UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMTICA
DEPARTAMENTO DE ESTATSTICA NOTAS DE AULA MAT236 MTODOS ESTATSTICOS
1 UNIDADE Elaborada pelos professores:Giovana Silva,Lia Moraes,
Rosana Castro e Rosemeire Fiaccone Revisada em 2010.2Monitora:
Tatiana Felix da Matta 1 1.INTRODUO 1.1. O que estatstica e suas
divises
Para muitos a Estatstica no passa de conjuntos de tabelas de
dados numricos. Mas ser que a estatstica s
isso?AEstatsticaoriginou-secomacoletaeconstruodetabelasdedadosparao
governo. A situao evoluiu e esta coleta de dados representa somente
um dos aspectos da Estatstica. Hoje em dia podemos adotar a
seguinte definio para a
Estatstica:AEstatsticaconstitui-senumconjuntodetcnicasemtodoscientficosque
tratamdacoleta,anliseeinterpretaodeinformaesnumricas,cujoobjetivo
principalauxiliarnatomadadedecisesoutirarconclusesemsituaesde
incerteza, a partir de informaes numricas. A Teoria Estatstica
moderna se divide em dois grandes campos: Estatstica Descritiva -
consiste num conjunto de mtodos que ensinam a reduzir uma
quantidade de dados bastante numerosa por um nmero pequeno de
medidas, substitutas e representantes daquela massa de dados.
EstatsticaIndutivaouInfernciaEstatstica-consisteeminferir(deduzirou
tirarconclusesarespeitodas)propriedadesdeumuniversoapartirde
umaamostra.Oprocessodegeneralizao,quecaractersticodo
mtodoindutivo,estassociadoaumamargemdeincerteza.Amedida
daincertezatratadamediantetcnicasemtodosquesefundamentam na Teoria
das Probabilidades. A Estatstica Descritiva abrange mtodos grficos
e numricos, utilizados para
resumirdadosdemaneiraquecaractersticasimportantesdaamostrapossamser
expostas.Adisponibilidadedeumagrandequantidadededadosedemtodos
computacionais muito eficientes revigorou a rea da Estatstica
denominada Estatstica Descritiva.
Namaioriadasvezesnopodemosinvestigarofenmenoqueestamos interessados
em estudar em todos os elementos da populao por ser o custo muito
alto, por necessitar de muito tempo para o levantamento dos dados.
Para resolver o problema devemos trabalhar com um subconjunto da
populao, chamado de AMOSTRA.
Seselecionarmososelementosdaamostradeacordocomcritriosestatsticos,
podemos conhecer as informaes relativas populao atravs da amostra.
Ainfernciaestatsticaprocuracombasenosdadosamostraistirarconcluses
sobre a populao. Considere o exemplo abaixo para ilustrar as
definies dadas. 2
Exemplo:(NotasdeAuladaDisciplinaMAT116-USP)Numapesquisaeleitoralum
InstitutodePesquisaprocuracombasenosresultadosdeumlevantamentoaplicadoa
uma amostra da populao prever o resultado da eleio. Considere o
candidato A: a) Denomine por p a proporo de pessoas que votaro em A
na eleio. b)Denominepor
aproporodepessoasnolevantamentodeopinio(amostra) que expressam
inteno de voto em A.Podemos usar o valor de para estimar a proporo
p da populao.O esquema a seguir resume as etapas de um trabalho
estatstico: 1.2. Por que precisamos aprender Estatstica? Quase toda
atividade e experincia humana envolvem coleta e anlise de algum
tipodeinformao(dados).Nacoletadedadosrelativosaocomportamentoououtras
caractersticasdeumgrupodeindivduos,amostrasaleatriasdeumprocessoou
resultados de repetitivas medies, sempre envolvem
variao.Mtodosestatsticosrepresentamasferramentasbsicasparacompreenderas
variaes, porque a anlise estatstica a nica base para tentar
entender variabilidade.ppTcnicas de Amostragem Populao Amostra
Anlise Descritiva Concluses sobre as caractersticas da populao
Inferncia Estatstica Informaescontidas nos dados 3
Osmtodosestatsticossoconscienteouinconscientementeusadosemvrias
situaes, especialmente na apresentao de informaes oriundas de dados
numricos.
Diversasvezes,apresentaessobaseadas,principalmente,emalgumtipodetcnica
utilizandoteoriasmatemticas;pormduranteapreparaoeapresentaodosdados,
mtodosestatsticossoutilizadosparadefiniratcnicadecoletadedadosechegara
umaconclusoatravsdasinformaescoletadas.Osmtodosestatsticostm
aplicaes em:
Indstrias:coletadedadosnalinhadeproduo,paramanterecontrolaro
processoprodutivo,oqueasseguraonveldeproduoeospadresde
qualidade;otimizaodoprocessoprodutivo;detecodasvariveisque
realmenteinfluenciamoprocesso,viabilizando-seasexperinciasquepossam
levaraalteraesefetivasnesseprocesso;planejamentodeexperimentos
viveis,comvistaseconomiadeobservaese,portanto,decusto; planejamento
de mtodos de coleta e anlise de dados para a explorao
mineral;Instituiespblicas:planejamentodacoleta,doarmazenamentoedo
processamentodeinformaes;processamentodedadoscomoobjetivode
sintetizar e divulgar resultados; montagem de tecnologia adequada
de gerao de indicadores econmicos; previso de safras, projeo de
demandas;Hospitaiseinstituiesdepesquisamdica:prestaodeassessoriaestatstica
noexamedavalidadedetestesclnicos;noestabelecimentodepadresde
referncia;nadeterminaodefatoresderiscodedoenas;nacomparaode
resultadosdediversostratamentosclnicosenoplanejamentodeexperimentos
clnicos controlados, de estudos de casos e de estudos
prospectivos;Empresasdepesquisadeopinioemercado:prestaodeassessoriaestatstica
nolevantamentodeaudinciasdeprogramasdeteleviso,dapopularidadede
candidatosacargospolticos;naavaliaodaaceitaodenovosprodutos;na
realizaodepesquisasparadeterminaodoperfildoconsumidoreno
planejamento e execuo e pesquisa para determinao das caractersticas
scio-econmicas dos habitantes da
regio;Bancosecompanhiasdeseguro:elaboraodeprevisesaseremutilizadas
como instrumento gerencial; trabalho em associao com a aturia nos
clculos dasprobabilidadesdemorte,doena,roubodecarro,etc.;otimizaode
procedimentos de atendimento ao pblicoCentros de pesquisa: prestao
de assessoria estatstica em todas as fases de um projeto de
pesquisa que envolva coleta, tratamento e anlise de dados.
Osempregadosdeumaempresadevemtornar-semaisfamiliarizadoscom
estatstica.Elesdevementendereconhecerastcnicasestatsticasdisponveis,e
adaptao de dados de experimentos para a anlise estatstica. Um
profissional treinado em Estatstica ter maior facilidade em
identificar um problema em sua rea de atuao, determinar os tipos de
dados que iro contribuir para a sua anlise, coletar estes dados e
aseguirestabelecerconclusesedeterminarumplanodeaoparaasoluodo
problema detectado. Qualquer um que deriveinformaes a partir de
dados est agindo como um estatstico. 4 2.PROBABILIDADE 2.1. Breve
histrico.
Dizsegeralmentequeateoriadaprobabilidadeoriginou-secomBlaisePascal
(1623-1662)ePierredeFermat(1601-1665),devidocuriosidadedeumcavalheiro
ChevalierdeMer,jogadorapaixonado,queemcartasdiscutiucomPascalproblemas
relativos probabilidade de ganhar em jogos de cartas. Despertado
pelo assunto Pascal
discutiucomFermatsobreoquehojechamaramosdeprobabilidadesfinitas.Masem
verdade a teoria elementar das probabilidades j tinha sido objeto
de ateno bem antes, uma vez que os jogos de azar sempre exerceram
fascnio sobre os homens.
AprimeiraobraconhecidaemqueseestudamasprobabilidadesolivroDe Ludo
Aleae (Sobre os jogos de azar) de Girolamo Cardano (1501-1576),
publicado em 1663. Tambm Galileu (1564-1642) preocupou-se com as
probabilidades, estudando os jogos de dados para responder a
pergunta de um amigo. A teoria das probabilidades passou a
desenvolver-se de maneira mais organizada a partir do sculo XVIIe
importantescontribuies de ilustres matemticos devem ser
registradas.Nofamosolivro,ArsCnjectandideJaimeBernoulli(1654-1705)
encontramosumteoremadeimportnciadecisivaparaateoriadasprobabilidades,
conhecidocomaLeidosGrandesNmeros,nomequelhefoidadopelomatemtico
francsSimonPoisson
(1781-1840).Poderamoscitarmuitosoutroscomimportantes
contribuies,mascertamenteomatemticoquemaiscontribuiuparaateoriadas
probabilidadesfoiLaplace(1749-1827).Seusinmerostrabalhossobreas
probabilidadesforamincorporadosemseumonumentalTratadoAnalticodas
Probabilidades.
Atualmenteasteoriasdasprobabilidadestmextremaimportncianasmais
diversareasdesdeaengenharia,medicina,epidemiologia,demografia,economia,
administrao,meteorologia,fotografiasdesatlites,marketing,prediodedesastres
naturais, cincias sociais entre outras.
Almdasmuitasaplicaesformais,oconceitodeprobabilidadeestnonosso dia
a dia. Sempre ouvimos e falamos frases como: Provavelmente vai
chover amanh ,
provvelqueoavioseatrase,Hboaschancesdequeeupossacomparecer. 5
Cadaumadestaexpressesestbaseadanoconceitodeprobabilidadedequecerto
evento ocorra. 2.2. Conceitos bsicos
Fenmenosouexperimentosaleatrios(E):Soaquelesemqueoprocessode
experimentaoestsujeitoaincertezas,logo,nopossvelcontrolartodasas
circunstnciasrelevantese,portanto,nopossvelprevercomexatidoosresultados
individuais. Caractersticas de um experimento aleatrio: a.1) Poder
ser repetido um grande nmero de vezes sob as mesmascondies; a.2) No
podemos afirmar que umresultado particular ocorrer, porm, podemos
descreveroconjuntodetodososresultadospossveisdoexperimento-as
possibilidades de resultado.
a.3)Quandooexperimentorepetidoumgrandenmerodevezes,surgiruma
regularidadenosresultados.Estaregularidade,chamadaderegularidade
estatstica, que torna possvelconstruir um modelo matemtico preciso
com o qual se analisar o experimento. A Teoria da Probabilidade
utilizada para descrever matematicamente experimentos cujos
resultados no podem ser completamente pr-determinados, ou seja,
visa definir um modelo matemtico que seja adequado descrio e
interpretao de fenmenos aleatrios.
Exemplo1:Considereoexperimentoaleatriodejogarumamoedaumanicavez.
Antesdamoedaserjogadanosesabeoresultado.Conhecem-seapenasospossveis
resultados:caraoucoroa.Admitindo-sequeamoedahonesta,cadaresultadotema
mesmachancedeocorrer.Nesteexemplo,modelospodemserestabelecidospara
quantificar as incertezas das diversas ocorrncias.
Fazendo-sealgumassuposiesadequadas,possvelescreverdistribuiesde
probabilidades (modelos probabilsticos) que representem muito bem
as distribuies de freqncias, que s so obtidas quando o fenmeno
observado. Modelo probabilstico definido por: a)Um espao amostral
(); b)Uma probabilidade, P( ), para cada ponto amostral.
