Livro Matematica.pdf

Professora Esp. Ivnna Gurniski Carniel

MATEMTICA DISCRETA

GRADUAO

ANLISE E DESENVOLVIMENTODE SISTEMAS

SISTEMAS PARA INTERNET

MARING-PR

2013

Reitor: Wilson de Matos SilvaVice-Reitor: Wilson de Matos Silva FilhoPr-Reitor de Administrao: Wilson de Matos Silva FilhoPr-Reitor de EAD: Willian Victor Kendrick de Matos SilvaPresidente da Mantenedora: Cludio Ferdinandi

NEAD - Ncleo de Educao a Distncia

Diretor Comercial, de Expanso e Novos Negcios: Marcos GoisDiretor de Operaes: Chrystiano MincoffCoordenao de Marketing: Bruno JorgeCoordenao de Sistemas: Fabrcio Ricardo LazilhaCoordenao de Polos: Reginaldo CarneiroCoordenao de Ps-Graduao, Extenso e Produo de Materiais: Renato DutraCoordenao de Graduao: Ktia CoelhoCoordenao Administrativa/Servios Compartilhados: Evandro BolsoniCoordenao de Curso: Danillo Xavier SaesSupervisora do Ncleo de Produo de Materiais: Nalva Aparecida da Rosa MouraCapa e Editorao: Daniel Fuverki Hey, Fernando Henrique Mendes, Humberto Garcia da Silva, Jaime de Marchi Junior, Jos Jhonny Coelho, Robson Yuiti Saito e Thayla Daiany Guimares CripaldiSuperviso de Materiais: Ndila de Almeida Toledo Reviso Textual e Normas: Hellyery Agda Gonalves da Silva, Janana Bicudo Kikuchi, Jaquelina Kutsunugi, Keren Pardini, Maria Fernanda Canova Vasconcelos e Nayara Valenciano

Ficha catalogrfica elaborada pela Biblioteca Central - UniCesumar

C397 CENTRO UNIVERSITRIO DE MARING. Ncleo de Educao a Distncia: Matemtica Discreta / Ivnna Gurniski Carniel. Maring - Pr., 2013. 137 p.

Curso de Graduao Anlise e Desenvolvimento de Siste mas - Sistemas para Internet EaD.

1. Matemtica . 2. Teoria dos Conjuntos . 3. Anlise Combi natria. 4. Matrizes . EaD. I. Ttulo.

CDD - 22 ed. 510

As imagens utilizadas neste livro foram obtidas a partir dos sites PHOTOS.COM e SHUTTERSTOCK.COM.

Av. Guedner, 1610 - Jd. Aclimao - (44) 3027-6360 - CEP 87050-390 - Maring - Paran - www.cesumar.brNEAD - Ncleo de Educao a Distncia - bloco 4- (44) 3027-6363 - [email protected] - www.ead.cesumar.br

MATEMTICA DISCRETA

Professora Esp. Ivnna Gurniski Carniel

5MATEMTICA DISCRETA | Educao a Distncia

APRESENTAO DO REITOR

Viver e trabalhar em uma sociedade global um grande desafio para todos os cidados. A busca por tecnologia, informao, conhecimento de qualidade, novas habilidades para liderana e soluo de problemas com eficincia tornou-se uma questo de sobrevivncia no mundo do trabalho.

Cada um de ns tem uma grande responsabilidade: as escolhas que fizermos por ns e pelos nossos far grande diferena no futuro.

Com essa viso, o Centro Universitrio Cesumar assume o compromisso de democratizar o conhecimento por meio de alta tecnologia e contribuir para o futuro dos brasileiros.

No cumprimento de sua misso promover a educao de qualidade nas diferentes reas do conhecimento, formando profissionais cidados que contribuam para o desenvolvimento de uma sociedade justa e solidria , o Centro Universitrio Cesumar busca a integrao do ensino-pesquisa-extenso com as demandas institucionais e sociais; a realizao de uma prtica acadmica que contribua para o desenvolvimento da conscincia social e poltica e, por fim, a democratizao do conhecimento acadmico com a articulao e a integrao com a sociedade.

Diante disso, o Centro Universitrio Cesumar almeja reconhecimento como uma instituio universitria de referncia regional e nacional pela qualidade e compromisso do corpo do-cente; aquisio de competncias institucionais para o desenvolvimento de linhas de pesqui-sa; consolidao da extenso universitria; qualidade da oferta dos ensinos presencial e a distncia; bem-estar e satisfao da comunidade interna; qualidade da gesto acadmica e administrativa; compromisso social de incluso; processos de cooperao e parceria com o mundo do trabalho, como tambm pelo compromisso e relacionamento permanente com os egressos, incentivando a educao continuada.

Professor Wilson de Matos SilvaReitor

6 MATEMTICA DISCRETA | Educao a Distncia

Seja bem-vindo(a), caro(a) acadmico(a)! Voc est iniciando um processo de transformao, pois quando investimos em nossa formao, seja ela pessoal ou profissional, nos transformamos e, consequentemente, transformamos tambm a sociedade na qual estamos inseridos. De que forma o fazemos? Criando oportunidades e/ou estabelecendo mudanas capazes de alcanar um nvel de desenvolvimento compatvel com os desafios que surgem no mundo contemporneo.

O Centro Universitrio Cesumar, mediante o Ncleo de Educao a Distncia, o(a) acompanhar durante todo este processo, pois conforme Freire (1996): Os homens se educam juntos, na transformao do mundo.

Os materiais produzidos oferecem linguagem dialgica e encontram-se integrados proposta pedaggica, contribuindo no processo educacional, complementando sua formao profissional, desenvolvendo competncias e habilidades, e aplicando conceitos tericos em situao de realidade, de maneira a inseri-lo(a) no mercado de trabalho. Ou seja, estes materiais tm como principal objetivo provocar uma aproximao entre voc e o contedo, desta forma, possibilita o desenvolvimento da autonomia em busca dos conhecimentos necessrios para a sua formao pessoal e profissional.

Portanto, nossa distncia nesse processo de crescimento e construo do conhecimento deve ser apenas geogrfica. Utilize os diversos recursos pedaggicos que o Centro Universitrio Cesumar lhe possibilita. Ou seja, acesse regularmente o AVA Ambiente Virtual de Aprendizagem, interaja nos fruns e enquetes, assista s aulas ao vivo e participe das discusses. Alm disso, lembre-se de que existe uma equipe de professores e tutores que se encontra disponvel para sanar suas dvidas e auxili-lo(a) em seu processo de aprendizagem, possibilitando-lhe trilhar com tranquilidade e segurana sua trajetria acadmica.

Ento, vamos l! Desejo bons e proveitosos estudos!

Professora Ktia Solange Coelho

Coordenadora de Graduao do NEAD - UniCesumar


APRESENTAO

Livro: MATEMTICA DISCRETAProfessora Esp. Ivnna Gurniski Carniel

Caro(a) aluno(a)!

Este material foi elaborado de modo a colaborar com seu desenvolvimento intelectual e profissional, evidenciando a importncia dessa disciplina para a rea da informtica. Apesar do formalismo matemtico na apresentao de alguns conceitos, apresentamos exemplos de aplicao na rea da informtica. Iremos introduzir os conceitos bsicos de matemtica discreta, necessrios para uma compreenso rigorosa das disciplinas especficas da rea da informtica. Sero abordados temas que vo da lgica lgebra.

A Matemtica Discreta a parte da Matemtica que trata de objetos e estruturas discretas ou finitas (discreta significa que formada por elementos distintos desconexos entre si). Geralmente, usada quando contamos objetos, quando estudamos relaes entre conjuntos finitos e quando processos (algoritmos) envolvendo um nmero finito de passos so analisados. A matemtica discreta tem grande importncia na rea da informtica, pois nos computadores a informao armazenada e manipulada numa forma discreta.

Na Unidade I, abordaremos alguns tpicos da Teoria de Conjuntos que uma importante ferramenta para a compreenso e entendimento de estruturas discretas, muito teis na computao como um todo. Inicialmente, apresentaremos os principais conceitos sobre conjuntos, em seguida, as principais operaes com conjuntos e finalizaremos com algumas aplicaes dessa teoria na rea computacional.

Nas unidades II e III, discutiremos parte da Lgica Matemtica, extensivamente usada na rea da informtica. Nas dcadas de 50 e 60, pesquisadores previram que, quando o conhecimento humano pudesse ser expresso usando lgica com notao matemtica, seria possvel criar uma mquina com a capacidade de pensar, ou seja, inteligncia artificial. A programao lgica uma tentativa de fazer computadores usarem raciocnio lgico.

Na unidade II, trabalharemos com a lgica e o clculo proposicional, apresentando exemplos de proposies, seus conectivos lgicos e tabelas verdade. Esta unidade muito importante dentro da informtica, uma vez que sua utilizao est associada formulao dos algoritmos


utilizados na computao.

J na unidade III, trataremos dos chamados argumentos lgicos, de sua validao ou invalidao e tambm abordaremos os quantificadores. Essas duas ferramentas esto inseridas dentro do clculo proposicional e exigem o conhecimento bsico nessa rea. Por isso o estudo da unidade II bastante importante para o entendimento da unidade III.

Na Unidade IV abordaremos alguns tpicos de Anlise Combinatria. Veremos as principais formas de se fazer contagens considerando os arranjos, permutaes e combinaes. Cada uma dessas formas de contagem tem suas particularidades e aplicaes. O grande desafio est em diferenciar qual o tipo de contagem refere-se determinada situao problema.

A Unidade V foi dedicada ao estudo de Matrizes e alguns conceitos acerca da lgebra Booleana. A lgebra booleana uma rea da matemtica que trata de regras e elementos de lgica. O nome uma homenagem ao matemtico ingls George Boole (1815-1864), que desenvolveu uma anlise matemtica sobre a lgica.

Sabemos que existem muitas particularidades dentro deste material e que isso vai exigir do aluno esforo e tempo para que haja assimilao do contedo como um todo. Com isso, afirmamos: ser necessrio tambm muito empenho de sua parte para a realizao desse intenso trabalho.

No decorrer de suas leituras procure interagir com os textos, fazer anotaes, responder s atividades de autoestudo, anotar suas dvidas, ver as indicaes de leitura e realizar novas pesquisas sobre os assuntos tratados, pois, com certeza, no ser possvel esgot-lo em apenas um livro.

Bons estudos !!!

