ERU 431 – PLANEJAMENTO DA EMPRESA RURAL

PROGRAMAÇÃO LINEAR (NOTAS DE AULA) Resolução Gráfica P.L.: A - Modelo Alocação recursos: (SOJA = s e MILHO = m) max RENDA) 358s + 596m st TERRA) 1s + 1m <= 50 CAPITAL) 291s + 410m <= 12000 MAQUINA) 15,68s + 12,55m <= 520 Solução Gráfica: (SOJA = s e MILHO = m) Equações

Equação Terra: 1s + 1m = 50 1m = 50 – 1s m = 50/1 – 1s/1 m = 50 – 1s traçando a reta qdo s = 0; m = 50 (m = 50 – 1*0) qdo m = 0; s= 50 (0 = 50 – 1s => 1s = 50 => s = 50/1)

Equação Capital: 291s + 410m = 12.000 410m = 12000 – 291s m = 12000/410 – 291s/410 m = 29,27 – 0,71s traçando a reta qdo s = 0; m = 29,27 (m = 29,27 – 0,71*0) qdo m = 0; s= 41,22 (0 = 29,27 – 0,71s => 0,71s = 29,27 => s = 29,27/0,71)

Equação Máquinas: 15,68s + 12,55m <= 520 12,55m = 520 – 15,68s m = 520/12,55 – 15,68s/12,55 m = 41,43 – 1,25s traçando a reta qdo s = 0; m = 41,43 (m = 41,43 – 1,25*0) qdo m = 0; s= 33,14 (0 = 41,43 – 1,25s => 1,25s = 41,43 => s = 41.43/1,25)

Renda da Empresa: 358s + 596m = renda Iso-Renda: linha com combinações de s e m que geram a mesma receita ex. : renda = U$ 5.960 358s + 596m = 5960 596m = 5960 – 358s m = 5960/596 – 358s/596 m = 10 – 0,60s

traçando a reta qdo s = 0; m = 10 (m = 10 – 0,60*0) qdo m = 0; s= 16,65 (0 = 10 – 0,60s => 0,60s = 10 => s = 10/0,60)

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

soja

milho

RENDATerraCapitalMáquinaSOJAMILHO

Solução - Algum vértice do polígono 0abc - Aumentar a renda (iso-receitas) até quando existam recursos disponíveis. - Ptos: a) recurso limitante: capital pto: s= 0; m = 29,27 renda = 385*0 + 596*29,27 = 17.444,92 b) recursos limitantes capital e máquina pto: quando retas capital e máquina se igualam m = 29,27 – 0,71s <=> m = 41,43 – 1,25s 29,27 – 0,71s = 41,43 – 1,25s -0,71s + 1,25s = 41,43 – 29,27 0,54s = 12,16 s = 22,52 substitundo na reta capital ou máquina m = 29,27 – 0,71*22,52 m = 29,27 – 15,99 m = 13,28 renda = 358*22,52 + 596*13,28 = 8.062,16 + 7.914,88 = 15.977,04 c) recurso limitante máquina pto: s = 33,16; m = 0 renda = 385*33,16 + 596*0 = 12.766,60 Solução: pto a) 29,27 ha de milho e 0 ha de soja

Análise de Sensibilidade a- Preço sombra (dual price) Indica a rentabilidade marginal dos recursos limitantes do modelo.

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

soja

milho

RENDATerraCapitalMáquinaSOJAMILHO

3.3 FAIXA DE VARIAÇÃO PARA ALTERNATIVA (MILHO e SOJA) - Utilizando-se as inclinações das retas é possível determinar o limite de aumento e decréscimo da renda para cada uma das alternativas. - Inclinações (módulo):

terra: 1,00 (não considerado pois não faz parte do polígono solução) capital: 0,71 máquina: 1,25 RENDA (termo de troca s/m): 0,60 = 358/596 - MILHO: Faixa de variação da solução ótima - acréscimo permitido: infinito

a solução só inclui milho, caso a renda do milho aumento a solução fica ainda mais favorável para esta cultura, e a combinação ótima não se altera 29,27 milho e 0 soja

- decréscimo permitido: novo termo de troca (inclinação) 0,71 nova relação RENDA: 0,71 = 358/m m = U$ 504 / ha decréscimo: 596 – 504 = U$ 92 novo Preço: 504/91,7 = US$ 5,50/saca

Se ocorrer diminuir mais do que US$ 91 na renda do MILHO, a solução se altera

- SOJA: Faixa de variação da solução ótima - acréscimo permitido: 0,60 => 0,71 nova relação RENDA: 0,71 = s/596 s = US$ 423,16 / ha acréscimo: 423,16 – 358 = US$ 65,16 novo Preço: 423,16/40 = US$ 10,58/saca

Se ocorrer aumento maior do que US$ 65,16 na renda, a solução se altera - decréscimo permitido: infinito

a solução original não inclui a soja, caso a renda/preço da soja diminua, ficará mais desfavorável ainda para esta cultura, mantendo-se portanto a

FAIXA DE VARIAÇÃO PARA RESTRIÇÕES - TERRA: - acréscimo permitido: infinito

a restrição terra não interfere no modelo pois há 50 ha disponíveis e só estão sendo utilizados: 29,27 ha (29,27 de milho e 0 ha de soja), ou seja estão sobrando 20,73 ha.

- decréscimo permitido: 20,73 ha caso a área disponível seja menor que 29,27 a solução ótima, apesar de continuar a incluir somente MILHO mudará. Porque??

