AulaTransformação Linear

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lgebra Linear

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Resumo

Transformaes lineares

Definio

Ncleo

Imagem

Transformaes Lineares

Definio

Relao entre espaos vetoriais

Preservao de operaes*

Aplicao linear ou Mapa linear


Definio

Uma transformao T de um espao vetorial E em um espao vetorial F ser denotada por

T: E F

v T(v)

Onde u E, v E; T(u) F, T(v) F.

i) T(u + w) = T(u)+ T(w)

ii) T(.u) = .T(u), R


Exemplo 1

Seja M2x2 o espao vetorial da matrizes de ordem 2 x2 a valores reais, e F o espao vetorial euclidiano R4. Seja

a transformao : T: M2x2 R4

Verifique que ela uma transformao linear

d

c

b

a

dc

baT )(


Exemplo 2

Seja M2x2 o espao vetorial da matrizes de ordem 2 x2 a valores reais, e F o espao euclidiano R, formado pela determinante de qualquer matriz de M2x2.

Seja a transformao : T: M2x2 F

A pertence a M2x2

Verifique que ela no transformao linear

)det()( AAT


Propriedades importantes Considere A e B duas transformaes lineares :

Ento A+B outra transformao linear.

A outra transformao linear.

Definio: Seja T: E E

v T(v), ento T chamado

de operador linear.

Exemplo: I: E E

v I(v)=v; I operador identidade.


Exemplo: Seja n, m dois espaos euclidianos

Arbitrrios.

A funo T: n m dita uma transformao linear se satisfizer as seguintes condies:

i) T(v + w) = T(v)+ T(w)

ii) T(.v) = .T(v),

Onde v=(v1,v2,..., vn); w=(w1,w2,..., wn)

e T(v)=z=(z1,z2,..., zm); T(w)=(y1,y2,.., ym)


ExemplosT: 2 2 (operador dilatao |k|>0, contrao 0


Mais exemplos

1. Seja TA : Rn Rm uma operao tal para todo

v Rn, T(v)= A v, onde Amxn uma matriz. Provar que ela uma T.L.

2. Provar que para toda T.L. entre dois espaos vetoriais, T(-u)= - T(u), T(u-v)=T(u)-T(v).

3. Defina geometricamente no plano a seguinte T.L. T: R2 R2 , T(v) = w, v = (x,y), w = (x+.y,y). V e w so vetores de R2.


Mais exemplo4.- Seja Pn o e.v. dos polinmios de grau maximo n. Seja

D : Pn Pnum operador derivada. Tal que

D(f) = f, para todo f de Pn e com as propriedades

usuais de derivao. Mostre que D e linear.

5.- Explique se T: 4 2 , T(x,y,z,w)=(x+y+1,z-w), uma transformao linear.

6.- Seja E=C0[a,b] , o espao vetorial das funes contnuas f: [a,b] . Podemos definir a funcional : E , mostre que ela

funcional linear dxxffb

a )()(


Continua7. Considere a matriz de rotao R(), tal que

V = R() V, onde V=(x,y) 2 e V=(x,y) 2

Esta matriz transforma o vetor V no vetor V ao realizar uma rotao do vetor V no ngulo ao redor do eixo Z. Sendo a matriz R

Mostre que a matriz de rotao R uma transformao linear

)cos()sin(

)sin()cos(R


Observao

Em toda transformao linear T: EF, tem-se que

T(0) = 0 (provar).

T(-u)= -T(u)

T(u - v)=T(u) T(v) para todo u,v EExerccio 8.- Seja L: 2 , L(x,y) = 2x + 4

uma transformao linear?

Exerccio 9.- F(u) = |u|2 uma transformao linear?,

u um vetor de Rn


Transformaes do plano no planoVamos apresentar uma viso geomtrica das transformaes lineares, dando alguns exemplos de transformaes do plano no plano.Expanso ou contrao uniforme:

T : R2 R2, R tal que T(u) = .u(x,y) (x,y)

Reflexo em torno do eixo x:T: R2 R2

(x,y) (x, -y) Reflexo na origem:

T: R2 R2

(x,y) (-x, -y)Rotao de um ngulo t no sentido anti horrio:

R: R2 R2 , R(x,y) (x cos t y sen t, y cos t + x sen t)


Continua... Reflexo em relao ao eixo y = x:

T : R2 R2, (x,y) (y,x) (verificar que uma reflexo)

