Apostila de Matrizes, Determinantes e Sistemas 1 Edio 2010 Prof. M.Sc. Alex Alvarez 1MATRIZES ....................................................................................................................................... 4 1.1Definio .................................................................................................................................... 4 1.2Matriz Quadrada ......................................................................................................................... 6 1.3Matriz Nula ................................................................................................................................ 7 1.4Matriz Coluna ............................................................................................................................ 7 1.5Matriz Linha ............................................................................................................................... 7 1.6Matriz Diagonal ......................................................................................................................... 8 1.7Matriz Unidade ou Matriz Identidade ......................................................................................... 8 1.8Matriz Triangular Superior ......................................................................................................... 8 1.9Matriz Triangular Inferior ........................................................................................................... 8 1.10Matriz Transposta ....................................................................................................................... 9 1.11Matriz Simtrica ......................................................................................................................... 9 1.12Matriz Anti-Simtrica ................................................................................................................. 9 1.13Igualdade de Matrizes ............................................................................................................... 10 1.14Operaes com Matrizes........................................................................................................... 12 1.14.1Adio e Subtrao ............................................................................................................ 12 1.14.2Multiplicao .................................................................................................................... 14 2SISTEMA LINEAR ......................................................................................................................... 27 2.1Equao Linear......................................................................................................................... 27 2.2Introduo a Sistema Linear ..................................................................................................... 28 2.3Expresso Matricial de um Sistema de Equaes Lineares. ....................................................... 30 2.4Operaes Elementares Entre Linhas ........................................................................................ 31 2.5Mtodo de Eliminao de Gauss ............................................................................................... 32 2.6Mtodo de Gauss-Jordan .......................................................................................................... 36 2.6.1Matriz linha reduzida forma escada (LRFE) ....................................................................... 36 Exemplos ......................................................................................................................................... 38 2.6.2Posto de uma Matriz ............................................................................................................. 38 2.6.3Mtodo ................................................................................................................................. 39 2.7Classificao dos sistemas lineares ........................................................................................... 43 3DETERMINANTES E INVERSAS ................................................................................................. 44 3.1Definio .................................................................................................................................. 44 3.2Determinante de uma Matriz Quadrada de 2 Ordem ................................................................ 44 3.2.1Menor Complementar ........................................................................................................... 46 3.2.2Cofator.................................................................................................................................. 46 3.3Clculo do Determinante por Definio de Laplace .................................................................. 48 3.4Regra de Sarrus ........................................................................................................................ 49 3.5Determinante de uma Matriz Quadrada de Ordem n>3 ............................................................. 52 3.6Propriedade dos Determinantes ................................................................................................ 53 3.7Matriz Inversa .......................................................................................................................... 55 3.7.1Clculo da Matriz Inversa Pela Adjunta ................................................................................ 56 3.7.2Clculo da Matriz Inversa Pelo Mtodo de Escalonamento ................................................... 58 4ESPACO VETORIAL...................................................................................................................... 63 4.1SUBESPAO VETORIAL ...................................................................................................... 63 4.2Vetores e Planos ....................................................................................................................... 63 4.2.1VETOR OPOSTO................................................................................................................. 65 4.2.2VETOR UNITRIO (VERSOR) .......................................................................................... 65 4.2.3VETOR NULO ..................................................................................................................... 65 4.2.4Operaes com Vetores......................................................................................................... 65 4.2.4.1Multiplicao por um Escalar ......................................................................................... 65 4.2.4.2Soma de dois Vetores..................................................................................................... 66 4.2.4.3Mdulo de um vetor e vetores unitrios.......................................................................... 69 4.2.4.4Produto por escalar ........................................................................................................ 69 4.2.4.5Produto Vetorial ............................................................................................................ 70 4.2.4.6Produto misto ................................................................................................................ 71 4.2.5Combinao Linear ............................................................................................................... 71 4.2.6DEPENDNCIA E INDEPENDNCIA LINEAR ................................................................ 75 5BIBLIOGRAFIA: ............................................................................................................................ 76 1MATRIZES 1.1Definio Asmatrizessotabelasdenmerosreaisutilizadasemquasetodososramosdacinciaeda engenharia. Vrias operaes realizadas por computadores so atravs de matrizes. Vejamos um exemplo. Considere a tabela abaixo que apresenta o peso, a idade e a altura de 5 pessoas. NomePeso(kg)Idade(anos)Altura(m) Ricardo70231,70 Jos60421,60 Joo55211,65 Pedro50181,72 Augusto66301,68 Oconjuntoordenadodosnmerosqueformamatabeladenominadomatrizecadanmero chamado elemento da matriz. (((((((