Espaoamostral( ):conjuntodetodososresultadospossveisdeumexperimento
aleatrio. 6 Exemplos de experimentos aleatrios e seus respectivos
espaos amostrais: E1: Jogar uma moeda e observar a face superior. 1
= { Cara, Coroa } E2: Jogar um dado e observar a face superior. 2 =
{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 } E3: Determinar o tempo de vida til de uma
lmpada. 3 = { t / t 0 } Espaos amostrais podem ser finitos ou
infinitos. Evento: Qualquer subconjunto de um espao amostral.
Representado pelas letras latinas maisculas A, B, C,... Exemplo 2:
No lanamento de um dado consideremos o evento ocorrer um nmero par.
A: ocorrer um nmero par, em que = {1, 2, 3, 4, 5,6}.A = {2, 4, 6}
Exemplo 3: Vai chover no litoral baiano no fim de semana? = {chove,
no chove} Em geral, temos interesse em eventos particulares do
experimento. O evento A pode representar a ocorrncia de chuva A =
{chove} Os conjuntos e tambm so eventos: o evento certo o evento
impossvel
Exerccio:Descrevaoespaoamostralparacadaumdosseguintesexperimentosa
seguir: a)Numalinhadeproduoconta-seonmerodepeasdefeituosasnumperodo
de 1 hora;
Resposta:={0,1,2,...,N}emqueNonmeromximodepeasquepodemser
produzidas no perodo de 1 hora. 7 b)Mede-se a durao de lmpadas,
deixando-as acesas at que queimem;
Resposta:={t/0tt0}emquet0otempomximodeduraoda lmpada acesa, at que
ela se queime ou ={t / t 0 }.
c)Lanarumamoedatrsvezes,sucessivamente,eanotaraseqnciadecarase
coroas; Resposta: ={ (ca, ca, ca); (ca, ca, co); (ca, co, ca); (co,
ca, ca); (ca, co, co); (co, ca, co); (co, co, ca); (co, co, co)}.
d)Escolher ao acaso um ponto do crculo de raio um centrado na
origem. Resposta: ={( )2, y x ;12 2 + y x }. 2.3. Operaes com
eventos
Aorealizarumexperimentoaleatriodiz-sequeoeventoAocorreuseoresultado
observado for um elemento do subconjunto A. Dados dois eventos A e
B de um mesmo espao amostral: AB o evento em que A e B ocorrem
simultaneamente;AB o evento em que A ocorre ou B ocorre (ou ambos
ocorrem); AcA ou o evento em que Ano ocorre. Exemplo 4: E:
Lanamento de um dado
=
{1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento B: representa sair face par=> B =
{2, 4, 6} Evento C : representa sair uma face mpar => C = {1, 3,
5} Evento D: representa sair uma face maior que 3 => D = {4, 5,
6} Evento E: representa sair face 1 => E = {1} Evento B D:
representa sair uma face par e maior que 3 => {2, 4, 6} {4, 5,
6} = {4, 6} Evento B C: representa sair uma face par e mpar =>
{2, 4, 6} {1, 3, 5} = 8 Evento B D : representa sair uma face par
oumaior que 3 => {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6} Evento B C :
representa sair uma face par ou mpar => {2, 4, 6} {1, 3, 5} =
{1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento Bc = C Evento Cc = BSe dois eventos
quaisquer tm interseco vazia, isto , eles no podem ocorrer
simultaneamente,dizemosqueelessomutuamenteexclusivosoudisjuntos.No
exemplo 4, os eventos B e C so mutuamente exclusivos ou disjuntos,
visto que B C = . 2.4. Como atribuir probabilidade a um evento?
Calcularumaprobabilidademediraincertezaouassociarumgraude
confianaaosresultadospossveisdeumexperimento.Porexemplo,aoescolher,ao
acaso, uma carta de um baralho comum(bem embaralhado), o que mais
provvel, sair uma figura ( K, Q, J ) ou sair o dois de
copas?Asprobabilidadesassociamaoseventosumvalornointervalo[0,1].Quanto
maior o valor associado ao evento, maior a certeza de sua
possibilidade de ocorrncia.Seja um espao amostral. Uma funo P
definida para todos os subconjuntos de (chamados eventos) chamada
de probabilidade se: 1)0 P(A) 1, para todo evento A 2)P() = 1
3)SeA1,A2,...,Anforem,doisadois,eventosmutuamenteexclusivos,isto,(Ai
Aj) = para todo i j, ento ( ) ) ( ... ) ( ) ( 2 11nnii A P A P A P
A P + + + ==U = =nii A P1) (
Existemvriasmaneirasdeatribuirprobabilidadeaumeventodoespao
amostral. Vamos estudar duas formas. Uma das formas baseada em
espaos amostrais finitos.Um espao amostral equiprovvel quando todos
os elementos tm a mesma probabilidade de ocorrer, isto ,todos os
seus elementos so igualmente provveis. 9 Definio: Seja A um evento
associado ao espao amostral finito , no qual todos os resultados so
igualmente possveis (ou equiprovveis). Vamos definir a
probabilidade do evento A, P(A) como o quociente entre o nmero de
elementos em A e o nmero de elementos em : =##) (AA P , isto , a
razo entre os casos favorveis ao evento e o total de casos
possveis. Limitaes: Dificuldade em enumerar #A e # em alguns casos;
infinito;
Modeloadequadoapenasparaaclassedefenmenoscujooespaoamostral
equiprovvel. Exemplo 5: Qual a probabilidade de obter um nmero par
no lanamento de um dado? = {1,2,3,4,5,6} A = nmero par = {2, 4, 6}
P(A) = 63
Paracalcularprobabilidadeutilizandoadefinioclssica,emgeralutilizam-seos
mtodos de enumerao: Combinaes, arranjos e permutaes. Resumo de
algumas tcnicas sistemticas de enumerao 1 Princpios bsicos da
multiplicao Dados dois eventos, o primeiro dos quais pode ocorrer
de m maneiras distintas e
osegundopodeocorrerdenmaneirasdistintas,entoosdoiseventos
conjuntamente podem ocorrer de m.n maneiras distintas.
Exemplo6:Umabandeiraformadapor7listrasquedevemsercoloridas
usandoapenasascoresverde,azulecinza.Secadalistradeveterapenasuma
corenosepodeusarcoresiguaisemlistrasadjacentes,dequantosmodosse
pode colorir a bandeira? Soluo: Colorir a bandeira equivale a
escolher a cor de cada listra. H 3 modos de escolher a cor da
primeira listra e , a partir da, 2 modos de escolher a cor de cada
uma das outras 6 listras. A resposta 3x26 = 192. 10 2 Permutaes Uma
coleo de n objetos diferentes pode ser ordenada de n! maneiras
distintas.
Portanto,ondepermutaesdenobjetosdiferentesdadoporPn=n!(Essa
regradepermutao,traduzofatodequeoprimeiroobjetopodeserescolhido
denmaneirasdiferentes,osegundoobjetopodeserescolhidoden-1maneiras
distintas, e assim por diante).
Exemplo7:Dequantosmodospodemosarrumaremfila5 livrosdiferentesde
Matemtica,3livrosdiferentesdeEstatsticae2livrosdiferentesdeFsica,de
modo que livros de uma mesma matria permaneam juntos? Soluo:
Podemos escolher a ordem das matrias de 3! Modos. Feito isso, h 5!
Modos de colocar os livros de Matemtica nos lugares que lhe foram
destinados,
3!ModosparaosdeEstatsticase2!ModosparaosdeFsica.Aresposta:
3!5!3!2!= 6 x 120 x 6 x 2 = 86400. 3 - Arranjos
onmerodemaneirasdeescolherpobjetosdentrenobjetosdiferentes(sem
repetio),sendoaordemimportante,epermutarosescolhidos(0pn).
Portanto, o nmero de arranjos dado por: )! (!p nnApn=
Exemplo8:Noplanejamentodeumprogramanoturnodarededeteleviso
NBC,devemserescolhidos6showsdentre30disponveis.Quantas programaes
diferentes so possveis?
Soluo:Devemosselecionarp=6dentren=30programasdisponveis.Aquia
ordemtemimportncia,porqueosespectadoresvariamnodecorrerdotempo.
Logodevemoscalcularonmerodearranjos 000 . 518 . 427)! 6 30 (! 30)!
(!===p nnApn. 4 Combinao
onmerodemaneirasdeselecionarpobjetosdistintosdentrenobjetos
distintosdados,semconsiderarmosaordem.Cadaseleodepobjetos chamada
de uma combinao simples de classe p dos n objetos. Representamos
onmerodecombinaessimplesdeclassepdenelementospor pnCou|||
\|pn. Assimonmerodecombinaesdepobjetosextradosdeumconjuntoden
objetosdiferentes )! ( !!p n pnCpn=
.(Bastanotarqueselecionarpentreosn 11
objetosequivaleadividirosnobjetosemumgrupodepobjetos,queso
selecionados, e um grupo de n-p objetos, que so os
no-selecionados.) Exemplo 9: Com 5 homens e 4 mulheres, quantas
comisses de 5 pessoas, com exatamente 3 homens, podem ser formadas?
Soluo:Paraformaracomissodevemosescolher3dos5homense2das4 mulheres.
H60! 2 ! 2! 4.! 2 ! 3! 524.35.2435= =|||
\||||
\|= C C Exemplo10: Um lote formado de 2artigos bons e 1
defeituoso. Dois artigos so selecionados ao acaso: a)Quantos lotes
de 2 artigos diferentes podem ser formados sem considerarmos a
ordem? Trata-seaquidonmerodecombinaesdep=2artigosaserem
selecionados dentre 3. Temos3! 1 ! 2! 323= = C , (PP, DP, PD)
b)Quantoslotesde2artigosdiferentespodemserformadosconsiderandoa
ordem? Aqui, desejamos o nmero de seqncias (ou permutaes) de p=2
artigos a seremescolhidosdentreos3.Temos6! 1! 323= = A
,(P1P2,P2P1,D1P1,P1D1, D1P2, P2D1). Exerccios: a)Trs garotos e 3
garotas sentam-se em fila. Encontre a probabilidade das 3 garotas
sentarem juntas. Resposta: 0,2. b)Um lote formado de 10 artigos
bons, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves. Dois artigos
so escolhidos (sem reposio) ache a probabilidade de que: i-Ambos
tenham defeitos graves? Resposta: 0,00833. ii-Exatamente um seja
perfeito? Resposta: 0,5.
Aslimitaesdadefinioclssicadeprobabilidade,quesseaplicaaespaos
amostraisfinitoseequiprovveis,levaramaconsideraroutraformadecalcular
probabilidadedeumeventopartindodafreqnciarelativadoeventoaoserepetiro
12
experimento,nvezes,sobasmesmascondies.Emlinguagemmatemtica,quandon
cresce, o limite da freqncia relativa de ocorrncia de A igual a
P(A), isto ,P(A)nocorre Aque repeties de #lim ) ( lim = = nnnA f .
