BIZU- Raciocínio Lógico e Estatistica

7/18/2019 BIZU- Raciocínio Lógico e Estatistica

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BIZU PARA STNPROFESSOR: GUILHERME NEVES

Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 1

Olá, pessoal!

Meu nome é Guilherme Neves e estou ministrando os cursos de RaciocínioLógico Quantitativo e Estatística para o concurso do STN.

Este concurso do STN foi muito conturbado principalmente pelas mudanças (eque mudanças!!) no conteúdo programático.

Vou em algumas páginas dizer o que eu acho de mais importante nosprincipais assuntos.

Comecemos com Raciocínio Lógico puramente dito. Você precisa memorizar asprincipais equivalências lógicas e negações de proposições compostas.Baseado no que a ESAF vem fazendo nos últimos concursos, sugiro também

que você treine a construção de tabelas-verdade, isto porque eles agoracostumam cobrar algumas equivalências enormes. Eu escrevi um artigo naparte aberta do Ponto explicando como resolver estas questões. Acessehttp://cursos.pontodosconcursos.com.br/admin/imagens/upload/8626_D.pdf .

Ainda em relação às estruturas lógicas, você tem a obrigação de saber resolverquestões de lógica de argumentação (envolvendo, principalmente, osconectivos “ou” e “se..., então...”).

Para concluir Raciocínio Lógico, você tem que treinar muito a resolução dequestões envolvendo “verdades e mentiras” e os problemas de associaçãológica.

Uma dica muito importante em problemas de verdades e mentiras é aseguinte:

Guilherme diz: “Thiago é culpado”.

Abelardo diz: “Guilherme está mentindo”.

Ora, se Guilherme estiver dizendo a verdade, Abelardo estará mentindo ao

chamar Guilherme de mentiroso. Se Guilherme estiver mentindo, Abelardoestará dizendo a verdade ao chamar Guilherme de mentiroso.

Conclusão: Se em alguma questão uma pessoa A chamar a pessoa B dementirosa, ou dizer que ela não tem razão, ou que está enganada, teremosuma pessoa veraz e uma pessoa mentirosa. É impossível termos dois verazesou dois mentirosos.

Vamos falar de trigonometria?

â = âℎ





â = âℎ

â =â

â

As razões trigonométricas dos ângulos 30º, 45º e 60º aparecem com bastantefrequência em problemas de trigonometria. Por esta razão, vamos apresentaressas razões na forma fracionária.

30º 45º 60º

Seno √

√

Cosseno √ √

Tangente √ √

Importantíssimo também saber as seguintes relações:

+

= 1

=

Essas duas fórmulas que são válidas para quaisquer ângulos (desde que atangente exista).

Relembre também os sinais das funções trigonométricas:

Função Sinal

SENO

COSSENO





Função Sinal

TANGENTE

O quadro acima significa, por exemplo, que a tangente de um arco que seencontra no terceiro quadrante é positiva.

O cosseno de um arco que se encontra no segundo quadrante é negativo.

O seno de um arco que se encontra no quarto quadrante é negativo.

Para calcular as razões trigonométricas dos arcos nos outros quadrantes,precisamos memorizar alguns valores e conhecer algumas fórmulasimportantes.

Arco Seno Cosseno Tangente0 0 1 0

90º 1 0 Não existe180º 0 -1 0270º -1 0 Não existe360º 0 1 0

Observe que sabendo os valores do seno e do cosseno, automaticamentepodemos calcular a tangente, lembrando que a tangente é a divisão do senopelo cosseno.Lembre-se ainda que o maior valor que o seno e o cosseno podemassumir é 1 e o menor valor que o seno e o cosseno podem assumir é−.

Memorize ainda estas fórmulas para a prova!! + = ∙ cos + ∙ cos − = ∙ cos − ∙ cos cos + = cos ∙ cos − ∙

cos − = cos ∙ cos + ∙ Veja, por exemplo, o que a ESAF fez no concurso da CGU em 2012.

(AFC-CGU 2012/ESAF) Calcule o determinante da matriz:

%cos& && cos&' a) 1b) 0

c) cos 2xd) sen 2xe) sen (x/2)





Ora, sabemos que o deteminante de uma matriz quadrada de ordem 2 é adiferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto doselementos da diagonal secundária.