Professora Ivnna Gurniski Carniel

SUMRIO

UNIDADE I

TEORIA DE CONJUNTOS

CONCEITOS PRIMITIVOS ......................................................................................................13

OPERAES ENTRE CONJUNTOS .....................................................................................20

CONJUNTOS NUMRICOS ...................................................................................................30

UNIDADE II

INTRODUO LGICA PROPOSICIONAL

LGICA ...................................................................................................................................42

OPERAES LGICAS SOBRE PROPOSIES ................................................................46

TABELAS-VERDADE ..............................................................................................................52

EQUIVALNCIA LGICA ........................................................................................................56

UNIDADE III

CLCULO PROPOSICIONAL: ARGUMENTOS E QUANTIFICADORES

ARGUMENTOS .......................................................................................................................68

QUANTIFICAO ...................................................................................................................77

UNIDADE IV

ANLISE COMBINATRIA

PRINCPIOS DA CONTAGEM ................................................................................................89

ARRANJOS ............................................................................................................................96

PERMUTAES .....................................................................................................................98

COMBINAES....................................................................................................................103

PRINCPIO DA CASA DOS POMBOS ..................................................................................106

UNIDADE V

MATRIZES E LGEBRA BOOLEANA

TIPOS DE MATRIZES ........................................................................................................... 114

OPERAES COM MATRIZES ........................................................................................... 117

MATRIZ INVERSA .................................................................................................................122

LGEBRA BOOLEANA ........................................................................................................125

CONCLUSO ........................................................................................................................135

REFERNCIAS .....................................................................................................................137

UNIDADE I

TEORIA DE CONJUNTOSProfessora Esp. Ivnna Gurniski Carniel

Objetivos de Aprendizagem

Conhecer alguns conceitos da Teoria de Conjuntos.

Representareidentificar,deformacoerente,osdiferentesConjuntos.

Identificaroselementosdeumconjuntopormeiodesuacaracterstica.

Relacionar conjunto a conjunto.

Compreender as operaes entre conjuntos.

Propiciar estudo para o entendimento, interpretao e resoluo de situaes problemas.

Plano de Estudo

A seguir, apresentam-se os tpicos que voc estudar nesta unidade:

Relao entre Elemento e Conjunto

Representao de um Conjunto

Conjunto Unitrio Conjunto Vazio Conjunto Universo

Relao entre Conjunto e Conjunto

Operaes entre conjuntos

Resoluo de Problemas

Conjuntos Numricos


INTRODUO

Nesta primeira unidade, voc estudar um tema muito importante para o mundo da matemtica: a Teoria de Conjuntos. O estudo dos conjuntos foi iniciado por Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor e Richard Dedekind em 1870. Trata-se de um contedo cercado de histria e que contribuir com sua formao acadmica.

Pesquisas contemporneas em teoria de conjuntos incluem diversas colees de temas, na rea da computao podemos citar: banco de dados, circuitos integrados, inteligncia artificial e sistemas distribudos.

CONCEITOS PRIMITIVOS

Fonte

: SHU

TTER

STOC

K.CO

M

Quando tratamos da teoria de conjuntos, no temos interesse exclusivo em conjuntos numricos. Ao trabalharmos com um conjunto de dados para transform-los em informaes, para compar-los com outros resultados, ou ainda julgar sua adequao a alguma teoria, de suma importncia o conhecimento da teoria de conjuntos. Alm disso, algumas vezes


ser necessrio entender se dado problema admite soluo, quantas so essas solues, se a soluo aceitvel, ou ainda qual a probabilidade de algo acontecer, alm de outras abordagens.

H alguns conceitos matemticos que no podemos definir. Entre eles esto os conceitos de conjunto, elemento e relao de pertinncia, que, por serem os primeiros de uma cadeia de definies, so chamados conceitos primitivos. Embora o conceito de conjunto no seja possvel definir, podemos apelar para a noo intuitiva a que a palavra nos proporciona que a de uma coleo qualquer de objetos.

Por exemplo:

Conjunto dos estados da regio Sudeste:

Conjunto dos nmeros primos:

B= {2,3,5,7,11,13,}

Cada um dos objetos que compem um conjunto denominado elemento.

Por exemplo:

O conjunto M dos Meses do Ano composto pelos elementos janeiro, fevereiro, maro, abril, maio, junho, julho, agosto, setembro, outubro, novembro e dezembro e pode ser escrito como:

M = {janeiro, fevereiro, maro, abril, maio, junho, julho, agosto, setembro, outubro, novembro, dezembro}

Observao: usamos reticncias (...) em conjunto quando esse infinito.

O conjunto Z dos Nmeros Inteiros composto pelos elementos positivos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8... , pelos elementos negativos -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8... , e pelo elemento nulo 0 (zero) e pode ser escrito como:


Z = {... -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...}

Relao entre Elemento e Conjunto

Para indicar que determinado objeto a elemento de um dado conjunto B, utilizamos o smbolo e os relacionamos como a (l-se: a pertence ao conjunto B).

Para indicar que determinado objeto a no elemento de um dado conjunto B, utilizamos o smbolo e os relacionamos como a (l-se: a no pertence ao conjunto B).

Por exemplo:

Considere o conjunto S dos estados da regio Sudeste. Podemos ter:

Minas Gerais S e Paran S

Considere o conjunto B dos nmeros primos. Podemos ter:

2 B e 9 B

Representaes de um Conjunto

H trs formas de representar um conjunto: por Extenso, por Compreenso e por Diagrama.

Representao por Extenso

Listamos todos os elementos, escrevendo-os entre chaves e separando-os por vrgulas (exceto quando usamos nmeros decimais, nesse caso usamos ponto e vrgula para separ-los).

Representao por Compreenso

O conjunto ser representado por meio de uma propriedade que caracteriza os seus elementos, em algumas situaes, impossvel escrever tal caracterstica. Nesses casos, optamos por


outra forma de representao.

Representao por Diagrama

Utilizamos uma figura chamada Diagrama de Venn (John Venn, ingls; 1834-1923) para representar tais elementos. Para conjuntos finitos, fcil usar esta representao. Para conjuntos infinitos, torna-se impossvel. Nesse caso, elegemos alguns elementos para representar o conjunto, mas necessrio deixar claro que o conjunto no possui apenas tais elementos.

Por exemplo:

Considere o conjunto : conjunto dos dias da semana. E vamos representar esse conjunto das trs maneiras explicitadas anteriormente.

Compreenso:

S= {x | x dia da semana}

Extenso:

S = {domingo,segunda-feira,tera-feira,quarta-feira,quinta-feira,sexta-feira,sbado}

Diagrama:


Conjunto Unitrio, Conjunto Vazio e Conjunto Universo

Embora a noo de conjunto esteja associada ideia de pluralidade (coleo de objetos), ser bastante til considerar conjuntos com um s elemento, chamados conjuntos unitrios e tambm o conjunto sem qualquer elemento, chamado conjunto vazio.

Conjunto Unitrio

o conjunto que formado por um nico elemento.

Por exemplo:

H o conjunto dos planetas reconhecidamente habitados do Sistema Solar.

H = {Terra}

Conjunto Vazio

o conjunto que no possui elementos e cuja notao . Ele tambm pode ser representado por { }.

Por exemplo:

D o conjunto dos nmeros naturais mpares menores do que 1.

D={xxumnmeronaturalmparmenordoque1}=, pois no h nmero natural mpar menor do que 1.

Conjunto Universo

o conjunto formado por todos os elementos com os quais estamos trabalhando em um determinado assunto.


Na Matemtica, de grande importncia saber qual conjunto universo em que se pretende resolver problemas, pois, dependendo desse conjunto, o problema pode ter ou no soluo. Por exemplo, para as crianas dos anos iniciais do Ensino Fundamental, a operao 3-5 no tem significado, pois o conjunto numrico que elas tomam como universo no possui nmeros negativos. Quando, no stimo ano do Ensino Fundamental, o conjunto universo passa a contar com nmeros negativos, elas aprendem que 3-5= -2.

Subconjuntos e a Relao de Incluso

Para indicar que um determinado conjunto A subconjunto de um conjunto B, necessrio que todos os elementos do conjunto A estejam em B. Nesse caso, utilizamos o smbolo "" e os relacionamos como A B (l-se: A est contido em B ou, A subconjunto de B).

Se A no for subconjunto de B, escrevemos A B. Nesse caso, existe pelo menos um elemento de A que no pertence a B.

H uma maneira pouco usual de representar a mesma relao:

B A (l-se: B contm A).

Por exemplo:

Seja N={janeiro, fevereiro, maro} e seja M={janeiro, fevereiro, maro, abril, maio, junho, julho, agosto, setembro, outubro, novembro, dezembro}, podemos dizer que N subconjunto de M, pois todos os elementos de N tambm so elementos de M(N M).

Igualdade entre Conjuntos

Dois conjuntos so ditos iguais (A = B) quando possuem os mesmos elementos. Se existir ao menos um elemento que pertena a um dos conjuntos e no pertena ao outro ento dizemos queosconjuntossodiferentes(AB).


Resultados Importantes

Se A B e B A A = B

De fato, se todos os elementos de A esto em B e todos os elementos de B esto em A, no h elementos diferentes entre A e B, portanto, A = B.

O conjunto vazio est contido em qualquer conjunto ( C, C).

Conjunto das Partes

Dado o conjunto A={a,e,i}, possvel escrever todos os subconjuntos (ou todas as partes) de A. Esse conjunto formado por todos os subconjuntos de A chamado de conjunto das partes de A e indicado por P(A). Assim, temos:

P(A)= {,{a},{e},{i},{a,e},{a,i},{e,i},{a,e,i}}

Observe que {a},{a,e} e {a,e,i}, por exemplo, so elementos de P(A). Portanto, escrevemos {a} P(A), {a,e} P(A) e {a,e,i} P(A), e no {a} P(A), {a,e} P(A) e {a,e,i} P(A). Veja que P(A) e P(A)..

Observe tambm que h uma relao entre o nmero de elementos de P(A) e o nmero de elementos de A.

tem 0 elementos e P()={} tem 1 elemento.

A = {a} tem 1 elemento e P(A)= {,{a}} tem 2 elementos.

A = {a,b} tem 2 elementos e P(A)={,{a},{b},{a,b}} tem 4 elementos.

A = {a,b,c} tem 3 elementos e P(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} tem 8 elementos.

Lembre-se de que 20=1; 21=2; 22=4; 23=8. possvel conjecturar ento que, se A tem n


elementos, P(A) tem 2n elementos, resultado muito til no clculo de probabilidades.

OPERAES ENTRE CONJUNTOS

Unio de Conjuntos

Dados os conjuntos A e B, definimos como Unio entre A e B (AB) o conjunto formado exclusivamente por todos os elementos de A e por todos os elementos de B.

