Artigo122-Calculo e Armacao de Lajes de Concreto Armado Com a Consideracao Do Momento Volvente

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ISSN 1413-9928

CADERNOS DE

ENGENHARIA DE ESTRUTURASUniversidade de So Paulo Escola de Engenharia de So Carlos Departamento de Engenharia de Estruturas

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Clculo e armao de lajes de concreto armado com a considerao do momento volventeGuilherme Aris Parsekian Mrcio Roberto Silva Corra ________________________________________________________________________________

Nmero 2 So Carlos, 1998

CLCULO E ARMAO DE LAJES DE CONCRETO ARMADO COM A CONSIDERAO DO MOMENTO VOLVENTEGuilherme Aris Parsekian1 & Mrcio Roberto Silva Corra2

RESUMO Para calcular lajes de concreto armado considerando-se todos os esforos resistentes, incluindo-se o momento volvente, necessrio o conhecimento de procedimentos para determinar momentos normais a duas direes escolhidas, segundo as quais sero dispostas as armaduras, que cubram o terno de esforos Mx, My e Mxy. No presente trabalho, so estudados e comparados dois mtodos para armaduras ortogonais: o primeiro baseado na verificao dos momentos normais, de acordo com WOOD (1968), e o segundo baseado no equilbrio de foras, de acordo com LEONHARDT & MNNIG (1978) e um mtodo para o caso de armaduras oblquas entre si, adaptado de WOOD (1968). Com a finalidade de se considerar a resistncia do concreto ao momento volvente no detalhamento das armaduras, so estudadas as resistncias do concreto s tenses cisalhantes devidas fora cortante e ao momento toror e as maneiras de se combinarem essas tenses. Utilizando-se softwares de modelagem de malhas em elementos finitos, processamento e anlise de resultados, fez-se um pequeno estudo de lajes retangulares apoiadas nos quatro lados, procurando-se avaliar as recomendaes existentes na bibliografia especializada, sobre as armaduras de canto necessrias a esse tipo de laje. Fez-se, tambm, uma comparao de detalhamentos das lajes de um pavimento tipo calculadas pelo mtodo dos elementos finitos sem a considerao da rigidez toro e pelo mtodo dos elementos finitos considerando-se a rigidez toro. Palavras-chave: concreto armado; pavimentos de edifcios; lajes; momento volvente; mtodo dos elementos finitos NOTAO UTILIZADA Asx, Asy - reas de armaduras dispostas segundo as direes X e Y - fora de compresso no concreto Fc Fx, Fy - foras segundo as direes X e Y I - momento de inrcia de flexo K - valor absoluto da tangente do ngulo crtico M* x , M* y - momentos fletores equivalentes normais s direes X e Y Mn1 - momento normal correspondente a M*x e M*y - momento normal correspondente a Mx, My e Mxy Mn2 Mn - momento normal ao plano 1

Eng. Civil, Mestre em Engenharia de Estruturas, Aluno de doutorado do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP. E-mail: arispskn@sc.usp.br 2 Eng. Civil, Doutor em Engenharia de Estruturas, Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP. E-mail: correa@sc.usp.br

2 Mn,x, Mn, Ms Mx , My Mxy Mxyc N1, N2 T Tc Tu V Vu al b bw cx , cy d fc fck fy h k w , x, y c t tc td w wd wu1 4 - parcelas do momento normal ao plano , nas direes X e - momento esttico - momentos fletores normais s direes X e Y - momento volvente - momento volvente resistido pelo concreto - foras normais segundo as direes principais 1 e 2 - momento toror - momento toror resistido pelo concreto - momento toror ltimo - fora cortante - fora cortante ltima - distncia do deslocamento de diagrama de momentos - base de uma seo - largura das vigas de seo retangular - cobrimentos segundo as direes X e Y - altura til de uma seo - resistncia do concreto compresso - resistncia caracterstica do concreto compresso - resistncia do ao - altura de uma seo - tangente de ; parmetro para clculo de wu1 - parmetro adimensional para clculo do mdulo de resistncia - coeficiente de segurana do ACI - ngulo de referncia; parmetro para clculo de twu1 - direo crtica - razo entre o maior e o menor lado de uma laje - direo de um plano qualquer - taxas geomtricas de armadura - tenso cisalhante - tenso cisalhante devida fora cortante resistida pelo concreto - tenso cisalhante devida ao momento toror - tenso cisalhante devida ao momento toror resistida pelo - tenso cisalhante de projeto devida ao momento toror - tenso cisalhante devida fora cortante de referncia - tenso cisalhante de projeto devida fora cortante de - tenso cisalhante permitida em lajes sem armadura transversal - parmetro para clculo de wu1

1 INTRODUO Existem vrias maneiras de se calcular a armadura necessria para uma laje. A partir de valores de momentos fletores e volvente (Mx, My e Mxy), pode-se pensar em calcular os valores dos momentos principais e dispor as armaduras segundo as direes principais. Este procedimento tem pouco sentido prtico, uma vez que para cada ponto da laje existem duas direes principais perpendiculares diferentes. Um procedimento bastante utilizado o de desconsiderar a toro na laje, tratando-a como faixas ortogonais fletidas. Desta maneira, tm-se os esforos resistidos