Exemplo11:Suponhaquevamosrealizarumexperimentodelanar20vezesuma
moeda e observar o nmero de caras. A cada lanamento vamos
considerar o nmero de caras que at ento ocorreram (n) dividido pelo
nmero de lanamentos (na), ou seja, a
freqnciarelativadecaras.Osresultadosreferentesaesseexperimentoencontram-se
na tabela abaixo: Nnafa=na/nnnana/n 1111166/11 211/21277/12
322/31377/13 433/41488/14 533/51588/15 633/61688/16 733/71788/17
844/81888/18 955/91999/19 1055/102099/20 Vejamos o comportamento
das freqncias relativas por meio do grfico a seguir: 13 A partir
desta Figura vemos que a medida que aumenta o nmero de lanamentos,
afreqncia relativa se aproxima de 0,5. Em linguagem matemtica
dizemos que a freqncia relativa converge para 0,5. Dificuldade do
ponto de vista matemtico: o nmero do limite real pode no
existir.
Exerccio (TRIOLA):
Emumapesquisaentreestudantesdeumafaculdade,1162afirmaramque
colavamnosexames,enquanto2468afirmaramnocolar[combaseemdadosdo
JosephsonInstituteofEthics(InstitutoJosephsondetica)].Selecionando
aleatoriamenteumdessesestudantes,determineaprobabilidadedesteestudanteter
colado em um exame. Resposta: 0,3201. Teoremas: 1.P() = 0
2.SeAcoevento complementar de A, ento P(Ac) = 1- P(A) 3.Sejam A e B
dois eventos quaisquer, ento: P (A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
Lanamentos sucessivos de uma moedaNmero de repeties versus freqncia
relativa de carasFreqncia0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,01 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2014 Demonstrao: AB= A[BAc]
B= (A B) (BAc) P(AB) = P(A) + P (BAc) -P(B) = -P(A B) - P (BAc) P
(AB) = P(A) + P(B) - P(A B) 4.Se A, B e C forem trs eventos
quaisquer, ento: P (A B C)=P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) -
P(B C) +P(A B C) Generalizao: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnr j ir j inj ij
inii nA A P A A A P A A P A P A A P + + + = < < < = K K
K11111 ) ( Exemplo 12: Se P(ABc)=0,2 e P(Bc)=0,7. Achar P(AB)? (Use
diagrama de Veen) P(ABc)=P(A) P(AB) 0,2 = P(A) - P(AB) P(A) = 0,2
+P(AB) P(Bc)= 1 P(B) 0,7 = 1 - P(B) P(B)= 0,3 P (A B) = 0,2 + 0,3 =
0,5 Exerccios:
1.Umloteformadopor10peasboas,4comdefeitosmenorese2comdefeitos
graves. Uma pea escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que:
a)a pea no tenha defeito grave? Resposta:0,875. b) a pea no tenha
defeito? Resposta:0,625. c)a pea seja boa ou tenhadefeito grave?
Resposta:0,75.
2.DoisprocessadorestipoAeBsocolocadosemtestepor50milhoras.A
probabilidadequeumerrodeclculoaconteaemumprocessadordotipoAde 301,
no tipo B, 801e em ambos, 10001 . Qual a probabilidade de que:
a)Pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro?
Resposta:0,045. b) Nenhum processador tenha apresentado erro?
Resposta:0,955. c)Apenas o processador A tenha apresentado erro?
Resposta:0,032. 15
3.Determineaprobabilidadedequenpessoasfaamaniversrioemdiasdistintos.
Para resolver este problema, ignoramos as idades, anos bissextose
supomos que os
aniversriosdecadapessoapodemcairemqualquerdiacomamesma
probabilidade. Resposta:( )nn3651 365 364 . 365 + K.
4.Oseguintegrupodepessoasestnumasala:5homensmaioresde21anos;4
homenscommenosde21anosdeidade;6mulheresmaioresde21anose3
mulheresmenoresde21anos.Umapessoaescolhidaaoacaso.Define-seos
seguintes eventos: A: a pessoa maior de 21 anos; B: a pessoa menor
de 21 anos ; C: a pessoa homem e D: a pessoa mulher. Calcule: a)P(B
D) b) P( C A ) c)P(A B) Respostas: a)0,722; b)0,167; c)0 ; d)0,389
5.Uma remessa de 30 arruelas contm 5 peas defeituosas e 25
perfeitas. Dez arruelas so escolhidas ao acaso (sem reposio) e
classificadas. a)Qual a probabilidade de que sejam encontradas
exatamente 3 peas defeituosas? Resposta:0,160 b)
Qualaprobabilidadedequeseencontremaomenos2peasdefeituosas?
Resposta: 0,5512 2.5. Probabilidade condicional Considere o exemplo
abaixo: Dados do Censo Demogrfico de 91 publicado pelo IBGE
relativos aos habitantes de Sergipe, na faixa etria entre 20 a 24
anos com relao s variveis Sexo e Leitura. SexoLNo lTotal
Masculino39.5778.67248.249 Feminino46.3047.29753.601
Total85.88115.969101.850 16 E: Um jovem entre 20 e 24 anos
escolhido ao acaso em Sergipe. : conjunto de jovens de Sergipe, com
idade entre 20 e 24 anos. #=101.850. Eventos de interesse: M: jovem
sorteado do sexo masculino F: jovem sorteado do sexo feminino L:
jovem sorteado sabe ler M L: jovem sorteado do sexo masculino e
sabe ler M L: jovem sorteado do sexo masculino ou sabe ler Podemos
obter algumas probabilidades: 843 , 0850 . 101881 . 85de jovens de
nlersabem que jovens de ) ( = ==nL P 473 , 0850 . 101245 . 48de
jovens de nmasculino sexo do jovens de ) ( = ==nM P P(F) = P(Mc) =
1 - P(M) = 1 - 0,473 = 0,527 850 . 101557 . 39jovens de nlersabem
que e masculino sexo do jovens de ) ( == nL M P P (M L) = P(M) +
P(L) - P(M L) = 0,473 + 0,843 - 0,388 = 0,928 No exemplo anterior,
se soubermos que o jovem sorteado do sexo masculino, qual a
probabilidadedequesaibaler?Temosumainformaoparcial:ojovemdosexo
masculino. Vamos designar a probabilidade de L quando se sabe que o
jovem do sexo masculino por P (L M) e denomin-laprobabilidade
condicional de L dado M. 17 natural atribuirmos:
0,82048.24939.577masculino sexo do jovens de total nmasculino sexo
do aqueles dentre lersabem que jovens de n) M (L P = == = = == = =
== = Note que: Por exemplo, a probabilidade de ser do sexo
masculino dado que l dada por: 0,460850 . 101881 . 85850 . 101577 .
39(L) PL) (M P) L (M P = ==
Definiodeprobabilidadecondicional:SejamAeBeventosdeumexperimento
aleatrioqualquer,comP(B)>0.AprobabilidadecondicionaldeAdadoB(denota-se
por P (A B) definida como: P(B)B) P(AB) P(A = == = 2.6. Regra ou
Teorema do produto
Comoconseqnciadadefiniodeprobabilidadecondicional,podemoscalculara
probabilidade da ocorrncia conjunta de dois eventos A e B.
(M) PL) (M P) M (L Pjovens de total nmasculino sexo do jovens
njovens de total nlersabem que e masculino sexo do jovens n) M (L
P==18 ( ) ( ) ) ( | ) () () (| B P B A P B A PB PB A PB A P = =
Exemplo
13:Umaurnacontmfichasnumeradasde1a4.Retira-seumafichadaurnaaoacasoe
anota-seonmero.Estafichaentorecolocadanaurna,eretira-senovamenteuma
ficha,aoacaso,daurna.Qualaprobabilidadedetersadoafichacomnmero1,na
primeira retirada, e de ser 5 a soma dos nmeros das duas fichas
retiradas? Resoluo:Evento A: sair o nmero 1 na primeiraretirada
=>P(A) = 41 Evento B: soma = 5 Evento B|A : {soma = 5 | a
primeira ficha 1} , se queremos que a soma seja 5, ento preciso que
a segunda ficha seja o nmero 4 P(B|A) = 41 Pelo teorema do produto
temos que, ( )1614141) ( | ) ( = = = A P A B P B A P Exemplo 14:
Duasvlvulasdefeituosassemisturamcomduasvlvulasperfeitas.Asvlvulasso
ensaiadas,umaauma,atqueambasdefeituosassejamencontradas.Quala
probabilidade de que a ltima vlvula defeituosa seja encontrada no
segundo ensaio? Resoluo: Evento A : sair uma vlvula defeituosa
=>P(A) = 42 Evento B : a ltima vlvula defeituosa Evento B|A :
sair a ltima vlvula defeituosa | saiu uma vlvula defeituosa P(B|A)
= 31 Pelo teorema do produto temos que, ( )1223142) ( | ) ( = = = A
P A B P B A P 19 De modo geral, considere 3 eventos A, B e C,
tem-se que = | = | | Esta relao pode ser estendida para um nmero
finito qualquer de eventos. Exerccios: a)As falhas na fundao de um
grande edifcio podem ser de dois tipos: A (capacidade
desuportar)eB(fundaoexcessiva).Sabendo-sequeP(A)=0,001,P(B)=0,008e
P(A|B)=0,1, determinar a probabilidade: i)De haver falha na fundao?
Resposta:0,0082 ii)De ocorrer A e no B?Resposta:0,0002 b)Um sistema
eletrnico consta de dois sub-sistemas digamos A e B. De testes
prvios
sabe-seque:P(Afalhe)=0,20;P(AeBfalhem)=0,15eP(Bfalhesozinho)=0,15.
Calcule: i)P(A falhe | B falhou); Respostas: 0,5 ii)P(A falhe
sozinho); Respostas: 0,05 c) Duas lmpadas queimadas foram
acidentalmente misturadas com seis lmpadas boas. Se vamos testando
as lmpadas, uma por uma, at encontrar duas defeituosas, qual a
probabilidade de que a ltima defeituosa seja encontrada no quarto
teste? Resposta: 3/28 2.7. Regra da probabilidade total Sejam A e B
dois eventos de um experimento qualquer. H duas maneiras de B
ocorrer, B AC B A A Ac 20
considerandoaocorrnciaounodoeventoA:ouAeBocorrem(AB)ouAceB ocorrem
(Ac B). Deste modo, B = (A B) (Ac B), em que A B e Ac B so
conjuntos disjuntos. Ento, P(B) = P(A B) + P(Ac B). Pela regra do
produto P(B) = P(A) . P(B | A) + P(Ac) P(B | Ac) DEFINIO DE PARTIO:
Tem-se umapartio de um espao amostral em um nmero finito de eventos
Ai ( i = 1,2,...,n) se: 1) Se A1, A2, ..., An forem, dois a dois,
eventos mutuamente exclusivos, isto , (Ai Aj) = para todo i j. 2)
==UniiA1, isto , os eventos A so exaustivos.
REGRADAPROBABILIDADETOTAL: se a seqnciade eventos aleatrios A1 , A2
, ..., An formar uma partio de , ento: ( ) ( ) ( ) ( ) = =niiiiiA B
P A P B A P B Pn Exemplo 7.15: Um lote de 100 peas composta de 20
peas defeituosas e 80 peas perfeitas, do qual
extrairemos2peassemreposio.Qualaprobabilidadedasegundapeaextradaser
defeituosa? Soluo: Evento A: a primeira pea extrada defeituosa
Evento B: a segunda pea extrada defeituosa Pela regra da
probabilidade total temos que, P(B) = P(A) . P(B | A) + P(Ac) P(B |
Ac) = 519920.100809919.10020= + B A1A2 A3.....An 21 Exemplo 16:Em
uma fbrica de parafusos so utilizadas n mquinas. Sejam P(Ai) a
probabilidade de um parafuso provir da i-sima mquina, i = 1,2,...,n
e P(BiA) indica a probabilidade do parafuso ser defeituoso
sabendo-se que foi produzido pelaisima mquina. Do total de
parafusos produzidos pela fbrica, escolhe-se ao acaso um parafuso.