Por exemplo:

Sejam os conjuntos:

A = {Terra, Vnus, Marte}

B = {Terra, Netuno, Saturno, Mercrio, Vnus}

A B = {Terra, Vnus, Marte, Netuno, Saturno, Mercrio}

O conjunto A B est sombreado

Interseco entre Conjuntos

Dadosos conjuntosA eB, definimos como IntersecoentreA eB (AB) o conjunto

formado por todos os elementos que esto simultaneamente em A e em B.


Por exemplo:

Sejam os conjuntos:



AB={Terra,Vnus}

OconjuntoABestsombreado

SeaintersecoentreosconjuntosAeBnotemelementos(AB=),dizemosqueos

conjuntos A e B so disjuntos.

Resultados importantes:

se A B AB=A.

se A B A B = B.

se n(A) o nmero de elementos do conjunto A, n(B) o nmero de elementos do conjunto B, n(A B)onmerodeelementosdauniodosconjuntosAeBen(AB) o nmero de elementos da interseco dos conjuntos A e B, assim:

n(A B)=n(A)+n(B)n(AB)


Mas qual o motivo para que esta expresso se verifique?

Acompanhe os diagramas enquanto l a explicao:

Quando voc busca o nmero de elementos da unio de dois conjuntos A e B, voc utiliza todos os elementos do conjunto A e todos os elementos do conjunto B. Suponha que exista interseco entre os conjuntos A e B.

Quando contamos o nmero de elementos do conjunto A, contamos sua interseco com B e, quando contamos os elementos do conjunto B, contamos novamente a sua interseco com o conjunto A. Para se estabelecer a relao de igualdade, precisamos descontar os elementos que foram contados duas vezes.

Contamos a interseco quando selecionamos A e depois contamos novamente quando selecionamosB.Porisso,descontamosn(AB).Assim:

n(A B)=n(A)+n(B)n(AB)


Diferena entre Conjuntos (Subtrao)

DadososconjuntosAeB,definimoscomoDiferenaentreAeB(AB)oconjuntoformado

por todos os elementos que esto em A e no esto em B.

Por exemplo:

Sejam os conjuntos:



AB={Marte}

BA={Netuno,Saturno,Mercrio}

OconjuntoABestsombreado

OconjuntoBAestsombreado

NotequeABBA.


Sejam os conjuntos:

U = {segunda-feira, tera-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira}

S = {domingo, segunda-feira, tera-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sbado}

US={}

SU={domingo,sbado}

OconjuntoSUestsombreado

NotequeUSSU.

Observao: se U S, a diferena S U denomina-se complementar do conjunto U em relao ao conjunto S. Em outras palavras, o que falta a U para ser S.

Resoluo de Problemas

1) (INFO) - Em uma universidade so lidos apenas dois jornais, X e Y. 80% dos alunos leem o jornal X e 60%, o jornal Y. Sabendo que todo aluno leitor de pelo menos um dos jornais, assinale a alternativa que corresponde ao percentual de alunos que leem ambos:

a) 80%.

b) 14%.

c) 40%.

d) 60%.

e) 48%.


Resoluo:

Como todo aluno leitor de pelo menos um dos jornais, o total 100%. Mas, se voc somar as parciais 80% e 60% o resultado 140%. Os 40% excedentes representam os valores que foram contados duas vezes: foram contados como leitores de X e depois como leitores de Y. Assim, 40% leem ambos os jornais. (Alternativa C)

2) (INFO) - Aps um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas no comeram nenhuma das sobremesas?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 0

Resoluo:

Acompanhe o diagrama enquanto l a resoluo:

Para resolver este tipo de problema voc precisa organizar os conjuntos citados X e Y


contando com uma possvel interseco. Na sequncia, posicionamos o valor correspon-dente interseco dos conjuntos (3 comeram as duas).

A seguir, completamos os conjuntos X e Y: X j tem 3 elementos e precisa de mais 2 para completar 5; Y j tem 3 elementos e precisa de mais 4 para completar 7. Desta forma, o diagrama teria: 2 que comeram s X; 4 que comeram s Y e 3 que comeram as duas sobremesas (X e Y). Somando essas quantidades encontramos 9, que representam as 9 pessoas que comeram alguma coisa (seja s X, s Y ou ambas). Falta 1 pessoa para completar as 10 citadas, esta no comeu sobremesa alguma. (Alternativa A)

3) Um grupo de estudantes resolveu fazer uma pesquisa sobre preferncias dos alunos quanto ao cardpio do Restaurante Universitrio. Nove alunos optaram somente por car-ne de frango, 3 somente por peixe, 7 por carne bovina e frango, 9 por peixe e carne bovina e 4 pelos trs tipos de carne. Considerando que 20 alunos manifestaram-se vegetarianos, 36 no optaram por carne bovina e 42 no optaram por peixe. Quantos alunos foram entrevistados?

Resoluo:

Denotemos por P, o conjunto dos alunos que optaram por peixe; por F, os alunos que optaram por frango e por B, os que optaram por carne bovina.

Esse tipo de exerccio deve ser analisado a partir da interseco dos conjuntos. Ento comearemos pela interseco dos trs: 4 pessoas optaram pelos trs tipos de carne. Portanto na interseco dos trs conjuntos temos 4 elementos.

O diagrama fica assim:


Seguindo, ns temos: 9 pessoas optaram por carne bovina e peixe. Note que isso implica que na interseco do conjunto B com o conjunto P deve ter 9 elementos. No entanto, j temos 4 contados pelo raciocnio anterior. Logo, o diagrama fica assim:

De maneira anloga procedemos com a afirmao: 7 optaram por carne bovina e frango e da obtemos a seguinte representao:

A afirmao: nove alunos optarem somente por carne de frango nos conduz representao:


De maneira anloga procedemos com a afirmao: 3 alunos optaram somente por peixe e da obtemos a representao.

Agora vamos considerar as demais informaes:

20 alunos manifestaram-se vegetarianos.

Isso significa que esses elementos no pertencem a nenhum desses conjuntos.

36 no optaram por carne bovina.

Da afirmao anterior j temos 20 pessoas que no optaram por carne bovina e ao anali-sar o ltimo diagrama destacamos que h 9 pessoas que s optaram por frango e h 3 e pessoas que s optaram por peixe, ento:

20+9+3= 32

36 -32=4


Conclumos que essas 4 pessoas devem estar na interseco do conjunto F com o con-junto P. E assim obtemos a representao em diagrama:

Pela anlise do diagrama temos 9+3=12 pessoas que no optaram por peixe. Mas devemos nos lembrar de que h 20 vegetarianos que tambm no optaram por peixe. Logo, 20+12=32.

Como o total de pessoas que no optaram por peixes 42, fazemos: 42-32=10. Essas 10 pessoas completam o diagrama correspondendo s pessoas que s optaram por carne bovina. Assim o diagrama fica:

Portanto foram entrevistados: 9+3+4+4+3+5+10+20= 58 alunos.


Voc pode encontrar no Youtube uma srie de vdeos produzidos pela BBC de Londres: A Histria da Matemtica (The storyofmaths). Este foi escolhido como Melhor Documentrio produzido no ano pela estao BBC. Apresentado pelo pesquisador e professor da Universidade de Oxford, Marcus du Sau-toy,ofilmevoltahistriadamatemticadaGrciaedeAtenaseexplicaoquoimportanteelaainda para ns nos dias de hoje. O Documentrio dividido em 4 captulos. Captulo 1 - A Linguagem do Universo; Captulo 2 - O Gnio do Oriente; Captulo 3 - As Fronteiras do Espao; Captulo 4 - Rumo ao InfinitoeMaisAlm.Devidoaolimitede10minutosporvdeopostadonoYoutube,cadacaptuloestdividido em 5 ou 6 partes. Voc encontra os links na sequncia em: . Procure-os! Valer a pena!

CONJUNTOS NUMRICOS

A seguir, apresentamos conjuntos numricos especiais, nomeadamente: conjunto dos nmeros naturais (N ), conjunto dos nmeros inteiros (Z ), conjunto dos nmeros racionais (Q ), conjuntos dos nmeros irracionais (R - Q ) e conjunto dos nmeros reais (R ).

Conjunto dos Nmeros Naturais (N )

Os nmeros que surgiram naturalmente, pela necessidade de contar, representam o Conjunto dos Nmeros Naturais:

N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...}

Conjunto dos Nmeros Inteiros (Z )

Os nmeros naturais acompanhados de seus opostos (negativos) compem o Conjunto dos Nmeros Inteiros:


Z = {...4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4...}

o que nos permite escrever N Z .

Conjuntos dos Nmeros Racionais (Q )

So racionais todos os nmeros que podem ser escritos em forma de frao, com numerador e denominador inteiros.

Usamos a letra Q para os racionais, pois relacionamos Racionais Razo, Razo Frao, Frao Diviso e Diviso a Quociente.

Q = {a/b; a ,b e Z b0}

Note que no conseguiramos escrever todos os nmeros racionais, uma vez que todos os nmeros inteiros poderiam ocupar o lugar de a e b. O que podemos fazer citar alguns exemplos: {1/2, 1/3, 1/4, ..., 2/2, 2/3, 2/4, ...., 3/2, 3/3, 3/4, ...}.

Note que 1/2 = 0,5 que, alm de ser um decimal exato, ainda pode ser escrito em forma de frao e, portanto, racional.

Note ainda que 2/2 = 1 que, alm de ser inteiro, tambm pode ser escrito em forma de frao e, portanto, racional.

Note tambm que 1/3 = 0,33333333... que, alm de ser uma dzima peridica, ainda pode ser escrito em forma de frao e, portanto, racional. Conclumos que N Z Q . O diagrama abaixo pode ser favorvel para a memorizao, caso voc tenha dificuldades em entender:


Na representao anterior:

A parte cinza corresponde aos nmeros naturais {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}. A parte listrada corresponde aosnmerosinteirosnegativos{...,5,4,3,2,1}.Apartebrancacorrespondesfraes

cujo quociente no um nmero inteiro {1/2, 1/3, 13/28...}.

Conjunto dos Nmeros Irracionais (R - Q )

Como o prprio nome sugere, nmero irracional todo nmero no racional, ou seja, um nmero que no pode ser escrito na forma a/b com a ,b eb0.Algunsexemplosdenmerosirracionaisso:2,7,etc.Quandoescritonaformadecimal,umnmeroirracional

apresenta infinitas casas decimais no peridicas.

Observe:

a)2=1,414213

b)b)=3,141592

Conjunto dos Nmeros Reais (R )

O conjunto dos nmeros reais (R ) a reunio do conjunto dos nmeros racionais com o conjunto dos nmeros irracionais. Isto ,

R = { x | x racional ou x irracional}

Desse modo, todos os tipos de nmeros estudados at aqui so reais, ou seja, os conjuntos N , Z , Q e o conjunto dos nmeros irracionais so todos subconjuntos de R .


