Aula-10Indução e Indutância

Uma espira condutora percorrida por uma corrente na presença de um campo magnético sofre ação de um torque: espira de corrente + campo magnético torque

• Se uma espira, com a corrente desligada, girar no interior de uma região onde há um campo magnético B,

aparecerá uma corrente na espira? Isto é:

• torque + campo magnético corrente?i

i

Indução

Aprendemos que:

mas...

Experimentos de Faraday

As respostas a essas questões foram dadas por Faraday. Ele observou que o movimento relativo no conjunto ímãs e circuitos metálicos fechados fazia aparecer nestes últimos correntes transientes.

Espira conectada a um galvanômetro – não há bateria!1- Se houver movimento relativo ímã-espira aparecerá uma corrente no galvanômetro. 2- quanto mais veloz for o movimento, maior será a corrente na espira.

Fig.1 corrente induzida

Primeiro experimento:

Figura ao lado: duas espiras condutoras próximas uma da outra, mas sem se tocarem. Fechando-se S (para ligar a corrente na espira da direita) aparece um pico momentâneo de corrente no galvanômetro.

Abrindo-se S (para desligar a corrente), aparece um pico momentâneo de corrente no galvanômetro, na direção oposta à anterior.

Embora não haja movimento das espiras, temos uma corrente

Nesta experiência, uma fem é induzida na espira somente quando o campo magnético que a atravessa estiver variando.

Experimentos de Faraday

Segundo experimento:

induzida ou uma força eletromotriz induzida (fem)

A Lei de Faraday da Indução

φB=∫S

B⃗ . n̂ dA

Fluxo do campo magnético:

A unidade SI para fluxo é o weber (Wb)

A intensidade da fem é igual à taxa de variação temporal do fluxo do campo magnético :

O sinal negativo indica que a fem deve se opor à variação do fluxo que a produziu.

1weber = 1Wb = 1T.m2

ε=−dφBdt

(Lei de Faraday )

ε

Um longo solenóide S (em corte longitudinal) mostrado na figura ao lado tem 220 voltas/cm e transporta uma corrente i =1,5A; seu diâmetro D = 3,2 cm. Em seu centro encontra-se uma bobina compacta C de 130 voltas e diâmetro d = 2,1 cm. A corrente no solenóide é reduzida a zero a uma taxa uniforme em 25 ms . Qual a intensidade da fem induzida na bobina C enquanto a corrente no solenóide estiver variando?

O fluxo por volta na bobina compacta é

A variação deste é então

Como conseqüência a fem

φB=BA=( μ0 in )(π d2

4 )=( 4 π×10−7T⋅m/A )(1,5 A )(22×103 voltas/m )×(3 ,46×10−4m2)=1 ,44×10−5 Wb

Exemplo 1

dφBdt=ΔφBΔt=φB , f−φB , iΔt

=0−1 ,44×10−5 Wb25×10−3 s

=−5 ,76×10−4V

ε=−NdφBdt=−(130 voltas )(−5 ,76×10−4V )=75 mV

A Lei de Lenz

Uma corrente induzida possui o sentido tal que o campo magnético devido a ela se opõe à variação do fluxo magnético que a produziu.

Oposição do movimento do ímã

Oposição à variação do fluxo

Guitarras elétricas

Fender stratocaster – possuem três grupos de seis pickups.

(pickups são dispositivos que convertem oscilações elétricas em oscilações acústicas)

Vista lateral de um pickup elétrico de uma guitarra

Quando a corda oscila, o pequeno imã nela criado pelo magneto do pickup provoca uma variação do fluxo do campo magnético na bobina.

Indução e transferência de energia

φB=BLx⇒ ε=BLv

i=εR=BLvR

F⃗ex=F⃗ ; F⃗1 , F⃗2 e F⃗3

F⃗+ F⃗1= 0⃗ ou F= B2 L2vR

⇒ P=B2L2 v2

R

Espira sendo deslocada para direita com velocidade . O trabalho realizado pelo agente externo por unidade de tempo (potência aplicada) é:

v⃗

vFvFP ⃗⃗

Como o fluxo está diminuindo, aparece uma fem e portanto uma corrente induzida na espira.

Forças sobre a espira:

v = constante

Taxa de aparecimento de energia térmica na espira:

P=Ri2=( BLvR )2

R= B2 L2 vR

(igual à potência aplicada)

Campos elétricos induzidos

Seja um anel de cobre de raio r numa região onde há um campo magnético variável no tempo (com módulo crescendo à taxa ).

