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21/Abr/2017 – Aula 14
26/Abr/2017 – Aula 15
Ondas de matéria; comprimento de
onda de de Broglie.
Quantificação do momento angular
no modelo de Bohr.
Difracção e interferência.
Função de onda; representação
matemática do pacote de ondas.
Introdução à Física Quântica
Radiação do corpo negro; níveis
discretos de energia.
Efeito foto-eléctrico:
- descrições clássica e quântica
- experimental.
Efeito de Compton.
2
A incapacidade da Física clássica em explicar certos fenómenos
levou ao desenvolvimento de duas teorias que revolucionaram a
Física no início do século XX:
A Teoria da Relatividade de Einstein
A Física Quântica
Em particular, foi a impossibilidade de se conseguir explicar
classicamente as 3 experiências seguintes
• radiação do corpo negro
• efeito foto-eléctrico
• efeito de Compton
que levou ao desenvolvimento da Física Quântica .
Introdução à Física Quântica
Aula anterior
3
Em 1900, Max Planck propôs a seguinte relação para a intensidade
da radiação do corpo negro:
em que c é a velocidade da luz , k a
constante de Boltzmann e h é a
constante de Planck ( h = 6,626.10-34 Js ).
Esta expressão já está de acordo com os
resultados experimentais para toda a
gama de comprimentos de onda.
Radiação do corpo negro (cont.)
2
hc kT5
2 hc,
e -1
Comprimento de onda
Inte
ns
idad
e
Aula anterior
4
Considerações acerca das moléculas à superfície do corpo negro (Planck):
Representação pictórica dos
fotões (“pacotes” de luz).
Cada fotão possui uma
energia discreta dada por h .
As moléculas só podem radiar (emitir
radiação) em níveis discretos de
energia En, com
En = n h
sendo n um inteiro positivo (número
quântico) e a frequência de
vibração das moléculas.
As moléculas emitem (e absorvem)
energia em pacotes discretos
chamados fotões , cuja energia é
igual a h .
Radiação do corpo negro (cont.)
Fotão com
energia h
Aula anterior
5
A luz incidente propaga-se sob a forma de
fotões. Cada fotão, ao incidir no metal,
transmite toda a sua energia ( E = h ) a um
electrão do metal.
No entanto, o electrão necessita de ter uma
energia superior a um dado valor (a
função de trabalho) para escapar da
superfície do metal.
A energia cinética máxima ( E cin máx ) dos
electrões libertados será então igual a
Explicação do efeito foto-eléctrico (por Einstein) a partir do conceito de
quantização (de Planck):
é da ordem de alguns electrões Volt e é característica de cada metal.
Efeito foto-eléctrico e descrição quântica
cin máxE h -
Fotão com
energia h
Aula anterior
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Graficamente, o declive da E cin máx em
função da frequência da luz incidente é
igual à constante de Planck, h , e a
intersepção da curva com o eixo horizontal
é igual à frequência mínima, a partir da
qual se verifica o efeito foto-eléctrico:
Experimentalmente, a E cinmáx
varia linearmente com a
frequência da luz incidente
Observações
experimentais :
Fotões com frequência inferior a c não têm
energia suficiente para arrancar electrões ao metal.
Comprimentos de onda maiores do
que c incidindo num metal com
função de trabalho não conseguem
arrancar electrões ao metal.
Efeito foto-eléctrico - experimental
-cin máxE h
cc
c hc
ch
Aula anterior
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Efeito de Compton
Aula anterior
• A câmara de ionização permite medir a intensidade
dos raios X em função do ângulo.
A difracção de raios X por electrões (efeito de Compton) não é explicável classicamente.
Diagrama de um dispositivo para
estudar o efeito de Compton.
• Raios X (0 = 0,071nm) incidem
num alvo de grafite.
• Os raios X são difractados pela
grafite e são detectados por um
espectrómetro de comprimento de
onda que pode rodar em torno do
alvo ( os vários dos raios X
difractados podem ser medidos para
vários ângulos de difracção).
• O cristal mostrado na figura vai
separar angularmente os raios X
difractados, proporcionalmente ao
seu comprimento de onda.
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Aula anterior
Cada fotão é tratado como uma
partícula livre, de energia
E = h = h c/ , e massa nula, que
colide com um electrão
inicialmente em repouso.
Explicação do efeito de Compton a
partir do conceito de quantização:
em que Ee é a energia do electrão difractado.
Usando a conservação do momento (para ambas as componentes x e y ),
notando que a velocidade do electrão << c ( sem correcções relativistas)
e sabendo que p = E /c = h / para os fotões e p = m v para os
electrões, tem-se:
Aplicando a conservação da energia tem-se: e
0
h c h c E'
componente segundo x : h / 0 = h /’ cos + m v cos
componente segundo y : 0 = h/ ’ sen - m v sen
9
Aula anterior
Efeito de Compton (cont.)
Eliminando v e das (3) equações anteriores, obtém-se uma
expressão que relaciona as 3 variáveis restantes (’, 0 e ) :
Esta equação (eq. de difracção de Compton) já prevê a variação
no comprimento de onda dos raios X difractados por electrões
livres observado experimentalmente.
em que me é a massa do electrão e h/ me c é o chamado
comprimento de onda de Compton do electrão.
