M A T E M Á T I C A

P R O F . V I N Í C I U S G O M E S

O trio Imbatível da geometria planaQuadrado

Se liga:Perímetro é 2p,Semiperimetro é p

Perímetro: 2𝑝𝑝 = 4𝑎𝑎Área: 𝐴𝐴 = 𝑎𝑎2

Diagonal: 𝑑𝑑 = 𝑎𝑎 2

Triângulo Equilátero

Ponto médio

Perímetro: 2𝑝𝑝 = 3𝑎𝑎Área: 𝐴𝐴 = 𝑎𝑎2 3

4

Altura: h = 𝑎𝑎 32

Hexágono regular

Perímetro: 2𝑝𝑝 = 6𝑎𝑎Área: 𝐴𝐴 = 6 � 𝑎𝑎

2 34

São 6 triângulos equiláteros

A manchete demonstra que o transporte de grandes cargas representa cada vez mais preocupação quando feito em vias urbanas.

Caminhão entala em viaduto no Centro

Um caminhão de grande porte entalou embaixo do viaduto no cruzamento das avenidas Borges de Medeiros e Loureiro da Silva no sentido Centro-Bairro, próximo à Ponte de Pedra, na capital. Esse veículo vinha de São Paulo para Porto Alegre e transportava três grandes tubos, conforme ilustrado na foto.

Considere que o raio externo de cada cano da imagem seja 0,60 m e que eles estejam em cima de uma carroceria cuja parte superior está a 1,30 m do solo. O desenho representa a vista traseira do empilhamento dos canos.

A margem de segurança recomendada para que um veículo passe sob um viaduto é que a altura total do veículo com a carga seja, no mínimo, 0,50 m menor do que a altura do vão do viaduto.

• Considere 1,7 como aproximação para (3)1/2

Qual deveria ser a altura mínima do viaduto, em metro, para que esse caminhão pudesse passar com segurança sob seu vão?

a) 2,82.

b) 3,52.

c) 3,70.

d) 4,02.

e) 4,20.

0,6𝑚𝑚

0,6𝑚𝑚

0,6𝑚𝑚

0,6 𝑚𝑚0,6 𝑚𝑚

𝐻𝐻1

0,6𝑚𝑚

0,6𝑚𝑚

1,02

𝑚𝑚

Altura mínima do viaduto 𝐻𝐻 = 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 + ℎ1 + ℎ2 + ℎ3

ℎ1 =altura do triângulo equilátero formado pela ligação dos centros das circunferências

ℎ1 =1,2 � 3

2= 0,6 � 3 = 0,6 � 1,7 = 1,02 𝑚𝑚

ℎ1

1,2

ℎ2 =altura do solo até a carroceria.ℎ2 = 1,3 𝑚𝑚

ℎ3 =distância do viaduto ao topo do veículo

ℎ3 = 0,5 𝑚𝑚

𝐻𝐻 = 0,6 + 0,6 + 1,02 + 1,3 + 0,5

𝐻𝐻 = 4,02 𝑚𝑚

(ENEM 2016) Um arquiteto deseja construir um jardim circular de 20 m de diâmetro. Nessejardim, uma parte do terreno será reservada para pedras ornamentais. Essa parte terá a forma deum quadrado inscrito na circunferência, como mostrado na figura. Na parte compreendida entre ocontorno da circunferência e a parte externa ao quadrado, será colocada terra vegetal. Nessaparte do jardim, serão usados 15 kg de terra para cada m2.A terra vegetal é comercializada emsacos com exatos 15 kg cada. Use 3 como valor aproximado para π.

O número mínimo de sacos de terra vegetal necessários para cobrir a parte descrita do jardim é

a) 100

b) 140

c) 200

d) 800

e) 1000

Área do círculo: 𝐴𝐴𝑐𝑐= 𝜋𝜋𝑟𝑟2

Área do quadrado: 𝐴𝐴𝑄𝑄= 𝑙𝑙2

𝐴𝐴𝑐𝑐= 3 � 102 𝐴𝐴𝑐𝑐= 300 𝑚𝑚2

D

l 𝐷𝐷 = 𝑙𝑙 2 20 = 𝑙𝑙 2 𝑙𝑙 = 10 2

𝐴𝐴𝑄𝑄= 10 22 𝐴𝐴𝑄𝑄= 200 𝑚𝑚2

𝐴𝐴𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟= 𝐴𝐴𝑐𝑐 − 𝐴𝐴𝑄𝑄 𝐴𝐴𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟= 100 𝑚𝑚2

