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Brenno Gustavo Barbosa
Thiago Schiavo Mosqueiro
Relatório28/03/2008
Este fenômeno foi inicialmente descritopelo inglês Frederick Guthrie em 1873.
Ele notou comportamentos diferenciadospara esferas de metal carregadas comtemperaturas muito elevadas, relativo a suadescarga.
O efeito termiônico foi acidentalmenteredescoberto por Thomas Edison em 1880,enquanto tentava descobrir a razão para aruptura de filamentos da lâmpadaincandescente.
O físico britânico John Ambrose Fleming,descobriu que o efeito poderia ser usadopara detectar ondas de rádio. Flemingtrabalhou no desenvolvimento de um tubode vácuo de dois elementos, conhecidocomo diodo.
Owern Willians Richardson trabalhou comemissão termiônica e recebeu o prêmioNobel em 1928 em função de seu trabalhoe da lei que leva seu nome.
Edison construiu um bulbo com a superfícieinterior coberta com uma folha de metal.Conectou a folha ao filamento da lâmpada aum galvanômetro. Quando na folha foi dadauma carga mais negativa do que a dofilamento, nenhuma corrente fluiu entre afolha e o filamento porque a folha friaemitiu poucos elétrons. Entretanto, quandona folha foi dada uma carga mais positivado que a do filamento, muitos elétronsemissores do filamento quente foramatraídos à folha, fazendo com que acorrente fluisse. Este fluxo de sentido únicoda corrente foi chamado de efeito Edison.Edison não viu nenhum uso para esteefeito, embora o patenteasse em 1883.
Possível imagem do físico britânicoFrederick Guthrie(1833 – 1886).
Vamos propor um modelopara a situação pesquisadapor Thomas Edison.
Um possível modelo utilizadopara explicar a emissãotermiônica baseia-se noModelo do Drude e naestátistica de Fermi-Dirac.Este modelo é conhecido comoModelo do Elétron Livre.
Nesse modelo consideramosum volume finito comcondições periódicas decontorno.
O modelo em questãoapresenta inúmeras limitaçõespor considerar os elétronstotalmente livres no interiordo material.
,
1)()(
exp
1)(
Tk
Tkkf
B
v
v
onde µ(T) é o potencial químico atemperatura T, que obedece a relação
.)(lim0
vFT
T
A energia do elétron livre é dada por
.2
)(22
m
kkv
Para encontrar valores médios utilizamos
.).().(8
1 3
3 k
v kdkfkFF
A distribuição de Fermi-Dirac nessemodelo pode ser escrita como
O modelo que estamos considerandonão leva em consideração o que ocorrena superfície dos metais.
Num modelo mais apurado paradescrever esta superfície devemos levarem consideração as distorções dadistribuição de carga.
Se a distribuição fosse periódicaidealizada a energia necessária pararemover um elétron seria dada por
,F
,sW
mas, como a distribuição apresentairregularidades, é necessário inserir umtermo de correção
para levar em consideração o trabalhofeito contra os campos adicionais.
A função trabalho (energianecessária para retirar um elétrondos campos adicionais) é definidacomo:
e
WS:
,F
,sW
mas, como a distribuição apresentairregularidades, é necessário inserir umtermo de correção
para levar em consideração o trabalhofeito contra os campos adicionais.
A função trabalho (energianecessária para retirar um elétrondos campos adicionais) é definidacomo:
e
WS:
O modelo que estamos considerandonão leva em consideração o que ocorrena superfície dos metais.
Num modelo mais apurado paradescrever esta superfície devemos levarem consideração as distorções dadistribuição de carga.
Se a distribuição fosse periódicaidealizada a energia necessária pararemover um elétron seria dada por
A energia dos elétrons de valênciaque deixam o metal é dada por,
.2
)(22
em
kkv
Colocando essa expressão nadistribuição de Fermi-Dirac obtemos
Lembrando da relação anterior econsiderando baixas temperaturas
,
12
exp
1)(
22
TkWm
kkf
BS
v
.2
exp)(22
TkW
m
kkf Bv
Supondo que os elétrons sãoemitidos na direção x podemosescrever a densidade de correntecomo
,).(8
2
0
3
3
xk
vx kdkf
m
kej
O que resulta na lei de Richardson-Dushman,
.4 2
3
2Tk
W
BeTemk
j
Considerando uma região doespaço com uma certa distribuiçãode carga ρ (carga espacial),podemos utilizar as três equaçõesa seguir para deduzir umaequação que rege o potencial V(x)entre as placas,
),(2
1)(
,)(
,4)(
2
2
2
xeVmviii
A
IvJii
dx
Vdi
Manipulando essas expressõesobtemos
.4
,2
1
2
2
e
m
A
IK
KVdx
Vd
As condições de contorno para oproblema são
.0)0()(
,)()( 0
dx
dVii
VdVi
Ao resolvermos a equaçãodiferencial, obtemos
2
2
3
9
2
d
V
m
ej
Propomos a seguir umamontagem experimental paraverificação do modelo.
