UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMTICA DEPARTAMENTO DE ESTATSTICA NOTAS DE AULA MAT236 MTODOS ESTATSTICOS 1 UNIDADE Elaborada pelos professores:Giovana Silva,Lia Moraes, Rosana Castro e Rosemeire Fiaccone Revisada em 2010.2Monitora: Tatiana Felix da Matta 1 1.INTRODUO 1.1. O que estatstica e suas divises

Para muitos a Estatstica no passa de conjuntos de tabelas de dados numricos. Mas ser que a estatstica s isso?AEstatsticaoriginou-secomacoletaeconstruodetabelasdedadosparao governo. A situao evoluiu e esta coleta de dados representa somente um dos aspectos da Estatstica. Hoje em dia podemos adotar a seguinte definio para a Estatstica:AEstatsticaconstitui-senumconjuntodetcnicasemtodoscientficosque tratamdacoleta,anliseeinterpretaodeinformaesnumricas,cujoobjetivo principalauxiliarnatomadadedecisesoutirarconclusesemsituaesde incerteza, a partir de informaes numricas. A Teoria Estatstica moderna se divide em dois grandes campos: Estatstica Descritiva - consiste num conjunto de mtodos que ensinam a reduzir uma quantidade de dados bastante numerosa por um nmero pequeno de medidas, substitutas e representantes daquela massa de dados. EstatsticaIndutivaouInfernciaEstatstica-consisteeminferir(deduzirou tirarconclusesarespeitodas)propriedadesdeumuniversoapartirde umaamostra.Oprocessodegeneralizao,quecaractersticodo mtodoindutivo,estassociadoaumamargemdeincerteza.Amedida daincertezatratadamediantetcnicasemtodosquesefundamentam na Teoria das Probabilidades. A Estatstica Descritiva abrange mtodos grficos e numricos, utilizados para resumirdadosdemaneiraquecaractersticasimportantesdaamostrapossamser expostas.Adisponibilidadedeumagrandequantidadededadosedemtodos computacionais muito eficientes revigorou a rea da Estatstica denominada Estatstica Descritiva. Namaioriadasvezesnopodemosinvestigarofenmenoqueestamos interessados em estudar em todos os elementos da populao por ser o custo muito alto, por necessitar de muito tempo para o levantamento dos dados. Para resolver o problema devemos trabalhar com um subconjunto da populao, chamado de AMOSTRA. Seselecionarmososelementosdaamostradeacordocomcritriosestatsticos, podemos conhecer as informaes relativas populao atravs da amostra. Ainfernciaestatsticaprocuracombasenosdadosamostraistirarconcluses sobre a populao. Considere o exemplo abaixo para ilustrar as definies dadas. 2 Exemplo:(NotasdeAuladaDisciplinaMAT116-USP)Numapesquisaeleitoralum InstitutodePesquisaprocuracombasenosresultadosdeumlevantamentoaplicadoa uma amostra da populao prever o resultado da eleio. Considere o candidato A: a) Denomine por p a proporo de pessoas que votaro em A na eleio. b)Denominepor aproporodepessoasnolevantamentodeopinio(amostra) que expressam inteno de voto em A.Podemos usar o valor de para estimar a proporo p da populao.O esquema a seguir resume as etapas de um trabalho estatstico: 1.2. Por que precisamos aprender Estatstica? Quase toda atividade e experincia humana envolvem coleta e anlise de algum tipodeinformao(dados).Nacoletadedadosrelativosaocomportamentoououtras caractersticasdeumgrupodeindivduos,amostrasaleatriasdeumprocessoou resultados de repetitivas medies, sempre envolvem variao.Mtodosestatsticosrepresentamasferramentasbsicasparacompreenderas variaes, porque a anlise estatstica a nica base para tentar entender variabilidade.ppTcnicas de Amostragem Populao Amostra Anlise Descritiva Concluses sobre as caractersticas da populao Inferncia Estatstica Informaescontidas nos dados 3 Osmtodosestatsticossoconscienteouinconscientementeusadosemvrias situaes, especialmente na apresentao de informaes oriundas de dados numricos. Diversasvezes,apresentaessobaseadas,principalmente,emalgumtipodetcnica utilizandoteoriasmatemticas;pormduranteapreparaoeapresentaodosdados, mtodosestatsticossoutilizadosparadefiniratcnicadecoletadedadosechegara umaconclusoatravsdasinformaescoletadas.Osmtodosestatsticostm aplicaes em: Indstrias:coletadedadosnalinhadeproduo,paramanterecontrolaro processoprodutivo,oqueasseguraonveldeproduoeospadresde qualidade;otimizaodoprocessoprodutivo;detecodasvariveisque realmenteinfluenciamoprocesso,viabilizando-seasexperinciasquepossam levaraalteraesefetivasnesseprocesso;planejamentodeexperimentos viveis,comvistaseconomiadeobservaese,portanto,decusto; planejamento de mtodos de coleta e anlise de dados para a explorao mineral;Instituiespblicas:planejamentodacoleta,doarmazenamentoedo processamentodeinformaes;processamentodedadoscomoobjetivode sintetizar e divulgar resultados; montagem de tecnologia adequada de gerao de indicadores econmicos; previso de safras, projeo de demandas;Hospitaiseinstituiesdepesquisamdica:prestaodeassessoriaestatstica noexamedavalidadedetestesclnicos;noestabelecimentodepadresde referncia;nadeterminaodefatoresderiscodedoenas;nacomparaode resultadosdediversostratamentosclnicosenoplanejamentodeexperimentos clnicos controlados, de estudos de casos e de estudos prospectivos;Empresasdepesquisadeopinioemercado:prestaodeassessoriaestatstica nolevantamentodeaudinciasdeprogramasdeteleviso,dapopularidadede candidatosacargospolticos;naavaliaodaaceitaodenovosprodutos;na realizaodepesquisasparadeterminaodoperfildoconsumidoreno planejamento e execuo e pesquisa para determinao das caractersticas scio-econmicas dos habitantes da regio;Bancosecompanhiasdeseguro:elaboraodeprevisesaseremutilizadas como instrumento gerencial; trabalho em associao com a aturia nos clculos dasprobabilidadesdemorte,doena,roubodecarro,etc.;otimizaode procedimentos de atendimento ao pblicoCentros de pesquisa: prestao de assessoria estatstica em todas as fases de um projeto de pesquisa que envolva coleta, tratamento e anlise de dados. Osempregadosdeumaempresadevemtornar-semaisfamiliarizadoscom estatstica.Elesdevementendereconhecerastcnicasestatsticasdisponveis,e adaptao de dados de experimentos para a anlise estatstica. Um profissional treinado em Estatstica ter maior facilidade em identificar um problema em sua rea de atuao, determinar os tipos de dados que iro contribuir para a sua anlise, coletar estes dados e aseguirestabelecerconclusesedeterminarumplanodeaoparaasoluodo problema detectado. Qualquer um que deriveinformaes a partir de dados est agindo como um estatstico. 4 2.PROBABILIDADE 2.1. Breve histrico. Dizsegeralmentequeateoriadaprobabilidadeoriginou-secomBlaisePascal (1623-1662)ePierredeFermat(1601-1665),devidocuriosidadedeumcavalheiro ChevalierdeMer,jogadorapaixonado,queemcartasdiscutiucomPascalproblemas relativos probabilidade de ganhar em jogos de cartas. Despertado pelo assunto Pascal discutiucomFermatsobreoquehojechamaramosdeprobabilidadesfinitas.Masem verdade a teoria elementar das probabilidades j tinha sido objeto de ateno bem antes, uma vez que os jogos de azar sempre exerceram fascnio sobre os homens. AprimeiraobraconhecidaemqueseestudamasprobabilidadesolivroDe Ludo Aleae (Sobre os jogos de azar) de Girolamo Cardano (1501-1576), publicado em 1663. Tambm Galileu (1564-1642) preocupou-se com as probabilidades, estudando os jogos de dados para responder a pergunta de um amigo. A teoria das probabilidades passou a desenvolver-se de maneira mais organizada a partir do sculo XVIIe importantescontribuies de ilustres matemticos devem ser registradas.Nofamosolivro,ArsCnjectandideJaimeBernoulli(1654-1705) encontramosumteoremadeimportnciadecisivaparaateoriadasprobabilidades, conhecidocomaLeidosGrandesNmeros,nomequelhefoidadopelomatemtico francsSimonPoisson (1781-1840).Poderamoscitarmuitosoutroscomimportantes contribuies,mascertamenteomatemticoquemaiscontribuiuparaateoriadas probabilidadesfoiLaplace(1749-1827).Seusinmerostrabalhossobreas probabilidadesforamincorporadosemseumonumentalTratadoAnalticodas Probabilidades. Atualmenteasteoriasdasprobabilidadestmextremaimportncianasmais diversareasdesdeaengenharia,medicina,epidemiologia,demografia,economia, administrao,meteorologia,fotografiasdesatlites,marketing,prediodedesastres naturais, cincias sociais entre outras. Almdasmuitasaplicaesformais,oconceitodeprobabilidadeestnonosso dia a dia. Sempre ouvimos e falamos frases como: Provavelmente vai chover amanh , provvelqueoavioseatrase,Hboaschancesdequeeupossacomparecer. 5 Cadaumadestaexpressesestbaseadanoconceitodeprobabilidadedequecerto evento ocorra. 2.2. Conceitos bsicos Fenmenosouexperimentosaleatrios(E):Soaquelesemqueoprocessode experimentaoestsujeitoaincertezas,logo,nopossvelcontrolartodasas circunstnciasrelevantese,portanto,nopossvelprevercomexatidoosresultados individuais. Caractersticas de um experimento aleatrio: a.1) Poder ser repetido um grande nmero de vezes sob as mesmascondies; a.2) No podemos afirmar que umresultado particular ocorrer, porm, podemos descreveroconjuntodetodososresultadospossveisdoexperimento-as possibilidades de resultado. a.3)Quandooexperimentorepetidoumgrandenmerodevezes,surgiruma regularidadenosresultados.Estaregularidade,chamadaderegularidade estatstica, que torna possvelconstruir um modelo matemtico preciso com o qual se analisar o experimento. A Teoria da Probabilidade utilizada para descrever matematicamente experimentos cujos resultados no podem ser completamente pr-determinados, ou seja, visa definir um modelo matemtico que seja adequado descrio e interpretao de fenmenos aleatrios. Exemplo1:Considereoexperimentoaleatriodejogarumamoedaumanicavez. Antesdamoedaserjogadanosesabeoresultado.Conhecem-seapenasospossveis resultados:caraoucoroa.Admitindo-sequeamoedahonesta,cadaresultadotema mesmachancedeocorrer.Nesteexemplo,modelospodemserestabelecidospara quantificar as incertezas das diversas ocorrncias. Fazendo-sealgumassuposiesadequadas,possvelescreverdistribuiesde probabilidades (modelos probabilsticos) que representem muito bem as distribuies de freqncias, que s so obtidas quando o fenmeno observado. Modelo probabilstico definido por: a)Um espao amostral (); b)Uma probabilidade, P( ), para cada ponto amostral. Espaoamostral( ):conjuntodetodososresultadospossveisdeumexperimento aleatrio. 6 Exemplos de experimentos aleatrios e seus respectivos espaos amostrais: E1: Jogar uma moeda e observar a face superior. 1 = { Cara, Coroa } E2: Jogar um dado e observar a face superior. 2 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } E3: Determinar o tempo de vida til de uma lmpada. 3 = { t / t 0 } Espaos amostrais podem ser finitos ou infinitos. Evento: Qualquer subconjunto de um espao amostral. Representado pelas letras latinas maisculas A, B, C,... Exemplo 2: No lanamento de um dado consideremos o evento ocorrer um nmero par. A: ocorrer um nmero par, em que = {1, 2, 3, 4, 5,6}.A = {2, 4, 6} Exemplo 3: Vai chover no litoral baiano no fim de semana? = {chove, no chove} Em geral, temos interesse em eventos particulares do experimento. O evento A pode representar a ocorrncia de chuva A = {chove} Os conjuntos e tambm so eventos: o evento certo o evento impossvel Exerccio:Descrevaoespaoamostralparacadaumdosseguintesexperimentosa seguir: a)Numalinhadeproduoconta-seonmerodepeasdefeituosasnumperodo de 1 hora; Resposta:={0,1,2,...,N}emqueNonmeromximodepeasquepodemser produzidas no perodo de 1 hora. 7 b)Mede-se a durao de lmpadas, deixando-as acesas at que queimem; Resposta:={t/0tt0}emquet0otempomximodeduraoda lmpada acesa, at que ela se queime ou ={t / t 0 }. c)Lanarumamoedatrsvezes,sucessivamente,eanotaraseqnciadecarase coroas; Resposta: ={ (ca, ca, ca); (ca, ca, co); (ca, co, ca); (co, ca, ca); (ca, co, co); (co, ca, co); (co, co, ca); (co, co, co)}. d)Escolher ao acaso um ponto do crculo de raio um centrado na origem. Resposta: ={( )2, y x ;12 2 + y x }. 2.3. Operaes com eventos Aorealizarumexperimentoaleatriodiz-sequeoeventoAocorreuseoresultado observado for um elemento do subconjunto A. Dados dois eventos A e B de um mesmo espao amostral: AB o evento em que A e B ocorrem simultaneamente;AB o evento em que A ocorre ou B ocorre (ou ambos ocorrem); AcA ou o evento em que Ano ocorre. Exemplo 4: E: Lanamento de um dado