CONSIDERAES FINAIS

Um conjunto uma coleo no ordenada de objetos. O conceito objetos foi introduzido por George Cantor, em 1895, com o propsito de um tratamento intuitivo na constituio de um conjunto. Portanto, objetos no conjunto so chamados de elementos, ou membros, do conjunto.

Nesta unidade, vimos os principais conceitos relacionados a conjuntos, bem como nas suas aplicaes, demonstraes e operaes, alm disso, apresentamos os conjuntos numricos especiais.

Saber utilizar os conjuntos e as suas principais operaes fundamental para o entendimento da teoria das probabilidades e tambm da lgica matemtica.

ATIVIDADE DE AUTOESTUDO

Em uma dada cidade foi feito um levantamento com 1000 pessoas sobre o uso de diferentes tipos de computadores: notebooks, computadores de mesa e notebooks e obteve-se os seguintes resultados:

Tipo Nmero de vendas e procuraComputador (C) 350Notebook (NO) 180Netbook (NE) 250

Computador e Notebook 50Computador e Netbook 50

Notebook e Netbook 30Computador, Notebook e Netbook 10

Responda:

1. Demonstre o diagrama de Venn para a situao exposta.

2. Qual o nmero de pessoas que usa somente um tipo de computador?

3. Qual o nmero de pessoas que usa exatamente dois desses tipos de computadores?

4. Qual o nmero de pessoas que usa pelo menos um tipo de computador?

5. Qual o nmero de pessoas que no usa os tipos de computadores citados?

6. Descreva com palavras os conjuntos a seguir e represente-os por extenso:


a) B = {x x N , x > 12}

b) C = {x x N , 5 < x < 10}

c) D = {x x N , x < 0}

7. Considere os seguintes conjuntos:

A = { 1, 2, 3} B = { 1, 3, 4, 5} C = { 2, 3} D = { 1, 2}

a) A B

b) A B

c) B D

d) A (B C)

8. Considere o conjunto A = {0, 1, 2, {3}, } para determinar se so verdadeiras (V) ou falsas (F) as afirmaes a seguir:

a) ( ) 0 A

b) ( ) 3 A

c) ( ) 3 A

d) ( ) {3} A

e) ( ) {3} A

f) ( ) {3} A

g) ( ) {3} A

h) ( ) A

i) ( ) A

j) ( ) A


k) ( ) A

l) ( ) {1} A

m) ( ) {1} A

n) ( ) {1, 3} A

o) ( ) {1, {3}} A

p) ( ) {0, 1, 2} A

q) ( ) {1, } A

r) ( ) {{3}, } A

s) ( ) {1, 2, 3} A

t) ( ) {0, 1, 2, {3}} = A

u) ( ) {1, 2, 3} A

v) ( ) A

x) ( ) { } A

Repostas das atividades

1) 1000

340

PC Not.

Net.


2) 550

3) 100

4) 660

5) 340

6. a) B conjuntos dos elementos x tal que x pertence a N e x maior que 12.

B = {12, 13, 14.....}

b) C conjunto dos elementos x tal que x pertence a N e x est entre 5 e 10.

C = {6, 7, 8, 9}

c) D o conjunto dos elementos x tal que x pertence a N e x menor que zero.

D =

7.

A = { 1, 2, 3} B = { 1, 3, 4, 5} C = { 2, 3} D = { 1, 2}

a) A B = {1, 2, 3, 4, 5}

b) A B = {1,3}

c) B D = {1, 2, 3, 4, 5}

d) A (B C) = { 1, 2, 3}

8.

a) V

b) F

c) V

d) V

e) F


f) V

g) F

h) V

i) F

j) F

k) V

l)V

m) F

n) F

o) V

p) V

q) V

r) V

s) F

t) F

u) F

v) F

x) V

UNIDADE II

INTRODUO LGICA PROPOSICIONALProfessora Esp. Ivnna Gurniski Carniel


Entender a linguagem simblica do clculo proposicional.

Saber aplicar as proposies e seus conectivos.

Saber transformar linguagem verbal em proposicional e proposicional em verbal.

Compreender e aplicar os argumentos.

Plano de Estudo


Proposio

Conjuno

Disjuno

Negao

Condicionais e Bicondicionais

Prioridade de Operaes Lgicas

Construo de uma Tabela-verdade

Tautologia e Contradio

Equivalncias Lgicas Notveis


INTRODUO

O termo lgica deriva-se do vocbulo grego logos, que significa ideia, palavra, razo ou regularidade. A Lgica como cincia estuda o conjunto de regras que regem o processo de pensar e raciocinar. A lgica matemtica pode ser descrita como uma linguagem simblica e uma maneira de transformar lgica em lgebra, caracterizando-se por ter linguagem artificial, simblica, para representar o pensamento.

A computao nos auxilia na resoluo de milhares de tipos de problemas. A forma como um computador resolve problemas se baseia na execuo de um algoritmo previamente pensado por algum ser humano. Como o computador limitado fisicamente, faz sentido prever que um computador leva mais tempo para resolver problemas mais difceis.

A medida de dificuldade de um problema est diretamente relacionada com a complexidade do algoritmo que o resolve. Encontrar melhores algoritmos para resoluo de certos problemas sempre foi uma tarefa primordial para o desenvolvimento da Teoria da Computao, e a lgica est intimamente ligada criao e desenvolvimento destes algoritmos mais robustos.

O impacto da lgica nos bancos de dados um dos melhores exemplos da efetividade da mesma sobre a cincia da computao. H trs motivos principais para sua utilizao:

1) A lgica possui variveis sintticas de fcil utilizao.

2) Pode ser implementada usando relaes algbricas, o que representa uma vantagem crucial quando tratamos de uma grande quantidade de dados.

3) Suas buscas podem demorar tempos constantes para qualquer tamanho do banco de dados se houver paralelismo suficiente.

A linguagem consistindo nesta notao simblica juntamente com as regras a serem empregadas chama-se clculo proposicional. O termo significa sistema para executar


clculos com proposies, no havendo assim relao com o clculo diferencial e integral da matemtica.

LGICA

Fonte

: SHU

TTER

STOC

K.CO

M

Podemos definir lgica como o estudo dos princpios e mtodos usados para distinguir o raciocnio correto do incorreto. Isso se torna importante dentro da computao, uma vez que essa uma rea em que se usam expresses lgicas rotineiramente como:

Se p ento q

Se p e q, ento q ou p

necessrio saber em quais casos temos expresses verdadeiras e em quais casos temos expresses falsas, o que chamamos de valor lgico das expresses.

Proposio

Uma FRASE e o elemento de comunicao que relaciona palavras entre si de modo a estabelecer uma mensagem com sentido completo:


Declarativa: O sol uma estrela

Imperativa: No faaa isto!

Interrogativa: Onde voc mora?

Exclamativa: Parabns!!!

Uma PROPOSIO uma frase declarativa a qual pode ser atribudo, sem ambiguidade, um dos valores lgicos: Verdadeiro (V) ou Falso (F).

As proposies transmitem pensamentos, isto , afirmam fatos ou exprimem juzos que formamos a respeito de determinados entes.

Exemplos de proposies:

Braslia a capital do Brasil uma sentena declarativa expressa de forma afir-mativa. Podemos atribuir um valor lgico: a sentena verdadeira. Assim, seu valor lgico V.

Estados Unidos no um pas pertencente ao continente Africano uma sentena declarativa expressa na forma negativa. Podemos atribuir um valor lgico: sentena verdadeira. Assim, seu valor V.

Exemplos que no so proposies:

Como est voc?

Como isso pde acontecer!

Boa noite!

Saiba mais sobre os princpios das proposies:1. Princpio da Identidade: uma proposio Verdadeira Verdadeira e uma proposio Falsa Falsa.2. Princpio do Terceiro Excludo: uma proposio ou verdadeira ou falsa, no existindo uma ter-

ceira possibilidade.3. Princpio da No Contradio: uma proposio no pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.


Exerccio

Determine quais das frases so proposies.

a) Resolva esta questo.

b) Boa sorte!

c) Julia bonita.

d) 6 x 3 = 34.

e) O quilmetro tem 100 metros.

f) Talvez hoje chova.

g) Aqueles carros so caros.

Classificao das proposies

Quanto s proposies, as mesmas podem ser simples ou compostas. A definio ou mesmo a utilizao dessas proposies depende do problema que estar em observao. importante sabermos quando, ento, temos uma proposio simples ou uma proposio composta para que possamos trabalhar com o problema em questo.

Proposio simples: so proposies que no podem ser decompostas em proposi-es mais simples.

Proposio Composta: so proposies complexas compostas por proposies mais simples, apresentando conectivos lgicos ou operadores lgicos que sero vistos na sequncia.

Exemplos:

Animais so peludos e aves tm penas.


Observe que esta uma proposio composta com as subproposies: Animais so peludos e aves tm penas.

Vou comprar um carro ou uma bicicleta.

Esta tambm uma proposio composta com as subproposies:

vou comprar um carro ou uma bicicleta.

Joo muito inteligente

uma proposio simples, pois no pode ser subdividida em subproposies.

Os CONECTIVOS LGICOS, ou operadores lgicos, so palavras ou expresses que se usam para formar novas proposies a partir de outras proposies:

no (negao)

e (conjuno)

ou (disjuno)

se ento (condicional)

se, e somente se (bicondicional)

Observe que a propriedade fundamental da proposio composta a utilizao de um conectivo se-parando-as em subproposies.


OPERAES LGICAS SOBRE PROPOSIES

As operaes lgicas referem-se conjuno, disjuno, negao, condicional e bicondicional, que envolvem os conectivos lgicos apresentados anteriormente.

Conjuno

Uma conjuno une duas proposies pela palavra e e forma uma proposio chamada de conjuno das proposies originais. Simbolicamente utilizamos:

p q (l-se p e q)

Assim, o valor lgico de p q depende dos valores lgicos de p e de q. Essa proposio composta somente ser verdadeira se ambas componentes so verdadeiras. Caso contrrio, falsa. Associando esta conjuno teoria de conjuntos, temos que esse conectivo diz que as duas proposies ocorrem simultaneamente.

O valor lgico de p q pode ser definido pela tabela abaixo. Observe:

p q p q

VVFF

VFVF

VFFF

Na primeira linha dizemos que: se p verdadeira e q verdadeira, ento p q uma proposio verdadeira.

Na segunda linha dizemos que: se p verdadeira e q falsa, ento p q uma proposio falsa.

Na terceira linha dizemos que: se p falsa e q verdadeira, ento p q uma proposio falsa.

Na quarta linha dizemos que: se p falsa q falsa, ento p q uma proposio


falsa.