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

soja

milho

RENDATerraCapitalMáquinaSOJAMILHO

4. Utilização do LINDO e EXCEL/SOLVER SOFTWARE LINDO (Linear, INteractive, and Discrete Optimizer) JANELA DO MODELO ! modelo MaxRenda0.ltx max RENDA) 358SOJA + 596MILHO st TERRA) 1SOJA + 1MILHO <= 50 CAPITAL) 291SOJA + 410MILHO <= 12000 MAQUINA) 15.68SOJA + 12.55MILHO <= 520 JANELA DE RELATÓRIOS (reports window) LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE RENDA) 17443.90

VARIABLE VALUE REDUCED COST SOJA 0.000000 65.014633 MILHO 29.268293 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES TERRA) 20.731707 0.000000 CAPITAL) 0.000000 1.453659 MAQUINA) 152.682922 0.000000 NO. ITERATIONS= 1 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE SOJA 358.000000 65.014648 INFINITY MILHO 596.000000 INFINITY 91.601395 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE TERRA 50.000000 INFINITY 20.731707 CAPITAL 12000.000000 4988.047363 12000.000000 MAQUINA 520.000000 INFINITY 152.682922 * tradução dos principais termos em inglês objective function value = valor da função objetivo reduced cost = custo reduzido row = linha (em programção linear restrições ou recursos) slack or surplus = falta ou sobra dual prices = preço dual (sombra) ranges in which the basis is unchanged = faixa na qual a solução básica não se

modifica obj coefficient ranges = faixa de variação dos coeficientes da função objetivo allowable increase = aumento permitido allowable decrease = decréscimo permitido SOFTWARE EXCEL (SOLVER) planilha MaxRenda0.xls

1234567

A B C D E F GMAXIMIZAÇÃO RENDA RENDA empresa

SOJA MILHO 17.443,90RENDA $ 358,00 596,00 limite utilizadoTerra ha 1,00 1,00 <= 50,00 29,3Capital $ 291,00 410,00 <= 12.000,00 12000,0Máquina h/t 15,68 12,55 <= 520,00 367,3SOLUÇÃO ha 0,00 29,27

FÓRMULAS F3 =+$C$7*C3+$D$7*D3 G4 =+$C$7*C4+$D$7*D4 G5 =+$C$7*C5+$D$7*D5 G6 =+$C$7*C6+$D$7*D6 SOLVER Caso esteja instalado, aparece a opção SOLVER... no menu FERRAMENTAS

PARÂMETROS DO SOLVER Definir célula de destino: $F$2 Igual a: x max Células variáveis: $C$7:$D$7 Submeter às restrições: $G$4:$G$6 <= $F$4:$F$6 (referência de célula <= restrições) OPÇÕES (importante garantir que o a solução seja para um modelo linear e que os valor não possam ser negativos, ou seja não é possível plantar –10 ha de soja) x presumir modelo linear x presumir não negativo RESOLVER x manter solução do solver ANÁLISE DE SENSIBILIDADE: Relatório: sensibilidade Microsoft Excel 8.0 Relatório de sensibilidade Planilha: [MaxRenda0.xls]Sheet1 Células ajustáveis Valor Reduzido Objetivo Permissível Permissível Célula Nome Final Custo Coeficiente Acréscimo Decréscimo $C$7 ha SOJA 0,00 -65,01 358 65,01463413 1E+30 $D$7 ha MILHO 29,27 0,00 596 1E+30 91,60137455 Restrições Valor Sombra Restrição Permissível Permissível Célula Nome Final Preço Lateral R.H. Acréscimo Decréscimo $G$4 <= utilizado 29,3 0,0 50 1E+30 20,73170732 $G$5 <= utilizado 12000,0 1,5 12000 4988,047809 12000 $G$6 <= utilizado 367,3 0,0 520 1E+30 152,6829268 Exemplo 2: . Problema de Minimização do Custo de Ração: Nutrientes Exigências Ingredientes (Kg) Farelo de Soja (x1) Farelo Algodão

(x2) 1. E. Metabolizável ≥ 19 Mcal/Kg 2,60 2,47 2. Proteína Digestível ≥ 0,58 Kg/Kg 0,389 0,333 3. Matéria Seca ≤ 6 Kg 0,80 0,91

Preço ($/Kg) 65 40 Função Objetivo: Min 65 x1 + 40 x2 Restrições: 1. E.M. ⇒ 2,6 x1 + 2,47 x2 ≥ 19

2. Prot. Dig. ⇒ 0,389 x1 + 0,333 x2 ≥ 0,58 3. Mat. Seca ⇒ 0,8 x1 + 0,91 x2 ≤ 6 Colocando Far. de Soja = f (Far. Alg.) eq 1 ⇒ div. por 2,47 ⇒ x2 = 7,69 - 1,05 x1 ⇒ x1=0 x2 =7,69 x2=0 x1 = 7,32 eq2 ⇒ div. por 0,333 ⇒ x2 = 1,74 - 1,17 x1 x1=0 x2 = 1,74 x2=0 x1= 1,49 eq 3 ⇒ div. por 0,91 ⇒ x2 = 6,59 - 0,88 x1 x1=0 x2 = 6,59 x2=0 x1= 7,49 Inclinação da Função Objetivo: colocar x2 = f(x1) ⇒ x2 = a - 1,625 x1 LOGO ⇒ a inclinação da FO é maior que a da reta da eq 2 EX: Supondo Custo total igual a 400: 65 x1 + 40 x2 = 400 (div. por 40) x2 = 10 - 1,625 x1 x1=0 x2= 10 x2=0 x1= 6,15 Área Factível de produção ⇒ Triang. ABC Graficamente o Ponto de mínimo Custo Total para a ração é o Ponto A (Gráfico 2), pois é o ponto em que a F.O. mais se aproxima da origem do plano cartesiano; logo a FO assume seu menor valor possível, satisfazendo as exigências nutricionais. Calculo das Custo Total nos 3 pontos: Pto A: igualo as eq.1 e eq.3 : x2 = 7,69 - 1,05 x1 e x2 = 6,59 - 0,88 x1 x2 = x2 7,69 - 1,05 x1 = 6,59 - 0,88 x1 x1 = 6,47 kg x2 = 0,90 kg ⇒ CTa = $ 456,55 Pto B: x2 = 0 e x1 = 7,49 ⇒ CTb = $ 486,85 Pto C: x2 = 0 e x1 = 7,32 ⇒ Ctc = $ 475,80 Ponto A é o ponto de mínimo Custo para a ração.

