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PROFMAT2011 ACTAS

Introdução

Este artigo relata parte de uma pesquisa realizada no âmbito do Programa de Estudos Pós- Graduados em Educação Matemática da PUC/SP, mais especificamente no grupo TecMEM (Tecnologias e Meios de Expressão em Matemáti-ca), cujo objetivo foi o de verificar quais são as dificuldades e possibilidades de professores de Matemática ao utilizarem o software GeoGebra em atividades que envolvem o Teorema de Tales. Subsidiariamente, pretendeu-se, também, inves-tigar qual seria o papel das tecnologias no eventual trabalho didático dos professores em relação ao Teorema de Tales. Tomaram parte desta investigação quatro professoras da rede pública do estado de São Paulo, atuantes no Ensino Fun-damental, ciclo dois.

Aportes teóricos

Na análise das atividades propostas para as docentes neste trabalho, recorreu-se ao estudo das apreensões propostas por Duval (1988), ao trabalho de Chevallard (1991) sobre transposição didática, à pesquisa de Balacheff (1994) relacionada à transposição informática e aos trabalhos voltados para o uso de tecnologias na Educação em geral e na Educação Ma-temática em particular, tendo como base, neste caso, as pesquisas de Kenski (2007), Frota & Borges (2004) e Oliveira (2007; 2009). Além disto, neste artigo, e na pesquisa a que o mesmo se refere de modo geral, as TICs podem ser vistas como media-doras dos processos pedagógicos nos quais estão inseridas, e como partes de estratégias pedagógicas amplas, com uso de diversificados artefatos, mas com foco nas pessoas. Esta é a visão de Oliveira (2009), quando afirma que as tecnologias por si só não substituem a concepção dos processos e das estratégias, nem implementam ou melhoram as metodologias isoladamente. Isto pode ser feito, sim, mas a partir de um cenário em que as pessoas planejam e as usam para compor suas concepções do processo de ensino-aprendizagem, como suportes para ampliar as interações e os meios de experi-mentação, para por em foco cenários de construção dinâmicos e modificáveis, para implementar novas possibilidades de interação e intervenção, entre outros propósitos. Entretanto, tais dimensões, segundo o autor, são aquelas concebi-das a partir da crítica e da reflexão, cujo resultado é a construção de abordagens didáticas, com a inclusão de momentos e formas variadas de emprego das mídias, sejam as de natureza digital ou os chamados recursos tradicionais de sala de aula. De outro modo, e em consonância com o trabalho de Goos et al (2003), Frota & Borges (2004) identificam duas concepções em relação ao uso de tecnologias na Educação Matemática, especificamente por professores em atuação e/ou em formação: consumir tecnologias e incorporar tecnologias. Também propõem uma terceira abordagem, que diz respeito à matematização das tecnologias. Tais concepções são esclarecidas a seguir:

• Consumir tecnologia—os recursos tecnológicos são reconhecidos como poderosos para ensinar e aprender mate-mática. Neste passo, o sujeito acredita que os processos tecnológicos são capazes de modificar o ensino, tornan-do-o mais atrativo e motivador. Além disso, há o encantamento pela automatização das tarefas;

PROFESSORES DE MATEMÁTICA E O SOFTWARE GEOGEBRA: UMA EXPERIÊNCIA ENVOLVENDO O TEOREMA DE TALES

Rosana Perleto dos SantosSecretaria da Educação do Estado de São Paulo – Brasilrosanaperleto@yahoo.com.br

Gerson Pastre de OliveiraPontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC/SP – Brasil)Universidade Paulista – UNIPgpastre@pucsp.br

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• Incorporar tecnologia—a tecnologia é tomada como ferramenta e instrumento cognitivo;• Matematizar tecnologia—a tecnologia torna-se fonte de renovação para novas abordagens curriculares em Ma-

temática, correlacionando os conteúdos matemáticos com as produções sociais e vice-versa.

Os níveis supramencionados contam com subdivisões, na visão dos mesmos autores, o que pode ser visto na próxima figura.