Qual a probabilidade de que o parafuso seja defeituoso? Soluo:
SeBrepresentaoeventoparafusoescolhidodefeituoso,pelaregradaprobabilidade
total, temos que: P(B) = P(B 1A ) P(A1) + P(B 2A ) P(A2) + ......+
P(B nA ) P(An)
Podemosaindaestarinteressadosemsaberaprobabilidadedai-simamquinater
produzido o parafuso defeituoso. 2.8. Regra de Bayes (probabilidade
das causas de um evento observado) ( )( )( )( )( ) ( )( ) ( ) =
=jji iiiiAj B P A PA B P A PB A PB PB A PB A
PEstaregratilquandoconhecemosasprobabilidadesdosAieasprobabilidades
condicionais deB dado Ai, mas no conhecemos diretamente a
probabilidade de B.
Exemplo17:Admitaquenafbricadeparafusostenhamtrsmaquinas.Suponhaque
as mquinas A, B e C produzem 25%, 35% e 40% do total produzido,
respectivamente.
Daproduodecadamquina5%,4%e2%,respectivamente,soparafusos
defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso: a) Qual a
probabilidade dele ser defeituoso? b)Verifica-se que ele
defeituoso. Qual a probabilidade de que o parafuso venha da mquina
A? Soluo: P(A)=0,25 probabilidade da mquina A produzir um parafuso.
P(B)=0,35 e P(C) =0,4 P(D|A)=0,05 , P(D|B)=0,04 e P(D|C)=0,02
P(D) = P(D A) + P(D B) + P(D C) = P(A) P(D|A) + P(B) P(D|B) +
P(C) P(D|C) = 0,250,05 + 0,350,04 + 0,40,02 = 0.0345 22 P(A | D) =
) () (D PD A P =) () | ( ) (D PA D P A P= 0345 , 005 , 0 5 2 , 0 =
0,3623 Exemplo 18:
Emumaurna,h10bolas:4brancase6vermelhas.Duasbolassosorteadas
sucessivamente, sem reposio. Qual a probabilidade da 2 bola ser
vermelha? Resoluo: Sejam os eventos: V1: primeira bola retirada
vermelha; V2: segunda bola retirada vermelha; B1: primeira bola
retirada branca; B2: segunda bola retirada branca; Queremos
calcular P(V2). Temos que: 106) (V P1= 1041061 ) V ( P 1 ) V (
P1c1= = = 23 Se V1 ocorreu, isto , saiu vermelha na primeira
retirada, ento a composio da urna fica Pela regra de probabilidade
total, temos que: = | +| 95) V P(Vrestantes) brancas 4 e vermelhas
5 dentre vermelha bola 1 (sortearP ) V P(V1 21 2== 96) B
P(Vrestantes) brancas 3 e vermelhas 6 dentre vermelha bola 1
(sortearP ) B P(V1 21 2== Portanto, 106) P(V9495106) P(V1049610695)
P(V222=||
\|+ = + =
Podemosfazerodiagramaemrvoreourvoredeprobabilidadesdasituaodescrita
neste exerccio. 24 1069610495106) ( = + = A P Exerccio: 1)Numa
indstria de enlatados, as linhas de produo I , II eIII respondem
por 50%,
30%e20%daproduo,respectivamente.Asproporesdelatascomdefeitode
produo nas linhas I , II e III so 0,4% , 0,6% e 1,2%. Qual a
probabilidade de uma lata defeituosa (descoberta ao final de inspeo
do produto acabado) provir da linha I? Resposta: 3110 2)Considere 2
caixas com parafusos. Em ambas as caixas temos parafusos longos (L)
e curtos (C). Na caixa 1 temos 60 L e 40 C e na caixa 2 temos 10 L
e 20 C. Vamos selecionar uma caixa ao acaso e dessa caixa tirar um
parafuso ao acaso. Calcule : a)A probabilidade do parafuso ser
longo ? Resposta: 21b) A probabilidade do parafuso ser curto e no
ser da caixa 2 ? Resposta: 51 2.9. Independncia estatstica Dois
eventos so ditos independentes quando a ocorrncia de um deles no
interfere na probabilidade de ocorrncia do outro. Em linguagem
matemtica, dados A,B , A e B so ditos independentes,se e somente se
: P( AB) = P(A) e P( BA) = P(B)
1061049594969395*10694*10696*10493*10425 Nesse caso, temos que P(A
B) = P(A) . P(B) Exemplo 19: A probabilidade de que A resolva um
problema de 2/3 e a probabilidade de que B resolva de 3/4. Se ambos
tentarem independentemente, qual a probabilidade do problema ser
resolvido? Resoluo: A : A resolve B : B resolveA B: A e B resolvemA
B : A ou B resolvem => o problema resolvido Como so eventos
independentes, P(A B) = P(A).P(B) eP(A B) = P(A) +P(B) - P(A).P(B)
= 2/3 + 3/4 (2/3)(3/4) = 2/3 + 3/4 2/4 = 125123 8=. Generalizando:
Os eventos A1, A2,..., An , so independentes se e somente se a
independncia for verificada para todos os subconjuntos de dois ou
mais eventos desta famlia. Para que trs eventos sejam independentes
necessrio verificar quatro igualdades: P(A B) = P(A) P(B) P(A C) =
P(A) P(C) P(B C) = P(B) P(C) P(A B C) = P(A) P(B) P(C) que
corresponde 4 1 33332= + = ||
\|+ ||
\|, igualdades a serem verificadas Para quatro eventos necessrio
verificar onze igualdades que so: 11 1 4 6444342= + + = ||
\|+ ||
\|+ ||
\| Para n eventos necessrio verificar: 26 1 n2nknn2 k = ||
\|= igualdades Se Ai`, i= 1, 2, 3, ..., n , uma famlia finita de
eventos independentes, ento =||
\|= =n1 in1 i) A ( P A P i i IObservar que: = = ) ( ) | ( ) () (
) | ( ) (B P B A P B A PA P A B P B A Ppara eventos quaisquer
(condicional) { ) ( ) ( ) ( B P A P B A P = para eventos
independentes Como conseqncia dos resultados acima, tm-se que e so
independentes de qualquer evento A,A . Para ver isto note que: 1)P(
A) = P( ) = 0 = P() P(A) 2)P( A) = P(A) = P() P(A) Exerccios
a)Umamquinaconsistede4componentesligadosemparalelodetalformaquea
mquinafalhaapenasquandotodososcomponentesfalharem.Supondoqueasfalhas
so independentes entre si e se cada componente tem respectivamente
as probabilidade
0,1,0,2,0,3,e0,4defalharquandoamquinaligada,qualaprobabilidadeda
mquina no falhar ? Resposta: 0,9976.
b)Aprobabilidadedeumhomemviver,maisdezanoseaprobabilidadedeuma
mulhervivermaisdezanos 31
.Encontreaprobabilidadedeambosestaremvivos
dentrodedezanosedeaomenosumestarvivodentrodedezanos.Resposta: 121 e
21. 27 1 LISTA DE EXERCCIOS l) Descrever o espao amostral (S) e
eventos associados a cada um dos experimentos a seguir: E1:
Lanam-se dois dados perfeitos e observam-se os nmeros nas
facesvoltadas para cima;A1: A soma das faces sete; E2: Lanar uma
moeda trs vezes, sucessivamente, e anotara seqncia de caras (K) e
coroas (C ); A2: Sair pelo menos duas caras; E3: Lanar uma moeda e
um dado, simultaneamente, e registrar osresultados; A3: Obteno de
face impar no dado;
E4:Lanarumamoedatrsvezes,sucessivamente,eregistraronmerodecaras
ocorrido; A4: Sair pelo menos duas caras; E5:Numa linha de produo
conta-se o nmero de peas defeituosas num perodo de 1 hora; A5:
Obter menos de 3 defeituosas E6: Mede-se a durao de lmpadas,
deixando-as acesas at que queimem;A6: O tempo de vida da lmpada
inferior a 30 horas; E7: Um fabricante produz um determinado
artigo. Da linha de produo so retirados 3 artigos e cada um
classificado como bom(B) ou defeituoso(D). A7: Pelo menos dois
artigos so bons.
E8:Umlotededezpeascontmtrsdefeituosas.Aspeassoretiradasumaauma,
semreposio,atqueaultimapeadefeituosasejaencontrada.Onmerototalde
peas retiradas registrado. A8: Menos de cinco peas foram retiradas.
E9:Peassofabricadasatquedezpeasperfeitassejamproduzidas.Onmerototal
de peas fabricadas anotado. A9: Quinze ou mais peas foram
fabricadas 28
2)Suponha-seduasurnascontendo,cadauma,quatrobolasnumeradasde1a4.
Considera-se oexperimento queconsiste, em retirar,aoacaso, uma
bolade cada urna. Descreva o espao amostral. Determine os seguintes
eventos: a) a soma do nmero de pontos mpar; b) a bola extrada da
primeira urna contm o nmero dois.
3)SejamA,BeCtrseventosquaisquer.Estabeleaumaexpressoparaoseventos
abaixo: a)A e B ocorrem; b) A ou B ocorrem; c) B ocorre, mas A no
ocorre; d) A no
ocorre;e)noocorreAenoocorreB;f)AeBocorrem,masCnocorre;g)somenteA
ocorre, mas B e C no ocorrem.
4)Umprodutomontadoem3estgios.Noprimeiroestgio,existem5linhasde
montagem;nosegundoestgio,existem4linhasdemontagemenoterceiroestgio,
existem6linhasdemontagem.Dequantasmaneirasdiferentespoderoprodutose
deslocar durante o processo de
montagem?5)Uminspetorvisita6mquinasdiferentesduranteumdia.Afimdeevitarqueos
operriossaibamquandoeleosirinspecionar,oinspetorvariaaordenaodesuas
visitas. De quantas maneiras isto poder ser feito?
6)Ummecanismocomplexopodefalharem15estgios.Dequantasmaneiraspoder
falhar em exatamente 3 desses estgios? 7) Dados P(A) = 1/2 ; P(B) =
3/8; P(A B) =1/8, calcule: a)P(A B);b) P(A B) ; c)P(AB) ; d) P(A B)
; e) P(A B). 8)A MasterCard Internacional efetuou um estudo de
fraudes em cartes de crdito; os resultados esto consubstanciados na
tabela a seguir: Tipo de FraudeQuantidade Carto roubado243
Cartofalsificado85 Pedido por correio / telefone52 Outros46
Selecionando aleatoriamente um caso defraudenos casos resumidos na
tabela, qual a probabilidade de a fraude resultar de um carto
falsificado?
9)Umcertotipodemotoreltricofalhaseocorrerumadasseguintessituaes:
emperramentodosmancais,queimadosenrolamentos,desgastedasescovas.Suponha
que o emperramento seja duas vezes mais provvel do que a queima,
esta sendo quatro vezes mais provvel do que o desgaste das escovas.