A variação de B faz aparecer uma corrente no anel. Portanto, um campo elétrico induzido passa a existir no anel.

Et

B

Pode-se então dizer que: um campo

magnético variável produz um campo elétrico (Lei de Faraday reformulada).

dBdt

As linhas do campo elétrico induzido são tangentes ao anel, formando um conjunto de circunferências concêntricas.

Campos elétricos induzidos

Mas, também:

Trabalho sobre uma partícula com carga , movendo-se ao redor de uma circunferência de raio r:

ΔW=∮ F⃗⋅d l⃗=q0∮ E⃗⋅d l⃗

Note que o campo induzido não pode ser relacionado com um potencial elétrico!

q0

ΔW=q0ε (ε = fem induzida)

Então: ε=∮ E⃗⋅d l⃗Ou:

∮ E⃗ .d l⃗=−dφBdt

(Lei de Faraday)

(ou: ΔW=q0 E . 2πr )

Para a figura do slide da página anterior adotar dB/dt = 0,13 T/s e R = 8,5 cm. Determinar as expressões da intensidade do campo elétrico induzidos para r < R e r > R . Obtenha os valores numéricos para r = 5,2 cm e r =12,5 cm .

)( 2rBBAB dt

dBrE

dt

dBrrE

2)()2( 2 a) r < R:

Para r =5,2 cm

b) r > R: )( 2RBBAB dt

dB

r

RE

2

2

Gráfico de E(r)

mmVsTm

E /4,3)/13,0(2

102,5 2

mmVsTm

mE /8,3)/13,0(

105,122

)105,8(2

22

Exemplo 2

∮E .d l⃗=∮Edl=E∮ dl=E(2 πr )

Indução e indutores

Para dois ou mais circuitos próximos, as correntes em cada um deles produzem campos e fluxos magnéticos nos demais.

O fluxo no circuito m será então:

Segue então da lei de Faraday que dt

d B

B⃗( r⃗m)=∑n

μ0 in4 π∫Cn

d l⃗ n×( r⃗m− r⃗ n )

| r⃗m− r⃗ n|3

φBm=∫Sm

B⃗( r⃗m )⋅d A⃗m=∫Sm

∑n

μ0 in4 π∫Cn

d l⃗ n ¿ ( r⃗m−r⃗ n)|r⃗m− r⃗ n|

3 ¿ d A⃗m

εm=−μ0

4 πddt {∫Sm [∑n in∫Cn d l⃗ n×( r⃗m− r⃗ n )| r⃗m− r⃗ n|

3⋅d A⃗m ]}

Indução

Para Sm, Cn independentes do tempo podemos escrever a fem induzida na forma

dt

diL n

nnmm ,

onde a indutância é escrita na forma

Na prática os Lm,n são denominados de auto-indutância, L, quandon = m e indutância mútua, M, para . mn

(*)Lm,n=μ0

4 π∫Sm

∫Cn

d l⃗ n×( r⃗m− r⃗ n )

|r⃗ m− r⃗ n|3⋅d A⃗m

= fluxo concatenado)

Consideremos uma bobina de N voltas, chamada de indutor, percorrida por uma corrente i que produz um fluxo magnético através de todas as espiras da mesma. Se , pela lei de Faraday aparecerá nela uma fem dada por:

φB

εL=−d (NφB)dt

NφB (

Na ausência de materiais magnéticos, é proporcional à corrente:

NφB=Li ou: L=NφBi

i=i( t )

NφB

Então:

ε L=−d (Li )dt

=−L didt

(fem auto-induzida)

(L: auto-indutância)

O sentido de εL é dado pela lei de Lenz: ela deve se opor à variação da corrente (figura).

Auto-indução

Lembrando que neste caso B é dado por

Indutância de um solenóide

Solenóide longo de comprimento l e área A

))(( BAnlN B inB 0

lAni

Aninl

i

NL B 2

00 ))()((

(L só depende de fatores geométricos do dispositivo e do meio).

Anl

L 20 (Indutância por unidade de comprimento)

,

A unidade SI de indutância é o henry:

1 henry=1 H=1 T⋅m2 /A

da definição de indutância tem-se:

Circuitos RL são aqueles que contêm resistores e indutores. Eles são interessantes porque as correntes e os potenciais, nestes circuitos, variam com o tempo. Apesar das fontes (fem) que alimentam estes circuitos serem independentes do tempo, ocorrem efeitos dependentes do tempo com a introdução de indutores. Estes efeitos são úteis para controle de funcionamento de máquinas e motores.

