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APOSTILA MATEMÁTICA FINANCEIRA
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Prof. Felipe Lemos
Aulas 01 e 02
Matemtica financeira
Engenharia Econmica
Engenharia Econmica Prof. Felipe Lemos
Problema de aquecimento
Voc tem uma fbrica de portas. Seus produtos possuem um
componente cuja fabricao feita por injeo. Atualmente voc gasta
R$ 1,00 por pea para ser feita, sendo que vende 10.000 peas no
ms.
Uma injetora como voc gostaria e o molde para sua pea seriam um
investimento de R$ 300.000,00. O custo anual de operao e
manuteno seria de R$ 30.000,00. A capacidade de produo da
mquina de 100 peas por hora.
O que voc faria? Vale pena comprar?
Engenharia Econmica Prof. Felipe Lemos
Problema de aquecimento
Considere que voc possui R$ 600.000,00 guardados para este fim
em banco, em uma aplicao que rende 8% ao ano, e que conta com
as seguintes opes:
FINAME: financiamento em 4 anos com parcela anuais iguais a R$ 81.675,34; Consrcio: parcelas anuais de R$ 76.884,33 com sorteio anuais; Usar o capital prprio Continuar terceirizando
Considere que a mquina no vale mais nada ao final de 4 anos.
Desconsidere tambm efeitos fiscais.
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Problema de aquecimento
Usar capital prprio para comprar a mquina:
8% de juros
sobre o saldo
do ano anterior
Gastos de
operao
Investimento
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Problema de aquecimento
Continuar terceirizando
8% de juros
sobre o saldo
do ano anterior
Gastos com
fornecedor
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Problema de aquecimento
FINAME:
8% de juros
sobre o saldo
do ano anterior
Gasto com
financiamento e
operao
InvestimentoFinanciamento
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Problema de aquecimento
Consrcio, contemplado no primeiro sorteio:
8% de juros
sobre o saldo
do ano anterior
Gasto com
parcelas e
operao
InvestimentoContemplado
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Problema de aquecimento
Consrcio, contemplado no ano 1:
8% de juros
sobre o saldo
do ano anterior
Gasto com
parcelas e
operao
Investimento,
terceirizao no
ano 1 e parcelaContemplado
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Problema de aquecimento
Considere novos cenrios:
E se as vendas crescerem para 20.000? E se cairem para 5.000? E se o rendimento da aplicao cair para 6%? E se subir para 15%? E se o preo da terceirizao cair para R$ 0,75? E se o preo da terceirizao
subir para R$ 1,50?
E se eu puder vender a mquina por R$ 75.000,00 ao fim de 4 anos? E se o custo de operao anual for de R$ 20.000,00? E se for R$ 50.000,00? E se a capacidade da mquina for de 50 peas por hora? E se for de 200? E se ?
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Engenharia econmica: objetivos
Entender e saber manipular o dinheiro no tempo
Modelar sistemas de produo do ponto de vista econmico
Avaliar opes de investimento, diferentes tecnologias, diferentesmtodos, sob o crivo econmico
Avaliar risco
Conhecer ferramentas de financiamento e investimento demercado
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Engenharia econmica: contexto
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Cronograma
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Dinheiro no tempo
Por que R$ 1,00 hoje vale mais do que R$ 1,00 amanh?
Risco de no receber
Inflao
Custo de oportunidade
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Aula de hoje: matemtica financeira
Regime de capitalizao composta ou exponencial
Equivalncia de capitais
Exemplo de fluxo de caixa
Srie uniforme
Perpetuidades
Equivalncia de taxas de juros
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Regime de capitalizao composta
S = P (1 + i )n
S valor futuro
P valor presente
i taxa de juros
n nmero de periodos
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Regime de capitalizao composta
Exemplo:
se tenho R$ 100,00 e coloco na poupana que rende
0,5% ao ms, quanto terei em 6 meses?
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Regime de capitalizao composta
Exemplo:
se tenho R$ 100,00 e coloco na poupana que rende
0,5% ao ms, quanto terei em 6 meses?