Qual ser a probabilidade de que a falta seja devida a cada uma
dessas circunstncias? 29
10)UmaurnaU1contem5bolasbrancase2pretas;outraurnaU2contem3bolas
brancas e 6 bolas pretas; e outra urna U3contem 4 bolas brancas e 4
bolas pretas.
Tira-seumaboladecadaurna.Calcularaprobabilidadedequesaiamumabolabrancae
duas bolas pretas. 11) Lana-se uma moeda viciada de modo que a
probabilidade de cara(K) igual a 2/3 e
aprobabilidadedecoroa(C)iguala1/3.Seaparecercara,entoseleciona-se
aleatoriamenteumnmerodentreosde1a9;seaparecercoroa,seleciona-se
aleatoriamente um nmero dentre os de 1 a 5. Ache a probabilidade de
um nmero par ser selecionado. Construa o diagrama em rvore.
12)Emumasala,10pessoasestousandoemblemasnumeradosde1at10.Trs
pessoassoescolhidasaoacasoeconvidadasasaremdasalasimultaneamente.O
nmero de seu emblema anotado. a)Qual a probabilidade de que o menor
nmero de emblema seja cinco? b)Qual a probabilidade de que o maior
nmero de emblema seja cinco? 13) Suponha que A e B sejam eventos
independentes associados a um experimento. Se a
probabilidadedeAouBocorreremforiguala0,6,enquantoaprobabilidadede
ocorrncia de A for igual a 0,4 determine a probabilidade de
ocorrncia de B. 14) Na tabela abaixo, os nmeros que aparecem so
probabilidades relacionadas com a ocorrncia de A, B, A B, e assim
por diante.. Verifique se A e B so independentes. BBc A0,040,060,10
Ac 0,080,820,90 0,120,881,00 15) Uma associao de indstrias
transformadoras de resinas plsticas composta de 20
empresasqueproduzemsacosplsticos(S),10queproduzemgarrafas(G),8que
produzemutensliosdomsticos(U)e2queseencarregamdebrinquedos(B).Ao
escolhermos uma empresa ao acaso, achar a probabilidade de que: a)
seja uma indstria que produza sacos plsticos ou utensliosdomsticos;
b) seja uma
indstriaprodutoradesacosplsticosoubrinquedos;c)nosejaumaindstriaque
produza garrafas.
16)Trsalarmesestodispostosdetalmaneiraquequalquerumdelesfuncionar
independentemente,quandoqualquercoisaindesejvelocorrer.Secadaalarmetem
probabilidade0,9detrabalhareficientemente,qualaprobabilidadedeseouviro
alarme quando necessrio? 30
17)Suponhaquetodososcomponentesdafiguraaseguirtenhamamesma
confiabilidade(probabilidadedefuncionar)pefuncionemindependentemente,
obtenha aconfiabilidade do sistema. . 12
L3R 45
18)As500propriedadesruraisdecertaregioforamclassificadasdeacordocoma
extenso em hectares, conforme tabela abaixo. Sejam os eventos: A =
{X: X < 5 ha}; B = { X : 5 X < 20 };C ={X:X 10 ha }
Determine: a) P(A) ;b) P(B ) ; c)P(BC) ; d) P(AB). rea (ha) N. de
Propriedades < 5 130 5 10 170 10 20 90 20 50 50 50 100 40 100
20
19)Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha
que P(A) = 0,4, enquanto P(AUB) =0,7. Seja P(B) = p. a)Para que
valor de p, A e B sero mutuamente exclusivos? b)Para que valor de
p, A e B sero independentes?
20)SobaaodeumaforaF,asprobabilidadesdefalhanasbarrasa,becda
estrutura mostradana figura abaixo so respectivamente 0,06 ; 0,05 e
0,04. Se ocorrer a falha em qualquer uma das barras, isto leva a
falha em toda a estrutura.Supondo que as falhas nas barras so
estatisticamente independentes, ache a probabilidade de ocorrer a
falha da estrutura.
ba 31 c
21) Um sistema composto de 3 componentes 1, 2 e 3,
comconfiabilidade 0,9 , 0,8 e 0,7, respectivamente. O componente 1
indispensvel ao funcionamento do sistema; se
2ou3nofuncionam,osistemafunciona,mascomrendimentoinferior.Afalha
simultneade2e3implicaonofuncionamentodosistema.Supondoqueos
componentes funcionem independentemente, calcular a confiabilidade
do sistema.
22)Umprocessoindustrialproduz4%deitensdefeituosos.Aexperinciamostraque
25% dos itens defeituosos produzidos no so percebidos pelo inspetor
de qualidade. Os
itensbonssempresoaceitossatisfatoriamentepelainspeo.Qualaprobabilidadede
que , se voc comprar um desses itens ,seja um item defeituoso? 23)
Uma fbrica dispe de 3 mquinas para fabricar o mesmo produto . Essas
mquinas
soantigaseapresentamfreqentementedefeitosdefuncionamentocomasseguintes
percentagens do tempo de utilizao:
MQUINATEMPO COM DEFEITO (%) A40 B35 C25
Verificam-senaspeasproduzidasasseguintesporcentagensdepeas
defeituosas: MQUINAPEAS DEFEITUOSAS (%) A2 B4 C5 A gerncia decide
substituir uma das mquinas a fim de diminuir a porcentagem de peas
defeituosas. Qual das trs mquinas deve ser substituda? 32
24)Umartigomanufaturadoquenopodeserusadosefordefeituoso,devepassarpor
duasinspeesantesdereceberembalagem.Aexperinciamostraqueumdos
inspetores deixar passar 5% dos defeituosos, ao passo que o segundo
inspetor deixar passar 4% dos tais artigos. Se os artigos sem
defeito sempre passam pela inspeo e se
10%dosartigosprocessadossodefeituosos,quepercentagemdosartigosque
passaram pelas duas inspees so defeituosos? 25) Numa faculdade 30%
dos homens e 20% das mulheresestudam matemtica . Alm
disso,45%dosestudantessomulheres.Seumestudanteselecionadoaleatoriamente
est estudando matemtica, qual a probabilidade de que este estudante
seja mulher? 26) Uma companhia de seguros analisou a freqnciacom
que 2000 segurados usaram o hospital, distribudos segundo a
tabelaabaixo . DISCRIMINAOHOMENSMULHERES usaram o hospital100150 no
usaram o hospital900850 Escolhe-se um segurado ao acaso. Sendo
definidos os eventos:A = {o segurado usou o hospital } e B = {o
segurado homem }, determine: a) P(A B);b) P(A B); c) P(AUB).
Calcule tambm as seguintes probabilidades:
d)oseguradoescolhidoserhomem,sabendo-sequeutilizouohospital;e)osegurado
escolhidoterutilizadoohospital,dadoqueerahomem;f)oseguradosermulherdado
que no utilizou o hospital. 27) Um empreiteiro apresentou oramentos
separados para a execuo da parte eltrica
edapartedeencanamentodeumedifcio.Eleachaqueaprobabilidadedeganhara
concorrncia da parte eltrica de 1/2. Caso ele ganhe a parte
eltrica, a probabilidade de ganhar a parte de encanamento de 3/4;
caso contrrio, essa probabilidade de 1/3. Qual a probabilidade de
ele: a) ganhar os dois contratos;b) ganhar apenas um.
28)Umagrandeempresatemdoisdepartamentosdeproduo:ProdutosMartimose
Produtos para Oficinas. A probabilidade de quea diviso de Produtos
Martimos tenha no corrente ano fiscal, uma margem de lucrosde no
mnimo 10% estimada em 0,30; a
probabilidadedequeadivisodeEquipamentosparaOficinastenhaumamargemde
lucrosdepelomenos10%0,20;eaprobabilidadedequeambasasdivisestenham
uma margem de lucros de no mnimo 10% 0,06. Determine a
probabilidade de que a33 diviso de Equipamentos para Oficinas tenha
uma margem de lucros de no mnimo 10% dado quea diviso de Produtos
Martimos tenha alcanado tal nvelde lucro. 29)Se A e B so dois
eventosrelacionados com uma experincia E e so conhecidas as
probabilidades P(A) , P(B) e P(A B), deseja-se em funo destas, as
expresses das probabilidades dos seguintes eventos: a)(A B);b) (A
B) ;c) (A B) ;d) (A B) . 30) Suponha que temos duas urnas 1 e 2,
cada uma com duas gavetas. A urna 1 contm uma moeda de ouro em uma
gaveta e uma moeda de prata na outra gaveta; enquanto a
urna2contmumamoedadeouroemcadagaveta.Umaurnaescolhidaaoacaso;a
seguir uma de suas gavetas aberta ao acaso. Verifica-se que a moeda
encontrada nesta gaveta de ouro. Qual a probabilidade de que a
moeda provenha da urna 2?
31)Trstimesdefutebolsoformadosselecionando-sejogadoresdetrspases
diferentes da seguinte maneira: Time A1 5 brasileiros, 4
americanos, 2 argentinos Time A2 - 4 brasileiros, 2 americanos, 5
argentinos Time A3 - 2 brasileiros, 5 americanos, 4 argentinos
Umtimeselecionadoaoacasoedestetimedoisjogadorestambmsoselecionados
aoacaso.Osjogadoresselecionadosso1americanoe1argentino.Quala
probabilidade do time A3 ter sido escolhido? 32) Uma companhia
produz circuitos integrados em trs fbricas, I , II e III. A fbrica
I produz40%doscircuitos,enquantoaIIeIIIproduzem30%cadauma.As
probabilidadesdequeumcircuitointegradoproduzidoporestasfbricasnofuncione
so 0,01, 0,04 e 0,03, respectivamente. Escolhido um circuito da
produo conjunta das trs fbricas, Qual a probabilidade de o mesmo no
funcionar?
33)Considereasituaodoproblemaanterior,massuponhaagoraqueumcircuito
escolhidoaoacasoesejadefeituoso.Determinarqualaprobabilidadedeeletersido
fabricado por I.