Circuito RL

Circuito básico para analisar correntes em um indutor

a) chave S na posição a do circuito. No instante t = 0, a corrente no resistor começa a crescer.

t=0 ⇒ i (0 ) =0 → t≠0 ⇒ i ( t )

Resolver (estudar) este circuito é encontrar a expressão para a corrente i(t) que satisfaça à equação:

ε−Ri−Ldidt=0

Resolvendo esta equação diferencial para i(t), vamos ter:

(I0 : corrente máxima)

didt+RLi=εL

Para t muito grande, a corrente atinge um valor máximo constante.

(constante de tempo indutiva)

i ( t )=εR(1−e−Rt / L)

i ( t )=I 0(1−e−t / τL)

τ L=LR

I 0=εR

Circuito RL

εL : voltagem no indutor

A equação anterior fica:

V L=Ldidt

V L=ε e−Rt / L

i=εR(1−e−1 )=0 ,63

εR

V L=ε e−1=0 ,37 ε

Voltagens no resistor e no indutor – figura abaixo

V R=Ri e

t=0 , V L=máximo → equivalente a um circuito aberto

Circuito RL

t>> τ L , V L= zero → equivalente a um curto−circuito

Interpretação de τ L :

t= τ L =LR

:Para

Ao lado, temos gráficos das tensões em e para várias mudanças da chave de a para b.

b) Chave em b: Neste caso, a equação das tensões será:

A solução desta equação é:

Variações das voltagens com o tempo:

Circuito RL

LtLRt eIeR

ti /0

/)(

Ri+ Ldidt=0

V L ,V R V R +V L=ε

Os termos são, respectivamente, a potência fornecida pela bateria, a potência dissipada no resistor e taxa com que a energia é armazenada no campo magnético do indutor, isto é:

Energia armazenada no campo magnético

ε i , R i2 e L i di /dt

dU Bdt

=Li didt→dU B=Lidi

∫0

UB dU B=∫0

iLidi

Do circuito abaixo tem-se:

ε=Ri+Ldidt→ε i=Ri2+Li

didt

U B=12Li2

Densidade de energia do campo magnético

Consideremos o campo magnético de um solenóide longo de

uB=U BAl=1

2Li2

Al.

Como L=μ0 n2 lA→uB=

12μ0 n

2 i2

A densidade de energia será dada por:

Lembrando que resulta que:B=μ0 in

uB=B2

2 μ0

comprimento l e seção transversal A, transportando uma corrente i.

uB=B2

2 μ0

(densidade de energia magnética )

(densidade de energia magnética)

22

20

0

2

82 r

iBuB

brB

brar

iB

,0

,2

0

Cabo coaxial de raios a e b. Os cilindros interno e externo transportam correntes iguais em sentidos opostos. Determine:

a) a energia magnética UB armazenada num comprimento l do cabo; b) UB por unidade de comprimento, se a = 1,2 mm, b = 3,5 mm e I = 2,7 A

Exemplo 3

U B=∫dU B=∫ uBdV=∫ab μ0 i

2 2 π rldr

8 π 2r2

U Bl=μ0 i

2

4 πlnba=( 4 π×10−7 H/m)(2,7 A )2

4 πln

3,5 mm1,2 mm

=7,8×10−7 J/m=780 nJ/m

U B=μ0 i

2 l

4 πlnba

Da lei de Ampère tem-se:

b)

a)

Indutância mútua

Fluxos conectados: variação de fluxo da bobina 1 produz uma fem na bobina 2 e vice-versa.

Indução mútua 2121 ML 1

21221 i

NM

dt

diM

dt

dNouNiM 1

2121

2212121

dt

diM 1

212 A fem induzida na bobina 2:

A fem induzida na bobina 1:dt

diM 2

121

dt

diM

dt

diM

12

21

A indução é de fato mútua

M 12=M 21=MPode-se provar que:

Duas bobinas circulares compactas, a menor delas (raio R2 e N2 voltas) sendo coaxial com a maior (raio R1 e N1 voltas) e no mesmo plano. Suponha R1 >> R2 . a) deduzir uma expressão para a indutância mútua deste arranjo ; b) Qual o valor de M para N1 = N2 =1200 voltas, R2 = 1,1 cm e R1 = 15 cm?

Exemplo 4

2122122121 ABNNAB a)

1

101 2R

iNB

11

22210

212 2i

R

RNNN

mHm

mmHM 29,2

)015(2

)011,0)(1200)(1200)(/104( 27

b)

Mi

NM

1

21221

1

22210

2R

RNNM

Então: