SumárioINTEGRAL..................................................................................................................................2

Introdução...................................................................................................................................2

Introduction.................................................................................................................................2

1 História da Integral.................................................................................................................3

2 Desafios...................................................................................................................................7

2.1 Desafio A..............................................................................................................................8

Solução:......................................................................................................................................8

2.2 Desafio B..............................................................................................................................9

Solução:......................................................................................................................................9

2.3 Desafio C...........................................................................................................................10

Solução:....................................................................................................................................10

Solução:....................................................................................................................................11

5.1 Receita Média Marginal...................................................................................................11

Bibliografia................................................................................................................................12

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INTEGRAL

Introdução

Muitas demarcações de terrenos na antiguidade, não eram figuras

poligonais. Com o intuito de calcular essas áreas, foram desenvolvidos os

estudos sobre integrais. Em seguida, muitos matemáticos dedicaram seus

esforços com intensão desenvolver o conceito de integração já não mais

somente com o objetivo inicial de calcular áreas. Alguns deles foram Newton-

Leibniz, Cauchy, Riemann e Lebesgue os quais serão apresentados de forma

sucinta neste artigo

Introduction

In this work we will talk a little about the concept of derivative and

derivation rules . We will address the themes derived from space and also

acceleration , and in calculating the derivative is the instantaneous rate of

change of a function. We will also talk about Euller constant, harmonic series

and population growth.

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1 História da Integral

A quadratura foram os primeiros problemas que apareceram na história

relacionados com as integrais. A medição de superfícies a fim de encontrar

suas áreas foram um dos problemas mais antigos enfrentado pelos gregos. O

quadrado por ser uma figura plana simples, era relacionado com a aérea

quando começaram a estudar as aéreas de figura plana pelos geômetras. Eles

procuravam sempre um quadrado que tivesse a aérea igual à da figura em

questão.

O termo antigo quadratura tornou-se sinônimo do processo de

determinar aéreas.

Uma das maiores contribuições gregas para o Cálculo, e que se tornou

uma das mais importantes, surgiu por volta o ano 225 a.c., foi o Teorema de

Arquimedes para a quadratura de parábola.

A área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda

qualquer é igual a 4/3 da aérea de um triangulo que tem a mesma altura e que

tem a corda como base, foi descoberto por Arquimedes.

Uma soma com infinitos termos também foi gerada por Arquimedes, com

o método de exaustão, evitou a dificuldade com a quantidade infinita de

parcelas, conseguindo assim provar rigorosamente o seu resultado. Foi

conhecido assim o primeiro exemplo de soma infinito resolvido.

O método de exaustão para encontrar a área do círculo foi outra

contribuição de Arquimedes, obtendo assim uma das primeiras aproximações

para o numero

Arquimedes realizou outras “integrações” para encontrar: o volume do

cone e a aérea da superfície cônica, o volume da esfera e a aérea da superfície

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esférica, o volume de um paraboloide de revolução, a aérea da região limitada

por uma elipse e o volume de um hiperboloide de revolução. Somas com

números infinitos de parcelas eram encontradas por Arquimedes em seus

cálculos. Para poder escapar da situação incomoda era utilizado um argumento

chamado reductio ad absurdum. Se não podia ser nem maior nem menor,

tinha que ser igual.

No final do século XVI apareceu a próxima contribuição para o Cálculo

Integral, foi quando vários matemáticos da área da mecânica começaram a

examinar problemas relacionados com o centro de gravidade. Para resolver

problemas de cálculo de área desse mesmo tipo Luca Valerio utilizou o mesmo

método grego e também publicou De quadratura parabolae em Roma no ano

de 1606.

Em seu trabalho sobre o movimento dos planetas, Kepler, teve que

encontrar as áreas de vários setores de uma região elíptica. Kepler, tinha um

método que consistia em pensar na superfície como a soma de linhas, mas

esse era um método que apresentava muita imprecisão na prática.

Analogamente pensava na soma de fatias planas para calcular volumes

sólidos. Ele calculou os volumes de muitos sólidos formados pela revolução

bidimensional ao redor de um eixo desse modo. Kepler subdividia o sólido em

várias fatias, chamando-as de infinitésimo, e somando elas se aproximavam do

volume desejado para cada um desses volumes.

O Cálculo Integral teve grande contribuição de outros matemáticos que

foram, Fermat e Cavalieri. Sobre quantidades infinitamente pequenas, Cavalieri

desenvolveu a ideia de Kepler, em Geometria Indivisibilibus, que foi sua obra

mais conhecida. Aparentemente, uma soma inifinita de componentes ou

segmentes “indivisíveis”, foi o pensamento de Cavalieri. Hoje em dia

escrevemos o método eu ele usou assim:

Wallis, aritmetizou todo o processo geométrico desenvolvido por

Cavalieri. Os princípios de Indução e interpolação, foram desenvolvidos por

Wallis em 1655, em seu trabalho Arithmetica Infinitirium, diversos resultados

importantes foram encontrados por ele, entre eles, a antecipação de parte do

trabalho de Euller sobre a função gamma.

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A técnica par achar áreas sob cada uma das chamadas “parábolas

maiores” foi desenvolvia por Farmat: curvas do tipo , onde k > 0 é

constante e n= 2,3,4, etc. A série geométrica para cada um foi empregada para

as curvas do tipo , onde k>0 e n= -2,-3,-4, etc. Fermat, Descartes,

Blaise Pascal, Torricelli e outros, por volta de 1640 já conhecia a formula geral

da integral das parábolas maiores.

