Aulão Espcex

7/28/2019 Aulão Espcex

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EsPCE x 2011|2012Matemática 1º dia

R E S O L U Ç Ã O C O M E N T A D A

PARTICIPE DO AULÃO GRÁTIS EsPCE x TERÇA 20/09 e QUINTA 22/09

19 às 22h

AULÃO GRÁTIS EsPCE x TERÇA 20/09 e QUINTA 22/09

19 às 22h

Equipe de R esoluçãoeuRico dias

GuilheRme c aldeRano J aime B aRizonm akeRley a Rimatéia R ômulo m achado

Equipe de diaGRamação

J acqueline a leixoleonaRdo pRotta



Resolução Comentada | EsPCEx 2011|2012 Matemática

1 - www.colegioapogeu.com.br

QUESTÃO 01 As medidas em centímetros das arestas de um bloco retangular são as raízes daequação polinomial x3 -14x2 + 64x -96 = 0. Denominando-se r, s e t essas medidas, sefor construído um novo bloco retangular, com arestas medindo (r-1), (s-1) e (t-1), ouseja, cada aresta medindo 1 cm a menos que a do bloco anterior, a medida do

volume desse novo bloco será:a) 36 cm3 b) 45 cm3

c) 54 cm3 d) 60 cm3

e) 80 cm3

Resolução Vamos encontrar as raízes da equação:x3 – 14x2 + 64x – 96 = 0Os candidatos as raízes racionais são os divisores de 96, então:

4 11

-14-10

6424

-960

Por Bhaskara, temos:x2 – 10x + 24 = 0 = 100 – 96 = 4

10 2x

2

x’ = 4 x’’ = 6 As raízes são:

(4, 4, 6)Então o volume é:(4 - 1).(4 - 1).(6 - 1) = 3 . 3 . 5 = 45cm3

QUESTÃO 02 Num estádio de futebol em forma de elipse, o gramado é o retângulo MNPQ, inscrito nacónica, conforme mostra a figura. Escolhendo o sistema de coordenadas cartesianasindicado e tomando o metro como unidade, a elipse é descrita pelaequação 2 2

2 2

x y1

36 60

. Sabe-se também que os focos da elipse estão situados em lados

do retângulo MNPQ.

Assim, a distância entre as retas MN e PQ é:a) 48mb) 68mc) 84md) 92me) 96m

Q P

N

x

y

M





Resolução A distância entre as retas MN e PQ é a distância focal = 2C, pois os focos estão emPQ e MN. Com isso, segue:

2 2

2 2

2 2

x y1

36 60

b a

a2 = b2 + c2 602 = 362 + c2 c2 = 2304 c = 48 2c + 96Logo, a distância é 96 cm.

QUESTÃO 03O ponto da cirdunferência x2 + y2 + 2x + 6y + 1 = 0 que tem ordenada máxima é:

a) (0,-6) b) (-1, -3)c) (-1,0) d) (2, 3)e) (2,-3)

Resolução x2 + y2 + 2x + 6y + 1 = 0x2 + 2x + 1 + y2 + 6y + 9 = - 1 + 1 + 9(x + 1)2 + (y + 3)2 = 9centro: c (-1, -3)raio: R = 3

ponto de ordenada máxima: c (-1, -3 + 3) c (-1, 0)

QUESTÃO 04

O conjunto solução do sistema

x y

3 2

3 .27 9

2y xy 0

3

é formado por dois pontos, cuja

localização no plano cartesiano é:

a) Ambos no primeiro quadrante.b) Um no quarto quadrante e o outro eixo X.c) Um no segundo quadrante e o outro no terceiro quadrante.d) Um no terceiro quadrante e o outro no eixo Y.e) Um no segundo quadrante e o outro no eixo X.

