Aula Introdutória Álgebra Linear I- Abril 2017

Pensamento

“"A escada da sabedoria tem os degraus feitos de números."

(Blavatsky)

Prof. MSc. Herivelto Nunes

Unidade

• Matrizes.

Matrizes

A matriz foi criada inicialmente para desenvolver estudos sobre métodos de resolução ou discussão de um sistema de equações

Matrizes

A partir das matrizes, obtém-se um novo olhar matemático, pois passou-se a operar, além dos números reais, as matrizes.

Matrizes

O estudo de matriz tornou-se uma ferramenta importante, criando assim um novo e imenso campo de estudo que denominamos Álgebra Linear.

Matrizes

As matrizes, são hoje, utilizadas nas mais variados áreas como Física, Economia, Econometria, Pesquisa Operacional, Tecnologia da Informação, Engenharia, etc.

Definição

Considere dois números naturais m e n não-nulos, denominados m por n (indica-se m x n) toda tabela formada por (m.n) elementos dispostos em m linhas e n colunas.

Ex.: 𝟐 −𝟏 𝟎𝟑 𝟓 𝟒 é uma matriz 2 x 3

Definição

Um elemento genérico de uma matriz A é simbolizado por 𝒂𝒊𝒋, em que i indica a linha e j, a coluna a que pertence o elemento.

Assim, uma matriz A do tipo m x n pode ser indicada por: 𝑨 = 𝒂𝒊𝒋 mxn

Matrizes Especiais

São matrizes que por apresentarem maior utilização são tidas como especiais.

Matrizes Especiais

Matriz Nula: É toda matriz que tem todos os elementos iguais a zero. Representa por 𝟎𝒎𝒙𝒏.

Ex.: 𝟎𝟑𝒙𝟐 =𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎

Matrizes Especiais

Matriz Identidade de ordem n ou matriz unidade de ordem n: É toda matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais, nulos.

Ex.: 𝑰𝟐= 𝟏 𝟎𝟎 𝟏 Æ matriz identidade de ordem 2.

Matrizes Especiais

Matriz Oposta de A: É a matriz obtida da matriz A, trocando-se o sinal de cada um dos seus elementos. Representa-se por –A .

Ex.: A = 𝟐 −𝟑𝟏 𝟎 Æ - A = −𝟐 𝟑

−𝟏 𝟎

Igualdade entre matrizes

Duas matrizes, A = 𝒂𝒊𝒋 mxn e B = 𝒃𝒊𝒋 mxn, são iguais se forem de mesma ordem (mxn) e apresentarem todos os elementos correspondentes iguais.

Ex.: 𝟐 −𝟑𝟏 𝟎 = 𝟐 −𝟑

𝟏 𝟎

Operações

Adição de Matrizes:A soma de duas matrizes A e B do tipo mxn é uma matriz C do mesmo tipo, em que cada elemento é a soma dos elementos correspondentes em A e B.

Ex: = 𝟓 −𝟑𝟏 𝟑 + = 𝟐 −𝟐

𝟏 𝟔 = 𝟓 + 𝟐 −𝟑 − 𝟐𝟏 + 𝟏 𝟔 + 𝟎

= = 𝟕 −𝟓𝟐 𝟔 .

Propriedades da adição de matrizes do tipo mxn

1ª propriedade: associativa: A+(B+C) = (A+B)+C.

2ª propriedade: comutativa: A+B = B+A

3ª propriedade: existência do elemento neutro: A+𝟎𝒎𝒙𝒏 = A

4ª propriedade: existências de elemento simétrico: A+ (- A) = 𝟎𝒎𝒙𝒏 .

5ª propriedade: comutativa: A - B = A + (- B)

Produto de um número real por uma matriz.

Ao multiplicar uma matriz A por um número real K, todos os elementos da matriz são multiplicados por esse número real.

Ex.: - 4 . 𝟐 −𝟑𝟏 𝟎 = (−𝟒). 𝟐 −𝟒 .−𝟑

−𝟒 . 𝟏 −𝟒 . 𝟎 = − 𝟖 𝟏𝟐−𝟒 𝟎

Multiplicação de Matrizes

Considere duas matrizes 𝑨𝒎𝒙𝒏=𝑩𝒏𝒙𝒑, definimos o produto de A e B como sendo uma matriz C, com as seguinte característica:

𝑨𝒎𝒙𝒏 . 𝑩𝒏𝒙𝒑 = 𝑪𝒎𝒙𝒑

Multiplicação de Matrizes

Ex.: 1) Dadas as Matrizes A= 𝟎 𝟏−𝟏 𝟎 e B= 𝟐 𝟎

−𝟑 𝟎 , determine A . B.

