ARTIGO PDE 2010

“CÁLCULO MENTAL: mantendo as habilidades em trabalhar as operações

fundamentais”

Autor: Olga do Nascimento Caldas1

Orientador: Doherty Andrade2

RESUMO

Neste trabalho, apresentamos uma discussão sobre as atividades de cálculo mental desenvolvidas com os alunos do oitavo ano de uma escola pública. Fazemos também uma discussão como o cálculo mental pode ser utilizado como ferramenta para desenvolvimento da capacidade de realizar cálculos sem o uso de instrumentos com o objetivo de melhorar o desempenho dos alunos na aprendizagem dos conteúdos matemáticos que requerem habilidade e agilidade na solução de operações envolvendo as operações fundamentais. Visamos também colaborar com a prática docente para que possa tornar o ensino dos conteúdos básicos da matemática mais acessível aos estudantes, para uma aprendizagem mais evidente e duradora, tornando-os mais independentes nas suas práticas que exijam a realização de cálculos de sua vida cotidiana.

Palavras-chave: cálculo, operações, aprendizagem.

1 Supervisão e Orientação Escolar, Ciências, Instituto de Educação de Maringá.

2 Doutor em Matemática, Universidade Estadual de Maringá, Professor.

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“...ensinar não é transferir conhecimentos, mas criar as possibilidades para a sua própria produção..”

(Paulo Freire).

I - INTRODUÇÃO

Este trabalho foi dirigido aos alunos da sétima série (oitavo ano) do Ensino

Fundamental do Instituto de Educação Estadual de Maringá. Pois, como professora

de matemática, muitos de meus colegas e eu temos percebido ao longo dos anos as

dificuldades que os alunos encontram no que se refere à capacidade de resolver

mentalmente questões simples envolvendo as operações fundamentais. Tal fato

mostra a falta de habilidade com as operações fundamentai ou dificuldade de

aprendizagem dos conteúdos que necessitam de certa agilidade ao realizar cálculos

de forma mental, pois os alunos dependem dos resultados que não se processam

naturalmente em suas mentes. É de fundamental importância o domínio dos cálculos

básicos para que automaticamente seja resolvido e incorporado a outro

conhecimento subsequente, dando ao aluno certa autonomia em resolver os

cálculos de forma natural e simples.

Como nos ensina Paulo Freire, 1996 “... o conhecimento novo supera outro

que antes foi novo e se fez velho e se “dispõe” a ser ultrapassado por outro amanhã”

(FREIRE, 1996, p. 31).

Os resultados das avaliações nacionais realizadas nas séries iniciais do

Ensino Fundamental mostram que os alunos não têm um bom desempenho. Dados

do INEP – Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais mostram que

menos da metade dos alunos do terceiro ano do ensino médio, sabem calcular uma

porcentagem simples. Isso é preocupante, diante das exigências da vida moderna e

globalizada em que estamos inseridos.

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Sem precisarmos aprofundar no assunto, pois verificamos que nas atividades

comuns e em transações comerciais diárias é frequente o uso de cálculos simples

de porcentagens, pois vivemos rodeados de conceitos como juros, impostos,

poupança, aplicações financeiras, produção, etc..

A escola pública, que tem a missão de atender a diversidade da população

não pode distanciar-se de seu papel, pois os sujeitos da educação básica têm o

direito garantido constitucionalmente a uma educação de qualidade e não apenas de

quantidade. Passamos pelo desafio da inclusão dos jovens nas escolas, mas ainda

precisamos vencer o obstáculo da qualidade, assim o principal objetivo é dar reais

oportunidades para que todos tenham acesso ao ensino de qualidade e ao

conhecimento produzido pela humanidade através da aprendizagem dos conteúdos

das disciplinas escolares. Assim, o nosso desafio é conciliar quantidade com

qualidade.

Muitos fatores interferem na qualidade do ensino, mas não podemos dizer que o

fator econômico é o único responsável pela má qualidade do ensino brasileiro, pois

como exemplo, podemos citar a China, no último Pisa (Programa Internacional de

Avaliação de Alunos) o teste de educação mais conceituado do mundo, que pode

sim haver educação de alto nível em cenário de pobreza, pois Xangai que tem nível

de renda per capita muito parecida com a brasileira apareceu em primeiro lugar em

todas as disciplinas estudadas, enquanto o Brasil não ficou nem entre os cinquentas

melhores.

Os profissionais da educação sabem e trabalham neste sentido, que é

necessário encontrar caminhos que nos levem a desenvolver um ensino de

qualidade, propiciando ao aluno conhecimentos matemáticos básicos essenciais a

todo cidadão, como contar, medir, calcular, resolver problemas, construir estratégias,

argumentar logicamente, analisar e interpretar criticamente as informações, etc., os

quais são indispensáveis para o engajamento no mundo do trabalho e nas relações

sociais, culturais e políticas do mundo em que vivemos.

