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Capıtulo 1 - Fundamentos de Sinais e Sistemas
Eduardo Mendes (baseado nas notas de aula ECE 222)[email protected]
Departamento de Engenharia EletronicaUniversidade Federal de Minas Gerais
Av. Antonio Carlos 6627, Belo Horizonte, MG, Brasil
– p.1/143
Motivacao
Um dos problemas mais simples discutidos na literatura desistemas e o sistema massa-mola. Considere, portanto, oseguinte sistema massa-mola.
Qual e a equacao dinamica de sistema?
Que tipo de informacao ela possui?
– p.2/143
Motivacao
Um dos problemas mais simples discutidos na literatura desistemas e o sistema massa-mola. Considere, portanto, oseguinte sistema massa-mola.
Qual e a equacao dinamica de sistema?
Que tipo de informacao ela possui?
– p.2/143
Massa-Mola
Para encontrar a equacao dinamica do sistema e precisoaplicar a segunda Lei de Newton, ou seja:
my =∑
forcas = −ky + mg
my + ky = mg
A forca gravitacional e compensada pelo deslocalamentoδ. Podemos, entao, escrever a equacao como:
mx + k(x + δ) = mg
Na equacao acima y = x + δ, logo y = ˙x + δ = x ey = ¨x + δ = x
Finalmentemx + kx = 0
– p.3/143
Massa-Mola
Para encontrar a equacao dinamica do sistema e precisoaplicar a segunda Lei de Newton, ou seja:
my =∑
forcas = −ky + mg
my + ky = mg
A forca gravitacional e compensada pelo deslocalamentoδ. Podemos, entao, escrever a equacao como:
mx + k(x + δ) = mg
Na equacao acima y = x + δ, logo y = ˙x + δ = x ey = ¨x + δ = x
Finalmentemx + kx = 0
– p.3/143
Massa-Mola
Para encontrar a equacao dinamica do sistema e precisoaplicar a segunda Lei de Newton, ou seja:
my =∑
forcas = −ky + mg
my + ky = mg
A forca gravitacional e compensada pelo deslocalamentoδ. Podemos, entao, escrever a equacao como:
mx + k(x + δ) = mg
Na equacao acima y = x + δ, logo y = ˙x + δ = x ey = ¨x + δ = x
Finalmentemx + kx = 0
– p.3/143
Massa-Mola
Para encontrar a equacao dinamica do sistema e precisoaplicar a segunda Lei de Newton, ou seja:
my =∑
forcas = −ky + mg
my + ky = mg
A forca gravitacional e compensada pelo deslocalamentoδ. Podemos, entao, escrever a equacao como:
mx + k(x + δ) = mg
Na equacao acima y = x + δ, logo y = ˙x + δ = x ey = ¨x + δ = x
Finalmentemx + kx = 0
– p.3/143
Precisamos saber qual e a solucao para a equacaoencontrada. Entre outros assuntos de grande importanciaque estudaremos neste curso, encontra-se a Transformadade Laplace.
m[s2X(s) − sx(0) − x(0)
]+ kX(s) = 0
(ms2 + k)X(s) = mx(0) + msx(0)
Isolando X(s)
X(s) =x(0)
s2 + km
+sx(0)
s2 + km
=
√m
kx(0)
√
k/m
s2 + (√
k/m)2+ x(0)
s
s2 + (√
k/m)2
A solucao e:
x(t) =
√m
kx(0)sin
(√
k/mt)
+ x(0)cos(√
k/mt)
– p.4/143
Precisamos saber qual e a solucao para a equacaoencontrada. Entre outros assuntos de grande importanciaque estudaremos neste curso, encontra-se a Transformadade Laplace.
m[s2X(s) − sx(0) − x(0)
]+ kX(s) = 0
(ms2 + k)X(s) = mx(0) + msx(0)
Isolando X(s)
X(s) =x(0)
s2 + km
+sx(0)
s2 + km
=
√m
kx(0)
√
k/m
s2 + (√
k/m)2+ x(0)
s
s2 + (√
k/m)2
A solucao e:
x(t) =
√m
kx(0)sin
(√
k/mt)
+ x(0)cos(√
k/mt)
– p.4/143
Precisamos saber qual e a solucao para a equacaoencontrada. Entre outros assuntos de grande importanciaque estudaremos neste curso, encontra-se a Transformadade Laplace.
m[s2X(s) − sx(0) − x(0)
]+ kX(s) = 0
(ms2 + k)X(s) = mx(0) + msx(0)
Isolando X(s)
X(s) =x(0)
s2 + km
+sx(0)
s2 + km
=
√m
kx(0)
√
k/m
s2 + (√
k/m)2+ x(0)
s
s2 + (√
k/m)2
A solucao e:
x(t) =
√m
kx(0)sin
(√
k/mt)
+ x(0)cos(√
k/mt)
– p.4/143
Informacoes sobre o sistema Massa-Mola
Da equacao x(t) =√
mk
x(0)sin(√
k/mt)
+ x(0)cos(√
k/mt)
sabemos que o sistema oscila com perıodo T = 2π√k
m
segundos, f = 1T
=
√k
m
2πhertz e ωn = 2πf =
√km
rad/s.
Podemos escrever a equacao x + km
x = 0 na forma
x + ω2nx = 0
– p.5/143
Informacoes sobre o sistema Massa-Mola
Da equacao x(t) =√
mk
x(0)sin(√
k/mt)
+ x(0)cos(√
k/mt)
sabemos que o sistema oscila com perıodo T = 2π√k
m
segundos, f = 1T
=
√k
m
2πhertz e ωn = 2πf =
√km
rad/s.
Podemos escrever a equacao x + km
x = 0 na forma
x + ω2nx = 0
– p.5/143
Aplicacao dos resultados na pratica
Podemos utilizar a informacao para obter o momento de inerciado seguinte corpo
Assume-se que:
o corpo e rıgido e homogeneo;
os rolamentos nao possuem atrito;
o valor da constante da mola e conhecido;
a mola e torcida levemente;
o sinal resultante e colhido.
– p.6/143
Aplicacao dos resultados na pratica
Podemos utilizar a informacao para obter o momento de inerciado seguinte corpo
Assume-se que:
o corpo e rıgido e homogeneo;
os rolamentos nao possuem atrito;
o valor da constante da mola e conhecido;
a mola e torcida levemente;
o sinal resultante e colhido.
– p.6/143
Aplicacao dos resultados na pratica
Podemos utilizar a informacao para obter o momento de inerciado seguinte corpo
Assume-se que:
o corpo e rıgido e homogeneo;
os rolamentos nao possuem atrito;
o valor da constante da mola e conhecido;
a mola e torcida levemente;
o sinal resultante e colhido.
– p.6/143
Aplicacao dos resultados na pratica
Podemos utilizar a informacao para obter o momento de inerciado seguinte corpo
Assume-se que:
o corpo e rıgido e homogeneo;
os rolamentos nao possuem atrito;
o valor da constante da mola e conhecido;
a mola e torcida levemente;
o sinal resultante e colhido.
– p.6/143
Aplicacao dos resultados na pratica
Podemos utilizar a informacao para obter o momento de inerciado seguinte corpo
Assume-se que:
o corpo e rıgido e homogeneo;
os rolamentos nao possuem atrito;
o valor da constante da mola e conhecido;
a mola e torcida levemente;
o sinal resultante e colhido.
– p.6/143
Analogo ao movimento translacional, o movimentorotacional e governado pela seguinte equacao diferencial:
θ +k
Jθ = 0
A frequencia natural e portanto:
ωn =
√
k
J
e o perıodo:
T =2π√
kJ
O momento de inercia pode ser obtido como:
J =kT 2
4π2
– p.7/143
Analogo ao movimento translacional, o movimentorotacional e governado pela seguinte equacao diferencial:
θ +k
Jθ = 0
A frequencia natural e portanto:
ωn =
√
k
J
e o perıodo:
T =2π√
kJ
O momento de inercia pode ser obtido como:
J =kT 2
4π2
– p.7/143
Analogo ao movimento translacional, o movimentorotacional e governado pela seguinte equacao diferencial:
θ +k
Jθ = 0
A frequencia natural e portanto:
ωn =
√
k
J
e o perıodo:
T =2π√
kJ
O momento de inercia pode ser obtido como:
J =kT 2
4π2
– p.7/143
Sistema Massa-Mola-AmortecedorDeterminar a equacao de movimento do seguinte sistema
– p.8/143
Solucao
Usando a mesma estrategia do sistema Massa-Mola, temos:
mx =∑
forcas = −kx − bx
mx + bx + kx = 0
Considerando m = 0.1 kg, b = 0.4 Nsm
e k = 4 Nm
, temos:
0.1x + 0.4x + 4x = 0
x + 4x + 40x = 0
A solucao para x(0) = x0 e x(0) = 0 e:
x(t) = e−3t
(1
3sin(6t) + cos(6t)
)
x0
– p.9/143
Solucao
Usando a mesma estrategia do sistema Massa-Mola, temos:
mx =∑
forcas = −kx − bx
mx + bx + kx = 0
Considerando m = 0.1 kg, b = 0.4 Nsm
e k = 4 Nm
, temos:
0.1x + 0.4x + 4x = 0
x + 4x + 40x = 0
A solucao para x(0) = x0 e x(0) = 0 e:
x(t) = e−3t
(1
3sin(6t) + cos(6t)
)
x0
– p.9/143
Solucao
Usando a mesma estrategia do sistema Massa-Mola, temos:
mx =∑
forcas = −kx − bx
mx + bx + kx = 0
Considerando m = 0.1 kg, b = 0.4 Nsm
e k = 4 Nm
, temos:
0.1x + 0.4x + 4x = 0
x + 4x + 40x = 0
A solucao para x(0) = x0 e x(0) = 0 e:
x(t) = e−3t
(1
3sin(6t) + cos(6t)
)
x0
– p.9/143
CilindroDeterminar a equacao de movimento do seguinte sistema
– p.10/143
Solucao
A energia cinetica do sistema e:
1
2mx2 +
1
2Jθ2
A energia potencial e:1
2kx2
Portanto, a energia total e:
1
2mx2 +
1
2Jθ2 +
1
2kx2 = constante
Considerando que o cilindro rola sem deslizamento x = Rθ enotanto que J = 1
2mR2, podemos escrever:
3
2mx2 +
1
2kx2 = constante
– p.11/143
Solucao
A energia cinetica do sistema e:
1
2mx2 +
1
2Jθ2
A energia potencial e:1
2kx2
Portanto, a energia total e:
1
2mx2 +
1
2Jθ2 +
1
2kx2 = constante
Considerando que o cilindro rola sem deslizamento x = Rθ enotanto que J = 1
2mR2, podemos escrever:
3
2mx2 +
1
2kx2 = constante
– p.11/143
Solucao
A energia cinetica do sistema e:
1
2mx2 +
1
2Jθ2
A energia potencial e:1
2kx2
Portanto, a energia total e:
1
2mx2 +
1
2Jθ2 +
1
2kx2 = constante
Considerando que o cilindro rola sem deslizamento x = Rθ enotanto que J = 1
2mR2, podemos escrever:
3
2mx2 +
1
2kx2 = constante
– p.11/143
Solucao
A energia cinetica do sistema e:
1
2mx2 +
1
2Jθ2
A energia potencial e:1
2kx2
Portanto, a energia total e:
1
2mx2 +
1
2Jθ2 +
1
2kx2 = constante
Considerando que o cilindro rola sem deslizamento x = Rθ enotanto que J = 1
2mR2, podemos escrever:
3
2mx2 +
1
2kx2 = constante
– p.11/143
Derivando, em relacao a t, os dois lados na ultima equacao:
3
2mxx + kxx = 0
(
mx +2
3kx
)
x = 0
x = 0 nao pode ser zero o tempo todo, logo
mx +2
3kx = 0
– p.12/143
Derivando, em relacao a t, os dois lados na ultima equacao:
3
2mxx + kxx = 0
(
mx +2
3kx
)
x = 0
x = 0 nao pode ser zero o tempo todo, logo
mx +2
3kx = 0
– p.12/143
Modelagem Baseada na Fısica do Pro-cesso
– p.13/143
Modelagem Baseada na Fısica do Pro-cessoConsideracoes simplificadoras:
o sistema sera considerado a parametros concentrados;
a perda de carga dentro dos dutos sera desprezada;
a area do tanque e constante;
a dinamica do inversor e do conjunto moto-bomba podeser desprezada;
a agua e incompressıvel e seu peso especıfico nao varia;
a pressao atmosferica em cada ponto da planta piloto e amesma.
– p.14/143
Modelagem Baseada na Fısica do Pro-cessoConsideracoes simplificadoras:
o sistema sera considerado a parametros concentrados;
a perda de carga dentro dos dutos sera desprezada;
a area do tanque e constante;
a dinamica do inversor e do conjunto moto-bomba podeser desprezada;
a agua e incompressıvel e seu peso especıfico nao varia;
a pressao atmosferica em cada ponto da planta piloto e amesma.
– p.14/143
Modelagem Baseada na Fısica do Pro-cessoConsideracoes simplificadoras:
o sistema sera considerado a parametros concentrados;
a perda de carga dentro dos dutos sera desprezada;
a area do tanque e constante;
a dinamica do inversor e do conjunto moto-bomba podeser desprezada;
a agua e incompressıvel e seu peso especıfico nao varia;
a pressao atmosferica em cada ponto da planta piloto e amesma.
– p.14/143
Modelagem Baseada na Fısica do Pro-cessoConsideracoes simplificadoras:
o sistema sera considerado a parametros concentrados;
a perda de carga dentro dos dutos sera desprezada;
a area do tanque e constante;
a dinamica do inversor e do conjunto moto-bomba podeser desprezada;
a agua e incompressıvel e seu peso especıfico nao varia;
a pressao atmosferica em cada ponto da planta piloto e amesma.
– p.14/143
Modelagem Baseada na Fısica do Pro-cessoConsideracoes simplificadoras:
o sistema sera considerado a parametros concentrados;
a perda de carga dentro dos dutos sera desprezada;
a area do tanque e constante;
a dinamica do inversor e do conjunto moto-bomba podeser desprezada;
a agua e incompressıvel e seu peso especıfico nao varia;
a pressao atmosferica em cada ponto da planta piloto e amesma.
– p.14/143
Modelagem Baseada na Fısica do Pro-cessoConsideracoes simplificadoras:
o sistema sera considerado a parametros concentrados;
a perda de carga dentro dos dutos sera desprezada;
a area do tanque e constante;
a dinamica do inversor e do conjunto moto-bomba podeser desprezada;
a agua e incompressıvel e seu peso especıfico nao varia;
a pressao atmosferica em cada ponto da planta piloto e amesma.