Análise de Sensibilidade: a) Estudo de variações no preço do Farelo de Algodão: Relação de Preços para a F.O. é Preço x1 / Preço x2 = 1,625 Variações no Preço x2 ⇒ Preço x2 = Preço x1/ 1,625 Observando a área factível de produção, concluímos que a declividade da FO pode se elevar até infinito ou cair até 1,05 (decliv. eq1) que a solução ótima continua sendo o ponto A. Logo : Preço x2 = 65/ 1,05 = $61,90. Acima desse valor somente o Farelo de Soja entrará na ração (Ponto C). Preço x2 = 65 / + ∞ = tende a zero. LOGO: O preço do Farelo de Algodão pode subir de 40,00 para 61,90 ou descer de 40,00 para zero que a solução ótima continua sendo o ponto A. Isso dá uma amplitude de : $ 21,90 para cima $ 40,00 para baixo b) Estudo de variações no preço do Farelo de Soja: Relação de Preços para a F.O. é Preço x1 / Preço x2 = 1,625 Variações no Preço x1 ⇒ Preço x1 = Preço x2 * 1,625 Observando a área factível de produção, concluímos que a declividade da FO pode se elevar até infinito ou cair até 1,05 (decliv. eq1) que a solução ótima continua sendo o ponto A. Logo : Preço x1 = 40 * 1,05 = $42,00. Abaixo desse valor somente o Farelo de Soja entrará na ração (Ponto C). Preço x2 = 40 * + ∞ = + ∞. LOGO: O preço do Farelo de Soja pode subir de 65,00 para + ∞ ou descer de 65,00 para 42,00 que a solução ótima continua sendo o ponto A. Isso dá uma amplitude de : $ + ∞ para cima $ 23,00 para baixo

1,49

1,74

X2

X1

Prot. Dig.

O

A

BC

F.O

Gráfico 2: Min. Custo Ração

6,59

7,49

Mat. Seca.

En. Met..

7,32

7,69

Modelagem de programação linear: EX 1: Maximização da Margem Bruta de uma empresa rural: Um empresário rural dispõe de 100 ha. Ele possui três possíveis alternativas de produção, ou seja, plantar milho e, ou feijão e, ou arroz. Com base no orçamento dessas culturas, estimaram-se as margens brutas por hectare de R$ 2500 para o milho, R$ 3000 para o feijão, R$ 2810 para o arroz. O empresário dispõe de 3.600 dias-homem (d.h.) de mão-de-obra, R$ 60.000 de capital e 200 horas de trator. Pelo sistema de produção sabe-se que um hectare de milho exige 20 d.h., R$500 de capital e 8 horas de trator. O feijão exige por hectare, 90 d.h., R$ 680 e 6 horas de trator. O arroz tem uma exigência de 80 d.h., R$ 530 e 7 horas de trator. Por questões de mercado, o feijão só poderá ser cultivado em 20 ha no máximo. Qual é a combinação ótima dessas atividades que máximiza a Margem Bruta da empresa ?

Coeficientes técnicos do problema: Recursos Disponibilidade Alternativas de Produção (Ha) Milho Feijão Arroz Terra (ha) MDO (d.h./ano) Capital (R$) Horas Trator MaxFeijao

Margem Bruta ($/ha) Obs: A área máxima permitida para a cultura do feijão é 20 ha. Equações: a) Função Objetivo: b) Restrições: Sujeito a: Obs: Qmilho - quantidade (ha) de milho Qfeijão - quantidade (ha) de feijão Qarroz - quantidade (ha) de arroz EX 2: Mistura de Rações: Deseja-se formular uma ração de custo mínimo composta da mistura de diferentes ingredientes; Essa ração deve atender as exigências nutricionais do organismo, deve considerar as composições bromatológicas dos ingredientes (níveis dos nutrientes em cada ingrediente) e respeitar restrições técnicas (limites máximos de ingredientes, limites mínimos, etc). Um produtor deseja fazer uma mistura de farelo de soja e farelo de algodão para alimentação diária de uma vaca que apresente o menor custo possível e que contenha pelo menos 19 Mcal de energia metabolizável, 0,58 Kg de proteína digestível e no máximo, 6 Kg de matéria seca. Sabe-se que um quilo de farelo de soja apresenta 2,6 Mcal de EM, 0,389 Kg de proteína digestível e 0,8 Kg de matéria seca e um quilo de farelo de algodão contém 2,47 Mcal de EM, 0,333 Kg de proteína digestível e 0,91 Kg de matéria seca. Um quilograma de farelo de soja custa $ 65 e o farelo de algodão custa $ 40. Qual é a combinação de custo mínimo ?