%cos& && cos&'

Assim, o determinante será igual a & − &. “Guilherme, esta expressão não está nas alternativas!”

Está sim, amigo. Ela está “camuflada”. As alternativas A e B pode serdescartadas.

Eu disse que você precisava memorizar as fórmulas de adição. Então vejabem:

cos& + ( = cos& ∙ cos( − & ∙ ( A letra C fala no cos 2x. Assim, cos (2x) = cos (x + x). Ou seja, devemossubstituir y por x na fórmula acima.

cos& + ) = cos& ∙ cos) − & ∙ )

cos2& = & − & E a resposta fica na letra C.

A ESAF tem essa mania de misturar questões de Trigonometria comDeterminantes.

E falando em Determinantes, você deve aprender algumas propriedadesimportantes. Ei-las:

i) Se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de umamatriz M de ordem n forem todos nulos, então det M = 0.ii) Se uma Matriz M tem duas filas paralelas (duas linhas ou duascolunas) formadas por elementos respectivamente iguais, então det M= 0.

iii) Se uma matriz M tem duas filas paralelas (duas linhas ou duascolunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais,então det M = 0.

iv) Se uma matriz quadrada M tem uma linha (ou coluna) que écombinação linear de outras linhas (ou colunas), então det M = 0.





v) Se é uma matriz quadrada de ordem n e , é a sua transposta,então -./ = -./,.vi) Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A de ordem n

por um número real 0, o determinante da nova matriz será o produtodo determinante de A pelo número 0.

vii) Se uma matriz quadrada A de ordem n for multiplicada por umaconstante k, então o seu determinante será

-./0 ∙ = 0 ∙ -./ viii) Considere uma matriz quadrada de ordem maior ou igual a 2. Setrocarmos a posição de duas filas paralelas (ou duas linhas ou duas

colunas), então o determinante da matriz troca de sinal.

ix) O determinante de qualquer matriz identidade é igual a 1.

E, finalmente, o Teorema de Binet: Se e são matrizes quadradas de ordemn, então:

det = det ∙ det

(AFRFB 2012/ESAF) As matrizes, A, B, C e D são quadradas de quarta ordem.A matriz B é igual a 1/2 da matriz A, ou seja: B = 1/2 A. A matriz C é igual amatriz transposta de B, ou seja: C = Bt. A matriz D é definida a partir damatriz C; a única diferença entre essas duas matrizes é que a matriz D temcomo primeira linha a primeira linha de C multiplicada por 2. Sabendo-se que odeterminante da matriz A é igual a 32, então a soma dos determinantes dasmatrizes B, C e D é igual a

a) 6b) 4c) 12d) 10

e) 8

Resolução

Sabemos que o determinante da matriz A é igual a 32.

As matrizes são de quarta ordem.Se uma matriz quadrada A de ordem n for multiplicada por uma constante k,então o seu determinante será

det6 ∙ = 67

∙ det

Desta forma podemos calcular o determinante da matriz B.





det = det12 ∙ = 129 ∙ det = 11 ∙ 32 = 2 A matriz C é a transposta da matriz B. Como o determinante de uma matriz e

o determinante da sua transposta são iguais, então det C = det B = 2.A matriz D é definida a partir da matriz C; a única diferença entre essas duasmatrizes é que a matriz D tem como primeira linha a primeira linha de Cmultiplicada por 2.

Quando multiplicamos a primeira linha de C por 2, o seu determinante tambémé multiplicado por 2. Concluímos que det D = 2 x 2 = 4.

A soma dos determinantes das matrizes B, C e D é igual a 2 + 2 + 4 = 8.

Letra E

Aproveitando que falamos sobre determinantes, falemos um pouquinho sobreSistemas Lineares. A ESAF se interessa na classificação de sistemas lineares. Ehá um resuminho muito bom para resolver esse tipo de questão (vou falar emsistemas de 3ª ordem, mas ele também pode ser aplicado para sistemas de 2ªordem!).

Considere um sistema linear em que o número de incógnitas é igual ao númerode equações.