– p.14/143
A equacao diferencial
O ponto de partida na modelagem deste sistema e
d m
dt= ωi − ωo,
Como m = V ρ e a area do tanque e constante, tem-se
m = Ahρ,
ρ e a massa especıfica e h e a altura.
Podemos escrever
ρAd h
dt= qiρ − qoρ
d h
dt=
qi − qo
A,
qi e qo: vazoes volumetricas.
– p.15/143
A equacao diferencial
O ponto de partida na modelagem deste sistema e
d m
dt= ωi − ωo,
Como m = V ρ e a area do tanque e constante, tem-se
m = Ahρ,
ρ e a massa especıfica e h e a altura.
Podemos escrever
ρAd h
dt= qiρ − qoρ
d h
dt=
qi − qo
A,
qi e qo: vazoes volumetricas.
– p.15/143
A equacao diferencial
O ponto de partida na modelagem deste sistema e
d m
dt= ωi − ωo,
Como m = V ρ e a area do tanque e constante, tem-se
m = Ahρ,
ρ e a massa especıfica e h e a altura.
Podemos escrever
ρAd h
dt= qiρ − qoρ
d h
dt=
qi − qo
A,
qi e qo: vazoes volumetricas. – p.15/143
Relacoes algebricas
Usando a lei de Bernoulli, tem-se
q = k√
∆P .
Para a tubulacao de saıda de agua, tem-se
qo = ko
√
P − Patm.
Para o duto de recalque, tem-se
qi = ki
√
Pb − P .
– p.16/143
Relacoes algebricas
Usando a lei de Bernoulli, tem-se
q = k√
∆P .
Para a tubulacao de saıda de agua, tem-se
qo = ko
√
P − Patm.
Para o duto de recalque, tem-se
qi = ki
√
Pb − P .
– p.16/143
Relacoes algebricas
Usando a lei de Bernoulli, tem-se
q = k√
∆P .
Para a tubulacao de saıda de agua, tem-se
qo = ko
√
P − Patm.
Para o duto de recalque, tem-se
qi = ki
√
Pb − P .
– p.16/143
Usando-se o peso especıfico da agua γ, tem-se
P = γh + Patm,
d h
dt=
ki
√Pb − γh − Patm − ko
√γh
A.
– p.17/143
Sunspots
Sunspots sao manchas escuras de diametro em torno de 50.000milhas que movem na superfıcie do sol. As manchas contraem eexpandem a medida que desaparecem.
Como saber o ciclo de aumentos e diminuicoes das manchassolares?
– p.18/143
Colocando em um grafico o numero de observacoes dasmanchas solares no ano, temos:
– p.19/143
Fast Fourier TransformUtilizando a FFT (Fast Fourier Transform) podemos determinarque existe um ciclo de aproximadamente 11 anos!
Para entendermos o comportamento de sistemas e analisarsinais e que estudamos Fourier, Laplace e Z.
– p.20/143
Fast Fourier TransformUtilizando a FFT (Fast Fourier Transform) podemos determinarque existe um ciclo de aproximadamente 11 anos!
Para entendermos o comportamento de sistemas e analisarsinais e que estudamos Fourier, Laplace e Z.
– p.20/143
Efeitos dos Sunspots
– p.21/143
Efeitos dos Sunspots
– p.22/143
Fundamentos de SinaisDefinicao
Exemplos
Energia e Potencia
Transformacoes de Sinais
Sinais Periodicos
Simetria
Sinais Exponenciais e Senoidais
Funcoes ”Base”
– p.23/143
Fundamentos de SinaisDefinicao
Exemplos
Energia e Potencia
Transformacoes de Sinais
Sinais Periodicos
Simetria
Sinais Exponenciais e Senoidais
Funcoes ”Base”
– p.23/143
Fundamentos de SinaisDefinicao
Exemplos
Energia e Potencia
Transformacoes de Sinais
Sinais Periodicos
Simetria
Sinais Exponenciais e Senoidais
Funcoes ”Base”
– p.23/143
Fundamentos de SinaisDefinicao
Exemplos
Energia e Potencia
Transformacoes de Sinais
Sinais Periodicos
Simetria
Sinais Exponenciais e Senoidais
Funcoes ”Base”
– p.23/143
Fundamentos de SinaisDefinicao
Exemplos
Energia e Potencia
Transformacoes de Sinais
Sinais Periodicos
Simetria
Sinais Exponenciais e Senoidais
Funcoes ”Base”
– p.23/143
Fundamentos de SinaisDefinicao
Exemplos
Energia e Potencia
Transformacoes de Sinais
Sinais Periodicos
Simetria
Sinais Exponenciais e Senoidais
Funcoes ”Base”
– p.23/143
Fundamentos de SinaisDefinicao
Exemplos
Energia e Potencia
Transformacoes de Sinais
Sinais Periodicos
Simetria
Sinais Exponenciais e Senoidais
Funcoes ”Base”
– p.23/143
Fundamentos de SinaisDefinicao
Exemplos
Energia e Potencia
Transformacoes de Sinais
Sinais Periodicos
Simetria
Sinais Exponenciais e Senoidais
Funcoes ”Base”
– p.23/143
Exemplos de Sinais
Definicao:podemos dizer que sinal e uma abstracao de qualquerquantidade mensuravel que e uma funcao de uma ou maisvariaveis independentes (por exemplo, tempo ou espaco) eque carrega informacao da natureza de um fenomeno.
Exemplo:
Tensao ou corrente em um circuito
Vıdeo e audio
Indice Bovespa
Eletrocardiograma, Eletroencefalograma etc.
Asin(ωt)
Vibracao no volante do carro
Concentracao de cloro na agua
Solucao de uma equacao diferencial
– p.24/143
Exemplos de Sinais
Definicao:podemos dizer que sinal e uma abstracao de qualquerquantidade mensuravel que e uma funcao de uma ou maisvariaveis independentes (por exemplo, tempo ou espaco) eque carrega informacao da natureza de um fenomeno.
Exemplo:
Tensao ou corrente em um circuito
Vıdeo e audio
Indice Bovespa
Eletrocardiograma, Eletroencefalograma etc.
Asin(ωt)
Vibracao no volante do carro
Concentracao de cloro na agua
Solucao de uma equacao diferencial
– p.24/143
Exemplos de Sinais
Definicao:podemos dizer que sinal e uma abstracao de qualquerquantidade mensuravel que e uma funcao de uma ou maisvariaveis independentes (por exemplo, tempo ou espaco) eque carrega informacao da natureza de um fenomeno.
Exemplo:
Tensao ou corrente em um circuito
Vıdeo e audio
Indice Bovespa
Eletrocardiograma, Eletroencefalograma etc.
Asin(ωt)
Vibracao no volante do carro
Concentracao de cloro na agua
Solucao de uma equacao diferencial
– p.24/143
Exemplos de Sinais
Definicao:podemos dizer que sinal e uma abstracao de qualquerquantidade mensuravel que e uma funcao de uma ou maisvariaveis independentes (por exemplo, tempo ou espaco) eque carrega informacao da natureza de um fenomeno.
Exemplo:
Tensao ou corrente em um circuito
Vıdeo e audio
Indice Bovespa
Eletrocardiograma, Eletroencefalograma etc.
Asin(ωt)
Vibracao no volante do carro
Concentracao de cloro na agua
Solucao de uma equacao diferencial
– p.24/143
Exemplos de Sinais
Definicao:podemos dizer que sinal e uma abstracao de qualquerquantidade mensuravel que e uma funcao de uma ou maisvariaveis independentes (por exemplo, tempo ou espaco) eque carrega informacao da natureza de um fenomeno.
Exemplo:
Tensao ou corrente em um circuito
Vıdeo e audio
Indice Bovespa
Eletrocardiograma, Eletroencefalograma etc.
Asin(ωt)
Vibracao no volante do carro
Concentracao de cloro na agua
Solucao de uma equacao diferencial
– p.24/143
Exemplos de Sinais
Definicao:podemos dizer que sinal e uma abstracao de qualquerquantidade mensuravel que e uma funcao de uma ou maisvariaveis independentes (por exemplo, tempo ou espaco) eque carrega informacao da natureza de um fenomeno.
Exemplo:
Tensao ou corrente em um circuito
Vıdeo e audio
Indice Bovespa
Eletrocardiograma, Eletroencefalograma etc.
Asin(ωt)
Vibracao no volante do carro
Concentracao de cloro na agua
Solucao de uma equacao diferencial
– p.24/143
Exemplos de Sinais
Definicao:podemos dizer que sinal e uma abstracao de qualquerquantidade mensuravel que e uma funcao de uma ou maisvariaveis independentes (por exemplo, tempo ou espaco) eque carrega informacao da natureza de um fenomeno.
Exemplo:
Tensao ou corrente em um circuito
Vıdeo e audio
Indice Bovespa
Eletrocardiograma, Eletroencefalograma etc.
Asin(ωt)
Vibracao no volante do carro
Concentracao de cloro na agua
Solucao de uma equacao diferencial
– p.24/143
Exemplos de Sinais
Definicao:podemos dizer que sinal e uma abstracao de qualquerquantidade mensuravel que e uma funcao de uma ou maisvariaveis independentes (por exemplo, tempo ou espaco) eque carrega informacao da natureza de um fenomeno.
Exemplo:
Tensao ou corrente em um circuito
Vıdeo e audio
Indice Bovespa
Eletrocardiograma, Eletroencefalograma etc.
Asin(ωt)
Vibracao no volante do carro
Concentracao de cloro na agua
Solucao de uma equacao diferencial – p.24/143
Sinais ContınuosNormalmente podem ser escritos com uma funcao davariavel t
No curso procuraremos usar parentesis para funcoescontınuas no tempo
Exemplo: x(t)
t e variavel independente contınua (conjunto dos reais).
– p.25/143
Sinais ContınuosNormalmente podem ser escritos com uma funcao davariavel t
No curso procuraremos usar parentesis para funcoescontınuas no tempo
Exemplo: x(t)
t e variavel independente contınua (conjunto dos reais).
– p.25/143
Sinais ContınuosNormalmente podem ser escritos com uma funcao davariavel t
No curso procuraremos usar parentesis para funcoescontınuas no tempo
Exemplo: x(t)
t e variavel independente contınua (conjunto dos reais).
– p.25/143
Sinais ContınuosNormalmente podem ser escritos com uma funcao davariavel t
No curso procuraremos usar parentesis para funcoescontınuas no tempo
Exemplo: x(t)
t e variavel independente contınua (conjunto dos reais).
– p.25/143
Sinais DiscretosNormalmente podem ser escritos com uma funcao davariavel n
No curso procuraremos usar colchetes para funcoesdiscretas no tempo
Exemplo: x[n]
n e variavel independente discreta (conjunto dos inteiros).
– p.26/143
Sinais DiscretosNormalmente podem ser escritos com uma funcao davariavel n
No curso procuraremos usar colchetes para funcoesdiscretas no tempo
Exemplo: x[n]
n e variavel independente discreta (conjunto dos inteiros).
– p.26/143
Sinais DiscretosNormalmente podem ser escritos com uma funcao davariavel n
No curso procuraremos usar colchetes para funcoesdiscretas no tempo
Exemplo: x[n]
n e variavel independente discreta (conjunto dos inteiros).
– p.26/143
Sinais DiscretosNormalmente podem ser escritos com uma funcao davariavel n
No curso procuraremos usar colchetes para funcoesdiscretas no tempo
Exemplo: x[n]
n e variavel independente discreta (conjunto dos inteiros).
