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Teorema de TalesMODULO 1 - AULA 8
Aula 8 – Teorema de Tales
Objetivos
• Apresentar o Teorema de Tales.
• Preparar o estudo de semelhanca de triangulos.
Introducao
O objetivo central desta Aula 8 e provar o Teorema de Tales. Pela
primeira vez neste curso aparece uma ideia nova envolvida nos argumentos
tecnicos que usaremos para a prova desse Teorema. E a ideia de limite ou
convergencia de numeros reais. Pela sua importancia na matematica, e pelo
papel fundamental que representam, estas ideias deveriam ser estudadas e
maturadas desde o jardim de infancia. Pode-se dizer que grande parte da
Matematica trata de conjuntos, estruturas nos conjuntos e funcoes entre
conjuntos que preservam estas estruturas. A abordagem que expressa estes
assuntos e a convergencia e o limite.
Mas voltemos ao nosso chao de fabrica, nossa pedreira, apos estas di-
vagacoes.
Nota:
No texto, desta aula,
estamos usando notacoes do
tipo AB = 2 para significar
que a medida do segmento
AB e 2. Isto e estamos
substituindo a notacao mais
pesada m(AB) = 2. Do
mesmo modo escrevemos
DM = MN para expressar
que os segmentos tem a
mesma medida.
Como tudo em matematica, para chegar ao nosso objetivo temos toda
uma sequencia de tijolinhos ou capıtulos a serem preenchidos, preparados,
ate o ato final, que e a prova do Teorema. Por isso, Matematica nao e
como novelas de televisao: se voce perde um capıtulo, possivelmente perde a
conexao com a trama e pode correr o risco de torcer pelo vilao!
Vamos ao nosso primeiro tijolinho. Nesta proposicao e nas seguintes, as
propriedades que conhecemos sobre paralelogramos serao muito utilizadas.
Proposicao 16
Sejam tres retas paralelas m,n e r cortadas por retas transversais s e t. Sejam
A, B, C e E, F, G os pontos de intersecao de s e t, respectivamente, com as
retas m,n e r. Se AB = BC entao EF = FG (veja figura 141).
ts
A
B
C
E
F
G
m
n
r
Fig. 141:
95 CEDERJ
Teorema de Tales
Prova:
Se t e paralela a s nao precisamos provar nada, porque nesta situacao
ABFE e BCGF seriam paralelogramos (lados opostos paralelos). Isto ga-
rantiria que AB = EF e BC = FG. Como AB = BC, todos os segmentos
seriam iguais. Em particular BC = FG.
Vamos supor entao que t nao e paralela a s. Construimos pelos pontos
E e F as retas t1 e t2, respectivamente, ambas paralelas a s. Veja a figura
142.ts
A
B
C
E
F
G
m
n
r
H
IL
t1 t2
Fig. 142:
H, I e F,L sao os pontos de intersecao de t1 e t2 com n e r, respectiva-
mente.
A conclusao agora e consequencia direta da seguinte congruencia de
triangulos:
EHF ≡ FLG
Antes de continuar, interrompa a leitura, examine a figura 142 com
suas propriedades, pegue um papel para rascunho e tente antecipadamente
responder a duas questoes:
- Qual caso de congruencia garante EHF ≡ FLG?
- Por que a congruencia encerra a prova da proposicao?
Insista numa resposta sua... encontrou alguma pista... use propriedades
de paralelas e transversais... releia os argumentos ate aqui desenvolvidos...
lute um pouco com as duas questoes propostas... se passaram 15 minutos e
voce nao avancou venha conosco no caminho da resposta!
A congruencia EHF ≡ FLG e garantida pelo caso A.L.A.
De fato, ABHE e paralelogramo (lados paralelos) e entao AB = HE.
Tambem BCIH e HILF sao paralelogramos e entao BC = HI = FL.
Conclusao: O lado L que aparece no caso A.L.A. esta garantido, pois
EH = FL
CEDERJ 96
Teorema de TalesMODULO 1 - AULA 8
Tambem, usando n e r como paralelas e t como transversal encontramos que
ˆFGL = ˆEFH (angulos correspondentes)
Tambem, usando t1 e t2 como paralelas e t como transversal encontramos
queˆLFG = ˆHEF (angulos correspondentes).
Ora, a soma dos angulos internos de um triangulo e 180◦. Com dois angulos
coincidindo em medidas, o terceiro tambem coincidira. Isto e,
EHF = FLG.
