Aula. 11 - Cap9 Momento Angular

7/24/2019 Aula. 11 - Cap9 Momento Angular

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Capıtulo 9

Momento Angular

9.1 Potencial Central

Por um potencial central entende-se um potencial V (x) que so depende da distancia rda partıcula a origem (considerado como o centro de forca), ou seja,

V (x) = V (r), r =√

x · x. (9.1)

Nesse caso o hamiltoniano

H =

P

2m + V (r),

e obviamente invariante por uma rotacao do sistema de coordenadas, donde se conclui queo momento angular L = X × P e uma grandeza conservada. Em particular, segue dadiscussao do capıtulo anterior que os autovalores de L sao conservados pela dinamica. Nossoobjetivo nesse capıtulo e precisamente resolver o problema da algebra momento angular,como veremos adiante.

Comecemos nossa discussao lembrando que em mecanica classica temos

L = x × p,

logo L 2 = (x × p) · (x × p) = x 2 p 2 − (x · p)2 .

E fazendo x = rr, temos

L2 = r2 p 2 − r2 (r · p)2 = r2

p 2 − p2r

,

onde pr = r · p. Assim temos

p 2 = L 2

r + p2

r.

1



2 CAP ITULO 9. MOMENTO ANGULAR

Em mecanica quantica, X e P nao comutam, logo devemos ter cuidado com as operacoes

acima. Pode-se mostrar que

L2 = ( X × P ) · ( X × P )

= X 2 P 2 + i X · P −

X · P 2

. (9.2)

Mas na base de coordenadas |x = |r,θ,φ, temos

X = rr, (9.3)

P =

i ∇, (9.4)

logo (9.2) torna-se

L 2 = r2 P 2 + 2r

∂

∂r +

2

r

∂

∂r

2

.

donde obtemos

P 2 = L2

r2 − 2

r2

r

∂

∂r

2

+ r ∂

∂r

=

L2

r2 − 2

r2

r ∂

∂r

r ∂

∂r

+ r ∂

∂r

= L2

r2 −

2

∂ 2

∂r2 +

2

r

∂

∂r

= L2

r2 −

2

1

r

∂

∂rr

2

, (9.5)

onde por ∂ ∂r

r entenda-se o operador tal que

∂

∂r

r f = ∂ (rf )

∂r

,

logo 1

r

∂

∂rr

2

f = 1

r

∂

∂r

∂ (rf )

∂r

=

∂ 2

∂r2 +

2

r

∂

∂r

f,

como usado em (9.5).



9.1. POTENCIAL CENTRAL 3

Definimos agora o operador P r como

P r =

i

1

r

∂

∂rr. (9.6)

Pode-se facilmente verificar que P r representa, de fato, a componente radial do operador P ,no sentido de que

[r, P r] = i . (9.7)

Usando (9.6), podemos reescrever (9.5) na forma

P 2

=

L2

r2 + P 2r (9.8)

donde segue que o hamiltoniano para um potencial central torna-se

H = L2

2mr2 +

P 2r2m

+ V (r). (9.9)

Vemos, portanto, que toda a ‘dependencia angular’ do hamiltoniano esta contida no termo L2.

Para resolver o problema do potencial central, devemos obter um conjunto completo deobservaveis que comutam (CCOC) entre si. Como H e invariante por rotacoes, segue que

H comuta com qualquer componente Ln = n · L do momento angular, que e o gerador dasrotacoes em torno da direcao n. Em outras palavras, H comuta com L. Em particular, H comuta com os operadores Li:

[H, Li] = 0, i = 1, 2, 3. (9.10)

Entretanto, os Li’s nao comutam entre si, vide (9.19). Sendo assim, so podemos escolher um(e apenas um) dos operadores Li, para nosso CCOC. Por convencao, escolhe-se Lz. Temos,portanto, o seguinte conjunto de operadores H, Lz que comutam entre si:

[H, Lz] = 0.

Entretanto esse conjunto nao e completo. Em outras palavras, se denotarmos por E e lz osautovalores de H e Lz, respectivamente, entao pode existir mais de um autovetor comum aH e Lz associado a um mesmo par de autovalores (E, lz), como veremos adiante.