– p.26/143
Resposta ao Impulso
– p.27/143
Registro de um micro-eletrodo
– p.28/143
Eletrocardiograma
– p.29/143
Pressao Arterial
– p.30/143
Sinal de Voz
– p.31/143
Sinal Caotico
– p.32/143
Potencia e Energia de um Sinal
Potencia Instantanea de um sinal
P = |x(t)|2 P = |x[n]|2
Energia de um sinal
E =
∫ t1
t0
|x(t)|2dt E =
n1∑
n=n0
|x[n]|2
Potencia Media de um sinal
P =1
t1 − t0
∫ t1
t0
|x(t)|2dt P =1
n1 − n0
n1∑
n=n0
|x[n]|2
– p.33/143
Potencia e Energia de um Sinal
Potencia Instantanea de um sinal
P = |x(t)|2 P = |x[n]|2
Energia de um sinal
E =
∫ t1
t0
|x(t)|2dt E =
n1∑
n=n0
|x[n]|2
Potencia Media de um sinal
P =1
t1 − t0
∫ t1
t0
|x(t)|2dt P =1
n1 − n0
n1∑
n=n0
|x[n]|2
– p.33/143
Potencia e Energia de um Sinal
Potencia Instantanea de um sinal
P = |x(t)|2 P = |x[n]|2
Energia de um sinal
E =
∫ t1
t0
|x(t)|2dt E =
n1∑
n=n0
|x[n]|2
Potencia Media de um sinal
P =1
t1 − t0
∫ t1
t0
|x(t)|2dt P =1
n1 − n0
n1∑
n=n0
|x[n]|2
– p.33/143
Potencia e Energia de um Sinal ∞Normalmente usamos os limites de integracao (soma) sobretodo o conjunto dos reais (inteiros), logo:
E∞ =
∫ ∞
−∞
|x(t)|2dt E∞ =∞∑
n=−∞
|x[n]|2
P∞ = limT→∞
1
2T
∫ T
−T
|x(t)|2dt P∞ = limN→∞
1
2N + 1
N∑
n=−N
|x[n]|2
– p.34/143
Exemplo
Considere o sinal
x(t) =
t, 0 ≤ t ≤ 1
2 − t, 1 ≤ t ≤ 2
0 caso contrario
Calcule a energia do sistema
– p.35/143
Solucao
Usando a definicao de Energia, temos:
E =
∫ 1
0
t2dt +
∫ 2
1
(2 − t)2dt
=t3
3
∣∣∣∣
1
0
− 1
3(2 − t)3
∣∣∣∣
2
1
=1
3+
1
3=
2
3
– p.36/143
Comentarios
Sinais de energia finita tem potencia media zero:E∞ < ∞ → P∞ = 0
Sinais de duracao e amplitude finitas tem energia finita:x(t) = 0 para |t| > c → E∞ < ∞Sinais com potencia media finita tem energia infinita:P∞ > 0 → E∞ = ∞
– p.37/143
Comentarios
Sinais de energia finita tem potencia media zero:E∞ < ∞ → P∞ = 0
Sinais de duracao e amplitude finitas tem energia finita:x(t) = 0 para |t| > c → E∞ < ∞
Sinais com potencia media finita tem energia infinita:P∞ > 0 → E∞ = ∞
– p.37/143
Comentarios
Sinais de energia finita tem potencia media zero:E∞ < ∞ → P∞ = 0
Sinais de duracao e amplitude finitas tem energia finita:x(t) = 0 para |t| > c → E∞ < ∞Sinais com potencia media finita tem energia infinita:P∞ > 0 → E∞ = ∞
– p.37/143
Transformacoes de Sinais
Deslocamento no tempo: x(t − t0) e x[n − n0]
Se t0 > 0 ou n0 > 0 entao o sinal e deslocado para adireita
Se t0 < 0 ou n0 < 0 entao o sinal e deslocado para aesquerda
Reflexao temporal: x(−t) e x[−n]
Mudanca da escala de tempo: x(αt) ou x[αn]
Se α > 1 o sinal e comprimido
Se 1 > α > 0 o sinal e expandido
– p.38/143
Transformacoes de Sinais
Deslocamento no tempo: x(t − t0) e x[n − n0]
Se t0 > 0 ou n0 > 0 entao o sinal e deslocado para adireita
Se t0 < 0 ou n0 < 0 entao o sinal e deslocado para aesquerda
Reflexao temporal: x(−t) e x[−n]
Mudanca da escala de tempo: x(αt) ou x[αn]
Se α > 1 o sinal e comprimido
Se 1 > α > 0 o sinal e expandido
– p.38/143
Transformacoes de Sinais
Deslocamento no tempo: x(t − t0) e x[n − n0]
Se t0 > 0 ou n0 > 0 entao o sinal e deslocado para adireita
Se t0 < 0 ou n0 < 0 entao o sinal e deslocado para aesquerda
Reflexao temporal: x(−t) e x[−n]
Mudanca da escala de tempo: x(αt) ou x[αn]
Se α > 1 o sinal e comprimido
Se 1 > α > 0 o sinal e expandido
– p.38/143
Transformacoes de Sinais
Deslocamento no tempo: x(t − t0) e x[n − n0]
Se t0 > 0 ou n0 > 0 entao o sinal e deslocado para adireita
Se t0 < 0 ou n0 < 0 entao o sinal e deslocado para aesquerda
Reflexao temporal: x(−t) e x[−n]
Mudanca da escala de tempo: x(αt) ou x[αn]
Se α > 1 o sinal e comprimido
Se 1 > α > 0 o sinal e expandido
– p.38/143
Transformacoes de Sinais
Deslocamento no tempo: x(t − t0) e x[n − n0]
Se t0 > 0 ou n0 > 0 entao o sinal e deslocado para adireita
Se t0 < 0 ou n0 < 0 entao o sinal e deslocado para aesquerda
Reflexao temporal: x(−t) e x[−n]
Mudanca da escala de tempo: x(αt) ou x[αn]
Se α > 1 o sinal e comprimido
Se 1 > α > 0 o sinal e expandido
– p.38/143
Transformacoes de Sinais
Deslocamento no tempo: x(t − t0) e x[n − n0]
Se t0 > 0 ou n0 > 0 entao o sinal e deslocado para adireita
Se t0 < 0 ou n0 < 0 entao o sinal e deslocado para aesquerda
Reflexao temporal: x(−t) e x[−n]
Mudanca da escala de tempo: x(αt) ou x[αn]
Se α > 1 o sinal e comprimido
Se 1 > α > 0 o sinal e expandido
– p.38/143
Transformacoes de Sinais
Deslocamento no tempo: x(t − t0) e x[n − n0]
Se t0 > 0 ou n0 > 0 entao o sinal e deslocado para adireita
Se t0 < 0 ou n0 < 0 entao o sinal e deslocado para aesquerda
Reflexao temporal: x(−t) e x[−n]
Mudanca da escala de tempo: x(αt) ou x[αn]
Se α > 1 o sinal e comprimido
Se 1 > α > 0 o sinal e expandido
– p.38/143
Exemplo 1
Considere o sinal mostrado na figura abaixo. Esbocey(t) = x
(1 − t
2
)
– p.39/143
Solucao Exemplo 1
Obs.: O deslocamento deve ser aplicado primeiramente.
Considere a transformacao
y(t) = x(at + b)
Deseja-se saber y(t):
Troque t por τ
Encontre o valor t considerando τ = at + b, ou seja:
t =τ
a− b
a
Esboce o eixo t transformado logo abaixo do eixo τ
Esboce y(t)
– p.40/143
Solucao Exemplo 1
Obs.: O deslocamento deve ser aplicado primeiramente.
Considere a transformacao
y(t) = x(at + b)
Deseja-se saber y(t):
Troque t por τ
Encontre o valor t considerando τ = at + b, ou seja:
t =τ
a− b
a
Esboce o eixo t transformado logo abaixo do eixo τ
Esboce y(t)
– p.40/143
Solucao Exemplo 1
Obs.: O deslocamento deve ser aplicado primeiramente.
Considere a transformacao
y(t) = x(at + b)
Deseja-se saber y(t):
Troque t por τ
Encontre o valor t considerando τ = at + b, ou seja:
t =τ
a− b
a
Esboce o eixo t transformado logo abaixo do eixo τ
Esboce y(t)
– p.40/143
Solucao Exemplo 1
Obs.: O deslocamento deve ser aplicado primeiramente.
Considere a transformacao
y(t) = x(at + b)
Deseja-se saber y(t):
Troque t por τ
Encontre o valor t considerando τ = at + b, ou seja:
t =τ
a− b
a
Esboce o eixo t transformado logo abaixo do eixo τ
Esboce y(t)
– p.40/143
Solucao - Exemplo 1
– p.41/143
Exemplo 2
Considere o sinal do exemplo anterior. Esboce y(t) = 3x(1 − t
2
)−2
– p.42/143
Simetria Par e Impar
xp(t) =1
2(x(t) + x(−t))
xi(t) =1
2(x(t) − x(−t))
xo(t) + xi(t) = x(t)
Um sinal e par se e somente se x(t) = x(−t)
Um sinal e ımpar se e somente se x(t) = −x(−t)
Qualquer sinal pode ser escrito como uma soma de um sinalpar e ımpar
cos(kω0t) e uma sinal par
sin(kω0t) e uma sinal ımpar
– p.43/143
Simetria Par e Impar
xp(t) =1
2(x(t) + x(−t))
xi(t) =1
2(x(t) − x(−t))
xo(t) + xi(t) = x(t)
Um sinal e par se e somente se x(t) = x(−t)
Um sinal e ımpar se e somente se x(t) = −x(−t)
Qualquer sinal pode ser escrito como uma soma de um sinalpar e ımpar
cos(kω0t) e uma sinal par
sin(kω0t) e uma sinal ımpar
– p.43/143
Simetria Par e Impar
xp(t) =1
2(x(t) + x(−t))
xi(t) =1
2(x(t) − x(−t))
xo(t) + xi(t) = x(t)
Um sinal e par se e somente se x(t) = x(−t)
Um sinal e ımpar se e somente se x(t) = −x(−t)
Qualquer sinal pode ser escrito como uma soma de um sinalpar e ımpar
cos(kω0t) e uma sinal par
sin(kω0t) e uma sinal ımpar
– p.43/143
Simetria Par e Impar
xp(t) =1
2(x(t) + x(−t))
xi(t) =1
2(x(t) − x(−t))
xo(t) + xi(t) = x(t)
Um sinal e par se e somente se x(t) = x(−t)
Um sinal e ımpar se e somente se x(t) = −x(−t)
Qualquer sinal pode ser escrito como uma soma de um sinalpar e ımpar
cos(kω0t) e uma sinal par
sin(kω0t) e uma sinal ımpar
– p.43/143
Simetria Par e Impar
xp(t) =1
2(x(t) + x(−t))
xi(t) =1
2(x(t) − x(−t))
xo(t) + xi(t) = x(t)
Um sinal e par se e somente se x(t) = x(−t)
Um sinal e ımpar se e somente se x(t) = −x(−t)
Qualquer sinal pode ser escrito como uma soma de um sinalpar e ımpar
cos(kω0t) e uma sinal par
sin(kω0t) e uma sinal ımpar
– p.43/143
Exemplo 1
Considere o sinal mostrado na figura abaixo. Esboce a partepar e ımpar do sinal.
– p.44/143
Solucao
– p.45/143
Sinais Exponenciais e Senoidais
Sinais Exponenciais
x(t) = Ceαt x[n] = Crn = C(eα)n
onde C e a sao numeros complexos.
Sinais exponenciais e senoidais aparecem como resultadoda analise de sistemas lineares
x = Ax
x(t) = eAtx(0)
Exemplo: Sistema Massa-Mola
– p.46/143
Sinais Exponenciais e Senoidais
Sinais Exponenciais
x(t) = Ceαt x[n] = Crn = C(eα)n
onde C e a sao numeros complexos.
Sinais exponenciais e senoidais aparecem como resultadoda analise de sistemas lineares
x = Ax
x(t) = eAtx(0)
Exemplo: Sistema Massa-Mola
– p.46/143
Existem varios “tipos” de sinais (sistemas) exponenciais:
C e a reais
C real e a complexo
C e a complexos
No caso discreto, podemos ter ainda:
x[n] = Crn com r < 0
– p.47/143
Existem varios “tipos” de sinais (sistemas) exponenciais:
C e a reais
C real e a complexo
C e a complexos
No caso discreto, podemos ter ainda:
x[n] = Crn com r < 0
– p.47/143
Existem varios “tipos” de sinais (sistemas) exponenciais:
C e a reais
C real e a complexo
C e a complexos
No caso discreto, podemos ter ainda:
x[n] = Crn com r < 0
– p.47/143
Existem varios “tipos” de sinais (sistemas) exponenciais:
C e a reais
C real e a complexo
C e a complexos
No caso discreto, podemos ter ainda:
x[n] = Crn com r < 0
– p.47/143
Existem varios “tipos” de sinais (sistemas) exponenciais:
C e a reais
C real e a complexo
C e a complexos
No caso discreto, podemos ter ainda:
x[n] = Crn com r < 0
– p.47/143
Ceαn, C = 1 e α = ±15
– p.48/143
MATLAB - Ceαn, C = 1 e α = ±15
– p.49/143
Sinais Periodicos
Um sinal e periodico se existe um valor positivo de T ou N talque:
x(t) = x(t + T ), ∀t x[n] = x[n + N ], ∀n
O perıodo fundamental, T0 ou N0, e o menor valor positivopara o qual a equacao e valida.
– p.50/143
Comentarios
x(t) = Ceαt x[n] = Ceαn
Quando α e imaginario, podemos escrever as exponenciais naforma de Euler:
ejω0t = cos(ω0t) + jsin(ω0t)
ejω0t = cos[ω0n] + jsin[ω0n]
Como |ejω0t| = 1, o grafico parece com uma ”mola”quandoesbocado no plano complexo versus tempo.
ejω0t e periodico com perıodo fundamental T0 = 2πω0
A parte real e uma cossenoide e a parte complexa e umasenoide.
Os sinais tem energia infinita, mas potencia media finita.
– p.51/143
Comentarios
x(t) = Ceαt x[n] = Ceαn
Quando α e imaginario, podemos escrever as exponenciais naforma de Euler:
ejω0t = cos(ω0t) + jsin(ω0t)
ejω0t = cos[ω0n] + jsin[ω0n]
Como |ejω0t| = 1, o grafico parece com uma ”mola”quandoesbocado no plano complexo versus tempo.
ejω0t e periodico com perıodo fundamental T0 = 2πω0
A parte real e uma cossenoide e a parte complexa e umasenoide.
Os sinais tem energia infinita, mas potencia media finita.
– p.51/143
Comentarios
x(t) = Ceαt x[n] = Ceαn
Quando α e imaginario, podemos escrever as exponenciais naforma de Euler:
ejω0t = cos(ω0t) + jsin(ω0t)
ejω0t = cos[ω0n] + jsin[ω0n]
Como |ejω0t| = 1, o grafico parece com uma ”mola”quandoesbocado no plano complexo versus tempo.
ejω0t e periodico com perıodo fundamental T0 = 2πω0
A parte real e uma cossenoide e a parte complexa e umasenoide.
Os sinais tem energia infinita, mas potencia media finita.
– p.51/143
Comentarios
x(t) = Ceαt x[n] = Ceαn
Quando α e imaginario, podemos escrever as exponenciais naforma de Euler:
ejω0t = cos(ω0t) + jsin(ω0t)
ejω0t = cos[ω0n] + jsin[ω0n]
Como |ejω0t| = 1, o grafico parece com uma ”mola”quandoesbocado no plano complexo versus tempo.
ejω0t e periodico com perıodo fundamental T0 = 2πω0
A parte real e uma cossenoide e a parte complexa e umasenoide.
Os sinais tem energia infinita, mas potencia media finita.
– p.51/143
Ceαt, C = 1 e α = j
– p.52/143
MATLAB - Ceαt, C = 1 e α = j
– p.53/143
Exemplo 1 - Soma de Sinais Periodicos
Considere tres sinais periodicos:
x1(t) = cos(3.5t)
x2(t) = sin(2t)
x3(t) = 2cos
(7t
6
)
Verifique se a soma deles e um sinal periodico. Se for, qual e operıodo fundamental?
– p.54/143
Solucao
Calculo de T1
T1 =2π
ω1=
2π
3.5
Calculo de T2
T2 =2π
ω2=
2π
2
Calculo de T3
T3 =2π
ω3=
2π
7/6
– p.55/143
Solucao
Calculo de T1
T1 =2π
ω1=
2π
3.5
Calculo de T2
T2 =2π
ω2=
2π
2
Calculo de T3
T3 =2π
ω3=
2π
7/6
– p.55/143
Solucao
Calculo de T1
T1 =2π
ω1=
2π
3.5
Calculo de T2
T2 =2π
ω2=
2π
2
Calculo de T3
T3 =2π
ω3=
2π
7/6
– p.55/143
Solucao
Calculo das razoes entre os perıodos
T1
T2=
2π3.52π2
=2
3.5=
4
7
T1
T3=
2π3.52π2
=7/6
3.5=
7
21=
1
3
Note que os resultados sao razoes de numeros inteiros,portanto o sinal soma e periodico.
O mınimo multiplo comum dos denominadores e 21, logo o
perıodo fundamental do sinal soma e T = 212π
3.5︸︷︷︸
T1
= 12π
– p.56/143
Solucao
Calculo das razoes entre os perıodos
T1
T2=
2π3.52π2
=2
3.5=
4
7
T1
T3=
2π3.52π2
=7/6
3.5=
7
21=
1
3
Note que os resultados sao razoes de numeros inteiros,portanto o sinal soma e periodico.
