Aula 12 Métodos de Determinação do Geoidepaulo.borges/... · 2019-06-19 · De acordo com RAPP (1996) apud ARANA (2009), a representação do potencial gravitacional da Terra através

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IFSULDEMINAS 2018 EAC/Inconfidentes

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EAC-082: Geodésia Física

Prof. Paulo Augusto Ferreira Borges

Aula 12

Métodos de Determinação do Geoide

https://intranet.ifs.ifsuldeminas.edu.br/~paulo.borges/

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Considerações Iniciais

Conforme apresentado na Aula 05, a teoria do

potencial apresenta três problemas de valor de contorno,

assim definidos:

Primeiro problema (Dirichlet): a partir do conhecimento dos

valores de uma função V sobre uma superfície S, determina-

se essa função V de tal maneira que ela seja harmônica no

interior de S quando são conhecidos os valores que a função

assume sobre a superfície (contorno):

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Segundo problema (Neumann): a partir do conhecimento dos

valores da derivada normal da função V sobre a superfície S,

Τ𝜕𝑉𝜕𝑟 , determina-se a função V de modo que ela seja

harmônica interna a S:

Terceiro problema (Hilbert): a partir dos valores da

combinação linear da função V com sua derivada normal

sobre a superfície S, determina-se a função V nas condições

anteriores

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Nos três problemas apresentados têm-se uma

atenção especial ao terceiro PVCG, pois a determinação do

potencial perturbador de certa forma se relaciona a ele, uma

vez que o potencial perturbador ou potencial anômalo é a

diferença entre os potenciais produzidos, num mesmo ponto,

pela Terra Real e pela Terra Normal, ou seja, é diferença do

Geopotencial e do Esferopotencial, em um mesmo ponto.

A anomalia da gravidade, de forma geral observada

sobre a superfície física, é uma combinação linear do

potencial perturbador com a sua derivada normal.

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Dependendo da superfície escolhida, é necessário realizar

as observações da anomalia da gravidade sobre ela.

No problema de Molodenskii a superfície escolhida é a

superfície física. Neste caso define-se a anomalia de altura

através de:

𝜉 =𝑇

𝛾

O potencial perturbador é obtido a partir da equação:

−𝜕𝑇

𝜕𝑛= ∆𝑔 − 𝑁

𝜕𝛾

𝜕𝑛

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A partir de alguma versão da fórmula internacional da

gravidade obtém-se sobre o elipsoide e, a seguir, o cálculo de

ҧ𝛾 , sobre o teluróide, pode ser feito através de: (Heiskanen e

Moritz,1967):

Onde 𝑚 ≅ 𝛼 ∙ 𝜔2 /𝛾𝑒 e 𝛼 = achatamento do elipsoide de

referência dado por:

𝛼 = 𝑎 − 𝑏 /𝑎

A determinação de ҧ𝛾 não necessita do conhecimento sobre

distribuição de densidade de massas ou correções no terreno,

tornando o sistema de altitudes normal, uma alternativa à

utilização da altitude ortométrica.


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A concepção moderna do PVCG, devida a Molodenskii

não necessita do conhecimento da distribuição de densidades

no interior das massas.

Porém, a proposta inicial para a solução do problema

se deve a George Gabriel Stokes que propôs a superfície

geoidal como contorno, o que significa resolver um problema

de contorno interno às massas.

A dificuldade é que torna-se indispensável o

conhecimento de um modelo, pelo menos aproximado, de

distribuição de densidades no interior da crosta na camada

entre a superfície física e o geóide.


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Introdução

Segundo ARANA (2009) a determinação do geóide tem

o significado da determinação da posição que este

ocupa em relação ao elipsóide. Assim, determinar o

geóide consiste na obtenção da separação, em todos os

pontos, das superfícies do elipsóide e do geóide.

Convencionalmente, são atribuídos os sinais positivos às

ondulações acima do elipsóide e negativos em caso

contrário.

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Introdução

A tecnologia GNSS permitiu uma maior relevância ao geóide, pois,

sua determinação deixa de ser importante apenas no posicionamento

horizontal e faz-se importantíssimo no posicionamento vertical.

Atualmente, uma operação relativamente simples com receptores

GNSS, permite a determinação das coordenadas cartesianas de um ponto

P(X,Y,Z) sobre a superfície terrestre. A partir dos parâmetros elipsoidais do

sistema de referência, pode-se calcular as correspondentes coordenadas

geodésicas desse ponto 𝑃(𝜙, 𝜆, ℎ).

