AMSD - AULA 03 - 2015/2

Modelagem de circuitos Elétricos (RLC,

amplificadores operacionais) e sistemas

mecânicos translacionais. Função de

transferência e Diagrama de blocos. Cálculo da

função de transferência resultante. Simulação e

análise Dinâmica.

Circuitos com amplificadores operacionais

Estes circuitos podem sintetizar importantes funções

de transferência de filtros e de controladores.

Basicamente, a modelagem baseia-se nas seguintes

propriedades:

1. A tensão entre os terminais + e – é zero; ou seja,

ee . Essa propriedade é comumente chamada

de terra virtual ou curto-circuito virtual.

2. As correntes que entram nos terminais + e – são

nulas. Assim, a impedância de entrada é infinita.

3. A impedância vista olhando no terminal de saída

é nula. Assim, a saída é uma fonte de tensão

ideal.

4. A relação entrada-saída é eeAeo , onde o

ganho A tende ao infinito.

Para a operação linear, requer-se à adição da

realimentação do sinal de saída ao terminal de

entrada.

Exemplo 1.3 - Exemplos de circuitos de soma e

diferença

A modelagem destes circuitos é basicamente realizada

fazendo-se a soma das correntes em cada um dos nós

de entrada do Amp-Op igual a zero. Também, como a

impedância de entrada do amp-op é infinita,

consideram-se as correntes de entrada do Amp-Op

nulas. Então, tem-se que:

Circuito a

0

R

ee

R

ee

R

ee oba

Logo

bao eee

Circuito b

00

R

ee

R

e o

e

0

R

ee

R

ee ba

Logo

bao eee

Circuito c

0

R

ee

R

ee oa

e

00

R

e

R

ee b

Logo

bao eee

Exemplo 1.4 – Circuito de amplificador

operacional em geral

)(

)(

)(

)()(

1

2

sZ

sZ

sE

sEsG

i

o

Tabela 1.1 Funções de transferência de amp-op

inversor

B) Modelagem de sistemas mecânicos

translacional

Nestes, basicamente, a modelagem é realizada por

meio da 2ª lei de Newton:

dt

tdM

dt

tydMtMatf

)()()()(

2

2

Ou seja, a somatória das forças aplicadas a um corpo

é igual ao produto da massa pela aceleração.

Normalmente, nestes problemas de modelagem

de sistemas mecânicos, deve-se calcular as forças de

elementos como mola, amortecedores e engrenagens,

bem como modelar o atrito.

No caso da mola, análoga ao capacitor em

sistemas elétricos, se a deformação da mola é

pequena, seu comportamento pode ser aproximado

para uma relação linear dada por:

)()( tKytf

onde K é a constante da mola, ou simplesmente

rigidez, com unidade pelo SI de medidas dado N/m.

Diagrama esquemático de forças em uma mola

Certamente, em molas reais, este equacionamento é

não-linear em alguma extensão.

No caso de amortecedor, existe uma relação linear

entre a força aplicada e a velocidade do mesmo.

Assim tem-se que

dt

tdyBtf

)()(

onde B é o coeficiente de amortecimento, com

unidade pelo SI de medidas dado por N/m/seg.

Cálculo de forças de atrito no movimento de

translação

- quando existe movimento ou tendência de

movimento entre dois elementos físicos, existe força

de atrito.

- As forças de atrito encontradas em sistemas físicos

são geralmente de natureza não-linear.

- Forças de atrito entre duas superfícies de contato

frequentemente dependem da composição das

superfícies, a pressão entre as duas superfícies, suas

velocidades relativas, e outras, assim uma descrição

matemática da força de atrito é difícil.

Três diferentes tipos de atrito são geralmente usados

em sistemas práticos: atrito viscoso, atrito estático, e

atrito de Coulomb.

O atrito viscoso representa uma força de retardo que

é proporcional à velocidade entre as superfícies

(equacionamento semelhante ao do amortecedor).

Assim, a expressão matemática do atrito viscoso é

dada por

dt

tdytfat

)()(

onde é o coeficiente de atrito viscoso, com

unidade pelo SI de medidas dado por N/m/seg.

O atrito estático representa uma força de retardo

que tende a impedir o movimento de iniciar. A força

de atrito estático pode ser representada pela

expressão

0)()(

ysat Ftf

Que é definida como uma força de atrito que existe

somente quando o corpo está estacionário, mas tem

tendência ao movimento. O sinal do atrito depende

do sentido do movimento ou a direção inicial da

velocidade. Note que uma vez iniciado o movimento, a

força de atrito estático desaparece e outros atritos o

substituem.

O atrito de Coulomb é uma força de retardo que tem

amplitude constante com relação às mudanças de

velocidade, mas o sinal da força de atrito muda com a

mudança do sentido da velocidade. A relação

matemática para o atrito de Coulomb é dada por

dttdy

dttdyFtf cat

/)(

/)()(

em que cF é o coeficiente de atrito de Coulomb.

Gráficos das diferentes forças de atrito:

Atritos viscoso, estático e de Coulomb

Exemplos 1.5 – Determinar as funções de

transferência que regem o comportamento

dinâmico dos sistemas mecânicos abaixo:

m1 m2

Ku

y1 y2

b

NISE, N. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª edição. Editora LTC.

2000.

OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno, 4ª edição. Prentice Hall,

São Paulo, 2003.

KUO, B. C., Automatic Control Systems, 7th ed (capítulos: 1-7), John

Wiley & Sons, Inc. New York, 1995, Prentice Hall, 1995.