1 𝑠𝑠𝑎𝑎𝑠𝑠𝑠𝑠 = 1 𝑚𝑚2

x 𝑠𝑠𝑎𝑎𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 100 𝑚𝑚2100 sacos

(ENEM 2016) Um casal e seus dois filhos saíram, com um corretor de imóveis, com aintenção de comprar um lote onde futuramente construiriam sua residência. No projetoda casa, que esta família tem em mente, irão necessitar de uma área de pelo menos 400m 2 Após algumas avaliações, ficaram de decidir entre os lotes 1 e 2 da figura, em formade paralelogramos, cujos preços são R$ 100 000,00 e R$ 150 000,00, respectivamente.

Use 32

, 12

e 1,7 como aproximações, respectivamente, para sen(60°), cos(60°) e √3 Paracolaborarem na decisão, os envolvidos fizeram as seguintes argumentações:• Pai: Devemos comprar o Lote 1, pois como uma de suas diagonais é maior do que as

diagonais do Lote 2, o Lote 1 também terá maior área;• Mãe: Se desconsiderarmos os preços, poderemos comprar qualquer lote para executar

nosso projeto, pois tendo ambos o mesmo perímetro, terão também a mesma área;• Filho 1: Devemos comprar o Lote 2, pois é o único que tem área suficiente para a execução

do projeto;• Filho 2: Devemos comprar o Lote 1, pois como os dois lotes possuem lados de mesma

medida, terão também a mesma área, porém o Lote 1 é mais barato;• Corretor: Vocês devem comprar o Lote 2, pois é o que tem menor custo por metro

quadrado.A pessoa que argumentou corretamente para a compra do terreno foi o(a)

a) pai.b) mãe.c) filho 1.d) filho 2.e) corretor.

Lote 1: R$ 100000,00

Lote 2 R$ 150000,00

𝐴𝐴2 = 30 � 15 = 450 𝑚𝑚2

𝐴𝐴1 = 15 � 30 � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 60° = 382,5 𝑚𝑚2

No mínimo: 400 m²

𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑠𝑠𝑟𝑟 𝑚𝑚2 =100000

382,5 ≅ 𝑅𝑅𝑅 261,4

𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑠𝑠𝑟𝑟 𝑚𝑚2 =150000

450 ≅ 𝑅𝑅𝑅 333,33

Área do paralelogramo𝐴𝐴 = 𝑎𝑎 � 𝑏𝑏 � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼

Ou𝐴𝐴 = 𝑏𝑏 � ℎ

(ENEM 2014) Um fazendeiro tem um depósito para armazenar leite formado por duaspartes cúbicas que se comunicam, como indicado na figura. A aresta da parte cúbica de baixotem medida igual ao dobro da medida da aresta da parte cúbica de cima. A torneira utilizadapara encher o depósito tem vazão constante e levou 8 minutos para encher metade daparte de baixo.

Quantos minutos essa torneira levará para encher completamente o restante do depósito?

a) 8

b) 10

c) 16

d) 18

e) 24

Aresta do cubo maior: 𝑎𝑎 Aresta do cubo menor: 𝑎𝑎2

Leva 8 min para encher metade do cubo maiorQuanto tempo falta para encher o restante?

Cubo maior

𝑉𝑉𝐺𝐺 = 𝑎𝑎3Cubo menor

𝑉𝑉𝑃𝑃 =𝑎𝑎2

3=𝑎𝑎3

8Demora 16 minutos para encher

Demora 2 minutos para encher

Cubo maior + cubo menor

16 + 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠

18 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠

𝐹𝐹𝑎𝑎𝑙𝑙𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚 10 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠

(ENEM 2016) Um petroleiro possui reservatório em formato de um paralelepípedo retangular com asdimensões dadas por 60 m × 10 m de base e 10 m de altura. Com o objetivo de minimizar o impactoambiental de um eventual vazamento, esse reservatório é subdividido em três compartimentos, A, B eC, de mesmo volume, por duas placas de aço retangulares com dimensões de 7 m de altura e 10 m debase, de modo que os compartimentos são interligados, conforme a figura. Assim, caso hajarompimento no casco do reservatório, apenas uma parte de sua carga vazará.

Suponha que ocorra um desastre quando o petroleiro se encontra com sua carga máxima: ele sofreum acidente que ocasiona um furo no fundo do compartimento C.