Observe que existem quatro linhas correspondentes s quatro possveis combinaes de V ou F para as subproposies p e q.

Note que, como dito acima, p q s ser verdade quando as duas subproposies so verdadeiras.

Exemplos de proposies com conectivo e:

(i) Londres fica na Inglaterra e 3 + 4 = 7

(ii) Londres fica na Inglaterra e 3 + 4 = 8

(iii) Londres fica na Alemanha e 3 + 4 = 7

(iv) Londres fica na Alemanha e 3 + 4 = 8

Apenas a declarao (i) verdadeira, o resto das proposies so falsas, uma vez que nas outras proposies pelo menos uma das subproposies falsa.

Disjuno

Uma disjuno existe quando duas proposies podem ser combinadas pela palavra ou para formar uma proposio composta chamada disjuno das proposies originais. denotada por:

p q (l-se p ou q)

Assim, o valor lgico de p q depende apenas de um dos valores lgicos de p e de q.

Essa proposio composta ser verdadeira se pelo menos uma componente for verdadeira. Caso contrrio, falsa.


O valor lgico de p q pode ser definido pela tabela abaixo. Observe:

p q p q

VVFF

VFVF

VVVF

Na primeira linha dizemos que: se p verdade e q verdade, ento p q uma proposio verdadeira.

Na segunda linha dizemos que: se p verdade e q falso, ento p q uma pro-posio verdadeira.

Na terceira linha dizemos que: se p falsa e q verdade, ento p q uma proposio verdadeira.

Na quarta linha dizemos que: se p falsa e q falsa, ento p q uma proposio falsa.

Observe que existem quatro linhas correspondentes s quatro possveis combinaes de V ou F para as subproposies p e q.

Note, como dito acima, que p q ser verdade quando pelo menos uma das duas subproposies so verdadeiras.

Exemplos de proposies com o conectivo ou:

(i) Londres fica na Inglaterra ou 3 + 4 = 7

(ii) Londres fica na Inglaterra ou 3 + 4 = 8

(iii) Londres fica na Alemanha ou 3 + 4 = 7

(iv) Londres fica na Alemanha ou 3 + 4 = 8


Observe que apenas a ltima declarao iv falsa, o resto das proposies verdadeiro, uma vez que nas outras proposies pelo menos uma das subproposies verdadeira.

Negao

Uma negao existe quando dada uma proposio p, outra proposio denominada negao de p pode ser formada escrevendo no ocorre que ou falso que. Da mesma forma, podemos dizer que a negao de uma proposio construda a partir da introduo da palavra no ou no o caso que. denotada por:

p ou ~p (l-se no p)

Assim, o valor lgico de p depende apenas do valor lgico de p.

O valor lgico de p pode ser definido pela tabela abaixo. Observe:

p p

VF

FV

Na primeira linha dizemos que: se p verdade, ento p uma proposio falsa.

Na segunda linha dizemos que: se p falsa, ento p uma proposio verdadeira.

Como dito acima, que p ser verdade quando p for falsa e vice-versa. Assim, o valor lgico da negao sempre o oposto ao valor lgico de p.

Exemplos:

(i) Londres fica na Inglaterra.

(ii) No ocorre que Londres fique na Inglaterra.

(iii) Londres no fica na Inglaterra.

(iv) 3 + 4 = 7.

(v) No ocorre que 3 + 4 = 7.

(vi) 3 + 4 no 7.


Observe que ii e iii so negaes de i; como i verdadeira, ento ii e iii so falsas; da mesma forma v e vi so negaes de iv, ento se iv verdade, ento v e vi so falsas.

A notao lgica para os conectivos e ou e no no tem forma nica. Podemos encontrar algumas formas diferentes na literatura:p .q ou pq para p qp + q para p qp ou ~p para p

Condicionais e Bicondicionais

As proposies em matemtica podem estar na forma de alguma condio imposta, podendo ser lida na forma se p ento q. Essas declaraes so chamadas de condicionais e podem ser denotadas por:

pq

Essa declarao pode ser lida p implica q.

Exemplo:

Se voc me tocar, eu gritarei.

Voc me tocar o antecedente e eu gritarei o consequente.


Veja que a palavra ento foi omitida e, de fato, a mesma pode ser omitida. A ordem inversa dos condicionais tambm pode ser expressa, por exemplo: Eu gritarei se voc me tocar. Esta uma simples variante gramatical da sentena anterior e seus antecedentes e consequentes so os mesmos.

Dadas duas proposies p e q, o conectivo lgico se, e somente se estabelece uma relao bicondicional, traduzindo uma ideia de antecedncia e consequncia que se satisfazem mutuamente. Ou, em outras palavras:

p condio necessria e suficiente para q.

q condio necessria e suficiente para p.

Notao:pq(l-se:pse,esomenteseq)

Exemplo:

T um tringulo se e somente se T um polgono de trs lados.

Essa declarao uma variante de:

Se T um polgono de trs lados, ento T um tringulo, e se T um tringulo, ento T um polgono de trs lados.

Como a das componentes no altera o significado, a sentena pode ser reescrita como:

Se T um tringulo, ento T um polgono de trs lados; e se T um polgono de trs lados, ento T um tringulo.

Os valores lgicos dessas declaraes podem ser vistos nas tabelas a seguir:

p q p q

VVFF

VFVF

VFVV


Acondicionalpqfalsasomentenasituaoemquepverdadeiraeqfalsa.Porm,

observamos que, quando p falso, o valor lgico de q no implica em nada, tornando a condicionalpqverdadeira.

p q p q

VVFF

VFVF

VFFV

Abicondicionalpqverdadeirasemprequepeqtiveremosmesmosvaloreslgicos,caso

contrrio a proposio falsa.

Prioridade de Operaes Lgicas

Em geral, empregamos o parntese para especificar ordem e agrupamento de operaes lgicas. De um modo geral, a tabela a seguir ilustra tais prioridades.

Operador Prioridade

~ 1

^V

23

45

TABELAS-VERDADE

A propriedade principal de uma proposio o fato de seu valor lgico depender dos valores lgicos de suas variveis. Uma maneira de demonstrar essa relao por meio das tabelas- verdade.


Construo de uma tabela-verdade

Para construir uma tabela-verdade, devemos primeiro dispor as variveis p e q com linhas suficientes para todas as combinaes possveis de V ou F para essas variveis.

Nesse sentido, podemos generalizar a quantidade de linhas necessrias por 2n linhas, sendo n o nmero de variveis.

Assim, existe um valor lgico para casa fase elementar da construo da proposio sendo o valor lgico, a cada fase, determinado a partir da fase anterior usando sempre os conectivos , ,ou e ento obtemos o valor lgico da proposio final desejada na ltima coluna.

Exemplos:

1) Construa a tabela-verdade para a proposio (p q).

p q p q (p q)VVFF

VFVF

VVVF

FFFV

2)Construaatabela-verdadeparaaproposiopvq.

p q p p qVVFF

VFVF

FFVV

VFVV


3)Construaatabela-verdadeparaaproposiop^q

p q p p qVVFF

VFVF

FVFV

FVFF

4) Construa a tabela-verdade para a proposio (p q) (p q)

p q p q p q (p q) (p q)VVFF

VFVF

VVVF

VFFF

VFFF

Seja p a sentena faz frio e q a sentena o tempo est nublado. Podemos transcrever a sentena lgica para a sentena verbal. Veja as proposies dadas:

a) p: faz frio

b) q: o tempo no est nublado

c) p q: faz frio e o tempo est nublado

d) p q: faz frio ou o tempo est nublado

e) p q: no faz frio e o tempo no est nublado

Da mesma maneira, podemos traduzir as sentenas verbais em sentenas lgicas.

Exemplo:

a) No faz frio: p

b) o tempo est nublado: q

c) faz frio e o tempo no est nublado: p q


Exerccios:

1) Construa a tabela-verdade para a proposio (p q) (p q).

2) Construa a tabela-verdade para a proposio (p q) (p q).

3) Sabendo que p: Joo l revista, e q: Julia l jornal, descreva as sentenas verbais em sentenas lgicas:

a) Joo no l revista.

b) Julia l jornal ou Joo l revista.

c) Joo no l revista e Julia no l jornal.

4) Utilizando as notaes acima, descreva as sentenas lgicas em sentenas verbais:

a) p

b) q p

c) p q

Tautologia e Contradio

Quando construmos tabelas-verdade, as proposies na ltima coluna, ou proposio desejada, aparecem com valores lgicos verdadeiros ou falsos. Algumas proposies contm apenas valores verdadeiros na ltima coluna sendo assim verdade para quaisquer valores lgicos. Essas proposies so chamadas de tautologias. De forma semelhante, outras proposies aparecem em sua ltima coluna com apenas valores falsos, ou seja, falsa para quaisquer valores lgicos das suas variveis. Essas proposies so chamadas de contradies.

Exemplos:

Assim, verificamos que essa proposio p p apresenta-se como uma tautologia.,

p p p qVF

FV

VV


p p p qVF

FV

FF

Assim, verificamos que essa proposio p p apresenta-se como uma contradio.

A negao de uma tautologia uma contradio, j que esta sempre falsa. De forma semelhante, a negao de uma contradio uma tautologia, uma vez que sempre verdadeira.

Exerccio:

Verifique se a proposio [(a b) (a b)] uma tautologia ou uma contradio.

a b a b a b (a b) [(a b) (a b)] [(a b) (a b)]

EQUIVALNCIA LGICA

FONT

E: S

HUTT

ERST

OCK.

COM


Dadas as proposies compostas P e Q, diz-se que ocorre uma equivalncia lgica entre P e Qquandosuastabelasverdadeforemidnticas.Denotamospor:PQ.

Equivalncias lgicas notveis

Refernciasp, q, r proposies - tautologia - contradio

Dupla negao (p) p

Leis idempotentes p p pp p p

Leis Comutativas p q q pp q q p

Leis Associativas p (q r) (p q) rp (q r) (p q) r

Leis Distributivas p (q r) (p q) (p r)p (q r) (p q) (p r)

Leis de De Morgan(p q) p q(p q) p q

Leis de Identidade

p pp p pp

Leis Complementares

p p p p

Condicionalpq (p q) (p q)pq q p (Contrapositiva)(pq) p q

Bicondicional pq (p q) (q p)(pq) p q p q


De acordo com Notare (2003, p.11), podemos citar algumas aplicaes na Computao:

Os conectivos lgicos E (AND), OU (OR) e NO (NOT), respectivamente , e , esto disponveis em muitas linguagens de programao. Eles agem sobre combinaes e expresses verdadeiras e falsas para produzir um valor lgico final. Tais valores lgicos permitem a deciso do fluxo de controle em programas de computador. Assim, em uma ramificao condicional de um programa, se o valor lgico da expresso condicional for verdadeiro, o programa executar um trecho do seu cdigo; se o valor lgico da expresso condicional for falso, ele executar outro trecho do seu cdigo. Se a expresso condicional for substituda por outra expresso equivalente mais simples, o valor lgico no ser afetado, assim como o fluxo de controle do programa, mas o novo cdigo ser mais fcil de ser entendido e poder ser executado mais rapidamente.