Coeficientes técnicos dos problema: Nutrientes Exigências Ingredientes (Kg) Farelo de Soja (x1) Farelo Algodão

(x2) 1. E. Metabolizável 2. Proteína Digestível 3. Matéria Seca

Preço ($/Kg) Equações: Função Objetivo: Restrições: Sujeito a: EX3 . Problemas de Transportes: - Devemos levar um produto de várias fontes (origens) para vários consumidores (destinos) - Procura-se obter o menor custo possível para o transporte; - Deve-se atender as exigências de demanda dos consumidores e capacidade de produção das fontes e possíveis restrições de fluxo. Modelagem do PL: Ex: Considere que uma empresa possua 2 fazendas produtoras de soja e precisa armazenar a produção destas fazendas em 2 armazéns da região. São dados os seguintes coeficientes e custos: Fazendas Faz. A Faz. B Produção (ton) 500 1000 Custo Transp. + armaz. p/ Z1 ($/ton) 160 180 Custo Transp. + armaz. p/ Z2 ($/ton) 190 185 Obs: Capacidade dos Armazéns: Z1 = 400 ton Z2 = 1500 ton Procura-se Minimizar o Custo de Transporte e Armazenagem:

Coeficientes Técnicos:

Restrições Quantidades Transportadas (ton) Nome Quantidade

(ton) A - Z1 A - Z2 B - Z1 B - Z2

Capac. Z1 Capac. Z2 Produção A Produção B

Custo Transp. ($/ ton) Equações: a) Função Objetivo: b) Restrições: Sujeito a: Modelagem de programação linear (aumentando complexidade): Ex. 1: Alocação Recursos Zona da Mata (Prodemata) Partindo-se de um exemplo simples de alocação de recursos com os seguintes dados: Recursos Disponibilidade Alternativas de Produção e Limites Milho (ha) Feijão (ha) Café (ha) Gado leite (UA) Terra (ha) ≤ 100 ha 1 1 1 1 MDO (d.h./ano) ≤ 1.440 dh 42 50 250 80 Capital ≤ $500.000 500 600 800 100

MAX Margem Bruta ($/ha) 3000 2500 2500 3000 8.1 Tipos de Restrições: Num modelo de PL as rescrições normalmente representam os recursos disponíveis da empresa. No entanto, existem outros tipos de restrições que se fazem necessárias para dar maior realismo aos modelos de PL. A) Restrições de Recursos: Ao estabelecer os recursos disponíveis, deve-se dividir cada um deles de acordo com as características e usos de cada um, levando-se em conta o período (espaço de tempo) em que eles estarão disponíveis e que serão demandados. Fator TERRA: A terra deve ser desmembrada segundo sua capacidade de uso. Deve-se criar quantos tipos de terra a propriedade possuir. Nesse desmembramento se leva em conta:

- Levantamento detalhado do solo (análise, classificação e aptidão); - Condições de clima e relevo, ETC; - Na prática, pode ser subdividido segundo orientação de especialistas da região. Revendo a condição de disponibilidade de 100 ha de terra no exemplo em questão, vamos estabelecer as posições geográficas ocupadas pelas terras:

3

2

1

60 ha: Reflorestamento e pastagem

30 ha: Pastagem, milho, feijão e café

10 ha: Pastagem, arroz

Perfil da Empresa em Viçosa:

Portanto para as condições de Viçosa, criaremos 3 tipos de terras, ou seja: - Terra 1: local de terraço; - Terra 2: encosta dos morros; - Terra 3: topo dos morros. Assim cada uma das culturas irá demandar o fator terra na posição geográfica em que ela se estabelece melhor. Se uma atividade se ajusta em mais de uma posição, deve-se criar mais de um tipo dessa atividade (Ex. Pastagem). Fator MÃO-DE-OBRA: Em termos de MDO, deve-se dividí-la segundo os períodos críticos de demanda e de disponibilidade. O espaço de tempo de cada período depende das condições do planejamento (quinzenal, mensal, bimestral, trimestral, ETC). No atual exemplo temos a disponibilidade de 1440 d.h. anuais. Se considerarmos uma disponibilidade uniforme durante o ano, temos 120 d.h. por mês. Considerando as necessidades de MDO das atividades por período, temos:

Atividades Out - Nov. MDO 1

Dez - Jan - Fev. MDO 2

Mar - Abr - Mai- Jun MDO 3

Jul - Ago - Set MDO 4

Milho (ha) 10 20 12 - Feijão (ha) 10 25 20 - Café (ha) 50 10 - 190 Pecuária (UA) 0,05 0,05 0,1 0,05 Arroz (ha) 10 15 15 - Reflorest. (ha) 10 10 - - Verificamos que dividindo por períodos, fica mais claro se teremos ou não MDO suficiente, o que não ocorre quando trabalhamos em termos anuais. Fator CAPITAL: O capital deve ser considerado segundo seu objetivo de utilização. O Capital de Custeio deverá ser aquele recurso necessário a aquisição de insumos e serviços. Já o Capital de Investimento será aquele recurso imobilizado em terras, benfeitorias, equipamentos, máquinas, formação de lavouras com culturas permanentes e aquisição de grandes animais. No caso de atividades como culturas permanentes e pecuária de ciclos mais longos, os coeficientes técnicos utilizados na programação linear serão aqueles de um ano típico ou da média dos anos típicos. No caso do Capital de Investimento devemos calcular o valor presente dos gastos até o ano em que consideramos formação do investimento (quando ainda não temos produção). Para calcular o capital de custeio, calculamos os gastos de um ano típico ou da média dos anos típicos, e acrescenta-se uma parcela da amortização dos custos de investimento (amortização simples ⇒ valor total inv./nº anos do projeto) EX: CAFÉ: Coeficientes técnicos = Média de um ano bom e o subseqüente ano ruim Capital Investimento = Valor presente dos gastos até o 3º ano. Capital Custeio = média ano bom-ruim + parcela de amortização do investimento. OBS: Vale ressaltar que essa metodologia pode sofrer alterações dependendo do realidade de cada situação. B) Restrições Institucionais: São aquelas introduzidas no modelo devido a condições técnicas ou por força legal. Estabelece limites máximos ou mínimos para determinadas alternativas de produção. Estas restrições podem representar desejos do proprietário, limitações de mercado e armazenagem, e problemas de qualquer ordem. Ex: Estabelecer limites mínimos e máximos para o café. C) Restrições de Contabilidade: São aquelas incorporadas ao modelo no sentido de propiciar maior flexibilidade. O caso mais comum é possibilitar dois usos para uma mesma alternativa (atividade). EX: Transferência do Milho produzido para ração do gado:

Cria-se um estoque de milho que é suprido pela produção de milho (ex. 4 ton/ha), e estima-se o consumo de uma unidade animal que compõe cada pecuária leiteira (0,1 ton por UA): Estoq. Milho 0 ≥ 0,1 (GL1) + 0,1 (GL2) + 0,1 (GL3) - 4 (Milho) O sinal negativo significa que cada hectare de milho que entrar na solução ótima poderá fornecer 4 ton para o estoque de milho. Este estoque por sua vez pode ser consumido pelos animais ou vendido (olhar Alternativas de Vendas). Rearranjando a equação: 4 (Milho) ≥ 0,1 (GL1) + 0,1 (GL2) + 0,1 (GL3) Portanto, os sinais positivos consomem do recurso em questão, enquanto os sinais negativos fornecem ou adicionam recursos. Ex: Se o modelo indicar 10 animais para GL1, 30 animais para GL2 e 40 animais para GL3: 4 (Milho) ≥ 0,1 (10) + 0,1 (30) + 0,1 (40) 4 (milho) ≥ 8 ton ⇒ milho ≥ 2 ha 8.2 Tipos de Alternativas: A) Alternativas Produtivas: São as possíveis atividades que serão desenvolvidas na propriedade. B) Alternativas de Venda: É utilizada quando se cria dois usos para uma mesma atividade, como no caso do milho. Até então todo milho produzido só podia ser consumido pela pecuária leiteira. Devemos dar maior flexibilidade ao modelo permitindo também a venda do milho. Sendo assim, cria-se uma coluna Venda de Milho que retirará toneladas do estoque de milho. A equação do estoque fica assim: Estoq. Milho 0 ≥ 0,1 (GL1) + 0,1 (GL2) + 0,1 (GL3) - 4 (Milho) + 1 (Venda Milho) Neste exemplo, se houver alguma pecuária leiteira, obrigatoriamente o milho deverá ser produzido pois a equação impõe isso. Por outro lado, se nenhuma pecuária for indicada, o milho pode ou não ser produzido para venda. Na função objetivo, temos a seguinte situação: Na coluna de transferência milho - estoque, como o milho é transferido apenas a preço de custo, a Margem bruta é 0 - 500 igual a -500. Por outro lado, na coluna de venda, coloco somente o preço da tonelada do milho, ou seja, Margem Bruta = 875 - 0 = 875, pois o custeio para produção já entrou na outra coluna.

C) Alternativas de Compra: Permite que recursos sejam adquiridos fora da propriedade. Ex1: Compra de Capital de Custeio: Cada $1,00 que eu comprar (emprestar), tenho um custo dos juros de mercado, no caso, 0,12. Como todo crédito ou financiamento tem um limite, crio uma nova restrição “Capacidade Empréstimo” com o valor máximo permitido para empréstimo. Cada $1,00 entrará alimentando o Capital de Custeio, consumirá $1 da capacidade de empréstimo e a Margem Bruta será -0,12. Ex2: Compra de MDO 2: Cada 1 dh de MDO custa $5. Portanto, cada 1 dh vai ser adicionado ao recurso MDO 2 e consumirá $5 do recurso Capital de Custeio, ficando com uma Mbruta = - 5. Coloco apenas o custo da MDO na margem bruta porque a produtividade dela já estará embutida na atividade em que ela for alocada. D) Alternativas de Transferência: Usada para transferir quantidades entre recursos. Ex1: Transferir Capital de Custeio para Capital de Investimento e vice-versa: Cria-se duas colunas , uma para cada operação, retirando dinheiro da fonte e colocando no destino, sem haver valor algum na margem bruta dessas colunas. Ex2. Transferência de terra de mata para terra 2: Cria-se uma coluna, onde os hectares vão alimentar a restrição Terra 2, vão ser retirados de uma nova restrição “Terra Mata”, onde constará o máximo de desmatamento possível, o a Margem Bruta será o custo de desmatamento por ha, e este valor será abatido do Capital de Investimento. 8.3 Resolução do Modelo Ampliado(quadro na próxima secção)

ALTERNATIVAS

RESTRIÇÕES arro gl1 gl2 gl3 cafe feij milh refl v.mi c.cc Cm IV

i-cc cc-i Mt2

ha ua ua ua ha ha ha ha Ton $ dh $ $ ha Função Objetivo: 3000 300 300 300 2500 2500 - 500 4000 875 -0,12 -5 - - -1000

NOME Qdade xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx Terra 1 ≤ 10 ha 1 0,5 Terra 2 ≤ 30 ha 1 1 1 1 -1 Terra 3 ≤ 60 ha 2 1 MDO 1 ≤ 240 dh 10 0,05 0,05 0,05 50 10 10 10 MDO 2 ≤ 360 dh 15 0,05 0,05 0,05 10 25 20 10 MDO 3 ≤ 480 dh 15 0,10 0,10 0,10 20 12 MDO 4 ≤ 360 dh 0,05 0,05 0,05 190 -1 C. Custeio ≤ $500.000 800 100 100 100 800 600 500 200 -1 5 -1 1 C. Invest. ≤$1000000 200 200 200 3.000 500 1 -1 100

