Sries EstatsticasProf. Me. Mirivan Carneiro Rios

Apresentao de Dados Estatsticos

Se lidamos com poucos valores numricos, otrabalho estatstico fica sensivelmente

reduzido.

Mas e se lidarmos com um grande nmero devalores numricos?

Devemos nos valer da Estatstica Descritiva.

Recordando: a Estatstica Descritiva dentre os

seus objetivos um dele a reduo significativa

dos dados.

E como conseguimos esta reduo?Basta modificarmos a forma de apresentao

dos dados.

Suponha que vamos observarmos as notas de 30 alunos em uma prova e obtivemos os

seguintes valores:

X:3,5; 5;4,5; 4; 4,5; 5; 3,5; 4; 4; 5; 2

3; 4,5; 3,5; 4; 4,5; 3; 4; 3,5;

3,5; 3,5; 4; 4; 5; 3.

Se entendermos como frequncia simplesde um elemento o nmero de vezes que esteelemento figura no conjunto de dados,podemos reduzir significativamente o nmerode elementos com os quais devemostrabalhar.

Para isto deve-se organizar o conjunto de dados

na forma de uma srie estatstica chamada

varivel discreta.

Distribuio de frequncia varivel discreta uma representao tabular de um conjunto de

valores em que colocamos na primeira coluna em

ordem crescente apenas os valores distintos da

srie e na segunda coluna colocamos os valores das

frequncias simples correspondentes.

Se usarmos f para representar a frequncia

simples, a sequncia (1) pode ser representada

pela tabela:xi fi

2 1

3 5

3,5 6

4 10

4,5 4

5 4

OBSERVAES:

(1) Note que a colocao de um ndice i para x e paraf tem a funo de referncia. Deste modo, x1representa o primeiro valor distinto da srie, x2representa o segundo valor distinto da srie;

f1 representa a frequncia simples do primeiro valordistinto da srie, f2 representa a frequncia simples dosegundo valor distinto da srie e assimsucessivamente.

(2) Note que conseguimos reduzir de 30 elementosque constituam a srie original para apenas 12

elementos.

(3) Perceba tambm que a varivel discreta s uma forma eficiente de reduo dos dados, quando

o nmero de elementos distintos da srie for

pequeno.

Devemos optar por uma varivel discreta narepresentao de uma srie de valores quando o

nmero de elementos distintos da srie for

pequeno.

Distribuio de Frequncia Varivel Contnua

Suponha que a observao das notas de 30alunos em uma prova nos conduzisse aos

seguintes valores:

X: 3; 2,5; 4; 4,5; 6; 5; 5,5; 6,5; 77,5; 2; 3,5; 5; 5,5; 8, 8,5; 7,5; 9,55; 5,5; 4,5; 4; 7,5; 6,5; 5; 6; 6,5;6

Observando estes valores notamos grande

nmero de elementos distintos, o que significa

que neste caso a varivel discreta no

aconselhvel na reduo de dados.

Nesta situao conveniente agrupar osdados por faixas de valores, ficando a

srie com a seguinte apresentao:

Classe Notas fi1 2I-----4 4

2 4I-----6 12

3 6I-----8 10

4 8I-----10 4

Esta apresentao da srie de valores denominada varivel contnua.

Devemos optar por uma varivel contnuana representao de uma srie de valores

quando o nmero de elementos distintos

da srie for grande.

Construo da Varivel Discreta

A construo de uma varivel discreta bastante simples. Bastaobservar quais so os elementos da sequncia, orden-los, e coloc-

los na primeira coluna da tabela.

Em seguida computar a frequncia simples de cada elemento distintoe coloc-lo na segunda coluna da tabela.

Exemplo de construo de uma varivel

discreta:

A sequncia abaixo representa a observao do nmero de acidentes por dia, em uma rodovia, durante 20 dias.

X: 0, 2, 1, 1, 0, 0, 0, 3, 2 Os valores distintos da sequncia so: 0, 1, 2, 3. As frequncias simples respectivas so: 8, 5, 5, 2

Portanto, a varivel discreta representativa

desta sequncia :

Construo de uma varivel contnua

A construo da varivel contnua requer o conhecimento de algunsconceitos que vamos estabelecer aproveitando a tabela abaixo como

exemplificao:

Classe Intervalo

de Classe

fi

1 2 I---- 4 4

2 4 I---- 6 12

3 6 I---- 8 10

4 8 I---- 10 4

AMPLITUDE TOTAL DE UMA SEQUNCIA

a diferena entre o maior e o menor elemento de uma sequncia. Representando a amplitude total por At , o maior elemento da

sequncia X por Xmax e o menor elemento por Xmin , a amplitude total

denotada por:

At = Xmax - Xmin

No exemplo da sequncia que deu origem a

tabela (2), Xmax = 9,5 e Xmin = 2, portanto:

At = 9,5 2 = 7,5 A amplitude total representa o comprimento total da

sequncia e dada na mesma unidade dos dados da

sequncia.

INTERVALO DE CLASSE

qualquer subdiviso da amplitude total de uma srie estatstica. No exemplo da tabela (2) subdividimos a amplitude total em quatro

classe, obtendo os intervalos de classe 2I--- 4, 4I--- 6, 6I--- 8, 8I--- 10.

Note que na realidade no trabalhamos com a At = 7,5 e sim com aamplitude total ajustada para 8 como justificaremos adiante.

LIMITE DE CLASSE

Cada intervalo de classe fica caracterizado por dois nmeros reais. Omenor valor chamado limite inferior da classe e pode ser indicado

por l;

O maior valor chamado limite superior da classe e ser indicado porL.

Por exemplo, na classe 2I---4, l=2 e L=4

AMPLITUDE DE INTERVALO DE CLASSE

a diferena entre o limite superior e o limite inferior da classe. Se usarmos h para representar a amplitude do intervalo de classe

podemos estabelecer:

h = L - l

OBSERVAES

(1) Na realidade, as classes no precisam necessariamente ter amesma amplitude como no exemplo acima. Porm, sempre que

possvel, devemos trabalhar com classes de mesma amplitude. Isso

facilita sobremaneira os clculos posteriores.

(2) Utilizamos para representar as classes, intervalos reaissemiabertos direita. Isto significa que o intervalo contm o limite

inferior, mas no contem o limite superior.

O ltimo intervalo da srie 8I---10 no contm ovalor 10. por isso que no utilizamos a amplitude

7,5, pois se isto fosse feito, o limite superior da

ltima classe seria 9,5 e como o limite superior no

deve pertencer classe, o elemento 9,5 da

sequncia estatstica original ficaria sem

classificao.

NMERO DE CLASSES

O nmero de classes a ser utilizado depende muito da experincia dopesquisador e das questes que ele pretende responder com a

varivel contnua.

Temos dois critrios para determinar o nmero de classes.

O CRITRIO DA RAIZ

Se a sequncia lgica contm n elementos e se indicarmos por k onmero de classe a ser utilizado, ento pelo critrio da raiz:

K =

Como o nmero K de classes deve sernecessariamente um nmero inteiro e comodificilmente , um nmero inteiro, deixaremoscomo opo para o valor de K o valor inteiro maisprximo de , uma unidade a menos ou a mais queeste valor.

No exemplo da tabela (2), n=30 K= 30 = 5,477, portanto o valor inteiro mais prximo

de 30 5.

As opes para k ento so: 4 ou 5 ou 6.

A amplitude do intervalo de classe que designamos por h determinada da seguinte forma:

e, portanto, h = 84

= 2

O opo por quatro classes, foi feita em funo de um valor de h maisfcil de operar.

h= At

Conhecendo-se o valor Xmin = 2 e a amplitude declasse h = 2, conclui-se que o limite superior da

primeira classe 4.

Portanto, a primeira classe o intervalo 2I---4.O limite inferior da segunda classe 4. Somando-se

a amplitude da classe obteremos 6.

Portanto, a segunda classe 4I---6

CRITRIO DA FRMULA DE STRUGES

Segundo Strugers, o nmero k de classes dado por: K = 1 + 3,3 . log n Para valores de n muito grandes, esta frmula apresenta mais

vantagens que o critrio da raiz, embora apresente o mesmo

problema de aproximao do valor de k.

Tbua de logaritmos decimais

FRQUNCIA SIMPLES DE UMA CLASSE

fi

Chama-se frequncia simples de uma classe ao nmerode elementos da sequncia que so maiores ou iguaisao limite inferior desta classe e menores que o limitesuperior desta classe.

No exemplo 2, a frequncia da primeira classe onmero de elementos da sequncia que so maiores ouiguais a 2 e menores que 4.

Note que os valores da sequncia nestascondies so os valores 3, 2,5, 2, 3,5.

Portanto, a frequncia simples da primeiraclasse 4.

CONSTRUO DE UMA VARIVEL CONTNUA

Um teste para aferir o Quociente de Inteligncia emdeterminada classe de alunos da Faculdade deu origem a

sequncia de valores.

X:

111 90 121 105 122 61 128 112 128 93

108 138 88 110 112 112 97 128 102 125

87 119 104 116 96 114 107 113 80 113

123 95 115 70 115 101 114 127 92 103

78 118 100 115 116 98 119 72 125 109

79 139 75 109 123 123 108 125 116 83

94 106 117 82 122 94 124 84 91 130

Para a construo da varivel contnua, devemos

determinar o nmero de elementos da sequncia.

Verificamos que a sequncia possui n= 70

elementos.

Pelo critrio da raiz k=

k= 70 = 8,37 Podemos construir a varivel com o valor inteiro 7, 8 ou 9 classes O maior valor da sequncia Xmx = 139 e o menor valor da

sequncia Xmin = 61

At = Xmx - Xmin At = 139 61 = 78 Se observarmos 78 no divisvel nem por 7,8 ou 9 Ento usamos o artificio de arredondamento e teremos: Xmx = 141 e Xmin = 61, o que nos dar a amplitude. At = 141 61 = 80 que divisvel por 8, obtendo-se uma

amplitude do intervalo de classe h dada por:

h=

= 80

8= 10

O comprimento do intervalo de classe h= 10 e onmero de classes k = 8.

Computando as frequncias simples de cada classe,construmos a varivel contnua representativa da

srie.

Classe Intervalo de

Classe

fi

1 60 I--- 70 1

2 70 I--- 80 5

3 80 I--- 90 6

4 90 I--- 100 10

5 100 I---110 12

6 110 I---120 19

7 120 I---130 14

8 130 I---140 3