxy += . Se, particularmente, a = 0, essa função polinomial se torna de grau zero e é

chamada função constante.

Observações:

O domínio da função é o conjunto ℜ e a imagem da função, o conjunto b. Seu gráfico é uma reta

paralela ao eixo x, passando pelo ponto (0, b).

Exemplo:

Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função 6y = .

Resolução:

Como o valor da função é 6, independente do valor de x, o domínio é ℜ e a imagem, 6.

Gráfico:

x

y

6


- 20 -

2.2. Função Identidade

Seja a função baxy += . Se a = 1 e b = 0, a função se torna xy = , e é chamada função identidade.

Observações:

Essa função tem uma importância muito grande para o estudo de outras funções. Seu gráfico é uma reta

que contém as bissetrizes do 1º e 3º quadrantes e Im(f) = .ℜ

2.3. Função Linear

Seja a função baxy += . Se 0≠a e b = 0, a função se torna axy = , e é chamada função linear.

Exemplos:

1) f(x) = y = 3x, onde a = 3.

2) f(x) = y = -5x, onde a = -5.

3) f(x) = y= -x, onde a = -1.

4) f(x) = y = 32x , onde a =

32 .

Observações:

A função identidade é um caso particular de função linear, onde a = 1.

O gráfico de uma função linear é uma reta que passa pela origem.

D(f) = ℜ e Im(f) =ℜ .

Gráfico é uma reta que passa pela origem, basta determinar outro ponto além de (0, 0).

Exemplo:

f(x) = y = 3x.

Solução:

Como o gráfico é uma reta que passa pelo ponto (0, 0), determina-se um segundo ponto pertencente a essa

função, por exemplo, (para x = 1 o valor da função é y = 3.1= 3) o ponto (1, f(1)) = (1, 3) e, unindo esses

x

y


- 21 -

dois pontos, obtém-se o gráfico:

2.4. Função Afim

Definição 5: Seja a função baxy += . Se a 0≠ , ela é chamada função afim.

Exemplos:

1) f(x) = y = 3x -5, onde a = 3 e b = -5.

2) f(x) = y = -2x + 3, onde a = -2 e b = 3.

3) f(x) = y = 2− x, onde a = 2− e b = 0.

4) f(x) = y = x, onde a= 1 e b = 0.

Observações:

As funções identidade e linear são casos particulares da função afim.

O gráfico de uma função afim é uma reta inclinada.

D(f) = ℜ e Im (f) = ℜ .

A função afim é também denominada função do 1º grau. Para esboçar seu gráfico, que é uma reta, basta

determinar dois pontos da função.

x

y


- 22 -

Exemplo:

1) Seja xy = . Determine o domínio, imagem e esboce o gráfico da função, sendo: 6. - 3x f(x) y ==

Solução:

Como o gráfico é uma reta, determina dois pontos dessa curva:

x 0 2

y = f(x) 3.0 – 6 = -6 3.2 – 6 = 0

Unindo esses dois pontos, temos o gráfico:

D(f) = ℜ e Im (f) = ℜ .

2 ) 6 2x- f(x) y +==

Solução:

Como o gráfico é uma reta, determina dois pontos dessa curva:

x 0 3

y = f(x) 6 0

Esboce o gráfico.

- 6

2 x

y


- 23 -

3) 7 2x (x) f y +==

Solução:

Como o gráfico é uma reta, determinemos dois pontos dessa curva:

x 0 -1

y = f(x) 7 5

Unindo esses dois pontos, esboce o gráfico.

4) Dada a função 1 - 3x f(x) y == , calcular:

a) f(4) b) 1) f(2x +

Solução:

a) 11 = 1 - 12 = 1 - 3.4 = f(4) 1 - 3x = f(x) ⇒

b) 2. + 6x = 1 - 3 + 6x = 1 - 1) + 2x ( 3. = 1) + f(2x 1 - 3x = f(x) ⇒

5) Seja 9 4x - 7) f(2x +=+ . Determinar f(-5) .

Solução:

2x + 7 = -5 ⇒ 2x = -12 ⇒ x = -6

Assim, f(-5) = -4.(-6) + 9 = 24 + 9 = 33.

6)Seja 5 - 2x 8)- f(x = . Determine, em função de x, 1) f(4x + .

Solução:

Seja w = x – 8 ⇒ x = w + 8.

Assim, f(x – 8) = f(w) = 2. (w + 8) – 5 = 2w + 16 – 5 = 2w + 11.

Logo, f(x) = 2x + 11.

Daí, f(4x + 1) = 2.(4x + 1) + 11 = 8x + 2 + 11 = 8x + 13.


- 24 -

01

01

xxyytgm

−−

== α

Aula 3

3. Coeficientes e zero da função afim

Seja baxy += uma função afim. O número real a é denominado coeficiente angular ou declividade da

reta e o número real b é dito coeficiente linear.

Observação: O coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y, ou seja, (0, b).

Seja baxy += ou y = mx + n Chama-se zero ou raiz da função do 1º grau ao valor de x para o qual f(x)

= y =0.

Assim, f(x) = y = 0 ⇒ ax + b = 0 ⇒ ax = - b ⇒ x = ab− , isto é, o zero ou raiz de uma equação de 1º grau

é o ponto .0, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

ab

Graficamente falando, o zero de uma função do 1º grau é o ponto onde a reta corta o eixo das abscissas.

Função de 1º Grau: f: nmxy|:f +=ℜ→ℜ

3.1. Exercícios:

1)Determinar a equação da reta que passa pelo ponto (2, 1) e tem coeficiente angular igual a 3.

2)Determinar a equação da reta que passa pelo ponto (-3, -1) e tem coeficiente linear igual a 1.

3) Calcule o zero da função f(x) = -7x + 2.

4)Determinar o ponto (x, y) em que o gráfico da função f(x) = 32

5−

x corta o eixo x.

m é o coeficiente angular da reta

n é o coeficiente linear da reta (x = 0, y = n)

x

y

α x0

y0

x1

y1

α n


- 25 -

3.2. Funções crescentes e decrescentes

A função )x(fy = é crescente em um intervalo AI ⊂ se, ,, 21 Ixx ∈∀ se ).()( 2121 xfxfxx <⇒<

A função )x(fy = é decrescente em um intervalo AI ⊂ se, ,, 21 Ixx ∈∀ se )()( 2121 xfxfxx >⇒< .

Exemplo:

Seja a função )x(fy = cujo gráfico é:

f é crescente em ).,(),( 210 xxx ∪−∞ f é decrescente em ).,(),( 210 +∞∪ xxx

A função afim baxy += é crescente (decrescente) se, e somente se, o coeficiente angular for positivo

(negativo), isto é, se, e somente se, a>0 (a<0).

Exemplos:

a) Seja f(x) = y = 5x - 3.

Solução:

É uma função crescente, pois a = 5 > 0. Esboce o gráfico.

b) Seja f(x) = -2x + 7.

Solução:

É uma função decrescente, pois a = -2 < 0. Esboce o gráfico.

c) Determine p para que a função f(x) = (2p + 3) x + 2 seja decrescente.

Solução:

Para que uma função seja decrescente, o coeficiente angular tem de ser negativo. Logo, 2p + 3 < 0

.23−

<⇒ p

c) Seja a função f(x) = y = 3x + 4. Analise a função e esboce seu gráfico.

Solução:

É uma função linear crescente, pois o coeficiente angular é positivo. O domínio e a imagem da função é o

conjunto dos números reais. Esboce o gráfico!

x0

x1

x2

x

y


- 26 -

d) Seja a função f(x) = y = 321

−x . Analise a função e esboce seu gráfico.

Solução:

É uma função linear crescente, pois o coeficiente angular é positivo. O domínio e a imagem da função é o

conjunto dos números reais. Esboce o gráfico!

3.3. Sinais de uma função

Seja a função )x(fy = . Para que valores de x se tem f(x) > 0, f(x) = 0 ou f(x) < 0?

Resolver essa questão é estudar o sinal da função.

Para saber quando f(x) > 0 se determina os valores de x, onde y > 0, ou seja, os valores de x em que o

gráfico está acima do eixo x.

Para saber quando f(x) = 0 se deve determinar as raízes da função, ou seja, os valores de x onde o gráfico

corta esse eixo.

Para saber quando f(x) < 0 se determina os valores de x onde y < 0, ou seja, os valores de x onde o gráfico

está abaixo do eixo x.

Exemplo:

Conclusão:

f(x) = 0 ax =⇔ ou x = b ou x = c ou x = d ou x = e.

f(x) > 0 ⇔ x < a ou c < x < d ou d < x < e.

f(x) < 0 ⇔ a < x < b ou b < x < c ou x > e.

Quando fala-se, especificamente, da função afim baxy += , considerando-se que o zero da função

0 f(x) = seja x = ab− , pode verificar que:

a) Se a função for crescente, isto é, se a > 0:

+ + - - - - - - - -

x

y

a

b

c d e

+ + + + + + +


- 27 -

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−<⇔−<⇔<+=

−>⇔−>⇔>+=

abxbaxbaxxf

abxbaxbaxxf

0)(

0)(

b) Se a função for decrescente, isto é, se a < 0:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−>⇔−<⇔<+=

−<⇔−>⇔>+=

abxbaxbaxxf

abxbaxbaxxf

0)(

0)(

Exemplos:

a)Estudar o sinal da função f(x) = 4x – 5.

Solução:

Para se estudar o sinal de uma função, deve-se, inicialmente, determinar o (s) valor (es) de x que anula

(m) a função, ou seja, fazer f(x) = 0, que é o ponto que a função corta o eixo x.

f(x) = 0 ⇒ 4x – 5 = 0 ⇒ x = 45 .

Deve-se, então, verificar qual o sinal da função à direita e à esquerda desse ponto. Considere à direita o

ponto x = 2 (pois 2 > )45 . Substituindo x = 2 na expressão y = 4x – 5, tem-se y = 4.2 – 5 = 3, que é um

ab−

- - - - - -+ + + + + + +

+ + + + +

ab−

- - - - - -


- 28 -

número positivo. Pode-se, então, afirmar que, à direita de x = 45 , a função é positiva.

Do mesmo modo, toma-se um valor à esquerda de x = 45 , por exemplo, x = 0 (pois 0 <

45 ). Substituindo

na expressão y = 4x – 5, tem-se y = 4.0 – 5 = -5 que é um número negativo. Pode-se, então, afirmar que à

esquerda de x = 45 , a função é negativa.

Também poderia ser visto usando-se o coeficiente linear positivo. Como a = 4 > 0, a função é crescente e:

Assim,

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>>

==

<<

45x,0)x(f

45x,0)x(f

45x,0)x(f

b) Estudar o sinal da função f(x) = y = -4x + 5.

Solução:

f(x) = 0 45054 =⇒=+−⇒ xx .

Como a = -4 < 0, a função é decrescente e:

Assim,

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

><

==

<>

45x ,0f(x)

45x ,0f(x)

45x ,0 (x)f

- - - - - - - - + + + + + + + +

45

x

+ + + + + + + - - - - - - - - -

45

x


- 29 -

c) Para que valores de ℜ∈x , a função f(x) = y = 7x + 5 é negativa?

Solução:

f(x) < 0 ⇒ 7x + 5 < 0 ⇒ x < -75 .

3.4. Equação de uma reta

Toda reta está associada a uma equação da forma ax + by + c = 0, chamada equação geral da reta, onde

a, b, c são números reais, a 0≠ ou b 0≠ e (x, y) representa um ponto genérico da reta.

Determina-se a equação de uma reta a partir de algumas situações.

1) Dois pontos

A equação da reta que passa pelos pontos (x1, y1) e (x2, y2) é dada por:

12

12

1

1

xxyy

xxyy

−−

=−− ou )( 1

12

121 xx

xxyyyy −

−−

=−

Exemplo:

1) Determine a equação da reta que passa pelos pontos (4, 3) e (-3, 2).

Solução:

(x1, y1) = (4, 3) ⇒ x1 = 4 e y1 = 3.

(x2, y2) = ( -3, 2) ⇒ x2 = -3 e y2 = 2.

717

7)4(

713

71

43

4332

43

+=⇒−=−⇒=−−

⇒−−

−=

−− xyxy

xy

xy .

O coeficiente angular (ou declividade) é .71 Esboce o gráfico!

2) Um ponto e o coeficiente angular

A equação da reta, que passa por um ponto (x1, y1) e tem coeficiente angular m, é dada por:

y – y1 = m (x – x1).