Nesse trabalho relatamos as experiências realizadas com algumas atividades

que ajudaram o aluno a resolver mentalmente, questões simples envolvendo as

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operações fundamentais visando manter as habilidades dos conhecimentos

adquiridos nas séries anteriores de forma rápida, principalmente com desenvoltura,

melhorando assim a aprendizagem de novos conhecimentos.

Vygotsky (1991) ensina que “o aprendizado adequadamente organizado

resulta em desenvolvimento mental e põe em movimento vários processos de

desenvolvimento que, de outra forma seriam impossíveis de acontecer”. Assim

entendemos que cabe ao professor, que tem o conhecimento específico, a tarefa de

organizar o aprendizado para propiciar o desenvolvimento mental dos alunos.

Estudos recentes relacionados à neurociência, principalmente dos

pesquisadores do Centro de Pesquisas Integradas da Ciência e Tecnologia do

Futuro da Universidade de Tohoku, no Japão, destacam a matemática como veículo

propulsor e facilitador das sinapses cerebrais, destacando que o cálculo básico

realizado mentalmente pode desenvolver o cérebro do estudante, fazendo novos

impulsos elétricos cerebrais, aumentando assim, a inteligência (I Simpósio Nacional

de Ensino de Ciência e Tecnologia-2009-UFTPR).

Um dos objetivos de nossa proposta no presente trabalho foi a de organizar o

conteúdo relacionado às operações fundamentais de maneira que levasse o aluno a

dominar de forma consciente e não mecânica as técnicas operatórias. Assim sendo,

vemos a necessidade de que sejam aplicadas atividades práticas na sala de aula de

modo que proporcione ao aluno o desenvolvimento das habilidades de trabalhar

mentalmente com operações fundamentais.

Nesse trabalho, o enfoque foi “cálculo mental”, popularmente conhecido como

conta de cabeça, isto é, sem fazer nenhuma notação escrita. Para algumas pessoas,

significa a repetição de memória das tabuadas e que só alguns possuem essa

capacidade, outras afirmam que, cálculo mental é sinônimo de cálculo decorado,

como saber de memória os resultados da tabuada da multiplicação e de outras

operações. Outros pensam em alguma habilidade especial, algum talento que

poucas pessoas possuem. Há ainda os que acreditam que se trata de um

conhecimento matemático como outros, que pode e deve fazer parte dos conteúdos

programáticos de matemática das escolas.

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II – FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

PARRA (1996), define cálculo mental, como “...o conjunto de procedimentos

em que, uma vez analisados os dados a serem tratados, estes se articulam, sem

recorrer a um algoritmo pré-estabelecido para obter resultados exatos ou

aproximados”. (PARRA; 1996: p.189).

O desenvolvimento da habilidade de cálculo mental requer uma real

compreensão do número e de suas propriedades, quando o aluno passa a raciocinar

a respeito do que está calculando, podendo ainda, estabelecer estimativas de forma

segura nas atividades cotidianas, e pode ainda fornecer notável contribuição à

aprendizagem de outros conceitos matemáticos.

Muitos são os argumentos apresentados para justificar a presença do cálculo

mental nos programas escolares. Por exemplo, que o cálculo mental ajuda o

desenvolvimento da atenção, da concentração e da memória, permitindo que as

crianças desenvolvam seus próprios procedimentos sem se limitar a um único

processo, e isso as tornam mais autônomas, pois oferece maior liberdade na

escolha de caminhos para obter soluções e exige o completo entendimento do

Sistema de Numeração Decimal. Além disso, fazer cálculo mental possibilita

compreender com mais facilidade técnicas que envolvem cálculos mais elaborados.

Ainda, a prática do cálculo mental, pode ser usada para estimular o raciocínio

das crianças, pois, diante de desafios envolvendo cálculos, elas procuram encontrar

o melhor procedimento. As crianças que dominam técnicas de cálculo mental

demonstram, em geral, mais segurança ao resolver situações-problema do dia-a-dia.

Em situações quotidianas, nas quais há pouco tempo para se tomar decisões,

nem sempre precisamos determinar a quantidade exata, basta uma aproximação.

Assim o cálculo mental aparece, com frequência, junto com a necessidade de se

fazer estimativas.

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O cálculo mental aparece também em situações para as quais necessitamos

de cálculos exatos. Para essa forma de realizar operações aritméticas, há um

universo inesgotável de estratégias a serem utilizadas, dentre elas a decomposição,

composição e associação.