O mınimo multiplo comum dos denominadores e 21, logo o
perıodo fundamental do sinal soma e T = 212π
3.5︸︷︷︸
T1
= 12π
– p.56/143
Solucao
Calculo das razoes entre os perıodos
T1
T2=
2π3.52π2
=2
3.5=
4
7
T1
T3=
2π3.52π2
=7/6
3.5=
7
21=
1
3
Note que os resultados sao razoes de numeros inteiros,portanto o sinal soma e periodico.
O mınimo multiplo comum dos denominadores e 21, logo o
perıodo fundamental do sinal soma e T = 212π
3.5︸︷︷︸
T1
= 12π
– p.56/143
Solucao
– p.57/143
Exemplo 2 - Soma de Sinais Periodicos
Considere quatro sinais periodicos:
x1(t) = cos(3.5t)
x2(t) = sin(2t)
x3(t) = 2cos
(7t
6
)
x4(t) = 3sin(5πt)
Verifique se a soma deles e um sinal periodico. Se for, qual e operıodo fundamental?
– p.58/143
Sinal Nao-periodico
– p.59/143
Exemplo 3
Determine se o sinal x(t) = cos2(5t) e periodico. Em casoafirmativo, determine o perıodo.
– p.60/143
Exemplo 3 - Solucao
Sabemos quecos(10t) = cos2(5t) − sin2(5t) = 2cos2(5t) − 1 = 1 − 2sin2(5t)
Logo:
cos2(5t) =cos(10t) + 1
2
o Perıodo e:
T =2π
10=
π
5
– p.61/143
Exemplo 3 - Solucao
Sabemos quecos(10t) = cos2(5t) − sin2(5t) = 2cos2(5t) − 1 = 1 − 2sin2(5t)
Logo:
cos2(5t) =cos(10t) + 1
2
o Perıodo e:
T =2π
10=
π
5
– p.61/143
Exemplo 3 - Solucao
Sabemos quecos(10t) = cos2(5t) − sin2(5t) = 2cos2(5t) − 1 = 1 − 2sin2(5t)
Logo:
cos2(5t) =cos(10t) + 1
2
o Perıodo e:
T =2π
10=
π
5
– p.61/143
Exemplo 3 - Solucao
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Time (sec)
cos2(5t)
– p.62/143
Exemplo 3 - Outra Solucao
Vamos aplicar a definicao, ou seja, x(t=x(t+T). Temos, entaoque verificar se a seguinte igualdade e verdadeira.
cos2(5t) = cos2(5(t + T ))
Sabemos que cos(A + B) = cos(A)cos(B) − sin(A)sin(B), logo
cos(5(t + T )) = cos(5t + 5T ) = cos(5t)cos(5T ) − sin(5t)sin(5T )
Elevando ao quadrado, temos:
cos2(5t + 5T ) = cos2(5t)cos2(5T ) + sin2(5t)sin2(5T ) −2cos(5t)cos(5T )sin(5t)sin(5T )
– p.63/143
Exemplo 3 - Outra Solucao
Vamos aplicar a definicao, ou seja, x(t=x(t+T). Temos, entaoque verificar se a seguinte igualdade e verdadeira.
cos2(5t) = cos2(5(t + T ))
Sabemos que cos(A + B) = cos(A)cos(B) − sin(A)sin(B), logo
cos(5(t + T )) = cos(5t + 5T ) = cos(5t)cos(5T ) − sin(5t)sin(5T )
Elevando ao quadrado, temos:
cos2(5t + 5T ) = cos2(5t)cos2(5T ) + sin2(5t)sin2(5T ) −2cos(5t)cos(5T )sin(5t)sin(5T )
– p.63/143
Exemplo 3 - Outra Solucao
Vamos aplicar a definicao, ou seja, x(t=x(t+T). Temos, entaoque verificar se a seguinte igualdade e verdadeira.
cos2(5t) = cos2(5(t + T ))
Sabemos que cos(A + B) = cos(A)cos(B) − sin(A)sin(B), logo
cos(5(t + T )) = cos(5t + 5T ) = cos(5t)cos(5T ) − sin(5t)sin(5T )
Elevando ao quadrado, temos:
cos2(5t + 5T ) = cos2(5t)cos2(5T ) + sin2(5t)sin2(5T ) −2cos(5t)cos(5T )sin(5t)sin(5T )
– p.63/143
Para que a igualdade seja verdadeira, e preciso que:
cos2(5T ) = 1
sin2(5T ) = 0
Isso acontece para 5T = kπ e para k = 1 (Fundamental),temos T = π
5 .
– p.64/143
Exemplo 4 - Discreto
Determine se o sinal x[n] = (−1)n e periodico.
– p.65/143
Exemplo 4 - Solucao
Usando a definicao, temos
(−1)n = (−1)n+N
= (−1)n(−1)N
Isso so sera verdade se N for par. O menor valor de N ,diferente de zero, e 2.
– p.66/143
Exemplo 4 - Outra Solucao
Sabemos que ejπ = −1. Usando a definicao
(ejπ)n = (ejπ)n+N
= (ejπ)n(ejπ)N
O segundo termo deve ser 1, ou seja
πN = 2kπ
O menor valor de k, diferente de zero, e 1, logo N = 2
– p.67/143
Exemplo 4 - Outra Solucao
Sabemos que ejπ = −1. Usando a definicao
(ejπ)n = (ejπ)n+N
= (ejπ)n(ejπ)N
O segundo termo deve ser 1, ou seja
πN = 2kπ
O menor valor de k, diferente de zero, e 1, logo N = 2
– p.67/143
Exemplo 5 - Discreto
Determine se o sinal x[n] = cos(2n) e periodico.
– p.68/143
Exemplo 5 - solucao
Usando a definicao, temos:
cos(2n) = cos(2(n + N))
= cos(2n)cos(2N) − sin(2n)sin(2N)
A condicao para que a igualdade seja verdadeira e:
cos(2N) = 1
sin(2N) = 0
Logo 2N = 2kπ → N = kπ. Mas N e inteiro, logo x[n] nao eperiodico.
– p.69/143
Exemplo 5 - solucao
Usando a definicao, temos:
cos(2n) = cos(2(n + N))
= cos(2n)cos(2N) − sin(2n)sin(2N)
A condicao para que a igualdade seja verdadeira e:
cos(2N) = 1
sin(2N) = 0
Logo 2N = 2kπ → N = kπ. Mas N e inteiro, logo x[n] nao eperiodico.
– p.69/143
Exemplo 6 - Discreto
Determine se o sinal x[n] = cos(2πn) e periodico.
– p.70/143
Exemplo 6 - solucao
Usando a definicao, temos:
cos(2πn) = cos(2π(n + N))
= cos(2πn)cos(2πN) − sin(2πn)sin(2πN)
A condicao para que a igualdade seja verdadeira e:
cos(2πN) = 1
sin(2πN) = 0
Logo 2πN = 2kπ → N = k. O menor k 6= 0 e 1, logo N = 1 ex[n] e periodico.
– p.71/143
Exemplo 6 - solucao
Usando a definicao, temos:
cos(2πn) = cos(2π(n + N))
= cos(2πn)cos(2πN) − sin(2πn)sin(2πN)
A condicao para que a igualdade seja verdadeira e:
cos(2πN) = 1
sin(2πN) = 0
Logo 2πN = 2kπ → N = k. O menor k 6= 0 e 1, logo N = 1 ex[n] e periodico.
– p.71/143
Exemplo 7 - Discreto
Determine se o sinal x[n] = (−1)n2
e periodico.
– p.72/143
Exemplo 7 - solucao
Usando a definicao, temos:
(−1)n2
= (−1)(n+N)2
= (−1)n2+N2+2nN
= (−1)n2
(−1)N2 ((−1)2
)nN
= (−1)n2
(−1)N2
Logo N2 tem que ser par e isso acontece para N = 2.
– p.73/143
Exemplo 7 - solucao
Usando a definicao, temos:
(−1)n2
= (−1)(n+N)2
= (−1)n2+N2+2nN
= (−1)n2
(−1)N2 ((−1)2
)nN
= (−1)n2
(−1)N2
Logo N2 tem que ser par e isso acontece para N = 2.
– p.73/143
Exemplo 7 - Outra solucao
Usando a definicao e lembrando que x[n] = (−1)n2
= (ejπ)n2
,temos:
(ejπ)n2
= (ejπ)(n+N)2
= (ejπ)n2+N2+2nN
= (ejπ)n2
(ejπ)N2 (ej2π
)nN
= (ejπ)n2
(ejπ)N2
Logo πN2 = 2kπ → N =√
2k. Para N inteiro, o menor k 6= 0 e2, logo N = 2 e x[n] e periodico.
– p.74/143
Exemplo 7 - Outra solucao
Usando a definicao e lembrando que x[n] = (−1)n2
= (ejπ)n2
,temos:
(ejπ)n2
= (ejπ)(n+N)2
= (ejπ)n2+N2+2nN
= (ejπ)n2
(ejπ)N2 (ej2π
)nN
= (ejπ)n2
(ejπ)N2
Logo πN2 = 2kπ → N =√
2k. Para N inteiro, o menor k 6= 0 e2, logo N = 2 e x[n] e periodico.
– p.74/143
Harmonicos
Para que o sinal ejωt seja periodico com perıodo T0, epreciso que:
ejωt|t=0 = ejωt|t=T0
Como ej0 = 1 logo ejωT0 = 1
Temos tambem
ωT0 = 2πk onde k = 0,±1,±2, . . .
Ha mais de uma frequencia ω que satisfaz a restricaox(t) = x(t + T0)
A frequencia fundamental e definida como o menor valorpositivo de frequencia que satisfaz a restricao acima:
ω0 =2π
T0
As outras frequencias que satisfazem a restricao saomultiplos inteiros de ω0
– p.75/143
Harmonicos
Para que o sinal ejωt seja periodico com perıodo T0, epreciso que:
ejωt|t=0 = ejωt|t=T0
Como ej0 = 1 logo ejωT0 = 1
Temos tambem
ωT0 = 2πk onde k = 0,±1,±2, . . .
Ha mais de uma frequencia ω que satisfaz a restricaox(t) = x(t + T0)
A frequencia fundamental e definida como o menor valorpositivo de frequencia que satisfaz a restricao acima:
ω0 =2π
T0
As outras frequencias que satisfazem a restricao saomultiplos inteiros de ω0
– p.75/143
Harmonicos
Para que o sinal ejωt seja periodico com perıodo T0, epreciso que:
ejωt|t=0 = ejωt|t=T0
Como ej0 = 1 logo ejωT0 = 1
Temos tambem
ωT0 = 2πk onde k = 0,±1,±2, . . .
Ha mais de uma frequencia ω que satisfaz a restricaox(t) = x(t + T0)
A frequencia fundamental e definida como o menor valorpositivo de frequencia que satisfaz a restricao acima:
ω0 =2π
T0
As outras frequencias que satisfazem a restricao saomultiplos inteiros de ω0
– p.75/143
Harmonicos
Para que o sinal ejωt seja periodico com perıodo T0, epreciso que:
ejωt|t=0 = ejωt|t=T0
Como ej0 = 1 logo ejωT0 = 1
Temos tambem
ωT0 = 2πk onde k = 0,±1,±2, . . .
Ha mais de uma frequencia ω que satisfaz a restricaox(t) = x(t + T0)
A frequencia fundamental e definida como o menor valorpositivo de frequencia que satisfaz a restricao acima:
ω0 =2π
T0
As outras frequencias que satisfazem a restricao saomultiplos inteiros de ω0
– p.75/143
Harmonicos
Para que o sinal ejωt seja periodico com perıodo T0, epreciso que:
ejωt|t=0 = ejωt|t=T0
Como ej0 = 1 logo ejωT0 = 1
Temos tambem
ωT0 = 2πk onde k = 0,±1,±2, . . .
Ha mais de uma frequencia ω que satisfaz a restricaox(t) = x(t + T0)
A frequencia fundamental e definida como o menor valorpositivo de frequencia que satisfaz a restricao acima:
ω0 =2π
T0
As outras frequencias que satisfazem a restricao saomultiplos inteiros de ω0
– p.75/143
φk(t) = ejkω0t onde k = 0,±1,±2, . . .
Para k = 0, φk(t) e uma constante
Para todos os valores φk(t) e periodico com frequenciafundamental |k|ω0
Os harmonicos sao extremamente importante no estudodas series de Fourier e sinais periodicos.
– p.76/143
φk(t) = ejkω0t onde k = 0,±1,±2, . . .
Para k = 0, φk(t) e uma constante
Para todos os valores φk(t) e periodico com frequenciafundamental |k|ω0
Os harmonicos sao extremamente importante no estudodas series de Fourier e sinais periodicos.
– p.76/143
φk(t) = ejkω0t onde k = 0,±1,±2, . . .
Para k = 0, φk(t) e uma constante
Para todos os valores φk(t) e periodico com frequenciafundamental |k|ω0
Os harmonicos sao extremamente importante no estudodas series de Fourier e sinais periodicos.