Exemplo:

Determine a equação da reta que passa pelo ponto (4, 2) e tem coeficiente angular m = 56 .

Solução:

(x1, y1) = (4, 2) ⇒ x1 = 4 e y1 = 2 e m = 56 .

y – 2 = 56 (x -4)

514

56

−=⇒xy .

Esboce o gráfico!


- 30 -

3.5. Retas paralelas e perpendiculares

Dadas às retas y1 =m1x + b1 e y2 = m2x + b2, tem-se as seguintes definições:

Definição 1: Duas retas, não verticais, são paralelas se, e somente se, elas têm o mesmo coeficiente

angular, isto é, m1 = m2.

Definição 2: Duas retas, não verticais, são perpendiculares se, e somente se, seus coeficientes angulares

são simétricos e inversos, isto é, m1= 2

1m− .

Exemplos:

1)As retas y1 = 3x + 2 e y2 = 3x -2 são paralelas (o coeficiente angular das duas é 3). Esboce o gráfico!

2)As retas y1 = 3x + 2 e y2 = 231

+− x são perpendiculares (os coeficientes angulares são 3 e -

31 ). Esboce

o gráfico!

3)Determinar a equação da reta, perpendicular à reta y = 4x + 5, que passa pelo ponto (1, -3).

Solução:

O coeficiente angular da reta dada é m1= 4. Logo, o coeficiente angular da reta perpendicular à reta dada é

41 - =

m1 - =m

12 .

A equação da reta, que passa por um ponto (x1, y1) = (1, -3) e tem coeficiente angular m = 41− dado, é:

y – y1 = m (x – x1) ⇒ y + 3 = )1(41

−− x ⇒ y=

411

41

−− x . Esboce o gráfico!

3.6. Interseção entre duas retas

A interseção entre duas retas é o ponto onde as retas se interceptam, se existir tal ponto.

1y

2y

Interseção entre as retas

x

y


- 31 -

Exemplo:

Dadas as retas y1 = 3x + 1 e y2 = -4x + 1, a interseção entre elas é o ponto do plano onde y1= y2, ou seja:

3x + 1 = - 4x + 1 ⇒ 7x = 0 ⇒ x = 0 ⇒ y = 1.

(pode-se substituir em qualquer das equações, já que o ponto é a interseção de ambas).

Daí, o ponto (0, 1) e a interseção das duas retas. Esboce o gráfico!


- 32 -

Aula 4

4. Tipos de Função

Objetivo: Estudar vários tipos de função e seus respectivos gráficos: funções par e ímpar, função x3,

funções recíproca e máximo inteiro. Introduzir os conceitos de função composta, funções injetora,

sobrejetora e bijetora e funções inversas e simétricas.

4.1. Função par e função ímpar.

Seja )x(fy = .

Definição 1: Chama-se função par aquela em que f(x) = f(-x). Geometricamente, o gráfico de uma

função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas (y).

Definição 2: Denomina-se função ímpar aquela em que f(x) = - f(-x). Geometricamente, o gráfico de

uma função ímpar é simétrico em relação à origem do sistema.

Exemplos:

1) f(x) = y = x4 – 10x2 + 9 é uma função par, pois: f(- x) = (- x)4 – 10 (-x)2 + 9 = x4 – 10 x2 + 9 = f(x).

Esboce e observe graficamente a simetria em relação ao eixo y.

2) f(x) = x5-10x3 + 9x é uma função ímpar, pois: f(-x) = (-x)5 – 10(-x)3 + 9(-x) = -x5 + 10 x3 – 9x = - f(x).

Esboce e observe graficamente a simetria em relação à origem.

3) f(x) = x4 - 4x3 – 7x2 + 10x não é nem par nem ímpar, pois: f(-x) = (-x)4 – 4(-x)3 – 7(-x)2 + 10 (-x) = x4 +

4x3- 7x2 - 10x. Essa expressão não é igual a f(x) nem a (-f(x)). Esboce e observe graficamente como não

há simetria em relação ao eixo y nem à origem.

Função f(x) = x3.

Seja f(x) = x3. Essa função é muito utilizada ao se estudar o cálculo. Serve de exemplo e contra-exemplo

em diversas situações.

Verifique inicialmente, que:

a) D(f) = ℜ .

b) x1 < x2 ⇒ (x1)3 < (x2)3 ⇒ f(x1) < f(x2), o que significa que f é crescente.

c) Im(f) = ℜ , pois 3/, xyxy =ℜ∈∃ℜ∈∀ (ou x = 3 y ).

d) f(-x) = (-x)3 = - x3 = - f(x). Portanto, ela é ímpar (simétrica em relação à origem).

e) Esboce e observe no gráfico a simetria.


- 33 -

Função x1)x(f = ou função recíproca.

Seja f(x) = y = x1 , onde D(f) = *ℜ . Essa função recebe o nome de função recíproca.

A imagem da função é Im(f) = *ℜ .

A função é ímpar, pois f(-x) = )(1 xfx

−=−

, isto é, simétrica em relação à origem.

Seu gráfico é uma hipérbole eqüilátera. Esboce.

4.2. Função Composta

Sejam )x(fy1 = e )x(gy2 = . Chama-se função composta de g e f à função

fog)x)(fog())x(g(f)x(h === .

Observações:

1) A expressão h(x) = (fog)(x) = f(g(x)), se lê: f composta com g ou f círculo g ou, simplesmente,

fog.

2) A composta fog só está definida quando o contradomínio da g é igual ao domínio da f (conjunto

B).

3) Em geral, fog ≠ gof.

Exemplos:

1)Sejam as funções f(x) = x + 1 e g(x) = 2x + 1.

(fog)(x) = f (g(x)) = f (2x + 1) = 2x + 1 + 1 = 2x + 2.

(gof)(x) = g (f(x)) = g(x + 1) = 2(x + 1) + 1 = 2x + 3.

(fof)(x) = f (f(x)) = f (x + 1) = x + 1 + 1 = x + 2.

(gog)(x) = g (g(x)) = g(2x + 1) = 2(2x + 1) + 1 = 4x + 3.


- 34 -

2)Sejam as funções f(x) = x2 – 1 e g(x) = -x + 1.

(fog)(x) = f(g(x)) = f(-x + 1) = (-x + 1)2 – 1 = x2 -2x + 1 – 1 = x2 – 2x.

(gof)(x) = g(f(x)) = g(x2 - 1) = - (x2 – 1) + 1 = - x2 + 1 + 1 = -x2 + 2.

(fof)(x) = f(f(x)) = f(x2 – 1) = (x2 – 1)2 – 1 = x4 – 2x2 + 1 – 1 = x4 – 2x2.

(gog)(x) = g(g(x)) = g(-x + 1) = - (-x + 1) + 1 = x – 1 + 1 = x.

3)Sejam as funções f(x) = x – 6 e g(x) = - x2 + 1.

(fog)(x) = f(g(x))= f(-x2 + 1) = (-x2 + 1) – 6 = -x2 – 5.

(gof)(x) = g(f(x)) = g(x -6) = - (x – 6)2 + 1 = - (x2 – 12x + 36) + 1 = -x2 + 12x – 36 + 1 =

-x2 + 12x – 35.

(fof)(x) = f(f(x))= f(x – 6) = (x – 6) – 6 = x – 12.

4.3. Funções: injetora, sobrejetora e bijetora.

Definição: Uma função yxfxBAf

=ℜ⊂→ℜ⊂

)(:a

pode ser injetora ou injetiva se, e somente se, Axx ∈∀ 21 , se

).()( 2121 xfxfxx ≠⇒≠

Analogamente, se f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.

Exemplos:

a)f(x) = 3x é injetora, pois: ).5()2(1565.32.352

)()(33 212121

ffxfxfxxxx≠⇒≠⇒≠⇒≠

≠⇒≠⇒≠

b)f(x) = x2

1 é injetora, pois: ).3()1(

61

21

3.21

)1(2131

)()(21

21

2121

21

ff

xfxfxx

xx

≠−⇒≠−⇒≠−

⇒≠−

≠⇒≠⇒≠

c)f(x) = x2 não é injetora, pois, por exemplo, se x1 = 2 ≠ x2 = -2, temos que 22 = (-2)2 = 4


- 35 -

.4)()( 21 ==⇒ xfxf

Definição: Uma função )x(fy = pode ser sobrejetora ou sobrejetiva se, e somente se,

.)(/, yxfAxBy =∈∃∈∀ Significa que, para ser sobrejetora, Im(f) = CD(f).

Exemplos:

Seja )x(fy = .

a) f(x) = 3x é sobrejetora, pois: .3)(/, xyxfxy ==ℜ∈∃ℜ∈∀

b) f(x) = x2 não é sobrejetora (se considerarmos o contradomínio como o conjunto dos reais), pois,

por exemplo, se y = -2, não existe x ℜ∈ , tal que f(x) = y = x2.

Definição: Uma função )x(fy = pode ser bijetora ou bijetiva se, e somente se, ela for injetora e

sobrejetora (ao mesmo tempo). Diz-se que uma função é bijetora se ela tem uma relação um a um. Veja o

conjunto a seguir:


- 36 -

4.4. Função inversa

Como toda função é uma relação, podemos determinar a relação inversa de uma função, da mesma

maneira que fizermos com a relação. Essa relação inversa também será uma função, somente quando a

função for bijetora (a inversa também será bijetora).

Exemplos:

a) Neste exemplo, f: BA → , D(f) = A, Im(f) = 6, 7, 8, 9, 11 .B≠

A relação inversa f-1: B AfBfDA =≠→ −− )Im(,)(, 11 não é uma função (o elemento 10 não tem

imagem).

A função f é injetora, pois Axx ∈∀ 21 , se ).()( 2121 xfxfxx ≠⇒≠ Ela não é sobrejetora, pois não existe

x .10)(/ =∈ xfA Logo, não é bijetora.b) Neste exemplo, .)Im(,)(,: BfAfDBAf ==→

A relação inversa AfBfDABf ==→ −−− )Im(,)(,: 111 não é uma função (o elemento 6 tem duas

imagens).

A função f não é injetora, pois para x1= 1 e x2= 2, f(x1) = f(x2). Ela é sobrejetora, pois

.)(/, yxfAxBy =∈∃∈∀ Logo, não é bijetora.

B A 6 7 8 9 10 11

1 2 3 4 5

f-1

A B 1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11

f

6 7 8 9

B A 1 2 3 4 5

f -1

1 2 3 4 5

6 7 8 9

A Bf


- 37 -

c) Neste exemplo, .)Im(,)(,: BfAfDBAf ==→

A relação inversa AfBfDABf ==→ −−− )Im(,)(,: 111 é função. A função f é bijetora, pois ela é

injetora e sobrejetora.

Teorema: Seja f: BA → é uma função. A relação ABf →− :1 é uma função se, e somente se, f for

bijetora.

Definição: Se f: BA → é uma função bijetora, a relação inversa de f é uma função de B em A que

denominamos função inversa de f e indicamos por f-1.

Para determinarmos a função ou relação inversa, temos de explicitar x em relação a y.

Propriedades:

1)D(f-1) = Im(f) = B

2)Im(f-1) = D(f) = A

3)(f-1)-1= f.

Exemplos:

a) f(x) = 3x + 2. Nesse caso, a função f é bijetora com A = B = ℜ . Assim, ela admite uma inversa que é

função.

).y(f3

2yx2yx3 2 3x y 1−=−

=⇔−=⇔+= Daí, a inversa da função f é a função

32yx)y(f 1 −

==− .

b) f(x) = y = (x-1)2.

f(x) = y = (x -1)2 ⇔ ).(11 1 yfyxxy −=+=⇔−= Para essa função, admitir uma inversa que seja

função, temos de limitar o domínio. Assim, 2)1x(y)x(f −== será bijetora e sua inversa será a função

1yx)y(f 1 +==− .

c) f(x) = y = 3+− x

x .

B A6 10 7 8 9

1 2 3 4 5

f -1

1 2 3 4 5

6 10 7 8 9

A B f


- 38 -

f(x) = y = .333

yxxyxyxyxx

=+⇔=+−⇔+−

Colocando x em evidência, temos:

).(1

33)1( 1 yfy

yxyyx −=+

=⇔=+ Assim, 1y

y3x)y(f 1

+==− .

Seja x)y(f 1 =− a função inversa de uma função f. Se trocarmos, nessa função, a variável x por y e a

variável y por x, teremos uma nova função, que chamaremos função simétrica.