68 , 1 30 6672 , 1 18 5065 , 1 21 5560 , 1 42 6070 , 1 23 70 ou |||||||

\|68 , 1 30 6672 , 1 18 5065 , 1 21 5560 , 1 42 6070 , 1 23 70 Nesteexemplotemosumamatrizdeordem5x3(l-se:cincoportrs),isto,umamatriz formada por 5 linhas e 3 colunas. Representa-se uma matriz colocando-se seus elementos entre parnteses ou entre colchetes. Em tabelas assim dispostas, os nmeros so os elementos. As linhas so enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita: Exemplos: ((

816372: matriz de ordem 2 x 3 (2 linhas e 3 colunas) [ ] 3 1 4: matriz de ordem 1 x 3 (1 linha e 3 colunas) (((

534 , 0: matriz de ordem 2 x 1 (2 linhas e 1 coluna) Utilizamosletrasmaisculasparaindicarmatrizesgenricaseletrasminsculascorrespondentes para os elementos. Algebricamente, uma matriz pode ser representada por: *2 12 22 211 12 11... (((((

n e m coma a aa a aa a amn m mnnLM M M ML Pode-se abreviadamente representar a matriz acima por A = (aij)n x m aij = i linha j coluna a42 = 18 (l-se: a quatro dois igual a dezoito) (na tabela significa a idade de Pedro 18) Exemplo: Achar os elementos da matriz A = (aij)3 x 2 em que aij = 3i j. Resoluo: A representao genrica da matriz : 2 332 3122 2112 11xa aa aa aA||||

\|= j i aij = 3 7 2 3 38 1 3 34 2 2 35 1 2 31 2 1 32 1 1 3323122211211= == == == == == =aaaaaa((((

=741852A 1.2Matriz Quadrada Se o nmero de linhas de uma matriz for igual ao nmero de colunas, a matriz dita quadrada. Exemplo: ((

=0 14 3A uma matriz quadrada de ordem 2 Observaes: 1)Quandotodososelementosdeumamatrizforemiguaisazero,dizemosqueumamatriz nula. 2)Oselementosdeumamatrizquadrada,emquei=j,formamumadiagonaldenominada diagonal principal. A outra diagonal chamada diagonal secundria. Ex: Resolva: 1) Ache os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, em que 2 2j i aij+ = Resp.: ((((

18 13 1013 8 510 5 2 2) Escreva os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, definida por ( )= =+j i sej i seaj iij, 0, 1 Resp.: ((((

0 1 11 0 11 1 0 3) Escreva os elementos da matriz A = (aij)4x2 , definida por > +=j i se j ij i se j iaij,, Resp.: (((((

21433212 1.3Matriz Nula aquela em que aij = 0 para todo i e j. Exemplo: |||

\|=0 00 02 2xI||||

\|=0 0 00 0 00 0 03 3xI 1.4Matriz Coluna aquela que possui uma nica coluna. Exemplo: ||||

\|=3511 3xI|||

\|=21 2xIx 1.5Matriz Linha aquela em que possui uma nica linha. Exemplo: ( ) 22 1x Ix=( ) 1 3 21 2=xI 1.6Matriz Diagonal umamatrizquadrada(m=n)ondeaij=0,paraij,isto,oselementosquenoestona diagonal principal so nulos. Exemplo: ||||||

\|=8 0 0 00 5 0 00 0 2 00 0 0 34 4xI||||

\|=1 0 00 1 00 0 73 3xI 1.7Matriz Unidade ou Matriz Identidade uma matriz quadrada de ordem n, em que todos os elementos da diagonal principal so iguais a 1eosdemaiselementossoiguaisa0,denominadamatrizunidadeoumatrizidentidade. Representa-se a matriz unidade por In. Exemplo: |||