<& + ( + = 6>& + ( + ? = 6& + ℎ( + = 6@ Estamos considerando que as incógnitas são as letras &( .Os determinantes a seguir podem ser calculados com os coeficientes e com ostermos independentes. Chamaremos de B o determinante da matriz formadapelos coeficientes das incógnitas.

No caso do sistema de terceira ordem:

B = C ? ℎ C Chamaremos de BD o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes,substituindo a coluna do & pelos termos independentes. No caso,substituiremos a primeira coluna (a do

&) pelos termos independentes

(6> 6 …). E, analogamente, definimos BF e BG.No caso de sistemas de terceira ordem, temos:





BD = C6> 6 ?6@ ℎ C BF = C 6> 6 ? 6@ CBH = C

6> 6 ℎ 6@C O Teorema de Cramer afirma que se I ≠ K, então o sistema é possível edeterminado.

Se D = 0, há duas possibilidades a considerar:

Se todos os outros determinantes associados ao sistema forem iguais a 0, ouseja, BD = BF = ⋯ = então o sistema é possível e indeterminado.

Se pelo menos um dos outros determinantes associados ao sistema fordiferente de 0, então o sistema é impossível.

Em suma, se você estiver trabalhando em um sistema de equações comnúmero de equações igual ao de incógnitas, então ele pode ser:

Possível e determinado, se B ≠ . Possível e indeterminado, se B = BD = BF = ⋯ = Impossível, se B = e existir algum BN ≠ .Um sistema linear homogêneo sempre admite solução. Portanto temos duas

possibilidades: ser possível e determinado ou ser possível e indeterminado.Basta calcular o valor de B.

O sistema é possível e determinado se B ≠ .O sistema é possível e indeterminado se B = .Na prova para AFRFB/2012, a ESAF exigiu a solução de um sistema linearutilizando o teorema de Cramer. Veja:

(AFRFB 2012/ESAF) Considere o sistema de equações lineares dado por:

< & + ( + = & − ( +O = 2O& + 2( + = −1 Sabendo-se que o sistema tem solução única para O ≠ e O ≠ 1, então o valorde x é igual a

a) 2/rb) -2/rc) 1/r





d) -1/re) 2r

Resolução

Aplicação direta do teorema de Cramer.

De acordo com Cramer, temos que x = Dx/D.

BD = C 1 12 −1 O− 1 2 1C = −O + 1

B = C1 1 11 −1 O

O 2 1

C = O − O

E assim ficamos com:

& = BDB = −O + 1O − O = −O − 1OO − 1 = −1O Letra D

E vamos falar sobre combinatória? A ESAF é muito boa neste assunto. Sãoquestões objetivas e “clássicas”. Revise principalmente as questõesenvolvendo permutações (com agrupamento de alguns elementos) e questõesenvolvendo combinações. Assuntos como, por exemplo, permutaçõescirculares, são pouco importantes. O estilo da próxima questão é muito comumna ESAF.

(AFT-MTE 2010/ESAF) O departamento de vendas de uma empresa possui 10funcionários, sendo 4 homens e 6 mulheres. Quantas opções possíveis existempara se formar uma equipe de vendas de 3 funcionários, havendo na equipepelo menos um homem e pelo menos uma mulher?a) 192.b) 36.c) 96.d) 48.e) 60.

Vamos imaginar inicialmente que não há restrições no problema. Temos umtotal de 10 funcionários para escolher 3 para uma equipe de vendas.Obviamente em uma equipe de vendas não há ordem entre os elementos. Porexemplo, a equipe formada por Karine, Guilherme e Moraes é a mesma equipeformada por Moraes, Karine e Guilherme.





Desta forma, o número total de equipes (sem restrições) é igual a:

P>Q@ = 1 ∙ ∙ 83 ∙ 2 ∙ 1 = 12T

Vamos agora retirar as equipes que não nos interessa. O problema exige quecada equipe tenha pelo menos um homem e pelo menos uma mulher.Portanto, não nos interessa equipes formadas exclusivamente por homensassim como equipes formadas exclusivamente por mulheres.

