LGEBRA LINEAR AULA2FORMA LINHA DEGRAU REDUZIDAProfessor: Paulo Dantas Sesion JuniorNa aula anterior vimos ummtodo parareduzir umsistema linear nx na formatriangular superior (estrita).Vamos introduzir o mtodo mais geralconhecido como o algoritmo de Gauss-Jordanou mtodo de reduo de Gauss-Jordan((((

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0 0 0 03 1 0 00 1 3 1,0 0 01 0 03 2 1,1 0 03 1 02 4 1 ((((

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0 0 0 03 1 0 00 0 3 1,0 0 01 0 00 2 1,1 0 00 1 00 0 1 FORMA LINHA DEGRAU FORMA LINHA DEGRAU REDUZIDA EXEMPLOSRegras para uma matriz na forma linhadegrau (escalonada)1) Todas as linhas nulas esto abaixo detodas as linhas no nulas.2) Oprimeiro elemento no nulo de cadalinhanonulaigual a1echamadopiv.3) Cada piv se localiza direita de todos ospivs das linhas acima dele.Umamatriz estanaformalinhadegraureduzida se alm disso, satisfazer4) Cada piv o nico elemento no nulo emsua coluna.Ilustrao:onde os * so escalares.Algoritmo de Gauss e Gauss-Jordan:Qualquer matriz pode ser levada forma linha degrau pelomtodo abaixo:Passo1. encontre na primeira linha no nula, vindo de cima,o primeiro elemento k no nulo desta linha, e mova a linhacontendo este elemento ao topo da matriz.Passo2. multipliquealinhanotopopor1/kparaobteroprimeiro piv.Passo3. Anulecadaelementoabaixodopiv, subtraindomltiplos de suas linhas das linhas inferiores.Passo4. Repita os passos 1-3 na matriz formada pelas linhasremanescentes.Passo5. anulecadaelementoacimadospivs, subtraindomltiplos de suas linhas das linhas superiores.Exemplo1:Encontre a forma escalonada reduzida do sistema abaixo :1 4 41 2 222L L LL L L Soluo: Usando o algoritmo de Gauss-Jordan na matriz ampliada teremos:OBS: at o passo 4 temos o processo de eliminaogaussiana(obtendoaformalinhadegrau). Seusarmos opasso5teremos areduo de Gauss-Jordan(obtendo aforma linha degrau reduzida)OBS: a forma linha degrau reduzida nica.2 2L L 2 4 42 3 345L L LL L L 4 3L L 3 361L L SISTEMAS LINEARES-ELIMINAO DE GAUSS2 1 13 2 223L L LL L L+ A aplicamos agora o passo 5 anulando as entradas acima de cada piv.Aultimamatriz aformalinhadegraureduzidaquegeraoseguintesistema equivalenteondeso as variveis dependentes referente aos pivs eso variveis livres ou independentes onde atribumos parmetros r, s e t. 6 3 1, x x x5 4 2, , x x xSISTEMAS LINEARES-ELIMINAO DE GAUSSOBS: fundamental que se escreva as solues do sistema na formageral:(((((((((

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3 / 1000000100020012040000133 / 122 4 3654321t s rtssrt s rxxxxxxVetores base ou solues bsicas dosistema homogneo associado.Soluo partcula dosistema.OBS: notequeduranteoprocessodeeliminaogaussiana podem surgir linhas na formaOnde k um escalar no nulo. Quando surgem taislinhas dizemos que o sistema inconsistente.| | k 0 0 0 Sistemas Sobredeterminados: se um sistemapossui maisequaesqueincgnitasestedito sobredeterminado.OBS: tais sistemas so geralmente (mas nosempre) inconsistentes.Exerccio Sala: Resolva o sistema sobre-determinado abaixo2 2312 12 12 1 = + = = +x xx xx xResposta: ((((

1 0 01 1 01 1 1Sistemas Subdeterminados: um sistema de mequaes e n incgnitas dito subdeterminado se tiver menos equaes queincgnitas (m