Figura 1.—Concepções sobre o uso de tecnologias – adaptado de Frota & Borges (2004)

Em relação aos níveis, ainda, Oliveira (2009) indica que os mesmos compõem um ciclo, de modo que o professor de Matemática pode, em distintos períodos de sua formação, revisitar níveis pelos quais já passou (quando procura incor-porar novas técnicas ou desenvolver fluência sobre outras interfaces, por exemplo). A próxima figura ilustra esta asserção.

Figura 2.—Concepções sobre o uso de tecnologias – adaptado de Oliveira (2009)

Abordagem metodológica

Na investigação relacionada a este artigo foi utilizada a metodologia qualitativa de análise, havendo observação informal a partir do contato sistemático com os sujeitos. Os fenômenos em tela não têm características quantitativas que justifi-quem análises estatísticas pormenorizadas. Em casos semelhantes a este, segundo Oliveira (2007):

As questões que surgiam e que causavam o impulso em direção da busca de sentidos e elucidações tinham caráter particular, não po-diam ser generalizadas em torno de quantidades sempre aplicáveis e de percentuais infalíveis, pedindo, antes, descrições que apon-tassem na busca das respostas direcionadas pelo problema. (OLIVEIRA, 2007, p.27)

Através da verificação do conteúdo das atividades realizadas pelos professores foi possível analisar fenômenos que pos-suem o que Laville e Dione (1999) chamam de multicausalidade, elemento típico de um cenário humano e suas comple-xidades. Por multicausalidade entende-se que os fenômenos em análise possuem variações que vão desde interpretações diversas dos professores entre si até múltiplas formas de resolução dos instrumentos propostos. Desta forma, a aborda-gem qualitativa permite abarcar este universo humano e suas interações — neste caso em particular, entre os professores sujeitos da pesquisa e as atividades matemáticas propostas. Outra questão importante que justifica a abordagem quali-tativa é sua essência descritiva, fundamental para a compreensão dos fenômenos que surgem nesta pesquisa (Bogdan e Bliken, 1994, p.47; Oliveira, 2007, p.30).

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Nesta investigação, ao submeter os sujeitos aos instrumentos de pesquisa e propor questionários para desvelar os perfis correspondentes, procurou-se por em evidência a maneira como os professores lidam com o tema «Teorema de Tales» em suas práticas cotidianas, bem como a influência das TICs e de estratégias a elas ligadas na compreensão e na propositura de métodos mais interativos e experimentais de construção do conhecimento. As participantes da pesquisa aqui descrita foram quatro professoras do Ensino Fundamental da rede pública do Es-tado de São Paulo (Brasil). O critério de seleção foi meramente relacionado à disponibilidade das voluntárias em parti-cipar do processo. As mesmas realizaram uma série de atividades, sendo que parte delas são descritas aqui, e responde-ram a um questionário, que permitiu identificar-lhes as características pessoais e profissionais.

{1} Foi feita a orientação sobre que segmentos eram referidos.

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Tabela 1.—Síntese da descrição das professoras participantes da pesquisa

Atividade realizada pelos professores participantes

O roteiro proposto às professoras tinha o seguinte enunciado:

Atividade A1. Construa um triângulo qualquer.2. Coloque um ponto D sobre um dos segmentos do triângulo.3. Trace uma reta paralela a base de modo que intercepte o ponto D.4. Insira o ponto de intersecção entre a reta e o triângulo diferente de D e nomeie de E.5. Meça as distâncias entre os vértices do triângulo e os pontos D e E.6. Movimente o ponto D, o que você observa?7. Divida os valores das distâncias dos mesmos segmentos.{1} Eles são proporcionais? Por quê?

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8. Se inserir mais um ponto F no mesmo segmento do ponto D e uma reta paralela a base passando pelo ponto F. Quais proporções podem-se estabelecer em relação às distâncias entre os pontos?