Quando realizamos um cálculo mentalmente, sempre usamos cálculos

intermediários que facilitam a compreensão das regras que determinam os

algoritmos do cálculo escrito. Resolver um cálculo mentalmente exige do sujeito a

elaboração de estratégias que a maioria das vezes não é ensinada nas escolas. O

sujeito desenvolve essa habilidade de forma natural. Porém, os conceitos

embasadores das estratégias para a resolução de um cálculo mental são aprendidos

nos primeiros anos escolares.

Na realização do cálculo mental podemos constatar que um mesmo cálculo

pode ser realizado de diferentes formas. Pode-se escolher o que melhor se adapta

àquela determinada situação problema, considerando os números e as operações

que necessitam ser realizadas. Desta forma, cada situação de cálculo mental se

coloca como um problema em aberto, onde pode ser solucionada de diferentes

maneiras, sendo necessário ao sujeito recorrer a procedimentos originais,

construídos por ele mesmo, a fim de chegar ao resultado. A satisfação do sujeito

frente à criação de suas próprias estratégias de cálculo mental favorece a efetivação

de atitudes mais positivas frente à Matemática. Conforme pontuam Mendonça, Lellis

(1989):

“Enfrentar e vencer desafios aumenta a autoconfiança das pessoas. E quando ocorre a invenção de um novo processo de cálculo (novo, ao menos para aquela turma) parece que todos repartem a sensação de que a Matemática não é inatingível. Cada aluno começa a sentir-se capaz de criar, nesse domínio. Além de tudo isso, é perceptível o aumento da capacidade do aluno de concentrar-se e estar atento nas aulas em decorrência da prática continuada do cálculo mental” (Mendonça, Lellis,1989:p.52).

É muito importante verificarmos que ao realizar o cálculo mental ocorre a

reflexão sobre o significado dos cálculos intermediários, facilitando a compreensão

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das regras que determinam os algoritmos do cálculo escrito. Desta forma, o

constante exercício e a sistematização dos procedimentos de cálculo mental, podem

vir a favorecer, ao longo do tempo, como estratégias de resolução e controle do

cálculo escrito, conforme pontuam as orientações dos PCN-Parâmetros Curriculares

Nacional (BRASIL, 1998) para o trabalho com cálculo mental no ensino

fundamental. Vamos encontrar nesse documento, na parte referente aos dois

últimos ciclos, várias menções aos cálculos mentais, associados aos cálculos

escritos, exatos e aproximados, bem como à calculadora. No que diz respeito aos

procedimentos sobre números e operações no terceiro ciclo do Ensino Fundamental,

o primeiro tópico proposto enfatiza precisamente:

“Cálculos (mentais ou escritos, exatos e aproximados) envolvendo operações – com números naturais, inteiros e racionais -, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos nelas envolvidos, utilizando a calculadora para verificar e controlar resultados” (BRASIL, 1998, p. 71).

As estratégias cognitivas desenvolvidas a partir da utilização do cálculo

mental em situações práticas favorecem a generalização numérica, a imaginação e a

memorização. Parra (1996), ao discutir a importância do cálculo mental no ensino

da Matemática, defende que o trabalho com o cálculo mental habilita para uma

forma de construção do conhecimento que vem a favorecer uma melhor relação do

aluno com a própria Matemática. Trata-se de um processo de resolução dos

problemas de maneira criativa, na busca de diferentes formas de resolução e não

fixados em um único algoritmo capaz de dar conta da resolução.

Devemos constatar que as estratégias desenvolvidas durante o cálculo mental

possibilitam reflexões sobre as propriedades dos números, divisibilidade,

multiplicidade, exercícios mentais de composição e decomposição de números,

enfim, pode-se trabalhar vários conceitos aritméticos e aplicá-los a situações reais

de cálculo.

As pesquisas que discutem o assunto têm mostrado que a habilidade para o

cálculo mental, em situações escolares, é construída a partir da resolução de uma

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série de situações-problema, através da interação do aluno com seus colegas e com

o professor. A partir destas interações e resolução dos desafios propostos, o aluno é

capaz de elaborar suas estratégias pessoais de resolução dos problemas de cálculo

mental.

É de fundamental importância, o trabalho com o cálculo mental no ensino da

Matemática. Nesse sentido, Parra (1996) aponta quatro razões para a inclusão do

ensino de cálculo mental nas escolas, vejamos:

1) As aprendizagens no terreno do cálculo mental favorecem na capacidade de

resolver problemas. (Parra; 1996: p.195)

O enriquecimento das relações numéricas (decomposições de um número,

por exemplo) através do cálculo mental ajuda os alunos a realizarem com mais

facilidades suas estratégias de resolução de um problema, quando já conseguem

moldá-lo, estabelecer relações entre os dados, por refletirem sobre as possíveis

soluções.

