FUNÇÃO CONSTANTE Chamamos de função constante a qualquer função de IR em IR definida por f(x) = c, onde c é um número real. O gráfico de uma função constante f(x) = c, é uma reta paralela ao eixo x passando pelo ponto ( 0, c ) :

FUNÇÃO IDENTIDADE Chamamos de função identidade à função de IR em IR definida por f(x) = x. x y -2 -2 -1 -1

0 0 1 1 2 2

FUNÇÃO DO 1º GRAU Chamamos de função do 1º grau ou afim a qualquer função IR em IR definida por f(x) = ax +b, onde a e b são números reais e a é não nulo. Definição: f : IR → IR definida por f(x) = ax + b, a ∈ IR * e b ∈ IR OBS: a-) O gráfico da função do 1º grau é uma reta. b-) O conjunto imagem da função do 1º grau é IR c-) A função do 1º grau com b= 0 , ou seja, f(x)= ax é chamada linear. EXEMPLO: Construa o gráfico e dê o conjunto imagem das seguintes funções

de IR em IR :

4− 3− 2− 1− 1 2 3 4

x

y ),0( cP

cxf =)(

c=Im

f :IR→ IR definida por f(x)=c, c∈R

x

y

f: IR → IR definida por f(x) =x

2

i) x f(x) 2+=

x f(x) = x + 20 21 3

ii) x f(x) 5= x f(x) = 5x0 01 5

Observe que a função f(x) = 5x, é uma função linear, e é uma reta que passa pela origem ( 0, 0 ), pois para x = o temos y = 0, para construirmos o gráfico basta obter apenas mais um ponto. RAIZ OU ZERO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU Dada a função do 1º grau y = ax +b, chama-se raiz ou zero da função, o valor de x para o qual ax + b = 0 , ou seja, o valor de x que anula a função. Então, para determinarmos a raiz ou o zero da função, fazemos y = 0 e resolvemos a equação. EXEMPLO : Determine a raiz das seguintes equações : i-) ii-)

Observe que em y = 3x – 6 , y = 0 e x = 2 , calculado anteriormente, o ponto ( 2, 0 ) é a intersecção da reta com o eixo x.

1

2

1

3

x

y

Im = IR

x

y

1

5

Im = IR

23663

06363

=

=

==−−=

x

x

xx

xy

08008

088

=

=

==−−=

x

x

xx

xy

3

EXERCÍCIOS 1) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma

parte fixa, no valor de R$ 300,00, e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês. a) Expressar a função que representa seu salário mensal. R. f(x) = 0,08x + 300 b) Calcular o salário do vendedor sabendo que durante um mês ele vendeu R$ 10.000,00 em produtos. R. R$ 1.100,00

2) Dada a função f(x) = ax + 2, determine o valor de a para que se tenha f(4) =

22. R. a = 5

3) Construir o gráfico das seguintes funções para x = 0 e x = 1 e ache suas raízes:

• f(x) = 3x + 4

• f(x) = 31

x + 6

• f(x) = -4x + 8

4) A empresa “KCK” comprou um equipamento por R$ 30.000,00 e o mesmo apresenta uma expectativa de se valorizar à razão constante de R$ 2.000,00 por ano. Determine a equação que representa o valor previsto do bem. R. f(x) = 2000x + 30000

5) Conforme a equação representada no exercício anterior, qual será o valor do

bem daqui a 2 anos? R. R$= 34.000,00

6) A venda de certos produtos fabricados pela empresa “KCK” é representada lei: p = -x2 + 34, onde x representa a quantidade em milhões de demanda e p o preço por unidade em reais. Determine a quantidade de demanda quando o preço for R$ 9,00. R. X = 5.000.000 unidades

7) Sabendo-se que a função que representa a oferta do produto fabricado pela

“KCK” é qo = 80p + 720. Para uma oferta igual a 1280 unidades, qual será o preço? R. R$ 7,00

8) Um vendedor de livros ganha salário mínimo fixo mensal, mais uma comissão

de R$ 2,00 por livro vendido. Sendo x o número de livros vendidos por mês, expresse o salário(S) do vendedor como função de x. R. S(x) = R$ 2,00x + 300

9) Baseado no exercício anterior, se o vendedor vender 210 livros em um

determinado mês, quanto será seu salário? R. R$ 720,00

10) Suponha que a função C(x)=20x+40 represente o custo total de produção de um determinado artigo, onde C é o custo (em reais) e x é o número de unidades produzidas. Determinar:

• O custo de fabricação de 5 unidades desse produto. • Quantas unidades devem ser produzidas para que o custo total seja

R$12.000,00. • Os valores de x para os quais o problema tem interpretação prática. • O gráfico dessa função (destacar onde o problema tem interpretação prática).

4

11) Uma escola cobra de seus alunos uma matrícula de R$80,00 e mais mensalidade de R$50,00.

• Determine a função que representa o gasto de um aluno em relação aos meses de aula.

• Quanto gastou um aluno nos seis primeiros meses de aula? • O gráfico dessa função admitindo que o curso seja de 12 meses.