A função inversa g de uma função real de variável real f obtém-se de f por uma simetria em relação à recta y=x. Exemplos:

a) Seja .3

2yx)y(f 1 −==− A simétrica dessa função é a função .

32xy)x(g −

==

b)Seja .1yx)y(f 1 +==− A simétrica dessa função é a função 1xy)x(g +== .

c)Seja ( ) .1y

y3xyf 1

+==− A simétrica dessa função é a função .

1xx3y)x(g

+==

Observação:

Chamamos a função g de função inversa da função f.

Geometricamente, os gráficos da função f e da função simétrica g são simétricos em relação à reta f(x) =

y = x.

Exemplos:

a) 2x3y)x(f +== e .3

2xy)x(g −== Esboce os gráficos.

b) 2)1x(y)x(f −== e .1xy)x(g +== Esboce o gráfico.

c)3x

xy)x(f+−

== e .1x

x3y)x(g+

== Esboce o gráfico.


- 39 -

4.5. Exercícios propostos

Determine o domínio e a imagem de cada relação e verifique quais delas são funções.

a)

b)

c)

d)

e)

f)


- 40 -

2) São dados os gráficos de dias relações. Qual destas relações é uma função? Determine o domínio e a

imagem de cada uma.

a) b)

3) Encontre o Domínio de cada uma das funções abaixo:

a) 2x

x)x(f+

=

b) x3)x(g −=

c) 2x

3)x(h+

=

d) 1x

x7)x(k 2 −

−=

e) x33)x(m =

f) x32x

1)x(t −++

=

g) x5)x(u =

4) Sendo f: IR→IRy = x + 2, pede-se:

a) f(-1), f(0), ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

31f , ( )3f , f(-7) e ( )22 −f

b) valores de x para que se tenha f(x) = -2, f(x) = 0 e f(x) = 2

5) Sendo f(x) = x2 – 5x + 6 e g(x) = 2x + 1, encontre o valor de x na equação abaixo:

)0()2(

)2()()1(

ff

gxgf

=−

6) Sabendo que a reta t passa pelos pontos A(1; 3) e B(-3; 1) e a reta r passa pelos pontos C(-2; 5) e

D(2; 1), pede-se:

a) equação da reta t;

b) equação da reta r;

c) A abscissa do ponto de intersecção entre as retas t e r


- 41 -

7) Os registros de temperatura T (T em °F) foram tomados a cada duas horas a partir da meia noite até o

meio dia em Atlanta, na Geórgia, em 18 de março de 1996. O tempo t foi medido em horas após a meia

noite.

t 0 2 4 6 8 10 12T 58 57 53 50 51 57 61

a) Use os registros para esboçar um gráfico de T em função de t.

b) Use o gráfico para estimar a temperatura ás 11 horas da manhã.

8) A população P (em milhares) de uma cidade, de 1984 a 1994, está mostrada na tabela. (São dadas

estimativas intermediárias).

t 1984 1986 1988 1990 1992 1994P 695 716 733 782 800 817

a) Esboce um gráfico de P em função do tempo.

b) Use o gráfico para estimar a população em 1991.

9) Se 4x3x2)x(f 2 −+= , encontre )0(f , )2(f , )2(f , )21(f + , )x(f − , )1x(f + , )x(f2 , e

)x2(f .

Respostas:

1) a) ID(f) = Im (f) = - 2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 b) ID(f) = - 3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 Im (f) = 3

c) ID(f) = 22| ≤≤−ℜ∈ xx Im (f) = 40| ≤≤ℜ∈ yy d) ID(R) = 5 Im (f) = 50| ≤≤ℜ∈ yy e) ID(f) = 50| ≤≤ℜ∈ xx Im (f) = 50| ≤≤ℜ∈ yy f) ID(R) = 40| ≤≤ℜ∈ xx Im (f) = 40| ≤≤ℜ∈ yy São funções: a, b, c, e 2) A relação b é uma função porque a todo elemento do domínio está associado um único elemento

da imagem. ID(a) = ID(b) = 71| ≤≤−ℜ∈ xx Im(a) = Im(b) = 41| ≤≤ℜ∈ yy 3) a) ID(f) =x∈IRx ≠ -2 b) ID(g) =x∈IRx ≤ 3 c) ID(h) = x∈IRx > -2 d) ID(k) = x∈IRx ≠ ±1 e) ID(m) = x∈IRx >0 f) ID(t) = x∈IRx ≤ 3 e x ≠ - 2 g) ID(u) = IR


- 42 -

4) a) f(-1) = 1, f(0) = 2, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

31f =

35 , ( )3f = 23 + , f(-7) = 5,

( )22 −f = 2 b) x = - 4, x = -2 e x = 2 - 2

5) x = 1/2

6) a) t: 25

21

+= xy b) r: 3+−= xy c) 31

=x


- 43 -

Aula 5

5. Função do 2º grau e Função Modular

Objetivo: Definir e encontrar a solução de uma inequação do 2º grau, utilizando conceitos de funções do

2º grau. Definir e construir gráficos da função modular.

5.1. Conceitos iniciais:

Para estudarmos as inequações do 2º grau, precisamos, inicialmente, estudar a função do 2º grau cujo

gráfico é uma parábola.

A função quadrática cbxaxy 2 ++= , a 0≠ , tem as seguintes características:

Concavidade:

Se a > 0, a concavidade está voltada para cima;

Se a < 0, a concavidade está voltada para baixo.

Onde corta o eixo y:

(0, f(0)) = (0, c)

Raízes ou Zeros:

(x, 0) .00)( 2 =++⇒=⇒ cbxaxxf Esse item já vimos na Aula 5, quando falamos em “equação

do 2º grau”. Conclui-se que a

acbba

bx2

42

2 −±−=

∆±−= , isto é,

abx

21∆+−

= e

abx

22∆−−

= .


- 44 -

Como a equação do 2º grau, temos exatamente duas raízes que podem ser:

Reais e distintas, se .0>∆

Reais e iguais, se .0=∆

Complexas conjugadas, se .0<∆

Como o eixo x é um eixo real, significa que:

Corta o eixo em 2 pontos distintos, se .0>∆

Tangencia o eixo x (toca em apenas um ponto), se .0=∆

Não cruza nem toca o eixo x, se .0<∆

Vértice:

- O gráfico da parábola é simétrico em relação à reta que passa pelo vértice. Significa que a abscissa do

vértice é o ponto médio das abscissas das raízes da parábola.

.24

22

222

21

abx

abxa

ba

b

xxxx vvvv −=⇒−

=⇒

∆−−+

∆+−

=⇒+

=

Como o vértice é um ponto da parábola, ele satisfaz a sua equação. Daí,

cabb

abay

abfyxfy vvvv +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⇒−=⇒=22

)2

()(2

ca

ba

bayv +−=24

2

2

2

ay

aacby vv 44

42 ∆−=⇒

−−=


- 45 -

Sinal:

Observação:

Dada a equação f(x) = ax2 + bx + c = 0, sejam x = x1 e x = x2 suas raízes. Daí, x – x1= 0 e x – x2 = 0.

Logo, (x – x1)(x – x2) = 0.

Escreve-se também: f(x) = y = ax2 + bx + c = (x – x1)(x – x2) = 0 1xx =⇔ ou x = x2.

Exemplos:

Seja cbxaxy ++= 2 .

a)f(x) = y = x2 – 4x + 3.

Se f(x) = 0 ⇒ x2 – 4x + 3 = 0 e se tem as raízes:

aacbbx

242

1−+−

= e a

acbbx2

42

2−−−

= .

Como a = 1, b = - 4 e c = 3, as equações se tornam:

11.2

3.1.4)4()4( 2

1 =−−+−−

=x e 31.2

3.1.4)4()4( 2

2 =−−−−−

=x

Daí, f(x) = x2 – 4x + 3 = (x – 1)( x – 3) = 0 ⇒ x – 1 = 0 ou x – 3 = 0 ⇒ x = 1 ou x = 3.

b)f(x) = y = x2 + 2x – 3

Se f(x) = 0 ⇒ x2 + 2x – 3 = 0 e se tem as raízes:

aacbbx

.242

1−+−

= e a

acbbx.2

42

2−−−

= , onde a = 1, b = 2 e c = -3.


- 46 -

Assim,

11.2

)3.(1.4)2(2 2

1 =−−+−

=x e 31.2

)3.(1.4)2(2 2

1 −=−−−+−

=x .

Logo, f(x) = x2 + 2x – 3 = (x – 1) (x + 3) = 0 ⇒ x – 1 = 0 ou x + 3 = 0 ⇒ x = 1 ou x = -3.

5.2. Exercícios Propostos

Encontre a lei que define a função do segundo grau (equação da parábola) nos seguintes casos:

a) A parábola passa pelos pontos A(1; 3) B(-1;9) e C(2; 6)

b) A parábola passa pelos pontos A(0; 0) B(1;3) e C(-1;-5)

c) A parábola passa pelos pontos A(0; -4) B(1;3) e C(-1;3)

d) Corta o eixo Oy em y =2 e passa pelos pontos A(1; 0) e B(-1; 6)

5.3. Resolução de inequação do 2º grau

Chama-se inequação do 2º grau a toda expressão que pode ser reduzida a uma das seguintes formas:

ax2 + bx + c > 0; ax2 + bx + c 0≥ ; ax2 + bx + c < 0; ax2 + bx + c ≤ 0 .

A resolução decorre do estudo da variação de sinal de um trinômio do 2º grau, visto no item anterior.

Exemplos:

a) Estudar seus pontos principais, esboçar seus gráficos e determinar suas imagens:

f(x) = y = x2 – 4x + 3 a = 1, b = -4, c = 3.

Como a = 1 > 0, o gráfico tem a concavidade voltada para cima. Ele corta o eixo y em x = 0.

Fazendo x = 0 em f(x) = x2 – 4x + 3⇒ f(0) = 02 – 4.0 + 3 = 3. Daí, (0,f(0)) = (0, c) = (0, 3).

Como 043.1.4)4(4 22 >=−−=−=∆ acb , existem duas raízes reais e distintas.

As raízes são .32

241.2

4)4(2

=±

=±−−

=∆±−

=a

bx O vértice da parábola é o ponto

).1,2(1.4

4,1.24

4,

2−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

−−=aa

bV A partir do esboce o gráfico, Im(f) = ).,1[ +∞− Como o gráfico

tem a concavidade voltada para cima e possui duas raízes reais e distintas, a função é negativa para

valores de x compreendidos entre as raízes e positiva para os demais valores de x. As raízes

determinadas: 1 e 3.

Logo, f é positiva em ),3()1,( +∞∪−∞ e f é negativa em (1, 3).

b) f(x) = y = 3x2 – 7x + 2. a = 3; b = -7; c = 2.

Como a = 3 > 0, o gráfico tem a concavidade voltada para cima. Ele corta o eixo y em x = 0. Fazendo x =


- 47 -

0 em f(x) = 3x2 – 7x + 2, tem f(0) = 3.02 – 7.0 + 2 = 2.

Daí, (0,f(0)) = (0, c) = (0, 2).

Como ,0252.3.4)7( 2 >=−−=∆ existem duas raízes reais e distintas.

As raízes são 6

573.2

25)7(2

±=

±−−=

∆±−=

abx , isto é:

31

657

1 =−

=x e .26

572 =

+=x O vértice da parábola é o ponto

.1225,

67

3.425,

3.27

4,

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆−−=

aabV Esboce o gráfico e verifique que Im(f) = ).,

1225[ +∞− Como o

gráfico tem a concavidade voltada para cima e possui duas raízes reais e distintas, a função é negativa

para valores de x compreendidos entre as raízes e positiva para os demais valores de x. As raízes

determinadas são: .2,31

Logo, f é positiva em ( )+∞∪⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞− ,2

31, e f é negativa em ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 2,

31 .

c)Resolva as inequação 0432 >+− xx

Considerando f(x) = x2 – 3x + 4, tem que a > 0, então o gráfico tem a concavidade voltada para cima.

