HISTORIOGRAFIA DA CINCIA: Um desafio do passado e suas aplicaes na atualidade.Teorema de Tales Este artigo relata os caminhos histricos da matemtica e da lingstica, estimular a percepo com relao aos conceitos matemticos envolvidos e elaborar as construes matemticas abstratas para solucionar no seu cotidiano e em seguida mostrar as fundamentaes formais matemtica que se deve ser empregado o teorema de tales. METODOLOGIA Foi realizada anlise para obter orientao, sobre Tales de Mileto, pesquisas em livros, internet, bem como orientao nas aulas da instituio para a melhor obteno dos resultados. INTRODUOHISTRICAS SEM PROVAS CONCRETAS

Existem fatos na histria da cincia que sempre estaro sob suspeitas, pois h elementos de sua veracidade. Exemplo a isso encontrado na histria antiga da matemtica. A no existncia de documentos relativos a fatos relevantes na histria da cincia. Muitas das vezes levou aos historiadores a juntar informaes para se reconstruir a histria de forma aproximada quilo que de fato possa ter acontecido. So raros os textos que discorrem sobre assuntos cientficos que aconteceram antes da era Crista. Como exemplo reporta-me a um dos primeiros personagens da Grcia Antiga, Tales de Mileto, a onde informaes dizem que ele viveu entre os anos 625 e 547, ou seja, nos sculos VII e VI antes da Era Crista. 1 A ele atribudo algumas descobertas que deram grandes contribuies ao desenvolvimento da cincia e da matemtica. Efetivamente sobre ele s existem algumas relatos feitos a partir de um sculo aps sua morte. Em sua obra, escrita por volta de 440 a.C., Herdoto (484-426) menciona alguns de seus feitos, Aristteles (384-322), nos textos Metafsicos e Sobre o cu, tambm evidencia alguns acontecimentos nos quais ele foi o protagoniza dor. Ao contrario

especificamente sobre Histria da Matemtica, o texto Comentrios sobre o primeiro livro dos Elementos de Euclides, escrita por Proclus (c.420-485), apresenta algumas informaes sobre Tales. Nesse texto, Proclus, descreve a existncia de dois textos que tratavam de aspectos histricos relativos cincia e matemtica, escritos ainda antes da era crist. 1 Textos escritos por Eudemus e Geminos, ambos originrios da ilha grega de Rhodes. O que foi escrito sobre o texto de Eudemus merece destaque: Eudemus de Rhodes (350-290), discpulo de Aristteles, dentre outros textos relativos aos ensinamentos de seu mestre, escreveu sobre a histria da astronomia, da aritmtica e da geometria. Este testo nunca foi encontrado, e alguns deles atravs de citaes de outros autores, so s citados. Se contarmos os anos passados a partir da suposta poca que Tales tenha vivido at os escritos dos autores mencionados temos cerca de 100 anos at Herdoto, pelo menos 250 anos at Aristteles e Eudemus e cerca de 1000 anos at Proclus. Isso nos permite levantar suspeitas sobre as informaes. Se no h nenhuma prova material sobre a existncia de Thales e, simplesmente acreditar nas informaes dadas por outros autores que viveram muitos anos aps no uma postura correta. Estas formas de fazer histria sempre duvidosas. 1 Portanto a histria sobre este acontecimento outra, pois historiadores atuais, como Neugebauere outros, comprovaram que Thales, no perodo em que viveu, no teria condies cientficas para fazer tal previso. Para isso seria necessria que ele tivesse conhecimentos sobre o conceito de latitude geogrfica, que seria essencial para se calcular a ocorrncia de um eclipse. Caso isso tenha ocorrido, ou seja, caso ele tenha feito de fato tal previso, segundo os mesmos historiadores, foi um puro ato de sorte. Outro destaque que gostaria de reportar, refere-se a um conhecido teorema, que diz respeito s relaes de proporcionalidade entre os segmentos de reta so originados por retas paralelas e suas transversais. O famoso Teorema de Thales. Tambm de acordo com Eudemus, Thales viajou ao Egito, onde aprendeu geometria e a levou para a Grcia. No Egito, onde teve a faanha de calcular a altura de uma pirmide a partir de sua sombra1. (figura 1).