A forma do hamiltoniano (9.9) sugere que devemos incluir L2 em nosso CCOC. Emtermos das componentes cartesianas Li, temos

L2 =3

i=1

L2i = L2

x + L2y + L2

z. (9.11)




Como H comuta com cada componente Li, e claro que H comuta com L2:

[H, L2] = 0. (9.12)

Alem disso, como L2 = L· L e um operador escalar, ele e invariante por rotacoes, logo comutacom L:

[ L2, Li] = 0. (9.13)

Temos assim um conjunto de tres operadores H, Lz, L2 que comutam entre si:

[H, Lz] = 0 (9.14)

[H, L2] = 0 (9.15)

[ L2, Lz] = 0 (9.16)

Veremos adiante que esse conjunto e de fato completo. Podemos, portanto, obter uma basede autovetores comuns a H , Lz e L2 com autovalores nao degenerados. Em resumo, aresolucao do problema de um potencial central consiste em obter os autovetores comuns aLz, L2 e H . Nesse capıtulo, vamos obter os autovetores comuns a Lz e L2, e no capıtuloseguinte discutiremos o problema de como calcular as autofuncoes de H .

9.2 Algebra do Momento Angular

As componentes Li, i =1,2 e 3, do momento angular L = X × P sao

Li = ǫijkX jP k, (9.17)

onde se subtende a soma sobre ındices repetidos e ǫijk e o tensor de Levi-Civitta:

ǫijk =

0, se ijk contiver ındices repetidos+1, se ijk for permutacao cıclica (ou par) de 123−1, se ijk for permutacao ımpar de 123

Das relacoes de comutacao fundamentais

[X i, X j] = 0, [P i, P j] = 0, [X i, P j] = i

δ ij, (9.18)pode-se mostrar que as componentes Li do momento angular satisfazem as seguinte relacoesde comutacao:

[Li, L j] = i ǫijkLk. (9.19)

As relacoes (9.19) definem a algebra Lx, Ly, Lz do momento angular. Veremos adiante

que para o calculo dos autovalores de L2 sera mais conveniente trabalharmos com umaalgebra alternativa envolvendo Lz e dois novos operadores L± obtidos atraves de combinacoesapropriadas de Lx e Ly. Antes, porem, vamos tratar dos autovetores e autovalores de Lz.



9.2. ´ ALGEBRA DO MOMENTO ANGULAR 5

9.2.1 Autovetores e Autovalores de Lz

Vamos considerar o problema de obter os autovetores |lz do operador Lz:

Lz|lz = lz|lz. (9.20)

E conveniente trabalharmos na base de coordenadas esferica |r,θ,φ. Nessa base a acao deLz e simplesmente

Lz =

i

∂

∂φ, (9.21)

visto que Lz e o gerador da “translacoes” em φ. (De fato, uma rotacao em torno do eixo z

pode ser vista como uma rotacao da variavel angular φ.) Entao projetando a equacao (9.20)na base de coordenadas, temos

r,θ,φ|Lz|lz = lzr,θ,φ|lz

i

∂

∂φψlz(r,θ,φ) = lzψlz(r,θ,φ),

que apos integracao nos da

ψlz(r,θ,φ) = f (r, θ)eilzφ/ . (9.22)

Como ψlz(r,θ,φ) deve ser periodica em φ, devemos exigir que

ψlz(r,θ,φ + 2π) = ψlz(r,θ,φ),

ou seja,

exp

ilz(φ + 2π)

= exp

ilzφ

exp

i2πlz

= 1,

donde concluımos quelz = m , m = 0,±1,±2, . . .

Ou seja, os possıveis autovalores de lz sao multiplos inteiros de . Do ponto de vista da caodo operador Lz, a funcao f (r, θ) que aparece em (9.22) pode ser tratada como uma meraconstante de integracao. Em outras palavras, as autofuncoes de Lz, denotadas por Φm(φ),sao

Φm(φ) = 1√

2πeimφ, (9.23)




onde escolhemos a constante de normalizacao de modo que as autofuncoes Φm sejam orto-

normais: Φm|Φm′ = δ m,m′.