=

{1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento B: representa sair face par=> B = {2, 4, 6} Evento C : representa sair uma face mpar => C = {1, 3, 5} Evento D: representa sair uma face maior que 3 => D = {4, 5, 6} Evento E: representa sair face 1 => E = {1} Evento B D: representa sair uma face par e maior que 3 => {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {4, 6} Evento B C: representa sair uma face par e mpar => {2, 4, 6} {1, 3, 5} = 8 Evento B D : representa sair uma face par oumaior que 3 => {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6} Evento B C : representa sair uma face par ou mpar => {2, 4, 6} {1, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento Bc = C Evento Cc = BSe dois eventos quaisquer tm interseco vazia, isto , eles no podem ocorrer simultaneamente,dizemosqueelessomutuamenteexclusivosoudisjuntos.No exemplo 4, os eventos B e C so mutuamente exclusivos ou disjuntos, visto que B C = . 2.4. Como atribuir probabilidade a um evento? Calcularumaprobabilidademediraincertezaouassociarumgraude confianaaosresultadospossveisdeumexperimento.Porexemplo,aoescolher,ao acaso, uma carta de um baralho comum(bem embaralhado), o que mais provvel, sair uma figura ( K, Q, J ) ou sair o dois de copas?Asprobabilidadesassociamaoseventosumvalornointervalo[0,1].Quanto maior o valor associado ao evento, maior a certeza de sua possibilidade de ocorrncia.Seja um espao amostral. Uma funo P definida para todos os subconjuntos de (chamados eventos) chamada de probabilidade se: 1)0 P(A) 1, para todo evento A 2)P() = 1 3)SeA1,A2,...,Anforem,doisadois,eventosmutuamenteexclusivos,isto,(Ai Aj) = para todo i j, ento ( ) ) ( ... ) ( ) ( 2 11nnii A P A P A P A P + + + ==U = =nii A P1) ( Existemvriasmaneirasdeatribuirprobabilidadeaumeventodoespao amostral. Vamos estudar duas formas. Uma das formas baseada em espaos amostrais finitos.Um espao amostral equiprovvel quando todos os elementos tm a mesma probabilidade de ocorrer, isto ,todos os seus elementos so igualmente provveis. 9 Definio: Seja A um evento associado ao espao amostral finito , no qual todos os resultados so igualmente possveis (ou equiprovveis). Vamos definir a probabilidade do evento A, P(A) como o quociente entre o nmero de elementos em A e o nmero de elementos em : =##) (AA P , isto , a razo entre os casos favorveis ao evento e o total de casos possveis. Limitaes: Dificuldade em enumerar #A e # em alguns casos; infinito; Modeloadequadoapenasparaaclassedefenmenoscujooespaoamostral equiprovvel. Exemplo 5: Qual a probabilidade de obter um nmero par no lanamento de um dado? = {1,2,3,4,5,6} A = nmero par = {2, 4, 6} P(A) = 63

Paracalcularprobabilidadeutilizandoadefinioclssica,emgeralutilizam-seos mtodos de enumerao: Combinaes, arranjos e permutaes. Resumo de algumas tcnicas sistemticas de enumerao 1 Princpios bsicos da multiplicao Dados dois eventos, o primeiro dos quais pode ocorrer de m maneiras distintas e osegundopodeocorrerdenmaneirasdistintas,entoosdoiseventos conjuntamente podem ocorrer de m.n maneiras distintas. Exemplo6:Umabandeiraformadapor7listrasquedevemsercoloridas usandoapenasascoresverde,azulecinza.Secadalistradeveterapenasuma corenosepodeusarcoresiguaisemlistrasadjacentes,dequantosmodosse pode colorir a bandeira? Soluo: Colorir a bandeira equivale a escolher a cor de cada listra. H 3 modos de escolher a cor da primeira listra e , a partir da, 2 modos de escolher a cor de cada uma das outras 6 listras. A resposta 3x26 = 192. 10 2 Permutaes Uma coleo de n objetos diferentes pode ser ordenada de n! maneiras distintas. Portanto,ondepermutaesdenobjetosdiferentesdadoporPn=n!(Essa regradepermutao,traduzofatodequeoprimeiroobjetopodeserescolhido denmaneirasdiferentes,osegundoobjetopodeserescolhidoden-1maneiras distintas, e assim por diante). Exemplo7:Dequantosmodospodemosarrumaremfila5 livrosdiferentesde Matemtica,3livrosdiferentesdeEstatsticae2livrosdiferentesdeFsica,de modo que livros de uma mesma matria permaneam juntos? Soluo: Podemos escolher a ordem das matrias de 3! Modos. Feito isso, h 5! Modos de colocar os livros de Matemtica nos lugares que lhe foram destinados, 3!ModosparaosdeEstatsticase2!ModosparaosdeFsica.Aresposta: 3!5!3!2!= 6 x 120 x 6 x 2 = 86400. 3 - Arranjos onmerodemaneirasdeescolherpobjetosdentrenobjetosdiferentes(sem repetio),sendoaordemimportante,epermutarosescolhidos(0pn). Portanto, o nmero de arranjos dado por: )! (!p nnApn= Exemplo8:Noplanejamentodeumprogramanoturnodarededeteleviso NBC,devemserescolhidos6showsdentre30disponveis.Quantas programaes diferentes so possveis? Soluo:Devemosselecionarp=6dentren=30programasdisponveis.Aquia ordemtemimportncia,porqueosespectadoresvariamnodecorrerdotempo. Logodevemoscalcularonmerodearranjos 000 . 518 . 427)! 6 30 (! 30)! (!===p nnApn. 4 Combinao onmerodemaneirasdeselecionarpobjetosdistintosdentrenobjetos distintosdados,semconsiderarmosaordem.Cadaseleodepobjetos chamada de uma combinao simples de classe p dos n objetos. Representamos onmerodecombinaessimplesdeclassepdenelementospor pnCou|||

\|pn. Assimonmerodecombinaesdepobjetosextradosdeumconjuntoden objetosdiferentes )! ( !!p n pnCpn= .(Bastanotarqueselecionarpentreosn 11 objetosequivaleadividirosnobjetosemumgrupodepobjetos,queso selecionados, e um grupo de n-p objetos, que so os no-selecionados.) Exemplo 9: Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comisses de 5 pessoas, com exatamente 3 homens, podem ser formadas? Soluo:Paraformaracomissodevemosescolher3dos5homense2das4 mulheres. H60! 2 ! 2! 4.! 2 ! 3! 524.35.2435= =|||

\||||

\|= C C Exemplo10: Um lote formado de 2artigos bons e 1 defeituoso. Dois artigos so selecionados ao acaso: a)Quantos lotes de 2 artigos diferentes podem ser formados sem considerarmos a ordem? Trata-seaquidonmerodecombinaesdep=2artigosaserem selecionados dentre 3. Temos3! 1 ! 2! 323= = C , (PP, DP, PD) b)Quantoslotesde2artigosdiferentespodemserformadosconsiderandoa ordem? Aqui, desejamos o nmero de seqncias (ou permutaes) de p=2 artigos a seremescolhidosdentreos3.Temos6! 1! 323= = A ,(P1P2,P2P1,D1P1,P1D1, D1P2, P2D1). Exerccios: a)Trs garotos e 3 garotas sentam-se em fila. Encontre a probabilidade das 3 garotas sentarem juntas. Resposta: 0,2. b)Um lote formado de 10 artigos bons, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves. Dois artigos so escolhidos (sem reposio) ache a probabilidade de que: i-Ambos tenham defeitos graves? Resposta: 0,00833. ii-Exatamente um seja perfeito? Resposta: 0,5. Aslimitaesdadefinioclssicadeprobabilidade,quesseaplicaaespaos amostraisfinitoseequiprovveis,levaramaconsideraroutraformadecalcular probabilidadedeumeventopartindodafreqnciarelativadoeventoaoserepetiro 12 experimento,nvezes,sobasmesmascondies.Emlinguagemmatemtica,quandon cresce, o limite da freqncia relativa de ocorrncia de A igual a P(A), isto ,P(A)nocorre Aque repeties de #lim ) ( lim = = nnnA f . Exemplo11:Suponhaquevamosrealizarumexperimentodelanar20vezesuma moeda e observar o nmero de caras. A cada lanamento vamos considerar o nmero de caras que at ento ocorreram (n) dividido pelo nmero de lanamentos (na), ou seja, a freqnciarelativadecaras.Osresultadosreferentesaesseexperimentoencontram-se na tabela abaixo: Nnafa=na/nnnana/n 1111166/11 211/21277/12 322/31377/13 433/41488/14 533/51588/15 633/61688/16 733/71788/17 844/81888/18 955/91999/19 1055/102099/20 Vejamos o comportamento das freqncias relativas por meio do grfico a seguir: 13 A partir desta Figura vemos que a medida que aumenta o nmero de lanamentos, afreqncia relativa se aproxima de 0,5. Em linguagem matemtica dizemos que a freqncia relativa converge para 0,5. Dificuldade do ponto de vista matemtico: o nmero do limite real pode no existir.