Esta atividade corresponde à aplicação do teorema de Tales nos triângulos. Aqui, esperava- se construções com diferen-tes triângulos quanto à classificação dos ângulos: acutângulo, obtusângulo e retângulo. As professoras não expressaram dificuldades para a construção seguindo o roteiro. Para Duval (1988), esta técnica para reprodução de figura é chamada de apreensão sequencial. Entretanto, no que diz respeito a intervenção matemática, algumas delas mostraram-se confu-sas sobre o conceito de razão e proporção. Neste ponto, identifica-se que a dificuldade apresentada é conceitual e ligada ao saber matemático, o qual, segundo Pais (2008), é constituído de noções objetivas, abstratas e gerais, permeadas de subjetividade e da particularidade humana. A atividade mencionada era constituída de três momentos:

1. Obtenção da construção do triângulo ABC interceptado por uma paralela (BC//EC) (itens 1 a 5).2. Intervenção matemática para reconhecimento de propriedades pertinentes ao Teorema de Tales nos triângulos

obtidos pela construção com o uso do GeoGebra (itens 6 a 8).3. Exploração de paralelas que cortam um dos lados do triângulo construído, obtendo segmentos proporcionais

em relação aos outros dois lados do mesmo triângulo.Para os momentos supramencionados, pode-se dizer que o uso das tecnologias realizado pelas professoras não ultrapas-sou o primeiro nível que Frota & Borges (2004) denominam consumo de tecnologia, com exceção da professora D, que conseguiu manter a sincronia entre o saber matemático e o uso da tecnologia. Todos os participantes da pesquisa se adaptaram muito bem e não tiveram dificuldades em utilizar o instrumento, mas, dentre quatro participantes, dois, ao final da atividade, não chegaram a conclusões pertinentes.

Professora A

Em seguida, têm-se as respostas e construções referentes à Professora A.

Figura 3.—Construção da Professora A

Figura 4.—Respostas da Professora A

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PROFMAT2011 ACTAS

No que diz respeito à professora A, a Figura 4 mostra dificuldades relacionadas aos conceitos de razão e proporção, como pode ser visto no item oito. A professora apresentou dificuldades para analisar a construção, já que respondeu as questões de modo a utilizar apenas o que observava no uso da interface. Além disso, não respondeu ao item sete da atividade, o que pode ter dificultado a representação das proporções. Com relação a ausência de resposta do item sete, na teoria de Duval (1988) sobre os obstáculos, pode-se dizer que a professora apresenta um obstáculo linguístico, uma vez que, segundo seu comentário, encontrou dificuldade em analisar parte de sua construção, ou seja, a leitura não ve-rifica um componente básico. Nota-se que a professora em questão apresenta dificuldades no que tange aos conceitos matemáticos de razão e proporção, que seriam fundamentais para trabalhar com o Teorema de Tales. A questão aqui le-vantada pode referir-se à dificuldade do sujeito em mobilizar tais conhecimentos para assumir a realização da atividade como uma tarefa que lhe cabe, ou seja, dificuldades diante de uma situação adidática (Brousseau, 1987; Oliveira, 2009). Neste mesmo contexto, Sobrinho (2009), em sua pesquisa, faz um levantamento do ensino de Matemática ao lon-go dos tempos e afirma que havia um enfoque maior nos conteúdos específicos, com pouca ou nenhuma preocupação com a metodologia. Depois, a partir da lei de diretrizes e bases de 1988 (Brasil, 1988), houve uma inversão que passou a dar ênfase à formação pedagógica em detrimento do conhecimento disciplinar específico, o que enalteceu o «como ensinar» e deixou para segundo plano «o que ensinar». Pode-se aventar que a resposta dada ao item oito e a falta de resposta ao item sete sejam relativos aos conteúdos que ficaram em um segundo plano e a preocupação constante da professora A com o desenvolvimento de toda a atividade passou a ser em caráter de observar em que o software poderia auxiliar, em sua mediação, na construção do sentido do conteúdo matemático em questão.

Figura 5.—Construção da Professora A — item 8

Professora B

Nos parágrafos seguintes encontra-se a análise das respostas e construções da professora B.