Desde a época de Galileo, já era estudado o problema do movimento. O

problema do movimento com velocidade várias era considerado tanto por

Barrow como Torriccelli. A velocidade e a operação inversa era a derivada da

distância, partindo da velicidade, levava a distância. Desenvolveu-se

naturalmente a idéia de operação inversa da derivada, a partir desse problema

envolvendo o movimento, e era familiar a Barrow a ideia de que a deriva e a

integral eram processos inversos. Barrow estava trabalhando em direção a

esse resultado, embora nunca tenha enunciado formalmente o Teorema

Fundamental do Cálculo, mas quem formulou o teorema continuando na

mesma direção, entretanto foi Newton.

Os trabalhos de Galileo e Barrow sobre o estudo do movimento dos

corpos foram dado continuidade com Newton, que aproximadamente dez anos

antes de Leibniz, desenvolveu o Cálculo. Os métodos de das fluxions –

derivação – e fluents – integração - foram desenvolvidos por ele, que acabou

utilizando-os na mecânica clássica. Newton considerou a integração como a

inversa da derivação, para ele, isso consistia em achar fluents para um dado

fluxion. Por exemplo, Newton sabia que a derivada da velocidade era a

aceleração, e a integral da aceleração era a velocidade.

Um acento grave em cima da letra em questão, era como Newton

representava as integrais, um exemplo seria: a integral de y era representada

por y´.

De uma maneira bastante parecida como a de Cavalieri, Leibniz usava a

integração como uma soma, diferentemente de Newton. Disso veio o símbolo

- (Letra s longa) – representando summa. “Represento a área de uma figura

pela soma das áreas de todos os retângulos infinitesimais definido pelas

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ordenadas e pelas diferenças entre abscissas...e portanto eu represento em

meu cálculo a área da figura por ydx”.

O Cálculo Integral foi desenvolvido separadamente pelos dois,

entretanto, ele era visto como geométrico por Newton e mais como analítico

por Leibniz.

Como Leibniz acreditava que era de fundamental importância a notação,

e realmente a sua foi mais eficaz do que a de Newton, se consolidou e é

utilizada até os dias de hoje da mesma forma como era utilizada por

ele.Newton não foi feliz em encontrar uma notação consistente, pois escrevia

para si próprio.

Com o nome de Calculus Summatorius, os trabalhos de Leibnitz sobre

Calculo Integral em 1684 e 1686 foram publicados. Johann Bernoulli criou o

nome Calculo Integral, e o seu irmão mais velho Jacques Bernoulli em 1690 o

publicou pela primeira vez.

A visão das integrais é de que eram simplesmente derivadas “reversas”,

principalmente pela conseqüência do Teorema Fundamental do Calculo de

Newton. Johann Bernoulli descobriu o método de frações parciais, que são

processos sistemáticos para integrar todas as funções racionais, isso na

mesma época que Newton publicou as tabelas de integrais. Leonard Euler, em

sua obra sobre integrais resumiu toda a idéia de Johann.

Junto com Cauchy, Gauss e Riemann, Euler deu continuidade ao estudo

de funções (prematuro na época), após o estabelecimento do Calculo. Todo

conhecimento desenvolvido foi recolhido por Euller e o mesmo criou os

fundamentos da Análise.

Hoje em várias áreas do conhecimento humano o calculo integral é

introduzido para a solução de problemas não só de Matemática, mas de

Economia, Engenharia, Medicina, Quimica, Fisica e etc.

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2 Desafios

O petróleo (do latim petroleum, onde petrus = pedra e oleum = óleo) é

um recurso natural abundante, definido como um composto de hidrocarboneto,

oleoso, inflamável, geralmente menos denso que a água e que possui uma

coloração que varia do incolor até o preto.

Na Antiguidade, era usado para fins medicinais e para lubrificação.

Atribuíam-se ao petróleo propriedades laxantes, cicatrizantes e anti-sépticas.

Atualmente, se configura a principal fonte de energia do planeta. Além de gerar

gasolina, que serve de combustível para grande parte dos automóveis que

circulam no mundo, vários produtos são derivados do petróleo, como por

exemplo, a parafina, o asfalto, querosene, solventes e óleo diesel.

O processo de extração do petróleo varia muito, de acordo com a

profundidade em que o óleo se encontra, e pode estar nas primeiras camadas

do solo ou até milhares de metros abaixo do nível do mar.

A empresa Petrofuels tem como principal atividade, a extração de

petróleo no Brasil. Para tanto, de tempo em tempo, são levantadas por

geógrafos, agrônomos, paleontólogos, engenheiros e outros especialistas,

regiões que apresentem maior probabilidade de se encontrar petróleo. Por

meio de estudos com aviões sonda, satélites e de pequenos terremotos

artificiais, essas regiões são selecionadas e se confirmada a presença de

petróleo, inicia-se o projeto para extração do mesmo. Recentemente, a

empresa Petrofuels descobriu gigantescas reservas na bacia de Santos.

O desafio geral desta ATPS propõe identificar qual é a quantidade total

mensal de óleo que poderá ser extraído deste poço recém descoberto.

Para tanto, quatorze desafios são propostos. Cada desafio, após ser

devidamente realizado, deverá ser associado a um número (0 a 9). Esses

números, quando colocados lado a lado na ordem de realização das etapas,

fornecerão os algarismos que irão compor a quantidade total mensal de óleo

que poderá ser extraído.

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2.1 Desafio A

.

Solução:

8

2.2 Desafio B

Solução:

9

2.3 Desafio C

Solução:

10

2.4 Desafio D

Solução:

5.1 Receita Média Marginal

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