Exerccio (TRIOLA): Emumapesquisaentreestudantesdeumafaculdade,1162afirmaramque colavamnosexames,enquanto2468afirmaramnocolar[combaseemdadosdo JosephsonInstituteofEthics(InstitutoJosephsondetica)].Selecionando aleatoriamenteumdessesestudantes,determineaprobabilidadedesteestudanteter colado em um exame. Resposta: 0,3201. Teoremas: 1.P() = 0 2.SeAcoevento complementar de A, ento P(Ac) = 1- P(A) 3.Sejam A e B dois eventos quaisquer, ento: P (A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Lanamentos sucessivos de uma moedaNmero de repeties versus freqncia relativa de carasFreqncia0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2014 Demonstrao: AB= A[BAc] B= (A B) (BAc) P(AB) = P(A) + P (BAc) -P(B) = -P(A B) - P (BAc) P (AB) = P(A) + P(B) - P(A B) 4.Se A, B e C forem trs eventos quaisquer, ento: P (A B C)=P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) +P(A B C) Generalizao: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnr j ir j inj ij inii nA A P A A A P A A P A P A A P + + + = < < < = K K K11111 ) ( Exemplo 12: Se P(ABc)=0,2 e P(Bc)=0,7. Achar P(AB)? (Use diagrama de Veen) P(ABc)=P(A) P(AB) 0,2 = P(A) - P(AB) P(A) = 0,2 +P(AB) P(Bc)= 1 P(B) 0,7 = 1 - P(B) P(B)= 0,3 P (A B) = 0,2 + 0,3 = 0,5 Exerccios: 1.Umloteformadopor10peasboas,4comdefeitosmenorese2comdefeitos graves. Uma pea escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que: a)a pea no tenha defeito grave? Resposta:0,875. b) a pea no tenha defeito? Resposta:0,625. c)a pea seja boa ou tenhadefeito grave? Resposta:0,75. 2.DoisprocessadorestipoAeBsocolocadosemtestepor50milhoras.A probabilidadequeumerrodeclculoaconteaemumprocessadordotipoAde 301, no tipo B, 801e em ambos, 10001 . Qual a probabilidade de que: a)Pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro? Resposta:0,045. b) Nenhum processador tenha apresentado erro? Resposta:0,955. c)Apenas o processador A tenha apresentado erro? Resposta:0,032. 15 3.Determineaprobabilidadedequenpessoasfaamaniversrioemdiasdistintos. Para resolver este problema, ignoramos as idades, anos bissextose supomos que os aniversriosdecadapessoapodemcairemqualquerdiacomamesma probabilidade. Resposta:( )nn3651 365 364 . 365 + K. 4.Oseguintegrupodepessoasestnumasala:5homensmaioresde21anos;4 homenscommenosde21anosdeidade;6mulheresmaioresde21anose3 mulheresmenoresde21anos.Umapessoaescolhidaaoacaso.Define-seos seguintes eventos: A: a pessoa maior de 21 anos; B: a pessoa menor de 21 anos ; C: a pessoa homem e D: a pessoa mulher. Calcule: a)P(B D) b) P( C A ) c)P(A B) Respostas: a)0,722; b)0,167; c)0 ; d)0,389 5.Uma remessa de 30 arruelas contm 5 peas defeituosas e 25 perfeitas. Dez arruelas so escolhidas ao acaso (sem reposio) e classificadas. a)Qual a probabilidade de que sejam encontradas exatamente 3 peas defeituosas? Resposta:0,160 b) Qualaprobabilidadedequeseencontremaomenos2peasdefeituosas? Resposta: 0,5512 2.5. Probabilidade condicional Considere o exemplo abaixo: Dados do Censo Demogrfico de 91 publicado pelo IBGE relativos aos habitantes de Sergipe, na faixa etria entre 20 a 24 anos com relao s variveis Sexo e Leitura. SexoLNo lTotal Masculino39.5778.67248.249 Feminino46.3047.29753.601 Total85.88115.969101.850 16 E: Um jovem entre 20 e 24 anos escolhido ao acaso em Sergipe. : conjunto de jovens de Sergipe, com idade entre 20 e 24 anos. #=101.850. Eventos de interesse: M: jovem sorteado do sexo masculino F: jovem sorteado do sexo feminino L: jovem sorteado sabe ler M L: jovem sorteado do sexo masculino e sabe ler M L: jovem sorteado do sexo masculino ou sabe ler Podemos obter algumas probabilidades: 843 , 0850 . 101881 . 85de jovens de nlersabem que jovens de ) ( = ==nL P 473 , 0850 . 101245 . 48de jovens de nmasculino sexo do jovens de ) ( = ==nM P P(F) = P(Mc) = 1 - P(M) = 1 - 0,473 = 0,527 850 . 101557 . 39jovens de nlersabem que e masculino sexo do jovens de ) ( == nL M P P (M L) = P(M) + P(L) - P(M L) = 0,473 + 0,843 - 0,388 = 0,928 No exemplo anterior, se soubermos que o jovem sorteado do sexo masculino, qual a probabilidadedequesaibaler?Temosumainformaoparcial:ojovemdosexo masculino. Vamos designar a probabilidade de L quando se sabe que o jovem do sexo masculino por P (L M) e denomin-laprobabilidade condicional de L dado M. 17 natural atribuirmos: 0,82048.24939.577masculino sexo do jovens de total nmasculino sexo do aqueles dentre lersabem que jovens de n) M (L P = == = = == = = == = Note que: Por exemplo, a probabilidade de ser do sexo masculino dado que l dada por: 0,460850 . 101881 . 85850 . 101577 . 39(L) PL) (M P) L (M P = == Definiodeprobabilidadecondicional:SejamAeBeventosdeumexperimento aleatrioqualquer,comP(B)>0.AprobabilidadecondicionaldeAdadoB(denota-se por P (A B) definida como: P(B)B) P(AB) P(A = == = 2.6. Regra ou Teorema do produto Comoconseqnciadadefiniodeprobabilidadecondicional,podemoscalculara probabilidade da ocorrncia conjunta de dois eventos A e B.

(M) PL) (M P) M (L Pjovens de total nmasculino sexo do jovens njovens de total nlersabem que e masculino sexo do jovens n) M (L P==18 ( ) ( ) ) ( | ) () () (| B P B A P B A PB PB A PB A P = = Exemplo 13:Umaurnacontmfichasnumeradasde1a4.Retira-seumafichadaurnaaoacasoe anota-seonmero.Estafichaentorecolocadanaurna,eretira-senovamenteuma ficha,aoacaso,daurna.Qualaprobabilidadedetersadoafichacomnmero1,na primeira retirada, e de ser 5 a soma dos nmeros das duas fichas retiradas? Resoluo:Evento A: sair o nmero 1 na primeiraretirada =>P(A) = 41 Evento B: soma = 5 Evento B|A : {soma = 5 | a primeira ficha 1} , se queremos que a soma seja 5, ento preciso que a segunda ficha seja o nmero 4 P(B|A) = 41 Pelo teorema do produto temos que, ( )1614141) ( | ) ( = = = A P A B P B A P Exemplo 14: Duasvlvulasdefeituosassemisturamcomduasvlvulasperfeitas.Asvlvulasso ensaiadas,umaauma,atqueambasdefeituosassejamencontradas.Quala probabilidade de que a ltima vlvula defeituosa seja encontrada no segundo ensaio? Resoluo: Evento A : sair uma vlvula defeituosa =>P(A) = 42 Evento B : a ltima vlvula defeituosa Evento B|A : sair a ltima vlvula defeituosa | saiu uma vlvula defeituosa P(B|A) = 31 Pelo teorema do produto temos que, ( )1223142) ( | ) ( = = = A P A B P B A P 19 De modo geral, considere 3 eventos A, B e C, tem-se que = | = | | Esta relao pode ser estendida para um nmero finito qualquer de eventos. Exerccios: a)As falhas na fundao de um grande edifcio podem ser de dois tipos: A (capacidade desuportar)eB(fundaoexcessiva).Sabendo-sequeP(A)=0,001,P(B)=0,008e P(A|B)=0,1, determinar a probabilidade: i)De haver falha na fundao? Resposta:0,0082 ii)De ocorrer A e no B?Resposta:0,0002 b)Um sistema eletrnico consta de dois sub-sistemas digamos A e B. De testes prvios sabe-seque:P(Afalhe)=0,20;P(AeBfalhem)=0,15eP(Bfalhesozinho)=0,15. Calcule: i)P(A falhe | B falhou); Respostas: 0,5 ii)P(A falhe sozinho); Respostas: 0,05 c) Duas lmpadas queimadas foram acidentalmente misturadas com seis lmpadas boas. Se vamos testando as lmpadas, uma por uma, at encontrar duas defeituosas, qual a probabilidade de que a ltima defeituosa seja encontrada no quarto teste? Resposta: 3/28 2.7. Regra da probabilidade total Sejam A e B dois eventos de um experimento qualquer. H duas maneiras de B ocorrer, B AC B A A Ac 20 considerandoaocorrnciaounodoeventoA:ouAeBocorrem(AB)ouAceB ocorrem (Ac B). Deste modo, B = (A B) (Ac B), em que A B e Ac B so conjuntos disjuntos. Ento, P(B) = P(A B) + P(Ac B). Pela regra do produto P(B) = P(A) . P(B | A) + P(Ac) P(B | Ac) DEFINIO DE PARTIO: Tem-se umapartio de um espao amostral em um nmero finito de eventos Ai ( i = 1,2,...,n) se: 1) Se A1, A2, ..., An forem, dois a dois, eventos mutuamente exclusivos, isto , (Ai Aj) = para todo i j. 2) ==UniiA1, isto , os eventos A so exaustivos. REGRADAPROBABILIDADETOTAL: se a seqnciade eventos aleatrios A1 , A2 , ..., An formar uma partio de , ento: ( ) ( ) ( ) ( ) = =niiiiiA B P A P B A P B Pn Exemplo 7.15: Um lote de 100 peas composta de 20 peas defeituosas e 80 peas perfeitas, do qual extrairemos2peassemreposio.Qualaprobabilidadedasegundapeaextradaser defeituosa? Soluo: Evento A: a primeira pea extrada defeituosa Evento B: a segunda pea extrada defeituosa Pela regra da probabilidade total temos que, P(B) = P(A) . P(B | A) + P(Ac) P(B | Ac) = 519920.100809919.10020= + B A1A2 A3.....An 21 Exemplo 16:Em uma fbrica de parafusos so utilizadas n mquinas. Sejam P(Ai) a probabilidade de um parafuso provir da i-sima mquina, i = 1,2,...,n e P(BiA) indica a probabilidade do parafuso ser defeituoso sabendo-se que foi produzido pelaisima mquina. Do total de parafusos produzidos pela fbrica, escolhe-se ao acaso um parafuso. Qual a probabilidade de que o parafuso seja defeituoso? Soluo: SeBrepresentaoeventoparafusoescolhidodefeituoso,pelaregradaprobabilidade total, temos que: P(B) = P(B 1A ) P(A1) + P(B 2A ) P(A2) + ......+ P(B nA ) P(An) Podemosaindaestarinteressadosemsaberaprobabilidadedai-simamquinater produzido o parafuso defeituoso. 2.8. Regra de Bayes (probabilidade das causas de um evento observado) ( )( )( )( )( ) ( )( ) ( ) = =jji iiiiAj B P A PA B P A PB A PB PB A PB A PEstaregratilquandoconhecemosasprobabilidadesdosAieasprobabilidades condicionais deB dado Ai, mas no conhecemos diretamente a probabilidade de B. Exemplo17:Admitaquenafbricadeparafusostenhamtrsmaquinas.Suponhaque as mquinas A, B e C produzem 25%, 35% e 40% do total produzido, respectivamente. Daproduodecadamquina5%,4%e2%,respectivamente,soparafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso: a) Qual a probabilidade dele ser defeituoso? b)Verifica-se que ele defeituoso. Qual a probabilidade de que o parafuso venha da mquina A? Soluo: P(A)=0,25 probabilidade da mquina A produzir um parafuso. P(B)=0,35 e P(C) =0,4 P(D|A)=0,05 , P(D|B)=0,04 e P(D|C)=0,02