– p.76/143
Harmonico - Discreto
– p.77/143
Harmonico- Contınuo
– p.78/143
Ceαn, C = 1, e α = ±0.1 + 0.5j
– p.79/143
Ceαt, C = 1, e α = ±0.05 + j2
– p.80/143
Impulso Unitario Discreto
O impulso discreto e definido como
δ[n] =
0, n 6= 0
1, n = 0
– p.81/143
Degrau Unitario Discreto
A funcao degrau unitario discreto e definida como:
u[n] =
0, n < 0
1, n ≥ 0
– p.82/143
Funcoes Discretas - Resumo
Existe uma relacao entre δ[n] e u[n]
δ[n] = u[n] − u[n − 1]
u[n] =
n∑
k=−∞
δ[k]
u[n] =∞∑
k=0
δ[n − k]
O impulso unitario pode ser usado para amostrar um sinal notempo discreto x[n]
x[0] =∞∑
k=−∞
x[k]δ[k] x[n] =∞∑
k=−∞
x[k]δ[n − k]
– p.83/143
Funcoes Discretas - Resumo
Existe uma relacao entre δ[n] e u[n]
δ[n] = u[n] − u[n − 1]
u[n] =
n∑
k=−∞
δ[k]
u[n] =∞∑
k=0
δ[n − k]
O impulso unitario pode ser usado para amostrar um sinal notempo discreto x[n]
x[0] =
∞∑
k=−∞
x[k]δ[k] x[n] =
∞∑
k=−∞
x[k]δ[n − k]
– p.83/143
Degrau Unitario Contınuo
u(t) =
0, t < 0
1, t > 0
Tambem chamado funcao de Heaviside
– p.84/143
Degrau Unitario (Pratica)
– p.85/143
Impulso Unitario Contınuo
δc(t) ≡ duc(t)dt
Quando e → 0,
uc(t) → u(t)
δc(t) para t = 0 cresce muito
δc(t) para t 6= 0 vai para zero
δ(t) ≡ limt→0 δc(t)
– p.86/143
Impulso Unitario Contınuo
δc(t) ≡ duc(t)dt
Quando e → 0,
uc(t) → u(t)
δc(t) para t = 0 cresce muito
δc(t) para t 6= 0 vai para zero
δ(t) ≡ limt→0 δc(t)
– p.86/143
Impulso Unitario Contınuo
δc(t) ≡ duc(t)dt
Quando e → 0,
uc(t) → u(t)
δc(t) para t = 0 cresce muito
δc(t) para t 6= 0 vai para zero
δ(t) ≡ limt→0 δc(t)
– p.86/143
Impulso Unitario Contınuo
δc(t) ≡ duc(t)dt
Quando e → 0,
uc(t) → u(t)
δc(t) para t = 0 cresce muito
δc(t) para t 6= 0 vai para zero
δ(t) ≡ limt→0 δc(t)
– p.86/143
Impulso Unitario Contınuo
δc(t) ≡ duc(t)dt
Quando e → 0,
uc(t) → u(t)
δc(t) para t = 0 cresce muito
δc(t) para t 6= 0 vai para zero
δ(t) ≡ limt→0 δc(t)
– p.86/143
Impulso Unitario Contınuo
δc(t) ≡ duc(t)dt
Quando e → 0,
uc(t) → u(t)
δc(t) para t = 0 cresce muito
δc(t) para t 6= 0 vai para zero
δ(t) ≡ limt→0 δc(t)
– p.86/143
Impulso Unitario Contınuo
δ(t) =
0, t 6= 0
∞ t = 0
Conhecido tambem por funcao delta de Dirac
A integral do impulso serve como uma medida daamplitude do impulso
Esbocado como uma seta com altura unitaria
5δ(t) e esbocado como uma seta de altura 5.
– p.87/143
Impulso Unitario Contınuo
δ(t) =
0, t 6= 0
∞ t = 0
Conhecido tambem por funcao delta de Dirac
A integral do impulso serve como uma medida daamplitude do impulso
Esbocado como uma seta com altura unitaria
5δ(t) e esbocado como uma seta de altura 5.
– p.87/143
Impulso Unitario Contınuo
δ(t) =
0, t 6= 0
∞ t = 0
Conhecido tambem por funcao delta de Dirac
A integral do impulso serve como uma medida daamplitude do impulso
Esbocado como uma seta com altura unitaria
5δ(t) e esbocado como uma seta de altura 5.
– p.87/143
Impulso Unitario Contınuo
δ(t) =
0, t 6= 0
∞ t = 0
Conhecido tambem por funcao delta de Dirac
A integral do impulso serve como uma medida daamplitude do impulso
Esbocado como uma seta com altura unitaria
5δ(t) e esbocado como uma seta de altura 5.
– p.87/143
Impulso Unitario Contınuo - Comentarios
A propriedade mais importante e area do impulso:∫ e
−eδ(t)dt = 1 para qualquer e > 0
δ(t)x(t) = δ(t)x(0)∫∞
−∞x(t)δ(t)dt = x(0)
∫∞
−∞x(t)δ(t − t0)dt = x(t0)
δ(at) = 1|a|δ(t)
δ(−t) = δ(t)
δ(t) = du(t)dt
u(t) =∫ t
−∞δ(τ)dτ
– p.88/143
Impulso Unitario Contınuo - Comentarios
A propriedade mais importante e area do impulso:∫ e
−eδ(t)dt = 1 para qualquer e > 0
δ(t)x(t) = δ(t)x(0)
∫∞
−∞x(t)δ(t)dt = x(0)
∫∞
−∞x(t)δ(t − t0)dt = x(t0)
δ(at) = 1|a|δ(t)
δ(−t) = δ(t)
δ(t) = du(t)dt
u(t) =∫ t
−∞δ(τ)dτ
– p.88/143
Impulso Unitario Contınuo - Comentarios
A propriedade mais importante e area do impulso:∫ e
−eδ(t)dt = 1 para qualquer e > 0
δ(t)x(t) = δ(t)x(0)∫∞
−∞x(t)δ(t)dt = x(0)
∫∞
−∞x(t)δ(t − t0)dt = x(t0)
δ(at) = 1|a|δ(t)
δ(−t) = δ(t)
δ(t) = du(t)dt
u(t) =∫ t
−∞δ(τ)dτ
– p.88/143
Impulso Unitario Contınuo - Comentarios
A propriedade mais importante e area do impulso:∫ e
−eδ(t)dt = 1 para qualquer e > 0
δ(t)x(t) = δ(t)x(0)∫∞
−∞x(t)δ(t)dt = x(0)
∫∞
−∞x(t)δ(t − t0)dt = x(t0)
δ(at) = 1|a|δ(t)
δ(−t) = δ(t)
δ(t) = du(t)dt
u(t) =∫ t
−∞δ(τ)dτ
– p.88/143
Impulso Unitario Contınuo - Comentarios
A propriedade mais importante e area do impulso:∫ e
−eδ(t)dt = 1 para qualquer e > 0
δ(t)x(t) = δ(t)x(0)∫∞
−∞x(t)δ(t)dt = x(0)
∫∞
−∞x(t)δ(t − t0)dt = x(t0)
δ(at) = 1|a|δ(t)
δ(−t) = δ(t)
δ(t) = du(t)dt
u(t) =∫ t
−∞δ(τ)dτ
– p.88/143
Impulso Unitario Contınuo - Comentarios
A propriedade mais importante e area do impulso:∫ e
−eδ(t)dt = 1 para qualquer e > 0
δ(t)x(t) = δ(t)x(0)∫∞
−∞x(t)δ(t)dt = x(0)
∫∞
−∞x(t)δ(t − t0)dt = x(t0)
δ(at) = 1|a|δ(t)
δ(−t) = δ(t)
δ(t) = du(t)dt
u(t) =∫ t
−∞δ(τ)dτ
– p.88/143
Impulso Unitario Contınuo - Comentarios
A propriedade mais importante e area do impulso:∫ e
−eδ(t)dt = 1 para qualquer e > 0
δ(t)x(t) = δ(t)x(0)∫∞
−∞x(t)δ(t)dt = x(0)
∫∞
−∞x(t)δ(t − t0)dt = x(t0)
δ(at) = 1|a|δ(t)
δ(−t) = δ(t)
δ(t) = du(t)dt
u(t) =∫ t
−∞δ(τ)dτ
– p.88/143
Impulso Unitario Contınuo - Comentarios
A propriedade mais importante e area do impulso:∫ e
−eδ(t)dt = 1 para qualquer e > 0
δ(t)x(t) = δ(t)x(0)∫∞
−∞x(t)δ(t)dt = x(0)
∫∞
−∞x(t)δ(t − t0)dt = x(t0)
δ(at) = 1|a|δ(t)
δ(−t) = δ(t)
δ(t) = du(t)dt
u(t) =∫ t
−∞δ(τ)dτ
– p.88/143
Impulso Unitario Contınuo - Importante
x(t) =
∫ ∞
−∞
x(τ)δ(τ − t)dτ
Note que podemos escrever x(t) como uma combinacaolinear de impulsos deslocados
– p.89/143
Rampa Unitaria Contınua
r(t) ≡
0, t ≤ 0
t t > 0
– p.90/143
Relacoes Basicas
u(t) =
∫ t
−∞
δ(τ)dτ r(t) =
∫ t
−∞
u(τ)dτ
du(t)
dt= δ(t)
dr(t)
dt= u(t)
– p.91/143
Deslocamento das Funcoes Basicas
– p.92/143
Fundamentos de SistemasEscopo
Propriedades
Memoria
Invertibilidade
Causalidade
Estabilidade
Invariancia no Tempo
Linearidade
– p.93/143
Fundamentos de SistemasEscopo
Propriedades
Memoria
Invertibilidade
Causalidade
Estabilidade
Invariancia no Tempo
Linearidade
– p.93/143
Fundamentos de SistemasEscopo
Propriedades
Memoria
Invertibilidade
Causalidade
Estabilidade
Invariancia no Tempo
Linearidade
– p.93/143
Fundamentos de SistemasEscopo
Propriedades
Memoria
Invertibilidade
Causalidade
Estabilidade
Invariancia no Tempo
Linearidade
– p.93/143
Fundamentos de SistemasEscopo
Propriedades
Memoria
Invertibilidade
Causalidade
Estabilidade
Invariancia no Tempo
Linearidade
– p.93/143
Fundamentos de SistemasEscopo
Propriedades
Memoria
Invertibilidade
Causalidade
Estabilidade
Invariancia no Tempo
Linearidade
– p.93/143
Fundamentos de SistemasEscopo
Propriedades
Memoria
Invertibilidade
Causalidade
Estabilidade
Invariancia no Tempo
Linearidade
– p.93/143
Fundamentos de SistemasEscopo
Propriedades
Memoria
Invertibilidade
Causalidade
Estabilidade
Invariancia no Tempo
Linearidade
– p.93/143
Escopo
Objetivo: Estudo de sistemas que mapeam funcoes de entradax(t) em funcoes de saıda y(t).
Sistema e um entidade que manipula (transforma) um oumais sinais para realizar uma determinada tarefa. Novossinais sao gerados.
Consideraremos sistemas com uma unica entrada e umaunica saıda (SISO), Lineares e Invariantes no Tempo.
– p.94/143
Escopo
Objetivo: Estudo de sistemas que mapeam funcoes de entradax(t) em funcoes de saıda y(t).
Sistema e um entidade que manipula (transforma) um oumais sinais para realizar uma determinada tarefa. Novossinais sao gerados.
Consideraremos sistemas com uma unica entrada e umaunica saıda (SISO), Lineares e Invariantes no Tempo.
– p.94/143
h(t) e a resposta ao impulso do sistema de tempo contınuo:δ(t) → h(t).
h[n] e a resposta ao impulso do sistema de tempo discreto:δ[n] → h[n].
A resposta ao impulso caracteriza um Sistema Linear eInvariante no Tempo (LTI).
– p.95/143
h(t) e a resposta ao impulso do sistema de tempo contınuo:δ(t) → h(t).
h[n] e a resposta ao impulso do sistema de tempo discreto:δ[n] → h[n].
A resposta ao impulso caracteriza um Sistema Linear eInvariante no Tempo (LTI).
– p.95/143
h(t) e a resposta ao impulso do sistema de tempo contınuo:δ(t) → h(t).
h[n] e a resposta ao impulso do sistema de tempo discreto:δ[n] → h[n].
A resposta ao impulso caracteriza um Sistema Linear eInvariante no Tempo (LTI).
– p.95/143
Memoria
Um sistema e dito sem memoria se a sua saıda y(t), em qualquertempo, e dependente somente da entrada x(t) no mesmotempo t.
A memoria indica que o sistema tem como armazenarinformacao da entrada/saıda do presente ou futuro.
Capacitores e indutores armazenam energia, portantocriam sistemas com memoria.
Resistores, em princıpio, nao armazenam energia, portantosao sistemas sem memoria: v(t) = Ri(t).
– p.96/143
Memoria
Um sistema e dito sem memoria se a sua saıda y(t), em qualquertempo, e dependente somente da entrada x(t) no mesmotempo t.
A memoria indica que o sistema tem como armazenarinformacao da entrada/saıda do presente ou futuro.
Capacitores e indutores armazenam energia, portantocriam sistemas com memoria.
Resistores, em princıpio, nao armazenam energia, portantosao sistemas sem memoria: v(t) = Ri(t).
– p.96/143
Memoria
Um sistema e dito sem memoria se a sua saıda y(t), em qualquertempo, e dependente somente da entrada x(t) no mesmotempo t.
A memoria indica que o sistema tem como armazenarinformacao da entrada/saıda do presente ou futuro.
Capacitores e indutores armazenam energia, portantocriam sistemas com memoria.
Resistores, em princıpio, nao armazenam energia, portantosao sistemas sem memoria: v(t) = Ri(t).
– p.96/143
Exemplos
Determine se os seguintes sistemas sao com ou sem memoria:
y[n] = x[n]2
y(t) = x(t − 2)
y[n] = x[n + 3]
y(t) = sin(2πx(t))
y(t) =∫ t
−∞x(τ)dτ
y[n] =∑n
k=−∞ x[k]
– p.97/143
Invertibilidade
Um sistema e invertıvel se entradas distintas causam saıdasdistintas.
– p.98/143
Exemplos
Determine se os seguintes sistemas possuem o seu sistemainverso. Em caso afirmativo, diga qual e o sistema inverso.
y[n] = x[n]2
y(t) = x(t − 2)
y[n] = x[n + 3]
y(t) = sin(2πx(t))
y(t) =∫ t
−∞x(τ)dτ
y(t) = dx(t)dt
y[n] =∑n
k=−∞ x[k]
– p.99/143
Solucao Exemplo y(t) =∫ t
−∞ x(τ)dτ
Considere y(t) =∫ t
−∞x(τ)dτ . Pelo Teorema Fundamental do
Calculo podemos escrever
∫ t
−∞
x(τ)dτ = X(t) − X(−∞)
Aplicando a derivada dos dois lado e levando em conta oTFC, temos
dy(t)
dt=
d(X(t) − X(−∞))
dt= x(t)
logo o sistema e invertıvel.
– p.100/143
Solucao Exemplo y(t) =∫ t
−∞ x(τ)dτ
Considere y(t) =∫ t
−∞x(τ)dτ . Pelo Teorema Fundamental do
Calculo podemos escrever
∫ t
−∞
x(τ)dτ = X(t) − X(−∞)
Aplicando a derivada dos dois lado e levando em conta oTFC, temos
dy(t)
dt=
d(X(t) − X(−∞))
dt= x(t)
logo o sistema e invertıvel.
– p.100/143
Solucao Exemplo y(t) = dx(t)dt
A prova sera dada usando um contra-exemplo.
Considere y(t) = dx(t)dt
e que x(t) = z(t) + C. Logo:
y(t) =dx(t)
dt=
d(z(t) + C)
dt=
dz(t)
dt
O valor da constante C nao modifica o resultado, portantoo sistema e nao-invertıvel.
– p.101/143
Causalidade
Um sistema e dito causal se a saıda em qualquer tempodepende somente dos valores entrada/saıda naquele tempo eno passado.