Como ,074.1.4)3( 2 <−=−−=∆ não existem reais. Daí, f(x) .,0 ℜ∈∀≥ x

d)Resolva a iniquação produto (x2 – x – 6)(-x2 + 6x – 5) > 0

Sejam f(x) = x2 – x – 6 e g(x) = -x2 + 6x – 5. Queremos determinar, para que valores de x

f(x). g(x) > 0. Primeiro determinaremos as raízes de f(x) e g(x). Para f(x), temos: como

025)6(1.4)1( 2 >=−−−=∆ , existem duas raízes reais distintas.

x = 2

511.2

25)1(2

±=

±−−=

∆±−a

b , isto é: 32

511 =

+=x e .2

251

2 −=−

=x

Como a > 0, f é positiva em ),,3()2,( +∞∪−−∞ f é negativa em (1, 3) e f é nula em -2, 3.

Para g(x), tem:

Como ,016)5)(1(462 >=−−−=∆ existem duas raízes reais e distintas.

246

)1(2166

2 −±−

=−

±−=

∆±−=

abx , isto é: .5

246

2 =−

−−=x Como a < 0, g é negativa em

( ) ),5(1, +∞∪∞− e g é positiva em (1, 5) e g é nula em 1, 5.


- 48 -

As retas tracejadas em x = -2, x = 1, x = 3 e x = 5 indicam que esses valores de x não farão parte da

solução, pois a inequação não poderá ser nula. Assim, S = (-2, 1) ).5,3(∪

5.4. Função definida por várias sentenças

Uma função pode ser dividida em várias sentenças, onde o domínio dela é a união dos domínios das

sentenças.

Exemplos:

a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥<≤−−

−<−=

2,421,23

1,5)(

xxx

xxf

D(f) = ℜ e Im(f) = [-5, 4].

5.5 .Função Modular

Uma função de lR em lR recebe o nome de função modular ou função módulo se, lRx ∈∀ e associarmos

o elemento lRx ∈|| , isto é,

|| xy =

Note que o domínio da função é o conjunto lR e a imagem da função é o conjunto lR+.

-2 1 3 5

+ - - + +f(x)=x2-x-6

g(x)= -x2 + 6x - 5

f(x) . g(x)

- - + + -

- + - + -

x

y


- 49 -

5.6. Exercícios Propostos

Esboce os gráficos:

a) f(x) = y = |-x +7|.

b) f(x) = y = |5x +1|.

c) f(x) = y = |3x + 4|.

d) f(x) = y = |x2 + 3x -10|.

e) f(x) = y = |x -3| + 2.

f) f(x) = y = |x + 5| + x -2.

y

x


- 50 -

Aula 6

6. Função Exponencial e Função Logarítmica

Objetivo: Essas funções são utilizadas em várias funções econômicas, e suas respectivas representações gráficas.

Veja como diferenciar os gráficos das funções logarítmica e exponencial a partir da palma da sua mão direita.

6.1. Função Exponencial

Seja a ℜ∈ , tal que a > 0 e a .1≠ Chamamos função exponencial de base a a função xay)x(f == .

Exemplos:

a) x3 f(x) = b) xx

331y −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= c) x5 f(x) = d) x)5( f(x) = e) x)

25(y =

Observações:

1) a f(x) x= 1 a f(0) 0 ==⇒ , isso significa que o par ordenado (0, 1) pertence a toda função exponencial.

2) Como a > 0 e a 1≠ , então ax > 0, .ℜ∈∀x Daí, Im(f) = *+ℜ (a função exponencial é estritamente

positiva).

3) Como a > 0 e a ,1≠ temos duas possibilidades: a > 1 ou 0 < a < 1.

a) a > 1

).()( 212121 xfxfaaxx xx <⇒<⇒< Daí, f é crescente.

b) 0 < a < 1

).()( 212121 xfxfaaxx xx >⇒>⇒< Daí, f é decrescente.

c) Na representação gráfica da função exponencial, tem-se uma reta horizontal assíntota ( y = 0), que

representa o limite inferior da função.

Exemplos:

a) 13y x −=

D(f) = ℜ . Como 3x > 0, então 1 - 1 -3 y x >= , isto é, ) (-1, Im(f) ∞+= . A função é crescente, pois 1 a > . A

reta assíntota é a reta y = -1. Esboce o gráfico.

b) 753y

x

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=


- 51 -

D(f) = ℜ . Como x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

53 > 0, então 77)

53(y x >+= > 7, isto é, ) (7, Im(f) ∞+= . A função é decrescente,

pois 1 a 0 << . A reta assíntota é a reta y = 7. Esboce o gráfico.

6.2. Função Logarítmica

Definição: Seja a ℜ∈ , tal que a > 0 e a .1≠ Chamamos função logarítmica de base a a função

xlogy)x(f a== .

Exemplos:

a) xlog f(x) 5= b) xlog f(x)31= c) logx xlog f(x) 10 == d) lnx xlog f(x) e ==

Observações:

xa xlog y ya =⇔= . O significado dessa expressão é que a função logarítmica e a função exponencial

são inversas uma da outra.

.01log)1(f x log f(x) aa ==⇒= Isso significa que o par ordenado (1, 0) pertence a toda função

logarítmica.

Como a > 0 e a 1≠ , tem-se duas possibilidades: a > 1 ou 0 < a < 1.

a) a > 1

).()(loglog 212121 xfxfxxxx aa <⇒<⇒< Daí, f é crescente.

b) 0 < a < 1

).()(loglog 212121 xfxfxxxx aa >⇒>⇒< Daí, f é decrescente.

Na representação gráfica da função logarítmica, tem-se uma reta vertical assíntota ( x = 0), que representa

o limite esquerdo ou direito da função quando a mesma for decrescente ou crescente, respectivamente.

Esboce e observe os gráficos das funções:

a) x5 5 y e xlog y == y = log5x e y = 5x

b) xx

51 5

51 =y e x log =y −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ .

Essas funções são simétricas em relação à reta y = x.

Os gráficos de xlogy 9= e xlogy72= . Esboce e observe que os dois gráficos possuem a mesma reta

assíntota x = 0.

A primeira função f é crescente, pois a = 9 já a segunda é decrescente, pois a = 72 .


- 52 -

Esboce os gráficos a seguir, identificando: o domínio e imagem, a reta assíntota, se a função é crescente

ou decrescente.

a) (7x)log f(x) 3=

b) ln(4x) y = .

c) log(7x) f(x) =

d) xlog y61=


- 53 -

Aula 7

7. Exercícios Propostos

1) Resolva em IR as seguintes equações e sistemas de equações:

a) 4822 2n1n =+ ++

b) 2544 yy =+ −

c) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+− 82

1822yx

yx

d) 1)3x(logxlog 44 =−+

e) 0)6x(logxlog.2 22 =+−

f) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−

2xlog2log5xlog3

g) ⎩⎨⎧

=+−=−

1ylog)1x(log164

22

yx

2) Um capital aplicado durante 4 anos produziu um montante igual ao dobro do capital aplicado. Qual é a

taxa de juro anual de aplicação?

3)Carla aplicou R$ 1.500,00 hoje em um banco e vai retirar todo montante de R$ 1715,10 alguns meses

depois. Se a taxa de juro da aplicação dor de 1,5 % ao mês, durante quantos meses o dinheiro deverá ficar

aplicado?

4) Durante quantos meses uma pessoa deve deixar aplicado um capital de R$ 980,00, à taxa de juro de

1,2% ao mês, para pagar um curso que vai lhe custar R$ 1066,00?

5) A população de uma certa espécie em um ambiente limitado, com população inicial igual a 100 e

capacidade para suportar 1000 indivíduos, é te

tP − +=

900100000.100)( , onde t é medido em anos.

a) Faça o gráfico dessa função e estime quanto tempo levará para a população atingir 900 indivíduos.

b) Encontre a inversa dessa função e explique seu significado.

c) Use a função inversa para encontrar o tempo necessário para a população atingir 900 indivíduos.

Compare o resultado com o item a.

6) Esboce o gráfico das seguintes funções:

a) xay = , se ea ,21,2= b) xy

1

10= c) 2xey −= d) xy 2−= e) )ln( xy −= f) )1ln( += xy

g) )ln(xxy =


- 54 -

Respostas:

1) a) n = 3 b) 21

−=y ou 21

=y c) x = 4 r y = 1 d) S = 4

e) S = 3 f) S = 4 g) S = 3, 1

2) i=18,93% 3) n = 9 meses 4) n = 7 meses

5) t P(t) 0 100 1 232 2 451 3 691 4 859

10 999,59

tetP − +

=900100000.100)( 900)( =tP

te− +=

900100000.100900

91000.900100 = + −te

01234,0=−te )01234,0ln(=− t 395,4≅t

6) a)

b)

Através do gráfico percebemos que para a população atingir 900 indivíduos é necessário pouco mais de 4 anos (aproximadamente 4 anos e meio). Abaixo está a resolução algébrica.

Algebricamente encontramos 4 anos e 5 meses aproximadamente

Algebricamente encontramos 4 anos e 5 meses aproximadamente

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

yy = 2^x

y = 0.5^x

y = e^x

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

yy = 10^(1/x)


- 55 -

c)

d)

e) f)

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

yy = e^(-x^2)

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

yy = -2^x

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

yy = ln(-x)

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

yy = ln(x+1)

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

g)


- 56 -

Aula 8

8. Trigonometria

8.1.Introdução – dados históricos:

A palavra trigonometria vem do grego (tri + gonos + metron, que significa três + ângulos + medida) e nos

remete ao estudo dos lados, ângulos e outros elementos dos triângulos.

Os primeiros estudos sobre o assunto são muito antigos. Hiparco, um grandes astrônomo e matemático

grego, já no século II a.C., lança alguns fundamentos de trigonometria ao construir tabelas de números

para cálculos astronômicos, equivalentes às tábuas de senos. Somente no século XVIII, o matemático

suíço Euler conseguiu desvincular a trigonometria da astronomia, transformando-a em um ramo

independente na matemática.

8.2.Arcos e Ângulos:

Seja uma circunferência de centro em 0 e raio r. α é chamado ângulo central e tem a mesma medida do

arco de circunferência que ele determina. Sendo assim, verifica-se que a circunferência toda mede 360º.

Se pode então definir:

1) Grau – é um arco unitário igual a 3601 da circunferência que contém o arco a ser medido.

2) Radiano – é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o

arco a ser medido, isto é, corresponde a π21 da circunferência.

3) Grado – é um arco unitário igual a 4001 da circunferência.

Logo, um ângulo pode ser medido em graus ou radianos. Como existem π2 radianos em um círculo

(lembre-se que o comprimento de uma circunferência é igual a π2 r), se tem as seguintes relações:

ooo 902

;180;3602 ===πππ , e assim sucessivamente.

(π é um número irracional cujo valor é 3,14159...).

0 α

α

0

r


- 57 -

Pode então, por meio de uma simples regra de três, exprimir qualquer ângulo em radianos e vice-

versa.

Exemplos:

1) Exprimir 160º em radianos:

180º - π rad

160º - x rad

Daí, radx9

8180

160 ππ==

2) Exprimir rad6

5π em graus:

radx

rad

o

o

65

180ππ

−

−

Daí, ox 15065180

==π

π

.

8.3.Ciclo trigonométrico

O conceito expresso pela palavra ciclo foi introduzido pelo matemático francês Laguerre. Significa

uma circunferência com uma direção predefinida, isto é, orientada. Pode-se trabalhar nos sentidos

horário ou anti-horário.

O ciclo trigonométrico é um ciclo no sentido anti-horário (sentido positivo); sua origem é o ponto A;

o centro da circunferência coincide com a origem do sistema cartesiano ortogonal; o raio da

circunferência é igual a 1 unidade; os eixos dividem o círculo em 4 quadrantes.


- 58 -

Tem-se os pontos da circunferência A(1,0), B(0, 1), A’(-1, 0) e B’(0, -1).

O comprimento da circunferência é π2 (pois r = 1).

Para cada número real x, associa-se um ponto P na circunferência, da seguinte forma:

a) se x = 0, então P = A;

b) se x > 0, parte-se de A e realiza sobre a circunferência um percurso de comprimento x, no sentido

anti-horário. O ponto final do percurso é o ponto P;

c) se x < 0, faz-se o percurso no sentido horário.

Exemplos:

Associa-se ao número:

Observação:

Verifica-se que é possível associar a cada número real x um ponto P do ciclo trigonométrico. Se o

ponto P é a imagem de um número real x0, então, P é a imagem dos seguintes números:

1º Q 2º Q

3º Q 4º Q

+

x

A

B

A’

2π

π

23π

π2

+

2π

−

-π

23π

−

-

y

B’

Sentido anti-horário


- 59 -

x0 + 2π (x0 mais uma volta)

x0 + 4π (x0 mais duas voltas)

x0 + 6π (x0 mais três voltas)

x0 - 2π (x0 menos uma volta)

x0 – 4π (x0 menos duas voltas)....