Figura 1

As informaes so tambm encontradas em obras escritas muito posteriores ao perodo em questo. Diogenes Laertius, por exemplo, no sculo III da era Crista, escreve que Hieronymus, discpulo de Aristteles, faz comentrios sobre este feito de Thales. Veja-se em Diogenes Laertius ed. 1972. vol. 1. 23-47. As idias aqui assim como as figuras, aparecem nas pginas 30 a 61 do livro: Guedj, Denis. 1999. O teorema do papagaio. 1Figura 2

De acordo com a interpretao que se pode fazer sobre a situao, a figura 1 mostra uma situao ideal para se tomar medidas e a figura 2 mostras como poderia ser realizado o clculo: com uma estaca colocada verticalmente e a medida de sua sombra e tendo sido medido o comprimento da sombra que a pirmide reflete no solo, possvel calcular a altura da pirmide. Mas esta uma interpretao, sobre o fenmeno que ocorre, o interessante que so raras s vezes durante o ano que este fenmeno acontece de forma to exata. Desta forma, a sombra da pirmide pode no estar exatamente na posio que possam assim a realizar os clculos, como mostra a figura 3 abaixo. Ou ento ocorre o caso onde o sol encontra-se de tal forma que nao faz a sombra desejada, conforme figura 4. 1

Figura 3

Figura

So difceis os perodos do ano onde o sol esteja correta e posio de oferecer uma sombra, para que se possam fazer as medies para e, de forma um pouco mais precisa a altura da pirmide. Assim, dvida. Com base nas informaes que se tem, pode-se concluir que ou a histria no aconteceu da forma como foi contada, ou Tales teve outro golpe de sorte, como no caso da previso do eclipse, e esteve junto s pirmides exatamente no momento que o sol lhe fornecia a melhor sombra para se efetuar a medio. 1 Existe outros casos da histria cientfica possuem interpretaes

semelhantes. Da mesma forma a historia duvidosa tambm sobre Pitgoras. H onde se comprove a existncia de uma seita mstica, aonde alguns de seus membros chegaram a importantes resultados, em sua maioria no campo que conhecemos hoje como Teoria dos Nmeros. Esta Seita tambm chamada de Escola Pitagrica, de onde se supe que seu grande mestre teria sido uma pessoa

de nome Pitgoras. Da mesma forma como no existe prova material sobre a existncia de Pitgoras, outro personagem da histria cientfica, ainda mais importante, tambm possui sua histria contada apenas por terceiros. Este personagem Euclides. Sobre sua existncia, tambm pairam muitas dvidas, o lugar onde ele viveu consenso entre historiadores. 1 Desta forma sobre as informaes fornecidas por terceiros, dentre eles Proclus, que viveu cerca de sete sculos aps a onde o qual viveu Euclides, historiadores fazem suas suposies sobre a poca exata e sobre o local onde Euclides, com destaque especial aos Elementos, muito se tem investigado e muitas suposies so levantadas. Porm este ainda um campo de estudo que se pode considerar em aberto, pois de tempos em tempos novas informaes so descobertas, que do origem a novas interpretaes. Enquanto no for achado o texto original de sua principal obra Os Elementos, considerado perdido, as nicas informaes sobre eles partem de tradues. E estas estaro sempre sujeiras a interpretaes. O que possa ter existido foi uma escola euclidiana, composta por vrios personagens ilustres que compilaram maravilhosamente o livro Os Elementos, e tambm as outras obras atribudas a Euclides. A histria recente da matemtica fornece-nos um exemplo sobre este tipo de agremiao acadmica, composta por importantes matemticos que constituram um exemplo2. Descobriram muitas proposies ele prprio, e instruiu seus sucessores nos princpios que regem muitas outras, seu mtodo de ataque sendo em certos casos mais geral, em outros mais empricos. Proclus atribui a Tales haver afirmado ou demonstrado pela primeira vez que um ngulo inscrito numa semicircunferncia reto; que os ngulos opostos pelo vrtice so iguais; que os ngulos da base de um tringulo issceles so iguais; que um crculo dividido igualmente pelo seu dimetro; que se dois tringulos so tais que dois ngulos e um lado de um so iguais respectivamente a dois ngulos e um lado do outro, ento os tringulos so congruentes. 2 Cada um desses resultados certamente deveria ser necessrio para justificar ou resolver alguma situao prtica. Encontramos em Proclus um provvel motivo pelo qual Tales cita a ltima proposio (conhecido hoje como o caso ALA de congruncia de tringulos). Proclus diz que Eu demo (320 a.C), no seu livro Histria