2) O cálculo mental aumenta o conhecimento no campo numérico (números,

operações, propriedades das operações, etc. Verificamos que durante a realização

de uma série de cálculos o aluno pode descobrir a aplicação das propriedades das

operações, as quais podem no início ficarem implícitas, sendo que depois serão

aplicadas na resolução de cálculos, segundo Parra (1996):

Com atividades deste tipo, se busca que os alunos encontrem uma maneira de fazer matemática que não se reduza a usar algoritmos e produzir resultados numéricos, mas que inclua analisar os dados, estabelecer relações, tirar conclusões, ser capaz de fundamentá-las, provar o que se afirma de diversas maneiras, reconhecer as situações em que não funciona, estabelecer os limites de validade que se encontrou (Parra;1996:p.198).

Quando o aluno realiza as ações acima expostas, busca estabelecer uma

significação numérica para os cálculos que realiza, estabelecendo os limites e as

possibilidades de realização de um cálculo.

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3) “O trabalho de cálculo mental habilita para uma maneira de construção do

conhecimento que, ao nosso entender, favorece uma melhor relação do aluno com a

matemática” (Parra,1996:p.198).

Situações com cálculo mental propiciam aos alunos articularem o que sabem

com o que necessitam aprender. Além disso, trata-se de um dos meios mais eficazes

para o estabelecimento de uma relação mais pessoal do aluno com o conhecimento

matemático, evitando as dificuldades que algumas pessoas apresentam diante da

Matemática.

4) O trabalho com o cálculo mental (“cálculo pensado”) deve ser acompanhado de

um aumento progressivo do cálculo mecânico (algoritmos). Parra (1996) acredita

que o cálculo mental represente uma via de acesso para a compreensão e

construção de algoritmos, através da observação de regularidades e construção de

leis. Parra (1996) defende a importância de situações que propiciem uma reflexão

sobre o cálculo realizado, a fim de envolver os alunos, gradualmente, na resolução

de cálculos dos mais fáceis para os mais difíceis e neste sentido ressalta que:

Um dos primeiros requisitos é que os alunos comecem a tomar consciência dos procedimentos que utilizam; eles necessitam saber o que é que sabem (no sentido de ter disponível este conhecimento) e como podem apoiar-se no que sabem para obter outros resultados (...) Os cálculos que eram uma ferramenta para resolver situações e expressar o que havia sido feito, tornam-se objeto de reflexão (Parra,1996:p.216).

Tratando ainda sobre o cálculo mental Parra (1996) ressalta como sendo um

caminho particularizante, no qual cada problema é novo e na resolução dos mesmos

há que se ter consciência de que para uma mesma situação determinados cálculos

são mais simples que outros e, para uma eficiente aplicação em suas aulas, o

professor necessita:

– ter bem claro para si quais são os conhecimentos que a cada nível deve estar

disponíveis para cada aluno, a fim de tornar possível a abordagem e a aquisição de

novos conhecimentos;

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- dispor de ferramentas que lhe permitam diagnosticar os conhecimentos de seus

alunos;

- conhecer propostas didáticas através das quais consiga inserir em suas aulas, os

avanços dos conhecimentos de seus alunos. (Parra, 1996: p. 202).

Atualmente, a Neurociência ao lado dos grandes pensadores como Piaget,

Vygotsky, Wallon, tem contribuído para entendermos como se dá aprendizagem,

quando se afirma que o cérebro se modifica em contato com o meio durante toda a

vida do ser humano, sendo importante no processo de aprendizagem a emoção, a

motivação, a atenção, plasticidade cerebral e finalmente a memória.

A memória, que está mais relacionada a capacidade de realizar os cálculos

mentais, estudos mostram que ela é mais efetiva quando um conhecimento novo é

associado a um outro conhecimento já adquirido. Estudos da neurociência explicam

que a ativação de circuitos ou redes neurais se dá em sua maior parte por

associação, onde uma rede de neurônios é ativada por outra e sucessivamente.

Quanto mais frequentemente acontece essa ativação em rede, mais estáveis

e fortes se tornam as conexões sinápticas e mais fácil é a recuperação da memória.

Isso se dá por repetição da informação ou, de forma mais eficaz, pela associação do

novo dado com conhecimentos já desenvolvidos.

Médicos e doutores do Instituto de Ciências Biomédicas da Universidade

Federal de Minas Gerais (UFMG) Ramon M. Cosenza e Leonor B. Guerra, afirmam

que “... Podemos simplesmente decorar uma nova informação, mas o registro se

tornará mais forte se procurarmos criar ativamente vínculos e relações daquele

conteúdo com o que já está armazenado em nosso arquivo de conhecimentos”. (in,

Nova Escola, n. 253, 2012, p.55).