P(D) = P(D A) + P(D B) + P(D C) = P(A) P(D|A) + P(B) P(D|B) + P(C) P(D|C) = 0,250,05 + 0,350,04 + 0,40,02 = 0.0345 22 P(A | D) = ) () (D PD A P =) () | ( ) (D PA D P A P= 0345 , 005 , 0 5 2 , 0 = 0,3623 Exemplo 18: Emumaurna,h10bolas:4brancase6vermelhas.Duasbolassosorteadas sucessivamente, sem reposio. Qual a probabilidade da 2 bola ser vermelha? Resoluo: Sejam os eventos: V1: primeira bola retirada vermelha; V2: segunda bola retirada vermelha; B1: primeira bola retirada branca; B2: segunda bola retirada branca; Queremos calcular P(V2). Temos que: 106) (V P1= 1041061 ) V ( P 1 ) V ( P1c1= = = 23 Se V1 ocorreu, isto , saiu vermelha na primeira retirada, ento a composio da urna fica Pela regra de probabilidade total, temos que: = | +| 95) V P(Vrestantes) brancas 4 e vermelhas 5 dentre vermelha bola 1 (sortearP ) V P(V1 21 2== 96) B P(Vrestantes) brancas 3 e vermelhas 6 dentre vermelha bola 1 (sortearP ) B P(V1 21 2== Portanto, 106) P(V9495106) P(V1049610695) P(V222=||

\|+ = + = Podemosfazerodiagramaemrvoreourvoredeprobabilidadesdasituaodescrita neste exerccio. 24 1069610495106) ( = + = A P Exerccio: 1)Numa indstria de enlatados, as linhas de produo I , II eIII respondem por 50%, 30%e20%daproduo,respectivamente.Asproporesdelatascomdefeitode produo nas linhas I , II e III so 0,4% , 0,6% e 1,2%. Qual a probabilidade de uma lata defeituosa (descoberta ao final de inspeo do produto acabado) provir da linha I? Resposta: 3110 2)Considere 2 caixas com parafusos. Em ambas as caixas temos parafusos longos (L) e curtos (C). Na caixa 1 temos 60 L e 40 C e na caixa 2 temos 10 L e 20 C. Vamos selecionar uma caixa ao acaso e dessa caixa tirar um parafuso ao acaso. Calcule : a)A probabilidade do parafuso ser longo ? Resposta: 21b) A probabilidade do parafuso ser curto e no ser da caixa 2 ? Resposta: 51 2.9. Independncia estatstica Dois eventos so ditos independentes quando a ocorrncia de um deles no interfere na probabilidade de ocorrncia do outro. Em linguagem matemtica, dados A,B , A e B so ditos independentes,se e somente se : P( AB) = P(A) e P( BA) = P(B) 1061049594969395*10694*10696*10493*10425 Nesse caso, temos que P(A B) = P(A) . P(B) Exemplo 19: A probabilidade de que A resolva um problema de 2/3 e a probabilidade de que B resolva de 3/4. Se ambos tentarem independentemente, qual a probabilidade do problema ser resolvido? Resoluo: A : A resolve B : B resolveA B: A e B resolvemA B : A ou B resolvem => o problema resolvido Como so eventos independentes, P(A B) = P(A).P(B) eP(A B) = P(A) +P(B) - P(A).P(B) = 2/3 + 3/4 (2/3)(3/4) = 2/3 + 3/4 2/4 = 125123 8=. Generalizando: Os eventos A1, A2,..., An , so independentes se e somente se a independncia for verificada para todos os subconjuntos de dois ou mais eventos desta famlia. Para que trs eventos sejam independentes necessrio verificar quatro igualdades: P(A B) = P(A) P(B) P(A C) = P(A) P(C) P(B C) = P(B) P(C) P(A B C) = P(A) P(B) P(C) que corresponde 4 1 33332= + = ||

\|+ ||

\|, igualdades a serem verificadas Para quatro eventos necessrio verificar onze igualdades que so: 11 1 4 6444342= + + = ||

\|+ ||

\|+ ||

\| Para n eventos necessrio verificar: 26 1 n2nknn2 k = ||

\|= igualdades Se Ai`, i= 1, 2, 3, ..., n , uma famlia finita de eventos independentes, ento =||

\|= =n1 in1 i) A ( P A P i i IObservar que: = = ) ( ) | ( ) () ( ) | ( ) (B P B A P B A PA P A B P B A Ppara eventos quaisquer (condicional) { ) ( ) ( ) ( B P A P B A P = para eventos independentes Como conseqncia dos resultados acima, tm-se que e so independentes de qualquer evento A,A . Para ver isto note que: 1)P( A) = P( ) = 0 = P() P(A) 2)P( A) = P(A) = P() P(A) Exerccios a)Umamquinaconsistede4componentesligadosemparalelodetalformaquea mquinafalhaapenasquandotodososcomponentesfalharem.Supondoqueasfalhas so independentes entre si e se cada componente tem respectivamente as probabilidade 0,1,0,2,0,3,e0,4defalharquandoamquinaligada,qualaprobabilidadeda mquina no falhar ? Resposta: 0,9976. b)Aprobabilidadedeumhomemviver,maisdezanoseaprobabilidadedeuma mulhervivermaisdezanos 31 .Encontreaprobabilidadedeambosestaremvivos dentrodedezanosedeaomenosumestarvivodentrodedezanos.Resposta: 121 e 21. 27 1 LISTA DE EXERCCIOS l) Descrever o espao amostral (S) e eventos associados a cada um dos experimentos a seguir: E1: Lanam-se dois dados perfeitos e observam-se os nmeros nas facesvoltadas para cima;A1: A soma das faces sete; E2: Lanar uma moeda trs vezes, sucessivamente, e anotara seqncia de caras (K) e coroas (C ); A2: Sair pelo menos duas caras; E3: Lanar uma moeda e um dado, simultaneamente, e registrar osresultados; A3: Obteno de face impar no dado; E4:Lanarumamoedatrsvezes,sucessivamente,eregistraronmerodecaras ocorrido; A4: Sair pelo menos duas caras; E5:Numa linha de produo conta-se o nmero de peas defeituosas num perodo de 1 hora; A5: Obter menos de 3 defeituosas E6: Mede-se a durao de lmpadas, deixando-as acesas at que queimem;A6: O tempo de vida da lmpada inferior a 30 horas; E7: Um fabricante produz um determinado artigo. Da linha de produo so retirados 3 artigos e cada um classificado como bom(B) ou defeituoso(D). A7: Pelo menos dois artigos so bons. E8:Umlotededezpeascontmtrsdefeituosas.Aspeassoretiradasumaauma, semreposio,atqueaultimapeadefeituosasejaencontrada.Onmerototalde peas retiradas registrado. A8: Menos de cinco peas foram retiradas. E9:Peassofabricadasatquedezpeasperfeitassejamproduzidas.Onmerototal de peas fabricadas anotado. A9: Quinze ou mais peas foram fabricadas 28 2)Suponha-seduasurnascontendo,cadauma,quatrobolasnumeradasde1a4. Considera-se oexperimento queconsiste, em retirar,aoacaso, uma bolade cada urna. Descreva o espao amostral. Determine os seguintes eventos: a) a soma do nmero de pontos mpar; b) a bola extrada da primeira urna contm o nmero dois. 3)SejamA,BeCtrseventosquaisquer.Estabeleaumaexpressoparaoseventos abaixo: a)A e B ocorrem; b) A ou B ocorrem; c) B ocorre, mas A no ocorre; d) A no ocorre;e)noocorreAenoocorreB;f)AeBocorrem,masCnocorre;g)somenteA ocorre, mas B e C no ocorrem. 4)Umprodutomontadoem3estgios.Noprimeiroestgio,existem5linhasde montagem;nosegundoestgio,existem4linhasdemontagemenoterceiroestgio, existem6linhasdemontagem.Dequantasmaneirasdiferentespoderoprodutose deslocar durante o processo de montagem?5)Uminspetorvisita6mquinasdiferentesduranteumdia.Afimdeevitarqueos operriossaibamquandoeleosirinspecionar,oinspetorvariaaordenaodesuas visitas. De quantas maneiras isto poder ser feito? 6)Ummecanismocomplexopodefalharem15estgios.Dequantasmaneiraspoder falhar em exatamente 3 desses estgios? 7) Dados P(A) = 1/2 ; P(B) = 3/8; P(A B) =1/8, calcule: a)P(A B);b) P(A B) ; c)P(AB) ; d) P(A B) ; e) P(A B). 8)A MasterCard Internacional efetuou um estudo de fraudes em cartes de crdito; os resultados esto consubstanciados na tabela a seguir: Tipo de FraudeQuantidade Carto roubado243 Cartofalsificado85 Pedido por correio / telefone52 Outros46 Selecionando aleatoriamente um caso defraudenos casos resumidos na tabela, qual a probabilidade de a fraude resultar de um carto falsificado? 9)Umcertotipodemotoreltricofalhaseocorrerumadasseguintessituaes: emperramentodosmancais,queimadosenrolamentos,desgastedasescovas.Suponha que o emperramento seja duas vezes mais provvel do que a queima, esta sendo quatro vezes mais provvel do que o desgaste das escovas. Qual ser a probabilidade de que a falta seja devida a cada uma dessas circunstncias? 29 10)UmaurnaU1contem5bolasbrancase2pretas;outraurnaU2contem3bolas brancas e 6 bolas pretas; e outra urna U3contem 4 bolas brancas e 4 bolas pretas. Tira-seumaboladecadaurna.Calcularaprobabilidadedequesaiamumabolabrancae duas bolas pretas. 11) Lana-se uma moeda viciada de modo que a probabilidade de cara(K) igual a 2/3 e aprobabilidadedecoroa(C)iguala1/3.Seaparecercara,entoseleciona-se aleatoriamenteumnmerodentreosde1a9;seaparecercoroa,seleciona-se aleatoriamente um nmero dentre os de 1 a 5. Ache a probabilidade de um nmero par ser selecionado. Construa o diagrama em rvore. 12)Emumasala,10pessoasestousandoemblemasnumeradosde1at10.Trs pessoassoescolhidasaoacasoeconvidadasasaremdasalasimultaneamente.O nmero de seu emblema anotado. a)Qual a probabilidade de que o menor nmero de emblema seja cinco? b)Qual a probabilidade de que o maior nmero de emblema seja cinco? 13) Suponha que A e B sejam eventos independentes associados a um experimento. Se a probabilidadedeAouBocorreremforiguala0,6,enquantoaprobabilidadede ocorrncia de A for igual a 0,4 determine a probabilidade de ocorrncia de B. 14) Na tabela abaixo, os nmeros que aparecem so probabilidades relacionadas com a ocorrncia de A, B, A B, e assim por diante.. Verifique se A e B so independentes. BBc A0,040,060,10 Ac 0,080,820,90 0,120,881,00 15) Uma associao de indstrias transformadoras de resinas plsticas composta de 20 empresasqueproduzemsacosplsticos(S),10queproduzemgarrafas(G),8que produzemutensliosdomsticos(U)e2queseencarregamdebrinquedos(B).Ao escolhermos uma empresa ao acaso, achar a probabilidade de que: a) seja uma indstria que produza sacos plsticos ou utensliosdomsticos; b) seja uma indstriaprodutoradesacosplsticosoubrinquedos;c)nosejaumaindstriaque produza garrafas. 16)Trsalarmesestodispostosdetalmaneiraquequalquerumdelesfuncionar independentemente,quandoqualquercoisaindesejvelocorrer.Secadaalarmetem probabilidade0,9detrabalhareficientemente,qualaprobabilidadedeseouviro alarme quando necessrio? 30 17)Suponhaquetodososcomponentesdafiguraaseguirtenhamamesma confiabilidade(probabilidadedefuncionar)pefuncionemindependentemente, obtenha aconfiabilidade do sistema. . 12