Portanto a congruencia vale pelo caso A.L.A.
Esta respondida a primeira questao.
Vamos a segunda questao: por que a congruencia EHF ≡ FLG encerra
a prova? Pedimos que voce leia o enunciado da proposicao de novo para ver
que a conclusao salta aos olhos!
Ora EHF ≡ FLG⇒ EF = FG, onde querıamos chegar.
�
Vamos agora explorar o resultado que acabamos de provar para tirarmos
uma importante consequencia.
- Voce sabe o que e um feixe de paralelas no plano?
Um feixe de paralelas e um conjunto de retas do plano onde quaisquer
duas delas sao paralelas. O conjunto de retas formando o feixe deve possuir
no mınimo duas retas, podendo ter um numero finito ou mesmo infinito de
retas.
Na figura 143 abaixo representamos um feixe de paralelas com 5 retas.
Fig. 143: .
Estamos em condicao de enunciar um resultado que e consequencia
direta da Proposicao 16.
97 CEDERJ
Teorema de Tales
Corolario 1
Considere um feixe de paralelas no plano, contendo um numero finito de
retas e duas retas transversais s e t intersectando o feixe. Se a transversal s
determina segmentos consecutivos de mesmo comprimento, o mesmo ocorrera
com os segmentos consecutivos determinados no feixe pela reta transversal t.
Corolario: E uma proposicao
obtida como consequencia
direta de outra proposicao
Prova:
Na figura 144, representamos um feixe com 4 retas. Vamos provar o
resultado neste caso.
ts
E
F
G
m
n
rA
B
C
pD H
Fig. 144: .
O enunciado garante que AB = BC = CD e pede para provar que
EF = FG = GH.
E evidente que o resultado e verdadeiro, basta usar a proposicao 16
duas vezes. Primeiro, considerando as retas r,m e n para concluir que
AB = BC ⇒ EF = FG;
e em seguida usar as retas m,n e p, para concluir que e verdadeira a seguinte
implicacao:
BC = CD ⇒ FG = GH.
- Voce ja percebeu que chegamos, nao?
A partir de agora talvez estejamos malhando em ferro frio, tudo esta
dito e mais nada se acrescenta. Mas vamos la!
As duas conclusoes acima reunidas mostram que
AB = BC = CD ⇒ EF = FG = GH.
Apesar da prova ter sido feita para um feixe com 4 retas, e evidente
que vale para 52 ou 52 milhoes de retas, ou um numero qualquer n ∈ N de
retas.
CEDERJ 98
Teorema de TalesMODULO 1 - AULA 8
Mais uma vez, recordamos que nosso objetivo central nesta aula e pro-
var o Teorema de Tales (se tiver curiosidade leia o enunciado no texto adi-
ante). E um resultado muito importante, ferramenta de primeira linha, que
abre muita portas. No entanto quero convidar voce a refletir sobre um argu-
mento crucial que aparecera na prova do Teorema de Tales.
Em primeiro lugar considere on numeros naturais N = {0, 1, 2, ...}, os
quais podem ser representados sobre a parte positiva da reta real R. A reta
R e onde representamos todos os numeros reais. veja figura 145 .
0 1 2 n n+1
x
RFig. 145:
Na parte positiva da reta real R, estao localizados todos os numeros
reais positivos.
Temos a seguinte propriedade: “dado um numero real x > 0, existe um
numero natural n, tal que n > x ”.
Esta propriedade e chamada de “Princıpio Arquimediano” em home-
nagem ao grande matematico e engenheiro grego Arquimedes (sec IV a.C.)
Usando o Princıpio Arquimediano como base, peco para voce pensar
sobre a seguinte pergunta.
Considere um numero real B que possui duas propriedades:
• B ≥ 0
• B <1
n, para todo numero natural n > 0.
- Quem e o numero B?
Reflita um pouco sobre as propriedades de B. Sao duas camisas de
forca obrigando B a revelar sua identidade, seu lugar na reta real R, figura
145. Releia a pergunta e insista numa resposta sua...
Voce respondeu corretamente se cravou B = 0.
De fato, e a unica alternativa para o DNA de B. Por que?
Em primeiro lugar B ≥ 0. Vamos provar que a suposicao B > 0
e absurda e nos leva a contradicoes, deixando-nos como unica alternativa
B = 0.
