BC-0005Bases Computacionais da

CiênciaBases Computacionais da

Ciência

Aula 04Elaboração de Gráficos, Erros e

Santo André, março de 2009

Equipe de Professores de Bases Computacionais

Elaboração de Gráficos, Erros eAproximações de Funções

Roteiro desta aula

PARTE I – Utilização do BrOffice para Elaboração de Gráficos

• Elaboração de Gráficos de Dispersão Bidimensionais• Elaboração de Gráficos de Dispersão Bidimensionais• Linhas de tendência: regressão linear, logarítmica, exponencial e geométrica• Equação da curva de ajuste e função de correlação• Barras de erro: constante, percentual• Mudanças de escala

PARTE II – Exercícios Propostos

2

Elaboração de Gráficos (revisão) Suponha que determinado processo tenha como resultado um aumento de temperatura da água (ºC) ao longo do tempo (horas). As medidas foram tabeladas, como mostrado a seguir

Tempo (horas) Temperatura (ºC)

0 23

2 27

4 31

6 36

8 418 41

10 45

12 49

14 52

3

Gráfico de Dispersão

• Usando o BrOffice, selecione as colunas referentes aos dados de tempo e temperaturadados de tempo e temperatura

• Vá ao menu Inserir →Gráfico → XY (Dispersão)

• Série de dados em colunas e a primeira linha como rótulo

4

Elementos Gráficos

• Não exibir legenda. Colocar os rótulos (nomes) dos • Não exibir legenda. Colocar os rótulos (nomes) dos eixos x e y

• Exibir grades para os eixos x e y

5

Alteração das Dimensões

• As dimensões dos gráficos 60

• As dimensões dos gráficos podem ser alteradas conforme a necessidade

• Para a alteração das dimensões, use o mouse, alterando o tamanho do eixo x, do eixo y ou de

10

20

30

40

50

Te

mp

era

tura

(ºC

)

eixo x, do eixo y ou de ambos (diagonal)

6

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0

Tempo (horas)

Estatística dos Dados

• Para analisar dados adquiridos em um experimento sempre é aconselhável usar estatística, para melhor entendimento dos resultadosresultados• Com o gráfico selecionado, vá em Inserir → Linhas de Tendência

7

Linhas de Tendência

• As linhas de tendência procurarão ajustar uma curva analítica para a descrição dos dados (experimentais) da planilha

• As opções de linhas de tendência disponíveis no BrOffice são: • As opções de linhas de tendência disponíveis no BrOffice são: nenhuma (padrão: não mostra curva), linear, logarítmica, exponencial e geométrica

• Há também a opção de mostrar a equação de ajuste e o coeficiente R2

• O coeficiente R2 define quão boa é a curva de ajuste definida para os dados e varia boa é a curva de ajuste definida para os dados e varia de 0 a 1

• Quanto mais próximo de 1 for o coeficiente, melhor será a curva de ajuste

8

Curva de Tendência Linear

Equação de 50

60

O número de casas decimais Equação de

ajuste e Coeficiente R2

10

20

30

40

f(x) = 2,14286x + 23,00000R² = 0,99668

Te

mp

era

tura

(ºC

)decimais mostrado pelo BrOffice e o tamanho da fonte podem ser ajustados nas propriedades!

9

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0

R² = 0,99668

Tempo (horas)

propriedades!

Curva de Tendência Logarítmica

50

60

Observe que haverá sempre um

10

20

30

40

f(x) = 13,17043 ln(x) + 14,97380R² = 0,94434

Te

mp

era

tura

(ºC

)

haverá sempre um ajuste do tipo de curva escolhida que melhor se ajusta aos dados!

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0

R² = 0,94434

Tempo (horas)

Curva de Tendência Exponencial

50

60

10

20

30

40

f(x) = 24,22593·1,06094 x̂R² = 0,97947

Te

mp

era

tura

(ºC

)

11

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0

R² = 0,97947

Tempo (horas)

Curva de Tendência Geométrica

50

60

10

20

30

40

f(x) = 20,09878 x 0̂,34925R² = 0,97499

Te

mp

era

tura

(ºC

)

12

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0

R² = 0,97499

Tempo (horas)

Barras de Erro• Com o gráfico selecionado, vá em Inserir → Barras de Erro Y As opções mais comuns serão valor constante e valor percentual

13

Barra de Erro Constante

• Os erros aparecem sempre devido a imprecisões nas medidas dos dados. Pense, por exemplo, na medida de tempo, tomada com um cronômetro, que um objeto leva tempo, tomada com um cronômetro, que um objeto leva para percorrer determinada distância

• Nesse caso, a medida dependerá bastante da precisão com que o operador do cronômetro para o processo de contagem do tempo

• O erro de um determinado instrumento é sempre suposto como sendo metade de sua menor divisão, para mais ou • O erro de um determinado instrumento é sempre suposto como sendo metade de sua menor divisão, para mais ou para menos. No caso do termômetro do exemplo ter divisões de 1 ºC, seu erro será de 0,5 ºC

14

Barras de Erro de 0,5 ºC

Observe se a curva ajustada se

50

60

curva ajustada se encontra no intervalo definido pelas barras de erros!