Solução: 0 . 2 + 0 + 1 . (−3) 0 . 0 + 1 . 0−1 . 2 + 0 . (−3) −1 . 0 + 0 . 0

= −3 0−2 0

Propriedades da Multiplicação de Matrizes

Sejam A, B e C matrizes conformes para a multiplicação e adição.

1ª propriedade: associativa: ABC = (AB)C = A(BC).

2ª propriedade: distributiva: A(B + C) = AB + AC

3ª propriedade: 𝑨𝒎𝒙𝒏 . 𝑶𝒏𝒙𝒑 = 𝟎𝒎𝒙𝒑

4ª propriedade: elemento neutro: 𝑨𝒎𝒙𝒏 . 𝑰𝒏 = 𝑨𝒎𝒙𝒏

5ª propriedade: anticomutativa: AB ≠ BA.

6ª propriedade: o produto de duas matrizes não-nulas poderá ser uma matriz nula.

Matriz Transposta

Denomina-se matriz transposta de A, e representa-se por 𝑨𝒕, a matriz que tem ordenadamente as colunas iguais às linhas de A.

Ex.: A = 𝟐 −𝟑 𝟏−𝟒 𝟏/𝟒 𝟕 =

𝟐 −𝟒−𝟑 𝟏/𝟒𝟏 𝟕

Propriedade da matriz transposta Sejam A e B matrizes conformes para a multiplicação e adição, e K um número real.

1ª propriedade: (𝑨 + 𝑩)ᵗ = Aᵗ + Bᵗ

2ª propriedade: (KA)ᵗ = k . Aᵗ

3ª propriedade: (Aᵗ)ᵗ = 𝐀

4ª propriedade: (AB)ᵗ = (BA)ᵗ

Matriz Inversa Seja A uma matriz inversa quadrada de ordem n. Dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B, tal que AB = BA = 𝐈𝐧.

Dada uma matriz inversível A, denomina-se inversa da A a matriz 𝑨−𝟏 (que é única), tal que:

A . 𝑨−𝟏= 𝑨−𝟏 . A = 𝐈𝐧

Assim, o cálculo da matriz 𝑨−𝟏, se fá através da resolução da equação acima.

Matriz Simétrica

Denomina-se matriz simétrica toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que Aᵗ = 𝑨.

Exs.: A = 𝟏 𝟐 𝟑𝟐 𝟒 𝟓𝟑 𝟓 𝟔

é uma matriz simétrica, pois

A = 𝟏 𝟐 𝟑𝟐 𝟒 𝟓𝟑 𝟓 𝟔

Propriedades da matriz inversa

1ª propriedade: (𝑨−𝟏)-¹ = A

2ª propriedade: (𝑨−𝟏)ᵗ = (Aᵗ)-¹

3ª propriedade: (AB) -¹ = 𝑩−𝟏. 𝑨−𝟏

4ª propriedade: A inversa de uma matriz, caso exista, é única.

Exemplos:

1) Encontre a matriz inversa da matriz A= 𝟐 𝟑𝟐 𝟓

Solução: Sabemos que a matriz A-1 será uma matriz quadrada de mesma ordem. Explicite uma matriz inversa com elementos quaisquer. Sendo assim, usaremos letras para representar estes elementos.

A . 𝑨−𝟏= 𝑰𝒏

Solução:(cont.) 𝟐 𝟑

𝟐 𝟓 . 𝒂 𝒃𝒄 𝒅 = 𝟏 𝟎

𝟎 𝟏

Através da igualdade de matrizes, obteremos 4 igualdades muito importantes para os nossos cálculos. Agrupá-las-emos de forma que as igualdades com mesmas incógnitas fiquem

juntas.

𝟐𝒂 + 𝟑𝒄 = 𝟏𝟐𝒂 + 𝟓𝒄 = 𝟎 e 𝟐𝒃 + 𝟑𝒅 = 𝟎

𝟐𝒃 + 𝟓𝒅 = 𝟏

Em situações como estas devemos resolver estes sistemas de equações com duas incógnitas.

Exemplo:

Logo: 𝑨−𝟏= 𝟓/𝟒 −𝟑/𝟒−𝟏/𝟐 𝟏/𝟐

Referências Bibliográficas:

HAZZAN, Samuel. Fundamentos da matemática elementar. V. 5. 3 ed. São Paulo: Atual, 2010.

PAIVA, Herivelto Nunes et al. Álgebra Linear. Rio de Janeiro: PoD Editora, 2006.

DANTE, L. Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Vol. Único. São Paulo: Ática, 2013.

GOES, H.; TONA, U. Matemática para concursos. São Paulo: Editora ABC, 2010.

http://www.infoescola.com/matematica/intervalo/

http://www.somatematica.com.br/emedio.php

https://pt.khanacademy.org/