Para fins de cálculo, considere desprezíveis as espessuras das placas divisórias.Após o fim do vazamento, o volume de petróleo derramado terá sido de

a) 1,4 × 10³ m³

b) 1,8 × 10³ m³

c) 2,0 × 10³ m³

d) 3,2 × 10³ m³

e) 6,0 × 10³ m³

Volume do compartimento C:

Volume acima das placas:

𝑉𝑉𝑐𝑐 = 20 � 10 � 7 = 1400 𝑚𝑚3

𝑉𝑉𝑠𝑠 = 60 � 10 � 3 = 1800 𝑚𝑚3

Volume derramado: 𝑉𝑉𝑑𝑑 = 𝑉𝑉𝑐𝑐 + 𝑉𝑉𝑠𝑠 = 1400 + 1800 = 3200 𝑚𝑚3

20 m

7 m

3 m

60 m

(ENEM 2010) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados emtaças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebrade grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo comformato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos doistipos de taças fosse igual.

Sabendo que a taça com o formato de hemisfério eservida completamente cheia, a altura do volume dechampanhe que deve ser colocado na outra taça, emcentímetros, e dea) 1,33b) 6,00c) 12,00d) 56,52e) 113,04

Considere𝑉𝑉𝑟𝑟𝑠𝑠𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎 = 4

3𝜋𝜋𝑅𝑅3 e 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐𝑟𝑟 = 1

3𝜋𝜋𝑅𝑅2ℎ

O volume da semiesfera (figura 1) é: 𝑉𝑉𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎 =12�

43𝜋𝜋𝑅𝑅3 =

46𝜋𝜋 � 33= 27 �

46𝜋𝜋

𝑉𝑉𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎 = 18𝜋𝜋

O volume do cone (figura 2) é: 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐𝑟𝑟 =13𝜋𝜋𝑅𝑅2ℎ =

13𝜋𝜋 � 9ℎ

𝑉𝑉𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐𝑟𝑟 = 3𝜋𝜋ℎ

Para que os volumes seja iguais a altura h será:

𝑉𝑉𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎 = 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐𝑟𝑟 18𝜋𝜋 = 3𝜋𝜋ℎ ℎ = 6 𝑠𝑠𝑚𝑚

Razão e ProporçãoProporção Igualdade entre duas razões

𝑎𝑎𝑏𝑏

=𝑠𝑠𝑑𝑑

MultiplicaçãoCruzada 𝑎𝑎 � 𝑑𝑑 = 𝑏𝑏 � 𝑠𝑠 a e d: Extremos

b e c: Meios

Algumas propriedades:

𝑎𝑎𝑏𝑏

=𝑠𝑠𝑑𝑑

=𝑎𝑎 + 𝑠𝑠𝑏𝑏 + 𝑑𝑑

𝑎𝑎𝑏𝑏

=𝑠𝑠𝑑𝑑

=𝑎𝑎 − 𝑠𝑠𝑏𝑏 − 𝑑𝑑

Para 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑 ≠ 0

Para 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 ≠ 0

Relações de dependência

PROPORÇÃO NOTAÇÃO A B CONSTANTE GRÁFICO

DIRETA 𝐴𝐴 ∝ 𝐵𝐵 ↑ ↑ QUOCIENTE𝐴𝐴𝐵𝐵↓ ↓

INVERSA 𝐴𝐴 ∝1𝐵𝐵

↑ ↓ PRODUTO𝐴𝐴 � 𝐵𝐵

↓ ↑

EscalasEscala linear:

Escala superficial:

Escala Volumétrica:

𝐸𝐸 =𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎𝑎𝑠𝑠ℎ𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ𝑠𝑠

𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎𝑎𝑠𝑠ℎ𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑠𝑠𝑎𝑎𝑙𝑙

𝐸𝐸2 =𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎𝑎𝑠𝑠ℎ𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ𝑠𝑠

𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎𝑎𝑠𝑠ℎ𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑠𝑠𝑎𝑎𝑙𝑙

2

𝐸𝐸3 =𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎𝑎𝑠𝑠ℎ𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ𝑠𝑠

𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎𝑎𝑠𝑠ℎ𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑠𝑠𝑎𝑎𝑙𝑙

3

SEMPRE NA MESMA UNIDADE

(ENEM 2018) Um mapa é a representação reduzida e simplificada de uma localidade. Essaredução, que é feita com o uso de uma escala, mantém a proporção do espaço representado emrelação ao espaço real.