De fato, se B > 0 entao1
B> 0 e pelo Princıpio Arquimediano existe um
numero natural n > 0, tal que n >1
B. Como tratamos com numeros positi-
vos, podemos inverter as posicoes dos numeros para concluir que
B >1
n.
99 CEDERJ
Teorema de Tales
Este resultado diz que existe um numero natural n, para o qual a se-
gunda propriedade de B nao e satisfeita. Esta contradicao mostra que B > 0
nao e possıvel. Logo B = 0.
Vamos, sem mais delongas ao numero principal de nosso espetaculo,
aquele pelo qual pagamos o ingresso:
Teorema de Tales
Sejam tres retas paralelas r,m e n cortadas pelas retas transversais s
e t. Suponha que A,B,C e E,F,G sejam os pontos de intersecao das
retas s e t com r,m e n, respectivamente (veja figura 146). Nestas
condicoesAB
BC=EF
FG.
Voce sabia que...
O nome de Tales esta
associado com um numero
de teoremas em Geometria:
1. Um cırculo e bissectado
por um diametro
2. Os angulos da base de um
triangulo isosceles sao iguais
3. Angulos opostos pelo
vertice sao iguais
4. Caso L.A.A. de
congruencia
5. Dado um triangulo ABC,
inscrito em um semicırculo,
o angulo oposto ao lado que
esta sobre o diametro e reto.
6. A soma dos angulos
internos de um triangulo e
180o.
Todos esses teoremas eram
conhecidos pelos egıpcios e
babilonios. A razao pela
qual eles estao associados a
Tales e porque ele foi o
primeiro a oferecer provas
para esses teoremas.
ts
A
B
C
E
F
G
m
n
r
Fig. 146:
Prova:
Vamos provar uma forma equivalente da igualdade enunciada. Note
queAB
BC=EF
FG⇔ BC
AB=FG
EF⇔ BC
AB+ 1 =
FG
EF+ 1
⇔ BC + AB
AB=FG+ EF
EF
⇔ AC
AB=EG
EF.
Entao para efeito da prova do teorema e suficiente mostrar que
AC
AB=EG
EF.
Para prosseguir fixe um numero natural n > 0 qualquer (n pode ser
5 trilhoes por exemplo). Posicione, consecutivamente, pontos igualmente
espacados no interior do segmento AB, de modo a dividi-lo em n partes
iguais. Seja U o comprimento de cada um desses segmentos. Com esta
medida U e a partir do ponto B, continuamos a marcar pontos consecutivos
agora sobre o segmento BC, de modo que o comprimento de cada segmento
formado por pontos consecutivos tenham comprimento U . (Veja a figura
147).
CEDERJ 100
Teorema de TalesMODULO 1 - AULA 8
Agora vamos soltar uma frase que merece atencao:
“Suponha que este processo permitiu que colocassemos n pontos sobre
AB e ate m pontos sobre AC, com m > n”.
Epa, a frase acima guarda misterios! O que queremos dizer? Vamos
com calma.
Voce sabia que...
Por volta do ano 600 a.C., o
sabio grego Tales de Mileto
fez uma viagem ao Egito. O
farao ja conhecia sua fama
de grande matematico.
Ouvira dizer ate que Tales
era capaz de uma incrıvel
facanha: podia calcular a
altura de uma construcao,
por maior que fosse, sem
precisar subir nela.
Por ordem do monarca,
alguns matematicos egıpcios
foram ao encontro do
visitante e pediram-lhe que
calculasse a altura de uma
das piramides. Tales
ouviu-os com atencao e se
dispos a atende-los
imediatamente. Ja no
deserto, proximo a piramide,
o sabio fincou no chao uma
vara, na vertical.
Observando a posicao da
sombra, Tales deitou a vara
no chao, a partir do ponto
em que foi fincada,
marcando na areia o
tamanho do seu
comprimento. Depois, voltou
a vara a posicao vertical. -
Vamos esperar alguns
instantes, disse ele. Daqui a
pouco poderei dar a
resposta. Ficaram todos ali,
observando a sombra que a
vara projetava. Num
determinado momento, a
sombra ficou exatamente do
comprimento da vara. Tales
disse entao aos egıpcios: -
Vao depressa ate a piramide,
mecam sua sombra e
acrescentem ao resultado a
medida da metade do lado
da base. Essa soma e a
altura exata da piramide.
Como Tales descobriu isso?
Tales usou semelhanca de
triangulos. Esse assunto
estudaremos mais tarde.