O cátodo 3 estará a umatemperatura elevada emrelação ao ânodo 5. Em 4,observamos o filamentocatódico responsável peloaquecimento e emissão deelétrons.
1: Conexão do cátodo.
2: Espelho responsável pormanter o vácuo.
6: Conexão do ânodo.
A foto acima é meramenteilustrativa: as espiras não serãousadas no experimento.
O filamento, aquecido pela diferença de potencial Uf(aproximadamente 6,3V), emite elétrons, gerandouma corrente, cuja intensidade seria igual àcorrente calculada para o efeito termoiônico.
Porém, a emissão de elétrons gera uma nuvemeletrônica, alterando o potencial efetivo sentidopelos elétrons emitidos posteriormente.
Para corrigir este problema,acrescentamos um potencialUA, algo em torno de 300V,que faz com que a nuvemeletrônica não fiquesaturada.
De forma esquemática, o circuito montado está evidente abaixo.
Placa
Placa
Filamento
VVV 74
V
V
V
500
150
Notemos a semelhança entre este arranjo e um triodo.
Triodos são amplificadoreseletrônicos contendo trêseletrodos efetivos. Usualmentesão tubos com vácuo e contémuma grade de controle, umânodo e um cátodo.
Atualmente, o triodo domina omercado de audio profissional.
O triodo foi desenvolvido dois anosapós Sir Alexander Fleming terdescoberto o diodo como uma válvulaoscilante (abaixo, o primeiroequipamento comercial termiônico).
Em 1906, Lee DeForestadicionou o terceiroeletrodo na válvulaentre o filamento e aplaca. Seu verdadeiroobjetivo, no entanto,era amplificar sinais derádio, aumentandoassim a sensibilidadeda detecção das radiofreqüências.
Verificaremos rapidamente a lei de Child.
A lei de Child afirma quepara baixas diferenças depotencial entre as placas,a corrente em funçãodesta tensão deveráobedecer
. 9
2 23
d
V
m
eJ
Para realizarmos a coletade dados que apresentem-se dentro da restrição“para baixas diferenças depotencial”, utilizamos afonte destacada abaixo.
Fonte para ajuste fino.
Para podermos verificar de forma menos visual a lei de Child, podemos calcular o logarítmo de ambos os lados desta lei,
.2
3
9
2log)log(
2V
m
e
dJ
Portanto, deveremos obter uma reta, cujo coeficiente angular esteja próximo de 3\2. Para a temperatura 1800, realizamos esta tarefa.
Ao lado está o gráfico. Asflutuações estatísticasassociadas ao efeitogeram estas imperfeiçõesna reta, uma vez que ologarítmo intensificapequenas variações.
Como resultado,obtivemos o coeificienteangular da reta como
02.053.1 a
Aqui estão os valores obtidos para as outras temperaturas que medimos.
Temperatura(±5K, K)
Coeficiente linear Erro
1660 1.48 0.05
1700 1.52 0.05
1720 1.50 0.03
1760 1.53 0.02
1800 1.53 0.02
Podemos notar que apesar dealgumas poucas flutuaçõess, osvalores mantém-se próximos de1.5, que é o resultado esperado.
O gráfico ao ladodemonstra diversas curvasda corrente em função datensão para diferentestemperaturas. Podemosverificar que na regiãoregida pela lei de Child,todas comportam-seigualmente e coincidemem muitos pontos, o quemostra que o coeficienteque multiplica a tensãoindepende da temperatura.
Nesta seção, verificaremosque a corrente para altastensões tendem à estabilizarem um valor constante. Apartir de dados coletadosnesta situação, tentaremosobter uma aproximação para ovalor da função trabalho dotungstênio.
A lei de Richardson-Dushmann estabelece arelação entre a corrente emitida pelotungstênio e a temperatura a que otungstênio foi aquecido. Para medida datemperatura, utilizamos um pirômetro.