S = P (1 + i )n
S = 100 (1 + 0,005)6 = R$ 103,04
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Regime de capitalizao composta
Exemplo:
quanto tenho que colocar em um CDB, que rende 1% ao
ms, para ter R$ 1.000,00 daqui um ano?
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Regime de capitalizao composta
Exemplo:
quanto tenho que colocar em um CDB, que rende 1% ao
ms, para ter R$ 1.000,00 daqui um ano?
S = P (1 + i )n
1000 = P (1 + 0,01)12 = R$ 887,45
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Regime de capitalizao composta
Exemplo:
um ttulo do governo com valor de face de R$ 10.000,00
pode ser comprado hoje por R$ 9.250,00, com prazo de
1 ano. Qual a taxa de juros mensal?
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Regime de capitalizao composta
Exemplo:
um ttulo do governo com valor de face de R$ 10.000,00
pode ser comprado hoje por R$ 9.250,00, com prazo de
1 ano. Qual a taxa de juros mensal?
S = P (1 + i )n
10.000 = 9.250 (1 + i )12
1 + i = (10.000 / 9.250)1/12
i = 0,6518%
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Regime de capitalizao composta
Exemplo:
quanto tempo tenho que deixar R$ 1.000 na poupana
(0,5% ao ms) para ter R$ 1.200,00?
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Regime de capitalizao composta
Exemplo:
quanto tempo tenho que deixar R$ 1.000 na poupana
(0,5% ao ms) para ter R$ 1.200,00?
S = P (1 + i )n
1.200 = 1.000 (1 + 0,005 )n
(1 + 0,005 )n = 1,2
n = log1,005 1,2 = log10 1,2
log10 1,005=
1,2
1,005= 36,55 meses
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Regime de capitalizao composta
Exerccio:
quanto tempo tenho que deixar um certo capital em uma
aplicao que rende 10% ao ano para que ele dobre?
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Equivalncia de capitais
Dois capitais so equivalentes quando obedecem a relao de
capitalizao composta em um dado contexto.
R$ 100,00 equivalente a R$ 103,04 a uma taxa de 0,5% ao ms, 6 meses antes
R$ 1.000,00 equivalente a R$ 887,45 a uma taxa de 1% ao ms, 12 meses depois
R$ 10.000 equivalente a R$ 9.250 a uma taxa de 0,6518% ao ms, 12 meses antes
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Fluxo de caixa
0
1 2
3
4
Estruturao
Encaixes: seta para cima
Desencaixes: seta para baixo
Escala coerente com a taxa de juros
R$ 10.000,00
R$ 3.500,00
R$ 2.500,00
R$ 1.000,00
R$ 5.500,00
Compro um carrinho de pipoca a R$ 10.000,00, lucro R$ 3.500,00 no primeiro ms,
R$ 2.500,00 no segundo, tenho um prejuzo de R$ 1.000,00 (manuteno) e um
lucro de R$ 5.500 no quarto ms, quando vendo-o usado. Foi um bom negcio?
Considere que meu dinheiro poderia ter rendido 2% ao ms.
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Fluxo de caixa
0
1 2
3
4
R$ 10.000,00
R$ 3.500,00
R$ 2.500,00
R$ 1.000,00
R$ 5.500,00
Comparao sempre em um nico
ponto no tempo (geralmente 0):
R$ 10.000,00 j est no 0
Quanto vale R$ 3.500,00 um ms depois?
3.500 = P (1 + 0,02 )1 P = R$ 3.431,37
Quanto vale R$ 2.500,00 dois meses depois?
2.500 = P (1 + 0,02 )2 P = R$ 2.402,92
Quanto vale R$ 1.000,00 trs meses depois?
1.000 = P (1 + 0,02 )2 P = R$ 942,32
Quanto vale R$ 5.500,00 quatro meses depois?