Sistemas causais podem tambem serem chamados denao-antecipativos.
Se duas entradas aplicadas a um sistema causal sao iguaisate certo ponto no tempo, as saıdas devem ser iguais.
Todos os circuitos analogicos sao causais.
Todos os sistemas sem memoria sao causais.
– p.102/143
Causalidade
Um sistema e dito causal se a saıda em qualquer tempodepende somente dos valores entrada/saıda naquele tempo eno passado.
Sistemas causais podem tambem serem chamados denao-antecipativos.
Se duas entradas aplicadas a um sistema causal sao iguaisate certo ponto no tempo, as saıdas devem ser iguais.
Todos os circuitos analogicos sao causais.
Todos os sistemas sem memoria sao causais.
– p.102/143
Causalidade
Um sistema e dito causal se a saıda em qualquer tempodepende somente dos valores entrada/saıda naquele tempo eno passado.
Sistemas causais podem tambem serem chamados denao-antecipativos.
Se duas entradas aplicadas a um sistema causal sao iguaisate certo ponto no tempo, as saıdas devem ser iguais.
Todos os circuitos analogicos sao causais.
Todos os sistemas sem memoria sao causais.
– p.102/143
Causalidade
Um sistema e dito causal se a saıda em qualquer tempodepende somente dos valores entrada/saıda naquele tempo eno passado.
Sistemas causais podem tambem serem chamados denao-antecipativos.
Se duas entradas aplicadas a um sistema causal sao iguaisate certo ponto no tempo, as saıdas devem ser iguais.
Todos os circuitos analogicos sao causais.
Todos os sistemas sem memoria sao causais.
– p.102/143
Exemplos
Determine se os seguintes sistemas sao causais:
y[n] = x[n]2
y(t) = x(t − 2)
y[n] = x[n + 3]
y(t) = sin(2πx(t))
y(t) =∫ t
−∞x(τ)dτ
y(t) =∫∞
tx(τ)dτ
y(t) = dx(t)dt
y[n] = 111
∑5k=−5 x[n + k]
– p.103/143
EstabilidadeSe todas entradas limitadas, |x(t)| < ∞, aplicadas a um sistemacausarem saıdas limitadas, |y(t)| < ∞, entao tal sistema e ditoBIBO estavel.
A intuicao nos diz que pequenas variacoes na entradaaplicada a um sistema estavel produzem pequenasvariacoes na saıda.
– p.104/143
Exemplos
Determine se os seguintes sistemas sao BIBO estaveis:
y[n] = x[n]2
y(t) = x(t − 2)
y[n] = x[n + 3]
y(t) = sin(2πx(t))
y(t) =∫ t
−∞x(τ)dτ
y(t) =∫∞
tx(τ)dτ
y(t) = dx(t)dt
y[n] = 111
∑5k=−5 x[n + k]
– p.105/143
Solucao: y[n] = x[n]2
Usando a definicao, temos que |x[n]| < ∞ ou |x[n]| < M ,onde M e um numero real finito.
Logo:
y[n] = x[n]2
|y[n]| = |x[n]2||y[n]| = |x[n]|2
|y[n]| ≤ M2 mas M2 e tambem um numero real finito
|y[n]| ≤ M2 ⇒ sistema estavel.
– p.106/143
Solucao: y[n] = x[n]2
Usando a definicao, temos que |x[n]| < ∞ ou |x[n]| < M ,onde M e um numero real finito.
Logo:
y[n] = x[n]2
|y[n]| = |x[n]2||y[n]| = |x[n]|2
|y[n]| ≤ M2 mas M2 e tambem um numero real finito
|y[n]| ≤ M2 ⇒ sistema estavel.
– p.106/143
Solucao: y[n] = x[n]2
Usando a definicao, temos que |x[n]| < ∞ ou |x[n]| < M ,onde M e um numero real finito.
Logo:
y[n] = x[n]2
|y[n]| = |x[n]2||y[n]| = |x[n]|2
|y[n]| ≤ M2 mas M2 e tambem um numero real finito
|y[n]| ≤ M2 ⇒ sistema estavel.
– p.106/143
Solucao: y(t) = sin(2πx(t))
Usando a definicao, temos que |x[n]| < ∞ ou |x[n]| < M ,onde M e um numero real finito.
Sabemos ainda que a funcao seno e limitada, ou seja,|sin(·)| < 1.
Logo:
y(t) = sin(2πx(t))
|y(t)| = |sin(2πx(t))||y(t)| ≤ 1
|y(t)| ≤ 1 ⇒ sistema estavel.
– p.107/143
Solucao: y(t) = sin(2πx(t))
Usando a definicao, temos que |x[n]| < ∞ ou |x[n]| < M ,onde M e um numero real finito.
Sabemos ainda que a funcao seno e limitada, ou seja,|sin(·)| < 1.
Logo:
y(t) = sin(2πx(t))
|y(t)| = |sin(2πx(t))||y(t)| ≤ 1
|y(t)| ≤ 1 ⇒ sistema estavel.
– p.107/143
Solucao: y(t) = sin(2πx(t))
Usando a definicao, temos que |x[n]| < ∞ ou |x[n]| < M ,onde M e um numero real finito.
Sabemos ainda que a funcao seno e limitada, ou seja,|sin(·)| < 1.
Logo:
y(t) = sin(2πx(t))
|y(t)| = |sin(2πx(t))||y(t)| ≤ 1
|y(t)| ≤ 1 ⇒ sistema estavel.
– p.107/143
Solucao: y(t) = sin(2πx(t))
Usando a definicao, temos que |x[n]| < ∞ ou |x[n]| < M ,onde M e um numero real finito.
Sabemos ainda que a funcao seno e limitada, ou seja,|sin(·)| < 1.
Logo:
y(t) = sin(2πx(t))
|y(t)| = |sin(2πx(t))||y(t)| ≤ 1
|y(t)| ≤ 1 ⇒ sistema estavel.
– p.107/143
Solucao:∫ t
−∞ x(τ)dτ
Usando a definicao, temos que |x(t)| < ∞ ou |x(t)| < M ,onde M e um numero real finito.
Logo:
y(t) =
∫ t
−∞
x(τ)dτ
|y(t)| =
∣∣∣∣
∫ t
−∞
x(τ)dτ
∣∣∣∣
Aplicando o modulo nos dois lados
|y(t)| ≤∫ t
−∞
|x(τ)|dτ
|y(t)| ≤∫ t
−∞
Mdτ
|y(t)| ≤ Mτ |t−∞
A integral depende de t que pode ir para ∞ e tem comolimite inferior −∞, logo o sistema e instavel.
– p.108/143
Solucao:∫ t
−∞ x(τ)dτ
Usando a definicao, temos que |x(t)| < ∞ ou |x(t)| < M ,onde M e um numero real finito.
Logo:
y(t) =
∫ t
−∞
x(τ)dτ
|y(t)| =
∣∣∣∣
∫ t
−∞
x(τ)dτ
∣∣∣∣
Aplicando o modulo nos dois lados
|y(t)| ≤∫ t
−∞
|x(τ)|dτ
|y(t)| ≤∫ t
−∞
Mdτ
|y(t)| ≤ Mτ |t−∞
A integral depende de t que pode ir para ∞ e tem comolimite inferior −∞, logo o sistema e instavel.
– p.108/143
Solucao:∫ t
−∞ x(τ)dτ
Usando a definicao, temos que |x(t)| < ∞ ou |x(t)| < M ,onde M e um numero real finito.
Logo:
y(t) =
∫ t
−∞
x(τ)dτ
|y(t)| =
∣∣∣∣
∫ t
−∞
x(τ)dτ
∣∣∣∣
Aplicando o modulo nos dois lados
|y(t)| ≤∫ t
−∞
|x(τ)|dτ
|y(t)| ≤∫ t
−∞
Mdτ
|y(t)| ≤ Mτ |t−∞
A integral depende de t que pode ir para ∞ e tem comolimite inferior −∞, logo o sistema e instavel.
– p.108/143
Solucao: y(t) = dx(t)dt
Usando a definicao, temos que |x(t)| < ∞ ou |x(t)| < M ,onde M e um numero real finito.
O sistema e instavel: A prova sera dada usando umcontra-exemplo.
Considere x(t) como sendo um degrau unitario. |x(t)| elimitado, ou seja, |x(t)| < 1.
A derivada de x(t) e o impulso unitario que, como sabemos,tem amplitude infinita. Logo y(t) e ilimitado e o sistemainstavel.
– p.109/143
Solucao: y(t) = dx(t)dt
Usando a definicao, temos que |x(t)| < ∞ ou |x(t)| < M ,onde M e um numero real finito.
O sistema e instavel: A prova sera dada usando umcontra-exemplo.
Considere x(t) como sendo um degrau unitario. |x(t)| elimitado, ou seja, |x(t)| < 1.
A derivada de x(t) e o impulso unitario que, como sabemos,tem amplitude infinita. Logo y(t) e ilimitado e o sistemainstavel.
– p.109/143
Solucao: y(t) = dx(t)dt
Usando a definicao, temos que |x(t)| < ∞ ou |x(t)| < M ,onde M e um numero real finito.
O sistema e instavel: A prova sera dada usando umcontra-exemplo.
Considere x(t) como sendo um degrau unitario. |x(t)| elimitado, ou seja, |x(t)| < 1.
A derivada de x(t) e o impulso unitario que, como sabemos,tem amplitude infinita. Logo y(t) e ilimitado e o sistemainstavel.
– p.109/143
Solucao: y(t) = dx(t)dt
Usando a definicao, temos que |x(t)| < ∞ ou |x(t)| < M ,onde M e um numero real finito.
O sistema e instavel: A prova sera dada usando umcontra-exemplo.
Considere x(t) como sendo um degrau unitario. |x(t)| elimitado, ou seja, |x(t)| < 1.
A derivada de x(t) e o impulso unitario que, como sabemos,tem amplitude infinita. Logo y(t) e ilimitado e o sistemainstavel.
– p.109/143
Solucao: y[n] = 111
∑5k=−5 x[n + k]
Usando a definicao, temos que |x[n]| < ∞ ou |x[n]| < M ,onde M e um numero real finito.
Logo:
y[n] =1
11
5∑
k=−5
x[n + k]
|y[n]| =
∣∣∣∣∣
1
11
5∑
k=−5
x[n + k]
∣∣∣∣∣
Aplicando o modulo nos dois lados
|y[n]| ≤ 1
11
5∑
k=−5
|x[n + k]|
|y[n]| ≤ 1
11
5∑
k=−5
M
|y[n]| ≤ M
|y[n]| e limitado, logo o sistema e estavel.
– p.110/143
Solucao: y[n] = 111
∑5k=−5 x[n + k]
Usando a definicao, temos que |x[n]| < ∞ ou |x[n]| < M ,onde M e um numero real finito.
Logo:
y[n] =1
11
5∑
k=−5
x[n + k]
|y[n]| =
∣∣∣∣∣
1
11
5∑
k=−5
x[n + k]
∣∣∣∣∣
Aplicando o modulo nos dois lados
|y[n]| ≤ 1
11
5∑
k=−5
|x[n + k]|
|y[n]| ≤ 1
11
5∑
k=−5
M
|y[n]| ≤ M
|y[n]| e limitado, logo o sistema e estavel.
– p.110/143
Solucao: y[n] = 111
∑5k=−5 x[n + k]
Usando a definicao, temos que |x[n]| < ∞ ou |x[n]| < M ,onde M e um numero real finito.
Logo:
y[n] =1
11
5∑
k=−5
x[n + k]
|y[n]| =
∣∣∣∣∣
1
11
5∑
k=−5
x[n + k]
∣∣∣∣∣
Aplicando o modulo nos dois lados
|y[n]| ≤ 1
11
5∑
k=−5
|x[n + k]|
|y[n]| ≤ 1
11
5∑
k=−5
M
|y[n]| ≤ M
|y[n]| e limitado, logo o sistema e estavel. – p.110/143
Invariancia no Tempo
Um sistema e dito invariante no tempo se um deslocamentotemporal no sinal de entrada resulta num deslocamentotemporal identico do sinal de saıda.
Se a variavel independente, t ou n, encontra-se fora do (·)ou [·], o sistema e variante no tempo.
– p.111/143
Teste - Invariancia no Tempo
Um teste para invariancia temporal e:
y(t)|t−t0 = y(t)|x(t−t0)
– p.112/143
Exemplos
Determine se os seguintes sistemas sao invariantes no tempo:
y[n] = x[n]2
y(t) = x(2t)
y[n] = x[−n]
y[n] = nx[n + 3]
y(t) = sin(2πx(t))
y(t) =∫ t
−∞x(τ)dτ
y(t) =∫∞
tx(τ)dτ
y(t) = dx(t)dt
y[n] = 111
∑5k=−5 x[n + k]
– p.113/143
Solucao: y[n] = x[n]2
Usando o teste de invariancia temporal, temos:
y[n]|n−n0= x[n − n0]
2
y[n]|x[n−n0] = x[n − n0]2
Portanto o sistema e invariante no tempo.
– p.114/143
Solucao: y[n] = x[n]2
Usando o teste de invariancia temporal, temos:
y[n]|n−n0= x[n − n0]
2
y[n]|x[n−n0] = x[n − n0]2
Portanto o sistema e invariante no tempo.
– p.114/143
Solucao: y[n] = x[n]2
Usando o teste de invariancia temporal, temos:
y[n]|n−n0= x[n − n0]
2
y[n]|x[n−n0] = x[n − n0]2
Portanto o sistema e invariante no tempo.
– p.114/143
Solucao: y[n] = x[n]2
Usando o teste de invariancia temporal, temos:
y[n]|n−n0= x[n − n0]
2
y[n]|x[n−n0] = x[n − n0]2
Portanto o sistema e invariante no tempo.
– p.114/143
Solucao: y(t) = x(2t)
Usando o teste de invariancia temporal, temos:
y(t)|t−t0 = x(2(t − t0))
y(t)|x(t−t0) = x(2t − t0)
Portanto o sistema e variante no tempo.
Obs.: Repare que no caso y(t)|x(t−t0), substitui-se t por t nosinal x(·) e depois adiciona-se o atraso t0.
– p.115/143
Solucao: y(t) = x(2t)
Usando o teste de invariancia temporal, temos:
y(t)|t−t0 = x(2(t − t0))
y(t)|x(t−t0) = x(2t − t0)
Portanto o sistema e variante no tempo.
Obs.: Repare que no caso y(t)|x(t−t0), substitui-se t por t nosinal x(·) e depois adiciona-se o atraso t0.