10

20

30

40

f(x) = 2,14286x + 23,00000R² = 0,99668

Te

mp

era

tura

(ºC

)

15

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0

R² = 0,99668

Tempo (horas)

Barras de Erro de 5 ºC

Nesse caso, as barras de

50

60

Apenas para melhor

as barras de 5 ºC só fariam sentido se o termômetro tivesse precisão de 10 ºC!!

10

20

30

40

f(x) = 2,14286x + 23,00000R² = 0,99668

Te

mp

era

tura

(ºC

)melhor visualizar as barras de erros, estas foram alteradas para 5 ºC!

10 ºC!!

16

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0

R² = 0,99668

Tempo (horas)

alteradas para 5 ºC!

Barra de Erro Percentual

• O erro percentual depende da grandeza que está sendo medidaO erro percentual depende da grandeza que está sendo

medida

• Isso tende a causar erros grandes quanto maiores forem as leituras do equipamento, o que pode ser evidenciado pelo gráfico a seguir, onde são mostrados os dados do nosso termômetro de exemplo com erros de 5% (diferente de 5ºC !) sobre a medida 5ºC !) sobre a medida

17

Barra de Erro Percentual

Note que para valores

50

60

para valores maiores de temperatura, as barras de erros são também maiores.

10

20

30

40

f(x) = 2,14286x + 23,00000R² = 0,99668

Te

mp

era

tura

(ºC

)

18

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0

R² = 0,99668

Tempo (horas)

Barra de Erro Padrão• O erro padrão (parâmetro estatístico que será abordado em aula futura) também pode ser usado para a descrição dos erros no BrOffice, assim como o desvio padrão e a variância

60

20

30

40

50

60

Te

mp

era

tura

(ºC

)

19

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0

10 f(x) = 2,14286x + 23,00000R² = 0,99668

Tempo (horas)

Linhas de Tendência com Gráfico de Barras

• O uso de linhas de tendência pode ser feito também com • O uso de linhas de tendência pode ser feito também com outros tipos de gráficos, como os gráficos de barras

6

8

10

12

14

16

Empresa A

Regressão

linear de

Empresa A

Empresa B

Lu

cro

Ap

ura

do

(m

ilhõ

es

de

R$

)

6

8

10

12

14

16

Empresa A

Regressão

logarítmica

de Empresa

A

Lu

cro

Ap

ura

do

(m

ilh

õe

s d

e R

$)

2004 2005 2006 2007 2008

0

2

4

6 Empresa B

Regressão

linear de

Empresa B

Ano

Lu

cro

Ap

ura

do

(m

ilhõ

es

de

R$

)

2004 2005 2006 2007 2008

0

2

4

6 Empresa B

Regressão

logarítmica

de Empresa

B

Ano

Lu

cro

Ap

ura

do

(m

ilh

õe

s d

e R

$)

Regressão Linear Regressão Logarítmica20

Problema com Escalas• A tabela a seguir representa os resultados de probabilidade de Bloqueio em duas Redes de Comunicação • Esses dados são apresentados em um gráfico de linhasEsses dados são apresentados em um gráfico de linhas

Carga na Rede (%)

Probabilidade de Bloqueio

Rede A Rede B

0.2 8,00E-002 7,63E-003

0.4 2,43E-001 8,00E-002

0.6 4,30E-001 2,83E-001

0.8 6,70E-001 4,58E-001 3,00E-001

4,00E-001

5,00E-001

6,00E-001

7,00E-001

8,00E-001

Rede A

Rede B

Pro

ba

bilid

ad

e d

e B

loq

ue

io

0.8 6,70E-001 4,58E-001

• Note que a escala linear não permite a visualização correta da significância de um dos dados!!