Recente trabalho realizado por Heitor Antonio Gonçalves, em Tese de

Doutorado pela Universidade Federal Fluminense, destaca que:

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O cálculo mental torna-se importante devido ao papel que pode desempenhar quando é contemplado na sala de aula como cálculo pensado, inteligente, lúdico e não somente como um conjunto de regras que simplesmente fomentam um grupo de habilidades. As propostas didáticas mais antigas são baseadas na rapidez, exercitação da memória e desenvolvimento da agilidade da mente. Aos poucos estas propostas começam a considerar as propostas derivadas das mudanças sociais, das novas teorias da aprendizagem e das mudanças de foco sobre a finalidade do ensino da matemática. Para o pesquisador a escola hoje pede um ensino de exploração e reflexão e não um ensino mecânico. Ao invés de padronização são estimuladas autonomia e flexibilidade. Em vez de cálculo em solidão e silêncio, onde o professor só vê se a resposta está correta, hoje se pede verbalização, explicitação, diálogo, olhar para os erros e aprender com eles. É em relação a estas exigências que se deveria pensar em qualquer proposta didática com o cálculo mental. Gómez (1995) enfatiza a importância de uma exploração que permita, não só conhecer a existência de certas estratégias, mas também refletir sobre elas para escolher ou utilizar a mais apropriada dentro de cada situação. A flexibilidade se mostra importante na procura de soluções e na capacidade para relacionar, comparar, selecionar ou dar prioridade a alguns dados em detrimentos de outros, no momento de realizar as operações matemáticas necessárias. A aprendizagem do cálculo mental supõe a reflexão e verbalização de diversas estratégias usadas em uma determinada operação. Para o professor na escola, será bom ele tirar proveito de erros, avaliar e reorientar o processo escolhido (DCB5 1989, apud GÓMEZ, 1995, p. 34). “O autor acrescenta que mostrar mais de uma regra que pode ser aplicada em uma situação é fundamentalmente algo promovido por meio do diálogo e da explicitação das diversas estratégias usadas na solução dos problemas que possuem um enunciado”. (Disponível em: http://www.uff.br/pos_educacao/joomla/images/stories/Teses/mental.pdf).

Embora seja uma prática constante na vida dos cidadãos brasileiros, os

autores de livros didáticos fazem pouca referência ao assunto. Por outro lado,

muitos autores estrangeiros são consultados pelos pesquisadores do assunto. Um

dos mais citados e traduzidos é CECILIA PARRA, argentina. Portanto, temos firmado

nosso trabalho nas propostas apresentadas por essa autora na obra: Didática da

Matemática: Reflexões Psicopedagógicas.

Nessa obra, verificamos que a autora destaca a necessidade do professor

projetar atividades específicas orientadas com a finalidade de desenvolver o cálculo

mental de acordo com os conteúdos a serem ensinados. Além do mais o professor

deve diagnosticar o nível de domínio de seus alunos para, a partir deles iniciar um

trabalho específico de desenvolvimento do cálculo mental.

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Assim, com base nos ensinamentos de Parra (1996), trabalhamos com os

alunos algumas estratégias do cálculo mental, revendo os seguintes conteúdos

básicos:

- adições do tipo: a + b = 10; a+b = 100; a+b = 1000;

- subtrações do tipo: 10 – a = b; 100 – a = b;

- contar de 100 em 100 a partir de qualquer número;

- Múltiplos de 10;

- Múltiplos dos primeiros números: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...

- Divisões e multiplicações especiais x 2; ÷ 2;

- Dobros e metades de números de um, dois três e quatro algarismos;

-triplos e terços;

- Regras do Sistema de Numeração decimal;

- Propriedades das operações fundamentais (comutativa, associativa, elemento

neutro, elemento inverso, etc.);

- Composição e decomposição dos números;

- diferentes maneiras de encontrar um produto, como por exemplo: 6 x 12 = 3 x 2 x

12 ou, = 6 x 2 x 6 ou = (6 x 10) + ( 6 x 2), etc.;

- somas e subtrações com medidas do tipo: tempo (ano, mês, dia, semana, horas,

minutos, segundos), comprimento (quilômetro, metro, centímetro, milímetro), área

(quilômetros quadrados, metros quadrados, centímetros, quadrados), capacidade

(litro, mililitro), massa (tonelada, quilograma, grama), ângulos mais usuais (30º, 45º,

60º, 90º);

- estimativa de resultados de divisão de números naturais;

- comparação de frações com números inteiros;

- aproximações e arredondamento de resultados das quatro operações;

- frações mais comuns de números inteiros;

- dobros e metades de frações;

- dobros e metades de números decimais;

- somas e subtrações de frações mais comuns;

- somas e subtrações de decimais simples;

- enquadramento de décimas entre dois números;

- cálculos de potências;

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- cálculos da raiz quadrada de números quadrados perfeitos;

- estimativa das raízes quadradas não exatas de números naturais.