Resumindo, P é a imagem dos números x pertencentes ao conjunto:

.,2/ 0 Ζ∈+=ℜ∈ kkxxx π

P

x

y

A

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−

+++

.

..4

2..

.642

0

0

0

0

0

0

ππ

πππ

xx

xxxx


- 60 -

Aula 9

9. Funções Periódicas – Função Seno e Cosseno

Definição

Uma função yxf =)( é dita periódica se existir um número real p > 0, tal que

f(x + p) = f(x), .Ax ∈∀ O menor valor de p que satisfaz a igualdade é chamado período de f.

De maneira simples, pode-se dizer que uma função periódica é aquela cujo gráfico, a partir de certo

instante, se repete. É como se fizéssemos um carimbo com um desenho e carimbássemos uma folha

seguidamente. Esse carimbo é denominado período.

Exemplo:

1) Seja )(xfy = , tal que f(x) = x – n, onde n Ζ∈ e x .n≤ Assim, tem:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

<≤−<≤−<≤−<≤−=−

−<≤−+=−−−<≤−+=−−

=

32 ;321 ;210 ;101 ;0

12 ;1)1(23 ;2)2(

...

)(

xxxxxxxxxxxxxxx

xf

Observe que essa função é periódica (a cada intervalo p, ela se repete) com um período p = 1.

Funções Trigonométricas ou circulares

Considere um ciclo trigonométrico de origem A. Para estudar as funções circulares, dar-se-á “nomes”

aos quatro eixos desse ciclo.

a) ⇒OB eixo dos senos;

b) ⇒OA eixo dos cossenos;

x

y

P F

C G

A E

α

D

B

A’ O

B’


- 61 -

c) ⇒AC eixo das tangentes;

d) ⇒BC eixo das cotangentes.

Assim sendo, define-se:

.)(cot;)(;)cos(;)( BGgAFtgOEODsen ==== αααα

9.1. Função Seno:

Dado um ângulo α e um ponto P da circunferência, associado a α , faz-se a projeção desse ponto no

eixo dos senos ( )OB e encontra o ponto D. A medida ( )OD é o seno de α ou, simplesmente, sem(α ).

Assim, verifica que: Pode-se então, escrever:

α P Projeção no eixo dos senos Sen(α ) α Sen(α )

0 P = A 0 000 = 0 0

2π P = B B 1=OB

2π 1

π P = A’ 0 100 −= π 0

23π P = B’ B’ 1' −=OB

2

3π -1

2π P = A 0 000 = π2 0

Propriedades:

a) Como a projeção do ponto P está no círculo trigonométrico, e este tem raio igual a 1, a imagem da

função seno é o intervalo [-1, 1], isto é, -1 1)( ≤≤ αsen (significa que essa função é limitada).

b) Nos 1º e 2º quadrantes, como a projeção de P está acima do eixo x, o seno é positivo;

αA x

y

P

B

D

)(αsen

A’

B’

0 A

y

B

A’

B’

+ +

- -

x


- 62 -

equivalentemente, nos 3º e 4º quadrantes, a projeção está abaixo do eixo x, logo o seno é negativo.

c) Nos 1º e 4º quadrantes, à medida que o ângulo cresce, o seno também cresce; logo a função é

crescente aí. Equivalentemente, nos 2º e 3º quadrantes, o seno é decrescente.

d) Como, a partir de π2 (uma volta inteira no ciclo), o seno se repete, a função é periódica de

período π2 .

Esboce o gráfico da função )()( xsenxf = , chamada senóide. Utilize um software gráfico.

A função seno é uma função ímpar, isto é, sen(-x) = - sen(x) (seu gráfico é simétrico em relação à

origem).

Exemplo:

Esboçar um período da função ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

23 xseny , determinando sua imagem.

Solução:

Primeiramente, sabe-se que -1 1)( ≤≤ αsen , isto é, .1)2

(1 ≤≤−xsen Daí, .3)

2(33 ≤≤−xsen Logo, Im (f)

= [-3, 3].

Tabela dessa função:

α Sen(α )

2x

=α x ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2xsen

x 3. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

2xsen

0 0 0 0 0 0 0

2π 1

2π π 1

π 3

π 0 π π2 0 π2 0

23π -1

2

3π π3 -1

π3 -3

π2 0 2 π π4 0 π4 0

Percebe-se que o período dessa função é π4 ( π4 - 0).

Utilizando a última tabela, esboce o gráfico dessa função.


- 63 -

9.2. Função Cosseno

Dado um ângulo α e um ponto P da circunferência, associado a α , se faz a projeção desse ponto no

eixo dos cossenos ( )OA e encontra-se o ponto E. A medida OE é o cosseno de α ou, simplesmente,

cos(α ).

Verifica-se que: Pode-se, então, escrever:

α P Projeção no eixo dos cossenos cos(α ) α cos(α )

0 P = A A 10 =A 0 1

2π P = B 0 0=OO

2π 0

π P = A’ A’ 1'0 −=A π -1

23π P = B’ 0 0=OO

2

3π 0

2π P = A A 10 =A π2 1

Propriedades:

a) Como a projeção do ponto P está no cálculo trigonométrico, e este tem raio igual a 1, a imagem da

função cosseno é o intervalo [-1, 1], isto é, 1)cos(1 ≤≤− α (significa que essa função é limitada) .

b) Nos 1º e 4º quadrantes, como a projeção de P está à direita da origem, o cosseno é positivo;

equivalentemente, nos 2º e 3º quadrantes, a projeção está à esquerda da origem, logo o cosseno é

negativo.

c) Nos 3º e 4º quadrantes, o cosseno é crescente e nos 1º e 2º quadrantes, ele é decrescente.

d) Como, a partir de 2π (uma volta inteira no ciclo), o cosseno se repete, a função é periódica de

x

y

P

A Cos( )α

α

B

A’

B’

E O x

y

A

B

A’

B’

+

+ -

-


- 64 -

período 2π .

e) D(f) = ℜ .

Esboçar o gráfico da função )cos()( xxfx =a , chamado cossenóide. Utilize um software para traçar

gráficos.

Gráfico da função seno e cosseno:

Nota-se que a função cosseno é uma função par , isto é, cos(-x) = cos(x) (seu gráfico é simétrico em

relação ao eixo das ordenadas).Exemplo:


⎜⎝⎛ −=

42cos

41 πxy , determinando sua imagem:

Solução:

Primeiramente, sabe-se que 1)cos(1 ≤≤− α , isto é, 14

2cos1 ≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −≤−

πx . Tem-se:

.41

42cos

41

41

≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −≤

− πx Assim, Im(f) = [ ]41,

41− .


α cos(α )

42 πα −= x x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

42cos πx

x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

42cos

41 πx

0 1

0 8π 1

8π

41

2π 0

2π

83π 0

8

3π 0

π -1

π 8

5π -1

85π

41

−


- 65 -

23π 0

2

3π 8

7π 0

87π 0

π2 1

2 π 8

9π 1

89π

41

O período dessa função é ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

889 πππ .

Esboce o gráfico, utilizando a última tabela.


- 66 -

Aula 10

10. Função Tangente e Função Cotangente

10.1. Função Tangente

Dado um ângulo α e um ponto P da circunferência, associado a α , estendendo a reta OP até encontrar o

eixo das tangentes ( )AF e encontramos o ponto F. A medida ( )AF é a tangente de α ou, simplesmente,

tg(α ).

α

P

Tg ( )α

O x

y

B

A’

F

B’

x

y

A

B

A’

B’

+

-+

-


- 67 -

Assim, se verifica que: Pode-se, então, escrever:

α P Ponto F tg(α ) α tg(α )

0 P = A A 0=AA 0 0

2π P = B Não Existe Não Exsite

2π Não existe

π P = A’ A 0=AA π 0

23π P = B’ Não Existe Não Existe

23π Não existe

2π P = A A 0=AA π2 0

Repare que, de 0 a 2π ,a tangente vai crescendo até a reta ficar paralela ao eixo das tangentes, o mesmo

acontecendo de π a 2

3π ; de π a 2π , assim como de 0 a

23π (no sentido horário), a tangente é sempre

negativa e vai se tornando cada vez menor, até a reta ficar paralela ao eixo das tangentes também.

Propriedades:

a) Como o eixo das tangentes é tangente ao ciclo trigonométrico, a tg(α ) pode assumir qualquer valor

real, isto é, Im(f) = ℜ (significa que essa função é não limitada).

b) Nos 1º e 3º quadrantes, como o ponto F está acima do ponto A, a tangente é positiva;

equivalentemente, nos 2º e 4º quadrantes, a tangente é negativa.

c) A função é monótona crescente, isto é, cresce em todo o seu domínio.

d) Como, a partir de π , a tangente se repete, a função é periódica de período π .

e) D(f) = .,2

/ Ζ∈+≠ℜ∈ kkxx ππ

Esboçar o gráfico da função )()( xtgxf = , onde A = D(f) = ;2

/ Ζ∈+≠ℜ∈ kkxx ππ , chamado

tangentóide.


- 68 -

Note que a função tangente é uma função ímpar, isto é, tg(-x) = - tg(x) (seu gráfico é simétrico em relação

à origem).

Exemplo:

Esboce um período da função ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

42 πxtgy , determinando sua imagem:

Solução: Primeiramente, sabe-se que Im(f) = ℜ .


α tg(α ) α =x-4π x tg(x -

4π ) x 2.tg(x -

4π )

2π− Não existe

2π−

4π

− Não existe 4π

− Não existe

0 0 0 4π 0

4π 0

2π Não existe

2π

43π Não existe

43π Não existe

Verifica-se, então, que o período dessa função é π .

Utilizando a última tabela, esboce o gráfico.


- 69 -

10.2. Função Cotangente

Dado um ângulo α e um ponto P da circunferência, associado a α , estendemos a reta OP até encontrar

o eixo das cotangentes ( BG ) e encontramos o ponto G. A medida BG é a cotangente de α ou,

simplesmente, cotg(α ).


α P Ponto G cotg(α ) α cotg(α )

0 P = A Não existe Não existe 0 Não existe

2π P = B B 0=BB

2π 0

π P = A’ Não existe Não existe π Não existe

23π P = B’ B’ 0'' =BB

2

3π 0

2π P = A Não existe Não existe π2 Não existe

α

A

x

y Cotg( )α

P

G B

A’ O

D

+

-

-

+x

y

B’


- 70 -

Repare que, de 2π a 0, a cotangente vai crescendo até a reta ficar paralela ao eixo das cotangentes, o

mesmo acontecendo de 2

3π a π (no sentido horário); de 2π a π , assim como de

23π a 2π , a cotangente

é sempre negativa e vai ficando cada vez menor, até a reta ficar paralela ao eixo das cotangentes também.

Propriedades:

a) Como o eixo das cotangentes é tangente ao ciclo trigonométrico, a cotg(α ) pode assumir qualquer

valor real, isto é, Im(f) = ℜ (significa que essa função é não limitada).

b) No 1º e no 3º quadrantes, como o ponto G está à direita do ponto B, a cotangente é positiva;

equivalentemente, no 2º e no 4º quadrantes, a cotangente é negativa.

c) A função é monótona decrescente, isto é, decresce em todo o seu domínio.

d) Como, a partir de π , a cotangente se repete, a função é periódica de período π .

e) .;/)( Ζ∈≠ℜ∈= kkxxfD π

Esboçar o gráfico da função )(cot)( xgxf = , onde A = ,;/)( Ζ∈≠ℜ∈= kkxxfD π chamado

cotangentóide.

Pode-se notar que a função cotangente é uma função ímpar, isto é, cotg(-x) = - cotg(x) (seu gráfico é

simétrico em relação à origem).

Exemplo:


⎜⎝⎛ +=

43cot

52 πxgy , determinando sua imagem:

Solução:

Primeiramente, sabe-se que Im(f) = ℜ .


α cotg(α ) α =3x+4π

x cotg(3x+ 4π ) x

52 cotg(3x +

4π )

0 Não existe 0 12π

− Não existe 12π

− Não existe

2π 0

2π

12π 0

12π 0

π Não existe π 4π Não existe

4π Não existe

Verifica-se, então, que o período dessa função é .3π

Utilizando a última tabela, esboce o gráfico dessa função.