5.500 = P (1 + 0,02 )2 P = R$ 5.081,15
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Fluxo de caixa
0
1 2
3
4
R$ 10.000,00
R$ 3.500,00
R$ 2.500,00
R$ 1.000,00
R$ 5.500,00
Saldo (comparando todos no perodo 0):
-10.000,00 + 3.431,37 + 2.402,92 - 942,32 + 5.081,15 = R$ -26,88
Meu dinheiro teria rendido mais na aplicao
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Fluxo de caixa
Exerccio:
Considere um fluxo de caixa com a seguinte caracterstica:
Investimento de R$ 10.000,00
Retornos anuais de R$ 2.000,00 por 10 anos
Custo de oportunidade de 10% ao ano
Vale pena o investimento? E se o seu custo de oportunidade for de 20% ao ano?
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Srie uniforme
0
1 2 3 4
x x x x Caso especial: srie com um
investimento no perodo 0 e
retornos iguais nos demais (ou o
contrrio, entrada no perodo 0 e
pagamentos iguais nos demais)
Muito comum: financiamentos,
negcios estveis, aplicaes
financeiras etc.
= (1 + )1
(1 + )
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Srie uniforme: exemplo
Sua loja vende um produto que custa R$ 1.000,00 vista. Seu custo financeiro de
2% a.m. Quanto deve ser o valor da parcela se voc divider em 12 vezes?
= (1 + )1
(1 + )
1.000 = (1 + 0,02)121
(1 + 0,02)120,02 =
1000
1,0212 11,02120,02
=1000
10,5753= $94,56
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Srie uniforme: exemplo
Sua fbrica vende um produto por R$ 600,00 em 4 parcelas de R$ 150,00 sem juros,
sendo uma vista e as outras 3 com 30, 60 e 90 dias. Considerando um custo de financeiro
de 1% a.m., calcule o desconto que pode ser dado vista.
= (1 + )1
(1 + )
= 150(1 + 0,01)31
(1 + 0,01)30,01 = 150
1,013 1
1,0130,01= 150 2,9410 = $ 441,15
= 150[] + 441,15[] = $591,15
=600 591,15
600= 1,475%
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Srie uniforme: exemplo
Sua fbrica vende um produto por R$ 900,00 em 3 parcelas de R$ 300,00 sem juros, com
30, 60 e 90 dias. Considerando um custo de financeiro de 1% a.m., calcule o desconto que
pode ser dado vista.
= (1 + )1
(1 + )
= 300(1 + 0,01)31
(1 + 0,01)30,01 = 300
1,013 1
1,0130,01= 300 2,9410 = $ 882,30
=900 882,30
900= 1,97%
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Srie uniforme: exemplo
Voc tem a opo de comprar um produto por R$ 1.000,00 dividido em 4 parcelas iguais
mensais, sem entrada. Se pagar vista, tem 3% de desconto. Supondo que voc possui
dinheiro suficiente e este est rendendo 1% ao ms no banco, avalie a melhor opo.
= (1 + )1
(1 + )
= 250(1 + 0,01)41
(1 + 0,01)40,01 = 250 3,9020 = $ 975,50
= 1.000 1 0,03 = $ 970,00
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Perpetuidade
0
1 2 3
x x x x Caso especial: srie com um
recebimentos ou retornos iguais
infinitamente
Muito comum em avaliaes de
empresas ou ativos durveis.
=
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Perpetuidade: exemplo
Voc dono de uma fbrica que lucra anualmente R$ 500.000,00, lquido e disponvel aos
acionistas. Um banco de investimento faz uma oferta de R$ 2.000.000,00 por 50% da sua
empresa. Qual sua deciso, supondo que seu custo de oportunidade previsto para os
prximos anos a atual taxa SELIC?
=
=250.000,00
0,1225 =
250.000,00
0,1225= $ 2.040.816,33
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Equivalncia de taxa de juros
O que melhor: uma aplicao rende 12% ao ano e ou 1% ao ms?
Se colocarmos R$ 1,00 em uma aplicao de 12% ao ano, ao final de 1 ano teremos:
S = 1 (1 + 0,12 )1 = R$ 1,20
Se colocarmos R$ 1,00 em uma aplicao de 1% ao ms, ao final de 1 ano teremos:
S = 1 (1 + 0,01 )12 = R$ 1,27
Como podemos converter taxas equivalentes, ento?