34)Umaindstriaqumicaproduzumagrandevariedadedeprodutosusandoquatro
diferentesprocessos;amodeobradisponvelsuficientesomenteparaqueapenas
umprocessosejaexecutadonumdadoinstante.Ogerentedaindstriasabequea
descarga de uma poluio perigosano rio que passaem volta damesma ,
depende do processo que est em operao . As probabilidades de
ocorrer poluio perigosapara os
vriosprocessos,denotandoporFumadescargadepoluioperigosa,so:P(F|A)
=0,40;P(F|B)=0,05;P(F|C)=0,30;P(F|D)=0,10.Todososoutrosprodutosda
fbricasoconsideradosinofensivos.Emumdeterminadomssabe-sequeem20%,
40%,30%e10%dotemporespectivamenteusam-seosprocessosA,B,CeD. 34
Deseja-se saber qual a probabilidade de no termos uma descarga de
poluio perigosa no determinado ms? Gabarito (1 lista) l)E1: 1 =
{(1,1); (1,2); .....; (1,6) ; (2,1) ; (2,2) ; .....; (2,6);
......... ; (6,1) ; (6,2) ; .... ; (6,6) } A1 = {(1,6): (2,5);
(3,4); (4,3); (5,2); (6,1) } E2: 2 = {KKK; KKC: KCK; CKK; KCC; CKC;
CCK; CCC } A2 = {KKK, KKC, KCK, CKK } E3: 3 = {(K,1);
(K,2);......;(K,6); (C,1); (C,2).....; (C,6) } E4: 4 = {0, 1, 2, 3
} A3 = {(K,1); (K,3); (K,5); (C,1); (C,3); (C,5) } A4 = { 2} E5: 5
= {0, 1, 2, 3,.........., N }onde N o n. mximo de peas defeituosas
no perodo de 1 hora A5 = { 0,1, 2, 3} E6:6= {t:t0}ou6={t:0tto
}ondetootempomximodevidada lmpada. A6 = { t : t < 30 }ouA6 = { t
: 0 t < 30} E7: 7 = {BBB, BBD, BDB, DBB, BDD, DBD, DDB , DDD }
A7= {BBB; BBD; BDB; DBB } E8: 8 = {3,4, 5,...., 10 }E9: 9 = {10,
11, 12,....} A8 = { 3, 4}A9 = { 15, 16, 17,...} 2) ={(1,1), (1,2),
(1,3), (1,4),(2,1),(2,2),(2,3), (2,4),(3,1),(3,2),(3,3),
(3,4),(4,1), (4,2), (4,3), (4,4)} a) A={(1,2), (1,4), (2,1), (2,3),
(3,2), (3,4), (4,1), (4,3)} 35 b) B = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4)}
3)a)AB;b)AB;c)AB;d)A;e)AB;f)ABCg) (ABC ). 4)120 5) 7206)
4557)a)0,75;b)0,25 ;c)0,875;d)0,375;e)0,25 8)0,19959)8/13, 4/13 e
1/1310)0,380911) 0,4296 12)a)0,0833b)0,05 13)0,3333 14)A e B no so
independentes15)a) 0,7b) 0,55c) 0,75 16) 0,999 17) p + 2p2 - 2p3 -
p4 + p518) a) 0,26 ;b) 0,48 ;c) 0,74 ; d) 0,78 . 19 ) a )0,3b )
0,520 )0,142721 ) 0,84622 ) 0,0123 ) B 24 )0,02%25 ) 0,352926 ) a)
1900/2000; b) 900/2000; c) 1150/2000; d) 100/250; e) 100/1000; f)
850/1750 27)a) 0,375 b ) 0,291728) 0,2 29) a) 1 - P(AB) ; b) 1 -
P(A) - P(B) + P(AB) ; c) 1 - P(A) + P(AB) ; d) P(B) - P(AB). 30)
0,6667 31)0,526332)0,025 33)0,1634 ) 0,8 36 3.VARIVEL ALEATRIA 3.1.
Conceitos bsicos Definio 1.
SejamEumexperimentoeumespaoamostralassociadoaoexperimento.
UmafunoXqueassocieacadaelementowi umnmeroreal,X(wi), denominada
varivel aleatria. R . w1 x1 .w2 x2 .w3x3 .w4x4
UmavarivelaleatriaX,portanto,umafunocujodomniooespaoamostrale
contra-domnio conjunto dos nmeros reais, ou seja, X:R Exemplo 1: a)
E: Lanamento de uma moeda.Assim, = {cara, coroa}={w1, w2} (
)===coroa der se secara der ou sew Xseja, ou, w w , 0, se seja , w
w , 121 b) E: Lanamento de duas moedas. Seja X o nmero de caras
obtidas no experimento. X 37 Vamos denotar c: cara e k:coroa.
Assim, = { cc, ck, kc, kk }= { w1, w2, w3, w4 } X(w1) = 2 X(w2 ) =
X(w3) = 1 X(w4) = 0 c) E: Escolher um ponto ao acaso no intervalo
[0,1]SejaXo quadrado do valor escolhido. Assim = [0,1], eX(w)= w2 w
d) E: Escolher um ponto ao acaso no crculo unitrio. Seja X a
distncia do ponto escolhido origem. Assim, = { (x,y) / x2 + y2 1}
eX(w)= 2 2y x + Definio 2 .Seja X uma varivel aleatria. Se X assume
valores em um conjunto finito ou infinito enumervel, ento X
denominada varivel aleatria discreta. Exemplo 2: Sorteio den
indivduos de uma populao. X : o nmero de indivduos do sexo
masculino sorteados => X() = {0, 1, 2, 3, ..., n} Definio 3.Seja
X uma varivel aleatria. Se X assume valores em um conjunto infinito
no enumervel, ento X denominada varivel aleatria contnua. Exemplo
3: Retirada ao acaso um parafuso da produo diria de uma fbrica e
registro de seu dimetro (em mm) e comprimento (em mm).Suponha que
esta fbrica produza parafusos com dimetro entre 3 e 10 mm e
comprimento entre 20 e 35 mm 38 X = Dimetro do parafuso => X() =
[ 3, 10] Y = Comprimento do parafuso Y() = [ 20, 35] 3.2.
Distribuio de probabilidade de uma varivel aleatria discreta Seja X
uma v.a. discreta queassume os valoresx1, x2,...,xn.... A
distribuio de
probabilidadesdeXoconjuntodeparesdevaloresqueassociaacadavalorda
varivelxi a probabilidade P(X = xi): (x1, P(X = x1)), (x2, P(X =
x2)), ..., (xn, P(X = xn)),... De maneira que, a) 1 ) x (1= == = =
== = = == = iiX P b) P(X = x) = p(x) 0 Exemplo 4: E: lanamento de
um dado honesto. X: nmero da face observada=> X() = {1, 2, 3, 4,
5, 6} A distribuio de probabilidade ( ou funo de probabilidade) de
X dada por: X123456 P(X=x)1/61/61/61/61/61/6 Exemplo 5: Considere
novamente o exemplo do lanamento de duas moedas. Seja X o nmero de
caras Resultados (w)X (w)ProbabilidadeP (X = xi) (Cara, Cara)2
(Cara, Coroa)1 (Coroa, Cara)1 (Coroa, Coroa)0 39 Obtemos ento, P (X
= 0) = P (X = 1) = + = P (X = 2) = 43) 2 X 1 ( P = < Exemplo 6:
(Morettin e Bussab, 2006)
Umempresriopretendeestabelecerumafirmaparamontagemdeumproduto
composto de uma esfera e um cilindro. As partes so adquiridas em
fbricas diferentes,
eamontagemconsistiremjuntarasduaspartesepint-las.Oprodutoacabadodeve
ter o comprimento (definido pelo cilindro) e a espessura (definida
pela esfera) dentro de
certoslimites,eissospoderserverificadoapsamontagem.Paraestudara
viabilidade do seu empreendimento, o empresrio quer ter uma idia da
distribuio dos lucros por pea montada.
Sabe-sequecadacomponentepodeserclassificadocomoBOM,LONGOou CURTO,
conforme sua medida esteja dentro da especificao, seja ela maior ou
menor
queaespecificada.Almdisso,foramobtidosdosfabricantesopreodecada
componente(5unidadesdedinheiro)easprobabilidadesdeproduodecada
componentecomascaractersticasBOM,LONGOeCURTO.Estesvaloresestona
tabela abaixo:
DistribuiodaproduodasfbricasAeB,deacordocomasmedidasdas peas
produzidas ProdutoFbrica A Cilindro Fbrica B Esfera Dentro das
especificaes ...... BOM (B)0,800,70 Maior que as especificaes
...... LONGO (L)0,100,20 Menor que as especificaes ...... CURTO
(C)0,100,10 Fonte: Retirada das especificaes tcnicas das fbricas A
e B Se o produto final apresentar algum componente com a
caracterstica C, ele ser
irrecupervel,eoconjuntoservendidocomosucataaopreode5unidades.Cada
componente longo pode ser recuperado a um custo adicional de 5
unidades. Se o preo de venda de cada unidade de 25 unidades, como
seria a distribuio das frequncias da varivel X: lucro por conjunto
montado? 40 A construo desta distribuio de frequncias vai depender
de certas suposies
quefaremossobreocomportamentodosistemaconsiderado.Emvistadessas
suposies,estaremostrabalhandocomummodelodarealidade,eadistribuioque
obteremosserumadistribuioterica,tantomaisprximadadistribuiode
frequncias real quanto mais fiis realidade forem as suposies.
Primeiramente,vejamosaconstruodoespaoamostralparaamontagemdos
conjuntossegundoascaractersticasdecadacomponenteesuasrespectivas
probabilidades. Desde que os componentes vm de fbricas diferentes,
vamos supor que a classificao doscilindros segundo
suascaractersticas sejam eventos independentes; assim, obtemos a
configurao abaixo. O espao amostral em questo est apresentado na
tabela abaixo, junto com as respectivas probabilidades.
CilindroEsferaB 0,70P(BB) = 0,56 B0,20 LP(BL) = 0,16 0,100,80 C
P(BC) = 0,08 0,70B P(CB) = 0,07 0,10C 0,20L P(CL) = 0,02
0,10 CP(CC) = 0,01 BP(LB) = 0,07 0,10 0,70 L 0,20 L P(LL) = 0,02
0,10 C P(LC) = 0,01 41 Tabela: Distribuio de probabilidade das
possveis composies das montagens MontagemProbabilidadeLucro por
montagem (X) BB0,5615 BL0,1610 BC0,08-5 LB0,0710 LL0,0205 LC0,01-5
CB0,07-5 CL0,02-5 CC0,01-5 Fonte: Informaes no texto Assim, com os
dados da tabela acima, vemos que X pode assumir um dos seguintes
valores: 15se ocorrer o evento A1 = {BB} 10se ocorrer o evento A2 =
{BL,LB} 05se ocorrer o evento A3 = {LL} -5se ocorrer o evento A4 =
{BC,LC,CB,CL,CC} Cada um desses eventos tem uma probabilidade
associada, ou seja, P(A1) = 0,56P(A2) = 0,23P(A3) = 0,02P(A4) =
0,19 o que nos permite escrever adistribuio de probabilidade da
varivel X, que o empresrio poder usar para julgar a viabilidade
econmica do projeto que ele pretende realizar. xP(X = x) 150,56
100,23 050,02 -50,19 Total1,00 42 Exerccios:
a)SuponhaqueXsejaumav.a.discretaesuafunodistribuiodeprobabilidade
seja P(X = k) = ck , para k = 1,2,3,4 e 5. Determine o valor da
constante c. Res.151. b) Considere um lote de peas que contm 20% de
defeituosas. Extramos ao acaso trs
peascomreposioparaanlise.SejaXavarivelaleatriaquerepresentaonmero
de peas defeituosas. Estabelea a funo distribuio de probabilidade
de X.Resp.( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) )x 3 x0,8 0,2x3x) P(X | || ||
|| | | || |
\ \\ \| || |= == = = == = , x=0,1,2,3 c)Determine o valor de c
para que p(x)= = ||
\|contrrio caso , 0,.... 3 , 2 , 1 x para ,32cx
seja uma funo distribuio de probabilidade. Resp. 21 3.3.