– p.115/143
Solucao: y(t) = x(2t)
Usando o teste de invariancia temporal, temos:
y(t)|t−t0 = x(2(t − t0))
y(t)|x(t−t0) = x(2t − t0)
Portanto o sistema e variante no tempo.
Obs.: Repare que no caso y(t)|x(t−t0), substitui-se t por t nosinal x(·) e depois adiciona-se o atraso t0.
– p.115/143
Solucao: y(t) = x(2t)
Usando o teste de invariancia temporal, temos:
y(t)|t−t0 = x(2(t − t0))
y(t)|x(t−t0) = x(2t − t0)
Portanto o sistema e variante no tempo.
Obs.: Repare que no caso y(t)|x(t−t0), substitui-se t por t nosinal x(·) e depois adiciona-se o atraso t0.
– p.115/143
Solucao: y(t) = x(2t)
Usando o teste de invariancia temporal, temos:
y(t)|t−t0 = x(2(t − t0))
y(t)|x(t−t0) = x(2t − t0)
Portanto o sistema e variante no tempo.
Obs.: Repare que no caso y(t)|x(t−t0), substitui-se t por t nosinal x(·) e depois adiciona-se o atraso t0.
– p.115/143
Supondo
t0 = 2 e x(t) =
1 −2 ≤ t ≤ 2
0 caso contrario
y(t)|t−t0 = x(2t − 4). Para os pontos −2 e 2, temos:
2t − 4 = −2 −→ 2t = 2 −→ t = 1
2t − 4 = 2 −→ 2t = 6 −→ t = 3
y(t)|x(t−t0) = x(2t − 2). Para os pontos −2 e 2, temos:
2t − 2 = −2 −→ 2t = 0 −→ t = 0
2t − 2 = 2 −→ 2t = 4 −→ t = 2
– p.116/143
Supondo
t0 = 2 e x(t) =
1 −2 ≤ t ≤ 2
0 caso contrario
y(t)|t−t0 = x(2t − 4). Para os pontos −2 e 2, temos:
2t − 4 = −2 −→ 2t = 2 −→ t = 1
2t − 4 = 2 −→ 2t = 6 −→ t = 3
y(t)|x(t−t0) = x(2t − 2). Para os pontos −2 e 2, temos:
2t − 2 = −2 −→ 2t = 0 −→ t = 0
2t − 2 = 2 −→ 2t = 4 −→ t = 2
– p.116/143
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80
0.5
1
1.5
2Sinal de entrada
Tempo
x(t)
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80
0.5
1
1.5
2Sinal de saída y(t)=x(2t)
Tempo
y(t)
=x(2
t)
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80
0.5
1
1.5
2
Sinal de saída y(t)|t−2
Tempo– p.117/143
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80
0.5
1
1.5
2Sinal de entrada u(t−2)
Tempo
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80
1
2
Sinal de saída y(t)|x(t−2)
Tempo– p.118/143
Mais um exemplo: y(t) = x(t/3)
Usando o teste de invariancia temporal, temos:
y(t)|t−t0 = x((t − t0)/3)
y(t)|x(t−t0) = x( t3 − t0)
Portanto o sistema e variante no tempo.
Obs.: Repare, novamente, que no caso y(t)|x(t−t0) o asubstituicao de t por t no sinal x(·) e depois adiciona-se oatraso t0.
– p.119/143
Mais um exemplo: y(t) = x(t/3)
Usando o teste de invariancia temporal, temos:
y(t)|t−t0 = x((t − t0)/3)
y(t)|x(t−t0) = x( t3 − t0)
Portanto o sistema e variante no tempo.
Obs.: Repare, novamente, que no caso y(t)|x(t−t0) o asubstituicao de t por t no sinal x(·) e depois adiciona-se oatraso t0.
– p.119/143
Mais um exemplo: y(t) = x(t/3)
Usando o teste de invariancia temporal, temos:
y(t)|t−t0 = x((t − t0)/3)
y(t)|x(t−t0) = x( t3 − t0)
Portanto o sistema e variante no tempo.
Obs.: Repare, novamente, que no caso y(t)|x(t−t0) o asubstituicao de t por t no sinal x(·) e depois adiciona-se oatraso t0.
– p.119/143
Mais um exemplo: y(t) = x(t/3)
Usando o teste de invariancia temporal, temos:
y(t)|t−t0 = x((t − t0)/3)
y(t)|x(t−t0) = x( t3 − t0)
Portanto o sistema e variante no tempo.
Obs.: Repare, novamente, que no caso y(t)|x(t−t0) o asubstituicao de t por t no sinal x(·) e depois adiciona-se oatraso t0.
– p.119/143
Mais um exemplo: y(t) = x(t/3)
Usando o teste de invariancia temporal, temos:
y(t)|t−t0 = x((t − t0)/3)
y(t)|x(t−t0) = x( t3 − t0)
Portanto o sistema e variante no tempo.
Obs.: Repare, novamente, que no caso y(t)|x(t−t0) o asubstituicao de t por t no sinal x(·) e depois adiciona-se oatraso t0.
– p.119/143
Supondo
t0 = 2 e x(t) =
1 −2 ≤ t ≤ 2
0 caso contrario
y(t)|t−t0 = x( t3 − 2
3)
y(t)|x(t−t0) = x( t3 − 2)
– p.120/143
Supondo
t0 = 2 e x(t) =
1 −2 ≤ t ≤ 2
0 caso contrario
y(t)|t−t0 = x( t3 − 2
3)
y(t)|x(t−t0) = x( t3 − 2)
– p.120/143
−10 −5 0 5 100
0.5
1
1.5
2Sinal de entrada
Tempo
x(t)
−10 −5 0 5 100
0.5
1
1.5
2Sinal de saída y(t)=x(t/3)
Tempo
y(t)
=x(t
/3)
−10 −5 0 5 100
0.5
1
1.5
2
Sinal de saída y(t)|t−2
Tempo– p.121/143
−10 −5 0 5 100
0.5
1
1.5
2Sinal de entrada u(t−2)
Tempo
−10 −5 0 5 100
1
2
Sinal de saída y(t)|x(t−2)
Tempo– p.122/143
Mais um exemplo: y(t) = x(2 − t)
Usando o teste de invariancia temporal, temos:
y(t)|t−t0 = x(2 − t + t0)
y(t)|x(t−t0) = x(2 − t − t0)
Portanto o sistema e variante no tempo.
Obs.: Repare, novamente, que no caso y(t)|x(t−t0) o asubstituicao de t por t no sinal x(·) e depois adiciona-se oatraso t0.
– p.123/143
Mais um exemplo: y(t) = x(2 − t)
Usando o teste de invariancia temporal, temos:
y(t)|t−t0 = x(2 − t + t0)
y(t)|x(t−t0) = x(2 − t − t0)
Portanto o sistema e variante no tempo.
Obs.: Repare, novamente, que no caso y(t)|x(t−t0) o asubstituicao de t por t no sinal x(·) e depois adiciona-se oatraso t0.
– p.123/143
Mais um exemplo: y(t) = x(2 − t)
Usando o teste de invariancia temporal, temos:
y(t)|t−t0 = x(2 − t + t0)
y(t)|x(t−t0) = x(2 − t − t0)
Portanto o sistema e variante no tempo.
Obs.: Repare, novamente, que no caso y(t)|x(t−t0) o asubstituicao de t por t no sinal x(·) e depois adiciona-se oatraso t0.
– p.123/143
Mais um exemplo: y(t) = x(2 − t)
Usando o teste de invariancia temporal, temos:
y(t)|t−t0 = x(2 − t + t0)
y(t)|x(t−t0) = x(2 − t − t0)
Portanto o sistema e variante no tempo.
Obs.: Repare, novamente, que no caso y(t)|x(t−t0) o asubstituicao de t por t no sinal x(·) e depois adiciona-se oatraso t0.
– p.123/143
Mais um exemplo: y(t) = x(2 − t)
Usando o teste de invariancia temporal, temos:
y(t)|t−t0 = x(2 − t + t0)
y(t)|x(t−t0) = x(2 − t − t0)
Portanto o sistema e variante no tempo.
Obs.: Repare, novamente, que no caso y(t)|x(t−t0) o asubstituicao de t por t no sinal x(·) e depois adiciona-se oatraso t0.
– p.123/143
Supondo
t0 = 2 e x(t) =
t + 1 −1 ≤ t ≤ 1
0 caso contrario
y(t)|t−t0 = x(2 − t + 2) = x(−t + 4)
y(t)|x(t−t0) = x(2 − t − 2) = x(t)
– p.124/143
Supondo
t0 = 2 e x(t) =
t + 1 −1 ≤ t ≤ 1
0 caso contrario
y(t)|t−t0 = x(2 − t + 2) = x(−t + 4)
y(t)|x(t−t0) = x(2 − t − 2) = x(t)
– p.124/143
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80
0.5
1
1.5
2Sinal de entrada
Tempo
x(t)
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80
0.5
1
1.5
2Sinal de saída y(t)=x(2−t)
Tempo
y(t)
=x(2
−t)
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80
0.5
1
1.5
2
Sinal de saída y(t)|t−2
Tempo– p.125/143
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80
0.5
1
1.5
2Sinal de entrada u(t−2)
Tempo
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80
1
2
Sinal de saída y(t)|x(t−2)
Tempo– p.126/143
Solucao: y[n] = x[−n]
Usando o teste de invariancia temporal, temos:
y[n]|n−n0= x[−n + n0]
y[n]|x[n−n0] = x[−n − n0]
Portanto o sistema e variante no tempo.
– p.127/143
Solucao: y[n] = x[−n]
Usando o teste de invariancia temporal, temos:
y[n]|n−n0= x[−n + n0]
y[n]|x[n−n0] = x[−n − n0]
Portanto o sistema e variante no tempo.
– p.127/143
Solucao: y[n] = x[−n]
Usando o teste de invariancia temporal, temos:
y[n]|n−n0= x[−n + n0]
y[n]|x[n−n0] = x[−n − n0]
Portanto o sistema e variante no tempo.
– p.127/143
Solucao: y[n] = x[−n]
Usando o teste de invariancia temporal, temos:
y[n]|n−n0= x[−n + n0]
y[n]|x[n−n0] = x[−n − n0]
Portanto o sistema e variante no tempo.
– p.127/143
Solucao: y(t) =∫ t
−∞ x(τ)dτ
Usando o teste de invariancia temporal, temos:
y(t)|t−t0 =∫ t−t0
−∞x(τ)dτ
y(t)|x(t−t0) =∫ t
−∞x(τ − t0)dτ
Fazendo uma mudanca de variavel na equacao, τ ′ = τ − t0
⇒ dτ ′ = dτ e τ → −∞ ⇒ τ ′ → −∞ e τ → t ⇒ τ ′ → t− t0, temos:
y(t)|x(t−t0) =
∫ t−t0
−∞
x(τ ′)dτ ′
Portanto o sistema e invariante no tempo.
– p.128/143
Solucao: y(t) =∫ t
−∞ x(τ)dτ
Usando o teste de invariancia temporal, temos:
y(t)|t−t0 =∫ t−t0
−∞x(τ)dτ
y(t)|x(t−t0) =∫ t
−∞x(τ − t0)dτ
Fazendo uma mudanca de variavel na equacao, τ ′ = τ − t0
⇒ dτ ′ = dτ e τ → −∞ ⇒ τ ′ → −∞ e τ → t ⇒ τ ′ → t− t0, temos:
y(t)|x(t−t0) =
∫ t−t0
−∞
x(τ ′)dτ ′
Portanto o sistema e invariante no tempo.
– p.128/143
Solucao: y(t) =∫ t
−∞ x(τ)dτ
Usando o teste de invariancia temporal, temos:
y(t)|t−t0 =∫ t−t0
−∞x(τ)dτ
y(t)|x(t−t0) =∫ t
−∞x(τ − t0)dτ
Fazendo uma mudanca de variavel na equacao, τ ′ = τ − t0
⇒ dτ ′ = dτ e τ → −∞ ⇒ τ ′ → −∞ e τ → t ⇒ τ ′ → t− t0, temos:
y(t)|x(t−t0) =
∫ t−t0
−∞
x(τ ′)dτ ′
Portanto o sistema e invariante no tempo.
– p.128/143
Solucao: y(t) =∫ t
−∞ x(τ)dτ
Usando o teste de invariancia temporal, temos:
y(t)|t−t0 =∫ t−t0
−∞x(τ)dτ
y(t)|x(t−t0) =∫ t
−∞x(τ − t0)dτ
Fazendo uma mudanca de variavel na equacao, τ ′ = τ − t0
⇒ dτ ′ = dτ e τ → −∞ ⇒ τ ′ → −∞ e τ → t ⇒ τ ′ → t− t0, temos:
y(t)|x(t−t0) =
∫ t−t0
−∞
x(τ ′)dτ ′
Portanto o sistema e invariante no tempo.
– p.128/143
Solucao: y(t) =∫ t
−∞ x(τ)dτ
Usando o teste de invariancia temporal, temos:
y(t)|t−t0 =∫ t−t0
−∞x(τ)dτ
y(t)|x(t−t0) =∫ t
−∞x(τ − t0)dτ
Fazendo uma mudanca de variavel na equacao, τ ′ = τ − t0
⇒ dτ ′ = dτ e τ → −∞ ⇒ τ ′ → −∞ e τ → t ⇒ τ ′ → t− t0, temos:
y(t)|x(t−t0) =
∫ t−t0
−∞
x(τ ′)dτ ′
Portanto o sistema e invariante no tempo.
– p.128/143
Linearidade
Um sistema e dito linear se somente se para qualquer duasentradas x1(t) e x2(t)
x1(t) → y1(t)
x2(t) → y2(t)
e que, considerando coeficientes a1 e a2
a1x1(t) + a2x2(t) → a1y1(t) + a2y2(t)
– p.129/143
LinearidadeAdicao: x1(t) + x2(t) → y1(t) + y2(t)
Homogeneidade: ax1(t) → ay1(t)
O princıpio da Superposicao se aplica
Se a entrada e a combinacao linear de diferentes entradas,a saıda e a mesma combinacao linear das saıdasresultantes.
– p.130/143
LinearidadeAdicao: x1(t) + x2(t) → y1(t) + y2(t)
Homogeneidade: ax1(t) → ay1(t)
O princıpio da Superposicao se aplica
Se a entrada e a combinacao linear de diferentes entradas,a saıda e a mesma combinacao linear das saıdasresultantes.
– p.130/143
LinearidadeAdicao: x1(t) + x2(t) → y1(t) + y2(t)
Homogeneidade: ax1(t) → ay1(t)
O princıpio da Superposicao se aplica
Se a entrada e a combinacao linear de diferentes entradas,a saıda e a mesma combinacao linear das saıdasresultantes.
