MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

CÂMPUS PATO BRANCO

DESEMPENHO

Atividades Práticas Supervisionadas (APS) de Cálculo Diferencial e Integral 1 – Profa. Dayse Regina Batistus, Dr

a. Eng.

Acadêmico(a): __________________________________________________ Curso: Engenharia ___________

Na APS serão consideradas somente as questões que apresentarem os cálculos e, a resposta da mesma à caneta. Data de entrega: 01/03/2013

1) Determine a equação da reta tangente (T) e da reta normal (N) ao gráfico da função, no ponto de

abscissa dada:

a) 2 = x em , 35)( −= xxf Resposta: (T) y = 5x – 3; (N) y = -(1/5) x + 35/7

b) 0 = x em ,532 2 +− xxf(x) = Resposta: (T) y = - 3x + 5; (N) y = (1/3) x + 5

c) 1 xem ,13)( 3 =−+= xxxf Resposta: (T) y = 6x – 3; (N) y = - (1/6) x + 7/2

2) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = sen x no ponto de abscissa x = 0

rad. Resposta: y = x.

3) Determine os pontos sobre a curva 1)( 23 +−−= xxxxf onde a tangente é horizontal.

Resposta: (1, 0) e

−27

32,

3

1. Nota: Futuramente, veremos que esses pontos são candidatos a

pontos de máximos, mínimos ou ponto de inflexão da função dada.

4) No videogame da figura abaixo, os aviões voam da esquerda para a direita segundo a trajetória

,1

1x

y += e podem disparar suas balas na direção da tangente contra pessoas ao longo do eixo-x

em x = 1, 2, 3, 4 e 5.

Determine se alguém será atingido se o avião disparar um projétil quando estiver em:

(a) P(1, 2) (b) Q(3/2, 5/3)

Resposta: (a) A equação da reta tangente a curva, no ponto P é dada por: .3+−= xy Por outro lado,

fazendo ,0=y temos: 330 =⇒+−= xx . Portanto, o projétil atinge a pessoa que está na posição 3,

como ilustra a própria figura. (b) A equação da reta tangente a curva, no ponto Q é dada por:

.3

7

9

4 +−= xy Por outro lado, fazendo ,0=y temos: 25,512

63

3

7

9

40 ==⇒+−= xx . Portanto, o

projétil não atinge nenhuma pessoa.

2

5) Derive as funções compostas apresentadas no quadro abaixo:

Função Derivada a) y = sen 4x 4 cos 4x

b) y = cos 5x –5 sen 5x

c) y = e3x

3e3x

d) f(x) = cos 8x –8 sen 8x

e) y =sen t3 3t

2 cos t

3

f) g(t) = ln (2t+1)

12

2

+t

g) x = esen t

e sen t

cos t

h) f(x) = )( cos xe –ex sen e

x

i) y = (sen x + cos x)3 3(sen x + cos x)

2 (cos x – sen x)

j) 13 += xy

1x32

3

+

k) 3

1

1

+−=

x

xy 3

2

2 1x

1x

)1x(3

2

−+

+

l) y = e-5x

–5e-5x

m) x = ln (t2 +3t+9)

9t3t

3t22 ++

+

n) f(x) = etg x

etg x

sec2 x

o) y = sen(cosx) –sen x cos (cos x)

p) g(t) = (t2+3)

4 8t (t

2 + 3)

3

q) f(x) = cos(x2 + 3) –2x sen (x

2 + 3)

r) xexy +=

x

x

ex2

e1

++

s) y = tg 3x 3 sec2 3x

t) y = sec 3x 3 sec 3x tg 3x

u) y = xe3x

e3x

(1+3x)

v) y = ex . cos 2x e

x (cos 2x – 2 sen 2x)

w) y = e-x

sen x e-x

(cos x – sen x)

x) y = e-2t

sen 3t e-2t

(3 cos 3t – 2 sen 3t)

y) f(x) = 2xe−

+ ln (2x + 1)

1x2

2xe2

2x

++− −

z) tt

tt

ee

ee)t(g −

−

+−=

2tt )ee(

4−+

aa) x2sen

x5cosy =

x2sen

2x cos5x cos 2 2x sen 5x sen 52

+−

bb) f(x) = 3xx )ee(

2

+− )xe2e.()ee(3

22 xx2xx +−+ −−

cc) y = t3 e

-3t 3t

2 e

-3t(1 – t)

dd) y = (sen 3x + cos 2x)3 3(sen 3x + cos 2x)

2 (3 cos 3x – 2 sen 2x)

ee) x2 exy −+=

xx

xx

ee2

ee−

−

+−

ff) y = x ln (2x + 1)

1x2

x2)1x2ln(

+++

gg) y = [ln (x2 + 1)]

3

1x

)]1x[ln(x62

22

++

hh) y = ln (sec x + tg x) sec x

3

6) Encontre a derivada das seguintes funções:

Função Derivada

7) Derive, utilizando a derivação implícita:

Função Derivada

Sugestão de atividades complementares (não precisa entregar): Refazer as provas de 2012.

APS 04 do 1º semestre de 2012, número 08.