0e
' h- 1- cosm c
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Fotões (sem massa em repouso)
com energia E = h e momento P = E / c = h /c = h / .
Luz : onda ou partícula?
Ondas de matéria
Radiação do corpo negro
Efeito foto-eléctrico
Efeito de Compton
Explicações não-clássicas
baseadas no carácter
corpuscular da luz.
Postulado de Louis de Broglie:
Como os fotões têm características de onda, talvez todas as formas
de matéria tenham também propriedades de onda e partícula.
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Ondas de matéria (cont.)
Se um fotão, cuja massa em repouso é nula, tem um momento
linear p = h/ , então para qualquer partícula com momento p
também se verifica p = h / , ou seja, tem associada uma onda
com comprimento de onda igual a h / p .
O comprimento de onda
de de Broglie para uma
partícula é então:
h h
p mv
Ondas de
matéria
Sendo E = h , a
frequência das ondas
de matéria é dada por:
E
h
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Determine o comprimento de onda de de Broglie para:
a) um electrão que se move com velocidade 1.107 ms-1;
b) um protão à mesma velocidade.
31em 9,11.10 kg
3411
31 7 1e
h 6,63.10 J s7,28.10 m
m v 9,11.10 kg 1.10 ms
27pm 1,67.10 kg
a)
Este comprimento de onda corresponde ao dos raios-X
b)
3414
27 7 1p
h 6,63.10 J s3,97.10 m
m v 1,67.10 kg 1.10 ms
h h
p mv
13
Uma rocha de 50 g é atirada com uma velocidade de 40 ms-1.
Determine o seu comprimento de onda de de Broglie.
3434
3 1
h 6,63.10 J s3,32.10 m
mv 50.10 kg 40 ms
As propriedades ondulatórias dos objectos macroscópicos não
podem ser observadas .
h h
p mv
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Quantificação do momento angular no modelo de Bohr
Modelo de Bohr
Electrões com órbitas específicas.
Podem ser vistos como ondas estacionárias nessas órbitas.
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Quantização do momento angular no modelo de Bohr (cont.)
Ondas estacionárias
a) comprimentos de onda
associados a um electrão
numa órbita atómica estável
b) comprimentos de onda
numa corda esticada .
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Substituindo = h / m v na equação acima, teremos n h/ m v = 2 r .
Quantização do momento angular no modelo de Bohr (cont.)
Uma corda de guitarra (em regime estacionário) só vibra sob a forma
de ondas estacionárias com nodos em cada extremidade.
Pode-se aplicar o mesmo raciocínio às ondas de matéria electrónicas
formando uma circunferência em torno do núcleo: os electrões só
podem existir em órbitas que correspondam a um número inteiro de
comprimentos de onda em torno do núcleo.
Então, deve-se verificar a condição n = 2 r , em que r é o raio da
órbita, é o comp. de onda de de Broglie do electrão e n = 1, 2, 3…
Postulado de Bohr para a
quantização do momento angular.
nhmv r
2
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Se as ondas se comportam como partículas e as partículas como ondas, o
que acontecerá se um feixe de electrões passar por duas fendas paralelas ?
a) Difracção da luz (experiência
de Young)
b) Padrão de riscas obtido
a) Interferência construtiva em P
(em fase)
b) Interferência construtiva (em
fase)
c) Interferência destrutiva
(diferença de fase = 180º)
Difracção e interferência de ondas
18
Interferência construtiva
(as duas ondas em fase).
Difracção e interferência de ondas (cont.)
Interferência destrutiva
(diferença de fase = 180º).
19
Padrões de
interferência
obtidos com
electrões:
Difracção e interferência de partículas
A intensidade máxima obtém-se quando a diferença de caminhos é
igual a zero ou múltiplos de um comprimento de onda: D sin = n
Os mínimos de intensidade ocorrem quando a diferença de caminhos
é igual a múltiplos de metade mais um comprimento de onda:
D sin = /2, 3/2, 5/2…
Número de electrões detectados por minuto
Electrões
Detector de electrões
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(a), (b) e (c) são simulações por computador
de padrões de interferência para electrões.
(d) é uma fotografia dum padrão de
interferência obtido para uma fenda dupla .
Os electrões são detectados como
partículas num ponto localizado num
determinado instante. Mas a probabilidade
de um electrão chegar a esse ponto é
determinada pela intensidade (da
interferência) das duas ondas de matéria.
Difracção e interferência de partículas (cont.)
21
Se se fechar a fenda 1 ,
permitindo que os
electrões passem apenas
pela fenda 2, obtém-se a
curva de cima no alvo.
Se se fechar a fenda 2 ,
obtém-se a curva de baixo.
Padrão de interferência com cada uma das fendas (1) e (2) tapadas
alternadamente:
Difracção e interferência de partículas (cont.)