Certo mapa tem escala 1 : 58 000 000.

Considere que, nesse mapa, o segmento de reta que liga o navio à marca do tesouro meça 7,6 cm.

A medida real, em quilômetro, desse segmento de reta é

a) 4 408.

b) 7 632.

c) 44 080.

d) 76 316.

e) 440 800.

Como escala é a razão entra a medida do desenho e a da realidade, temos que:

158.000.000

=7,6 𝑠𝑠𝑚𝑚𝑥𝑥

𝑥𝑥 = 440.800.000 𝑠𝑠𝑚𝑚

𝑥𝑥 = 4408 𝑘𝑘𝑚𝑚

(ENEM 2015) Uma confecção possuía 36 funcionários, alcançando uma produtividade de5 400 camisetas por dia, com uma jornada de trabalho diária dos funcionários de 6horas. Entretanto, com o lançamento da nova coleção e de uma nova campanha demarketing, o número de encomendas cresceu de forma acentuada, aumentando ademanda diária para 21 600 camisetas. Buscando atender essa nova demanda, a empresaaumentou o quadro de funcionários para 96. Ainda assim, a carga horária de trabalhonecessita ser ajustada.

Qual deve ser a nova jornada de trabalho diária dos funcionários para que a empresaconsiga atender a demanda?

a) 1 hora e 30 minutos.

b) 2 horas e 15 minutos.

c) 9 horas.

d) 16 horas.

e) 24 horas

PROCESSO PRODUTOFUNCIONÁRIOS h/D CAMISETA

36 6 540096 𝑥𝑥 21600

96 � 𝑥𝑥 � 5400 = 36 � 6 � 21600

𝑥𝑥 =36 � 6 � 21600

5400 � 96

𝑥𝑥 = 9 horas por dia

PORCENTAGEM Razão com denominador igual a 100

𝑥𝑥𝑥 =𝑥𝑥

100

Exemplo:

35𝑥 =35

100= 0,35

TaxaPercentual

TaxaUnitária

Cuidado: uma porcentagemSó faz sentido quando associadaA algum valor!

“50% do salário...”“15% do investimento...”

Regra importante: Você sempre vai sair perdendo!

Acréscimossão maioresdo que parecem

Descontossão menoresdo que parecem

R$100 +20% R$120 +20% R$144

Parecia40%

Acréscimo real: 44%

R$100 -20% R$80 -20% R$64

Parecia40%

Desconto real: 36%

(ENEM 2014) Uma organização não governamental divulgou um levantamento de dadosrealizado em algumas cidades brasileiras sobre saneamento básico. Os resultados indicam quesomente 36% do esgoto gerado nessas cidades é tratado, o que mostra que 8 bilhões de litrosde esgoto sem nenhum tratamento são lançados todos os dias nas águas. Uma campanha paramelhorar o saneamento básico nessas cidades tem como meta a redução da quantidade deesgoto lançado nas águas diariamente, sem tratamento, para 4 bilhões de litros nos próximosmeses. Se o volume de esgoto gerado permanecer o mesmo e a meta dessa campanha seconcretizar, o percentual de esgoto tratado passará a ser

a) 72%

b) 68%

c) 64%

d) 54%

e) 18%

36% do esgoto é tratado 8 bilhões de litros não são tratados 64%

Qual o total de esgoto? 100%

8 𝑏𝑏𝑚𝑚𝑙𝑙ℎ𝑏𝑠𝑠𝑠𝑠 = 64𝑥

𝑥𝑥 𝑏𝑏𝑚𝑚𝑙𝑙ℎ𝑏𝑠𝑠𝑠𝑠 = 100𝑥𝑥𝑥 = 12,5 𝑏𝑏𝑚𝑚𝑙𝑙ℎ𝑏𝑠𝑠𝑠𝑠

Do total 4 bilhões não serão tratados 8,5 bilhões tratados

12,5 𝑏𝑏𝑚𝑚𝑙𝑙ℎ𝑏𝑠𝑠𝑠𝑠 = 100𝑥

8,5 𝑏𝑏𝑚𝑚𝑙𝑙ℎ𝑏𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 68𝑥

Função de 1º grau𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏

𝑎𝑎 = 𝑐𝑐𝑡𝑡 𝛼𝛼 =∆𝑦𝑦∆𝑥𝑥

=𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1

b= Ordenada (y) do pontoem que a reta corta o eixo yCoeficiente

Angular!