De fato,

Φm|Φm′ = 1

2π

2π0

exp(−imφ)exp(im′φ)dφ

= 1

2π

2π0

exp(i(m′ − m)φ)dφ

= 1

2π

δ mm′ 2π

0

dφ

= δ mm′ ,

onde da segunda para terceira linha usamos o fato de que, se m = m′, a primitiva dointegrando e periodica em φ, logo a integral sobre um perıodo e zero. Uma vez obtidas asautofuncoes e autovalores de Lz, passaremos agora ao calculo dos autovetores comuns a Lz

e L2.

9.2.2 Autovetores de L2 e Lz

Vamos denotar por

|αm

os autovetores comuns a L2 e Lz:

L2|αm = 2α|αm, (9.24)

Lz |αm = m|αm, (9.25)

onde escrevemos a equacao de autovalor para L2 de modo que α > 0 seja uma quantidadeadimensional. (Lembre-se que L tem a mesma dimensao de , logo L2 tem dimensao de 2.) Vimos acima que m deve ser um inteiro. Resta-nos obter os valores para α, bem como

determinar os possıveis m para um dado α.Para isso, notemos primeiro que L2 em termos das componentes Li e

L2

= L2

x + L2

y + L2

z.

A forma quadratica em L2x e L2

y sugere que devemos ‘completar os quadrados’ de formaanaloga ao que fizemos para o oscilador harmonico. Vamos definir, portanto, os operadoresde levantamento e abaixamento

L± = Lx ± iLy, (9.26)

analogos aos operadores a± de levantamento e abaixamento do oscilador harmonico. Osoperadores L± possuem as seguintes propriedades:




i) (L±)† = L∓,

ii) [Lz , L±] = ± L±,

iii) [L+, L−] = 2 Lz,

iv) [L2, L±] = 0.

A propriedade i) e evidente e a iv) e consequencia imediata do fato de que L2 comuta comLi. As propriedades ii) e iii) resultam das relacoes de comutacao (9.19), como verificadoabaixo:

ii) [Lz, L±] = [Lz, Lx]

±i[Lz, Ly] = i Ly

±i(

−iLx) =

± L±

iii) [L+, L−] = [Lx + iLy, Lx − iLy] = i[Ly , Lx] − i[Lx, Ly] = i(−i Lz) − i(i Lz) = 2 Lz

Em termos de L±, o operador L2 escreve-se

L2 = L−L+ + Lz + L2z (9.27)

= L+L− − Lz + L2z. (9.28)

como pode ser facilmente verificado:

L2 = L2x + L2

y + L2z

= [ 12

(L+ + L−)]2 + [ 12i

((L+ + L−))]2

= 1

4L2

+ + L+L− + L−L+ + L2− − L2

+ + L+L− + L−L+ − L2− + L2

+ + L2z

= 1

2L+L− + L−L+ + L2

z,

que combinada com a propriedade iii) resulta (9.27) e (9.28).As propriedades ii) e iv) acima implicam que L± levanta/abaixa o autovalor de Lz de

uma unidade de , sem alterar o autovalor de L2. De fato,

Lz(L±|αm) = (L±Lz ± L±)|αm= L±( m ± )|αm= (m ± 1)(L±|αm). (9.29)

Como L2 comuta com L± e claro que a acao de L± sobre um autovetor de L2 permanece umautovetor de L2 com mesmo autovalor:

L2(L±|αm) = L±L2|αm=

2α(L±|αm) (9.30)




De (9.29) e (9.30) concluımos que

L±|αm = C ±(α, m)|α, m ± 1, (9.31)

onde as constantes C ±(α, m) serao determinadas posteriormente.Vemos que a partir de um dado m podemos gerar autovetores de Lz com autovalores

(m±1), (m±2), (m±3), . . . Claramente essa acao de ‘levantar’ e ‘abaixar’os autovaloresde Lz nao pode continuar indefinidamente ja que

|Lz|2 < |L2|,logo os autovalores de Lz tem que ser limitados, de alguma forma, por cima e por baixo,

pelos autovalores de L

2

. De fato, considere o operadorL2⊥ ≡ L2 − Lz 2 = L2

x + L2y.