Dilatao na direo x:T: R2 R2

(x,y) ( x, y) , 1< , nmero real. O cisalhamento do exerccio 3

T: R2 R2

(x,y) (x + y, y)Rotao no espao euclidiano R3

Rotao de um ngulo no sentido anti horrio ao redor do eixo +z:R(): R3 R3 , R(x, y, z) (x cos y sen , y cos + x sen ,z)


Teorema

Se T:EF uma transformao linear, {e1,e2,...,en} base de E e 1, 2,..., n so nmeros reais, ento:

T(1 e1+ 2 e2+... n en)=

1 T(e1)+ 2 T(e2)++ nT(en);

Provar que:

{T(e1),T(e2),...,T(em)} L.I. em F


Exemplo

1. Seja T: 3 2 uma transformao linear e B={v1,v2,v3} uma base do 3 , onde v1=(0,1,0), v2=(1,0,1) e v3=(1,1,0); determine T(V) sabendo que

V=(5,3,-2), T(v1)=(1,-2),T(v2)=(3,1) e T(v3)=(0,2).


Exemplo

2. Encontre, caso exista, T: 2 3 tal que T(1,1)=(3,-2,1) e T(0,-2)=(0,1,0).

Rpta: T(x,y)=(3x, -(3x+y)/2 , x)


Ncleo


Ncleo: Definio Seja T:EF, o ncleo de uma transformao linear esta formado pelos vetores de E tal que T(V)=0.

N(T)=Ker(T)={v E; T(v)=0}

O ncleo de T tambm e chamado de Kernel de T.

Importante:

N(T) um subespao vetorial de E (provar)

Exemplo: calcule o ncleo de T: R2 R2

T(x,y) = (x+y, 2x-y)


Imagem


Imagem

Seja T:EF

Imagem de uma transformao linear: conjunto de vetores w F que so imagens de pelo menos um vetor v E.

Im(T)= {w F; T(v)=w, para algum v E}

Provar que Im(T) subespao de F.


Teorema

Sejam E e F espaos vetoriais de dimenso finita e T:EF uma transformao linear, tem-se:

dim(E) = dim(N(T)) + dim(Im(T)),

Dim(N(T)) = nulidade da transformao linear.

Dim(Im(T))= Posto da transformao linear


Exemplos1.- Seja T: 3 3 , uma transformao linear

(x,y,z) T(x,y,z)=(x,y,0)

2.- Seja T: 2 , uma transformao linear(x,y) T(x,y)=x+y,

3. Seja a transformao linear T: 3 3 , onde T(x,y,z)=(x-y+2z , 2x+y-z , 3x+z).a) Determine o ncleo e a imagem de T em cada casso.

b) Determine a dimenso do ncleo e da imagem em cada casso.


Exemplo: Seja a transformao linear T: M2x2()M2x2(), definida por: T(x)=A x x A. Encontre o ncleo e a Imagem de T. A matriz A dada por :

Observe que x uma matriz de M2x2()

10

21A


Soluo:

Ncleo={x / T(x)=0}, ou seja A x x A = 0

A x = x A

Considerando

dc

bax

10

21

10

21

dc

ba

dc

ba

dcc

baa

dc

dbca

2

222


continuao:

Ncleo de T o subespao de M2x2() gerado pela base:

ad

badb

c

aca 22

0

2

00

10

10

01

0ba

a

bax

00

10,

10

01


continuao:

Imagem: Im(T)={ y / Y=T(x)}, y=A x x A. para algum x.

10

21

10

21

43

21

dc

ba

dc

ba

yy

yy

dcc

baa

dc

dbca

yy

yy

2

222

43

21

c

adc

yy

yy

20

222

43

21

00

20

20

02

00

20

43

21dca

yy

yy


Segue...

Como existem apenas dois vetores LI, a base da Imagem :

O conjunto imagem esta formado pelo espao gerado por estes 2 vetores

10

01

00

10

b

abba

010

01

00

10.I


Dim(E= M2x2())= 4

Dim(N(T))=2,

Dim(Im(T))=2, logo se verifica que

Dim(E)= 4= Dim((N(T))+ Dim(Im(T))


Exerccios importanteSeja T uma transformao linear de R3 em R3

tal que T: v T3x3 v (multiplicao matricial da matriz de T pelo vetor coluna v ). v= T v

Ou seja

a) Determine a ncleo e a imagem de Tb) Determine a dimenso do cada um deles.Resposta: Dim(N(T)) = 1, Dim(Im(T)) = 2

z

y

x

z

y

x

602

031

110

'

'

'


Exerccios Anton

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3-10, 12-14, 16

Pag. 266

1-8, 11

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