- 71 -

Aula 11

11. Função Secante e Função Cossecante.

Essas duas últimas funções, diferentemente das outras funções trigonométricas, têm um eixo móvel, isto

é, para cada ponto P da circunferência, traçamos a reta tangente a ela no ponto P. Essa reta corta o eixo

dos cossenos no ponto R e o eixo dos senos no ponto S. A medida OR é denominada secante de α , ou

simplesmente sec(α ), e a medida OS é denominada cossecante de α , ou simplesmente cossec(α ).

α

P

A

x

y S

B

sec(α )

Cossec(α )

R

A’

B’

Sec( )α Cossec( )α

x

y

x

y

+

+-

- ++

--


- 72 -


α P Ponto R sec(α ) Ponto S cossec(α ) α sec(α ) cossec(α )

0 P = A A 1 Não existe Não existe 0 1 Não existe

2π P = B

Não

existe Não existe B 1

2π Não existe 1

π P = A’ A’ -1 Não existe Não existe π -1 Não existe

23π P = B’

Não

existe Não existe B’ -1

2

3π Não existe -1

2π P = A A 1 Não existe Não existe π2 1 Não existe

Repare que, de 0 a 2π , a secante vai crescendo até a reta ficar paralela ao eixo dos cossenos, o mesmo

acontecendo de 0 a -2π (no sentido horário); de π a

2π (no sentido horário), assim como de π a

23π , a

secante é sempre negativa e vai se tornando cada vez menor, até a reta ficar paralela ao eixo dos cossenos

também.

Faça essa análise para a função cossecante.

Propriedades:

a) O domínio da função secante é ;2

/)( Ζ∈+≠ℜ∈= kkxxfD ππ e da função cossecante,

.;/)( Ζ∈≠ℜ∈= kkxxfD π

b) Ambas as funções têm como imagem Im(f) = ).1,1(−−ℜ

c) As duas funções são periódicas de período 2π .

Esboçar ao gráfico da função )sec()( xxf = , onde A = ;2

/)( Ζ∈+≠ℜ∈= kkxxfD ππ , chamado

secantóide.

A função secante é uma função par, isto é, sec (-x) = sec(x) (seu gráfico é simétrico em relação ao eixo

das ordenadas).

Esboçar o gráfico da função )sec(cos)( xxf = , onde

A = .;/)( Ζ∈≠ℜ∈= kkxxfD π Chamado cossecantóide.

A função cossecante é uma função ímpar, isto é, cossec(-x) = - cossec (x) (seu gráfico é simétrico em

relação à origem).

Exemplos:


- 73 -

Esboçar um período da função )3

2sec(3 π+= xy , determinando seu domínio e sua imagem.

Solução:


α Sec(α ) α =2x + 3π x Sec(2x +

3π ) x 3 Sec(2x +

3π )

2π

− Não

existe 2π

− 125π

− Não existe 125π

− Não existe

0 1 0 6π

− 1 6π

− 3

2π

Não

existe 2π

12π Não existe

12π Não existe

π -1 π 3π -1

3π -3

23π

Não

existe 23π

127π Não existe

127π Não existe

Verifica-se que o período dessa função é π .

O domínio da função é .;212

/)( Ζ∈+≠ℜ∈= kkxxfD ππ

A imagem da função é Im(f) = )3,3(−−ℜ .

Utilizando a última tabela, esboce o gráfico através de um software.

Esboçar um período da função )6

3sec(cos51 π

−= xy , determinando seu domínio e sua imagem.


- 74 -


α cossec(α ) α =3x - 6π x

51 cossec(3x -

6π )

0 Não existe 0 18π Não existe

2π 1

2π

92π

51

π Não existe π 187π Não existe

23π -1

23π

95π -

51

2π Não existe 2π 18

13πNão existe

Verifica-se, então, que o período dessa função é 3

2π .

O domínio da função é ;318

/)( Ζ∈+≠ℜ∈= kkxxfD ππ .

A imagem da função é Im(f) = )51,

51(−

−ℜ .

Utilizando a última tabela, esboce o gráfico através de um software.


- 75 -

Aula 12

12. Relações Fundamentais

Introdução

Seja o ciclo trigonométrico a seguir:

Por meio, principalmente, de semelhança de triângulos, determina-se as relações das funções

trigonométricas.

a) OPE∆ é um triângulo retângulo de raio 1=OP , )cos(α=OE e EP = sen( )α . Daí, e pelo teorema

de Pitágoras,

1)(cos)( 22 =+ ααsen .

b) OPE∆ e OFA∆

)cos()()(

1)cos(

)()(

αααα

αα sentg

tgsen

=⇒=

E cos( )α O

sen( )α

P

1

A 1

F

tg( )α

α

α

C G

S

B

D

E

F

A

R A’

B’

O

P

x

O


- 76 -

c) OPE∆ e OBG∆

)(1)(cot

)()cos()(cot

)(cot)cos(

1)(

αα

ααα

ααα

tgg

seng

gsen

=⇒=⇒=

d) OPE∆ e OPR∆

)cos(1)sec(

1)cos(

)sec(1

ααα

α=⇒=

e) OPE∆ e OPS∆

O E

sen( )α

P

cos( )α

1

O

B cotg( )α

1

P

1)(αsen 1

)sec(cos α

O

)(αsen

E O

P

1

P

R

1)cos(α

G

O


- 77 -

)(

1)sec(cos)sec(cos

11

)(α

αα

αsen

sen=⇒=

f) Como 1)(cos)( 22 =+ xxsen , temos:

)(sec1)()(cos

1)(cos

)(cos)( 2222

22

xxtgxx

xxsen=+⇒=

+

e

)(seccos)(cot1)(

1)(

)(cos)( 2222

22

xxgxsenxsen

xxsen=+⇒=

+

Existem outras fórmulas, muito utilizadas em trigonometria, que apresentamos a seguir:

g) )cos().()cos().()( absenbasenbasen +=+

h) )cos()()cos().())(()( absenbasenbasenbasen −=−+=−

i) )().()cos().cos()cos( bsenasenbaba −=+

j) cos(a - b)=cos(a+(-b))= cos(a).cos(b) + )().( bsenasen

k) sen(2a) = sen(a + a) = 2.sen(a).cos(b)

l) cos(2a) = cos(a + a) = cos2(a) – sen2(a).

Além dessas fórmulas, existem muitas outras que poderíamos ressaltar. Basta, para isso, fazermos

combinações com as fórmulas anteriores. Como exemplo, do que acabamos de citar, temos:

)().(1)()(

)cos().cos()().()cos().cos(

)cos().cos()cos().()cos().(

)().()cos().cos()cos().()cos().(

)cos()()(

btgatgbtgatg

babsenasenba

baabsenbasen

bsenasenbaabsenbasen

babasenbatg

−+

=−

+

=−+

=++

=+ Daí,

)().(1)()()(

btgatgbtgatgbatg

−+

=+ .

E O )cos(α P S


- 78 -

Propriedades trigonométricas em triângulos

Seja o ciclo trigonométrico anterior (circunferência com raio 1) e um triângulo retângulo ABC,

semelhante ao triângulo BPE.

Assim, temos:

hipotenusatocatetoopos

absen

absen

==⇒= )(1)( αα

hipotenusacentecatetoadja

ac

ac==⇒= )cos(1)cos( αα

centecatetoadjatocatetoopos

cbtg

acab

sentg ==⇒== )()cos()()( α

ααα

E

P

C

A B

α

B

E O

P

1

cos( )α

sen )(α

α

A

C

α

c

a b

B


- 79 -

A partir dessas relações entre ângulos e lados de um triângulo retângulo, determina o seno, o cosseno e a

tangente dos ângulos: 30º , 45º e 60º .

Seja o triângulo eqüilátero a seguir:

23

43

42

22222

22 ahaaahhaa =⇒⇒−=⇒+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= .

Do triângulo retângulo AHB e das relações trigonométricas vistas anteriormente, tem-se:

212

6)30( ==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

a

a

sensen o π ; 232

3

6cos)30cos( 0 ==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

a

aπ

232

3

3)60( 0 ==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

a

a

sensen π ; 212

3cos)60cos( 0 ==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

a

aπ .

Seja o triângulo retângulo isósceles a seguir:

22

2222 aabbba ==⇒+= .

A B

C

a

b

c

45º

45º

A

H

h

C B

2a

a a

60º

30º


- 80 -

Logo, 222

2

4)45( 0 ==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

a

a

sensen π

222

2

4cos)45cos( 0 ==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

a

aπ .

Na tabela a seguir, alguns valores trigonométricos para ângulos específicos:

grau radiano seno cosseno tangente cotangente secante cossecante

0 0 0 1 0 Não existe 1 Não existe

30 6π

21

23

33 3

332 2

45 4π

22

22 1 1 2 2

60 3π

23

21 3

33 2

332

90 2π 1 0 Não existe 0 Não existe 1

180 π 0 -1 0 Não existe -1 Não existe

270 2

3π -1 0 Não existe 0 Não existe -1

360 π2 0 1 0 Não existe 1 Não existe

Seja o ciclo trigonométrico a seguir:

Observe que yEPsen ==)(α .

Pode-se dizer que é um arco (ou um ângulo) cujo seno dele (de α ) mede y.

α

E A

α

P

B

B’

A’


- 81 -

Transcrevendo:

(sen α ) = y )(yarcsen=⇔ α

Pode fazer essa mesma transcrição para todas as outras funções trigonométricas.

Exemplos:

1) 2

)1(12

ππ=⇔=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ arcsensen

2) 42

2arccos22

4cos ππ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇔=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

3) 3

)3(3)3

( ππ=⇔= arctgtg

4) 2

3)0(cot0)2

3(cot ππ=⇔= garcg

5) ππ =−⇔−= )1sec(1)sec( arc

6) 0)1sec(arccos1)0sec(cos =⇔=

Analisando os gráficos das funções trigonométricas, pode-se, restringindo seus domínios, determinar as

seguintes funções arco:

1) Seja )()(

]1,1[]2

,2

[:

xsenxfx

f

=

−→−

a

ππ

A função arco será definida por )()(

]2

,2

[]1,1[:

xarcsenxgx

g

=

−→−

a

ππ.

2) Seja )cos()(

]1,1[],0[:xxfx

f=

−→a

π.

)arccos()(],0[]1,1[:

xxgxg

=→−

a

π.

3)Seja )()(

)2

,2

(:

xtgxfx

f

=

ℜ→−

a

ππ.

)()(

)2

,2

(:

xarctgxgx

g

=

−→ℜ

a

ππ.


- 82 -

Aula 13

13. Exercícios de revisão

1) A equação da reta dada a partir da informação fornecida é:

a) f(x) = 3x – 1

b) f(x) = - 3x +1

c) f(x) = - 3x – 1

d) f(x) = 3x + 1

2) O comprimento da diagonal de um quadrado como função do comprimento do seu lado s é:.

a) 2)( SSF = b) 3)( SSF = c) SSF =)( d) SSF 2)( =

3) Determine se o gráfico é o gráfico de uma função.

4) Dados 2x)x(f += e 6x8)x(g −= , ))x(g(f vale:

a) 628 − +x

b) −122 x

c) − 48 x .

d) +122 x


- 83 -

5) O gráfico da função x

41)x(f ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= é:

a) b)

c) d)

6) Esboce o gráfico das seguintes funções. Determine o Período, o Domínio e o Conjunto Imagem de

cada uma delas:

a) y = sen 2x b) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

2cos πxy c) )( π−= xtgy d)

2xseny =

7) Considere as funções f e g de domínio reais tal que f(x) = sen x e g(x) = cos x. Calcule:

a) ( )πf - )(πg b) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

43ππ gf c)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

6g

6f

π

π


- 84 -

8) O gráfico ao lado representa a função

a) xcos.2y −=

b) 2xcosy =

c) senx.2y =

d) 2xseny =

x2sen.2y =

9) Determine o valor de x em cada figura

a) b) c)

10) Dentre as opções abaixo, a que melhor representa a região som-breada formada pelo conjuntos dos

pontos (x, y), tais que 3y – x ≤ 5 e y – x2 ≥ -3, é:

A)

B)


- 85 -

C)

D)

E)

11) Um comerciante gastou R$ 250,00, adquirindo as mercadorias A e B para revender. Observando a tabela abaixo, calculou e comprou o número de unidades de A e B para obter o lucro máximo.