Como L2⊥ e obviamente um operador positivo definido (compare com o hamiltoniano do

oscilador harmonico), segue que seus autovalores sao nao negativos; mas como

L2⊥|α, m =

2(α − m2)|α, m,concluimos que

α − m2 ≥ 0,

ou seja|m| ≤ √ α.

Sejam agora mmax e mmin o maior e o menor valor de m, respectivamente, para um dadoα. Entao devemos ter

L+|αmmax = 0, (9.32)

L−|αmmin = 0. (9.33)

Aplicando L− a primeira identidade acima resulta

0 = L−L+|αmmax= (L2 − Lz − L2z)|αmmax=

2

α2 − mmax − (mmax)2

,

logo

α = mmax(mmax + 1). (9.34)

Da mesma forma, aplicando L+ a (9.33) obtemos

α = mmin(mmin − 1),




que comparada com (9.34) resulta

mmin(mmin − 1) = mmax(mmax + 1)

dondemmin = −mmax

Vamos agora chamar de l o maior valor de m para um dado α, isto e,

mmax = l, mmin = −l,

Vimos, por outro lado, que pela aplicacao de L+ podemos aumentar m de uma unidade.Sendo assim, apos a aplicacao de L+ um certo numero k de vezes a mmin =

−l chegamos a

mmax = l, ou seja,−l + k = l ⇒ l =

k

2,

onde k = 0, 1, 2, · · · . Vemos assim que, em princıpio, os possıveis valores de l sao inteiros ousemi-inteiros

l = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, · · ·Note que esse resultado e bem geral, uma vez que para obte-lo usamos apenas as relacoes decomutacao da algebra do momento angular. Segue agora de (9.34) que

α = l(l + 1). (9.35)

Para o caso do momento angular orbital, vimos anteriormente que m deve ser um inteiro.Logo nesse caso l deve ser um inteiro l = 0, 1, 2, . . . (Por putro lado, no caso do momentoangular de spin, l pode assumir valores semi-inteiros, como veremos adiante.) No restantedeste capıtulo, vamo-nos restringir ao caso orbital. Em face do resultado acima, e convenientedenotar os autovetores comuns de Lz e L2 nao mais por |αm mas por |lm. Temos entaoque

L2|lm = 2l(l + 1)|lm, l = 0, 1, 2, . . . (9.36)

Lz|lm = m|lm, m = −l,−l + 1, . . . ,−1, 0, 1, . . . , l − 1, l (9.37)

Vamos agora determinar a constante C ±(α, m) definidas em (9.31), as quais passaremosa denotar C ±(l, m), de modo que

L±|lm = C ±(l, m)|l, m ± 1.Tomando o dual temos

lm|L∓ = C ∗±(l, m)l, m ± 1|.Contraindo as duas expressoes anteriores, obtemos

|C ±|2 = lm|L∓L±|lm,




onde consideramos que os vetores

|lm

sao ortonormais. Usando as identidades (9.27) e

(9.28), temos agora

|C ±|2 = lm|L2 ∓ Lz − L2z |lm

= 2l(l + 1) ∓

2m − 2m2

= 2[l(l + 1) − m(m ± 1)],

ou sejaC ±(l, m) =

l(l + 1) − m(m ± 1).

Temos entao que

L±|lm = l(l + 1)− m(m ± 1) |l, m ± 1, (9.38)

ou alternativamente

L±|lm =

(l ∓ m)(l ± m + 1) |l, m ± 1. (9.39)

9.2.3 Representacao Matricial

Na base |lm o operador L2 e diagonal, logo temos a seguinte representacao matricial

L2 =

0 0 0 0 0 · · ·0 2 0 0 0 · · ·0 0 2 0 0 · · ·0 0 0 2 0 · · ·0 0 0 0 6 · · ·...