da Geometria atribui a Tales esse teorema para determinar a distncia que um barco se encontra da costa. Podemos supor como Tales teria feito para medir a distncia terra-barcoA partir de um instrumento (quadrante, duas hastes articuladas,...). Tales poderia ter medido o ngulo (Homem, barco, p da torre). (figura5) A seguir, sem mudar o ngulo, poderia ter girado o instrumento de meia-volta, pedindo a algum que marcasse no cho do outro lado o ponto para o qual o instrumento estaria apontado. A igualdade de vises implicaria na igualdade das distncias. Michel Serres comenta: A geometria resulta de um artifcio, de um desvio, cujo caminho indireto permite o acesso quilo que ultrapassa uma prtica imediata. O artifcio, aqui, consiste em produzir um modelo reduzido. Desenham-se os tringulos HTN e HTS para explicar e interpretar a realidade. O teorema ALA utilizado para justificar que os tringulos so congruentes, e concluir que a medida TS conhecida igual medida TN desconhecida. Diz Serres medir o inacessvel consiste em reproduzi-lo ou imit-lo no acessvel. 2As idias aqui apresentadas, assim como as figuras, aparecem nas pginas 30 a 61 do livro: Guedj, Denis. 1999. O teorema do papagaio. Gillispie, Charles Coulston (Ed.). 1970. Vol. 13. 295-298. As informaes histricas sobre esse assunto tambm so encontradas em obras escritas muito posteriores ao perodo em questo. Diogenes Laertius, por exemplo, no sculo III da era Crista, escreve que Hieronymus, discpulo de Aristteles, faz comentrios sobre este feito de Thales. Veja-se em Diogenes Laertius ed. 1972. Vol. 1. 23-47.

Figura 5

Auguste Conte por sua vez escreve ----devemos considerar como suficientemente verificada

a impossibilidade de determinar, pela medio direta, a maioria das grandezas que desejamos conhecer. este fato de carter geral que necessita da formao da cincia matemtica. Pois ao renunciar, em quase todos os casos, medio imediata das grandezas, o esprito humano teve de procurar determin-las indiretamente, e foi assim que foi levado criao das matemticas.2 Outros enunciados do teorema de Tales Na Itlia ele chamado de Teorema de Talete e apresentado da seguinte maneira: I segmenti staccati da un fascio di rette parallele su due trasversali sono direttamente proporzionali. (Os segmentos determinados por um feixe de retas paralelas sobre duas transversais so diretamente proporcionais.) Obs: o enunciado destaca a razo entre dois segmentos de uma mesma transversal3. (figura 6)

A/b=c/d

Figura 6

Na Espanha temos outro enunciado para o Teorema de Tales: Si cortamos dos rectas cualesquiera, por varias retas paralelas, los segmentos correspondientes determinados en ambias, son proporcionales. (Se cortamos duas retas quaisquer por vrias retas paralelas, os segmentos correspondentes determinados em ambas so proporcionais.) Obs: O enunciado destaca que a razo entre dois segmentos correspondentes de duas retas transversais2. (figura 7)

