Converso Energtica

Prof. Raphael Amaral, Dr.raphael@unilab.edu.br

Sistemas Magntico de ExcitaoMltipla Muitos dispositivos eletromecnicos

possuem terminais eltricos mltiplos Sistemas de medio

desejvel obter conjugados proporcionais a dois sinais eltricos

Ex: Wattmetro que mede a potncia a partir da tenso e da corrente eltrica.

Sistemas Magntico de ExcitaoMltipla

Representao esquemtica de um sistema multi-excitado:

4Sistemas Magntico de ExcitaoMltipla

1 2 1 1 2 2, ,campo campodW i d i d T d

12

1 2

..

, ,campocampo cte

cte

W xT

2

1 21

.1 .

, ,campoctecte

W xi

1

1 22

.2 .

, ,campoctecte

W xi

Como existem 3 terminais 3 variveis independentes:

Em analogia direta ao sistema de excitao nica:

5Sistemas Magntico de ExcitaoMltipla

A energia encontrada integrando a equao:

1 2 1 1 2 2, ,campo campodW i d i d T d

2 11 2 2 2 2 1 1 2 10 0, , 0, , , ,o ocampo o o o o o oW i d i d

6Sistemas Magntico de ExcitaoMltipla

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

L i L iL i L i

Para sistemas magnticos lineares

22 1 12 21

21 1 11 22

11 22 12 21

L Li

D

L Li

D

D L L L L

7Sistemas Magntico de ExcitaoMltiplaUtilizando a integral

2 1

2 1

1 2 2 2 2 1 1 2 10 0

11 22 1 12 21 2 2 2 10 0

122 21 2 11 2 22 1 1 2

, , 0, , , ,

, ,

1 1, ,2 2

o o

o o

campo o o o o o o

o o o ocampo o o o

o o

ocampo o o o o o o o o o

o o o

W i d i d

L L LW d d

D D

LW L L

D D D

8Sistemas Magntico de ExcitaoMltipla

'1 2 1 1 2 2 1 2

'1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2

'1 2 1 1 2 2

, , , ,

, ,

, ,

campo campo

campo campo

campo campo

W i i i i W

dW i i di i d di i d i d i d T d

dW i i di di T d

12

'1 2

..

, ,campocampo i cte

i cte

dW i iT

2

'1 2

1.1 .

, ,campocte

i cte

dW i ii

1

'1 2

2.2 .

, ,campocte

i cte

dW i ii

Definindo a funo de co-energia:

2 1

2 1

1 2 2 2 2 1 1 2 10 0

11 22 1 12 21 2 2 2 10 0

122 21 2 11 2 22 1 1 2

, , 0, , , ,

, ,

1 1, ,2 2

o o

o o

campo o o o o o o

o o o ocampo o o o

o o

ocampo o o o o o o o o o

o o o

W i d i d

L L LW d d

D D

LW L L

D D D

9

Sistemas Magntico de ExcitaoMltipla

2 1'1 2 2 2 2 1 1 2 10 0

' 2 21 2 11 1 22 2 12 1 2

, , 0, , , ,

1 1, ,2 2

o oi i

campo o o o o o o

campo o o o

W i i i di i i di

W i i L i L i L i i

De forma semelhante, a co-energia pode ser obtida como:

Em sistemas lineares, o conjugado pode ser encontrado ou a partir daenergia:

Ou da co-energia.

10

Sistemas Magntico de ExcitaoMltipla

12

'1 2

..

2 211 22 121 2

1 2

, ,

2 2

campocampo i cte

i cte

campo

dW i iT

dL dL dLi iT i id d d

nesse ponto que a utilidade da co-energia aparece. Enquanto a funo daenergia uma funo complexa do deslocamento e sua derivada tambm o em grau ainda maior, a funo da co-energia uma funo mais simplesdo deslocamento e a partir de sua derivada determina-se mais facilmenteuma expresso para o conjugado:

11

Exerccio 1No sistema multi-excitado abaixo, as indutncias so apresentadas abaixo.Calcule as componentes do conjugado e o conjugado total para as correntesabaixo.

311

12

22

1

2

3 cos 2 10

0,3cos

30 10cos 2

0,80,01

L

L

L

i Ai A

12

Equaes DinmicasAs expresses deduzidas at aqui foram para sistemas conservativos deconverso de energia, onde assume-se que as perdas pode ser atribudas aelementos eltricos e mecnicos externos.

13

Equaes Dinmicas

0

0

dv iRdt

L x i

dL xdi dxv iR L x idt dx dt

Equaes eltricas e mecnicas

O 2 termo a tenso da indutncia prpria e o 3 termo chamado detenso de velocidade e responsvel pela transferncia de energia de epara o sistema mecnico pelo sistema eltrico.

14

Equaes Dinmicas

0

0

dv iRdt

L x i

dL xdi dxv iR L x idt dx dt

0

2

2

0 0

K

D

M

campo K D M

f K x xdxf Bdtd xf Mdt

f f f f f

Equaes eltricas e mecnicas

0

2

0 02 ,campo

dL x dx div t i t R i L xdx dt dt

d x dxf t M B K x x f x idt dt

fK mola; fD amortecedor e fM massa. Combinando as equaes eltricase mecnicas, as equaes diferenciais para o sistema completo:

15

Exerccio 2Encontrar as equaes dinmicasdo eletrom abaixo:

1) Encontrar a relutncia magntica do sistema

2) Encontrar a Indutncia do sistema

3) Encontrar a fora magntica restauradora

4) Encontrar a fora eletromotriz induzida nabobina

5) Montar as equaes de estado