... ...

... ...

. . .

J z e tambem uma matriz diagonal com elementos m .

Por outro lado:

J (x/y) =

1−i

1

2[L+ ± L−]

l′m′|J (x/y)|lm =

1−i

1

2l′m′|L+ ± L−|lm (9.40)

=

1−i

2

l(l + 1) − m(m + 1)l′m′|l(m + 1) (9.41)

±

l(l + 1) − m(m − 1)l′m′|l(m − 1)

(9.42)

=

2

1−i

δ ll′

δ m′(m+1)

l(l + 1) − m(m + 1) (9.43)

±δ m′(m−1)

l(l + 1) − m(m − 1)

(9.44)



9.3. AUTOFUNC ˜ OES DE L2 E LZ NA BASE DE COORDENADAS 11

Logo

J x =

0 0 0 0 0 · · ·0 0 1/

√ 2 0 0 · · ·

0 1/√

2 0 1/√

2 0 · · ·0 0 1/

√ 2 0 0 · · ·

... ...

... ...

... . . .

J x = i

0 0 0 0 0 · · ·0 0 −1/

√ 2 0 0 · · ·

0 1/√

2 0 −1/√

2 0 · · ·0 0 1/

√ 2 0 0 · · ·

... ... ... ... ... . . .

9.3 Autofuncoes de L2 e Lz na base de Coordenadas

Nosso objetivo aqui e obter as autofuncoes ψlm(θ, φ) de L2 e Lz, correspondendo aosautovetores |lm projetados na base de coordenadas angulares |θφ:

ψlm(θ, φ) = θφ|lm. (9.45)

Como veremos adiante, as funcoes ψlm(θ, φ) correspondem aos chamados harmonicos esfericos

Y lm(θ, φ). Vamos, portanto, desde ja adotar a notacao Y lm para denotar as autofuncoes deL2 e Lz em coordenadas angulares:

Y lm(θ, φ) = θφ|lm. (9.46)

Vimos ainda que as autofuncoes de Lz sao da forma

Φm(φ) = 1√

2πeimφ, (9.47)

entao podemos escrever:

Y lm(θ, φ) = Θl(θ)Φm(φ). (9.48)

A normalizacao de Y lm exige que |Y lm|2dΩ =

π0

2π0

|Y lm|2 sin θdθdφ = 1,

ou seja, π0

|Θl(θ)|2 sin θdθ =

1−1

|Θl(θ)|2d(cos θ) = 1, (9.49)




onde ja usamos o fato de Φm e normalizada.

De modo analogo ao que foi feito no caso do oscilador harmonico, vamos obter as au-tofuncoes Y lm a partir de um estado ‘extremal’, isto e, com autovalor mınimo ou maximode Lz, pela sucessiva aplicacao dos operadores L±. Por exemplo, para o estado ‘maximal’|ψ = |ll, temos

L+|ll = 0, (9.50)

que projetada na base |θφ torna-se

L+Y ll(θ, φ) ≡ θφ|L+|ll = 0

que em vista de (9.48) torna-seL+

Θl(θ)eilφ

= 0. (9.51)

Para resolver essa equacao precisamos obter o operador L+ na base angular |θφ.Para isso, lembremos que em coordenadas esfericas o gradiente escreve-se

∇ = er∂

∂r + eθ

1

r +

∂

∂θ + eφ

1

r sin θ

∂

∂φ,

logo o momento angular le-se

L =

i x × ∇ =

i r er × ∇ (9.52)

=

ir er ×

eθ

1

r

∂

∂θ + eφ

1

r sin θ

∂

∂φ

(9.53)

=

i

(er × eθ)

∂

∂θ + (er × eφ)

1

sin θ

∂

∂φ

=

i

eφ

∂

∂θ − eθ

1

sin θ

∂

∂φ

(9.54)