UT?OOℎ:P9@ = 4 ∙ 3 ∙ 23 ∙ 2 ∙ 1 = 4T UT?OOℎO:PX@ = ∙ 5 ∙ 43 ∙ 2 ∙ 1 = 2T

O número de equipes pedido é igual a 12 − 4 − 2 = .Poderíamos seguir a seguinte linha de raciocínio:

Se o problema pede que cada equipe tenha pelo menos um homem e pelomenos uma mulher, então temos duas possibilidades:

i) Equipes com 1 homem e 2 mulheres

P9>

∙ PX

=41 ∙

∙ 52 ∙ 1 = T

ii) Equipes com 2 homens e 1 mulher

P9 ∙ PX> = 4 ∙ 32 ∙ 1 ∙ 1 = 3T O total é igual a + 3 = equipes. Letra C

E o que precisamos treinar em probabilidade? Relembre os problemasenvolvendo probabilidade condicional!! A ESAF adora este tipo de questão.Vejamos um exemplo:

(MPU 2004/ESAF) Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa.Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidadede Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje emParis é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje emParis é 1/7. Carlos, então, recebe um telefonema de Ana informando que elaestá hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlosagora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hojeem Paris é igual a

a) 2/3b) 1/7





c) 1/3

d) 5/7

e) 4/7

Resolução

Primeiro vamos resolver sem a fórmula. Vamos imaginar a seguinte situação.

Ana sempre vai a Paris na segunda, terça e quarta.

Beatriz sempre vai a Paris na quarta e quinta.

Carlos sabe dessas informações. Só que Carlos ficou tanto tempo estudandopara concurso, sem parar, que perdeu a noção do tempo e não sabe que dia éhoje.

Para ele, a probabilidade de hoje ser segunda é de 1/7. E de ser terça tambémé 1/7. Idem para qualquer outro dia da semana. Além disso, a probabilidadede Ana estar hoje em Paris é de 3/7 (casos favoráveis: segunda, terça equarta).

A probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é de 2/7 (casos favoráveis:quarta e quinta).

A probabilidade de ambas estarem hoje em Paris é de 1/7 (caso favorável:quarta)

Ana informa a Carlos: hoje estou em Paris. Carlos conclui: com certeza hoje sópode ser ou segunda, ou terça ou quarta.Ou seja, agora temos três casos possíveis: Segunda, terça, quarta.

E Carlos está interessado nos dias em que Beatriz também vai estar em Paris.Só tem um caso favorável: quarta feira.

Caso favorável: Quarta.

Logo, a probabilidade de Beatriz estar em Paris, dado que Ana está em Paris,é:

3

1= P

Gabarito: C

Agora vamos usar a fórmula. Seja “ A” o evento que ocorre quando,escolhendo-se um dia da semana ao acaso, ele é um dia em que Ana está emParis. Seja “B” o evento análogo, referente aos dias em que Beatriz está emParis.

O exercício disse que:

7/3)( = A P

7/2)( = B P 7/1)( =∩ B A P





E foi pedido:

?)( = A B P

Usando a fórmula:

3

1

7/3

7/1

)(

)()( ==

∩=

A P

A B P A B P

Recentemente resolvi uma questão muito interessante de probabilidade doconcurso do Ministério da Integração em 2012. Acessehttp://www.pontodosconcursos.com.br/artigos3.asp?prof=249&art=8637&idpag=1 .

A ESAF surpreendeu aumentando assustadoramente o conteúdo de Estatística.Então temos que ser eficazes na hora de estudar. Distribuições deProbabilidade (discretas e contínuas), intervalos de confiança, testes dehipóteses, correlação/regressão e análise de variância são os principaisassuntos.

(AFRFB 2009 ESAF) Em um experimento binomial com três provas, aprobabilidade de ocorrerem dois sucessos é doze vezes a probabilidade deocorrerem três sucessos. Desse modo, as probabilidades de sucesso e fracassosão, em percentuais, respectivamente, iguais a:a) 80 % e 20 %b) 30 % e 70 %

c) 60 % e 40 %d) 20 % e 80 %e) 25 % e 75 %

Resolução

Chamamos de k o número de sucessos. Assim, se o número de sucessos é 2,então k = 2. Se o número de sucessos é igual a 3, então k = 3.