Resolução x 3yx y

23 2

2

3 .3 323 .27 9~ ~2x2

y y 0y xy 033

x 3y 2 x 2 3y (I)2

y y x 0 (II)3





Substituindo (I) em (II):

2

2

2

2y y 2 3y 0

3

4y y 2y 0

3

y 04 4

y 0 y3 3

Sendo y = 0, temos:x = 2 A(2,0)

Sendo y =4

3, temos:

4

B 2,3

Então:

A x

-2

B

y

4

3

2

QUESTÃO 05 Os polinômios A(x) e B(x) são tais que A(x) = B(x) + 3x3 + 2x2 + x + 1 . Sabendo-seque -1 é raiz de A(x) e 3 é raiz de B(x), então A(3) - B(-1) é igual a:a) 98 b) 100c) 102 d) 103e)105

Resolução A(x) = B(x) + 3x3 + 2x2 + x + 1

-1 é raiz de A(x) A (-1) = 03 é raiz de B(x) B (3) = 0

Para x = -1, segue: A(-1) = B(-1) + 3.(-1)3 + 2.(-1)2 + (-1) + 1 A(-1) = B(-1) – 3 + 2 – 1 + 1 Como A(-1) = 0, vem:0 = B(-1) – 1 B(-1) = 1

Para x = 3, segue: A(3) = B(3) + 3.(3)3 + 2.(3)2 + (3) + 1 A(3) = B(3) + 81 + 18 + 3 + 1 Como B(3) = 0, vem: A(3) = 0 + 103 A(3) = 103 Assim, vem: A(3) – B(-1) = 103 - 1 = 102





QUESTÃO 06 Considere a função real f(x), cujo gráfico está representado na figura, e a função realg(x), definida por g(x) = f(x-1) + 1.

O valor de1

g - 2

é:

a) -3b) -2c) 0d) 2e) 3

Resolução

Queremos 1g

2

e como g(x) = g(x-1)+1, vem que 1 3g f 1

2 2

.

De acordo com o gráfico, a lei de formação de f(x) é dada por:x y 2x

1 2x 3y 6 y 23 2 3

Com isso, segue que 3 2 3f . 2 1

2 3 2

.

Logo, 1g 2

2

.

QUESTÃO 07

A inequação 10x + 10x+1 + 10x+2 + 10x+3 + 10x+4 < 11111, em que x é um número real:a) não tem solução. b) tem apenas uma solução.c) tem apenas soluções positivas. d) tem apenas soluções negativas.e) tem soluções positivas e negativas.

Resolução 10x + 10x+1 + 10x+2 + 10x+3 + 10x+4 < 1111110x + 10x. 101 + 10x.102 + 10x.103 + 10x.104 < 1111110x (1+10+100+1000+10000) < 1111110x.11111 < 11111

10x < 110x < 100

x < 0

S x IR / x 0

QUESTÃO 08Pesquisas revelaram que, numa certa região, 4% dos homens e 10% das mulheres sãodiabéticos. Considere um grupo formado por 300 homens e 700 mulheres dessa região.Tomando-se ao acaso uma pessoa desse grupo, a probabilidade de que essa pessoa seja

diabética é:a) 4% b) 5%c) 5,4% d) 7,2%e) 8,2%

-3 0

2

y

x





Resolução

HOMENS MULHERES

DIABÉTICOS 12 70

NÃO DIABÉTICOS 288 630

300 70082

P(D) 8,2%1000

QUESTÃO 09Considere as funções Reais f(x) = 3x, de domínio [4, 8] e g(y) = 4y, de domínio [6, 9].

Os valores máximo e mínimo que o quociente f(x)

g(y)

pode assumir são, respectivamente:

a) 2 1e

3 2b) 1

e 13

c) 4 1e

3 3d) 3 1

e4 3

e) 11 e

3

Resolução

Como f(x) g(y) são funções contínuas e crescentes em seus domínios, então:f (x) max(f (x)) 3.8

i) max 1g(y) min(g(y)) 4.6

f(x) min(f(x)) 3.4 1ii) min

g(y) max(g(y)) 4.9 3

QUESTÃO 10

Seja o número complexo x yiz

3 4i

, com x e y reais e i2= -1 .Se x2 + y2 = 20 , então o

módulo de z é igual a:

a) 0 b) 5

c) 2 5

5d) 4

e) 10

ResoluçãoDado: x2+y2=20

x yiz3 4i

, efetuando a divisão do complexo temos:





2 2

x yi 3 4i 3x 4ix 3yi 4yz

3 4 25

3x 4y i 3y 4xz

25

então:

2 2

2

2 2 2 2

2

2 2

2

2 2

3x 4y 3y 4xz

25

9x 24xy 16y 9y 24xy 16xz

25

25x 25yz

25

x y 20z

25 25

2 5z

5

QUESTÃO 11

O domínio da função real2

2 xf(x)

x 8x 12

é:

a) ]2, [ b) ]2, 6[c) ] , 6] d) ]-2, 2]e) ] , 2]