Usando agora o fato de que

eθ = cos θ(cos φ x + sin φ y) + sin θz (9.55)eφ = − sin φ x + cos φ y, (9.56)

pode-se mostrar que

Lx =

i

y

∂

∂z − z

∂

∂y

=

i

− sin φ

∂

∂θ − cos φ cot θ

∂

∂φ

(9.57)

Ly =

i

z

∂

∂x − x

∂

∂z

=

i

cos φ

∂

∂θ − sin φ cot θ

∂

∂φ

, (9.58)




donde segue que

L± = Lx ± iLy = e±iφ

± ∂

∂θ + i cot θ

∂

∂φ

. (9.59)

Inserindo (9.59) em (9.51) resulta

eiφ

∂

∂θ + i cot θ

∂

∂φ

Θl(θ)eilφ

= 0,

donde obtem-sedΘl

dθ − l cot θ Θl = 0

ou seja

Θ′l

Θl

= l cot θ

= lcos θ

sin θ

= l 1

sin θ

d(sin θ)

dθ ,

que pode ser facilmente integrada

dΘ

Θ = ld sin θ

dθ ⇒ ln Θ = l ln(sin θ) + C,

donde finalmente temosΘl(θ) = C l(sin θ)l.

A constante C l deve ser determinada de modo a satisfazer a condicao de normalizacao (9.49).Fazendo a mudanca de coordenadas u = cos θ, temos

|Θl|2 = |C l|2

1 − u2l/2

,

de modo que a condicao (9.49) implica

1 = 1

−1

|Θl|2du (9.60)

= |C l|2 1−1

1 − u2

l/2du. (9.61)

Resolvendo a integral acima obtemos |C ll|:

|C ll| =

(2l + 1)!

2

1/2 1

2ll! (9.62)




Determinamos assim a constante

|C ll

|a menos de uma fase. Por convencao, escolhe-se a fase

igual a (−1)l. Em resumo, obtemos que

Y ll = 1√

2πΘl(θ)eilφ = (−1)l

(2l + 1)!

4π

1

2ll! eilφ (sin θ)l (9.63)

Agora para obter Y lm a partir de Y ll devemos aplicar L− sucessivamente (l − m) vezes.Em outras palavras, devemos aplicar (L−)l−m a Y ll. Usando (9.39) recursivamente obtemosque

(L−)l−m|ll = ( )l−m

(2l)(1)× (2l + 1)(2) × . . .× (l + m + 1)(l − m) |lm, (9.64)

ou seja

|lm =

(l + m)!

(2l)!(l − m)!

L−

l−m

|ll, (9.65)

ou alternativamente

Y lm(θ, φ) =

(l + m)!

(2l)!(l − m)!

L−

l−m

Y ll(θ, φ), (9.66)

Note agora que o operador L± dado em (9.59) aplicado a uma funcao da forma einφ

F (θ)pode ser escrito como

L±[einφF (θ)] = ∓ ei(n±1)φ(sin θ)1±n d

d(cos θ)

(sin θ)∓nF (θ)

. (9.67)

E mais geralmente,L±

p[einφF (θ)] = (∓1) pei(n± p)φ(sin θ) p±n d p

d(cos θ) p

(sin θ)∓nF (θ)

. (9.68)

Aplicando (L−)

l−m

a (9.63) obtemos

Y lm(θ, φ) = (−1)l

2ll!

(2l + 1)!

4π(2l)!

(l + m)!

(l − m)!eimφ(sin θ)−m dl−m

d(cos θ)l−m(sin θ)2l,

que apos simplificacao torna-se

Y lm(θ, φ) = (−1)l

2ll!

(2l + 1)

4π

(l + m)!

(l − m)!eimφ(sin θ)−m dl−m

d(cos θ)l−m(sin θ)2l. (9.69)




Alternativamente, poderıamos ter partido do estado de mınimo m para um dado l, ou

seja, Y l(−l). Nesse caso temos

L−

Y l(−l)(θ, φ)

= 0. (9.70)

Repetindo o procedimento que levou a (9.63), obtemos

Y l(−l) =

(2l + 1)!