0

MinCafé ≥ 2 ha 1 MáxCafé ≤ 10ha 1 Est. milho ≤ 0 ton 0,1 0,1 0,1 - 4 1 C. Emprest ≤ $200.000 1 TerraMata ≤ 10 ha 1

8.3 Resolução do Modelo PRODEMATA Modelagem MAX 3000 ARRO + 300 GL1 + 2500 CAFE + 2500 FEIJ - 500 MILH + 4000 REFL + 875 VMI - 0.12 CCC - 5 CM4 - 1000 MT2 + 300 GL2 + 300 GL3 SUBJECT TO TER1) ARRO + 0.5 GL1 <= 10 TER2) CAFE + FEIJ + MILH - MT2 + GL2 <= 30 TER3) REFL + 2 GL3 <= 60 MDO1) 10 ARRO + 0.05 GL1 + 50 CAFE + 10 FEIJ + 10 MILH + 10 REFL + 0.05 GL2 + 0.05 GL3 <= 240 MDO2) 15 ARRO + 0.05 GL1 + 10 CAFE + 25 FEIJ + 20 MILH + 10 REFL + 0.05 GL2 + 0.05 GL3 <= 360 MDO3) 15 ARRO + 0.1 GL1 + 20 FEIJ + 13 MILH + 0.1 GL2 + 0.1 GL3 <= 480 MDO4) 0.05 GL1 + 190 CAFE - CM4 + 0.05 GL2 + 0.05 GL3 <= 360 CUSTEIO) 800 ARRO + 100 GL1 + 800 CAFE + 600 FEIJ + 500 MILH + 200 REFL - CCC + 5 CM4 + 100 GL2 + 100 GL3 - ICC + CCI <= 500000 INVEST) 200 GL1 + 3000 CAFE + 500 REFL + 1000 MT2 + 200 GL2 + 200 GL3 + ICC - CCI <= 1000000 CAFEMIN) CAFE >= 2 CAFEMAX) CAFE <= 10 ESTMILHO) 0.1 GL1 - 4 MILH + VMI + 0.1 GL2 + 0.1 GL3 <= 0 EMPREST) CCC <= 200000 TERMATA) MT2 <= 10 Resultado: OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 72657.180 VARIABLE VALUE REDUCED COST ARRO .000000 1248.391000 GL1 20.000000 .000000 CAFE 2.000000 .000000 FEIJ .000000 1582.797000 MILH 1.757426 .000000 REFL 11.891090 .000000 VMI .000000 270.699200 CCC .000000 .120000 CM4 23.514850 .000000 MT2 .000000 834.405900 GL2 26.242570 .000000 GL3 24.054450 .000000 ICC .000000 .000000

CCI .000000 .000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES TER1) .000000 331.188100 TER2) .000000 165.594100 TER3) .000000 82.797030 MDO1) .000000 391.720300 MDO2) 182.425700 .000000 MDO3) 450.123700 .000000 MDO4) .000000 5.000000 CUSTEIO) 487995.800000 .000000 INVEST) 973995.100000 .000000 CAFEMIN) .000000 -18201.610000 CAFEMAX) 8.000000 .000000 ESTMILHO) .000000 1145.699000 EMPREST) 200000.000000 .000000 TERMATA) 10.000000 .000000 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE ARRO 3000.000000 1248.391000 INFINITY GL1 300.000000 INFINITY 165.594100 CAFE 2500.000000 18201.6100 INFINITY FEIJ 2500.000000 1582.79700 INFINITY MILH -500.000000 1096.36600 6690.000000 REFL 4000.000000 5575.00000 1099.120000 VMI 875.000000 270.699200 INFINITY CCC -.120000 .120000 INFINITY CM4 -5.000000 5.000000 3345.000000 MT2 -1000.000000 834.405900 INFINITY GL2 300.000000 855.583800 169.797000 GL3 300.000000 2198.241000 163.170700 ICC .000000 .000000 INFINITY CCI .000000 .000000 INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE TER1 10.000000 200.166700 10.000000 TER2 30.000000 400.333300 26.908630 TER3 60.000000 800.666700 47.404880 MDO1 240.000000 184.711800 117.170700

MDO2 360.000000 INFINITY 182.425700 MDO3 480.000000 INFINITY 450.123700 MDO4 360.000000 23.514850 97599.160000 CUSTEIO 500000.000000 INFINITY 487995.800000 INVEST 1000000.000000 INFINITY 973995.100000 CAFEMIN 2.000000 2.357213 .123714 CAFEMAX 10.000000 INFINITY 8.000000 ESTMILHO .000000 7.117795 48.281410 EMPREST 200000.000000 INFINITY 200000.000000 TERMATA 10.000000 INFINITY 10.000000 Como visto a programação linear da como resultado números fracionados para a pecuária leiteira. Sendo assim, para evitarmos que seja usada a programação inteira - que nem sempre se aplica bem, usamos o conceito de unidade animal, definido zootécnicamente, onde 1 vaca (450kg) é definida como 1, um touro é definido como 1,25ud animal e assim por diante. Ex 2: Compra/aluguel de recursos Alternativas de produção (Ha)

Recursos Disponib. (ha) (ha) Milho Soja Margem Bruta ($/ha) Max 358 596

Terra (ha) <=50 1 1 Capital (R$) <= 12000 291 410 Máquina (horas) <= 520 15,68 12,55 max MB) 358SOJA + 596MILHO st TERRA) 1SOJA + 1MILHO <= 50 CAPITAL) 291SOJA + 410MILHO <= 12000 MAQUINA) 15.68SOJA + 12.55MILHO <= 520 Introduzir uma Alternativa de Compra de Capital de Giro: - Adicionar uma coluna no modelo EMPCAP Cada 1 unidade a mais aumenta a disponibilidade do recurso em 1 CAPITAL) 291SOJA + 410MILHO <= 12000 + 1 para valor de empréstimo de EMPCAP , o aumento será de 1*EmpCap