Resolução Seja:

2

2 xf(x)

x 8x 12

O domínio dessa função é dado por 2 – x > 0 e x2 - 8x + 12, ou seja, devemos ter

x < 2, x ≠ 2 e x ≠ 4. Logo, D(f) = ]-∞,2[ QUESTÃO 12 Na Física, as leis de Kepler descrevem o movimento dos planetas ao redor do Sol.Define-se como período de um planeta o intervalo de tempo necessário para que esterealize uma volta completa ao redor do Sol. Segundo a terceira lei de Kepler, "Osquadrados dos períodos de revolução (T) são proporcionais aos cubos das distânciasmédias (R) do Sol aos planetas", ou seja, T2 = kR3 , em que k é a constante deproporcionalidade.Sabe-se que a distância do Sol a Júpiter é 5 vezes a distância Terra-Sol; assim, sedenominarmos T ao tempo necessário para que a Terra realize uma volta em torno do Sol,ou seja, ao ano terrestre, a duração do "ano" de Júpiter será:





a) 3 5 b) 5 3

c) 3 15.T d) 5 5.T

e) 3 3.T

Resolução Sabendo que na 3ª Lei de Kepler a constante de proporcionalidade k não se altera,temos:

2 2Terra Jupiter

3 3Terra Jupiter

T T

R R

Como RJúpiter = 5.RTerra, então:2 2

Jupiter Terra

3 3 3Terra Terra

T T

5 . R R

T2Júpiter = 5.52. T2

Terra

Jupiter T 5 5.T

QUESTÃO 13 Considerando log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o número real x, solução da equação5x-1 = 150, pertence ao intervalo:a) ] , 0] b) [4,5[c) ]1,3] d) [0,2[e) [5, [

Resolução

5x-1 = 150 x5

1505

5x = 750

Utilizando o operador logaritmo nessa identidade, temos:log 5x = log 750x.log 5 = log (2 . 3. 53)x.log 5 = log 2 + log 3 + 3.log 5

0,3 0,48 3.0,7x

0,7

2,88x 4,11

0,7

QUESTÃO 14 Considere o triângulo ABC abaixo, retângulo emC, em que BÂC = 30°. Nesse triângulo estárepresentada uma sequência de segmentoscujas medidas estão indicadas por Lt, L2, L3,......Ln, em que cada segmento é perpendicular a um

dos lados do ângulo de vértice A. O valor 9

1

LL

é:30º

A

B

C

L1 L2

L3 L4





a) 27 3

128b) 1

128

c) 81

256d) 27

64

e) 1256

Resolução Por semelhança, temos:

2 3 4 5

1 2 3 4

L L L L...

L L L L

Com isso, podemos observar que (L1, L2, L3, L4, ...) forma uma P.G. de razão 2

1

L

L.

Queremos 9

1

LL e como L9

= L1 . q8

, vem:8

89 1

1 1

L L .qq

L L

Como 2

1

L 3q cos30º

L 2 , segue que

8

8 3 81q

2 256

.

QUESTÃO 15 A figura abaixo é formada por um dispositivo de forma triangular em que, nos vértices

e nos pontos médios dos lados, estão representados alguns valores, nem todosconhecidos. Sabe-se que a soma dos valores correspondentes a cada lado dotriângulo é sempre 24.

Assim, o valor numérico da expressão x-y-z é:a) -2b) -1c) 2d) 5e) 10

Resolução Soma dos valores do lado = 24

x 5 y 24 x y 19 (I)y z 5 (I) (II)

x 10 z 24 x z 14 (II)y z 9 (III)

y 15 z 24 y z 9 (III)

Resolvendo o sistema:x = 12, y = 7, z = 2Logo: x – y . z = 12 – 7. 2 = -2

5 10

y z

x

15





Aprovações 2010 | 2011

37 EsPCEx

28 EFOMM

19 AFA

12 COLÉGIO NAVAL

40 EPCAR2 ESCOLA NAVAL

8 IME

4 ITA

PARTICIPE DO AULÃO GRÁTIS ESPCEX

TERÇA 20/09 E QUINTA 22/0919 ÀS 22H





QUESTÃO 16 Se todos os anagramas da palavra ESPCEX forem colocados em ordem alfabética, apalavra ESPCEX ocupará, nessa ordenação, a posição:a) 144 b) 145c) 206 d) 214

e)215

Resolução

E S P C E X

2 4 3 1 2 5

2 4 3 1 2 5

Podemos analisar esse problema como sendo a posição ocupada pelo número2 4 3 1 2 5 após permutar os algarismos do número 1 2 2 3 4 5 e colocá-los emordem crescente.