Exemplo a seguir tambm mostrado pelo autor supracitado:

if ((x < y) and not ((x < y) and (z < 1000)))

do Alguma Coisa;

else

do Outra Coisa;

Nesse exemplo, a expresso condicional tem a forma A (A B), onde A x < y e B z < 1000. Podemos simplificar essa expresso utilizando as equivalncias vistas anteriormente.

CONSIDERAES FINAIS

Os efeitos e aplicaes da lgica sobre a computao se estendem sobre as mais diversas reas da mesma, dos mais altos nveis, como inteligncia artificial, aos mais baixos, como na produo dos circuitos integrados. Assim, fornece no somente uma base slida para a fundamentao do ramo, mas tambm uma poderosa ferramenta para o desenvolvimento do mesmo.

O principal ponto observado que a lgica proposicional tem sua prpria linguagem tcnica e um instrumento poderoso para a anlise e a deduo dos argumentos. A utilizao de uma simbologia matemtica ajuda a expor, com maior clareza, as estruturas lgicas das proposies e dos argumentos, que podem no ficar suficientemente claras se expressas na linguagem natural.

Outra vantagem da utilizao de uma linguagem simblica para a Lgica a possibilidade


de utilizao de recursos computacionais no tratamento de enunciados e argumentos; os computadores digitais se mostram bastante adequados manipulao de smbolos, enquanto apresentam extrema dificuldade no tratamento de linguagem natural.

Nesta unidade, vimos os principais pontos relacionados lgica proposicional, suas funes e conectivos e as tabelas-verdade. fundamental sabermos que a lgica proposicional importante medida que pensamos que h necessidade do profissional conhecer as regras e leis exatas da lgica como instrumento e ferramenta de trabalho em sua rea.

ATIVIDADES DE AUTOESTUDO

1.Considere p como O Rio de Janeiro bonito e q como O Rio de Janeiro violento. Expresse as proposies fazendo uso da notao lgica proposicional.

a) O Rio de Janeiro no bonito.

b) O Rio de Janeiro bonito ou violento.

c) No o caso que o Rio de Janeiro violento.

d) Se o Rio de Janeiro bonito, ento violento.

e) O Rio de Janeiro bonito se e somente se violento.

2.Construa as tabelas-verdade das expresses:

a) a (a b)

b) [(a b) (a b)]

c) a (a b)

d)b(a b)

3.Formalize as seguintes frases:

a) A eutansia permitida por lei se for praticada na Holanda.

b) A eutansia deve ser permitida se, e s se, for aplicada a doentes terminais.

c) Se Picasso espanhol e est vivo, ento no pintor.

d) Picasso espanhol e, se est vivo, ento no pintor.

e) Picasso espanhol, mas no est vivo.

f) No acontece depressa e bem.


4.Escreva em linguagem corrente:

a) p q

b) p q

d) q p

5.Por meio da tabela-verdade, averigue se uma tautologia ou uma contradio a proposio abaixo e explique.

p (p q)

6. Explique quais das seguintes proposies so proposies da lgica proposicional.

a) Feliz Natal!

b) Mrcio no irmo de Jlio.

c) No faa isto!

d) Quantos japoneses moram no Brasil?

e) Parabns!

f) Todas as mulheres so fofoqueiras.

RESPOSTAS DAS ATIVIDADES DE AUTOESTUDO

1.

a) p

b) p q

c) q

d) pq

e) pq


2. Construa as tabelas-verdade das expresses:

a) a (a b)

a b b a b a (a b)

VVFF

VFVF

FVFV

FVFF

FVFF

b) [(a b) (a b)]

a b a b a b (a b) (a b) (a b) [(a b) (a b)]

VVFF

VFVF

VFFF

VVVF

FFFV

FFFF

VVVV

c) a (a b)

a b a a b a (a b)

VVFF

VFVF

FFVV

VFFF

FFFF

d) b (a b)

a b a b a b b(a b)

VVFF

VFVF

FFVV

FVFV

FVVV

FFVF

3.

a) P: A eutansia permitida por lei.

Q: A eutansia permitida na Holanda.

Q P


b) P: A eutansia deve ser permitida.

Q: A eutansia aplicada a doentes terminais.PQ

c) P: Picasso est vivo.

Q: Picasso espanhol. R: Picasso pintor.

(P Q) ~R

d) P: Picasso est vivo.

Q: Picasso espanhol. R: Picasso pintor.P (Q~R)

e) P: Picasso espanhol.

Q: Picasso est vivo.P ~Q

f) P: Acontece depressa.

Q: Acontece bem.~(PQ)

4. Escreva em linguagem corrente:

p q

se p ocorre implica em que q ocorre

p q

no ocorre p ou ocorre q

q p se no ocorre q implica em que no ocorre p


5. p ( p q )

p q p q p( p q )

VFVF

VVFF

VVVF

VVVV

uma tautologia, pois em todas as linhas temos verdades.

6. b; f

UNIDADE III

CLCULO PROPOSICIONAL: ARGUMENTOS E QUANTIFICADORESProfessora Esp. Ivnna Gurniski Carniel


Entender o que so argumentos.

Saber formalizar os argumentos.

Conhecerosprincipaisquantificadores.

Sabertransformarlinguagemverbalemlinguagemlgicaporquantificadores.

Plano de Estudo


Argumentos Dedutivos

Argumentos Indutivos

FunesProposicionaiseQuantificadores

QuantificadorExistencial

QuantificadorUniversal

Negao


INTRODUO

Em lgica proposicional, um argumento um conjunto de uma ou mais sentenas declarativas. Podemos ainda dizer que os argumentos exigem premissas, acompanhadas de outra frase declarativa conhecida como concluso. Os argumentos traduzem verdades ou no em relao s premissas e a sua consequente declarao como exposto.

Os argumentos podem ser divididos em dedutivo, em que se afirma que a verdade de uma concluso uma consequncia lgica das premissas que a antecedem; e indutivo que afirma que a verdade da concluso apenas apoiada pelas premissas. Em funo disso as frases que apresentam um argumento so referidas como sendo verdadeiras ou falsas e, em consequncia, so vlidas ou so invlidas.

J os quantificadores so elementos de linguagem que servem para quantificar observaes e experincias traduzindo-as para nmeros por meio de contagem e mensurao. Alguns exemplos de quantificadores na linguagem natural so: para todo, para algum, muitos, poucos, bastante e nenhum. Nas linguagens formais, a quantificao um construtor de frmulas que produz novas frmulas.

Frege (1848-1925) introduziu a funo proposicional e junto dela o uso de quantificadores criando um sistema capaz de transformar em raciocnios dedutivos todas as demonstraes matemticas.

Assim, podemos dizer que a lgica matemtica, e junto dela o clculo proposicional, exige uma notao nas construes de cada frase, sendo sua escrita ideogrfica e ainda sendo as ideias representadas por sinais.

Tanto os argumentos quanto os quantificadores so ferramentas do clculo proposicional e com aplicaes importantes dentro da informtica. Nesta unidade, veremos os principais tipos de argumentos e de quantificadores e suas aplicaes principais.


ARGUMENTOS

Fonte

: SHU

TTER

STOC

K.CO

M

Um argumento uma sequncia de proposies na qual uma delas a concluso e as demais so premissas. As premissas justificam a concluso.

Proposies: sentenas afirmativas que podem ser verdadeiras ou falsas.

Premissas: afirmaes disponveis.

Exemplo:

Todo aluno de Computao precisa estudar Lgica. (premissa)

Jos aluno de Computao. (premissa)

Logo, Jos precisa estudar Lgica. (concluso)

O objetivo de um argumento justificar uma afirmao que se faz, ou dar as razes para certa concluso obtida.

Exemplo:

Voc me traiu, pois disse que ia estudar e meu irmo lhe viu na boate.


Um argumento demonstra/prova como a partir dos dados de um problema chegou-se a uma concluso.

Em um argumento vlido, as premissas so consideradas provas evidentes da verdade da concluso, caso contrrio no vlido.

Quando vlido, podemos dizer que a concluso uma consequncia lgica das premissas, ou ainda que a concluso uma inferncia decorrente das premissas.

Exemplo 1: O argumento que segue vlido?

Se eu ganhar na Loteria, serei rico.

Eu ganhei na Loteria.

Logo, sou rico.

Vlido (a concluso uma decorrncia lgica das duas premissas).

Exemplo 2: O argumento que segue vlido?

Se eu ganhar na Loteria, serei rico

Eu no ganhei na Loteria

Logo, no sou rico

No Vlido (a concluso no uma decorrncia lgica das duas premissas).

A Lgica dispe de duas ferramentas que podem ser utilizadas pelo pensamento na busca de novos conhecimentos: a deduo e a induo, que do origem a dois tipos de argumentos: Dedutivos e Indutivos.

Argumentos Dedutivos

Os Argumentos Dedutivos pretendem que suas premissas forneam uma prova conclusiva da veracidade da concluso.


Podem ser:

Vlidos: quando suas premissas, se verdadeiras, fornecem provas convincentes para a concluso. Isto , se as premissas forem verdadeiras, impossvel que a concluso seja falsa.

Invlidos: no se verifica a caracterstica anterior.

Exemplos de argumentos dedutivos:

Ela toca piano ou violo.

Ela toca piano.

Logo, ela no toca violo.

ArgumentoInvlido

Todo homem mortal.

Scrates um homem.

Logo, Scrates mortal.

ArgumentoVlido

Argumentos Indutivos

Os Argumentos Indutivos no pretendem que suas premissas forneam provas cabais da veracidade da concluso, mas apenas que forneam indicaes dessa veracidade (possibilidade, probabilidade).

Seguem do Raciocnio Indutivo, isto , obtm concluses baseadas em observaes/experincias. Enquanto que um Raciocnio Dedutivo exige uma prova formal sobre a validade do argumento.

Os termos vlidos e invlidos no se aplicam para os argumentos indutivos. Eles so avaliados de acordo com a maior ou a menor probabilidade com que suas concluses sejam estabelecidas.


Exemplo:

Joguei uma pedra no lago, e ela afundou.

Joguei outra pedra no lago e ela tambm afundou.

Joguei mais uma pedra no lago, e ela tambm afundou.

Logo, se eu jogar uma outra pedra no lago, ela vai afundar.