Distribuio de probabilidade de uma varivel aleatria contnua Seja X
uma varivel aleatria contnua. A distribuio de probabilidade dada na
forma de uma funo, chamada de densidade de probabilidade e denotada
por f(x). Uma funo de densidade de probabilidade (fdp) satisfaz as
seguintes condies: a) f(x) 0 ,R x b) + = 1 f(x)dx 43 Exemplos de
funes de densidade: A funo densidade, por definio, possui rea sob a
curva limitada pelo eixo xigual a 1 e a probabilidade de X tomar um
valor entre a e b obtida calculando-se a rea compreendida entre
esses dois valores. Isto , para qualquer a < b em R ( ) ( )=
< > < b X < b/2). Resp.:8 b7b33+ b) Calcule E(Y) e
V(Y), em que Y = 2X 3/5. Resp.:203V(Y) e1021E(Y) == 2. LISTA DE
EXERCCIOS 1)Considere uma v.a. X com resultados possveis: 0,1,2,...
. Suponha queP( X = j) =
(1-a)aj,j=0,1,2,...Paraquevaloresdeaomodelorepresentaumalegtima
distribuio de probabilidade.
2)Umaurnacontm5bolasdegudebrancase3pretas.Se2bolasdegudeso
extradasaleatoriamentesemreposioeXdenotaonumerodebolasbrancas
obtidas, encontre a distribuio de probabilidades de X. 3)O nmero de
carros vendidos semanalmente num stand uma varivel aleatria X com a
seguinte funo de probabilidade 55 X1234 P(X=x)cc/2c/3c/4 a)
Determine a funo de distribuio de X.b)Calcule a probabilidade do
nmero de carros vendidos no chegar a 4, sabendo que este valor
superior a
1.c)Seoscustosfixossemanaissode30unidadesmonetrias(u.m.)quandoso
vendidos 2 ou menos carros e 15 u.m. quando se vende mais de 2
carros e, alm disso,
porcadacarrovendidohumlucrode35u.m.,determineafunodedistribuioda
receita lquida semanal. 4) A probabilidade de que um bit seja
transmitido com erro por um canal de transmisso digital 0,1. Assuma
que as transmisses sejam ensaios independentes.
a)SejaXonmerodebitstransmitidosatqueocorraoprimeiroerro.Determinea
distribuio de X. b) Determine a probabilidade de se precisar
observar mais que 5 ensaios de transmisso. c) Determine a
probabilidade de se precisar observar mais que 5 ensaios de
transmisso, aps j se ter observado 3 ensaios, sem que ocorresse
erro. d) Determine o nmero esperado de ensaios at o primeiro
erro.e)SejaYonmerodetransmissesataocorrnciadoquartoerro.Determinea
distribuio de Y.
f)Determineaprobabilidadedeseprecisarobservarnomximo6ensaiosde
transmisso. g) Determine o nmero esperado do nmero de ensaios at o
quarto erro.
5)Aprobabilidadedeumbemsucedidolanamentodefoguete0,8.Suponhaque
tentativasdelanamentosejamfeitasatquetenhamocorrido3lanamentosbem
sucedidos. a) Qual a probabilidade de que exatamente 6 tentativas
sejam necessrias? b) Qual a probabilidade de que menos de 6
tentativas sejam necessrias? 56 c) Se cada tentativa de lanamento
custa 5.000 u.m. e se um lanamento falho custa 500 u.m. adicionais,
determine o custo esperado da operao. d) Suponha agora que as
tentativas sejam feitas at que trs lanamentos consecutivos sejam
bem sucedidos. Responda novamente as perguntas (a) e (b) nesse
caso. 6) Os valores abaixo representam a distribuio de
probabilidade de D, a procura diria de um certo produto. Calcule
E(D) e V(D): D12345 P(D=d)010,10,30,30,2 a)Calcule E(D) e V(D); b)
Estabelea a funo de distribuio acumulada. 7)O nmero de vendas
realizadas por um agente de seguros diariamente uma v.a. com funo
de probabilidade x01234 P(X=x)wztzw
a. Sabendo que em 10% dos dias as vendas so inferiores a um e
que em 70% dos dias so superiores a um, determine w, z e t. b.
Determine o nmero mdio de seguros vendidos diariamente. c.
Determine E[2X 1] e V [2X 1].
d.Determineaprobabilidadedeque,quandoconsideradosdoisdias,asvendassejam
superiores, em cada um deles, a duas unidades.
e.Secadasegurofeitopor15000unidadesmonetrias,determineafunode
probabilidade da receita obtida com a venda dos seguros num dia.
f.Senumdiaareceitaforinferiora50000unidadesmonetrias,determinea
probabilidade de que seja superior a 20000 unidades monetrias. 57
8)Considere a varivel aleatria discreta coma seguinte funo
distribuio < < < 0) d) Determine a funo de distribuio
acumulada de X e utilize-a para determinar os quartis de X e o
percentil 90 e) Determine a moda de X. 13)Seja X uma v.a. contnua,
que representa o tempo necessrio para a pintura de uma pea de
automvel, em horas, com funo densidade de probabilidade dada por:
> 105) + P(X < 85) = ||
\| < + ||
\| >5100 85Z P5100 105Z P== P(Z > 1) + P(Z < -3) =(0,5
- 0,3413) + (0,5 - 0,4987) = 0,1600 b) = 95 P(X > 105) + P(X
< 85) = ||
\| < + ||
\| >595 85Z P595 105Z P== P(Z > 2) + P(Z < -2)=2 (0,5
0,4772) = 0,0456 83 4.2.2.Distribuio Log-normal
SejaXumavarivelaleatriacontnuacomvalorespositivos.DizemosqueXtem
distribuio log-normal com parmetrose 2 , para < < e2> 0,se
a varivelY = ln X normalmente distribuda com mdiaevarincia 2 .A
funo de densidade de probabilidade de X dada por: 0 x para, e2
x..1f(x)2 lnx21 -> =||
\| Propriedades: ( ) 1 e e V(X) 2)e E(X) 1)22222 ==++ O
histograma a seguir foi construdo
apartirdedadosprovenientesdeumadistribuiolog-normal.Acurvadesenhadasobreohistogramarepresentaafuno
densidade de uma distribuio log-normal. Vemos que este grfico do
tipo assimtrico positivo. Grfico da funo densidade da distribuio
log-normal com parmetros =1 e 2=0,2 84
Exemplo3:Apenasparailustraraformadadistribuiolog-normal,que
acentuadamenteassimtricapositiva,supondoqueadistribuiotem=0e=1,
calcular a probabilidade da varivel aleatria X assumir um valor
inferior a 2. P(X < 2 ) =0,7549 dx e2 x12 lnx2120=||
\| (Faa y = ln x)
Exemplo4:Emumasriedeexperinciasverificou-sequeosganhosdecorrentede
certostransistores(osquaissoproporcionaisaologaritmoneperianode
ESII,relao
dasintensidadesdecorrentedesadaedeentrada)seguemdistribuionormalcom
parmteros 2 e 0,01. Qual a probabilidade de que tenhamos ESIIentre
6,1 e 8,2? Soluo: Como o ganho de corrente se mede com unidades
tais que se igualam a ln|||
\|ESII e se os ganhos seguem uma distribuio normal ento ESII
segue a distribuio log-normal. Da,823401 , 0 472571 , 0 350830 , 0
2 , 8II1 , 6ES= + =|||
\| P 4.2.3.Distribuio Exponencial
Estadistribuiobastanteutilizadanateoriadaconfiabilidadeparamodelaros
temposdeesperaentreocorrnciasdeeventosemumProcessodePoisson.Emgeral
estemodeloprobabilsticotambmutilizadoparamodelartempodeesperaemuma
fila, tempo de sobrevivncia de um grupo de pacientes aps o incio de
um tratamento e tempo de vida de material
eletrnico.Ohistogramaaseguirfoiconstrudoapartirdedadosprovenientesdeuma
distribuioexponencial.Acurvadesenhadasobreohistogramarepresentaafuno
densidadedeumadistribuioexponencial.Vemosqueestegrficodotipo
assimtrico positivo. Grfico da funo densidade da Distribuio
exponencial com parmetro =1000 85 Uma varivel aleatria contnua X,
que assume valores no-negativos, ter uma distribuio exponencial com
parmetro > 0, se sua fdp for dada por: contrrio caso ,00 x,1)
f(xx1=e Notao: X~exp( ) Propriedades: a)A funo de distribuio dada
por: F(x) = P(X x) = x ) = e-(1/)x b)E(X) ==0x1dx1x ec)V(X) = E(X2)
E2(X) = 2 2 22 = em queE(X2) = . dx1x20x12=e86
d)P(X>s+t|X>s)= t1- -s1-t) s (1eees) P(X) ts P(Xs) P(Xs) X e
ts P(X= =>+ >=>> + >+ para quaisquer s, t > 0
Esteltimoresultadomostraqueadistribuioexponencialapresentaa
propriedadedenopossuirmemria.Istosignificaqueaprobabilidadede
sobreviver mais t unidades de tempo a mesma, quer j se tenham
passado s unidades
detempo,ou0unidades.Ouseja,nohenvelhecimento.Estahiptese
frequentemente razovel para a vida de materiais eletrnicos.
Exemplo5: Uma lmpada tem a durao de acordo com a densidade
exponencial com =1000. Determinar: a)a probabilidade de que essa
lmpada queime antes de 1.000 horas; b)a probabilidade de que ela
queime depois de sua durao mdia; c)a varincia da distribuio do
tempo de durao dessa lmpada. Resoluo: Seja T o tempo de durao da
lmpada. a) P( T < 1.000) == =1 -10000t10001 e - 1 dt e100011 -
0,3679 = 0, 6321 b) P( T > 1000) = 0,3679 c) V(T) = (1000)2
4.2.4.Distribuio Gama A distribuio gama tem aplicao em Teoria de
Confiabilidade.
Ohistogramaaseguirfoiconstrudoapartirdedadosprovenientesdeuma
distribuio gama. A curva desenhada sobre o histograma representa a
funo densidade desta distribuio que tambm do tipo assimtrico
positivo. 87 Grfico da funo densidade da distribuio gama com
parmetros r=2 e =3
UmavarivelaleatriacontnuaX,queassumevaloresno-negativos,teruma
distribuio gama com parmetros > 0e r >0, se sua fdp for dada
por: ( ) contrrio caso ,00 x, x) (r1) f(xx/ 1 - r> = er Na
densidade acima, o smbolo denota a funo gama, que dada por: ( )
> = 0x 1 p0. kpara definida dx, e x kPode-se mostrar que se p
for um nmero inteiro positivo, obtm-se que (k) = (k-1)! Notao: X ~
gama(r, ) Propriedades: a)Ser=1tem-sef(x)= x1e
queadensidadedeumadistribuioexponencial. Portanto, a distribuio
exponencial um caso particular da distribuio gama. 88 b)E(X) =r;
c)V(X) = r2
d)Umcasoparticular,muitoimportante,dadistribuiogamaserobtidoser=
n/2 e = 2, em que n um inteiro positivo. Esta distribuio denominada
qui-quadrado com n graus de liberdade.
Exemplo6:Emcertacidadeoconsumodiriodegua(emmilhesdelitros)segue
aproximadamente uma distribuio Gama (2,3). Se a capacidade diria
para essa cidade
de9milhesdelitrosdegua,qualaprobabilidadequeemumcertodiao
fornecimento de gua seja inadequado? Resoluo: X: Consumo dirio de
gua em milhes de litros P(X > 9) = ( )0,1992 dx e x2 313x1
292=
Obs.: Esta integral deveser resolvida por partes,lembrando tambm
que(n)=(n-1)! para n inteiro positivo. 4.2.5.Distribuio Weibull A
distribuio Weibull tem uma aplicao importante em Teoria de
Confiabilidade.