Com a venda de todas as unidades compradas, o lucro máximo, em reais, foi:

a) 225

b) 250

c) 275

d) 325

12) Considere o sistema ⎩⎨⎧

≤

>

2yxy

. A região do plano que melhor representa a solução do sistema é:

A)


- 86 -

B)

C)

D)

13) Uma lâmpada incandescente tem resistência elétrica Ω = 120R e está ligada a uma fonte de corrente alternada. O gráfico que ilustra a variação da tensão(V) em função do tempo (t) é uma senóide.

a) Qual o período da tensão aplicada à lâmpada? b) Qual o valor da tensão máxima? c) Usando a relação máxmáx iRV = . , calcule o valor da máxima intensidade da corrente (imáx) que

percorre o filamento da lâmpada.


- 87 -

Aula 14

14. Exercícios complementares

14.1 - Domínio das funções

1.O domínio da função real 7x2x)x(g

−−

= é:

a) 7x > b) 2x ≤ c) 7x2 <≤ d) 2x ≤ ou 7x > e) n d a

2.Dada a função 2x4

1)x(f−

= seu domínio ou campo de definição é:

a) x qualquer b) 2x ≤ c) 2x −≥ d) 2x2 ≤≤− e) nda

3.O domínio de definição da função 3x22x)x(f ++−= com valores reais é um dos conjuntos abaixo.

Assinale-o:

a) 1x −≤ ou 3x ≥ b) 13 <≤− x c) 3x −≤ ou 1x ≥

d) 31 ≤≤− x e) n d a

4. Sendo ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−= 2x1y uma função de valores reais, o seu conjunto de definição D é:

a) D = b) D = -1, 1 c) D = [ -1, 1 ] d) D = IR e) n d a

5. O conjunto de todos os valores de x, para os quais 2x1x

−+ é um número real, é:

a) 21 <≤− x b) 2≠x c) 2 ou x 1- x ><

d) 2 ou x 1- x >≤ e) 21 <<− x

6. Dada a função 1x

x)x(f−

= , o seu domínio é:

a) [ 1, ] ] 0 ,- ] ∞+∪∞ b) [ 1, ] [ 0 ,- ] ∞+∪∞ c) [ 1, [ ] 0 ,- ] ∞+∪∞

d) ] 1 0, [ e) [ 1 0, ]

7. Se ( ) 21

x3)x(f −= então o domínio de f é o intervalo:

a) ] 3 3,- [ b) ]3 , 3- [ c) ( )3 , 3-

d) 4) (-4, e) ] 4 4,- [

8. O domínio da função real de variável real ( )21

2 15x2x)x(f −+= é dado pelo conjunto:

a) 3 ou x 5- x >< b) 3ou x 5- x ≥≤ c) 3 x 5- << -5 < x < 3

d) 5ou x 3- x ≥≤ e) 5 ou x 3- x ><


- 88 -

9. O domínio da função 1x

12x7x)x(f2

−+−

= é:

a) 1 < x 3 ou x 4 b) 1 < x < 3 ou x < 4 c) -1 < x 3 ou x 4

d) x < 1 ou x 4 e) -1 x 3 ou X > 4

10. O domínio da função 2xx

x21)x(f 2 −−−

= é:

a) -1 x 2 ou x 1/2 b) -1 x 2 e x 1/2 c) x 1/2 e x -1 e x 2

d) x -1 e x 2 e) x < -1 ou 1/2 x < 2

14.2 – Funções do 1º Grau

1.No gráfico a seguir estão representadas as funções (I) e (II) definidas por y=3-x e y= kx+t,

respectivamente. Os valores de k e t são, respectivamente:

a) 2 e 1

b) -2 e 1

c) 2 e 0

d) -1/2 e 0

e) 1/2 e 0

2. Assinale a alternativa que corresponde a função de acordo com o gráfico

a) f(x)= -x+2

b) f(x) = -x/2 + 1

c) f(x)= -x/2 + 2

d) f(x)=4x

e) f(x)= -x

3. Obtenha a função do 1º grau na variável x que passa pelos pontos ( 0, 1 ) e ( -3, 0):

a) y= x/3 b) y=-x/3 + 1 c) y= 2x d) y= x/3 +1 e) y= -x

4. O gráfico abaixo representa a função f(x)= ax + b . Assinale a alternativa correta:

a) a = 0 ; b = 0

b) a > 0 ; b > 0

c) a < 0 ; b > 0

d) a > 0 ; b = 0

e) a > 0 ; b < 0

5.A representação da função y = -3 é uma reta :

a) paralela aos eixo das ordenadas


- 89 -

b) perpendicular ao eixo das ordenadas

c) perpendicular ao eixo das abscissas

d) que intercepta os dois eixos

e) nda

6.O gráfico abaixo é o da reta y = ax + b, quando :

a) a < 2

b) a < 0

c) a = 0

d) a > 0

e) a = 2

7.O gráfico abaixo pode representar qual das expressões ?

a) y = 2x - 3

b) y = - 2x + 3

c) y = 1,5 x + 3

d) 3y = - 2x

e) y = - 1,5x + 3

8.Uma função do 1o grau é tal que f(-1) = 5 e f(3)=-3. Então f(0) é igual a :

a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) -1

9.A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria

é :

a) f(x)= x-3 b) f(x)= 0,97x c) f(x)=1,3x d) f(x)=-3x e) f(x)= 1,03x

10. Seja y = ax + b onde a e b são números reais tal que a< 0 e b > 0 . Assinale a alternativa que indica a

representação desta função:


- 90 -

'

14.3 – Função do 2º grau

1. A função f(x) = x2 - 2x + 1 tem mínimo no ponto em que x vale:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

2. O valor máximo da função f(x) = - x2 + 2x + 2 é:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

3. O maior valor que y pode de assumir na expressão y= - x2 +2x é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4.Se x e y são as coordenadas do vértice da parábola y= 3x2 -5x + 9, então x + y é igual a:

a) 5/6 b) 31 /14 c) 83/12 d) 89/18 e) 93/12

5.O ponto (k, 3k) pertence à curva dada por f(x) = x2 - 2x + k; então k pode ser:

a) -2 b) -1 c) 2 d) 3 e) 4

6.O número de pontos comuns aos gráficos das funções f(x) = x2 - 2 e g(x) = - x2 - 4 é:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

7. Considere a função IR IR :f → , definida por f(x) = x2 - 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente que:

a) vértice do gráfico de f é o ponto (1; 4); b) f possui dois zeros reais e distintos;

c) f atinge um máximo para x = 1; d) gráfico de f é tangente ao eixo das abscissas.

e) n d a

8.Se f(x) = x - 3, o conjunto de valores de x tais que f(x2) = f(x) é:

a) 0; 1 b) - 1 ; 0 c) 1 d) - 2; 3 e) 3; 4

9.A imagem da função IR IR :f → , definida por f(x) = x2 - 1, é o intervalo:

a) [-1; ∞ ) b) (-1; ∞ ) c) [0; ∞ ) d) (- ∞ ;-1) e) (- ∞ ;-11 ]


- 91 -

10.O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por C = 2x2 - 100x + 5000. O valor do custo

mínimo é:

a) 3250 b) 3750 c) 4000 d) 4500 e) 4950

14.4 – Funções Compostas

1.Se f ) x ) = x2 + 1 então f ( f ( x ) ) é igual a:

a) x4 + 2x2 + 2 b) x4 + 2 c) x4 + 1 d) x + 1 e) 1

2. Sendo f ( x ) = x2 + 2x e g ( x ) = 3x + 4 a função fog é:

a) 9x2 + 20x + 24 b) x2 + 30 x + 24 c) 9 x2 + 30 x + 24 d) x2 + 20 x + 24 e) nda

3.Se f( x ) = 2x -1 então f(f(x)) é igual a:

a) 4x -3 b) 4x - 2 c) 4x2 + 1 d) 4x2 -1 e) 4x2 - 4x + 1

4.Se 1x

x ) x 1 ( g 2 +=+ então g ( 3 ) vale:

a) 0 b) 3 c) 1/2 d) 3/10 e) 2/5

5.Sendo 2-x12x ) x ( f +

= então f ( f ( x ) ) vale

a) -1 b) 1 c) 2

2-x12x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + d)

12x2-x

+ e) x

6.Dados os conjuntos A = 0; 1; 2 , B 1; 2; 3; 4 e C = 0; 1; 2; 3; 4 sejam as funções B A : f →

e C B : g → definidas por f ( x ) = x + 1 e g ( x ) = 4 - x. Nestas condições , a função gof é igual a:

a) ( 0, 2 ) ; ( 1, 3 ) ; ( 2, 1 ) b) ( 0, 1 ) ; ( 1, 2 ) ; ( 2, 3 )

c) ( 0, 3 ) ; ( 1, 2 ) ; ( 2, 1 ) d) ( 0, 3 ) ; ( 1, 1 ) ; ( 2, 2 )

e) ( 0, 1 ) ; ( 1, 3 ) ; ( 2, 2 )

7.Se f ( g ( x ) ) = 4 x2 - 8x + 6 e g ( x ) = 2x - 1, então f ( 2 ) é igual a:

a) -2 b) -1 c) 3 d) 5 e) 6

8.Considere as funções f ( x ) = 2x+1 e g(x) = x2 -1. Então, as raízes da equação f(g(x)) = 0 são:

a) inteiras b) negativas c) racionais não inteira

d) inversas uma da outra e) opostas

9.Sejam A = 1, 2, 3 e A A : f → definida por f ( 1 ) = 3, f ( 2 ) = 1 e f ( 3 ) = 2 . O conjunto solução

de 3 f(f(x)) = é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 1, 2, 3 e)

10.Sejam A 0, 1, 2, 3, 4 e A A : f → uma função dada por f( x ) = x + 1 se x 4 e f( 4 ) = 1. O

número Ax ∈ tal que 2 x)(fofofof)( = é:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4


- 92 -

14.5 – Inequações produto e quociente

1.Resolvendo-se a inequação ( x-5) . ( x2 - 2x -15 ) 0 obtém-se:

a) S = x R / x < 3 b) S = x R / -3 x 5 c) S = x R / x 3 ou x 5

d) S = x R / x - 3 5 e)nda

2.A solução da inequação ( x - 3 ) . ( - x2 + 3x + 10 ) > 0 é:

a) -2 < x < 3 ou x > 5 b)3 < x < 5 ou x < -2 c) -2 < x < 5

d) x > 6 e) x < 3

3.A solução da inequação ( x - 2 ) . ( - x2 + 3x + 10 ) > 0 é :

a) x < - 2 ou 2 < x < 5 b) -2 < x < 2 ou x > 5 c) -2 < x < 2 d) x > 2 e)x < 5

4.A solução da inequação ( x2 -4 ) . ( 5 x2 + x + 4 ) 0 é:

a) x 0 b) -2 x 2 c) x -2 ou x 2

d) 1 x 2 e) qualquer número real

5.O conjunto solução da inequação ( x2 + 1 ) . ( - x2 + 7x - 15 ) < 0 é:

a) b) [ 3, 5 ] c) IR d) [ -1, 1 ] e) IR+

6.O conjunto solução da inequação 0523

≤++

xx em R é:

a) [ -3, 5/2 ) b) ( -3, 5/2 ) c) [-3 , 5/2 ]

d) ] -ºº , -3 ] e) ] -ºº, -3 ] [ 5/2. ºº[

7.Quantos números inteiros satisfazem a inequação 014

≥+−

xx ?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

8.As soluções de 01

22

2

<+

−x

xx são os valores de x que satisfazem

a) x < 0 ou x > 2 b) x < 2 c) x < 0

d) 0 < x < 2 e) x > 2

9.No universo IR o conjunto solução da inequação ( )( )( ) 04

2212 >

−+−+

xxxx é :

a) x IR / x > 2 b) x IR / x > -1 e x 2 c) x IR / -1 < x < 2

d) x IR / x < - 2 ou x > 2 e) nda

10.A inequação ( ) 012

2 >−+

xxx tem como solução :

a) x < -2 ou x > 1 ou -1 < x < 0 b) x < -2 ou x 1 c) x -2 ou x > 1

d) x -2 ou x 1 e) nda


- 93 -

14.6 – Função Modular

1.A soma das raízes da equação | 2x+5| = 6

a) -5 b) 9 c) 4,5 d) 6 e) 0,5

2.O conjunto solução da inequação |x| < 3, tendo como universo o conjunto dos números inteiros, é:

a) -3, 3 b) -1, 0, 1 c) -2, -1, 0, 1, 2

d) -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 e) 0, 1, 2, 3

3. A equação modular 14

2−=

− xx admite, como solução, somente:

a) uma raiz positiva e uma negativa b) duas raízes negativas

c) duas raízes positivas d) uma raiz positiva e) uma raiz negativa

4. No conjunto IR a desigualdade | x-5| < 7 é verdadeira para:

a) x < 12 b) x > -2 c) -2 < x < 12 d) -2 x 12 e) nda

5.Seja f a função definida no intervalo aberto ( -1, 1 ) por x

xxf−

=1

)( . Então f ( 1/2 ) é:

a) 1/2 b) 1/4 c) -1/2 d) -1 e) -2

6.As funções f ( x ) = |x| e g ( x )= x2 - 2 possuem dois pontos em comum. A soma das abscissas destes

pontos é:

a) 0 b) 3 c) -1 d) -3 e) 1

7. a solução da equação | 3x -5 | = 5x -1 é:

a) -2 b) 3/4 c) 1/5 d) 2 e) 3/4, -2

8.Quantos números inteiros não negativos satisfazem a inequação | x-2| < 5 ?