CoeficienteLinear! Sinal

POSITIVO NEGATIVO ZERO

a Crescente! Decrescente!Horizontal(funçãoConstante) *

b Passa acimada origem

Passa abaixoda origem

Contém aorigem

*Neste caso, não é mais função de 1º grau

(ENEM 2015) Um meio de transporte coletivo que vem ganhando espaço no Brasil é a van,pois realiza, com relativo conforto e preço acessível, quase todos os tipos de transportes:escolar e urbano, intermunicipal e excursões em geral. O dono de uma van, cuja capacidademáxima é de 15 passageiros, cobra para uma excursão até a capital de seu estado R$ 60,00de cada passageiro. Se não atingir a capacidade máxima da van, cada passageiro pagará maisR$ 2,00 por lugar vago.

Sendo x o número de lugares vagos, a expressão que representa o valor arrecadado V(x), emreais, pelo dono da van, para uma viagem até a capital é

a) V(x) = 902x

b) V(x) = 930x

c) V(x) = 900 + 30x

d) V(x) = 60x + 2x²

e) V(x) = 900 - 30x - 2x²

x pessoas não compareceram para a excursão.

Pagamento pelos lugares ocupados: 60.(15 – x) = 900 – 60x. Cada passageiro que compareceu vai pagar mais R$ 2,00 por lugar vago: 2x.

Total de pagamento pelos lugares vagos: 2x.(15 – x) = 30x – 2x² .

Valor arrecadado V(x), em reais, pelo dono da van, para uma viagem até a capital é:

V(x) = 900 – 60x + 30x – 2x² = 900 – 30x – 2x²

Função quadrática𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑠𝑠

𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑠𝑠 ∈ ℝ𝑎𝑎 ≠ 0

∆= 𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑠𝑠

𝑥𝑥 =−𝑏𝑏 ± ∆

2a

Soma das raízes:

𝑆𝑆 = −𝑏𝑏𝑎𝑎

Produto das raízes:

𝑃𝑃 =𝑠𝑠𝑎𝑎

RaixCorta o eixo x

Gráfico: Parábola

Forma fatorada:𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2)

𝒚𝒚 = 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝒙𝒙 + 𝒄𝒄 POSITIVO NEGATIVO ZERO

aconcavidade

bTangente

cEixo y

∆Raízes

“Boca” para cima!

“Boca” para baixo!

Não tem boca!

Corta o eixo y subindo

Corta o eixo y descendo

Corta o eixo y no vértice

Acima da origem

Abaixo da origem

Contém a origem!

Duas raízes reais diferentes

𝑥𝑥1 𝑥𝑥2

Nenhuma raiz real Duas raízes reais iguais

𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥2∆=𝑏𝑏2

−4𝑎𝑎𝑠𝑠

EIXO DESIMETRIA

𝑥𝑥𝑣𝑣 = −𝑏𝑏2𝑎𝑎

𝑦𝑦𝑣𝑣 = −∆4𝑎𝑎

𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑠𝑠

(ENEM 2016) Dispondo de um grande terreno, uma empresa de entretenimento pretende construir um espaço retangular para shows e eventos, conforme a figura.

A área para o público será cercada com dois tipos de materiais:

• nos lados paralelos ao palco será usada uma tela do tipo A, maisresistente, cujo valor do metro linear é R$ 20,00;

• nos outros dois lados será usada uma tela do tipo B, comum, cujometro linear custa R$ 5,00.

A empresa dispõe de R$ 5 000,00 para comprar todas as telas, mas quer fazer de tal maneira que obtenha a maior área possível para o público.

A quantidade de cada tipo de tela que a empresa deve comprar é

a) 50,0 m da tela tipo A e 800,0 m da tela tipo B.

b) 62,5 m da tela tipo A e 250,0 m da tela tipo B.

c) 100,0 m da tela tipo A e 600,0 m da tela tipo B.

d) 125,0 m da tela tipo A e 500,0 m da tela tipo B.

e) 200,0 m da tela tipo A e 200,0 m da tela tipo B.