Primeiro a frase quer dizer que se damos nome aos pontos consecuti-
vos, por exemplo P1, P2, ..., Pn sobre AB, quer dizer que AP1 e o primeiro
segmento de AB e Pn−1Pn e o ultimo segmento de AB. Neste caso Pn = B.
A coisa foi construıda para se ajustar perfeitamente sobre AB. No en-
tanto, prosseguindo com os pontos agora Pn+1, Pn+2, ... em BC, ocorre um
fenomeno. Ou o ultimo ponto, que estamos chamando Pm, coincide com C,
ou ele esta antes de C. Qualquer que seja o caso o proximo ponto Pm+1
estaria fora de AC (veja a figura 147).
Tracamos agora retas paralelas a r,m e n e passando pelos pontos que
definimos sobre o segmento AC. Estas retas formam com r,m e n um feixe
de paralelas e determinam sobre EF e EG segmentos de reta de mesmo
comprimento.
Denomine por U o comprimento de cada um desses segmentos.
O fato que o comprimento dos segmentos determinados pelas paralelas
sobre o segmento EG sao de mesmo comprimento U decorre do corolario da
Proposicao 16.s
Pn=B
Pm
Pm+1
CG
n
m
t
rEA
F=Qn
Fig. 147:
101 CEDERJ
Teorema de Tales
Entao podemos escrever que
• AB = nU, EF = nU
• mU ≤ AC < (m+ 1)U, mU ≤ EG < (m+ 1)U
Dividindo e cancelando os termos U e U , encontramos que,
m
n≤ AC
AB<m+ 1
ne
m
n≤ EG
EF<m+ 1
n(1)
Represente na reta real R, os numerosm
nem+ 1
n. e os numeros
AC
AB
eEG
EF.
m
n
m+1
n
AB
AC
EF
EG
R
Fig. 148:
A figura 148 e tambem as desigualdades mostram queAC
ABeEG
EFsao
numeros que pertencem ao intervalo
[m
n,m+ 1
n
)⊂ R. Isto significa que a
distancia entreAC
ABeEG
EFe menor que a amplitude do intervalo.
Em outras palavras
∣∣∣∣AC
AB− EG
EF
∣∣∣∣ <m+ 1
n− m
n=
1
n.
Note que a desigualdade acima poderia ter sido deduzida diretamente
de (1).
Preferimos a explicacao acima de natureza mais geometrica.
Ora a desigualdade acima dizAC
AB− EG
EF= 0
LogoAC
AB=EG
EF, como almejamos provar.
�
Vamos provar mais dois resultados, muito uteis para resolver problemas.
CEDERJ 102
Teorema de TalesMODULO 1 - AULA 8
Proposicao 17
O segmento que une os pontos medios de dois lados de um triangulo e paralelo
ao terceiro lado e tem medade de seu comprimento.
Prova:
Seja ABC um triangulo e sejam M e N os pontos medios dos lados AB
e AC respectivamente. Trace o segmento MN , como na figura 149.
N
CB
A
M
Fig. 149: Proposicao 17.
Queremos provar que as retas←−→MN e
←→BC sao paralelas, e que m(MN) =
m(BC)2
. Para isso, vamos construir um quadrilatero da seguinte forma: na reta←−→MN marcamos um ponto D tal que M esteja entre D e N , e DM ≡ MN ,
e ligamos D a B (veja figura 150). Vamos mostrar que DNCB e um para-
lelogramo.
A
M N
B C
D
Fig. 150: Prova da proposicao 17.
Como os angulos DMB e NMA sao congruentes (por serem opostos
pelo vertice), segue de L.A.L. que AMN ≡ BMD. Como consequencia,
temos ANM ≡ BDM e AN ≡ BD, como indicado na figura 151.
A
M N
B C
D
Fig. 151: A bNM ≡ B bDM e AN ≡ BD.
103 CEDERJ
Teorema de Tales
A reta←→DN e transversal as retas
←→DB e
←→NC, formando um par de
angulos alternos internos congruentes, que sao AND e BDN . Segue da
proposicao 9, da aula 5, que as retas←→DB e
←→NC sao paralelas. O qua-
drilatero DNCB possui assim um par de lados opostos paralelos e congru-
entes: DB e NC.
Pela proposicao 12, da aula 6, podemos concluir que DNCB e um
paralelogramo. Por esse fato, DN e BC tambem sao paralelos e, segundo
a proposicao 11, da aula 6, congruentes. Finalmente, podemos concluir daı
que MN e paralelo a BC e tem metade de seu comprimento.
Q.E.D.
Resumo
Nesta aula voce aprendeu...
• A proporcao entre segmentos determinados por transversais cortando
feixes de paralelas, so depende do feixe de paralelas e nao da posicao
da transversal.
• Que o segmento que une os pontos medios de dois lados de um triangulo
e paralelo ao terceiro lado e tem metade do seu comprimento.
Exercıcios
1. (Construcao da paralela.) Sejam r uma reta e P um ponto nao
pertencente a r. Sabemos que existe uma unica reta s passando por
P e que e paralela a r. O objetivo deste exercıcio e provar como se
pode obter a reta s usando-se apenas regua (sem marcacao de medida)
e compasso. Para isso, trace tres cırculos, sempre com o mesmo raio:
o primeiro com centro em P , determinando um ponto A na reta r; o
segundo com centro em A, determinando um ponto B na mesma reta, e
o terceiro com centro em B, determinando um ponto C sobre o primeiro
cırculo (veja figura 152).
r
s P
A B
C
Fig. 152: Exercıcio 1.CEDERJ 104
Teorema de TalesMODULO 1 - AULA 8
2. Divisao de segmentos em partes iguais. O objetivo deste exercıcio e
indicar um metodo para que voce possa permite dividir, usando apenas
regua (sem marcacao) e compasso, um dado segmento em um numero
qualquer de segmentos congruentes.
Construcao:
Suponha que desejemos dividir o segmento AB da figura 153 em sete
partes iguais.
A B
Fig. 153: Segmento AB.
Para isso, vamos tracar uma semi-reta−→AC de forma que o angulo CAB
seja agudo (essa condicao nao e decisiva, mas torna o desenho mais
facil). Sobre a semi-reta−→AC, tracamos os pontos D1, D2, . . ., D7 de
modo que AD1 ≡ D1D2 ≡ . . . ≡ D6D7. Isso pode ser feito marcando-se
um ponto D1 e usando o compasso para transportar o segmento AD1
para a semi-reta←−→D1C, e assim sucessivamente, como na figura 154. O
tamanho de AD1 nao e importante.
A E1 2E E3 E5E4 E B6
D1
DD
2
3
D4
D5
DD C
6
7
Fig. 154: Divisao de AB em 7 partes iguais.
3. Prove que os pontos medios dos lados de um quadrilatero qualquer
formam um paralelogramo.
4. Na figura 155 temos: m(AB) = 4 cm, m(BC) = 6 cm, m(AC) = 8 cm,
m(DC) = 3 cm, FD//BC e DE//AB. Determine as medidas dos
lados de FDEB.A
D
C
F
B
E
Fig. 155: Exercıcio 4.
105 CEDERJ
Teorema de Tales
5. Na figura 156, ABC e isosceles de base BC, M e o ponto medio de BC,
MP//AC e MQ//AB. Prove que APMQ e um losango.
A
QP
B CMFig. 156: Exercıcio 5.
6. Na figura 157, BM ≡ MC, AF ≡ FB e FD//BC. Prove que E e o
ponto medio de FD.
A
B C
D E
F
M
Fig. 157: Exercıcio 6.
7. Determine x e y na figura 158, sabendo que r, s, t e u sao paralelas.
2
3
3
x
r
s
yu
t
7
Fig. 158: Exercıcio 7.
CEDERJ 106
Teorema de TalesMODULO 1 - AULA 8
8. Na figura 159, EAD ≡ DAC.
A
B C D
2 3
4 x
E
Fig. 159: Exercıcio 8.
Usando apenas o teorema de Tales, determine x.
9. (ITA-1989) Considere um quadrilatero ABCD cujas diagonais AC e
BD medem, respectivamente, 5 cm e 6 cm. Se R, S, T e U sao os
pontos medios dos lados do quadrilatero dado, determine o perımetro
do quadrilatero RSTU .
10. (U.C. Salvador, 1992)
Sejam
P : o conjunto dos retangulos
Q: o conjunto dos quadrados
L: o conjunto dos losangos
A figura que melhor representa as relacoes existentes entre eles e:
L P Q
(a)
L P
Q
(b)
L P
Q
(c)
L
P Q
(d)
L Q
P
(e)
Fig. 160: Exercıcio 9. 107 CEDERJ