CAPITAL) 291SOJA + 410MILHO <= 12000 + 1EMPCAP, o que é igual algebricamente a CAPITAL) 291SOJA + 410MILHO - 1EMPCAP <= 12000 Cada unidade 1$ tomada em empréstimo reduz a renda da empresa em 1$ para juros cobrado pelo banco. Considerando a taxa de 10 ao ano = - 1,1CAPEMP, Alternativas de produção (Ha)

Recursos Disponib. Milho Soja EmpCap

Margem Bruta ($) Max 358 596 -1,1 Terra (ha) <=50 1 1 -- Capital (R$) <= 12000 291 410 -1 Máquina (horas) <= 520 15,68 12,55 --- a nova função objetivo será: max RENDA) 358SOJA + 596MILHO - 1,1EMPCAP st TERRA) 1SOJA + 1MILHO <= 50 CAPITAL) 291SOJA + 410MILHO - 1EMPCAP <= 12000 MAQUINA) 15.68SOJA + 12.55MILHO <= 520 Resolvendo temos: OBJECTIVE FUNCTION VALUE RENDA) 19207.97 VARIABLE VALUE REDUCED COST SOJA 0.000000 143.263351 MILHO 41.434261 0.000000 EMPCAP 4988.047852 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES TERRA) 8.565737 0.000000 CAPITAL) 0.000000 1.100000 MAQUINA) 0.000000 11.553785 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE SOJA 358.000000 143.263367 INFINITY MILHO 596.000000 INFINITY 114.665512 EMPCAP -1.100000 1.100000 0.353659

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE TERRA 50.000000 INFINITY 8.565737 CAPITAL 12000.000000 4988.047852 INFINITY MAQUINA 520.000000 107.499992 152.682922 5.4 Transferência de Recursos Alternativas - Venda de soja (VNDSOJA) - Fornecimento soja para vacas (SOJAVAC) - Venda de milho (VNDMILHO) - Fornecimento milho para vacas (MILHOVAC) - Criação de vacas (VACA) - empréstimo de capital EMPCAP Restrições - até máximo: TERRA, CAPITAL, MAQUINA - mínimo aceitavel: PROTEINA, CH - PdSOJA e PdMILHO produção de milho e soja ex.: 1 ha de soja produz 40 sacas que podem ser vendidas ou fornecidas a alternativa criação de vaca No entanto, a atividade SOJA agora tem um valor correspondente ao custo de produção por ha ($350), pois a receita ou vai acontecer pela venda (VNDSOJA)ou pelo uso na Pecuária (VACA). Mesmo ocorre com o milho (considerar custo por ha igual a $400) Estoque/producao de soja vai controlar disponibilidade/produção e consumo da soja no sistema 40SOJA = VNDSOJA + SOJAVACA

Recursos Disponib. (ha) (ha) ($) (unid) (saca) (saca) (saca) (saca) Milho Soja EmpCap Vaca VndMi VndSoj sojavac milhovaca

Margem Bruta ($) Max -400 -350 -1,1 300 6.50 8,95 -- --- Terra (ha) <=50 1 1 -- 0,20 --- ---- -- -- Capital (R$) <= 12000 291 410 -1 225 --- --- --- --- Máquina (horas) <= 520 15,68 12,55 --- -- ---- --- --- --- PdSoja (estoque <= 0 --- -40 --- 1 1 --- PdMilho (estoq. <=0 - 91,7 --- 1 --- --- 1 Dem.Proteína = 0 -0,34 0,21 0.07 Dem. CH = 0 -2,64 0,79 0,81

MODELAGEM: max RENDA) – 400 MILHO – 350 SOJA - 1.1EMPCAP + 300VACA + 8.95VNDSOJA + 6.50VNDMILHO st TERRA) 1SOJA + 1MILHO + 0.20VACA <= 50 CAPITAL) 291SOJA + 410MILHO + 225VACA -1EMPCAP<= 12000 MAQUINA) 15.68SOJA + 12.55MILHO <= 520 PdSOJA) VNDSOJA + SOJAVAC - 40SOJA <= 0 PdMILHO) VNDMILHO + MILHOVAC - 91.7MILHO <= 0 PROTEINA) 0.21SOJAVAC + 0.07MILHOVAC - 0.34VACA = 0 CH) 0.79SOJAVAC + 0.81MILHOVAC - 2.64VACA = 0 Estudos de Casos para Modelagem em P.L.: Exercício 1) Uma propriedade apresenta dois talhões florestais aptos para corte: Talhão 1 com 40 ha e 84 m3/ha de madeira disponíveis; e Talhão 2 com 18 ha e uma produção de 112m3/ha. O custo por ha para preparação e administração da venda de madeira é de R$ 300,00 por ha, e a disponibilidade de capital é de R$15.000. Ambos os talhões permitem o desenvolvimento de atividades recreativas. Anualmente o talhão 1 é capaz de sustentar 480 visitantes/ha e o talhão 2 apresenta capacidade para 1.920 visitantes/ha. Em função da recreação a empresa deve ser capaz de receber no mínimo 10.000 visitantes/ano. Necessita-se saber quantos hectares deverão ser cortados de cada talhão, de modo a maximizar o volume de madeira cortado. Solução: Max 84 tal1 + 112 tal2 Sujeito a: tertalhão1) tal1 ≤ 40 tertalhão2) tal2 ≤ 18 capital) 300 tal1 + 300 tal2 ≤ 15.000 recreação) 480 (40 - tal1) + 1.920 (18 - tal2) ≥ 10.000