𝐶𝐶 = 20𝑥𝑥 + 20𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 + 5𝑦𝑦 𝐶𝐶 = 40𝑥𝑥 + 10𝑦𝑦 40𝑥𝑥 + 10𝑦𝑦 = 5000

𝑦𝑦 =5000 − 40𝑥𝑥

10 𝑦𝑦 = 500 − 4𝑥𝑥

Área do retângulo 𝐴𝐴 = 𝑥𝑥 � 𝑦𝑦

𝐴𝐴 = 𝑥𝑥 � (500 − 4𝑥𝑥) 𝐴𝐴 = −4𝑥𝑥2 + 500𝑥𝑥

Como o enunciado diz, queremos o maior valor possível da área para o público. Logo dever calcular o Y e o X do vértice desta parábola.

𝑥𝑥𝑣𝑣 = −𝑏𝑏2𝑎𝑎 𝑥𝑥𝑣𝑣 =

−5002 � −4 𝑥𝑥𝑣𝑣 =

5008

= 62,5

Como 𝑦𝑦 = 500 − 4𝑥𝑥, temos:

𝑦𝑦 = 500 − 4 � 62,5 𝑦𝑦 = 500 − 250 𝑦𝑦 = 250

2 lados com medida x

2 lados com medida y

125 metros do tipo A

500 metros do tipo B

(ENEM 2017) A Igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de OscarNiemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. Aseta na Figura 1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal da capela. A Figura 2 forneceuma vista frontal desta abóbada, com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos.

Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2?

-5 5

𝑦𝑦 = 𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2)

Como o ponto (4,3) pertence à parábola, temos:

3 = 𝑎𝑎(4 − 5)(4 + 5)

−9𝑎𝑎 = 3 𝑎𝑎 = −13

𝑦𝑦 = −13𝑥𝑥 − 5 𝑥𝑥 + 5

𝑦𝑦 = 𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 + 5)

𝑦𝑦 = −𝑥𝑥2

3+

253

𝑦𝑦𝑣𝑣 =253

Análise combinatória

O número de objetos é igual ao número de

posições?

Não A ordem importa?

Não Combinação 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑝𝑝 =

𝑠𝑠!𝑝𝑝! 𝑠𝑠 − 𝑝𝑝 !

Sim Arranjo 𝐴𝐴𝑐𝑐𝑝𝑝 =

𝑠𝑠!𝑠𝑠 − 𝑝𝑝 !

SimExiste

repetição de elementos?

Não Permutação Simples

𝑃𝑃𝑐𝑐 = 𝑠𝑠!

Sim Permutação com repetição

𝑝𝑝𝑐𝑐𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐… =

𝑠𝑠!𝑎𝑎! � 𝑏𝑏! � 𝑠𝑠!⋯

(ENEM 2016) Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta porquatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e osalgarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto porvinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha.

Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012.

O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por

a) 102 � 262

b) 102 � 522

c) 102 � 522 � 4!2!

d) 102 � 262 � 4!2!2!

e) 102 � 522 � 4!2!2!

Sendo A = algarismo e L = letra, temos : A A L LEles poderão permutar pois as letras e os algarismos podem estar em qualquer posição:

Temos algumas informações importantes para resolver esse problema:

• A senha terá 4 caracteres sendo dois algarismos e duas letras

• As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição.

• O alfabeto tem vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula

• São 10 algarismos

• 26 letras maiúsculas + 26 letras minúsculas = 52 letras

10 � 10 � 52 � 52 �4!

2! 2!Então o total der senhas será dado por

Probabilidade

ESPAÇO AMOSTRAL: conjunto de todos os

possíveis resultados de um experimento aleatório = Ω

EVENTO: qualquer subconjunto do espaço

amostral = 𝐸𝐸

EVENTO COMPLEMENTAR: dois ou mais eventos são complementares quando juntos formam o espaço

amostral completo

EVENTOS EQUIPROVÁVEIS: Aqueles que tem a mesma probabilidade de ocorrer

𝑃𝑃 𝐸𝐸 =𝑠𝑠 𝐸𝐸𝑠𝑠 Ω

𝑁𝑁𝑁 𝐷𝐷𝐸𝐸 𝐶𝐶𝐴𝐴𝑆𝑆𝐶𝐶𝑆𝑆 𝐹𝐹𝐴𝐴𝑉𝑉𝐶𝐶𝑅𝑅𝐴𝐴𝐹𝐹𝑆𝑆𝑁𝑁𝑁 𝐷𝐷𝐸𝐸 𝐶𝐶𝐴𝐴𝑆𝑆𝐶𝐶𝑆𝑆 𝑃𝑃𝐶𝐶𝑆𝑆𝑆𝑆𝑃𝑉𝑉𝐸𝐸𝐹𝐹𝑆𝑆

UNIÃO DE DOIS EVENTOS

𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = ∅ 𝑃𝑃 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵= 𝑃𝑃 𝐴𝐴 + 𝑃𝑃(𝐵𝐵)

𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 ≠ ∅𝑃𝑃 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵= 𝑃𝑃 𝐴𝐴 + 𝑃𝑃 𝐵𝐵− 𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)

PROBABILIDADE CONDICIONAL:

Probabilidade de ocorrer um evento A sabendo-se que B

já ocorreu

𝑃𝑃 𝐴𝐴 𝐵𝐵 =𝑃𝑃 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵𝑃𝑃 𝐵𝐵

(ENEM 2017) Um morador de uma região metropolitana tem 50% de probabilidade de atrasar-separa o trabalho quando chove na região; caso não chova, sua probabilidade de atraso é de 25%. Paraum determinado dia, o serviço de meteorologia estima em 30% a probabilidade da ocorrência dechuva nessa região.

Qual é a probabilidade de esse morador se atrasar para o serviço no dia para o qual foi dada aestimativa de chuva?

a) 0,075

b) 0,150

c) 0,325

d) 0,600

e) 0,800

Probabilidade de chover E atrasar: 30𝑥 � 50𝑥 =30

100�

50100

=15

100= 0,15

Probabilidade de não chover E atrasar: 70𝑥 � 25𝑥 =70

100�

25100

= 0,175

(chover E atrasar) (não chover E atrasar):OU 0,15 + 0,175 = 0,325

multEplica

sOUma

O famoso trio da estatística!Parta SEMPRE de uma lista

ORDENADA

Por exemplo,

4 – 2 - 5 – 2 - 2 -1 – 2 – 3 – 6 - 5O ordenador

1 – 2 - 2 – 2 - 2 - 3 – 4 – 5 – 5 - 6

Moda: O valor mais frequente em uma lista

Tô naModa!

Média: A razão entre a soma dos valores e o número de observações

1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5 + 610 =

3210 = 3,2

Mediana: Depende do número de observações

NúmeroImpar?

É quem tá bemno meio

Númeropar? Média dos 2 centrais 2 + 3

2 = 2,5

(ENEM 2014) Uma loja que vende sapatos recebeu diversas reclamações de seus clientes relacionadasà venda de sapatos de cor branca ou preta. Os donos da loja anotaram as numerações dos sapatoscom defeito e fizeram um estudo estatístico com o intuito de reclamar com o fabricante. A tabelacontém a média, a mediana e a moda desses dados anotados pelos donos.

Estatística sobre as numerações dos sapatos com defeito

Média Mediana Moda

Numeração dos sapatos com defeito

36 37 38

decidiram que a numeração dos sapatos com maior número de reclamações e a cor com maiornúmero de reclamações não serão mais vendidas. A loja encaminhou um ofício ao fornecedor dossapatos, explicando que não serão mais encomendados os sapatos de cor

Para quantificar os sapatos pela cor, osdonos representaram a cor branca pelonúmero 0 e a cor preta pelo número 1.Sabe-se que a média da distribuiçãodesses zeros e uns é igual a 0,45. Osdonos da loja

a) branca e os de número 38 b) branca e os de número 37 c) branca e os de número 36 d) preta e os de número 38e) preta e os de número 37

Branco=0 Preto=1 Média=0,45

Moda=38

Seja 𝑥𝑥 o número de sapatos brancos e 𝑦𝑦 o número de sapatos pretos

• Se 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦

�𝑋𝑋 =0 � 𝑥𝑥 + 1 � 𝑦𝑦

𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦

𝑦𝑦 + 𝑦𝑦=

𝑦𝑦2𝑦𝑦

= 0,5

• Se y > x𝑦𝑦

𝑥𝑥 + 𝑦𝑦

• Se x > y𝑦𝑦

𝑥𝑥 + 𝑦𝑦

> 0,5

< 0,5

Progressão aritmética

Definição: sequência de números reais onde

cada termo, a partir do segundo , é igual a

soma do anterior com uma constante r.