0.2 0.4 0.6 0.8

0,00E+000

1,00E-001

2,00E-001

3,00E-001 Rede B

Carga na Rede

Pro

ba

bilid

ad

e d

e B

loq

ue

io

21

Mudança de Escala• A escala linear não é adequada para a apresentação de dados com ordens de grandeza muito diferentes • Nestes casos deve-se optar por uma mudança de escala

• Selecione o eixo para o qual a escala será alterada (Ex: Eixo Y – dê dois cliques sobre o Eixo Y) • Uma caixa de diálogo com todas as características do Eixo Y será apresentada 22

Escala Logarítmica• Na aba Escala, selecione a opção Escala do logaritmo.

1,00E+000

1,00E-002

1,00E-001

1,00E+000

Rede A

Rede B

Pro

ba

bilid

ad

e d

e B

loq

ue

io

0.2 0.4 0.6 0.8

1,00E-003

Carga na Rede (%)

Pro

ba

bilid

ad

e d

e B

loq

ue

io

23

Comparação Escala Linear X Logarítmica

8,00E-001 1,00E+000

1,00E-001

2,00E-001

3,00E-001

4,00E-001

5,00E-001

6,00E-001

7,00E-001

Rede A

Rede B

Pro

ba

bilid

ad

e d

e B

loq

ue

io

1,00E-002

1,00E-001

1,00E+000

Rede A

Rede B

Pro

ba

bilid

ad

e d

e B

loq

ue

io0.2 0.4 0.6 0.8

0,00E+000

1,00E-001

Carga na Rede

Pro

ba

bilid

ad

e d

e B

loq

ue

io

0.2 0.4 0.6 0.8

1,00E-003

Carga na Rede (%)

Pro

ba

bilid

ad

e d

e B

loq

ue

io

Escala Linear Escala Logarítmica24

Dados melhor visualizados em Escala Logarítmica, mas apresentados em Escala Linear

20000

30000

40000

50000

60000

y

10 100 1000 10000 100000

0

10000

x

Atenção especial para os valores dos dados!!!Note que a Escala do Eixo X já é logarítmica.

25

Escala Log x Log

100000

10

100

1000

10000y

10 100 1000 10000 100000

1

x

Melhor apresentação dos valores reais!

26

Concluindo...

o Nesta aula discutimos alguns pontos importantes da visualização de dados usando gráficos. Estes pontos visualização de dados usando gráficos. Estes pontos são:

• Elementos (eixos e legendas) • Tamanho• Aproximação de Funções• Curvas de Erros• Escalas• Escalas

27

ExercíciosExercício de Sala de Aula: Dado um conjunto de dados que representam os resultados de exames de saúde obtidos de um grupo de 40 homens (Tabela 1):

1- Faça dois gráficos de dispersão do IMC x Peso, atribuindo errosde 5 e 10% para o IMC2- Para cada um dos gráficos trace linhas de tendência linear,logarítmica, exponencial e geométrica3- Discuta a equação da curva de ajuste e o coeficiente R2 paratodos os ajustes realizados

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Exercício para casa: Dado o conjunto de dados que relaciona massa com diâmetro em um experimento de dimensão fractal (Método utilizado paramedir comprimentos, áreas e volumes fragmentados) (Tabela 2):

1- Faça um gráfico linear da massa (M) x diâmetro (D) 2- Faça um gráfico (“loglog”) da massa (M) x diâmetro (D) 3- Converta os dados da tabela em log(M) e log(D) e faça um gráficolinear dos dados convertidos3- Converta os dados da tabela em log(M) e log(D) e faça um gráficolinear dos dados convertidos4- Determine a dimensão fractal, dado pelo coeficiente angular da retado gráfico de logM x LogD

Obs.: A dimensão fractal é dada pela relação:

M ~ Ddf

onde M e D correspondem à massa e ao diâmetro medidosrespectivamente. Ao fazer um gráfico “loglog” da massa em função do D respectivamente. Ao fazer um gráfico “loglog” da massa em função do D temos que:

log (M) = df. log (D)

Desta forma, se o gráfico “loglog” for uma reta descrita por uma equaçãodo tipo: y= A.x+ B, o valor da dimensão fractal será dado por A

29

Tabela 1

30

D (mm) M(g)

2 10,56

4 111,43

5 237,96

8 1176,27

10 2511,89

12 4668,92

14 7885,61

Tabela 2

14 7885,61

16 12416,75

18 18532,18

20 26515,63

22 36663,77

24 49285,39

26 64700,76

28 83241,00

30 105247,62

32 131072,00

34 161075,07

31

34 161075,07

36 195626,87

38 235106,28

40 279900,69

42 330405,74

44 387025,07

46 450170,08

48 520259,73

50 597720,31