\|=1 00 12I||||

\|=1 0 00 1 00 0 13I1.8Matriz Triangular Superior uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal principal so nulos, isto , m = n e aij = 0, para i > j. Exemplo: |||

\|=cb aI02 ||||

\| =4 0 07 1 05 1 23I1.9Matriz Triangular Inferior uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal principal so nulos, isto , m = n e aij = 0, para i < j. Exemplo: ||||||

\|=1 4 0 20 2 2 10 0 1 10 0 0 22I||||

\|=3 1 20 0 70 0 53I 1.10 Matriz Transposta SeAumamatrizdeordemmxn,denominamostranspostadeA,amatrizdeordemnxm obtida pela troca ordenada das linhas pelas colunas. Representa-se a matriz transposta de A por A ou At. Exemplo: ((((

=741852A a sua transposta ((

=784512tA((((

= ((

=((

= ((

=620110361210032 20 22 02 2ttA AA A Propriedades da Transposta: t tB A B A = =( ) A Att=( )t tA K A K . . = (K real) ( )t t tB A B A + = + ( )t t tA B B A . . = ( no produto de A.B, inverte a ordem) 1.11 Matriz Simtrica aquela onde m = n e aij = aji, ou seja, quando A = At dizemos que A matriz simtrica. Exemplo: ((((

=((((

=9 8 58 4 35 3 29 8 58 4 35 3 2tA A ||||

\|=5 0 10 2 31 3 42I||||||

\|=k i g di h f cg f e bd c b aI3 1.12 Matriz Anti-Simtrica Quando A = - At dizemos que A matriz anti-simtrica. Exemplo: ((((

=((((

=0 8 58 0 45 4 00 8 58 0 45 4 0tA A 1.13 Igualdade de Matrizes SejamasmatrizesAeBdemesmaordem.SecadaelementodeAforigualaoelemento correspondente de B, as matrizes A e B so ditas iguais. [ ]mxnija A = [ ]mxnijb B= 3 223 22 2113 12 11xa a aa a aA((

= 3 223 22 2113 12 11xb b bb b bB((

= ij ijb a B A = = Exemplo: Dadas as matrizes|||

\|+=|||

\|=1 351 105 2y xy xB e A, calcular x e y para queA =B. Resoluo: 1 3 :1 3 2 2 3 312 410 32 = = = = = + === = +y e x Soluoy y y xxy xy x Resolva: 1) Determine x e y, sabendo que |||

\|=|||

\|+16733 2y xy x Resp: x = 5 e y = -1 2) Determine a, b, x e y, sabendo que|||

\| =|||

\| + +7 01 322b a y xb a y x Resp: x = 1 , y = 2 , a = 2 e b = -5 3) Dada as matrizes ||||

\| =|||||

\| =zx B e y A8 41 35 6 02 1 53 64 2 0, calcule x, y e z para queB = At. Resp: x =2, y = 8e z = 2 4) Sejam |||

\|=|||||

\|=c aB eaAb3329 2811log 27161calcule a, b e c para que A=B. Resp: a = - 3 , b = c = - 4 1.14 Operaes com Matrizes 1.14.1 Adio e Subtrao A adio e subtrao de duas matrizes de mesmaordem efetuada somando-se ou subtraindo-se os seus elementos correspondentes. Exemplo: B A C + =

|||

\|+|||

\|=|||

\|22 2112 1122 2112 1122 2112 11b bb ba aa ac cc c |||

\| +=|||

\| +|||

\|=5 20 cos 3 1 cos cos2 1 cos sen senC |||

\|=5 20 1C Matriz oposta: denomina-se matriz oposta de uma matriz A a matriz A cujos elementos so os simtricos dos elementos correspondentes de A Exemplo: |||

\| = |||

\|=5 20 15 20 1A A Propriedades da Adio: Comutativa: A + B = B + A Associativa: A + (B + C) = (A + B) +C Elemento Neutro: A + 0 = A Elemento Oposto: A + (-A) = 0 Exemplo: Dadas as matrizes ((