– p.130/143
LinearidadeAdicao: x1(t) + x2(t) → y1(t) + y2(t)
Homogeneidade: ax1(t) → ay1(t)
O princıpio da Superposicao se aplica
Se a entrada e a combinacao linear de diferentes entradas,a saıda e a mesma combinacao linear das saıdasresultantes.
– p.130/143
Exemplos
Determine se os seguintes sistemas sao lineares:
y[n] = x[n]2
y(t) = x(2t)
y[n] = x[−n]
y[n] = nx[n + 3]
y(t) = sin(2πx(t))
y(t) =∫ t
−∞x(τ)dτ
y(t) =∫∞
tx(τ)dτ
y(t) = dx(t)dt
y[n] = 111
∑5k=−5 x[n + k]
– p.131/143
Solucao:y[n] = x[n]2
Usando o princıpio da superposicao, temos:
y1[n] = x1[n]2
ey2[n] = x2[n]2
y[n] = y1[n] + y2[n] = x1[n]2 + x2[n]2
Considerando a entrada como sendo x[n] = x1[n] + x2[n],temos
y[n] = (x1[n]+x2[n])2 = x1[n]2+x2[n]2+2∗x1[n]x2[n] 6= y1[n]+y2[n]
Logo o sistema e nao-linear
– p.132/143
Solucao:y[n] = x[n]2
Usando o princıpio da superposicao, temos:
y1[n] = x1[n]2
ey2[n] = x2[n]2
y[n] = y1[n] + y2[n] = x1[n]2 + x2[n]2
Considerando a entrada como sendo x[n] = x1[n] + x2[n],temos
y[n] = (x1[n]+x2[n])2 = x1[n]2+x2[n]2+2∗x1[n]x2[n] 6= y1[n]+y2[n]
Logo o sistema e nao-linear
– p.132/143
Solucao:y[n] = x[n]2
Usando o princıpio da superposicao, temos:
y1[n] = x1[n]2
ey2[n] = x2[n]2
y[n] = y1[n] + y2[n] = x1[n]2 + x2[n]2
Considerando a entrada como sendo x[n] = x1[n] + x2[n],temos
y[n] = (x1[n]+x2[n])2 = x1[n]2+x2[n]2+2∗x1[n]x2[n] 6= y1[n]+y2[n]
Logo o sistema e nao-linear
– p.132/143
Solucao:y[n] = x[n]2
Usando o princıpio da superposicao, temos:
y1[n] = x1[n]2
ey2[n] = x2[n]2
y[n] = y1[n] + y2[n] = x1[n]2 + x2[n]2
Considerando a entrada como sendo x[n] = x1[n] + x2[n],temos
y[n] = (x1[n]+x2[n])2 = x1[n]2+x2[n]2+2∗x1[n]x2[n] 6= y1[n]+y2[n]
Logo o sistema e nao-linear
– p.132/143
Solucao:y(t) = sin(2πx(t))
Usando o princıpio da superposicao, temos:
y1(t) = sin(2πx1(t))
ey2(t) = sin(2πx2(t))
y(t) = y1(t) + y2(t) = sin(2πx1(t)) + sin(2πx2(t))
Considerando a entrada como sendo x[n] = x1[n] + x2[n],temos
y(t) = sin(2π(x1(t) + x2(t))
= sin(2πx1(t))cos(2πx2(t)) + sin(2πx2(t))cos(2πx1(t))
6= y1(t) + y2(t)
Logo o sistema e nao-linear
– p.133/143
Solucao:y(t) = sin(2πx(t))
Usando o princıpio da superposicao, temos:
y1(t) = sin(2πx1(t))
ey2(t) = sin(2πx2(t))
y(t) = y1(t) + y2(t) = sin(2πx1(t)) + sin(2πx2(t))
Considerando a entrada como sendo x[n] = x1[n] + x2[n],temos
y(t) = sin(2π(x1(t) + x2(t))
= sin(2πx1(t))cos(2πx2(t)) + sin(2πx2(t))cos(2πx1(t))
6= y1(t) + y2(t)
Logo o sistema e nao-linear
– p.133/143
Solucao:y(t) = sin(2πx(t))
Usando o princıpio da superposicao, temos:
y1(t) = sin(2πx1(t))
ey2(t) = sin(2πx2(t))
y(t) = y1(t) + y2(t) = sin(2πx1(t)) + sin(2πx2(t))
Considerando a entrada como sendo x[n] = x1[n] + x2[n],temos
y(t) = sin(2π(x1(t) + x2(t))
= sin(2πx1(t))cos(2πx2(t)) + sin(2πx2(t))cos(2πx1(t))
6= y1(t) + y2(t)
Logo o sistema e nao-linear
– p.133/143
Solucao:y(t) = sin(2πx(t))
Usando o princıpio da superposicao, temos:
y1(t) = sin(2πx1(t))
ey2(t) = sin(2πx2(t))
y(t) = y1(t) + y2(t) = sin(2πx1(t)) + sin(2πx2(t))
Considerando a entrada como sendo x[n] = x1[n] + x2[n],temos
y(t) = sin(2π(x1(t) + x2(t))
= sin(2πx1(t))cos(2πx2(t)) + sin(2πx2(t))cos(2πx1(t))
6= y1(t) + y2(t)
Logo o sistema e nao-linear
– p.133/143
Solucao:y[n] = 111
∑5k=−5 x[n + k]
Usando o princıpio da superposicao, temos:
y1[n] =1
11
5∑
k=−5
x1[n + k] e y2[n] =1
11
5∑
k=−5
x2[n + k]
Considerando a entrada como sendo x[n] = x1[n] + x2[n],temos
y[n] =1
11
5∑
k=−5
(x1[n + k] + x2[n + k])
=1
11
(5∑
k=−5
x1[n + k] +5∑
k=−5
x2[n + k]
)
=1
11
5∑
k=−5
x1[n + k] +1
11
5∑
k=−5
x2[n + k]
= y1[n] + y2[n]
Logo o sistema e linear (homogeneidade tambem seaplica)
– p.134/143
Solucao:y[n] = 111
∑5k=−5 x[n + k]
Usando o princıpio da superposicao, temos:
y1[n] =1
11
5∑
k=−5
x1[n + k] e y2[n] =1
11
5∑
k=−5
x2[n + k]
Considerando a entrada como sendo x[n] = x1[n] + x2[n],temos
y[n] =1
11
5∑
k=−5
(x1[n + k] + x2[n + k])
=1
11
(5∑
k=−5
x1[n + k] +5∑
k=−5
x2[n + k]
)
=1
11
5∑
k=−5
x1[n + k] +1
11
5∑
k=−5
x2[n + k]
= y1[n] + y2[n]
Logo o sistema e linear (homogeneidade tambem seaplica)
– p.134/143
Solucao:y[n] = 111
∑5k=−5 x[n + k]
Usando o princıpio da superposicao, temos:
y1[n] =1
11
5∑
k=−5
x1[n + k] e y2[n] =1
11
5∑
k=−5
x2[n + k]
Considerando a entrada como sendo x[n] = x1[n] + x2[n],temos
y[n] =1
11
5∑
k=−5
(x1[n + k] + x2[n + k])
=1
11
(5∑
k=−5
x1[n + k] +5∑
k=−5
x2[n + k]
)
=1
11
5∑
k=−5
x1[n + k] +1
11
5∑
k=−5
x2[n + k]
= y1[n] + y2[n]
Logo o sistema e linear (homogeneidade tambem se aplica)– p.134/143
Exemplo 1 - Propriedades
Determine se o sistema descrito pela equacao
y(t) = 2x(3t − 3)
e:
com memoria,
invertıvel,
estavel
invariante no tempo,
linear
– p.135/143
Exemplo 1 - Solucao
Memoria - Para t = 0, temos
y(0) = 3x(3)
ou seja, tem memoria e e nao-causal
Invertibilidade - Fazendo τ = 3t + 3, temos
y(τ
3− 3)
= 3x(τ)
1
3y(τ
3− 3)
= x(τ)
ou seja, x(t) = 13y(
t3 − 3
)e gera valores unicos, logo o
sistema e invertıvel
Estabilidade - Supondo x(t) < M , temos y(t) < 3M , logo osistema e estavel.
– p.136/143
Exemplo 1 - Solucao
Memoria - Para t = 0, temos
y(0) = 3x(3)
ou seja, tem memoria e e nao-causal
Invertibilidade - Fazendo τ = 3t + 3, temos
y(τ
3− 3)
= 3x(τ)
1
3y(τ
3− 3)
= x(τ)
ou seja, x(t) = 13y(
t3 − 3
)e gera valores unicos, logo o
sistema e invertıvel
Estabilidade - Supondo x(t) < M , temos y(t) < 3M , logo osistema e estavel.
– p.136/143
Exemplo 1 - Solucao
Memoria - Para t = 0, temos
y(0) = 3x(3)
ou seja, tem memoria e e nao-causal
Invertibilidade - Fazendo τ = 3t + 3, temos
y(τ
3− 3)
= 3x(τ)
1
3y(τ
3− 3)
= x(τ)
ou seja, x(t) = 13y(
t3 − 3
)e gera valores unicos, logo o
sistema e invertıvel
Estabilidade - Supondo x(t) < M , temos y(t) < 3M , logo osistema e estavel.
– p.136/143
Invariancia no tempo - Temos
3x(3t − t0 + 3) 6= 3x(3(t − t0) + 3)
logo o sistema e variante no tempo.
Linearidade - Temos
ax1(t) → y1(t) = 3ax1(3t + 3)
bx2(t) → y2(t) = 3bx2(3t + 3)
ax1(t) + bx2(t) → y(t) = 3(ax1(3t + 3) + bx2(3t + 3)) = y1(t) + y2(t)
logo o sistema e linear.
– p.137/143
Invariancia no tempo - Temos
3x(3t − t0 + 3) 6= 3x(3(t − t0) + 3)
logo o sistema e variante no tempo.
Linearidade - Temos
ax1(t) → y1(t) = 3ax1(3t + 3)
bx2(t) → y2(t) = 3bx2(3t + 3)
ax1(t) + bx2(t) → y(t) = 3(ax1(3t + 3) + bx2(3t + 3)) = y1(t) + y2(t)
logo o sistema e linear.
– p.137/143
Exemplo 2 - Propriedades
Determine se o sistema descrito pela equacao
y(t) =
∫ t+1
t
x(τ − α)dτ
e:
com memoria,
invertıvel,
estavel
invariante no tempo,
linear
causal (para quais valores de α?)
– p.138/143
Exemplo 2 - Solucao
Memoria - Para t = 0 e aplicando o TFC, temos
y(0) =
∫ 1
0
x(τ − α)dτ = X(1 − α) − X(−α)
ou seja, tem memoria (repare no valor de α).
Invertibilidade - Fazendo ν = τ − α
y(t) =
∫ t−α+1
t−α
x(ν)dν
usando o Teorema Fundamental do Calculo, temos:
y(t) = X(t − α + 1) − X(t − α)
Derivando a expressao acima
dy(t)
dt= x(t − α + 1) − x(t − α)
que e invertıvel.
– p.139/143
Exemplo 2 - Solucao
Memoria - Para t = 0 e aplicando o TFC, temos
y(0) =
∫ 1
0
x(τ − α)dτ = X(1 − α) − X(−α)
ou seja, tem memoria (repare no valor de α).
Invertibilidade - Fazendo ν = τ − α
y(t) =
∫ t−α+1
t−α
x(ν)dν
usando o Teorema Fundamental do Calculo, temos:
y(t) = X(t − α + 1) − X(t − α)
Derivando a expressao acima
dy(t)
dt= x(t − α + 1) − x(t − α)
que e invertıvel.
– p.139/143
Exemplo 2 - Solucao
Memoria - Para t = 0 e aplicando o TFC, temos
y(0) =
∫ 1
0
x(τ − α)dτ = X(1 − α) − X(−α)
ou seja, tem memoria (repare no valor de α).
Invertibilidade - Fazendo ν = τ − α
y(t) =
∫ t−α+1
t−α
x(ν)dν
usando o Teorema Fundamental do Calculo, temos:
y(t) = X(t − α + 1) − X(t − α)
Derivando a expressao acima
dy(t)
dt= x(t − α + 1) − x(t − α)
que e invertıvel.– p.139/143
Estabilidade - Supondo x(t) < M , temos:
y(t) =
∫ t+1
t
x(τ − α)dτ
|y(t)| =
∣∣∣∣
∫ t+1
t
x(τ − α)
∣∣∣∣dτ
≤∫ t+1
t
|x(τ − α)|dτ
≤∫ t+1
t
Mdτ
≤ Mτ |t+1t = M
portanto, o sistema e estavel.
– p.140/143
Invariancia Fazendo ν = τ − α
y(t) =
∫ t−α+1
t−α
x(ν)dν
temos:
y(t)|t−t0 =∫ t−t0−α+1
t−t0−αx(ν)dν
y(t)|x(t−t0) =∫ t−α+1
t−αx(ν − t0)dν
Fazendo η = ν − t0, temos:
y(t)|x(t−t0) =
∫ t−t0−α+1
t−t0−α
x(η)dη
portanto, o sistema e invariante no tempo
– p.141/143
Invariancia Fazendo ν = τ − α
y(t) =
∫ t−α+1
t−α
x(ν)dν
temos:
y(t)|t−t0 =∫ t−t0−α+1
t−t0−αx(ν)dν
y(t)|x(t−t0) =∫ t−α+1
t−αx(ν − t0)dν
Fazendo η = ν − t0, temos:
y(t)|x(t−t0) =
∫ t−t0−α+1
t−t0−α
x(η)dη
portanto, o sistema e invariante no tempo
– p.141/143
Linearidade - Temos
ax1(t) → y1(t) =
∫ t+1
t
ax1(τ − α)dτ
bx2(t) → y2(t) =
∫ t+1
t
bx2(τ − α)dτ
ax1(t) + bx2(t) → y(t) =
∫ t+1
t
(ax1(τ − α) + bx2(τ − α))dτ
y(t) =
∫ t+1
t
ax1(τ − α)dτ +
∫ t+1
t
bx2(τ − α))dτ
y(t) = y(1) + y2(t)
logo o sistema e linear.
– p.142/143
Causalidade - Usando o teorema fundamental do calculo
y(t) =
∫ t+1
t
x(τ − α)dτ = X(t + 1 − α) − X(t − α)
para que seja causal, e preciso que:
t + 1 − α ≤ t
α ≥ 1
– p.143/143