4π

1

2ll! e−ilφ (sin θ)l. (9.71)

Podemos agora obter Y lm pela aplicacao (l + m) vezes de L+ a Y l(−l). A equacao correspon-dente a (9.66) e

Y lm(θ, φ) =

(l − m)!(2l)!(l + m)!

L+

l+m

Y l(−l)(θ, φ), (9.72)

Usando (9.68) com p = l + m em (9.71), obtemos entao

Y lm(θ, φ) = (−1)l+m

2ll!

(2l + 1)

4π

(l − m)!

(l + m)!eimφ(sin θ)m

dl+m

d(cos θ)l|m(sin θ)2l. (9.73)

As expressoes (9.69) e (9.73) sao duas formas completamente equivalentes de gerar osharmonicos esfericos. Da comparacao dessas duas formulas, vemos ainda que

Y l(−m) = (−1)mY ∗lm(θ, φ). (9.74)

Em termos das funcoes associadas de Legendre P ml (x), os harmonicos esfericos podem serescritos como

Y lm(θ, φ) =

2l + 1

4π

(l − m)!

(l + m)!(−1)meimφP ml (cos θ), m ≥ 0,

onde

P ml (x) = 1

2ll! 1 − x2

−m/2 dl−m

dxl−m

1 − x2

l

.

Em resumo, vimos queL2Y lm(θ, φ) =

2l(l + 1)Y lm(θ, φ) (9.75)

LzY lm(θ, φ) = mY lm(θ, φ) (9.76)

O conjunto de harmonicos esf[ericos Y lm(θ, φ) forma uma base do espaco de funcoesperiodicas em φ e com 0 < θ < π. Assim, dado qualquer funcao ψ(θ, φ), temos

ψ(θ, φ) =∞l=0

lm=−l

C lmY lm(θ, φ)




onde

C lm =

Y ∗lm(θ, φ)ψ(θ, φ)dΩ

A forma explıcita de alguns harmonicos esfericos e dada abaixo:

l = 0 Y 00 = 1√

4π(9.77)

l = 1 :

Y 11 = −

38π

sin θeiφ

Y 10 =

34π

cos θ(9.78)

l = 2 :

Y 22 = 14

152π

sin2 θei2φ

Y 21 =

158π sin θ cos θeiφ

Y 20 =

54π

32 cos2 θ − 1

2

(9.79)

9.4 Equacao Diferencial de Autovalor para L2

Os harmonicos esfericos Y lm podem ser obtidos por um caminho direto, resolvendo o problemade autovalor para L2 e Lz. Ja vimos que as autofuncoes de Lz = −i

∂ ∂φ

sao

LzΦm(φ) = mΦm(φ),

Φm(φ) = 1√ 2π

eimφ,

logo podemos escreverY lm(θ, φ) = Θl(θ)Φm(φ).

Resta agora resolver o problema de autovalores para L2:

L2[Y ml(θ, φ)] = 2α Y lm(θ, φ). (9.80)

De (9.54) segue que

L2 =

− 2eφ

∂

∂θ −eθ

1

sin θ

∂

∂φ ·eφ

∂

∂θ −eθ

1

sin θ

∂

∂φ (9.81)

= − 2

eφ

∂

∂θ

eφ

∂

∂θ − eθ

1

sin θ

∂

∂φ

− 1

sin θeθ

eφ

∂

∂θ − eθ

1

sin θ

∂

∂φ

(9.82)

Usando agora as relacoes

∂

∂θeφ = 0, eφ · ∂eφ

∂φ = 0, (9.83)

eθ · ∂eφ∂φ

= − cos θ, eφ · ∂eθ∂θ

= 0, (9.84)



9.5. EXERC ICIOS 17

obtemos

L2 = − 2

∂ 2

∂θ2 − 1

sin θ(− cos θ)2

∂

∂θ +

1

sin2 θ

∂ 2

∂φ2

(9.85)