12) Um móvel em movimento retilíneo uniforme obedece a e = 5t + 15, onde e é o

espaço percorrido pelo móvel (em metros) e t é o tempo gasto em percorrê-lo (em segundos). Determine: • As posições do móvel nos instantes: t=0s; t=10s • O instante em que o móvel se encontra a 35 metros da origem. • O gráfico dessa função.

FUNÇÃO QUADRÁTICA

Chamamos de função quadrática, qualquer função de IR em IR definida por f(x) = ax2 + bx + c, onde a ∈ IR* , b ∈ IR e c ∈ IR. EXEMPLOS : a-) f(x) = 5x2 + 3x – 2 a = 5 b = 3 c = -2 b-) f(x) = x2 + 2x – 3 a = 1 b = 2 c = -3 c-) f(x) = -x2 + 4x a = -1 b = 4 c = 0 Observe que o coeficiente de a, nunca será zero, pois se isto ocorrer não teremos mais uma função do 2º grau, e sim uma função do 1º grau.

GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA O gráfico da função quadrática é uma parábola. EXEMPLOS : i-) Esboce o gráfico da função f(x) = x2 + 2x – 3

x f(x) = x2+ 2x - 3 y-3 f(-3) = (-3)2 + 2 (-3) -3 0-2 f(-2) = (-2)2 + 2 (-2) -3 -3-1 f(-1) = -(1)2 + 2 (-1) -3 -40 f(0) = 02 + 2 . 0 - 3 -31 f(1) = 12 + 2 . 1 - 3 02 f(2) = 22 + 2 . 2 -3 5

3−

2− 1− 0 1 2 3−

4−

5

x

y

5

ii-) Esboce o gráfico da função f(x) = -x2 + 4x – 3 .

x f(x)= -x2 + 4x - 3 y-1 f(-1)= -(-1)2 + 4(-1) -3 -80 f(0)= -02 + 4 . 0 -3 -31 f(1)= -12 + 4 . 1 -3 02 f(2)= -22 + 4 . 2 - 3 13 f(3)= -32 + 4 .3 -3 04 f(4) = -42+ 4 . 4 -3 -35 f(5)= -52 + 4 . 5 -3 -8

CONCAVIDADE DA PARÁBOLA

a > 0 ⇒ concavidade da parábola voltada para cima

a < 0 ⇒ concavidade da parábola voltada para baixo

RAÍZES OU ZEROS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Raízes ou zeros da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c são os valores de x para os quais a função se anula (y = 0) Determinamos as raízes da função quadrática resolvendo a equação: ax2 + bx + c = 0, o que pode ser feito aplicando a fórmula resolutiva:

abx

2∆±−

= onde: acb 42 −=∆

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS RAÍZES

Se →>∆ 0 a função tem dois zeros reais desiguais ( x’ e x” ). Se →=∆ 0 a função tem um zero real duplo ( x’= x” ). Se →<∆ 0 a função não tem zero real.

0>∆ 0=∆

2x 1x

x

y

1−

1

3−

8−

1 2 3 4 5

x

y

2x 1x x

y

21 xx = x

y

21 xx = x

y

6

0<∆

VÉRTICE DA PARÁBOLA

As coordenadas do vértice são adquiridas através das fórmulas:

abxv 2

−= e a

yv 4∆

−=

IMAGEM DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Observando os gráficos que representam a função quadrática f(x) = ax2 + bx +c

x

y

x

y

vx

x

y 0>a

vy

vx

Se a > 0, a função assume um valor de

mínimo: a

yv 4∆

−= .

Assim o conjunto imagem da função quadrática será:

Im = { y ∈IR |a

y4∆

−≥ }

x

y

vy

0<a Se a < 0, a função assume um valor de

máximo: a

yv 4∆

−= .

Assim o conjunto imagem da função quadrática será:

Im = { y ∈IR |a

y4∆

−≤ }

7

EXERCÍCIOS

1) Calcule as coordenadas do vértice das parábolas que representam as seguintes funções: a) f(x) = x2 – 6x + 5 b) f(x) = -x2 + 2x –2

2) Escreva se a função admite um máximo ou um mínimo e determine esse máximo ou esse mínimo: a) f(x) = 5x2 – 3x –2 b) f(x) = -x2 +2x –2

3) Determine o conjunto imagem das seguintes funções:

a) f(x) = 2x2 – 3x – 2 b) f(x) = -x2 + 5x + 6

4) Dada a função f(x) = x2 – 2x –3 , determine: i. As raízes da função

ii. Vértice da parábola iii. Identifique se a função assume ponto de máximo ou mínimo iv. O conjunto imagem da função v. O gráfico da função

5) Dentre os números -2, 0, 1, 4, quais deles são raízes da equação x2-2x-8= 0?

4) O número -3 é a raíz da equação x2 - 7x - 2c = 0. Nessas condições, determine o valor do coeficiente c:

5) Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e do resultado subtrair 14, você vai obter o quíntuplo do número x. Qual é esse número? Resposta 7 ou -2