Razão: 𝑟𝑟 =𝑎𝑎𝑐𝑐 − 𝑎𝑎𝑐𝑐−1

Termos geral: 𝑎𝑎𝑐𝑐 = 𝑎𝑎1 + 𝑠𝑠 − 1 � 𝑟𝑟

PA de três termos: (𝑥𝑥 − 𝑟𝑟, 𝑥𝑥, 𝑥𝑥 + 𝑟𝑟)

Cada termo é igual à médiaAritmética entre os seus vizinhos!

5 =2 + 8

2

2 5 8 11 14 17 20 23 26

Isso também vale para os vizinhos dos vizinhos, e assim por diante

17 =14 + 20

2=

11 + 232

= ⋯

A soma dos extremos é igual à somados vizinhos dos extremos – e assim sucessivamente!

Se houver temos central, seu valorSerá igual à media aritmética dosextremos

2 + 26 = 5 + 23 = 8 + 20 = ⋯2 + 26

2 = 14

(ENEM 2016) Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de umedifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente,de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assimsucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no últimoandar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número deandares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foramrealizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro.

Qual é o número de andares desse edifício?

a) 40

b) 60

c) 100

d) 115

e) 120

João PA de razão 2

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, … )

Pedro PA de razão 3

(1, 4, 7, 10, 13, 14, 17, … )

Os encontros ocorrem de 6 em 6 andares

(1, 7, 13, 19, … )

Como no edifício ocorrem 20 encontros, temos:

𝑎𝑎20 = 1 + (20 − 1) � 6 𝑎𝑎20 = 115

Logaritmoslog𝑎𝑎 𝑁𝑁 = 𝑥𝑥 ⇔ 𝑎𝑎𝑥𝑥 = 𝑁𝑁

Dando nome aos bois:a: Basex: LogaritmoN: Logaritmando

Restrições: 𝑎𝑎 > 0𝑎𝑎 ≠ 1𝑁𝑁 > 0

Consequências:

log𝑎𝑎 1 = 0

log𝑁𝑁 𝑁𝑁 = 1

𝑎𝑎log𝑎𝑎 𝑁𝑁 = 𝑁𝑁

Propriedades:

• log𝑎𝑎 𝑏𝑏 � 𝑠𝑠 = log𝑎𝑎 𝑏𝑏 + log𝑎𝑎 𝑠𝑠

• log𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐

= log𝑎𝑎 𝑏𝑏 − log𝑎𝑎 𝑠𝑠

• log𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑐𝑐 = 𝑠𝑠 � log𝑎𝑎 𝑏𝑏

• log𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑏 = log𝑎𝑎 𝑏𝑏

𝑐𝑐

• log10 𝑏𝑏 = log𝑏𝑏

• log𝑟𝑟 𝑏𝑏 = ln 𝑏𝑏

Produto vira soma !

Divisão vira diferença

Expoente pula!

Índice cai!

Mudança de base log𝑎𝑎 𝑏𝑏 =log𝑐𝑐 𝑏𝑏log𝑐𝑐 𝑎𝑎

Base 10 não aparece!

Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou um devastador tsunamino Japão, provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em 2013, outroterremoto, de magnitude 7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China),deixando centenas de mortos e milhares de feridos. A magnitude de um terremoto naescala Richter pode ser calculada por

𝑀𝑀 =23

log𝐸𝐸𝐸𝐸0

sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e E0 uma constante real positiva.Considere que E1 e E2representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japãoe na China, respectivamente. Qual a relação entre E1 e E2?

a) 𝐸𝐸1 = 𝐸𝐸2 + 2

b) 𝐸𝐸1 = 102 � 𝐸𝐸2c) 𝐸𝐸1 = 103 � 𝐸𝐸2

d) 𝐸𝐸1 = 1097 � 𝐸𝐸2

e) 𝐸𝐸1 = 97� 𝐸𝐸2

9 =23

log𝐸𝐸1𝐸𝐸0

log𝐸𝐸1 − log𝐸𝐸0 =272

Equação I

7 =23

log𝐸𝐸2𝐸𝐸0

log𝐸𝐸2 − log𝐸𝐸0 =212

Equação II

Multiplicando a equação II por (-1) e somando com I, temos:

log𝐸𝐸1 − log𝐸𝐸2 =62 log𝐸𝐸1 − log𝐸𝐸2 = 3 log

𝐸𝐸1𝐸𝐸2

= 3𝐸𝐸1𝐸𝐸2

= 103

𝐸𝐸1 = 103 � 𝐸𝐸2

Boa prova!Professor Vinícius Gomes

@profvinigomes