L3R 45 18)As500propriedadesruraisdecertaregioforamclassificadasdeacordocoma extenso em hectares, conforme tabela abaixo. Sejam os eventos: A = {X: X < 5 ha}; B = { X : 5 X < 20 };C ={X:X 10 ha } Determine: a) P(A) ;b) P(B ) ; c)P(BC) ; d) P(AB). rea (ha) N. de Propriedades < 5 130 5 10 170 10 20 90 20 50 50 50 100 40 100 20

19)Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha que P(A) = 0,4, enquanto P(AUB) =0,7. Seja P(B) = p. a)Para que valor de p, A e B sero mutuamente exclusivos? b)Para que valor de p, A e B sero independentes?

20)SobaaodeumaforaF,asprobabilidadesdefalhanasbarrasa,becda estrutura mostradana figura abaixo so respectivamente 0,06 ; 0,05 e 0,04. Se ocorrer a falha em qualquer uma das barras, isto leva a falha em toda a estrutura.Supondo que as falhas nas barras so estatisticamente independentes, ache a probabilidade de ocorrer a falha da estrutura.

ba 31 c

21) Um sistema composto de 3 componentes 1, 2 e 3, comconfiabilidade 0,9 , 0,8 e 0,7, respectivamente. O componente 1 indispensvel ao funcionamento do sistema; se 2ou3nofuncionam,osistemafunciona,mascomrendimentoinferior.Afalha simultneade2e3implicaonofuncionamentodosistema.Supondoqueos componentes funcionem independentemente, calcular a confiabilidade do sistema. 22)Umprocessoindustrialproduz4%deitensdefeituosos.Aexperinciamostraque 25% dos itens defeituosos produzidos no so percebidos pelo inspetor de qualidade. Os itensbonssempresoaceitossatisfatoriamentepelainspeo.Qualaprobabilidadede que , se voc comprar um desses itens ,seja um item defeituoso? 23) Uma fbrica dispe de 3 mquinas para fabricar o mesmo produto . Essas mquinas soantigaseapresentamfreqentementedefeitosdefuncionamentocomasseguintes percentagens do tempo de utilizao:

MQUINATEMPO COM DEFEITO (%) A40 B35 C25 Verificam-senaspeasproduzidasasseguintesporcentagensdepeas defeituosas: MQUINAPEAS DEFEITUOSAS (%) A2 B4 C5 A gerncia decide substituir uma das mquinas a fim de diminuir a porcentagem de peas defeituosas. Qual das trs mquinas deve ser substituda? 32 24)Umartigomanufaturadoquenopodeserusadosefordefeituoso,devepassarpor duasinspeesantesdereceberembalagem.Aexperinciamostraqueumdos inspetores deixar passar 5% dos defeituosos, ao passo que o segundo inspetor deixar passar 4% dos tais artigos. Se os artigos sem defeito sempre passam pela inspeo e se 10%dosartigosprocessadossodefeituosos,quepercentagemdosartigosque passaram pelas duas inspees so defeituosos? 25) Numa faculdade 30% dos homens e 20% das mulheresestudam matemtica . Alm disso,45%dosestudantessomulheres.Seumestudanteselecionadoaleatoriamente est estudando matemtica, qual a probabilidade de que este estudante seja mulher? 26) Uma companhia de seguros analisou a freqnciacom que 2000 segurados usaram o hospital, distribudos segundo a tabelaabaixo . DISCRIMINAOHOMENSMULHERES usaram o hospital100150 no usaram o hospital900850 Escolhe-se um segurado ao acaso. Sendo definidos os eventos:A = {o segurado usou o hospital } e B = {o segurado homem }, determine: a) P(A B);b) P(A B); c) P(AUB). Calcule tambm as seguintes probabilidades: d)oseguradoescolhidoserhomem,sabendo-sequeutilizouohospital;e)osegurado escolhidoterutilizadoohospital,dadoqueerahomem;f)oseguradosermulherdado que no utilizou o hospital. 27) Um empreiteiro apresentou oramentos separados para a execuo da parte eltrica edapartedeencanamentodeumedifcio.Eleachaqueaprobabilidadedeganhara concorrncia da parte eltrica de 1/2. Caso ele ganhe a parte eltrica, a probabilidade de ganhar a parte de encanamento de 3/4; caso contrrio, essa probabilidade de 1/3. Qual a probabilidade de ele: a) ganhar os dois contratos;b) ganhar apenas um. 28)Umagrandeempresatemdoisdepartamentosdeproduo:ProdutosMartimose Produtos para Oficinas. A probabilidade de quea diviso de Produtos Martimos tenha no corrente ano fiscal, uma margem de lucrosde no mnimo 10% estimada em 0,30; a probabilidadedequeadivisodeEquipamentosparaOficinastenhaumamargemde lucrosdepelomenos10%0,20;eaprobabilidadedequeambasasdivisestenham uma margem de lucros de no mnimo 10% 0,06. Determine a probabilidade de que a33 diviso de Equipamentos para Oficinas tenha uma margem de lucros de no mnimo 10% dado quea diviso de Produtos Martimos tenha alcanado tal nvelde lucro. 29)Se A e B so dois eventosrelacionados com uma experincia E e so conhecidas as probabilidades P(A) , P(B) e P(A B), deseja-se em funo destas, as expresses das probabilidades dos seguintes eventos: a)(A B);b) (A B) ;c) (A B) ;d) (A B) . 30) Suponha que temos duas urnas 1 e 2, cada uma com duas gavetas. A urna 1 contm uma moeda de ouro em uma gaveta e uma moeda de prata na outra gaveta; enquanto a urna2contmumamoedadeouroemcadagaveta.Umaurnaescolhidaaoacaso;a seguir uma de suas gavetas aberta ao acaso. Verifica-se que a moeda encontrada nesta gaveta de ouro. Qual a probabilidade de que a moeda provenha da urna 2? 31)Trstimesdefutebolsoformadosselecionando-sejogadoresdetrspases diferentes da seguinte maneira: Time A1 5 brasileiros, 4 americanos, 2 argentinos Time A2 - 4 brasileiros, 2 americanos, 5 argentinos Time A3 - 2 brasileiros, 5 americanos, 4 argentinos Umtimeselecionadoaoacasoedestetimedoisjogadorestambmsoselecionados aoacaso.Osjogadoresselecionadosso1americanoe1argentino.Quala probabilidade do time A3 ter sido escolhido? 32) Uma companhia produz circuitos integrados em trs fbricas, I , II e III. A fbrica I produz40%doscircuitos,enquantoaIIeIIIproduzem30%cadauma.As probabilidadesdequeumcircuitointegradoproduzidoporestasfbricasnofuncione so 0,01, 0,04 e 0,03, respectivamente. Escolhido um circuito da produo conjunta das trs fbricas, Qual a probabilidade de o mesmo no funcionar? 33)Considereasituaodoproblemaanterior,massuponhaagoraqueumcircuito escolhidoaoacasoesejadefeituoso.Determinarqualaprobabilidadedeeletersido fabricado por I. 34)Umaindstriaqumicaproduzumagrandevariedadedeprodutosusandoquatro diferentesprocessos;amodeobradisponvelsuficientesomenteparaqueapenas umprocessosejaexecutadonumdadoinstante.Ogerentedaindstriasabequea descarga de uma poluio perigosano rio que passaem volta damesma , depende do processo que est em operao . As probabilidades de ocorrer poluio perigosapara os vriosprocessos,denotandoporFumadescargadepoluioperigosa,so:P(F|A) =0,40;P(F|B)=0,05;P(F|C)=0,30;P(F|D)=0,10.Todososoutrosprodutosda fbricasoconsideradosinofensivos.Emumdeterminadomssabe-sequeem20%, 40%,30%e10%dotemporespectivamenteusam-seosprocessosA,B,CeD. 34 Deseja-se saber qual a probabilidade de no termos uma descarga de poluio perigosa no determinado ms? Gabarito (1 lista) l)E1: 1 = {(1,1); (1,2); .....; (1,6) ; (2,1) ; (2,2) ; .....; (2,6); ......... ; (6,1) ; (6,2) ; .... ; (6,6) } A1 = {(1,6): (2,5); (3,4); (4,3); (5,2); (6,1) } E2: 2 = {KKK; KKC: KCK; CKK; KCC; CKC; CCK; CCC } A2 = {KKK, KKC, KCK, CKK } E3: 3 = {(K,1); (K,2);......;(K,6); (C,1); (C,2).....; (C,6) } E4: 4 = {0, 1, 2, 3 } A3 = {(K,1); (K,3); (K,5); (C,1); (C,3); (C,5) } A4 = { 2} E5: 5 = {0, 1, 2, 3,.........., N }onde N o n. mximo de peas defeituosas no perodo de 1 hora A5 = { 0,1, 2, 3} E6:6= {t:t0}ou6={t:0tto }ondetootempomximodevidada lmpada. A6 = { t : t < 30 }ouA6 = { t : 0 t < 30} E7: 7 = {BBB, BBD, BDB, DBB, BDD, DBD, DDB , DDD } A7= {BBB; BBD; BDB; DBB } E8: 8 = {3,4, 5,...., 10 }E9: 9 = {10, 11, 12,....} A8 = { 3, 4}A9 = { 15, 16, 17,...} 2) ={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4),(2,1),(2,2),(2,3), (2,4),(3,1),(3,2),(3,3), (3,4),(4,1), (4,2), (4,3), (4,4)} a) A={(1,2), (1,4), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,1), (4,3)} 35 b) B = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4)} 3)a)AB;b)AB;c)AB;d)A;e)AB;f)ABCg) (ABC ). 4)120 5) 7206) 4557)a)0,75;b)0,25 ;c)0,875;d)0,375;e)0,25 8)0,19959)8/13, 4/13 e 1/1310)0,380911) 0,4296 12)a)0,0833b)0,05 13)0,3333 14)A e B no so independentes15)a) 0,7b) 0,55c) 0,75 16) 0,999 17) p + 2p2 - 2p3 - p4 + p518) a) 0,26 ;b) 0,48 ;c) 0,74 ; d) 0,78 . 19 ) a )0,3b ) 0,520 )0,142721 ) 0,84622 ) 0,0123 ) B 24 )0,02%25 ) 0,352926 ) a) 1900/2000; b) 900/2000; c) 1150/2000; d) 100/250; e) 100/1000; f) 850/1750 27)a) 0,375 b ) 0,291728) 0,2 29) a) 1 - P(AB) ; b) 1 - P(A) - P(B) + P(AB) ; c) 1 - P(A) + P(AB) ; d) P(B) - P(AB). 30) 0,6667 31)0,526332)0,025 33)0,1634 ) 0,8 36 3.VARIVEL ALEATRIA 3.1. Conceitos bsicos Definio 1. SejamEumexperimentoeumespaoamostralassociadoaoexperimento. UmafunoXqueassocieacadaelementowi umnmeroreal,X(wi), denominada varivel aleatria. R . w1 x1 .w2 x2 .w3x3 .w4x4 UmavarivelaleatriaX,portanto,umafunocujodomniooespaoamostrale contra-domnio conjunto dos nmeros reais, ou seja, X:R Exemplo 1: a) E: Lanamento de uma moeda.Assim, = {cara, coroa}={w1, w2} ( )===coroa der se secara der ou sew Xseja, ou, w w , 0, se seja , w w , 121 b) E: Lanamento de duas moedas. Seja X o nmero de caras obtidas no experimento. X 37 Vamos denotar c: cara e k:coroa. Assim, = { cc, ck, kc, kk }= { w1, w2, w3, w4 } X(w1) = 2 X(w2 ) = X(w3) = 1 X(w4) = 0 c) E: Escolher um ponto ao acaso no intervalo [0,1]SejaXo quadrado do valor escolhido. Assim = [0,1], eX(w)= w2 w d) E: Escolher um ponto ao acaso no crculo unitrio. Seja X a distncia do ponto escolhido origem. Assim, = { (x,y) / x2 + y2 1} eX(w)= 2 2y x + Definio 2 .Seja X uma varivel aleatria. Se X assume valores em um conjunto finito ou infinito enumervel, ento X denominada varivel aleatria discreta. Exemplo 2: Sorteio den indivduos de uma populao. X : o nmero de indivduos do sexo masculino sorteados => X() = {0, 1, 2, 3, ..., n} Definio 3.Seja X uma varivel aleatria. Se X assume valores em um conjunto infinito no enumervel, ento X denominada varivel aleatria contnua. Exemplo 3: Retirada ao acaso um parafuso da produo diria de uma fbrica e registro de seu dimetro (em mm) e comprimento (em mm).Suponha que esta fbrica produza parafusos com dimetro entre 3 e 10 mm e comprimento entre 20 e 35 mm 38 X = Dimetro do parafuso => X() = [ 3, 10] Y = Comprimento do parafuso Y() = [ 20, 35] 3.2. Distribuio de probabilidade de uma varivel aleatria discreta Seja X uma v.a. discreta queassume os valoresx1, x2,...,xn.... A distribuio de probabilidadesdeXoconjuntodeparesdevaloresqueassociaacadavalorda varivelxi a probabilidade P(X = xi): (x1, P(X = x1)), (x2, P(X = x2)), ..., (xn, P(X = xn)),... De maneira que, a) 1 ) x (1= == = = == = = == = iiX P b) P(X = x) = p(x) 0 Exemplo 4: E: lanamento de um dado honesto. X: nmero da face observada=> X() = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A distribuio de probabilidade ( ou funo de probabilidade) de X dada por: X123456 P(X=x)1/61/61/61/61/61/6 Exemplo 5: Considere novamente o exemplo do lanamento de duas moedas. Seja X o nmero de caras Resultados (w)X (w)ProbabilidadeP (X = xi) (Cara, Cara)2 (Cara, Coroa)1 (Coroa, Cara)1 (Coroa, Coroa)0 39 Obtemos ento, P (X = 0) = P (X = 1) = + = P (X = 2) = 43) 2 X 1 ( P = < Exemplo 6: (Morettin e Bussab, 2006) Umempresriopretendeestabelecerumafirmaparamontagemdeumproduto composto de uma esfera e um cilindro. As partes so adquiridas em fbricas diferentes, eamontagemconsistiremjuntarasduaspartesepint-las.Oprodutoacabadodeve ter o comprimento (definido pelo cilindro) e a espessura (definida pela esfera) dentro de certoslimites,eissospoderserverificadoapsamontagem.Paraestudara viabilidade do seu empreendimento, o empresrio quer ter uma idia da distribuio dos lucros por pea montada. Sabe-sequecadacomponentepodeserclassificadocomoBOM,LONGOou CURTO, conforme sua medida esteja dentro da especificao, seja ela maior ou menor queaespecificada.Almdisso,foramobtidosdosfabricantesopreodecada componente(5unidadesdedinheiro)easprobabilidadesdeproduodecada componentecomascaractersticasBOM,LONGOeCURTO.Estesvaloresestona tabela abaixo: DistribuiodaproduodasfbricasAeB,deacordocomasmedidasdas peas produzidas ProdutoFbrica A Cilindro Fbrica B Esfera Dentro das especificaes ...... BOM (B)0,800,70 Maior que as especificaes ...... LONGO (L)0,100,20 Menor que as especificaes ...... CURTO (C)0,100,10 Fonte: Retirada das especificaes tcnicas das fbricas A e B Se o produto final apresentar algum componente com a caracterstica C, ele ser irrecupervel,eoconjuntoservendidocomosucataaopreode5unidades.Cada componente longo pode ser recuperado a um custo adicional de 5 unidades. Se o preo de venda de cada unidade de 25 unidades, como seria a distribuio das frequncias da varivel X: lucro por conjunto montado? 40 A construo desta distribuio de frequncias vai depender de certas suposies quefaremossobreocomportamentodosistemaconsiderado.Emvistadessas suposies,estaremostrabalhandocomummodelodarealidade,eadistribuioque obteremosserumadistribuioterica,tantomaisprximadadistribuiode frequncias real quanto mais fiis realidade forem as suposies. Primeiramente,vejamosaconstruodoespaoamostralparaamontagemdos conjuntossegundoascaractersticasdecadacomponenteesuasrespectivas probabilidades. Desde que os componentes vm de fbricas diferentes, vamos supor que a classificao doscilindros segundo suascaractersticas sejam eventos independentes; assim, obtemos a configurao abaixo. O espao amostral em questo est apresentado na tabela abaixo, junto com as respectivas probabilidades. CilindroEsferaB 0,70P(BB) = 0,56 B0,20 LP(BL) = 0,16 0,100,80 C P(BC) = 0,08 0,70B P(CB) = 0,07 0,10C 0,20L P(CL) = 0,02

0,10 CP(CC) = 0,01 BP(LB) = 0,07 0,10 0,70 L 0,20 L P(LL) = 0,02 0,10 C P(LC) = 0,01 41 Tabela: Distribuio de probabilidade das possveis composies das montagens MontagemProbabilidadeLucro por montagem (X) BB0,5615 BL0,1610 BC0,08-5 LB0,0710 LL0,0205 LC0,01-5 CB0,07-5 CL0,02-5 CC0,01-5 Fonte: Informaes no texto Assim, com os dados da tabela acima, vemos que X pode assumir um dos seguintes valores: 15se ocorrer o evento A1 = {BB} 10se ocorrer o evento A2 = {BL,LB} 05se ocorrer o evento A3 = {LL} -5se ocorrer o evento A4 = {BC,LC,CB,CL,CC} Cada um desses eventos tem uma probabilidade associada, ou seja, P(A1) = 0,56P(A2) = 0,23P(A3) = 0,02P(A4) = 0,19 o que nos permite escrever adistribuio de probabilidade da varivel X, que o empresrio poder usar para julgar a viabilidade econmica do projeto que ele pretende realizar. xP(X = x) 150,56 100,23 050,02 -50,19 Total1,00 42 Exerccios: a)SuponhaqueXsejaumav.a.discretaesuafunodistribuiodeprobabilidade seja P(X = k) = ck , para k = 1,2,3,4 e 5. Determine o valor da constante c. Res.151. b) Considere um lote de peas que contm 20% de defeituosas. Extramos ao acaso trs peascomreposioparaanlise.SejaXavarivelaleatriaquerepresentaonmero de peas defeituosas. Estabelea a funo distribuio de probabilidade de X.Resp.( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) )x 3 x0,8 0,2x3x) P(X | || || || | | || |

\ \\ \| || |= == = = == = , x=0,1,2,3 c)Determine o valor de c para que p(x)= = ||