a) infinitos b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

9.SE | a - b | = 6 e | a + b | = 2 o valor de |a4 - 2a2b2 + b4| é:

a) 8 b) 12 c)24 d) 64 e) 144

10. A função definida por f ( x ) = |x|/x se x 0 e f ( x ) = 0 se x = 0 . Então podemos afirmar que a

imagem f ( x ) é:

a) -1, 0, 1 b) Real c) 0 d) -1,1 e) nda

14.7 – Exponencial: Funções e Inequações

1. Se x11

16 ) x ( f+

= x, então f ( -1 ) + f ( -2 ) + f ( -4 ) é igual a :

a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) nda

2. Se⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤≤=

1 xpara x1

1x1- para 2)(

x

xf então f ( 0 ) - f ( 3/2 ) é igual a:


- 94 -

a) 5/2 b) 5/3 c) 1/3 d) -1/2 e) -2/3

3. Se y = 10x é um número entre 1000 e 100 000, então x está entre:

a) -1 e 0 b) 2 e 3 c) 3 e 5 d) 5 e 10 e) 10 e 100

4. Seja a função f ( x ) = ax . É correto afirmar que :

a) ela é crescente se x > 0 b) ela é crescente se a > 0

c) ela é crescente se a > 1 d) ela é decrescente se a 1

e) ela é decrescente se 0 < x < 1

5. Assinale a afirmação correta:

a) ( 0,57 ) 2 > ( 0,57 ) 3 b) ( 0,57 ) 7 < ( 0,57 ) 8

c) ( 0,57 ) 4 > ( 0,57 ) 3 d) ( 0,57 ) 0,57 > ( 0,57 ) 0,50

e) ( 0,57 ) -2 < 1

6. Os números reais x são soluções da inequações 251-x < 1/5 se, e somente se:

a) x > -3/2 b) x > 3/2 c) -3/2 < x < 3/2

d) x < 3/2 e) x < -3/2

7. Seja a função IR IR :f → definida por f ( x ) = 2x . Então f ( a+1) - f (a) é igual a:

a) 2 b) 1 c) f ( a ) d) f ( 1 ) e) 2 f ( a )

8. Os valores de a IR que tornam a função exponencial f ( x ) = ( a - 3 )x decrescente são:

a) 0 < a < 3 b) 3 < a < 4 c) a < 3 e a 0

d) a > 3 e a 4 e) a < 3

9.Seja IR IR :f → onde 21

2 ) x ( f = . O conjunto de valores de x para os quais f ( x ) < 1/8 é:

a) ( 3, 8 ) b) ( - , -1/3 ) c) ( - , 3 )

d) ( - 1/3, 0 ) e) IR - 0, 8

10. Se f ( x ) = 4x+1 e g ( x ) = 4x, a solução da inequação f ( x ) > g ( 2 - x ) é:

a) x > 0 b) x > 0,5 c) x > 1 d) x > 1,5 e) x > 2

14.8 – Equações Exponenciais

1. Se 8x = 32, então x é igual a:

a) 5/2 b) 5/3 c) 3/5 d) 2/5 e) 4

2. Se 8x-9 = 16x/2, então é igual a:

a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) nda

3. O valor de x que satisfaz a equação 33x-1 . 92x+3 = 273-x é:

a) 1 b) 3 c) 5/2 d) 1/3 e) 2/5

4. Sendo x = (22)3 , y = e z = , calcule x . y . z :


- 95 -

a) 221 b) 210 c) 223 d) 24 e) 220

5. Se ( )001,0

1000.01,0.00001,0 2

=m , então :

a) m = 0,1 b) m = ( 0,1)2 c) m = ( 0,1 )3

d) m = ( 0,1 )4 e) m = ( 0,1 )5

6. Se 2x = 2048, então, x vale :

a) 7 b) 11 c) 13 d) 17 e) 19

7.Se913 32

=− xx , então os valores de x são :

a) 1 e 3 b) 2 e 3 c) 1 e 2 d) 1 e 4 e) 2 e 4

8. A solução da equação 0,52x = 0,251-x é um número x, tal que:

a) 0 < x < 1 b) 1 < x < 2 c) 2 < x < 3

d) x > 3 e) x < 0

9. Se3431 ) 7 ( 2x-3 =+ , x1/2 valerá:

a) 7 b) -9 c) 49 d) 3 e) 1

10. Se 2x = u e 3-x = t, o valor da expressão 12x + 18-x é:

a) tu

tu 22 + b) tu

tu 33 + c) 22

44

uttu +

d) 22 tu + e) 33 tu +

14.9 – Logaritmos: Introdução

1.Se log3 1/27 = x, então o valor de x é:

a) -9 b) -3 c) -1/3 d) 1/3 e) 3

2.Na base decimal, log 1000, log 10 e log 0,01 valem respectivamente:

a) 2, 1 e -3 b) 1, 0 e -2 c) 3, 1 e -2

d) 4, -2 e -3 e) 3, 0 e -2

3.A expressão mais simples para alogax é:

a) a b) x ( x > 0 ) c) logax d) logxa e) ax

4. Se log ( 2x -5 ) = 0, então x vale:

a) 5 b) 4 c) 3 d) 7/3 e) 5/2

5.O valor de log9 27 é igual a:

a) 2/3 b) 3/2 c) 2 d) 3 e)4


- 96 -

6.Se⎪⎩

⎪⎨⎧

==

2log927

xy

yx

, então x + y é igual a:

a) 5/3 b) 10/9 c) 8/9 d) 2/3 e) 5/9

7. O valor numérico real da expressão ( )81log2

273

3

33

+−+−− é:

a) -5 b) 4 c) 5 d) 8 e) impossível

8.Se log16 N = - 1/2, o valor de 4N é:

a) 1 b) 4 c) 1/4 d) 16 e) 1/16

9.Se 2x - y = 1 e x - 3y = -7, log4 (xy+8y) é igual a:

a) 0,5 b) 2,5 c) 2,0 d) 1,5 e) 1,0

10.Em que base o logaritmo de um número natural n, n > 1, coincide com o próprio número n ?

a) nn b) 1/n c) n2 d) n e) n1/n

14.10 – Logaritmos : Equações

1.Se log ( 2x - 5 ) = 0 então x vale:

a) 5 b) 4 c) 3 d) 7/3 e) 5/2

2.A equação logx ( 2x +3 )= 2 apresenta o seguinte conjunto solução:

a) -1, 3 b) -1 c) 3 d) 1, 3 e) nda

3.É correto afirmar que no universo IR o conjunto solução da equação 2 )10x - x- ( log 23 = :

a) é b) é unitário c) tem dois elementos irracionais

d) tem dois elementos inteiros e) tem dois elementos racionais e não inteiros

4.O valor de x tal que log648 = x é:

a) 2 b) 3 c) 2/3 d) 1/2 e) 3/2

5.Quanto a solução da equação ( logx )2 - 3. log x + 2 = 0 é verdade que :

a) só uma delas é real b) a maior delas é 1000 c) a menor delas é 100

d) a menor delas é 10 e) a maior delas é 1

6.Sendo ( log2x)2 - 3 log2x - 4 = 0 então o produto entre as raízes da equação vale:

a) -8 b) 16 c) -1/4 d) 4 e) 8

7.A solução da equação log8x + log8 (3x-2) = 1 é dada por:

a) -4/3 b) 1/2 c) -2 d) 2 e) nda

8.O conjunto verdade da equação 2. log x = log 4 +log ( x + 3 ) é:

a) -2, 6 b) -2 c) 2, -6 d) e) 6

9.A soma das raízes da equação log2x - logx4 = 0 é:

a) 1000 b) 1001 c) 101 d) 10001 e) 11


- 97 -

10.Indica-se por log x o logaritmo decimal do número x. Se 4 + log x = 4. log 4, então x é igual a:

a) 16 b) 2,56 c) 0,4 d) 0,256 e) 0,0256

14.11- Trigonometria

1. Determine a medida x do arco da segunda volta (360° ≤ x < 720°) que possui a mesma extremidade do

arco de:

a) 1850° b) 5

28π c) – 1110°

2.Calcular o valor da expressão )x(sen

x7cosx3senE−

+= , para

43x π

= .

3.Determinar o sinal do produto P = sen53°.cos100°.sen163°.cos220°

4.Determinar o sinal do produto P = sen1 . sen2 . cos3 . cos5 (note que as medidas estão em radianos)

5.Determine o valor da expressão o2oo

o2o

240sen70cos200sen300cos330senE

+++

= (DICA: 20° e 70° são

complementares)

6.Sendo cosα = 53 e π<α<

π 22

3 , calcule o valor de senα.

7.Determine o valor do cosx sabendo que 3sen²x – 4senx + 1 = 0 e que π<<π x2

.

8.Calcule:

a) cotg30° b) sec180° c) cossec2π d) tg(14

3π ) e) cossec720°

9.Sendo cossecx = -3 e 2

3x π<<π , calcule tgx, cotgx, secx.

10.Sabendo que sec²x – 3secx + 2 = 0, para π<≤ 2x0 , obtenha os possíveis valores de cosx.

a) tgx 3≥ b) tgx 33

−≤ c) tgx < 1 d) tgx 0≥

GABARITO DOMINIO DA FUNÇÃO 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10D E D E D A B A A E FÇ DO 1 GRAU 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10E C D E B B C B C B FÇ DO 2 GRAU 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10


- 98 -

B B A E E A A A A D FUNÇÃO COMPOSTA 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10A C A E E C C E B C INEQUAÇÕES DO 1 E 2 GRAUS 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10C E A A A C B E A D INEQUAÇÃO PRODUTO QUOCIENTE 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10D B A C C A D D B A FÇ MODULAR 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10A C D C D A B E E A EXPONENCIAIS - EQUAÇÕES 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10B E E C C B C A D B LOGARITMO - INTRODUÇÃO 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10B C B C B B B A B E LOGARITMO - EQUAÇÕES 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10C C D D D E D E D E GABARITO - TRIGONOMETRIA

1) a) 410° b) 648° c) 690°

2) 0 3) positivo. 4) negativo.

5) 31

− 6) 54

− 7) 3

22−

8) a) 3 b) –1 c) 1 d) 3− e) não existe

9) 42tgx = cotgx = 2 2 secx =

423

−

10) cosx = 1 ou cosx = 21


- 99 -

Referencias bibliográficas:

FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B.. Cálculo A – Funções, Limite, Derivação, Integração. 6ª

edição. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2004.

MEDEIROS, S.; Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2002.

AYRES, F.; SHMIDT, P. A.. Teoria e Problemas de Matemática para Ensino Superior. 3ª edição. Porto

Alegre: Bookman, 2006.

www.clinicadematematica.com.br

www.acervosaber.com.br/imagens/trab_escolar.gif

www.acervosaber.com.br/imagens/math.jpg

Se deseja mais informações sobre a catenária consulte: http://www.treasure-troves.com/math/Catenary.html

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Curves/Catenary.html

http://images.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/images/Coelhos.gif&imgrefurl=http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/actexp.htm&h=358&w=391&sz=90&hl=pt-BR&start=1&tbnid=rDw-UaeqVaxhaM:&tbnh=113&tbnw=123&prev=/images%3Fq%3D%2522fun%25C3%25A7%25C3%25A3o%2Bexponencial%2522%26gbv%3D2%26svnum%3D10%26hl%3Dpt-BR%26sa%3DG

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