O cálculo da altitude ortométrica (H) do ponto envolve o conhecimento da

ondulação geoidal (N) no ponto considerado, pois as altitudes geométricas e

as ortométricas estão relacionadas pela equação, que segue:

𝐻 = ℎ − 𝑁

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Introdução

O PVCG clássico pode ser resolvido em termos do

potencial perturbador através da integral de Stokes, expressa

em termos de uma aproximação esférica.

De acordo com ARANA (2009), existem três métodos

para a determinação de N e, que apesar da longa existência

destes métodos eles se mantém atuais.

⚫ O primeiro método adota a fórmula proposta por STOKES e

o geóide obtido é denominado de geóide gravimétrico, visto

que N é obtida a partir da anomalia da gravidade.

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Introdução

⚫ O segundo método utiliza o desvio da vertical, obtido pela

comparação das coordenadas astronômicas e geodésicas, o

geóide assim determinado é denominado de astrogeodésico,

utilizando-se fórmulas de Vening-Meinesz que através das

anomalias da gravidade, determina-se as componentes dos

desvios da vertical e a partir destas a ondulação do geóide é

determinada em relação a outro ponto cuja ondulação do

geóide seja conhecida.

⚫ O terceiro método utiliza dados obtidos das observações aos

satélites artificiais. Classificados em dois grupos:

– satélites para aplicações geométricas; e

– satélites para aplicações dinâmicas.

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Introdução

Segundo SÁ (1993) apud ARANA (2009), as técnicas mais usadas para

a determinação do geóide com alta precisão, visando o nivelamento

com GNSS, consistem basicamente na representação das altitudes

geoidais através de componentes distintas, denominadas global,

regional e local.

➢ A componente global é determinada a partir dos coeficientes que

representam o esferoide (elipsóide de revolução (TORGE, W.

1980));

➢ A componente regional é determinada a partir de dados do

campo de gravidade reduzidos ao esferoide; e

➢ A componente local introduz correções calculadas através de

dados complementares, tais como modelos digitais da topografia

e da densidade da crosta.

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A realização do rastreamento dos satélites do sistema GNSS sobre

duas RN (Referência de Nível) propicia a determinação da ondulação

do geóide. Assim, em uma linha formada por duas RN com alturas

geométricas conhecidas, pode-se interpolar a ondulação do geóide em

pontos desta linha, ou próximo a ela.

Onde:

HX – representa a altitude ortométrica do ponto X a ser interpolado;

HA – representa a altitude ortométrica da RNA;

ΔhAX – diferença de altura geométrica do ponto X a ser interpolado e a RNA;

lAX – distância entre o ponto X a ser interpolado e a RNA;

lAB – distância entre as RNA e RNB;

ΔNAB – diferença de ondulação geoidal entre as RNA e RNB;

Determinar N A partir de GNSS & Nivelamento Geométrico

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O desvio da vertical em um ponto é definido como sendo o ângulo

compreendido entre a vertical e a normal neste ponto. Usualmente

este ângulo é decomposto em duas componentes; a componente

meridiana e a componente primeiro vertical.

Através das coordenadas astronômicas e geodésicas, pode-se

calcular as componentes do desvio da vertical através das fórmulas

de Laplace.

Fonte: ARANA (2009)

Determinar N A partir do desvio astrogeodésico

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Nota-se na figura anterior que a diferença da ondulação do geóide

entre dois pontos, separados a uma distância infinitesimal ds, será de

O símbolo ε representa o desvio da vertical na direção. Para manter a

coerência do sinal das componentes do desvio da vertical, positivo

nos sentidos sul-norte e oeste-leste, adota-se o sinal negativo na

equação.

Para pontos separados por uma distância maior, a diferença da

ondulação geoidal de dois pontos A e B, será determinada pela

função:

onde:

Determinar N A partir do desvio astrogeodésico

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Exercício

1. Calcular a ondulação geoidal (N) entre os pontos A e Breferenciados ao SIRGAS2000:

A. φa = -20º 08’ 41,5”, λa = -50º 11’ 40,6” e φ = -20º 08’ 43,6”, λ = -50º 11’ 39,3”

B. φa = -19º 55’ 22,8”, λa = -50º 42’ 14,8” e φ = -19º 55’ 20,8”, λ = -50º 42’ 00,2”

ΔN = R*sin(1”)*sin(1’)*(ξ”Δφ’ + η”Δλ’cosφ)

Onde:

ξ” = 0,5(ξA + ξB) em segundos de arco

η” = 0,5(ηA + ηB)

Δφ’ = φB – φA (em minutos de arco)

Δλ’ = λB – λA (em minutos de arco)

R = raio da Terra considerando o modelo esférico em cm

0.000583333 0°.00' 02.10'' -0.000339019 -0°.00' 01.22''

-0.000555556 -0°.00' 02.00'' -0.00381285 -0°.00' 13.73''

Componentes

Meridiana ( ) 1º Vertical ( )

= 0.05000000

= -7.47336334

= 13.3800000

= -30.3483333

R = 6361750.514

1.91906

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De acordo com RAPP (1996) apud ARANA (2009), a representação do

potencial gravitacional da Terra através de séries harmônicas esféricas tem

sido um dos objetivos da comunidade geodésica a mais de 40 anos. Dados

gravimétricos obtidos de satélites e de superfície tem possibilitado uma maior

e mais precisa representação do geopotencial. A combinação destes dados,

até 2010, permitiram os cálculos dos coeficientes dos modelos do

geopotencial até o grau 360.