\|contrrio caso , 0,.... 3 , 2 , 1 x para ,32cx

seja uma funo distribuio de probabilidade. Resp. 21 3.3. Distribuio de probabilidade de uma varivel aleatria contnua Seja X uma varivel aleatria contnua. A distribuio de probabilidade dada na forma de uma funo, chamada de densidade de probabilidade e denotada por f(x). Uma funo de densidade de probabilidade (fdp) satisfaz as seguintes condies: a) f(x) 0 ,R x b) + = 1 f(x)dx 43 Exemplos de funes de densidade: A funo densidade, por definio, possui rea sob a curva limitada pelo eixo xigual a 1 e a probabilidade de X tomar um valor entre a e b obtida calculando-se a rea compreendida entre esses dois valores. Isto , para qualquer a < b em R ( ) ( )= < > < b X < b/2). Resp.:8 b7b33+ b) Calcule E(Y) e V(Y), em que Y = 2X 3/5. Resp.:203V(Y) e1021E(Y) == 2. LISTA DE EXERCCIOS 1)Considere uma v.a. X com resultados possveis: 0,1,2,... . Suponha queP( X = j) = (1-a)aj,j=0,1,2,...Paraquevaloresdeaomodelorepresentaumalegtima distribuio de probabilidade. 2)Umaurnacontm5bolasdegudebrancase3pretas.Se2bolasdegudeso extradasaleatoriamentesemreposioeXdenotaonumerodebolasbrancas obtidas, encontre a distribuio de probabilidades de X. 3)O nmero de carros vendidos semanalmente num stand uma varivel aleatria X com a seguinte funo de probabilidade 55 X1234 P(X=x)cc/2c/3c/4 a) Determine a funo de distribuio de X.b)Calcule a probabilidade do nmero de carros vendidos no chegar a 4, sabendo que este valor superior a 1.c)Seoscustosfixossemanaissode30unidadesmonetrias(u.m.)quandoso vendidos 2 ou menos carros e 15 u.m. quando se vende mais de 2 carros e, alm disso, porcadacarrovendidohumlucrode35u.m.,determineafunodedistribuioda receita lquida semanal. 4) A probabilidade de que um bit seja transmitido com erro por um canal de transmisso digital 0,1. Assuma que as transmisses sejam ensaios independentes. a)SejaXonmerodebitstransmitidosatqueocorraoprimeiroerro.Determinea distribuio de X. b) Determine a probabilidade de se precisar observar mais que 5 ensaios de transmisso. c) Determine a probabilidade de se precisar observar mais que 5 ensaios de transmisso, aps j se ter observado 3 ensaios, sem que ocorresse erro. d) Determine o nmero esperado de ensaios at o primeiro erro.e)SejaYonmerodetransmissesataocorrnciadoquartoerro.Determinea distribuio de Y. f)Determineaprobabilidadedeseprecisarobservarnomximo6ensaiosde transmisso. g) Determine o nmero esperado do nmero de ensaios at o quarto erro. 5)Aprobabilidadedeumbemsucedidolanamentodefoguete0,8.Suponhaque tentativasdelanamentosejamfeitasatquetenhamocorrido3lanamentosbem sucedidos. a) Qual a probabilidade de que exatamente 6 tentativas sejam necessrias? b) Qual a probabilidade de que menos de 6 tentativas sejam necessrias? 56 c) Se cada tentativa de lanamento custa 5.000 u.m. e se um lanamento falho custa 500 u.m. adicionais, determine o custo esperado da operao. d) Suponha agora que as tentativas sejam feitas at que trs lanamentos consecutivos sejam bem sucedidos. Responda novamente as perguntas (a) e (b) nesse caso. 6) Os valores abaixo representam a distribuio de probabilidade de D, a procura diria de um certo produto. Calcule E(D) e V(D): D12345 P(D=d)010,10,30,30,2 a)Calcule E(D) e V(D); b) Estabelea a funo de distribuio acumulada. 7)O nmero de vendas realizadas por um agente de seguros diariamente uma v.a. com funo de probabilidade x01234 P(X=x)wztzw

a. Sabendo que em 10% dos dias as vendas so inferiores a um e que em 70% dos dias so superiores a um, determine w, z e t. b. Determine o nmero mdio de seguros vendidos diariamente. c. Determine E[2X 1] e V [2X 1]. d.Determineaprobabilidadedeque,quandoconsideradosdoisdias,asvendassejam superiores, em cada um deles, a duas unidades. e.Secadasegurofeitopor15000unidadesmonetrias,determineafunode probabilidade da receita obtida com a venda dos seguros num dia. f.Senumdiaareceitaforinferiora50000unidadesmonetrias,determinea probabilidade de que seja superior a 20000 unidades monetrias. 57 8)Considere a varivel aleatria discreta coma seguinte funo distribuio < < < 0) d) Determine a funo de distribuio acumulada de X e utilize-a para determinar os quartis de X e o percentil 90 e) Determine a moda de X. 13)Seja X uma v.a. contnua, que representa o tempo necessrio para a pintura de uma pea de automvel, em horas, com funo densidade de probabilidade dada por: > 105) + P(X < 85) = ||

\| < + ||

\| >5100 85Z P5100 105Z P== P(Z > 1) + P(Z < -3) =(0,5 - 0,3413) + (0,5 - 0,4987) = 0,1600 b) = 95 P(X > 105) + P(X < 85) = ||

\| < + ||

\| >595 85Z P595 105Z P== P(Z > 2) + P(Z < -2)=2 (0,5 0,4772) = 0,0456 83 4.2.2.Distribuio Log-normal SejaXumavarivelaleatriacontnuacomvalorespositivos.DizemosqueXtem distribuio log-normal com parmetrose 2 , para < < e2> 0,se a varivelY = ln X normalmente distribuda com mdiaevarincia 2 .A funo de densidade de probabilidade de X dada por: 0 x para, e2 x..1f(x)2 lnx21 -> =||

\| Propriedades: ( ) 1 e e V(X) 2)e E(X) 1)22222 ==++ O histograma a seguir foi construdo apartirdedadosprovenientesdeumadistribuiolog-normal.Acurvadesenhadasobreohistogramarepresentaafuno densidade de uma distribuio log-normal. Vemos que este grfico do tipo assimtrico positivo. Grfico da funo densidade da distribuio log-normal com parmetros =1 e 2=0,2 84 Exemplo3:Apenasparailustraraformadadistribuiolog-normal,que acentuadamenteassimtricapositiva,supondoqueadistribuiotem=0e=1, calcular a probabilidade da varivel aleatria X assumir um valor inferior a 2. P(X < 2 ) =0,7549 dx e2 x12 lnx2120=||

\| (Faa y = ln x) Exemplo4:Emumasriedeexperinciasverificou-sequeosganhosdecorrentede certostransistores(osquaissoproporcionaisaologaritmoneperianode ESII,relao dasintensidadesdecorrentedesadaedeentrada)seguemdistribuionormalcom parmteros 2 e 0,01. Qual a probabilidade de que tenhamos ESIIentre 6,1 e 8,2? Soluo: Como o ganho de corrente se mede com unidades tais que se igualam a ln|||

\|ESII e se os ganhos seguem uma distribuio normal ento ESII segue a distribuio log-normal. Da,823401 , 0 472571 , 0 350830 , 0 2 , 8II1 , 6ES= + =|||

\| P 4.2.3.Distribuio Exponencial Estadistribuiobastanteutilizadanateoriadaconfiabilidadeparamodelaros temposdeesperaentreocorrnciasdeeventosemumProcessodePoisson.Emgeral estemodeloprobabilsticotambmutilizadoparamodelartempodeesperaemuma fila, tempo de sobrevivncia de um grupo de pacientes aps o incio de um tratamento e tempo de vida de material eletrnico.Ohistogramaaseguirfoiconstrudoapartirdedadosprovenientesdeuma distribuioexponencial.Acurvadesenhadasobreohistogramarepresentaafuno densidadedeumadistribuioexponencial.Vemosqueestegrficodotipo assimtrico positivo. Grfico da funo densidade da Distribuio exponencial com parmetro =1000 85 Uma varivel aleatria contnua X, que assume valores no-negativos, ter uma distribuio exponencial com parmetro > 0, se sua fdp for dada por: contrrio caso ,00 x,1) f(xx1=e Notao: X~exp( ) Propriedades: a)A funo de distribuio dada por: F(x) = P(X x) = x ) = e-(1/)x b)E(X) ==0x1dx1x ec)V(X) = E(X2) E2(X) = 2 2 22 = em queE(X2) = . dx1x20x12=e86 d)P(X>s+t|X>s)= t1- -s1-t) s (1eees) P(X) ts P(Xs) P(Xs) X e ts P(X= =>+ >=>> + >+ para quaisquer s, t > 0 Esteltimoresultadomostraqueadistribuioexponencialapresentaa propriedadedenopossuirmemria.Istosignificaqueaprobabilidadede sobreviver mais t unidades de tempo a mesma, quer j se tenham passado s unidades detempo,ou0unidades.Ouseja,nohenvelhecimento.Estahiptese frequentemente razovel para a vida de materiais eletrnicos. Exemplo5: Uma lmpada tem a durao de acordo com a densidade exponencial com =1000. Determinar: a)a probabilidade de que essa lmpada queime antes de 1.000 horas; b)a probabilidade de que ela queime depois de sua durao mdia; c)a varincia da distribuio do tempo de durao dessa lmpada. Resoluo: Seja T o tempo de durao da lmpada. a) P( T < 1.000) == =1 -10000t10001 e - 1 dt e100011 - 0,3679 = 0, 6321 b) P( T > 1000) = 0,3679 c) V(T) = (1000)2

4.2.4.Distribuio Gama A distribuio gama tem aplicao em Teoria de Confiabilidade. Ohistogramaaseguirfoiconstrudoapartirdedadosprovenientesdeuma distribuio gama. A curva desenhada sobre o histograma representa a funo densidade desta distribuio que tambm do tipo assimtrico positivo. 87 Grfico da funo densidade da distribuio gama com parmetros r=2 e =3 UmavarivelaleatriacontnuaX,queassumevaloresno-negativos,teruma distribuio gama com parmetros > 0e r >0, se sua fdp for dada por: ( ) contrrio caso ,00 x, x) (r1) f(xx/ 1 - r> = er Na densidade acima, o smbolo denota a funo gama, que dada por: ( ) > = 0x 1 p0. kpara definida dx, e x kPode-se mostrar que se p for um nmero inteiro positivo, obtm-se que (k) = (k-1)! Notao: X ~ gama(r, ) Propriedades: a)Ser=1tem-sef(x)= x1e queadensidadedeumadistribuioexponencial. Portanto, a distribuio exponencial um caso particular da distribuio gama. 88 b)E(X) =r; c)V(X) = r2 d)Umcasoparticular,muitoimportante,dadistribuiogamaserobtidoser= n/2 e = 2, em que n um inteiro positivo. Esta distribuio denominada qui-quadrado com n graus de liberdade. Exemplo6:Emcertacidadeoconsumodiriodegua(emmilhesdelitros)segue aproximadamente uma distribuio Gama (2,3). Se a capacidade diria para essa cidade de9milhesdelitrosdegua,qualaprobabilidadequeemumcertodiao fornecimento de gua seja inadequado? Resoluo: X: Consumo dirio de gua em milhes de litros P(X > 9) = ( )0,1992 dx e x2 313x1 292=