= − 2

∂ 2

∂θ2 +

cos θ

sin θ

∂

∂θ +

1

sin2 θ

∂ 2

∂φ2

(9.86)

ou

L2 = − 2

1

sin θ

∂

∂θ

sin θ

∂

∂θ

+

1

sin2 θ

∂ 2

∂φ2

Assim, a equacao (9.80) torna-se

− 1

sin θ

∂

∂θ

sin θ

∂

∂θ

+

1

sin2 θ

∂ 2

∂φ2

Y lm(θ, φ) = αY lm(θ, φ)

ou seja,

− 1

sin θ

d

dθ

sin θ

d

dθ

− m2

sin2 θ

Θl(θ) = αΘl(θ)

Pode-se mostrar que essa equacao resulta, apos uma mudanca apropriada de variaveis, naequacao associada de Legendre, cujas solucoes sao as funcoes associadas de Legendre P ml (x).

9.5 Exercıcios1. Mostre a equacao (9.2).

2. Verifique todos os passos que levam a (9.5).

3. Mostre a relacao de comutacao (9.7).

4. Verifique as relacoes de comutacao (9.19) e (9.13).

5. Considere que Ω e Λ sao operadores vetoriais no sentido definido no Cap. 8,

[Li, Ω j] = i ǫijkΩk,

e idem para Λ. Mostre entao que

[ Ω · Λ, Li] = 0.

6. Verifique as identidades (9.57) e (9.58).

7. Resolva a integral em (9.61) e mostre que |C l| e como mostrado em (9.62).




8. Mostre (9.68).

9. Verifique todos os passos que levaram a (9.73).

10. Considere o rotor rıgido quantico, cujo hamiltoniano e

H = L2

2I ,

onde I = µr2e e o momento de inercia do rotor, sendo µ a sua massa efetiva e re o seu

raio de giracao.a) Obtenha o espectro de energia E l do sistema e os respectivas autoestados. Expresse

sua resposta para E l em termos da ‘constante rotacional’ B = /4πI . Qual a degene-rescencia dos nıveis E l?b) Verifique que a separacao entre os nıveis E l cresce linearmente com l (ao contrariodo oscilador harmonico em que os nıveis sao igualmente espacados). Em particular,obtenha o espectro de frequencias

ν l,l−1 = E l − E l−1

h

do sistema e mostre que as linhas espectrais sao equidistantes.c) Mostre que os elementos de matriz do operador Z sao

l′m′|Z |lm = reδ mm′

δ l′,l−1

l2 − m2

4l2 − 1 + δ l′,l+1

(l + 1)2 − m2

4(l + 1)2 − 1

.

Obtenha a respectiva representacao matricial de Z .d) Considere que o sistema foi colocado em um estado |ψ arbitrario (que obviamentepode ser expandindo na base |lm). Mostre que o valor medio Z (t) vai oscilar notempo com frequencias de Bohr dada por ν l,l−1 calculadas acima. Logo, Z (t) podeevoluir apenas com uma serie bem definida de frequencia (equidistantes entre si), aocontrario do caso classico em que a frequencia de rotacao do rotor pode ser qualquer

valor (contınuo): ω =

2E/I .11. O rotor quantico do problema anterior descreve aproximadamente o espectro rotacio-

nal de moleculas diatomicas. Entretanto, as linhas espectrais observadas experimen-talmente nao sao exatamente equidistantes. Uma modelo mais adequado incorporaefeitos centrıfugos, de modo que a distancia entre os atomos varia com a velocidade derotacao, ou seja, o rotor nao e exatamente rıgido. Nesse caso, o hamiltoniano propostoe da forma

H = L2

2I − 1

2µ2kr6e

( L2)2,



9.5. EXERC ICIOS 19

onde k e a ‘constante de mola’ da ligacao entre os atomos.

a) Obtenha o novo espectro de frequencias ν l,l−1 e mostre que o mesmo pode ser escritoda forma

ν l,l−1 = 2Bl − 4dl3,

onde d e uma constante.b) Faca um diagrama mostrando esquematicamente as posicoes das linhas espectraisnos dois casos, isto e, com e sem a correcao acima. (Represente ambos os casos nomesmo diagrama.) Considere que d e muito menor que B.

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Aula. 11 - Cap9 Momento Angular