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Método dos mínimos quadrados - Cálculo Numérico – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori.

1

2 2 4 6 8x

5

5

10

15

20

25

y

2 2 4 6 8 10 12x

5

10

y

Método dos Mínimos Quadrados: Aproximação : Caso Domínio Discreto:

Para aproximarmos uma função f tabelada em n pontos distintos x1,x2,x3,...,xn por uma função g da forma:

1

( )m

k k

k

a g x

precisamos determinar os valores a0,a1,...,ak que minimizam a

soma dos quadrados dos resíduos M(a0,a1,...,ak) nos pontos x1,x2,x3,...,xn. :

2

0 1

1

( , ,.., ) ( ) ( )n

n i i

i

M a a a f x g x

2

1 1 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )n

i m m

i

f x a g x a g x a g x

E precisamos obter a0,a1,...,ak tal que:

0),...,( 0

l

m

a

aaM

Chegamos num sistema denominado sistema normal:

1 1 1 2 1 3 1 11

2 1 2 2 2 3 2 22

3 1 3 2 3 3 3 33

1 2 3

m

m

m

mm m m m m m

g g g g g g g g g ya



ag g g g g g g g g y

Propriedade:

1

n

i j i k j k

k

g g g x g x

i j j ig g g g

1

n

i i k k

k

g y g x y x

Regressão linear: y b x a

2

1 1 1

1 1

N N N

i i i i

i i i

N N

i i

i i

x x x yb

ax N y

1 1

1

2

1 1

1

N N

i i i

i i

N

i

i

N N

i i

i i

N

i

i

x y x

y N

b

x x

x N

1 1 1

2

2

1 1

N N N

i i i i

i i i

N N

i i

i i

N x y y x

b

N x x

2

1 1

1 1

2

1 1

1

N N

i i i

i i

N N

i i

i i

N N

i i

i i

N

i

i

x x y

x y

a

x x

x N

2

1 1 1 1

2

2

1 1

N N N N

i i i i i

i i i i

N N

i i

i i

x y x x y

a

N x x

Exempo 1 - Ajuste os pontos por uma reta:

y a b x

Estime o valor para x = 7.

x y

0 2.4

1 2.1

2 3.2

3 5.6

4 9.3

5 14.6

6 21.9

Calcule em seguida y ( x = 3.5)

Respostas:

3.2 1.15714y x

2

1 1 1

1 1

91 21 266.9

21 7 59.1

N N N

i i i i

i i i

N N

i i

i i

x x x yb b

a ax N y

Exemplo 2 - Ajuste os pontos da tabela abaixo por uma reta:

x F(x)

-2,00 -3,00

1,50 2,57

3,45 3,50

4,55 5,30

8,98 9,00

1.06806 0.0463354y x


2

Pontos e Ajustes

x

876543210-1-2

y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

Pontos 1gfedcbPontos 2gfedcbPontos 3gfedcb-0.059946518344858 . x^2+1.65000858748706 . x^1gfedcbAjuste 2gfedcbAjuste 3gfedcb

Pontos e Ajustes

x

876543210-1-2

y

32

30

28

26

24

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

-2

Exemplo 3 – Monte a forma matricial do sistema normal

quando precisamos fazer o ajuste de N pontos dados (xi, yi) pela função:

(a) 2( )f x a x b x .

(b) 3( ) xf x a x b e c senx

Solução:

(a)4 3 2

1 1 1

3 2

1 1 1

N N N

i i i i

i i i

N N N

i i i i

i i i

x x x ya

bx x x y

(b)

6 3 3 3

1 1 1 1

23

1 1 1 1

3 2

1 1 1 1

i

i i i i

i

N N N Nx

i i i i i i

i i i i

N N N Nx x x x

i i i

i i i i

N N N Nx

i i i i i i

i i i i

x x e x senx x y

a

x e e e senx b e y

c

x senx e senx sen x senx y

Exemplo 4 – Fazer o ajuste de N pontos dados (xi, yi) pela

funções indicadas:

i x F(x)

1 -2.5 -3.3

2 1.5 2.6

3 3.6 5.4

4 4.8 7.9

5 8.9 9.4

(a) 2( )f x a x b x

7017.152 849.967 981.799

849.967 123.71 153.17

a

b

2( ) -0.05994651 1.650008f x x x

(b) 3( ) xf x a x b e c senx

511644.19 5183973.50 235.107 7812.665

5183973.5 53773960.28 3540.65 70089.45

235.107 3540.65 2.79 0.98126

a

b

c

3( ) 0.1100394 -0.00946 2.38031xf x x e senx

Exercícios

1. Ajuste os pontos por uma reta:

y a b x

Estime o valor para x = 7.

x y

0 2.4

1 2.1

2 3.2

3 5.6

4 9.3

5 14.6

6 21.9

Calcule em seguida y ( x = 3.5)

2. – Ajuste os pontos da tabela abaixo por uma reta:

x F(x)

-2,00 -3,00

1,50 2,57

3,45 3,50

4,55 5,30

8,98 9,00

3. A tabela dá a distância de parada d(em pés) de um

automóvel viajando a uma velocidade v (milhas por hora no instante em que um perigo é percebido.

(a) Represente graficamente d contra v.

(b) Ajuste por uma parábola dos mínimos quadrados:

2d a b v c v os dados.

(c) Estime d quando v = 45 milhas por hora.

v(mi/h) d(mi)

20 54

30 90

40 138

50 206

60 292

70 396

4. O número y de bactérias por unidade de volume presente

em uma cultura após x horas é dado na tabela. (a) Represente graficamente em papel com escala semi-

logarítmica, com escala logarítmica usada para y e escala normal para x.

(b) Ajuste uma curva dos mínimos quadrados da forma

xy a b .

(c) Estime o valor de y quando x = 7.


3

x(h) y(número de

bactérias por unidade de

volume)

0 32

1 47

2 65

3 92

4 132

5 190

6 275

Procedimento:xy a b

log log xy a b

log log log xy a b

log log logy a x b

Y A B x

log

log

log

Y y

A a

B b

x(h) y(número de bactérias por

unidade de

volume)

Y=logy

0 32

1 47

2 65

3 92

4 132

5 190

6 275

Faça a regressão linear dos pontos (x, log y)

10log 10Aa A a

10log 10Bb B b

xy a b

5. Ajuste os pontos da tabela abaixo por uma reta:

x F(x)

2.55 1.00

3.54 2.57

4.02 3.50

5.54 5.30

6.08 8.66

6. Ajuste os pontos da tabela abaixo por uma reta:

x F(x)

2,55 -2,00

3,54 3,57

4,02 5,50

6,54 6,30

8,08 8,66

7. Ajuste os pontos da tabela abaixo por uma parábola do tipo ax2 + bx + c:

x F(x)

-3 -2

-1 1

2.54 2

3.5 4.3

5 5

7 8

10 9.5

4 3 2 2

1 1 1 1

3 2

1 1 1 1

2

1 1 1

N N N N

i i i i i

i i i i

N N N N

i i i i i

i i i i

N N N

i i i

i i i

x x x x y

a

x x x b x y

c

x x N y

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