Figura 6.—Construção da Professora B

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Figura 7.—Respostas da Professora B

A professora B, ao longo do desenvolvimento da atividade, se mostrou apreensiva com a expressão «proporcionais». A princípio, com a observação da construção obtida, conseguiu identificar os segmentos proporcionais. Neste momento, entende-se que a participante identificou o domínio da validade epistemológica (Balacheff, 1994 apud Oliveira, 2009) da atividade, enquanto professora. Contudo, em seguida, demonstrou insegurança quanto ao que é razão e proporção

— nota-se que isto ocorreu pelo fato de a professora ter identificado a proporção na igualdade do item oito mas, ao mes-mo tempo, ter salientado duas razões que também eram proporcionais sem o sinal de igualdade. De acordo com Che-vallard (1991), tal fato denota que faltou à professora uma referência mais adequada do ponto de vista do saber matemá-tico formal, ainda que a mesma possa conhecer aportes sobre o tema do ponto de vista do saber a ensinar, o qual não é um saber independente das instâncias formais do conhecimento matemático, tendo com ele ligações que devem ser de toda forma identificáveis, mesmo após sofrer adaptações singulares.

Figura 8.—Construção da Professora B — item 8

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PROFMAT2011 ACTAS

Professora C

A partir deste ponto, são analisadas as respostas e construções da professora C.

Figura 9.—Construção da Professora C

Figura 10.—Respostas da Professora C

A professora C demonstra o reconhecimento conceitual no que diz respeito à razão e proporção: a participante chega a conclusões que podem ser consideradas corretas, no âmbito desta pesquisa. Às vezes, não expressa as ideias com clare-za, mas durante a realização das atividades, pode-se perceber que a professora em questão se manteve ligada ao assunto abordado, o que significa que a mesma não perdeu a referência em relação ao conteúdo matemático. Quando responde ao item seis desta atividade, apresenta uma linguagem informal, mas vê-se que identifica que as retas são paralelas, inde-pendente da altura que ocupam no triângulo ABC. Do ponto de vista das apreensões de Duval (1988), a professora em questão estabelece uma apreensão perceptiva, porque interpretou a construção obtida no software com coesão. E com relação ao uso das tecnologias, pode-se afirmar que a professora mencionada se encontra no primeiro subnível de incor-porar tecnologias, no qual, segundo Frota e Borges (2004), a tecnologia se apresenta como mediadora.

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Figura 11.—Construção da Professora C — item 8

Professora D

A seguir são realizadas as análises das respostas e construções realizadas pela professora D.

Figura 12.—Construção da Professora D

Figura 13.—Respostas da Professora D

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PROFMAT2011 ACTAS

A professora D mostrou que domina o conceito de razão e proporção e deixa em evidência que são várias as proporções que se pode obter em relação às distâncias entre os pontos. A mesma professora faz um levantamento das possíveis pro-porções e é a única que responde exatamente o que foi perguntado na sequência. De acordo com os critérios de análise usados nesta pesquisa, pode-se dizer que a professora D já incorporou a tec-nologia como extensão do self (Frota e Borges, 2004): para ela a tecnologia faz parte do processo. O conhecimento mo-bilizado para esta atividade percorre todas as apreensões de Duval (1988), pois reproduziu a figura por intermédio do roteiro enunciado (sequencial), interpretou e traduziu os segmentos na situação (perceptiva e discursiva) e compreen-deu as modificações sofridas no decorrer da manipulação da construção por intermédio do software (operatória).