1 : P52=60

2 2 3 4 5

2 1 : P4=24

2 3 4 5

2 2 : P4=24

1 3 4 5

2 3 : P4=24

1 2 4 5

2 4 1 : P3=6

2 3 5

2 4 2 : P3=6

1 3 5

Total: 144

2 4 3 1 2 5

Total: 145

QUESTÃO 17 Na pesquisa e desenvolvimento de uma nova linha de defensivos agrícolas,constatou-se que a ação do produto sobre a população de insetos em uma lavourapode ser descrita pela expressão N(t) = N0.2

kt sendo N0 a população no início dotratamento, N(t), a população após t dias de tratamento e k uma constante, quedescreve a eficácia do produto. Dados de campo mostraram que, após dez dias de

aplicação, a população havia sido reduzida à quarta parte da população inicial. Comestes dados, podemos afirmar que o valor da constante de eficácia deste produto éigual a:





a) 5-1 b) -5-1

c) 10 d) 10-1

e) -10-1

Resolução

Com base no enunciado temos:

N(10) = 0N

4 N0 . 2K.10 = 0N

4

210K = 2-2 10K = -2 11K 5

5

QUESTÃO 18

O valor numérico da expressão 2sec1320º 53

2.cos tg 2220º2 3

é:

a) -1 b) 0c) 1

2

d) 1

e) 3

2

Resolução

2sec1320º 53

2.cos tg 2220º2 3

Reduzindo para a primeira volta temos:

2sec 240º

2cos300º tg 60º2

Assim, temos

2

22

1 1 1 1. 2cos300º tg 60º .

2 cos240º 21 1 1 1 1

. 2cos60º tg 60º . 2. 312 cos60º 2 22

-1 -1 + 23 1

QUESTÃO 19 A função real f(x) está representada no gráfico abaixo:





A expressão algébrica de f(x) é:

a) sen x , se x 0f(x)

cos x , se x 0

b)cos x , se x 0

f(x)sen x , se x 0

c) cos x , se x 0f(x)

sen x , se x 0

d)sen x , se x 0

f(x)cos x , se x 0

e)sen x, se x 0

f(x)cos x, se x 0

Resolução Sabendo que o gráfico de f(x) = cos x para x > 0 é:

E que o gráfico de f(x) = sen x para x < 0 é:

Assim o gráfico de f(x) |cos x| para x não-negativo e f(x) = |sen x| para x negativo éidêntico ao gráfico da função do problema.

QUESTÃO 20 A figura espacial representada abaixo, construída com hastes de plástico, é formada

por dois cubos em que, cada vértice do cubo maior é unido a um vértice correspondentedo cubo menor por uma aresta e todas as arestas desse tipo têm a mesma medida.Se as arestas dos cubos maior e menor medem, respectivamente, 8 cm e 4 cm, amedida de cada uma das arestas que ligam os dois cubos é





a) 6 2 cm

b) 3 2 cm

c) 2 3 cm

d) 4 3 cm e) 6 3 cm

Resolução Seccionando o cubo maior, contendo a diagonal de uma face, obtêm-se uma secçãoequivalente no cubo menor. Observe que em tal secção, as diagonais dos cubosestão presentes.Vista frontal da secção:

AE = GC = x (aresta pedida)

AE + EG + GC = AC

x + 4 3 + x = 8 3

2x = 4 3

x = 2 3 cm

QUESTÃO 21 Na figura abaixo, está representado um cubo em que os pontos T e R são pontosmédios de duas de suas arestas. Sabe-se que a aresta desse cubo mede 2 cm.