A probabilidade de ocorrerem dois sucessos é indicada por P(X=2) e a

probabilidade de ocorrerem três sucessos é indicada por P(X=3). Como sãotrês tentativas (três provas), então n=3.

O problema nos disse que a probabilidade de ocorrerem dois sucessos é igual adoze vezes a probabilidade de ocorrerem três sucessos.Algebricamente, Z [ = 2 = 12 ∙ Z[ = 3 Aplicamos a fórmula do teorema binomial que diz que a probabilidade de em nprovas obtermos k sucessos é dada por

%6' ∙ \ ∙ T7]\ = %6' ∙ \ ∙ 1 − 7]\ Assim,





%32' ∙ ∙ 1 − > = 12 ∙ %33' ∙ @ ∙ 1 − Q Observe que (1-p)0 é igual a 1, e que %3

3' = 1.

31 − = 12³ 3 ∙ ∙ ∙ 1 − = 12 ∙ ∙ ∙

Cortando... 3 ∙ 1 − = 12 ∙ 3 − 3 = 12

15 = 3 = 15 = 2

Obviamente, se a probabilidade de obter um sucesso é de 20%, aprobabilidade do fracasso é de 80%.

Letra D

(AFRFB 2009 ESAF) O número de petroleiros que chegam a uma refinariaocorre segundo uma distribuição de Poisson, com média de dois petroleiros pordia. Desse modo, a probabilidade de a refinaria receber no máximo trêspetroleiros em dois dias é igual a:

a) 432

73e−

b) 43

71e

c) 471

3e−

d) 271

3e−

e) 232

3e−

Resolução

A média é de dois petroleiros por dia. Devemos calcular a média para 2 dias.Obviamente a média será de 4 petroleiros a cada 2 dias. Logo λ=4.Lembre-se da fórmula:

Z [ = 6 = ]` ∙ a\6!





Z [ ≤ 3 = Z [ = + Z [ = 1 + Z [ = 2 + Z [ = 3

Z [ ≤ 3 =]9 ∙ 4Q

! +]9 ∙ 4>1! +

]9 ∙ 42! +

]9 ∙ 4@3!

Z [ ≤ 3 = ]9 + 4 ∙ ]9 + 8 ∙ ]9 + 32 ∙ ]93

Z [ ≤ 3 = 3]9 + 12]9 + 24]9 +32]93 = 1]93

Letra C

Por fim, treine questões sobre intervalos de confiança e testes de hipóteses.Treine bem as questões envolvendo distribuição de qui-quadrado. O tipo dequestão a seguir é muito cobrado na ESAF.

(AFT 2010/ESAF) Em uma amostra aleatória simples de 100 pessoas de umapopulação, 15 das 40 mulheres da amostra são fumantes e 15 dos 60 homensda amostra também são fumantes. Desejando-se testar a hipótese nula de quenesta população ser fumante ou não independe da pessoa ser homem oumulher, qual o valor mais próximo da estatística do correspondente teste dequi-quadrado?

a) 1,79.

b) 2,45.

c) 0,98.

d) 3,75.

e) 1,21.

Resolução.

Frequencias observadas:Fumante Não-

fumanteTotal

Homem 15 45 60mulher 15 25 40Total 30 70 100

No geral, temos 30% de fumantes.

Se a proporção de fumantes for a mesma entre homens e mulheres, entãoesperaríamos ter 30% de fumantes em cada grupo.

Frequencias esperadas:





Fumante Não-fumante

Total

Homem 18 42 60mulher 12 28 40

Total 30 70 100

Para cálculo da estatística teste, fazemos o seguinte:

- subtraímos as frequências observadas das esperadas

- elevamos ao quadrado

- dividimos pela frequência esperada

- somamos todos os resultados acima indicados.

A estatística teste fica:

= 1,79

Gabarito: A

Ficamos por aqui. Um forte abraço, bons estudos e uma ótima prova a todos.Que Deus os acompanhe.

Guilherme Neves

28

)2825(

42

)4245(

12

)1215(

18

)1815( 2222 −+

−+

−+

−

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