Exercício 2) Pretende-se fazer um planejamento para uma fazenda, utilizando as atividades do Café e Suinocultura. Para isso foi elaborado os orçamentos das duas atividades e levantados os recursos disponíveis na propriedade: Recursos disponíveis na propriedade: RECURSOS DISPONIBILIDADE Terra para alocação do galpão suínos 6,16 ha Terra para cultura do Café 14,78 Mão de Obra Será contratada segundo necessidade Capital de Investimento R$ 20.000,00 Capital de Custeio R$ 20.000,00 Obs: *Por questões técnicas não deseja-se que as atividades concorram pela mesma terra. * Deseja-se criar 3 períodos de mdo (4 meses cada). Preço do d.h. é R$ 5,00 Dados Suinocultura (Orçamento 3 lotes/ano - 240 u.a./lote): - Margem bruta anual R$ 79.200,00 - Requerimento de Mão-de-obra (mensal) 30,41 d.h. - Despesas Operacionais R$ 56.536,36 - Galpão (240 u.a.): * Despesas Investimento (const. e equip.)

R$ 10.376,71

* Área requerida 3,08 ha Dados Café (ha): - Margem Bruta anual R$ 12.138,65 (média ano bom-ruim) - Despesas Investimento R$ 12.138,65 - Despesas Operacionais R$ 1.346,34 (média ano bom-ruim) - Requerimento de MDO: * Jan a Abril 61 d.h. * Maio a Agosto 24 d.h. * Setembro a dezembro 97 d.h. Como se deseja ter idéia de qual será a combinação entre as duas atividades que promova a máxima margem bruta para a empresa, monte uma modelagem de programação linear que retrate, da melhor forma possível, a situação descrita. Solução: MAX 79200 SUI + 12.138,65 CAFE - 5 CM1 - 5 CM2 - 5 CM3 SUBJECT TO TER1) 3.078 SUI <= 6.16 TER2) CAFE <= 14.78 MDO1) 121.67 SUI + 61 CAFE - CM1 <= 0

MDO2) 121.67 SUI + 24 CAFE - CM2 <= 0 MDO3) 121.67 SUI + 97 CAFE - CM3 <= 0 CUSTEIO) 56536.36 SUI + 1346.34 CAFE <= 20000 INVEST) 10376.71 SUI + 12138.65 CAFE <= 20000 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 5 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 40260.480 VARIABLE VALUE REDUCED COST SUI .321054 .000000 CAFE 1.373177 .000000 CM1 122.826500 .000000 CM2 72.018910 .000000 CM3 172.260800 .000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES TER1) 5.171795 .000000 TER2) 13.406820 .000000 MDO1) .000000 5.000000 MDO2) .000000 5.000000 MDO3) .000000 5.000000 CUSTEIO) .000000 1.223718 INVEST) .000000 .789306 NO. ITERATIONS= 5 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE SUI 79200.000000 394145.700000 67776.160000 CAFE 12138.650000 79284.380000 9386.066000 CM1 -5.000000 5.000000 161.543000 CM2 -5.000000 5.000000 444.782700 CM3 -5.000000 5.000000 99.742920 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE TER1 6.160000 INFINITY 5.171795

TER2 14.780000 INFINITY 13.406820 MDO1 .000000 122.826500 INFINITY MDO2 .000000 72.018910 INFINITY MDO3 .000000 172.260800 INFINITY CUSTEIO 20000.000000 88967.800000 17781.730000 INVEST 20000.000000 159427.800000 16329.190000 Exercício 3) Considere a existência de 2 centros produtores de milho e feijão (estados de GO e RS) e a existência de 2 centros consumidores destes produtos (RJ e SP). A demanda do RJ é de 2.000 ton de milho e 2.500 ton de feijão. A demanda de SP é 2.500 ton de milho e 2.600 ton de feijão. Os dados técnicos e custos de transporte são dados a seguir: Dados técnicos do RS: Limitações de recursos Coeficientes Técnicos (ha) Milho Feijão Terra - 20.000 ha 1 ha 1 ha MDO - 500.000 d.h. 42 48 Capital - R$ 20.000.000 1.200 1.800 Produção 4 ton 1 ton Dados técnicos do GO: Limitações de recursos Coeficientes Técnicos (ha) Milho Feijão Terra - 18.000 ha 1 ha 1 ha MDO - 600.000 d.h. 35 40 Capital - R$ 18.000.000 1.500 2.000 Produção 4,5 ton 1 ton Custos de Transportes (R$/ton):

ORIGEM DESTINO MILHO FEIJÃO

GO RS GO RS RJ 2.100 2.000 1.900 1.900 SP 2.00 1.500 2.500 1.850

Você como consultor do Ministério do Agricultura, indicaria quais fluxos de transporte dos produtos, de suas origens aos seus destinos, de tal forma que o custo de transporte total fosse o mínimo possível.

Exercício 4) Considere que uma empresa possua 2 fazendas produtoras de arroz e precisa fornecer a produção destas fazendas para 2 regiões consumidoras. A fazenda F1 produz 600 ton enquanto a fazenda F2 produz 1200 ton. Por sua vez as regiões consumidoras exigem uma quantidade mínima de 700ton (RC1) e 1000 ton (RC2). O único problema é que a produção que sai de F2 e vai para RC2 pode percorrer dois caminhos distintos (CAM1 E CAM2). Isto ocorre porque o CAM1 apesar de mais perto e menor custo por ton, possuí capacidade para escoar apenas 800 ton no máximo. São dados os seguintes coeficientes e custos: Custo de Tranporte por tonelada Fazendas F1 F2 para RC1 160 180 para RC2 190 - para RC2 - CAM1 - 185 para RC2 - CAM2 - 195 Faça a modelagem do problema de tranporte, procurando minimizar o custo total de transporte.