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Equivalncia de taxa de juros
Taxa equivalentes so aquelas que levam mesma capitalizao
em perodos iguais.
S1 = P1 (1 + i1 )n1
S2 = P2 (1 + i2 )n2
Para que seja equivalentes, S1/P1 = S2/P2, ento (1 + i1 )n1 = (1 + i2 )n2
Exemplo: qual o equivalente mensal de 10% ao ano?
1 ano (n1) = 12 meses (n2)
(1 + 0,1 )1 = (1 + i2 )12 i2 = 0,7974%
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Equivalncia de taxa de juros
Exerccio: quanto a poupana rende ao ano?
(A poupana uma aplicao que rende 0,5% ao ms)
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Equivalncia de taxa de juros: exemplos
Quanto rende a taxa SELIC ao ms?
(1 + 0,1225 )1 = (1 + i )12 i = 0,9676%
Quanto rende a poupana ao ano? (0,5% a.m.)
(1 + i )1 = (1 + 0,005 )12 i = 6,1678%
Quanto custa o crdito rotativo do carto de crdito ao ano? (8,90% a.m.)
(1 + i )1 = (1 + 0,089 )12 i = 178,1855%
Quanto a taxa ao bimestre de uma aplicao que rende 3,5% ao trimestre?
(1 + i )3 = (1 + 0,035 )2 i = 2,3199%
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Financiamentos
Modelos de financiamento
Price: parcelas iguais
SAC: Sistema de Amortizaes Constantes
SACRE: Sistema de Amortizaes CREscentes
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Financiamentos
Tabela Price (5 anos, 10% a.a.)
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Financiamentos
Tabela Price (5 anos, 10% a.a.)
Frmula de
sries uniformes
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Financiamentos
Tabela Price (5 anos, 10% a.a.)
10% do saldo
devedoranterior
Amortizao = Prestao Juros
Saldo devedor(i) = Saldo devedor (i-1) Amortizao(i)
Engenharia Econmica Prof. Felipe Lemos
Financiamentos
Tabela Price (5 anos, 10% a.a.)
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Financiamentos
SAC (5 anos, 10% a.a.)
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Financiamentos
SAC (5 anos, 10% a.a.)
Valor financiado
dividido pelonmero de perodos
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Financiamentos
SAC (5 anos, 10% a.a.)
Saldo devedor(i) = Saldo devedor (i-1) Amortizao(i)
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Financiamentos
SAC (5 anos, 10% a.a.)
Saldo devedor(i) = Saldo devedor (i-1) Amortizao(i)
10% do saldo
devedoranterior
Engenharia Econmica Prof. Felipe Lemos
Financiamentos
SAC (5 anos, 10% a.a.)
Saldo devedor(i) = Saldo devedor (i-1) Amortizao(i)
10% do saldo
devedoranterior
Prestao = Amortizao + Juros
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Financiamentos
SACRE (5 anos, 10% a.a.)
10% do saldo
devedoranterior
Saldo devedor(i) = Saldo devedor (i-1) Amortizao(i)
Mdia aritmticaentre Price e SAC
Mdia aritmtica entre Price e SAC
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Financiamentos: exemplo genrico
Voc tomou um financiamento com as seguintes caractersticas:
Valor total: R$ 1.000.000,00
Prazo: 10 anos, com primeiro pagamento ao final do quarto ano
Juros: 5% ao ano por 6 anos, 7% ao ano nos ltimos 4
Pagamentos:
Amortizao: constante a cada 2 anos
Juros: anual, mesmo na carncia
Engenharia Econmica Prof. Felipe Lemos
Financiamentos: exemplo genrico
Engenharia Econmica Prof. Felipe Lemos
Financiamentos: exemplo genrico
Voc tomou um financiamento com as seguintes caractersticas:
Valor total: R$ 1.000.000,00
Prazo: 10 anos, com carncia de 2 anos
Juros: 10% ao ano
Pagamentos: constante, a partir do terceiro ano, inclusive dos juros
Engenharia Econmica Prof. Felipe Lemos
Financiamentos: exemplo genrico