Contagem
por minuto
22
Difracção e interferência de ondas
23
Difracção e interferência de partículas
24
Contagem
por minuto Contagem
acumulada
por minuto
Com ambas as fendas
abertas, obtém-se o padrão
de interferências anterior:
A curva azul no lado direito
representa o nº acumulado
de contagens por unidade
de tempo quando cada uma
das fendas está fechada
metade do tempo.
A curva vermelha
representa o padrão de
interferência com ambas as
fendas abertas
simultaneamente.
Padrão de interferência com ambas as fendas abertas :
Difracção e interferência de partículas (cont.)
25
Se o número de electrões for suficientemente pequeno, obtém-se
também um padrão de interferências.
Esta descrição obriga a recorrer a uma interpretação ondulatória do
electrão.
Assim, admitamos que a partícula pode ser representada por uma
função de onda (que pode ser complexa).
Admitamos também que o perfil de intensidade do padrão de
interferências (o número de electrões detectados por unidade de
tempo) pode ser representado pelo quadrado do módulo desta
função de onda | | 2 .
Função de onda
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Se a fenda 1 estiver aberta metade do
tempo (com 2 fechada) e a fenda 2 estiver
aberta também metade do tempo (com 1
fechada), então o perfil de intensidade será
dado por:
Se a fenda 1 estiver aberta (e 2 fechada),
então a função de onda dos electrões que
passam por 1 será 1 e, portanto, o seu
perfil de intensidade será | 1 | 2.
Se a fenda 2 estiver aberta (com 1 fechada),
2 representa a função de onda dos
electrões que passam por 2 e | 2 | 2
representa o seu perfil de intensidade.
Função de onda (cont.)
Contagem
por minuto
2 21 2
27
Se ambas as fendas estiverem abertas simultaneamente, as funções
de onda dos electrões sobrepõem-se. A função de onda combinada
será igual a 1 + 2 .
O perfil de intensidade é dado por
| 1 + 2 | 2 = | 1 |
2 + | 2 |2 + 2 (1 . 2)
Isto é diferente da situação em que cada fenda está aberta metade do
tempo (| 1 |2 + | 2 |2 ) .
O termo 2 ( 1 . 2 ) é o termo de interferência.
Se as funções de onda
forem complexas, então
| 1 |2 = 1 1* , em que
1* é o complexo
conjugado de 1 .
Função de onda (cont.)
Contagem
por minuto
Contagem acumulada
por minuto
ix( x ) Ae A(cos x i s en x )
* ix( x ) Ae
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No entanto, o quadrado da função de onda já tem significado
físico: representa a probabilidade de uma partícula ser detectada
num dado ponto particular (por ex, a distribuição de intensidades
num alvo).
A função de onda de uma partícula não representa uma quantidade
física, com significado físico. Estas funções de onda são
interpretações matemáticas de fenómenos que se verificam até
experimentalmente.
Função de onda (cont.)
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As partículas comportam-se como ondas e as ondas como partículas.
Para representar uma onda/partícula é
necessário uma representação matemática.
A função de onda de uma partícula tem de
ter propriedades de onda e,
simultaneamente, ser localizada no espaço.
Representação “pacote de
ondas” de uma partícula.
Representação matemática do pacote de ondas
Fotão com
energia h
30
Representação matemática do pacote de ondas (cont.)
A soma de duas ondas com
frequências ligeiramente
diferentes pode produzir
uma estrutura repetida em
pacotes de onda.
A soma de muitas destas
ondas pode produzir um
pacote de ondas isolado.
Pacotes de ondas (simulação)
31
Representação matemática do pacote de ondas (cont.)
Um grupo de ondas isolado é o resultado da sobreposição de um
número infinito de ondas com comprimentos de onda diferentes.
Por exemplo, para um dado tempo fixo (ou seja, com o factor
tempo retirado), o grupo de ondas como função do espaço (x)
pode ser representado por
0 1 20 1 2
2 x 2 x 2 xa sen a sen a sen ...
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Em geral, o grupo de ondas pode ser expresso em termos
do integral de Fourier:
Representação matemática do pacote de ondas (cont.)
0 0 1 1 2 2a sen k x a sen k x a sen k x ... ou
em que k = 2 / é o número de onda e ai são constantes.
0
x a k sen k x dk
Pacote de ondas
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Representação matemática do pacote de ondas (cont.)
A representação matemática de uma partícula é dada por
uma função de onda .
Por exemplo, (x) = 0a(k) sen kx dk representa um
pacote de ondas.
A função de onda não tem um significado físico directo mas
o módulo ao quadrado da função de onda sim.
A probabilidade de, experimentalmente, encontrar uma
partícula descrita pela função no ponto de coordenadas
(x, y, z) é igual a | | 2 .
Por exemplo, se | | 2 for igual a zero para um certo valor de
(x , y , z) , então a probabilidade de encontar a partícula
nesse ponto é nula .
| | 2 é a densidade de probabilidade.
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Condição de normalização
Consideremos um sistema uni-dimensional que não varia
com o tempo (a partícula está localizada algures no eixo x );
a probabilidade total (a soma das probabilidades) de
encontrar a partícula no eixo x vai ser, obviamente, igual a 1.
Condição de
normalização
Representação matemática do pacote de ondas (cont.)
2
0
dx 1
Pacote de ondas