A Lgica Formal Clssica s estuda Argumentos Dedutivos, verificando se so ou no vlidos.

Verdade e Falsidade: so propriedades das proposies, nunca dos argumentos.

Validade ou Invalidade: so propriedades dos argumentos dedutivos que dizem respeito inferncia ser ou no vlida (raciocnio ser ou no correto).

Exemplos:

Toda baleia um mamfero. ( v )

Todo mamfero tem pulmes. ( v )

Logo, toda baleia tem pulmes. ( v )

Argumentovlidoeaconclusoverdadeira.

Toda aranha tem seis pernas. ( F )

Todo ser de seis pernas tem asas. ( F )

Logo, toda aranha tem asas. ( F )

Argumentovlidoeaconclusofalsa

Os conceitos de argumento vlido ou invlido so independentes da verdade ou falsidade de suas premissas e concluso.

Qualquer combinao de valores verdade entre as premissas e a concluso possvel, exceto que nenhum argumento dedutivo vlido tenha as premissas verdadeiras e a concluso


falsa.

Um argumento dedutivo no qual todas as premissas so verdadeiras dito Argumento Correto, evidentemente sua concluso tambm verdadeira.

Definio: um argumento de premissas P1, P2, P3 Pn e de concluso Q indica-se por:

P1, P2, P3 Pn | Q

E se l de uma das seguintes maneiras:

P1, P2, P3 Pn acarretam Q

Q decorre de P1, P2, P3 Pn

Q se deduz de P1, P2, P3 Pn

Q se infere de P1, P2, P3 Pn

De acordo com o que foi discutido, um argumento uma srie de sentenas (premissas) que podem ser simbolizadas por P1, P2,..., Pn seguidas de uma concluso Q.

Notao: P1 P2 ..., Pn Q.

Um argumento P1 P2 ..., Pn Q diz-se um argumento vlido se, e somente se, a concluso Q verdadeira todas as vezes que as premissas P1 P2 ..., Pn so TODAS verdadeiras.

Portanto, todo argumento vlido goza da seguinte propriedade: A verdade das premissas incompatvel com a falsidade da concluso.

Um argumento no vlido chamado de sofisma ou falcia.

Desse modo, todo argumento tem um valor lgico, digamos V se vlido (correto, legtimo) ou F se um sofisma (incorreto, ilegtimo).


A validade de um argumento depende exclusivamente da relao existente entre as premissas e a concluso. Portanto, afirmar que um dado argumento vlido significa afirmar que as premissas esto de tal modo relacionadas com a concluso que no possvel ter a concluso falsa se as premissas so verdadeiras.

Teorema Um argumento P1, P2, , Pn | Q vlido se, e somente se, a condicional:

(P1 P2 Pn)Q tautolgica.

Logo, podemos mostrar a validade de um argumento por meio da construo de tabelas--verdade.

Exemplo em Pereira (2012):

Se eu fosse artista, seria famoso.

No sou famoso.

Logo, no sou artista.

Faa:

A: ser artista

F: ser famoso

Formalizao

{AF,F}A

Veja a tabela-verdade:


Logo, o argumento vlido, uma vez que sua tabela-verdade uma tautologia.

Veja outro exemplo, segundo Pereira (2012):

Se eu fosse artista, seria famoso.

Sou famoso.

Logo, sou artista.

Formalizao

{AF,F}A


Logo, o argumento no vlido, uma vez que sua tabela-verdade no uma tautologia.

Um princpio fundamental dos argumentos a lei:

Se p implica em q e se q implica em r. Ento, p implica em r.

p q,qrpr(LEI DO SILOGISMO)

Este fato pode ser demonstrado pela tabela-verdade mostrando que a seguinte proposio uma tautologia.

[(pq) (q r)](pr)


Exemplo:

A) Todas as mulheres so mortais.

B) Clarice mulher.

C) Logo, Clarice mortal.

A afirmao C denota a concluso do argumento e as afirmaes, A e B denotam as premissas.Afirmamosqueoargumento:A,BCvlida,poisoargumentoestnaforma:

pq,qrpr,sabendoque:

p = as mulheres so mortais

q = Clarice mulher

r = Clarice mortal

Assim, dizemos ento que este argumento vlido.

A validade de um argumento no depende dos valores lgicos, dos contedos das declaraes, mas sim da forma particular do argumento. Dizemos que um argumento um conjunto de enunciados, mas no um conjunto qualquer de enunciados.


Em um argumento, os enunciados tm que ter certa relao entre si e necessrio que um deles seja apresentado como uma tese, ou uma concluso, e os demais como justificativa da tese, ou premissas para a concluso. Normalmente, argumentos so utilizados para provar ou no algum enunciado ou para convencer algum da verdade ou da falsidade de um enunciado.

Como exemplo do que no seria um argumento, vejamos o conjunto de enunciados a seguir:

1. Todas as estrelas brilham.

2. Em todos os meses, h pelo menos quatro domingos.

3. Logo, Maring uma linda cidade.

Neste caso, observamos que os enunciados so verdadeiros e, apesar deles se disporem na forma de um argumento, em que vemos premissa 1, premissa 2 e concluso, no temos de fato um argumento uma vez que os enunciados no tm relao entre si. Tambm no devemos dizer que temos um argumento invlido. Para dizermos que um argumento invlido as premissas e a concluso precisam ter certa relao entre si, porm, pelo menos uma das premissas deve ser uma falcia.

A veracidade da concluso est implcita na veracidade das premissas. Um argumento vlido se a sua concluso uma consequncia lgica de suas premissas, ou seja, a veracidade da concluso est implcita na veracidade das premissas.


QUANTIFICAO

Fonte

: SHU

TTER

STOC

K.CO

M

O termo Quantificao tem vrios significados, gerais e especficos. Corresponde, essencialmente, a toda ao que quantifique observaes e experincias, traduzindo-as para nmeros por meio de contagem e mensurao, mais especificamente, na linguagem e na lgica, a quantificao uma construo que especifica a quantidade de indivduos de um domnio de discurso que se aplica uma frmula.

O elemento da linguagem que representa a quantificao chamado de quantificador. A expresso resultante uma expresso quantificada, e dizemos que quantificamos sobre o predicado ou funo cuja varivel livre est ligada pelo quantificador. A quantificao usada tanto nas linguagens naturais quanto nas formais e seu uso decorrente de que muitas vezes no conseguimos, apenas pelos cinco operadores lgicos ( ),traduzirasexpresses desejadas.

Assim, precisamos de outros operadores como, por exemplo, para todo, para algum, muitos, poucos, bastante e nenhum, para traduzir a sentena. Esses operadores citados so chamados quantificadores e esto demonstrados no que chamamos de linguagem.


Toda quantificao envolve uma varivel especfica e um domnio de discurso ou domnio de quantificao dessa varivel. O domnio de quantificao especifica o conjunto de valores que uma varivel assume.

Um quantificador um smbolo lgico que faz uma verificao sobre o conjunto de valores que tornam uma ou mais frmulas verdadeiras. Este um conceito bastante geral. Grande parte da matemtica formada por dois quantificadores: o quantificador universal e o quantificador existencial.

Em termos formais, um quantificador liga uma varivel, transformando uma frase aberta com n variveis livres diferentes em outra.

Funes proposicionais e quantificadores

Uma funo proposicional definida em um conjunto A uma expresso que denotamos por:

p (x)

Tendo a propriedade de que p(a) seja verdadeira ou falsa para cada a A, ou seja, p (x) se torna uma declarao com um valor lgico e que tem sempre um elemento a A substitudo pela varivel x. Dizemos que A o domnio de p(x) e T o conjunto de todos os elementos de A que tornam p(x) uma declarao verdadeira, tambm chamado de conjunto verdade. Traduzindo em expresso matemtica:

T = {x: x A, p(x) verdade} ou T = {x: p(x)}

Normalmente, quando A um conjunto de nmeros, a condio p(x) tem a forma de uma equao envolvendo a varivel x.


Exemplo:

Sejam A = N (conjunto dos nmeros naturais) e p(x) = x + 3 > 10. Podemos expressar:

{x: x N, x + 3 > 10} = {8, 9, 10......}

O exemplo mostra que p(x) uma funo proposicional que pode ser traduzida em para todo, ou para algum e existe...assim, utilizamos algum tipo de quantificador para traduzi-la.

Outro exemplo:

Sejam A = Z (conjunto dos nmeros inteiros) e p(x) = x + 5 < 4. Podemos expressar:

{x: x Z, x + 5 < 4} = {-2, -3, -4...... }

Quantificao existencial

Um quantificador existencial uma propriedade ou relao para pelo menos um elemento do domnio. O operador lgico usado para denotar a quantificao existencial. E l-se existe, existe algum, para pelo menos um, para algum. Assim, a expresso:

x x > 0

E deve ser lida como existe um x tal que x maior do que zero.

Exemplo:

Seja uma funo proposicional definida em um conjunto, A escreva a expresso:

x A p(x)

L-se: existe um x que pertence a A tal que p(x) uma declarao verdadeira. Poderamos ainda ler: para algum x, p(x).


Exerccios:

Ache os conjuntos verdade e escreva como se l as expresses abaixo:

a) x N x + 4 < 8

b) x N x - 4 > 5

Quantificao Universal

A quantificao universal uma formalizao da noo de que algumas coisas so verdadeiras para todas as coisas, ou para todas as coisas relevantes. O resultado uma afirmao universalmente quantificada. Em smbolos lgicos, o quantificador universal A o smbolo usado para denotar o universo de quantificao, informalmente lido como para todo, para qualquer ou para cada. Assim, a expresso:

x , x > 0

E deve ser lida como para qualquer x tal que x maior do que zero.

Porm, nesse caso a expresso ir depender do domnio de x.

Exerccios:

Ache os conjuntos verdade e escreva como se l para as expresses abaixo:

a) x N, x + 4 > 3

b) x N, x - 4 > 9

Negao

Podemos dizer que uma funo proposicional quantificada uma sentena. Ento, como sentenas, funes quantificadas podem ser negadas. A notao lgica e matemtica, usada


paradenotaranegao:

Por exemplo, sendo p(x) a funo proposicional x casado, ento, para um universo de discurso x de todos os humanos vivos, considerar a quantificao universal: Toda pessoa viva x, uma pessoa casada.

x, p (x)

fcil perceber que esta sentena no verdadeira, pois sabemos que nem todas as pessoas vivas so casadas. Ento, ns podemos dizer: "No o caso que, dada qualquer pessoa viva x, ela seja casada", ou, simbolicamente:

(x, p (x))

Observe que negar o quantificador universal significa que se uma sentena no verdadeira para todos os elementos do Universo de discurso, ento h pelo menos um elemento para o qual a sentena falsa. Logo, a negao de x,p (x) logicamente equivalente a Existe uma pessoa viva x que no casada, ou, xp(x).Demodogeral,anegaodoquantificadoruniversal de uma funo proposicional equivalente a uma quantificao existencial sobre a negao da mesma funo proposicional.