Assim, o volume do sólido geométrico definido pelos pontos PQRST, em cm3, é:

a) 2

3b) 4

3

c) 5

3d) 16

3

e)

32

3

Resolução Vide a figura:

ST

R

P Q

22

1

1cm

2cm

S

T

R

P Q

A B

CD

HG

FE

4 48 8

8 2

4 2

4 2





Considerar o polígono plano TSRQ como a base da pirâmide de vértice P.volume do sólido = volume da pirâmide

Então:

1

V AB .23

com AB = Área do quadrado que contém T, R e Q subtraído de dois triângulos:

2

T1

Q 2

R

1

Q

Assim:

2

V 4 234

V3

QUESTÃO 22 Se x é um número real positivo, então a sequência ( log 3 x, Iog3 3x, Iog3 9x) é:a) Uma Progressão Aritmética de razão 1.b) Uma Progressão Aritmética de razão 3.c) Uma Progressão Geométrica de razão 3.d) Uma Progressão Aritmética de razão log3 x.e) Uma Progressão Geométrica de razão Iog3 x.

Resolução (log3x, log33x, log39x)

Como o

, segue que

essa sequência é uma P.A. de razão 1.

QUESTÃO 23 Considere as seguintes afirmações:

I- Se dois planos α e β são paralelos distintos, então as retas r 1 α e r 2 β sãosempre paralelas.II- Se α e β são planos não paralelos distintos, existem as retas r 1 α e r 2 β tal quer 1 e r 2 são paralelas.III- Se uma reta r é perpendicular a um plano α no ponto P, então qualquer reta de αque passa por P é perpendicular a r.

3 3 3 3

3 3 33

3xlog 3x - log x = log log 3 1 e

x9x

log 9x log 3x log log 3 13x





Dentre as afirmações acima, é (são) verdadeira(s)a) Somente II. b) I e II.c) I e III. d) II e III.e) I, II e III.

Resolução I (F) Retas paralelas precisam estar num mesmo plano.II (V) Podem existir paralelas em planos não paralelos.III (V) Retas coplanares que se cruzam formando ângulo de 90º são perpendiculares.Verdadeiras II e III.

QUESTÃO 24 Considere um plano α e os pontos A, B, C e D tais que:

• O segmento AB tem 6 cm de comprimento e está contido em α.

• O segmento BC tem 24 cm de comprimento, está contido em α e é perpendicular a AB. • O segmento AD tem 8 cm de comprimento e é perpendicular a α.

Nessas condições, a medida do segmento CD é:a) 26 cm. b) 28 cm.c) 30 cm. d) 32 cm.e) 34 cm

Resolução

6

B

C

A

D

8

2 4

22 2

2

2

ÄC 6 24

ÄC 36 576

ÄC 612

2 2 2

2 2

2 2

2

2

2

CD AC AD

CD 612 8

CD 612 8

CD 612 64

CD 676

CD 26

QUESTÃO 25 O cosseno do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 14 horas e 30minutos vale:

a) 3 1

2

b) 2 1

2

c) 1 2

4

d) 6 2

4

e) 2 3

4





Resolução 12

6

39

10

11 1

2

4

57

8

15º

14:30h

Nota-se que cada minuto equivale a 6º.

Enquanto o ponteiro dos “minutos” percorre 12 volta, o ponteiro das “horas” percorrerá a

metade da distância entre 2 e 3. Assim, o ângulo procurado é dado por 90º + 15º = 105º.

cos 105 = cos (45 + 60) = 2 1 3 2

2 2 2 2

cos 105º = 6 22 6ou

4 4

QUESTÃO 26

O ponto 1P a,3

pertence à parábola 2y 3x

3 . A equação da reta perpendicular à

bissetriz dos quadrantes ímpares que passa por P é:a) 27x + 27y – 37 = 0b) 37x + 27y – 27 = 0c) 27x + 37y – 27 = 0d) 27x + 27y – 9 = 0e) 27x + 37y – 9 = 0

Resolução

Como 1P a,

3

pertence à parábola2y 3

x3

segue

21

3283

a3 27

.

Seja r é a reta perpendicular à bissetriz dos quadrantes ímpares. Com isso, vem que

mr = -1. Logo, a equação é dada por 1 28y 1 x

3 27

, isto é, 3y 1 27x 28

3 27

, ou

seja, 27x + 27y – 37 = 0.





QUESTÃO 27 A representação no sistema cartesiano ortogonal da equação 9x2 - y2 = 36x + 8y- 11 édada por:a) duas retas concorrentes. b) uma circunferência.c) uma elipse. d) uma parábola.

e) uma hipérbole.