Figura 7 A/c=b/d Na Alemanha o Teorema de Tales chamado teorema dos feixes de retas concorrentes: se um feixe de retas concorrentes cortado por duas retas paralelas ento a razo entre as medidas dos segmentos determinados por uma reta do feixe igual razo Entre as medidas dos segmentos correspondentes determinados sobre qualquer outra reta do feixe. Obs: O enunciado destaca, como na Itlia, que a razo entre dois segmentos de uma mesma transversal. Contudo, enquanto na Itlia so duas retas transversais e um feixe de retas paralelas, na Alemanha so duas retas paralelas e um feixe de retas concorrentes2. (figura 8)

Figura 8 Na Frana, comum a apresentao do Teorema de Tales a partir de um tringulo e trs pontos de vista so considerados. No primeiro ponto de vista, a razo considerada apenas entre segmentos da mesma transversal. (figura 9)

Figura 9

No segundo ponto de vista (razo entre as projees), a razo considerada entre um segmento e a sua projeo na outra transversal.(figura 10) Figura 10

No terceiro ponto de vista, a razo considerada como a razo de homotetia1 entre os dois tringulos. (figura 11)

Figura 11

1

Obs: Chama-se homotetia de centro O e razo k (k real diferente de zero) a uma

transformao do plano em si mesmo que associa a cada ponto P do plano um ponto Pdo plano tal que OP= k.OP (Dizer que OP= k.OP implica dizer que O, P e P so alinhados)

A primeira demonstrao conhecida do Teorema de Tales aparece trs sculos aps Tales, na proposio 2 do livro VI dos Elementos de Euclides (300 a.C) e se apia na teoria das propores de Eudoxo apresentada no livro V de Euclides. O livro Geometria Moderna de Moise Downs (vol. 1, captulo 12, pgina 307) apresenta uma demonstrao do teorema de Tales, a nvel elementar, pelo mtodo das reas. A passagem por objetos de dimenso 2 (reas) para estabelecer uma propriedade relacionada com objetos de dimenso 1 (segmentos) evita o problema

da natureza dos nmeros. A demonstrao pelo mtodo das reas no segue um caminho natural, mas uma prova completa e convincente. Vale lembrar que essa demonstrao necessita apenas do conhecimento que a rea de um retngulo igual ao produto das medidas dos dois lados tomados na mesma unidade. No entanto, deve-se ressaltar que esse resultado costuma ser postulado, pois que a sua Demonstrao to difcil quanto anlise do caso dos segmentos incomensurveis2. APLICAES DO TEOREMA DE TALES: O Teorema de Tales possui diversas aplicaes no cotidiano, que devem ser demonstradas a fim de verificar sua importncia. ESTUDO DO TEOREMA DE TALES E SUAS APLICAES NA SOLUO DE PROBLEMAS Quando dois tringulos so semelhantes, os seus lados correspondentes so proporcionais. O Teorema de Tales estabelece que: Um feixe de retas paralelas determina em duas transversais, segmentos proporcionais. Observe que aplicando o teorema das propores voc pode determinar a medida de um dos segmentos das retas transversais.

12

20

12 X 120 10

= x

20 multiplicando X. 20 = 12. 10 10 X. 20 = X = 12020 X=6

Voc sabe que existem situaes em que difcil efetuar medies ento, podemos usar o Teorema da Proporcionalidade (Tales) usando a teoria dos

tringulos semelhantes. Imagine que uma ponte deve ser construda sobre um rio. Como calcular a largura do rio para saber qual ser o comprimento da ponte? Veja o esquema e observe na (figura12) como resolve a proporo para achar o valor de x.3-4

Figura12

O formato de um tringulo fica completamente definido quando so conhecidos os seus ngulos. Para isso basta conhecer dois ngulos, pois o terceiro o que falta para que a soma dos trs seja igual a 180. A SOMA DOS TRS NGULOS DE UM TRINGULO QUALQUER SEMPRE IGUAL A 180. Essa propriedade dos tringulos tem inmeras aplicaes prticas. Veja o exemplo abaixo (figura 13): Imagine que para fazer um mapa, seja necessrio saber a largura de um rio. Graas a essa propriedade dos tringulos a largura pode ser obtida facilmente 3-4. Veja:

Figura 13

Medem-se os ngulos B e C e a distncia BC.