Figura 14.—Construção da Professora D – item 8

Considerações finais

As participantes da pesquisa demonstraram, ao longo das atividades, distintos níveis de compreensão, tanto do que tan-ge ao software, visto como interface mediadora, como no que diz respeito ao conteúdo matemático em si. O uso do Ge-oGebra permitiu evidenciar algumas dificuldades, bem como possibilidades de planejamento e composição de estraté-gias pedagógicas por parte dos professores. A professora A, por exemplo, demonstrou repetidas inseguranças em relação ao tema «Teorema de Tales», eviden-ciando a possibilidade de cometer alguns erros conceituais em situações didáticas reais. Neste caso, o GeoGebra permitiu, em um primeiro momento, que estes problemas fossem identificados, o que pode levar a professora a aprofundar seus estudos e corrigir esta deficiência. Por outro lado, as dificuldades didáticas que surgiram, posteriormente, no discurso desta professora, evidenciaram que a mesma não enxergou possibilidades de avançar em relação às práticas atuais, refi-nando o uso da tecnologia aqui analisada como forma de elaborar estratégias diferenciadas de ensino, mas como forma de destacar roteiros e realizar aplicações, o que, rigorosamente, faz de forma habitual através de exposições tradicionais. Quando convidada a preparar aulas com uso do GeoGebra, a professora declarou que treinaria alguns alunos por um período, e que eles a ajudariam e permaneceriam às suas ordens. Esta preocupação destaca a disposição de restringir o uso do aplicativo a situações controladas, o que lhe permitiria estreitar o domínio da validade didática a situações conhe-cidas e confortáveis, em relação ao seu conhecimento. Não menciona estratégias, especificamente, mas relaciona rotei-ros, o que, na visão de Frota e Borges (2004), poderia criar situações de dependência dos alunos em relação ao software. O GeoGebra, aliás, ao não ser visto como possível componente de uma estratégia mais ampla, resta como extensão das práticas atuais da professora e como distinto suporte para idênticas construções em relação à sala de aula. Além disso, a professora A, em suas manifestações, não ultrapassou o nível de apreensão figural de caráter sequencial. A professora B apresentou grande entusiasmo ao deparar-se com as possibilidades oferecidas pela mediação do sof-tware, o que, inclusive, fez com que não tivesse muita atenção ao preencher os protocolos. Apesar de mostrar um amplo domínio da forma didática de apresentação do tema, também faltou à professora uma maior fluência sobre o conteúdo matemático de referência. Ainda assim, a trajetória desta professora ao trabalhar com as atividades mostrou uma rela-

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ção entre o domínio do saber em construção e a desenvoltura na manipulação das interfaces tecnológicas: convidada a preparar aulas com uso do programa computacional, a professora B não se preocupa demasiadamente com o controle, como fez a colega professora A, mas desenvolve atividades com base em uma estratégia pedagógica que tem pontos bas-tante notáveis, como a possibilidade de permitir aos estudantes momentos de discussão e de reflexão sobre o saber em construção. Pode-se afirmar, aqui, que a professora B percebe seu papel, do ponto de vista do domínio da validade di-dática, uma vez que seu discurso e suas produções ressaltam que se sente segura em relação ao conhecimento que possui. Na maior parte das atividades, a professora demonstra a possibilidade de incorporar as tecnologias utilizadas em suas práticas. No que tange às percepções figurais, em processo de apreensão, a professora avança até o nível perceptivo. No caso da professora C, observou-se que a mesma apresentou possibilidades de uso das interfaces em sua prática docente de forma a incorporar as tecnologias. Com relação ao software em si, a professora indicou entendê-lo como importante interface na mediação do conhecimento matemático no contexto de um processo de ensino- aprendiza-gem, inclusive, em sua fala, afirmando que «se tivesse contato com softwares deste tipo na faculdade, algumas proprie-dades ficariam muito mais fáceis de entender». Não obstante, ao constituir uma estratégia de uso didático, manteve a relevância da aula expositiva como recurso principal. Além disso, quando indica as atividades usando o GeoGebra, no contexto de sua estratégia, acaba por priviegiar mais a fluência relativa à interface do que relativa ao tema matemático em si, inclusive permancendo relativamente distante da proposta curricular de referência. Uma reflexão mais aprofun-dada sobre os usos e a continuidade da prática, nova para ela, poderiam concorrer para transformar suas concepções em direção de um uso mais integrado à proposta curricular e com ênfase no tema matemático, reconhecendo as interfaces em seu papel mediador de maneira mais efetiva. Quanto à apreensão figural, a professora não avança além daquela de caráter perceptivo. A professora D demonstrou domínio em relação ao «Teorema de Tales» em todas as atividades propostas durante a oficina, não apresentando nenhuma dificuldade perceptível. Semelhante fato indica a possibilidade de que esta pro-fessora elabore estratégias pedagógicas com uso de TICs para seus alunos de forma eficiente, ou seja, reconhecendo as interfaces tecnológicas como elementos mediadores do processo de ensinar e aprender, mantendo o foco no conteúdo matemático e no perfil dos estudantes. A professora em questão, durante as atividades, mostrou saber aproveitar o sof-tware GeoGebra em suas principais características. Durante a oficina, com relação a este aspecto, observou-se que a in-terface computacional representava, para aquela professora, uma extensão de seu conhecimento. Diferente das outras professoras, evidenciou pretender disponibilizar o software para os alunos utilizarem em outras atividades, independen-temente do assunto, o que implica pensar na autonomia dos mesmos em relação ao uso desta tecnologia. A professora D mostra uma preocupação de que os alunos incorporem a tecnologia em suas práticas educacionais. Quanto aos níveis de apreensão figural, esta professora conseguiu percorrer todos os propostos por Duval (1988), indo desde apreensões sequenciais até aquelas de caráter operatório em alguns pontos das atividades. Pode-se perceber, também, que o perfil de cada professor que utiliza elementos tecnológicos em suas práticas influi decisivamente nas vantagens que pode auferir para si e/ou proporcionar aos seus estudantes, bem como nas dificuldades que podem ser encontradas na trajetória que eventualmente proponha para suas aulas. Isto ficou evidente neste trabalho, e pode ser constatado nas diferentes intervenções realizadas pelas professoras. Assim, como possibilidades relacionadas às estratégias pedagógicas com uso de tecnologias em aulas de Matemática — e, mais precisamente, na abordagem do tema «Teorema de Tales» — pode-se destacar:

• A possibilidade de criação de aulas mais dinâmicas, estabelecidas com o propósito de incentivar a experimenta-ção e a análise investigativa das construções obtidas, no âmbito da abordagem geométrica do conteúdo;

• Como consequência da possibilidade anterior, permitir o avanço a níveis mais completos de apreensão figural;• Desenvolvimento da autonomia do estudante, à medida que o mesmo é convidado a experimentar e a usar os re-

sultados das conjecturas que porventura faça na obtenção de novos conhecimentos relativos ao tema matemáti-co em estudo;

• A integração das propostas curriculares de referência à realidade cotidiana dos estudantes, ou seja, com aquilo que apresentam como desenvolvimento cognitivo – vale dizer, isto representa uma aproximação, em termos de transposição didática, do saber proposto (a ensinar) com o efetivamente realizado (saber ensinado).

As dificuldades encontradas, dependendo do perfil de cada professor, são, sinteticamente:• A manutenção de velhas práticas de exposição como «âncoras» do trabalho didático – ainda que relacionando

o uso das tecnologias, a maioria dos professores da pesquisa indicou a transmissão como principal recurso de

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abordagem do tema matemático;• Problemas relativos à mobilização, por parte dos professores, do saber matemático de referência – em várias oca-

siões, foram detectadas dificuldades relativas a este saber, que foram decisivas, inclusive, para o alinhamento de estratégias que não se desprendiam da exposição como recurso principal. Mesmo o saber didático, por assim di-zer, entendido como aquele que já sofreu transformações adaptativas desde o saber acadêmico para ser usado em processos de ensino, apresentou discrepâncias em alguns casos. Pode-se afirmar que o conhecimento matemático é essencial para o professor como elemento de referência na elaboração de estratégias pedagógicas mais eficientes com o uso de tecnologias.

• No que se refere à importância do uso do GeoGebra para o ensino do Teorema de Tales, entende-se que sua prin-cipal relevância não reside no software em si, mas nos procedimentos engendrados pelos professores para utilizá-lo como elemento mediador das aprendizagens, ou seja, a estratégia didática do professor é que, ao usar o softwa-re, cria possibilidades de maior experimentação das construções e de autonomia. Vale dizer, mais uma vez, que o conhecimento matemático do professor é essencial para que a estratégia seja efetiva: problemas relativos aos conteúdos de referência tendem a fragilizar a estratégia, transformando-a em apêndice de práticas tradicionais.

Quanto ao uso do computador — e do software GeoGebra — na criação de estratégias pedagógicas para o ensino do Teorema de Tales, estas considerações apoiam-se nas anteriores: professores com maior segurança nos conteúdos mate-máticos tendem a explorar melhor as potencialidades do software. Do ponto de vista da apreensão figural, inclusive, a solidez do conhecimento dos professores parece indicar um avanço para níveis mais avançados, como foi o caso da pro-fessora D. Evidentemente, deve-se considerar certo histórico de uso das interfaces e questões de fluência, que não foram objeto de análise neste trabalho, mas que podem servir de indicação para futuras perquirições.

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