Resolução 9x2 – y2 = 36x + 8y – 119x2 – 36x + 36 – y2 – 8y – 16 = - 11 + 36 – 16 9(x2 – 4x + 4) – (y2 + 8y + 16) = 99(x - 2)2 – (y + 4)2 = 9

(x - 2)2 -

2y 4

19

Hipérbole

QUESTÃO 28 Seja a função complexa P(x) = 2x3 - 9x2 + 14x - 5. Sabendo-se que 2 + i é raiz de P, ointervalo de números reais que faz P(x) < 0, para todo x I é:a) 1

,2

b) 0,1

c) 1,2

4

d) 0,

e) 1 3,

4 4

Resolução Como x1 = 2 + i é raiz, segue que x2 = 2 - i também.Com isso segue que p(x) é divisível por x2 - 4x + 5, pois 2+ i e 2 - i são raízes de x2 – 4x + 5.

3 2 2

3 2

2

2

2x 9x 14x 5 x 4x 5

2x 8x 10x 2x 1

x 4x 5

x 4x 5

0

Com isso, temos que 2x -1 =0, ou seja, 1x

2 também é raiz de P(x).

2

I II

P(x) (x -4x+5) (2x-1) 0

I + + + + + + + + + + +

II - - - - - - + + + + + +

S - +12

1

2

1S x R | x

2





QUESTÃO 29 A figura abaixo representa dois tanques cilíndricos, T1 e T2, ambos com altura h, e cujosraios das bases medem R e R 2 respectivamente. Esses tanques são usados paraarmazenar combustível e a quantidade de combustível existente em cada um deles é

tal que seu nível corresponde a

2

3 da altura.O tanque T1 contém gasolina pura e o tanque T2 contém uma mistura etanol-gasolina,com 25% de etanol.Deseja-se transferir gasolina pura do tanque T1 para T2 até que o teor de etanol namistura em T2 caia para 20%.Nessas condições, ao final da operação, a diferença entre a altura dos níveis de T1 e T2,será:

a) 1h

2

b) 1h

3

c) 1 h4 d) 1 h5

e) 1h

6

Resolução

No tanque (T2): G3

E (Antes de colocar mais gasolina)

No tanque (T2): G V4

E

(Depois de colocar mais gasolina)

Sabe-se que V = gasolina que sai de T1:

Então, G V V4 3 4 V EE E E

Assim:

22

2 2

2hR . x R 2 . 25%

32h 1 h

R . x R . 2 . . x3 4 3

(T1) (T2)

y

x

2h

3 2h3

(Volumes iguais)

2

2

2 2

R . x R 2 . y

h hR . 2 R . y y

3 6

A diferença entre os níveis é: 2h h h h

3 6 3 2

T1

R

T2

h

R 2





QUESTÃO 30 Na figura abaixo, dois vértices do trapézio sombreadoestão no eixo x e os outros dois vértices estão sobre ográfico da função real f(x) = logkx, com k>0 e k≠1. Sabe-se que o trapézio sombreado tem 30 unidades de

área; assim, o valor de k+p-q é:a) -20b) -15c) 10d) 15e) 20

Resolução f(x) = logk x1 = logk

p K = p

2 = logkq

K2

= q Então, p

2= q

2

y

x

1

p qh

r

Área = 30

(2 1)(q p)30

2

q – p = 20

Assim, p2 = 20 + p p2 – p – 20 = 0 = 81p = 5 ou p = - 4 De acordo com o gráfico, p > 0, p > 5.Finalmente, p = 5, q = 25 e K = 5.k + p – q = -15

2

y

x

1

p q



Resolução Comentada | EsPCEx 2011|2012

Matemática

ERRATAGabarito EsPCEx – Matemática 1º dia

Colégio Apogeu

Número da questão

Prova A Prova B Prova C

01 E B D 02 C E A 03 E C E 04 D E C 05 B C D

06 E D D 07 B D B 08 D D B 09 D E E 10 D C C 11 D E A 12 A D B

13 C B E 14 A C E 15 B A C 16 A B E 17 E B D 18 D D B 19 A A A 20 C C D

21 B B C 22 A A A 23 B D C 24 C A B 25 C D A 26 A A B 27 E E D 28 E A A

29 B A E 30 A B A

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