=((

=((

=1 60 35 21 0,4 31 2C e B A, calcule: a) ((

=((

+((

= +9 10 25 21 04 31 2B A b) ((

=((

((

((

= 2 81 11 60 35 12 04 31 2C B At Exemplo: Dadas as matrizes ((((

=((((

=241523B e A, calcular a matriz X tal que 0 = + B A X

O segundo membro da equao uma matriz nula de ordem 3 x 1. Se ((((

=((((

((((

= = = + 3242415230 B A X B A X Resolva: 1) Dada a matriz ((((

=2 1 04 3 20 1 1A, obtenha a matriz X tal que tA A X + = Resp: ((((

=4 5 05 6 10 1 2A 2) Sendo A = (aij)1x3 tal que j i aij = 2e B = (bij)1x3 tal que 1 + + = j i bij , calcule A+B. Resp: [ ] 2 2 2 3) Ache m, n, p e q, de modo que: ((

=((

+((

5 18 732q qn np pm m Resp:1 2 , 2 , 5 = = = = q e p n m 4) Calcule a matriz X, sabendo que ( ) B A X e B AT= +((

=((((

=230125,302411 Resp: ((((

104124 1.14.2 Multiplicao Multiplicao de um nmero real por uma matriz: Para multiplicar um nmero real por uma matriz multiplicamos o nmero por todos os elementos da matriz, e o resultado uma matriz do mesmo tipo. A = (aij) K = nmero real K por A B = (bij), onde, bij = K.aij i {1, 2, ... , m} j {1, 2, ... , n} Exemplo: 1. ((

=4 5 01 2 3A ((

=1 1 30 2 4B a)0 2 = + B A X ( )( )22A BX B A X += + + =

((

=)`((

+((

=5 6 31 4 1.214 5 01 2 31 1 30 2 4.21X

((

=2 / 5 3 2 / 32 / 1 2 / 2 / 1X b)0 2 3 = + B A X( ) ( ) [ ] B A X B A X + = + = 2 .312 3 ((

=)`((

+((

=9 11 32 6 2.311 1 30 2 48 10 02 4 6.31X ((

=3 3 / 11 13 / 2 2 3 / 2X Resolva: 1) Para ((

=4 5 01 2 3A ((

=1 1 30 2 4BResolva 0 2 = + B A X Resp:((

9 11 32 6 2 2) Para ((

=4 5 01 2 3A ((

=1 1 30 2 4BResolva B AX= + 23 Resp: ((

+ + 27 33 96 18 6 3) Resolva o sistema = + = +B A Y XB A Y X2, sendo ((

=((

=5123B e A. Resp: (((

=(((

=625329Y e X Multiplicao de Matrizes Noumaoperaotosimplescomoasanteriores;nobastamultiplicaroselementos correspondentes. Vejamos a seguinte situao. Durantea1fasedaCopadoMundode1998(Frana),ogrupodoBrasileraformadotambm pela esccia, Marrocos e Noruega. Os resultados esto registrados abaixo em uma matriz A, de ordem 4 x 3. PasVitriaEmpateDerrota Brasil201 Esccia012 Marrocos111 Noruega120 Ento: (((((

=012121101102A A pontuao pode ser descrita pela matriz B, de ordem 3 x 1 Nmero de Pontos Vitria3 Empate 1 Derrota0 Ento: ((((

=013B Terminadaa1faseapontuaoobtidacomototaldepontosfeitosporcadapas.Essa pontuao pode ser registrada numa matriz que representada por AB (produto de A por B).Veja como obtida a classificao: 5 0 0 1 2 3 1 :4 0 1 1 1 3 1 : cos1 0 2 1 1 3 0 :6 0 1 1 0 3 2 := + + = + + = + + = + + NoruegaMarroEscciaBrasil (((((

=5416AB Esseexemplosugerecomodeveserfeitaamultiplicaodematrizes.Observearelaoque existe entre as ordens das matrizes: 1 4 1 3 3 4 x x xAB B A = Observe que definimos o produto AB de duas matrizes quando o nmero de colunas de A for igual ao de linhas de B; alm disso, notamos que o produto AB possui o nmero de linhas de A e o nmero de colunas de B. p m p n n mAB B A = Exemplo 1: Vamos multiplicar a matrizpara entender como se obtm cada Cij: 1 linha e 1 coluna 1 linha e 2 coluna 2 linha e 1 coluna 2 linha e 2 coluna. Umamaneiramaisfcildevisualizarpensarnojogobatalhanaval.SejaAeBduasmatrizes 2X2iguaisaoexemploanterior.ParafazeroprodutoA.Bmontamososeguintetabuleirodebatalha naval:

PararealizaramultiplicaobastaprolongaraslinhasdeAparadireitaeascolunasdeBpara baixo, e a interseo entre as retas (a, b, c e d) a multiplicao da linha de A com a coluna de B: O resultado da multiplicao : Exemplo 2: Dada as matrizes3 22 3 21 2 1xA|||

\|=e 2 31 24 13 2xB||||

\| = . Calcular A.B: A matriz existe se n = p ( o nmero de coluna de A igual o nmero de linha da B.) Pelo outro mtodo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )|||

\| + + + + + +=1 . 2 4 . 3 3 . 2 2 . 2 1 . 3 2 . 21 . 1 4 2 3 . 1 2 . 1 1 . 2 2 . 1C 2 220 310 2xC|||

\|= Exemplo 2: Dada as matrizes: |||

\|=1 20 1A |||

\|=1 01 2B |||

\|=2 00 2C Calcule: a)A.B = |||

\|=|||

\|+ ++ +=|||

\||||

\|3 41 21 2 0 40 1 0 21 01 2.1 20 1 b)B.A = |||

\|=|||

\|+ ++ +=|||

\||||

\|1 21 41 0 2 01 0 2 21 20 1.1 01 2 c)A.C = |||

\|=|||

\|+ ++ +=|||

\||||

\|2 40 22 0 0 40 0 0 22 00 2.1 20 1 d)C.A = |||

\|=|||

\|+ ++ +=|||

\||||

\|2 40 22 0 4 00 0 0 21 20 1.2 00 2 Observao: 1 Propriedade Comutativa A.B=B.A, no valida na multiplicao de matrizes. Exemplo 3: |||

\|=1 11 1A |||

\| =1 11 1B Calcule: A.B = |||

\|=|||

\| =|||

\| |||

\|0 00 01 1 1 11 1 1 11 11 1.1 11 1 Observao: Se A e B so matrizes tais que AB = 0 (matriz nula), no podemos garantir que uma delas (A ou B) seja nula. Exemplo 4: ||||

\|=0 4 10 1 10 2 1A ||||

\| =2 2 21 1 13 2 1B ||||

\| =1 1 11 1 13 2 1C a)A.B = ( )( )||||

\|+ + + + + + + + + + ++ + + + + +=||||

\|||||

\| 0 4 3 0 4 2 0 4 10 1 3 0 1 2 0 1 10 2 3 0 2 2 0 2 12 2 21 1 13 2 1.0 4 10 1 10 2 1 ||||

\|=7 2 32 3 21 4 3.B A b)A.C = ( )( )||||

\|+ + + + + + + + + + ++ + + + + +=||||

\|||||

\| 0 4 3 0 4 2 0 4 10 1 3 0 1 2 0 1 10 2 3 0 2 2 0 2 11 1 11 1 13 2 1.0 4 10 1 10 2 1 ||||

\|=7 2 32 3 21 4 3.C A Observao: A.B = A.C , BC. na lgebra a.b = a.cb = c 3 Propriedade: o cancelamento do produto de matrizes no vlido. Propriedades:- Distributiva: A.(B + C) = A.B + A.C - Associativa: A.(B.C) = (A.B).C - Elemento neutro: A.In = A - (AB)t=AtBt Resolva: 1) Efetue: a) ((

((

234 13 5 Resp: ((

1121 b) [ ]((((

3025 3 1 Resp: [17] c) ((

((

3 01 24 12 5 Resp: ((

13 21 10 2) Dada a matriz ((((

=1 0 00 0 10 1 2A, calcule A2. Resp: ((((

1 0 00 1 20 2 3 3) Sabendo que ((

=((

=1 10 21 02 1N e M, calcule MN-NM. Resp: ((

2 02 2 Lista de Exerccios de Matrizes 1.Construa a matriz real quadrada A de ordem 3, definida por: +