Todos os conteúdos básicos acima citados foram repassados de forma rápida,

dada a maturidade dos alunos de oitavo ano, além disso, dispúnhamos de pouco

tempo para a aplicação do trabalho.

Segundo PARRA (1996), a construção paralela e vinculada do cálculo

pensado e do cálculo autônomo requer que sejam executadas, sistematicamente

atividades de memorização de repertórios e regras com um trabalho coletivo, lento e

detalhado, de aprendizagem do cálculo mental pensado, que se apoia na

comparação de diversos procedimentos utilizados por diferentes alunos, regra

básica para que o professor possa organizar o ensino visando alcançar as

finalidades propostas para o cálculo mental.

Os alunos chegaram a produzir resultados pelos seus próprios meios, pouco,

mas de forma satisfatória, ante o tempo empregado no desenvolvimento das

atividades. Foram trabalhadas com os alunos as seguintes atividades:

1 – Relacionadas à adição:

1.1 – Uso da propriedade comutativa: explicando que: 3 +7 é mais fácil iniciar com 7

→ 7 + 3 = 10; 6 + 18 = 18 + 6 = 24.

1.2– Somando os iguais: 7 + 8 = 7 + 7 + 1 = 14 + 1 = 15.

1.3- Apoiando-se no número 10: 7 + 8 = 7 + 3 + 5 = 10 + 5 = 15.

1.4– Relacionando uma parcela com um número redondo: 23 + 39 = 23 + 40 – 1 =

63 – 1 = 62; 152 + 680 = 152 + 700 – 20 = 852 – 20 = 832.

1.5 - Decompondo uma das parcelas e associando convenientemente: 123 + 36 =

123 + 30 + 6 = 153 + 6 = 159; 25 + 37 = 20 + 5 + 30 + 7 = 20 + 30 + 5 + 5 + 2 = 50 +

10 →+ 2 = 62; 285 + 123 = 200 + 100 + 80 + 20 + 5 + 3 = 300 + 100 + 8 = 408.

1.6- Soma das parcelas ou do algarismo de suas unidades: 36 + 74 = 74 + 6 + 30 =

80 + 30 = 110.

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2– Relacionadas à subtração:

2.1) Decomposição do número do subtraendo em duas partes de modo que uma

contenha o mesmo valor da unidade expressa no minuendo: 25 – 8 = 25 – (5 + 3) =

(25 – 5) - 3 = 20 – 3 = 17.

2.2) Tira as dezenas do subtraendo e depois as unidades: 200 – 38 = 200 – 30 – 8 =

170 – 8 = 162

2.3) Quando o algarismo da ordem das unidades do minuendo for menor que o

número do subtraendo, decompor o valor do minuendo ou, decompor o valor do

subtraendo de modo que um dos valores seja igual ao da unidade do minuendo: 73

– 9 = 60 + (13 – 9) = 60 + 4 = 64; 73 – 9 = 73 – ( 6 + 3 ) = (73 – 3) – 6 = 70 – 6 = 64.

2.4) Se os algarismos das dezenas forem iguais, basta diminuir os algarismos das

unidades: 28 – 25 = (20-20) + (8-5) = 0 + 3 = 3; 57 – 52 = (50-50)+ 7-2 = 0 + 5 = 5

3 – Relacionadas à multiplicação

Foi explicado para os alunos que, a base para efetuar multiplicações é a

memorização da “tabuada” do 2 até o 9 pois as demais operações estão

subordinadas a esses cálculos. Aliado a esse domínio é necessário que eles

dominem as propriedades da multiplicação, quais sejam: comutatividade,

associatividade, distributividade e ainda, as propriedades das classes e ordens do

Sistema de Numeração decimal. Realizamos algumas atividades que ajudaram o

aluno a desenvolver essas habilidades, lembrado que para mantê-las é necessária a

prática reiterada de exercícios individuais e coletivos.

3.1 – Propriedade comutativa: 8x2=2x8=16; 9x3=3x9=27, etc.

3.2 – Propriedade distributiva: 12 x 3 = (6 + 6) x 3=18 + 18 = 36 ou (10 + 2) x 3= 30 +

6 = 36.

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3.3 – Propriedade associativa: 35 x 2 = 7x5x2=7x(2x5)=7x10=70.