Obs.: Esta integral deveser resolvida por partes,lembrando tambm que(n)=(n-1)! para n inteiro positivo. 4.2.5.Distribuio Weibull A distribuio Weibull tem uma aplicao importante em Teoria de Confiabilidade. Ohistogramaaseguirfoiconstrudoapartirdedadosprovenientesdeuma distribuioWeibull.Acurvadesenhadasobreohistogramarepresentaafuno densidade desta distribuio, que tambm do tipo assimtrico positivo. Grfico da funo densidade da Distribuio Weibull com parmetros =2 e =2 89 UmavarivelaleatriacontnuaX,queassumevaloresno-negativos,teruma distribuio Weibull com parmetros > 0 e > 0, se sua fdp for dada por: contrrio caso ,00 x,xexp x) f(x1 -)`||

\|= Propriedades: a) E(X) = |||

\|+ 11 b) V(X) = )`((

|||

\|+ |||

\|+ 221112 c) )`||

\|=0 x xexp - 10 x0,F(x) xf(x)0 1 2 3 40.00.10.20.30.490 d)Se=1tem-se xe x f=1) ( .Portanto,adistribuioexponencialumcaso particular da distribuio Weibull. Exemplo7:Otempodevida,emhoras,deumcomponenteeletrnicoseguea distribuio Weibull com = 0,4 e = 0,5. a)Qual a vida mdia? b)Calcule a varincia do tempo de vida desse componente. c)Qual a probabilidade do tempo de vida desse componente ultrapassar 30 horas? Resoluo: T: tempo de vida do componente eletrnico em horas a) E(T) =( ) 8 , 0 3 ) 4 , 0 ( = b) V(T) =( ) [ ] { } 8 3 ) 5 ( ) 4 , 0 (2= c) P( T> 30 ) = )`||

\| 5 , 00,430exp = 0,8909 4.3.INTRODUO TEORIA DA CONFIABILIDADE 4.3.1.Conceitos Considere que um componente ser observado sob condies de esforo, desde oinstantet=0atqueparedefuncionaradequadamentesoboesforoaplicado.A durao at falhar ou durao da vida pode ser considerada como uma varivel aleatria contnua T com alguma funo densidade de probabilidade f(t). Alguns exemplos deste tipo de experimento so: observar uma lmpada at que queime, uma viga sob uma carga at a ruptura, um fusvel intercalado em um circuito ou um dispositivo eletrnico posto em servio at que falhe. 91 Definio 1. Aconfiabilidadedeumcomponentenapocat,denotadaporR(t),definida comoR(t) = P(T > t), emqueTaduraodavidadocomponente.Rdenominadafunode confiabilidade. Esta definio simplesmente afirma quea confiabilidade de um componente igual probabilidade de que o componente no falhe durante o intervalo [0, t].Em termos da funo densidade de T, temos:=tds f(s) R(t) Para a funo de distribuio acumulada temos: F(t) - 1 t) T P( - 1 R(t) = =Oconceitodeconfiabilidadeumdosmaisimportantesparaumestudodos modelos de falhas. Estudaremos as seguintes questes: a)Queleidefalhassubjacenteserrazoveladmitir,isto,queformaa funo densidade de T deve ter ? b)Suponha-sequetemosdoiscomponentes,C1eC2,comleisdefalhas conhecidas. Esses componentes podem estar associados em srie Ou em paralelo, C1 C2 C1 C2 92 paraconstituirumsistema.Qualseraconfiabilidadedosistema?Qualadensidade razovel para a descrio do fenmeno de interesse? Abaixodescreveremososmodelosmaisusuaisutilizadosparadescreverfalhas de componentes. 4.3.2.A lei de falhas exponencial Aoestudarmosadistribuioexponencialvimosqueapropriedadedefaltade memriacaractersticadamesma.Ahiptesesubjacenteparaautilizaodeste modelodefalhas,portanto,dequenohajadesgastedocomponenteoupea.Isto significa que mesmo depois que a peaestiver em uso sua probabilidade de falhar no se altera com o passar do tempo. Uma consequncia desta suposio , que a fdp da varivel aleatria associada durao at falhar, T, ser dada por:0t e1f(t)t1- = (distribuio exponencial). bastante razovel admitir-se que um fusvel ou rolamento de rubis sejam to bonsquantonovos,enquantoestiveremaindafuncionando.Isto,seofusvelno tiverfundido,estarpraticamenteemestadonovo;nemorolamentosealterarmuito devido a desgaste. Em casos, tais como esses, a lei de falhas exponencial representa um modelo adequado com o qual se estudem as caractersticas de falhas da pea. Entretanto existem situaes em que a exponencial no satisfatria, por exemplo, se um pedao deaoforsubmetidoaesforocontinuado,haverobviamentealgumadeteriorao.Paul Meyer Exemplo 8: (Meyer, 1983)Sejaumcomponenteeletrnicoqueseguealeidefalhasexponencial.Dadosos parmetros = 100e R(t) = 0,90, determine o valor de t, nmero de horas. 0,90=e-0,01t t = 10,54 horas Logo,secadaumde100dessescomponentesestiveroperandodurante10,54horas, aproximadamente 90 no falharo durante aquele perodo. Exemplo 9: (Meyer, 1983) Considereumcircuitoeletrnicoconstitudode4transistoresdesilcio,10dodosde silcio, 20 resistores sintticos e 10 capacitores cermicos, operando em srie contnua e os componentes so independentes. Suponha que sob certas condies de trabalho, isto , tenso, corrente e temperaturaprescritas, cada uma dessas peas siga a lei de falhas exponencial com os seguintes parmetros: diodos de silcio:1/0,000002 transistores de silcio:1/0,000010 resistores sintticos: 1/0,000001 capacitores cermicos: 1/0,000002 93 Qual a confiabilidade do sistema para t = 10 horas? Resoluo: Para componentes independentes ligados em srie temos que a confiabilidade do sistema o produto das confiabilidades individuais dos componentes. Portanto,R(t) = (e-t.0,000002)10. (e-t.0,00001)4(e-t.0,000001)20. (e-t.0,000002)10 = e-0,000 1t Assim,paraumperodode10horasdeoperao,aprobabilidadedequeo circuitonofalheserdadapore-0,0001(10)=0,999.Aduraoatfalharesperadado circuito igual a 1/0,0001 = 10.000 horas. Exemplo 10: (Meyer,1983) Suponhamos que trs unidades sejam operadas em paralelo. Admita-se que todas sigam a lei de falhas exponencial com o parmetro = 100. Qual a confiabilidade do sistema? Resoluo: Paraaunidadeisolada,R1(t)=e-(1/)t,enquantoparaastrsunidadesemparalelo,R2(t) = 1 (1 e-(1/)t)3. Tabela: Confiabilidade para trs unidades operando em paralelo, taxa de falhas constante = 100 Tt/e-(1/)tR1(t)1-e-(1/)t(1-e-(1/)t)3 R2(t) 100,100,90480,90480,09520,00090,9991 500,500,60650,60650,39350,06090,9391 1001,000,36790,36790,63210,25260,7474 1501,500,22310,22310,77690,46890,5311 2002,000,13530,13530,86470,64650,3535 2502,500,08210,08210,91790,77340,2266 3003,000,04980,04980,95020,85800,1420 3503,500,03020,03020,96980,91210,0879 4004,000,01830,01830,98170,94610,0539 94 Nogrficoaseguirvemosascurvasdeconfiabilidadeparaaunidadeisoladae, tambm, para trs unidades em paralelo. Note que a curva de confiabilidade para as trs unidadesemparaleloestsempreacima,mostrandoquealigaodecomponentesem paralelotemsempremaiorconfiabilidadedoquequandoutilizamosumnico componente. 4.3.3.A lei de falhas Weibull AdistribuiodeWeibullrepresentaummodeloadequadoparaumaleide falhas, sempre que o sistema for composto de vrios componentes e a falha seja devida mais grave imperfeio ou irregularidade dentre um grande nmero de imperfeies do sistema. Seja T o tempo at a falha de um componente, com fdp dada por: contrario caso ,00 0, 0, t,texp t) f(t1 -> > )`||

\|= J vimos que esta a densidade de Weibull com parmetros e . A funo de confiabilidade R dada por R(t) =texp)`||

\|, que uma funo decrescente de t. Exemplo9:DoisdispositivoseletrnicoscomleidefalhasWeibull,comparmetros respectivamente: 1= 1000, 1=2 ; 2=1200, 2=3, so ligados em paralelo formando um nico sistema com funcionamento independente. Determinar: a)a confiabilidade de cada um dos dispositivos aps 1000h; b)a confiabilidade do sistema. 95 Resoluo: a) R1(t) = 210001000||

\|e = e-1 = 0,3679 R2(t) = 312001000||

\|e = 365||

\|e =0,5606 b) R(t) = e-1 + 365||

\|e - |||

\|||

\|3651.e e = 0,7223 Hvriasoutrasmaneirasdecombinarcomponentes,eapenasselecionamos algumas delas: (c)Sistemadereserva.Consideramosdoiscomponentes,osegundodosquais fica de reserva e funciona se, e somente se, o primeiro componente falhar. Neste caso, osegundocomponentearranca(instantaneamente)efuncionanolugardoprimeiro componente. Exerccios: 1.Testesparamediraduraodeaparelhoseletrodomsticosmostramqueomodelo adequado o normal com = 26.000 horas e = 4.000 horas. Pede-se a probabilidade de que um aparelho escolhido ao acaso dure: 96 a)mais que 25.000 horas; b)menos que 30.000 horas; c)sabe-sequeseumdefeitoaparecerdentrodotempodegarantiaafbricadeve consert-lo,tendoassimumprejuzo.Qualdeveseragarantiaparaquea porcentagem de aparelhos consertados dentro da garantia seja inferior a 10%? d)Quanto espera o fabricante ganhar por produto se o custo de fabricao A u.m., o preo de venda B u.m. e o custo do conserto, quando dentro da garantia ( veja item c) C u.m.? 2) O nmero de pedidos paracompra de certo produto que uma companhia recebe por semana distribui-se normalmente com mdia de 150 unidades e desvio padro de 30 unidades.Seemumasemanaoestoquedisponvelde180unidades,quala probabilidadedequeospedidossejamatendidos?Qualdeveriaseroestoquepara que, com probabilidade de 0,97 pudssemos atender aos pedidos? 3)Otempoqueumapessoalevaparaserservidanumalanchoneteumavarivel aleatriatendodistribuioexponencialcommdiade4minutos.Quala probabilidadequeumapessoasejaservidaemmenosdoque3minutosemao menos 4 dos prximos 6 dias? 4)Suponhaqueumsistemacontmcertotipodecomponentecujotempodevidaem anosatfalhardadopelavarivelaleatriaTdistribudaaleatoriamentecom parmetro=5.Secincodessescomponentessoinstaladosemdiferentes sistemas, qual a probabilidade que ao menos dois estejam funcionando ao fim de 8 anos? 5)Sabe-sequeavarivelaleatriaT(duraodeumcomponente)segueomodelo Weibull com = 5.000 e = 0,7. Ache t para que R(t) = 0,80 e R(500). 4 LISTA DE EXERCCIOS 1) Seja Z uma varivel aleatria com distribuio normal padro. Determine o valor de z: a)P(Z