Ohistogramaaseguirfoiconstrudoapartirdedadosprovenientesdeuma
distribuioWeibull.Acurvadesenhadasobreohistogramarepresentaafuno
densidade desta distribuio, que tambm do tipo assimtrico positivo.
Grfico da funo densidade da Distribuio Weibull com parmetros =2 e
=2 89
UmavarivelaleatriacontnuaX,queassumevaloresno-negativos,teruma
distribuio Weibull com parmetros > 0 e > 0, se sua fdp for
dada por: contrrio caso ,00 x,xexp x) f(x1 -)`||
\|= Propriedades: a) E(X) = |||
\|+ 11 b) V(X) = )`((
|||
\|+ |||
\|+ 221112 c) )`||
\|=0 x xexp - 10 x0,F(x) xf(x)0 1 2 3 40.00.10.20.30.490
d)Se=1tem-se xe x f=1) ( .Portanto,adistribuioexponencialumcaso
particular da distribuio Weibull.
Exemplo7:Otempodevida,emhoras,deumcomponenteeletrnicoseguea
distribuio Weibull com = 0,4 e = 0,5. a)Qual a vida mdia? b)Calcule
a varincia do tempo de vida desse componente. c)Qual a
probabilidade do tempo de vida desse componente ultrapassar 30
horas? Resoluo: T: tempo de vida do componente eletrnico em horas
a) E(T) =( ) 8 , 0 3 ) 4 , 0 ( = b) V(T) =( ) [ ] { } 8 3 ) 5 ( ) 4
, 0 (2= c) P( T> 30 ) = )`||
\| 5 , 00,430exp = 0,8909 4.3.INTRODUO TEORIA DA CONFIABILIDADE
4.3.1.Conceitos Considere que um componente ser observado sob
condies de esforo, desde
oinstantet=0atqueparedefuncionaradequadamentesoboesforoaplicado.A
durao at falhar ou durao da vida pode ser considerada como uma
varivel aleatria contnua T com alguma funo densidade de
probabilidade f(t). Alguns exemplos deste tipo de experimento so:
observar uma lmpada at que queime, uma viga sob uma carga at a
ruptura, um fusvel intercalado em um circuito ou um dispositivo
eletrnico posto em servio at que falhe. 91 Definio 1.
Aconfiabilidadedeumcomponentenapocat,denotadaporR(t),definida
comoR(t) = P(T > t),
emqueTaduraodavidadocomponente.Rdenominadafunode confiabilidade.
Esta definio simplesmente afirma quea confiabilidade de um
componente igual probabilidade de que o componente no falhe durante
o intervalo [0, t].Em termos da funo densidade de T, temos:=tds
f(s) R(t) Para a funo de distribuio acumulada temos: F(t) - 1 t) T
P( - 1 R(t) =
=Oconceitodeconfiabilidadeumdosmaisimportantesparaumestudodos
modelos de falhas. Estudaremos as seguintes questes:
a)Queleidefalhassubjacenteserrazoveladmitir,isto,queformaa funo
densidade de T deve ter ?
b)Suponha-sequetemosdoiscomponentes,C1eC2,comleisdefalhas
conhecidas. Esses componentes podem estar associados em srie Ou em
paralelo, C1 C2 C1 C2 92
paraconstituirumsistema.Qualseraconfiabilidadedosistema?Qualadensidade
razovel para a descrio do fenmeno de interesse?
Abaixodescreveremososmodelosmaisusuaisutilizadosparadescreverfalhas
de componentes. 4.3.2.A lei de falhas exponencial
Aoestudarmosadistribuioexponencialvimosqueapropriedadedefaltade
memriacaractersticadamesma.Ahiptesesubjacenteparaautilizaodeste
modelodefalhas,portanto,dequenohajadesgastedocomponenteoupea.Isto
significa que mesmo depois que a peaestiver em uso sua
probabilidade de falhar no se altera com o passar do tempo. Uma
consequncia desta suposio , que a fdp da varivel aleatria associada
durao at falhar, T, ser dada por:0t e1f(t)t1- = (distribuio
exponencial). bastante razovel admitir-se que um fusvel ou
rolamento de rubis sejam to
bonsquantonovos,enquantoestiveremaindafuncionando.Isto,seofusvelno
tiverfundido,estarpraticamenteemestadonovo;nemorolamentosealterarmuito
devido a desgaste. Em casos, tais como esses, a lei de falhas
exponencial representa um modelo adequado com o qual se estudem as
caractersticas de falhas da pea. Entretanto existem situaes em que
a exponencial no satisfatria, por exemplo, se um pedao
deaoforsubmetidoaesforocontinuado,haverobviamentealgumadeteriorao.Paul
Meyer Exemplo 8: (Meyer,
1983)Sejaumcomponenteeletrnicoqueseguealeidefalhasexponencial.Dadosos
parmetros = 100e R(t) = 0,90, determine o valor de t, nmero de
horas. 0,90=e-0,01t t = 10,54 horas
Logo,secadaumde100dessescomponentesestiveroperandodurante10,54horas,
aproximadamente 90 no falharo durante aquele perodo. Exemplo 9:
(Meyer, 1983)
Considereumcircuitoeletrnicoconstitudode4transistoresdesilcio,10dodosde
silcio, 20 resistores sintticos e 10 capacitores cermicos, operando
em srie contnua e os componentes so independentes. Suponha que sob
certas condies de trabalho, isto , tenso, corrente e
temperaturaprescritas, cada uma dessas peas siga a lei de falhas
exponencial com os seguintes parmetros: diodos de silcio:1/0,000002
transistores de silcio:1/0,000010 resistores sintticos: 1/0,000001
capacitores cermicos: 1/0,000002 93 Qual a confiabilidade do
sistema para t = 10 horas? Resoluo: Para componentes independentes
ligados em srie temos que a confiabilidade do sistema o produto das
confiabilidades individuais dos componentes. Portanto,R(t) =
(e-t.0,000002)10. (e-t.0,00001)4(e-t.0,000001)20. (e-t.0,000002)10
= e-0,000 1t
Assim,paraumperodode10horasdeoperao,aprobabilidadedequeo
circuitonofalheserdadapore-0,0001(10)=0,999.Aduraoatfalharesperadado
circuito igual a 1/0,0001 = 10.000 horas. Exemplo 10: (Meyer,1983)
Suponhamos que trs unidades sejam operadas em paralelo. Admita-se
que todas sigam a lei de falhas exponencial com o parmetro = 100.
Qual a confiabilidade do sistema? Resoluo:
Paraaunidadeisolada,R1(t)=e-(1/)t,enquantoparaastrsunidadesemparalelo,R2(t)
= 1 (1 e-(1/)t)3. Tabela: Confiabilidade para trs unidades operando
em paralelo, taxa de falhas constante = 100
Tt/e-(1/)tR1(t)1-e-(1/)t(1-e-(1/)t)3 R2(t)
100,100,90480,90480,09520,00090,9991
500,500,60650,60650,39350,06090,9391
1001,000,36790,36790,63210,25260,7474
1501,500,22310,22310,77690,46890,5311
2002,000,13530,13530,86470,64650,3535
2502,500,08210,08210,91790,77340,2266
3003,000,04980,04980,95020,85800,1420
3503,500,03020,03020,96980,91210,0879
4004,000,01830,01830,98170,94610,0539 94
Nogrficoaseguirvemosascurvasdeconfiabilidadeparaaunidadeisoladae,
tambm, para trs unidades em paralelo. Note que a curva de
confiabilidade para as trs
unidadesemparaleloestsempreacima,mostrandoquealigaodecomponentesem
paralelotemsempremaiorconfiabilidadedoquequandoutilizamosumnico
componente. 4.3.3.A lei de falhas Weibull
AdistribuiodeWeibullrepresentaummodeloadequadoparaumaleide falhas,
sempre que o sistema for composto de vrios componentes e a falha
seja devida mais grave imperfeio ou irregularidade dentre um grande
nmero de imperfeies do sistema. Seja T o tempo at a falha de um
componente, com fdp dada por: contrario caso ,00 0, 0, t,texp t)
f(t1 -> > )`||
\|= J vimos que esta a densidade de Weibull com parmetros e . A
funo de confiabilidade R dada por R(t) =texp)`||
\|, que uma funo decrescente de t.
Exemplo9:DoisdispositivoseletrnicoscomleidefalhasWeibull,comparmetros
respectivamente: 1= 1000, 1=2 ; 2=1200, 2=3, so ligados em paralelo
formando um nico sistema com funcionamento independente.
Determinar: a)a confiabilidade de cada um dos dispositivos aps
1000h; b)a confiabilidade do sistema. 95 Resoluo: a) R1(t) =
210001000||
\|e = e-1 = 0,3679 R2(t) = 312001000||
\|e = 365||
\|e =0,5606 b) R(t) = e-1 + 365||
\|e - |||
\|||
\|3651.e e = 0,7223
Hvriasoutrasmaneirasdecombinarcomponentes,eapenasselecionamos
algumas delas:
(c)Sistemadereserva.Consideramosdoiscomponentes,osegundodosquais
fica de reserva e funciona se, e somente se, o primeiro componente
falhar. Neste caso,
osegundocomponentearranca(instantaneamente)efuncionanolugardoprimeiro
componente. Exerccios:
1.Testesparamediraduraodeaparelhoseletrodomsticosmostramqueomodelo
adequado o normal com = 26.000 horas e = 4.000 horas. Pede-se a
probabilidade de que um aparelho escolhido ao acaso dure: 96 a)mais
que 25.000 horas; b)menos que 30.000 horas;
c)sabe-sequeseumdefeitoaparecerdentrodotempodegarantiaafbricadeve
consert-lo,tendoassimumprejuzo.Qualdeveseragarantiaparaquea
porcentagem de aparelhos consertados dentro da garantia seja
inferior a 10%? d)Quanto espera o fabricante ganhar por produto se
o custo de fabricao A u.m., o preo de venda B u.m. e o custo do
conserto, quando dentro da garantia ( veja item c) C u.m.? 2) O
nmero de pedidos paracompra de certo produto que uma companhia
recebe por semana distribui-se normalmente com mdia de 150 unidades
e desvio padro de 30
unidades.Seemumasemanaoestoquedisponvelde180unidades,quala
probabilidadedequeospedidossejamatendidos?Qualdeveriaseroestoquepara
que, com probabilidade de 0,97 pudssemos atender aos pedidos?
3)Otempoqueumapessoalevaparaserservidanumalanchoneteumavarivel
aleatriatendodistribuioexponencialcommdiade4minutos.Quala
probabilidadequeumapessoasejaservidaemmenosdoque3minutosemao menos
4 dos prximos 6 dias?
4)Suponhaqueumsistemacontmcertotipodecomponentecujotempodevidaem
anosatfalhardadopelavarivelaleatriaTdistribudaaleatoriamentecom
parmetro=5.Secincodessescomponentessoinstaladosemdiferentes
sistemas, qual a probabilidade que ao menos dois estejam
funcionando ao fim de 8 anos?
5)Sabe-sequeavarivelaleatriaT(duraodeumcomponente)segueomodelo
Weibull com = 5.000 e = 0,7. Ache t para que R(t) = 0,80 e R(500).
4 LISTA DE EXERCCIOS 1) Seja Z uma varivel aleatria com distribuio
normal padro. Determine o valor de z: a)P(Z