3.4 – Multiplicação por múltiplos de 10: 12x10=120; 12x100=1200;12x1000=12000

etc.

Para auxiliar os alunos no trabalho com a tabuada propomos atividades como

confeccionar a tabuada, montar réguas de Neper, multiplicar com as mãos, etc..

4 – Relacionadas à divisão:

Para a divisão, empregamos a reversibilidade com relação à multiplicação.

Observando as propriedades cabíveis na divisão, verificando que não valem as

mesmas propriedades da multiplicação.

É de fundamental que o aluno compreenda o mecanismo da propriedade da

divisão, qual seja: se multiplicando os fatores obtêm-se um produto então é possível

obter um dos fatores dividindo o produto pelo outro fator.

Também, trabalhamos com os alunos a divisão por múltiplos de 10, quando o

dividendo também é múltiplo de 10, caso em que eliminamos zeros conforme o caso.

230:10=23; 2300:100=23; 23000; 1000=23. Ainda aplicamos mais algumas

estratégias como:

4.1) Decomposição:

369:3=(300+60+9):3=100+20+3=123;

115:5=(100+10+5):5=20+2+1=23.

4.2) Busca do resultado por tentativas:

108:9=(9x10=90→108-90=18→9x2=18) →108:9=12.

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5 – Arredondamentos:

Ainda, explicamos para os alunos que em algumas situações, não há

necessidade de saber o resultado exato, basta ter um valor aproximado, como sendo

uma estimativa. Exemplo: 396:17 ~ 400:20=20.

6 – Mínimo múltiplo comum:

É muito útil saber calcular o mínimo múltiplo comum, sendo muito importante

no trabalho com frações. Principalmente, quando temos que fazer operações

envolvendo frações ou na resolução de problemas e desafios. Os alunos sentem

muitas dificuldades em realizar cálculos do MMC, mas trabalhamos regras práticas

como: Para calcular o m.m.c. entre dois números, devemos primeiro verificar se o

maior é divisível pelo menor, se for, o maior é o m.m.c. Caso não seja, vamos

tentando com o dobro, o triplo, o quádruplo, etc., e dividimos sempre pelo menor,

deu exato, o m.m.c. é o dobro, o triplo, quádruplo, etc., do número maior.

Exemplos: m.m.c. (12, 4) → 12:4 é divisão exata. Logo m.m.c. (12,4)=12;

m.m.c.(7,2) → 7:2 não é divisão exata →14:2 é divisão exata. Logo m.m.c. (7,2)=14.

III–PARTICIPAÇÃO DO GTR

Uma menção importante foi a participação dos professores, no Grupo de

Trabalho em Rede (GTR), quando juntos abordamos o tema, e convém destacar as

opiniões que contribuíram para o presente estudo. Durante a aplicação das

atividades que envolvem cálculo mental, discutimos da seguinte forma:

Olá Cursista,

Já iniciei efetivamente a implementação do projeto na escola. Selecionei alguns

alunos da sétima série e no contra turno tenho trabalho de perto com eles e tenho

verificado a dificuldade de realizar os cálculos mentalmente. Estou incentivando-os a

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exercitarem essa prática, fazendo com que pensem e resolvam as operações

proposta de forma mental. Alguns querem "chorar" (no bom sentido), é claro. Mas eu

incentivo-os dizendo que essa prática é muito boa para o desenvolvimento da

capacidade de realizar de forma mental as operações não só na escola, mas na

vida.

Participante 1

“É muito importante aprender, mas para aprender é necessário dar atenção no

que está sendo ensinado, e por isso é necessário uma seleção, um grupo pequeno

de alunos para que o professor dê uma consideração maior e melhor para cada um.

Em grupos maiores dispersar-se muito a atenção do indivíduo. Desta forma, o

professor percebe mesmo e compreende mais ainda as dificuldades que o ser

humano tem para se concentrar e pensar, e quanto a realizar cálculos pelo

pensamento, mais ainda. Realmente, muitos chegam a não se conformar consigo

mesmo, acharem que são burros e muito devagar. Mas como todo mestre é

paciencioso, e tem o instinto paterno e materno, é sábio, vivido, incentiva, força, leva

o discípulo a aprender a caminhar, a se exercitar e se preparar para a vida...”.

Participante 2

“É mesmo muito importante aprender, sendo necessária a atenção no que o

mestre ensina, pois ensinar por ensinar de nada adianta, pois os seres humanos

querem ser respeitados e amados, lembrando que o maior mandamento é o amor,

então como você cita na sua mensagem temos que desenvolver a paciência para

obter os nossos objetivos com os nossos alunos, é mesmo dando as mãos e

experimentando, estudando juntos.