Representao matemtica (figura 14)

5,8 X Figura 14

105

4

Apenas com essas medidas resolve-se o problema. Para isso desenha-se um tringulo semelhante quele do rio, veja a representao dos dois tringulos ao lado. Medindo-se os lados e usando proporcionalidade encontra-se a largura do rio. (figura 15).

Figura 15

Calculando a largura do rio dessa maneira, evita-se muito trabalho. Nem preciso atravessar o rio. por isso que a semelhana de tringulos um conhecimento importante para gegrafos, cartgrafos, agrimensores, topgrafos e engenheiros. Exemplos: Calcule o comprimento de X (figura16) Figura 16x 17 = 2,1 4,2 4,2.x =2,1.17 35 ,7 x= 4,2 x =8,5

(multiplica cruzado)

Pelo Teorema temos que: Exemplo:

AB A' B ' = BC B' C '

Ao analisar a planta de uma quadra de um determinado condomnio, o engenheiro constatou a ausncia de algumas medidas nas divisas de certos lotes residenciais. Ele precisa calcular essas medidas do seu prprio escritrio, com base nas informaes da planta. (figura 17)

Figura 17

Com base na planta devemos calcular os lados x e y dos lotes. Veja que as laterais dos lotes 1, 2 e trs so perpendiculares s ruas A e B. A planta satisfaz a relao de Tales.28 20 700 = 20 x = 700 x = x = 35m X 25 20x 25 35 25 1400 = = 25 y = 1400 y = y = 56 m y 40 y 40 25

DISCUSSO: Pode haver manuais inserindo uma nota histrica sobre Tales? Que atrao pode exercer sobre um estudante tal apresentao? Onde se aplica tal teorema?

Quais so algumas comuns indagaes ouvidas sobre ele: Ser que Tales poderia no ter existido!..." e quais so as formas de usadas em outros pases, feitas por estudantes que no tem idia da importncia desse teorema milenar, que tem aplicaes vividas na atualidade.

CONCLUSO Tales mediu as pirmides a partir da sua sombra tendo observado o momento em que a nossa prpria sombra igual nossa altura. Tales no descobriu seno isso mas os nossos estudantes, durante a sua escolaridade, tero descoberto a menos isso? E, no entanto, partindo do problema de Tales (medir a pirmide) desemboca-se no corao de uma problemtica motivadora que mobiliza o interesse e a reflexo dos estudantes, em que se modela o real, em que se sente a utilidade prtica que pode ter a matemtica, na qual se vem fundir outros conhecimentos como a proporcionalidade. Desta forma diante destes conhecimentos somos expirados a exercitar nossas mentes para fazer com que possamos atribuir e contribuir para possamos melhorar e aplicar no dia a dia, como tambm aperfeioar a suas aplicaes.

REFERNCIAS BIBLIOGRAFICAS 1-Gillispie, Charles Coulston (Ed.). 1970. vol. 3. 414-459. 2-www.ppgecnm.ccet.ufrn.br/documentos/documento_132.pdf 3-http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/teotales/index.htm, 20/04/2011. 4-Desenhos ilustrativos tirados dos livros: BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olmpio Rudinin Leite, Laureano, Jos Luiz Tavares. MATEMTICA VIDA. Quinta Srie a Oitava Srie So Paulo. Editora tica. 7 Edio. 1995. IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMTICA. Oitava Srie So Paulo. Editora Scipione. 1999. SCIPIONE, Di Pierr Netto. MATEMTICA CONCEITOS E HISTRIAS. 6 Edio. Oitava Srie. So Paulo. Editora Scipione 1997. acesso dia

FACULDADE CAMPO LIMPO PAULISTA

TRABALHO SOBRE:

TALES DE MILETO

PROF: JULIA ALUNOS: Jheneffer Tavares Milton Lima Benicio Ferreira Ronaldo de Novais Antnio Souza Fabricio Folhas Ra 9894 Ra Ra Ra Ra Ra 10785 8156 10759 9109 13326

Campo Limpo Paulista, Abril de 2011