Simbolicamente:

(x,p(x))(xp(x))

Traduzindo as expresses:

a)(x, p (x)): No verdade que para todo x p(x) verdade.

b) xp(x):Existeumxtalquep(x)falso.

Podemos assim dizer quanto ao conjunto verdade que:


a)p(x)ocomplementodep(x)

b) p(x) q(x) a interseo de p(x) e q(x)

c) p(x) q(x) a unio de p(x) e q(x)

CONSIDERAES FINAIS

Fonte

: SHU

TTER

STOC

K.CO

M

A Lgica como cincia estuda o conjunto de regras que regem o processo de pensar e raciocinar. Para trabalharmos com lgica proposicional, esperamos ter deixado claro ao estudante que a utilizao de uma simbologia matemtica essencial expor as proposies e os argumentos.

Outra vantagem da utilizao de uma linguagem simblica para a Lgica a possibilidade de utilizao de recursos computacionais no tratamento de enunciados e argumentos; os computadores digitais se mostram bastante adequados manipulao de smbolos, enquanto apresentam extrema dificuldade no tratamento de linguagem natural.

Nesta unidade, estudamos os argumentos e os quantificadores. Chamamos de argumentos sentenas declarativas que contenham premissas e uma concluso, sendo que podemos classificar os argumentos em vlidos e invlidos. Vrios passos envolvidos na formulao e validade dos argumentos esto envolvidos no material. importante assim, verificarmos o que caracteriza e o que valida ou no um argumento.

Da mesma forma, quando vamos expressar as sentenas, vimos na unidade anterior que


podemos utilizar a linguagem lgica para tal funo, fazendo uso dos chamados conectivos lgicos. Entretanto, nem sempre esses conectivos so suficientes para a expresso de todas as declaraes, assim podemos lanar mo dos quantificadores. Esses, por sua vez, so elementos de linguagem que quantificam os indivduos dentro de certo domnio, os quais so chamados de quantificadores universais ou quantificadores existenciais.

Ainda dentro desse contexto, verificamos tambm que podemos fazer a negao de sentenas, utilizando quantificadores, bem como trabalhar com variveis em conjunto utilizando esses elementos.

Em todos os casos, observamos que a ideia fundamental desta unidade foi mostrar que possvel traduzir uma sentena verbal em linguagem matemtica, utilizando para isso alguns elementos lgicos.

O importante conhecer esses elementos e saber utiliz-los de maneira adequada, bem como saber validar ou invalidar uma declarao utilizando para isso linguagem lgica.

ATIVIDADES DE AUTOESTUDO

1. Complete com a concluso lgica os seguintes argumentos:

a) Cada um republicano, ou democrata, ou tolo.

b) O porta-voz da Casa Branca no republicano.

c) O porta-voz da Casa Branca no tolo.

d) Logo o __________________________.

2.

a) Se houver uma guerra nuclear, a civilizao ser destruda.

b) Haver uma guerra nuclear.

c) Portanto, a __________________________

3. a) Maria s come doces.

b) Comer doces torna o indivduo diabtico.

c) Logo, __________________________


4. Verifique por meio de tabela-verdade se o argumento vlido:

Seeufosseempresrio,seriarico.

Nosouempresrio.

Logo,nosourico.

5. Formalize as seguintes frases:

a) O Rio de Janeiro grande e barulhento.

b) O Rio de Janeiro grande e Petrpolis pequena.

c) Deus bom, mas o diabo no.

d) Se a Terra um planeta, ento Vnus e Jpiter tambm so.

6. Formalize os seguintes argumentos:

a) Joo ctico e pessimista.

b) Joo no ctico e nem pessimista.

c) Se Alice acredita em bruxas, ento acredita no diabo.

d) Se Alice no acredita em bruxas tambm no acredita no diabo, se no acredita no diabo, tambm no acredita em bruxas.

7. Utilizando quantificadores, traduza cada uma das seguintes expresses:

a) H pelo menos um nmero racional menor que 10.

b) Todos os nmeros naturais so no negativos.

c) Existe pelo menos um nmero real que no racional.

d) Todos os alunos de matemtica estudam.

e) Est chovendo.

Se est chovendo, ento a rua est molhada.

Se a rua est molhada, ento a rua est escorregadia.

f) Se neva, ento faz frio.

Est nevando.

Logo, est fazendo frio.


RESPOSTAS DAS ATIVIDADES DE AUTOESTUDO

1. Logo, o porta-voz da Casa Branca democrata.

2. Portanto, a civilizao ser destruda.

3. Logo, Maria diabtica.

4. Faa:

E: ser empresrio

R: ser rico

Formalizao

{ER,R}|E


Argumento vlido

5. Formalize as seguintes frases:

a) O Rio de Janeiro grande e barulhento.

G B

b) O Rio de Janeiro grande e Petrpolis pequena.

RG PP

c) Deus bom, mas o diabo no.

DE DI

d) Se a Terra um planeta, ento Vnus e Jpiter tambm so.

T(VJ)


6. Formalize os seguintes argumentos:

a) C P

b) C P

c) BD

d) BD

7. Utilizando quantificadores, traduza cada uma das seguintes expresses:

a) x Qx 0

c) x Rx Q

d) x M, x estudam

e) {c,cm,me}

f) {nf,n}f

UNIDADE IV

ANLISE COMBINATRIAProfessora Esp. Ivnna Gurniski Carniel


Conhecer alguns conceitos da anlise combinatria.

Entender os principais tipos de contagens.

Saber aplicar a tcnica de contagem adequada nas diversas situaes prticas.

Plano de Estudo


Princpio da soma

Princpio do produto

Notao fatorial

CoeficientesBinomiais

Arranjos simples

Permutaes

Combinaes

Princpio da casa dos pombos


INTRODUO

Contagem um estudo a respeito do nmero de possibilidades de eventos que podem ocorrer. Eventos podem ser definidos como qualquer ocorrncia ou algum fato presente no nosso dia a dia, seja ele relacionado vida profissional ou pessoal.

Em algumas situaes problemas envolvendo contagens podemos utilizar os princpios fundamentais da contagem. Porm, em outras situaes precisamos utilizar tcnicas um pouco mais complexas como combinaes e arranjos. Em anlise combinatria estamos envolvidos diretamente com problemas de contagem.

As ferramentas da anlise combinatria so objetos de importncia e interesse entre pessoas que disputam jogos de azar e que tm interesse em saber as chances de vitria nas partidas que disputam, tendo tambm importncia nos estudos de probabilidade e estatstica.

Podemos dizer que problemas de contagem fazem parte do nosso dia a dia. Desde muito cedo aprendemos a contar e relacionar problemas envolvendo combinaes. importante observar que h uma gama de situaes diferentes entre si ao envolver contagem e eles podem ter semelhanas em vrios pontos.

Dessa forma, importante conhecermos essas diversas situaes, inclusive as situaes prticas e que esto diretamente aplicadas em nosso meio de trabalho para que possamos tomar corretamente as devidas decises.

PRINCPIOS DA CONTAGEM

O princpio da contagem ou da anlise combinatria trata do nmero de combinaes lgicas de algum evento sem, entretanto, precisarmos identificar detalhadamente todos os casos.

Existem dois princpios bsicos relacionados contagem: princpio da soma e princpio do produto.


Princpio da soma:

Suponha que um evento A possa ocorrer de m maneiras e um evento B possa ocorrer de n maneiras e ainda suponha que os eventos no possam ocorrer simultaneamente. Assim, dizemos que A e B podem ocorrer de m + n maneiras.

Exemplos:

Suponha 2 analistas de sistemas do sexo masculino e 5 do sexo feminino. Uma empresa pode escolher um analista de 2 + 5 maneiras.

Outro exemplo:

Voc tem dinheiro para ir ao parque de diverses e brincar em apenas um dos 10 brinquedos disponveis ou ir ao cinema e assistir apenas um filme dos 4 disponveis. Dessa forma, de quantas maneiras diferentes voc pode se divertir?

Se voc tem dinheiro apenas para uma diverso ela tem de optar ou por brincar em um dos brinquedos do parque ou assistir a um filme do cinema. Assim, voc tem 10 opes para ir ao parque e 4 opes para ir ao cinema.

Dessa forma, h 10 + 4 maneiras de se divertir.


Princpio do produto

Suponha que um evento A possa ocorrer de m maneiras e, de maneira independente, um evento B possa ocorrer de n maneiras. As combinaes A e B podem ocorrer ento de m.n maneiras. Pode acontecer de o evento A ter A1 maneiras seguido de A2, A3...An maneiras de ocorrer. O mesmo podendo ocorrer com o evento B.

Exemplos:

1) Suponha 3 pares de sapatos e 10 pares de meias. De quantas maneiras podero ser as combinaes utilizando um par de meias e um de sapatos?

Pelo princpio fundamental da contagem temos que multiplicar 3, que o nmero de elementos


do primeiro conjunto, por 10 que corresponde ao nmero de elementos do segundo conjunto.

Assim, teremos 30 possveis combinaes.

2) Suponha que no emplacamento de carros temos duas letras seguidas de trs algarismos, sendo que o primeiro algarismo no pode ser 0, porm, o segundo e o terceiro nmero podem . Quantas combinaes de placas so possveis?

Note que so 26 letras do alfabeto e 10 algarismos, porm, o 0 no pode aparecer no primeiro algarismo.

Assim teremos:

26 . 26. 9. 10 . 10 = 608400 possveis combinaes de placas

3) Quantos nmeros de quatro algarismos podemos formar com 3, 5, 7 e 9?

Observe que podemos repetir os nmeros quantas vezes quisermos, uma vez que nada foi imposto. Desse modo, nmeros tais como 3333, 3355 ou 9555 podem ser contabilizados em nossa contagem. Desse modo teremos:

Ou seja = 4 x 4 x4 x4 = 256 composies

4) Um motorista deseja viajar de uma cidade A para a cidade C, mas para ir cidade C deve--se passar, necessariamente, pela cidade B. Para chegar da cidade A at a cidade B, ele pode utilizar 3 diferentes caminhos (I, II e III) e para chegar da cidade B at a cidade C, ele pode utilizar 2 diferentes caminhos (A e B). Veja a figura:


Como podemos ver pela figura, o motorista pode escolher entre trs estradas para se deslocar de A para B e depois deve escolher uma entre as duas estradas para deslocar-se de B para C.

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