Concordo plenamente com você, eles querem às vezes desistir, choram pois

na verdade para os alunos são desafios, muitas vezes não conhecidos, mas temos

que encorajar os alunos a prosseguir para desenvolver o potencial que eles

possuem. Digo sempre que eles têm que serem guerreiros que covardes nunca

vencem.”

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Participante 3

“Estou tentando aplicar as sugestões de atividades envolvendo cálculo

mental, e o que percebo é que, os alunos quando começam praticar cálculo mental

sentem-se mais seguros, mais interessados nos conteúdos, os conteúdos passam a

ser mais significativos, eles acompanham o processo de resolução e quando

chegam na resposta correta sozinhos sentem-se recompensados”.

Participante 4

“Estou procurando trabalhar a implementação Pedagógica durante as minhas

aulas nas sétimas séries, verificando com os alunos que é possível trabalhar o

cálculo mental em algumas situações, tornando alguns cálculos mais simples e

rápidos. Percebo que alguns alunos apresentam muitas dificuldades em realizar

cálculos mentalmente, pois não possuem alguns requisitos necessários”.

Participante 5

“Realmente, nossos alunos precisam mesmo de requisitos básicos

necessários para a realização de cálculo mental. Um deles, podemos dizer que é a

memorização da tabuada. Não só da multiplicação, mas da adição, subtração e

divisão. Se conseguirmos fazer com que pelo menos a metade deles consigam

memorizar a tabuada, já é meio caminho andado”.

Participante 6

“Professora a proposta do calculo mental é muito importante os alunos se

interessam muito quando veem o professor realizar os cálculos em sala rapidamente

e de maneira eficiente, gosto de lançar desafios para os alunos e ver se eles

conseguem calcular mais rápido que o professor, claro que uso operações simples

mas faço eles perceberem que o calculo mental da um resultado imediato para as

situações, apresento para eles a maneira que uso nas diferentes operações alguns

acham que é impossível mas encontro também alunos que gostam do desafio e se

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interessam pelos cálculos, seria bom se todos os professores incentivassem o

calculo mental e deixassem calculadora apenas para operações mais complicadas,

na prática incentivamos uma coisa que até os nossos colegas não praticam”.

Participante 7

“Apliquei as atividades do projeto, com os alunos da oitava série da escola

onde trabalho, apesar do grupo ser grande, obtive resultados surpreendentes,

concordo com alguns colegas quando citam que o melhor seria em horário em

contra turno e com um grupo pequeno de alunos, mas na escola onde trabalho com

a 7ª série ou 8º ano à tarde não tem espaço para o trabalho. Notei que o aluno que

não compreendia como resolver a divisão, mesmo usando os dedos da própria mão

poderia chegar ao resultado sem nenhuma anotação escrita, somente com o uso do

cálculo mental, foi surpreendente a questão da potência quando durante a aplicação

das atividades do projeto, descobriram que somando chegavam ao mesmo

resultado.”

A participação dos cursistas foi muito proveitosa, quando apresentaram suas

considerações sobre o cálculo mental. Verificamos as dificuldades, mas por outro

lado, os resultados observados no pouco espaço de tempo, foram significativos para

os alunos envolvidos, pois todos ficavam mais interessados, refletindo desse modo,

na aprendizagem de outros conteúdos.

IV–CONCLUSÃO

A aritmética mental é uma valiosa ferramenta, porém o conhecimento de

tabuadas com as operações básicas é fundamental. Não é possível o aluno de

sétima série ou oitavo ano, fazer cálculos mais elaborados sem que antes tenha

memorizado os cálculos mais simples como a adição, subtração, multiplicação e

divisão, envolvendo números até 100.

Finalmente, observamos que estratégias de composição e decomposição

exigem dos alunos um conhecimento completo do sistema de numeração decimal,

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permitindo a utilização de estratégias diversas, pois as pessoas usam métodos com

os quais se sentem seguras, mesmo que esse método não seja tão “óbvio” sob o

ponto de vista da matemática.

A verbalização das estratégias usadas pelos alunos mostra que mais de uma

regra pode ser aplicada na resolução de problemas. Regras de aproximação dos

números é apenas uma maneira para tornar os números mais manejáveis para o

cálculo mental. Dar tempo aos alunos, pois são necessários muitos exercícios para

criar boas “calculadoras Mentais”.

É necessário valorizar a memorização da tabuada, pois saber alguns cálculos

básicos de memória (cálculos automáticos) ajuda a desenvolver a habilidade de

realizar cálculos mentais. “Pensar com a cabeça” em vez de só “pensar na cabeça”,

aumenta a duração do tempo de atenção, sabendo que, o resultado não é o mais

importante e sim a construção do processo para obtê-lo.

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