3 apenas por Mx e My, o que implica no aumento dos valores destes momentos e da flecha, porm define as direes x e y como principais. Neste caso, o projetista deve estar sempre atento s regies de canto de laje onde h necessidade de uma armadura de combate aos momentos volventes, apesar de o mtodo de clculo empregado no indicar. Tambm comum os esforos serem calculados com a contribuio de Mxy, porm o valor do momento volvente ser desprezado no detalhamento, sendo as armaduras calculadas simplesmente a partir dos momentos Mx e My. Este procedimento no correto, pois vo existir direes onde os esforos resistentes so menores que os esforos aplicados. Este trabalho nasceu da necessidade de se saber como tratar os momentos Mx e My na presena de Mxy, de maneira prtica e correta. 2 MTODO DE WOOD As rotinas de detalhamento de armaduras segundo duas direes preferenciais, de acordo com WOOD (1968), tm como base o critrio de resistncia do momento normal, conhecido como critrio de Johansen, ou critrio das linhas de plastificao. O * * momento normal a um plano qualquer calculado com os momentos M x e M y (Mn1), correspondentes s armaduras dispostas na laje, deve ser maior ou igual ao momento normal ao mesmo plano dado pelos esforos Mx, My e Mxy (Mn2). A armadura comear a plastificar segundo um plano de menor resistncia.

FIGURA 1 - Terno de esforos Mx, My e Mxy e armaduras segundo as direes X e Y

2.1 Momentos Positivos em Todas as Direes Deve-se ter Mn1 Mn2 ou Mn1 - Mn2 0. A parte esquerda da inequao, aqui chamada de f(), a funo do excesso de momento normal. Substituindo-se Mn1 e Mn2 pelas equaes de transformao tensorial, tem-se:

4

FIGURA 2 - Momentos normais desenvolvidos a partir de Mx, My e Mxy e de M*x e M*y

f( ) = M * .cos 2 + M * .sen 2 M x .cos 2 + M y .sen 2 + M xy .sen .cos 0 x y

... (1) Dividindo-se por cos2 e chamando-se tan de k, tem-se:f ( k ) = M * + M * . k 2 M x M y . k 2 M xy .2. k 0 x y

... (2)

Para cada par de M*x e M*y, tem-se um valor crtico de k, onde a funo f(k) mnima. Para calcular este valor, pode-se utilizar o teste da derivada primeira da funo. Derivando-se a equao (2) e igualando-se a zero, chega-se a:

1 M * = M y + . M xy ... (3) y k

e

k crtico =

M xy M My* y

... (4)

Neste ponto, f(k) deve ser igual a zero para que os momentos normais sejam iguais. Portanto, substituindo-se a eq. (3) na eq. (2) e igualando-se a zero, tem-se:M * = M x + k. M xy x

... (5)

Nas outras direes, f(k) deve ser sempre positivo, ou seja f(kcrtico) deve ser um ponto de mnimo. Para tanto, a segunda derivada da funo deve ser maior que zero:d 2f ( k ) >0 dk 2 2. M * 2. M y > 0 M * > M y ... (6) y y

O valor de kcrtico define a tangente do ngulo onde os momentos normais Mn1 e Mn2 so iguais, sendo esta a direo onde est havendo equilbrio dos esforos aplicados e resistentes. Em um caso limite, apareceriam fissuras segundo esta direo. 1 Se M * = M y + . M xy e M * > M y , chega-se concluso de que M xy / k y y k positivo. Portanto, pode-se adotar k sempre positivo e Mxy em valor absoluto. Ento, podem-se simplificar as expresses fazendo:

5

M * = M x + K . M xy x M* = M y + y 1 . M xy K

... (7)

onde K o valor absoluto de k.

O parmetro K, valor absoluto da tangente do ngulo crtico, determina quanto do momento Mxy ser resistido por Mx e quanto por My. Admitindo-se que o brao de alavanca do momento resistente seja igual para as armaduras em x e y, a quantidade de armadura ser proporcional soma (Mx + My). Para um valor mnimo da rea de armadura, tem-se:d(M * + M * ) x y dK d(M y + K . M xy + M y + dK 1 . M xy ) 1 K = M xy . 1 2 = 0 K = 1 K

= 0

Ento, a forma mais econmica fazer:M * = M x + M xy x M * = M y + M xy y

... (8)

Em alguns casos, como aqueles em que a armadura em uma direo igual armadura mnima, possvel que esta simplificao seja menos eficiente, podendo o projetista determinar qual o momento resistido pela armadura mnima e calcular o correspondente valor de K, com as eqs. (7).2.2 Momentos Negativos em Todas as Direes Para o caso de campos de momentos estritamente negativos, a situao anloga anterior, mudando apenas o posicionamento das armaduras e, consequentemente, o sinal das equaes. Desta forma, tem-se:

M * = M x M xy x M * = M y M xy y

... (9)

2.3 Campos de Momentos Positivos e Negativos Em casos em que um momento principal positivo e o outro negativo, devem ser verificadas tanto as equaes positivas, eqs. (8), quanto as negativas, eqs. (9), podendo existir, em um mesmo ponto da laje, armaduras positivas e negativas. Pode acontecer de, ao se tentar calcular momentos positivos, resulte um momento negativo. O valor negativo no tem significado fsico, pois est se tentando combater um momento positivo (com t