Os modelos de alto grau podem ser usados para uma variedade de

aplicações, dentre as quais, cita-se:

– cálculo da predição das órbitas de satélites;

– uso em estudos simulados que envolvem quantidades gravimétricas; e

– cálculos de ondulações geoidais.

Determinar N A partir de Modelos do Geopotencial

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O Modelo EGM2008

O modelo global do campo gravitacional da Terra denominado Earth

Gravitational Model 1996 (EGM96) deu-se com uso dos dados da

gravidade do NIMA e dados de satélites da NASA/GSFC. A NIMA

proporcionou dados da anomalia da gravidade de todo o globo

terrestre de 30’ e 1º , esta anomalia foram determinada a partir de

pontos de anomalia da gravidade de 5’X5’ obtidos do arquivo de

altura do geóide do GEOSAT Geodetic Mission.

Dando sequência ao EGM96, foi elaborado o modelo gravimétrico

EGM2008, onde o mesmo é composto por coeficientes que

representam a ondulação geoidal por grau 2190 e ordem 2159.


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A partir de 2010, com o surgimento dos primeiros Modelos

Geopotenciais Globais (MGG), utilizando as informações da missão

espacial GOCE, verificou-se uma melhoria principalmente nos longos

e médios comprimentos de onda dos mesmos.

Como exemplo, para a geração do MAPGEO2015, os longos

e médios comprimentos de onda foram representados pelo modelo

geopotencial European Improved Gravity model of the Earth by New

techniques (EIGEN-6C4) em relação ao cálculo de decomposição e

recomposição espectral. Esse modelo foi lançado em 2014 e é mais

aperfeiçoado do que o EGM2008, foi elaborado pelo GFZ/Potsdam e

GRGS/Toulouse e utilizou as informações gravitacionais dos satélites

LAGEOS, GRACE, GOCE, do modelo de altimetria por satélite

DTU12 e do EGM2008 (FÖRSTE et al., 2014).


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Esses últimos foram utilizados como informação terrestre para

oceano e continente (curtos comprimentos de onda), respectivamente.

Os coeficientes da série das funções harmônicas esféricas do EIGEN-

6C4 foram calculados até grau e ordem 2190.


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Os modelos do geopotencial tem a capacidade de representar, com

fidelidade, os longos comprimentos de ondas do campo da gravidade

terrestre.

Como vimos anteriormente, a determinação da ondulação geoidal a partir

do rastreamento de satélites em pontos pertencentes à rede fundamental de

nivelamento do Brasil, nos possibilita calcular a “real” ondulação do

geóide. Já os modelos do geopotencial nos fornecem a ondulação do

geoidal conforme o modelo.

A diferença entre as ondulações geoidais do modelo com as ondulações

determinadas com GNSS/nivelamento permite o cálculo da “separação”

entre o modelo e o efetivo geóide; considerando-se o conceito de

diferenças de ondulações geoidais das várias RN existentes na região de

estudo (Modelo Geopotencial – GNSS/nivelamento).

Determinar N A partir de GNSS & Modelos Geopotenciais

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Assim, o procedimento para a determinação da ondulação do geóide

pelos modelos do geopotencial associado ao GNSS e Nivelamento,

deve-se primeiramente:

• determinar a ondulação do geóide pelo modelo do geopotencial,

em um ponto qualquer de interesse pertencente à região;

• aplicar o modelo matemático ao ponto de interesse, determinando

assim a separação entre os modelos matemático e geopotencial;

• considerar a separação obtida na determinação da ondulação do

geóide a partir do GNSS associado ao modelo do geopotencial.


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Fonte: ARANA (2009)


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De acordo com GEMAEL (2012) no trabalho de Stokes, publicado com o

título de: On the variation of gravity at the surface of the Earth. São

tratados dois tópicos:

1. Conhecendo-se a forma de uma superfície equipotencial S, limitante de

um sistema de massas atrativas dotado de movimento de rotação, e o

valor da gravidade em um ponto da superfície, determinar o campo

externo independente de qualquer hipótese sobre a distribuição das

massas no interior da superfície;

2. Inversamente, conhecendo-se o valor da gravidade em todos os pontos

de uma superfície equipotencial, determinar a forma dessa superfície.

Determinar N A partir da anomalia da gravidade

No ano de 1849, o matemático George Gabriel Stokes desenvolveu a fórmula que

leva seu nome, fundamental à Geodésia Física, pois proporciona a determinação da

separação geóide - elipsóide em função da anomalia da gravidade.

Fonte: Wikipédia

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Convém antecipar que Stokes, em sua dedução original,

admitiu a inexistência de massas externas à superfície

equipotencial, o que não ocorre com a Terra, pois as

massas topográficas são externas ao geoide. Também

admitiu uma aproximação esférica, negligenciando

quantidades da ordem de 0,003N; como N < 100m, isso

significa negligenciar valores não superiores a 30 cm.


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Onde: • R = raio médio terrestre;• A = é o azimute em torno do ponto de cálculo;• γ = é a gravidade normal na superfície do elipsóide de referência geocêntrico;• Ψ = é o ângulo geocêntrico, ou distância esférica, entre o ponto de interesse e

o ponto utilizado na integração;• Δg = anomalia média da gravidade;

• S(Ψ) = função de Stokes, obtida em função da distância angular entre o ponto

onde se calcula a ondulação e o elemento de área dS, que contribui na

determinação de N.

AdA

dS

Ψ

dΨ

Segundo LOBIANCO (2005) podemos definir a Integral deStokes como:


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Como dS = R2senΨdΨdα

Podemos escrever N da seguinte forma:

Podemos também utilizar coordenadas geográficas (φ,λ); e como estamos

admitindo a hipótese esférica, ν e φ são, respectivamente, colatitude e

latitude geocêntricas e, como tal, grandezas complementares.

Então, fazendo dS = R2cosφ’dφ’dλ’, N irá assumir a seguinte forma:

Integra λIntegra φ


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Sendo (φ’,λ’) as coordenadas do elemento de área associado àanomalia Δg’; N é a ondulação geoidal no ponto P(Ψ, λ) com: cosΨ =senφsenφ’ + cosφcosφ’cos(λ’ – λ) .

λ-λ’

φ’φ

Ψ

α

dσ

P


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A aplicação da integral de Stokes pressupõe a inexistência de massasexternas ao geoide.

A supressão das massas topográficas (externas ao geoide) e dascorrespondentes massas de compensação isostática, normalmenteprocessada na redução de valores observados de g, satisfaz a condiçãoda aplicação da integral de Stokes.

Porém, por outro lado, acarreta um novo problema: produz uma Terrafictícia, com a consequente alteração do potencial gravífico.

O Valor de N proporcionado em tais condições pela fórmula de Stokesrepresenta a separação entre o elipsoide de referência e um “geoidefictício” denominado cogeoide.

Cogeoide


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• Aproximação esférica;

• A integração deve ser estendida a toda superfície terrestre, isto é,

torna-se necessário dispor de estações gravimétricas em quantidade

e distribuição geográfica convenientes;

• O potencial perturbador deve ser harmônico em qualquer ponto

externo do geoide;

• A fórmula de Stokes propicia a separação cogeoide-elipsoide;

• A dedução de Stokes exige a igualdade das massas do elipsoide e da

Terra;

• Pressupõe que o esferopotencial sobre o elipsoide seja

numericamente igual ao geopotencial sobre o geoide;

• O centro de massa da Terra deve coincidir com o do elipsoide;

Restrições e dificuldades na aplicação da Integral de Stokes


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ARANA, J. Introdução a Geodésia Física. FCT-UNESP – PresidentePrudente, 2009.

CATALÃO, J. Geodésia Física. Faculdade de Ciências da Universidade deLisboa – Lisboa, 2000.

GEMAEL, C. Introdução à geodésia física – Ed. da UFPR, Curitiba,

1999.

HOFMANN-WELLENHOF, B. e MORITZ, H. Physical Geodesy. Ed.SpringerWienNewYork –Austria, 2005.

LOBIANCO, M.C.B., BLITZKOW, D., MATOS, A.C.O.C. O NovoModelo Geoidal para o Brasil. IV Colóquio Brasileiro de CiênciasGeodésicas - Curitiba, 2005.

MIRANDA, J. M., LUIS, J. F., COSTA, P. T. e SANTOS, F. M.Fundamentos de Geofísica. 2012.

SNEEUW, N. Physical Geodesy. Institude of Geodesy Universität Stuttgart– Stuttgart, 2006.

Referências Bibliográficas

Documents

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