Como a situação em que esta lei torna-semensurável requisita altas diferenças depotencial, verificamos qual a tensão para que,a altas temperaturas, a corrente sature novalor proposto pela lei.
Curvas para diversas temperaturas.
Ao lado, temos o gráficoque obtivemos paradiferentes temperaturas(identificadas na legendado gráfico). Note que àtemperatura de 430K acorrente já está saturada.
Com esta observação,medimos para diferentesvalores de temperatura acorrente para potenciaisvariando entre 250V e490V. Para valoresmenores de tensão, háflutuações estatísticas. Jápara maiores valores detensão, o equipamento nãoresiste.
Acima temos o gráfico que relaciona a medida das correntespara cada uma das temperaturas. O potencial é variado de250V a 490V. Vemos que são retas (condição de saturação)com leve aclive. Isto porque estas retas são as curvasassíntóticas da real curva que relaciona a corrente com atensão (chamada sigmoidal).
Cada um destas retas na verdade serviramcomo um único dado para nosso objetivo: asflutuações associadas ao efeito termiônico,na condição de saturação, na medida decorrente impossibilita a determinação dacorrente de saturação sem um tratamentoestatístico.
Portanto, munidos do teorema do limitecentral e estudos de estatística, podemosmodelar nossas variáveis como seobedecessem a distribuição normal.
Lei de Richardson-Dushman Ao lado estão os valores médios obtidos utilizando aquelas retas
apresentadas anteriormente.
Note o como o errocresce de forma quaseque preocupante. Noentanto, isto estárelacionado com asflutuações observadasnos gráficos dasdiversas retas. Podemosretornar àquele gráfico ecomparar estes erroscom as flutuações.
Ao lado, apresentamos os gráficosdas correntes de saturação emtermos da tensão e, abaixo, ográfico relacionando a média paracada temperatura (cores diferentesassociam-se a diferentestemperaturas) das correntes desaturação em função da própriatemperatura. Note que as retas queapresentam maior flutuação estãorelacionadas com os valoresmédios aos quais associamosmaior erro. Isto porque o desviopadrão encobre brutalmente o errode medida.
Apesar de grande, a curva desteúltimo gráfico apresenta umaforma esperada: da relação deRichardson-Dushman,esperávamos uma curva que separecesse com uma parábola.
Na tabela abaixo, apresentamos a corrente média obtida, relacionando-a com a temperatura.
Temperatura(±5K, K)
Corrente(A)
Erro sobre Corrente
Função Trabalho(eV)
Erro sobre função trabalho
1873 6.4e-5 0.6e-5 5.05 0.03
1893 8.4e-5 0.8e-5 5.01 0.02
1913 0.12e-3 0.01e-3 4.90 0.03
1933 0.17e-3 0.02e-3 4.84 0.08
1953 0.23e-3 0.02e-3 4.76 0.03
1973 0.31e-3 0.03e-3 4.69 0.03
1993 0.41e-3 0.03e-3 4.63 0.03
2013 0.60e-3 0.06e-3 4.5 0.03
2033 0.76e-3 0.08e-3 4.45 0.03
2053 1.0e-3 0.1e-3 4.39 0.03
2073 1.3e-3 0.1e-3 4.34 0.02
Para podermos simplificarao máximo esta situação,voltemos à relação deRichardson-Dushman,
.exp2
kT
wA
T
j
.1
lnln2
kTwA
T
j
Se calcularmos o logarítmode ambos os lados daequação anterior, obtemos
Portanto, utilizando todos osnossos cálculos até omomento, podemos graficar ologarítmo da razão entre ascorrentes de saturação e oquadrado da temperaturacomo função do inverso doproduto entre a temperatura ea constante de Boltzman, ouseja,
,)(ln xwAy
com
. 1
e ln2 kT
xT
jy
O gráfico obtido está ao lado eapresenta-se como uma reta.Para, por fim, obtermos a funçãotrabalho, basta fitarmos uma retaem termos dos pontos. Teremoscomo coeficiente angular o opostoda função trabalho, pois aequação para esta reta aproximar-se de
.)( xwBy
Os parâmetros da reta fitada nos dados obtidos foram calculados, sendo seu coeficiente angular
a = (-7.27 ± 0.03) e(-19) J.
Por comodidade, podemos ainda calcular esta energia em eV, realizando a transformação (dados do CODATA). Obtemos, finalmente,
w = (4.54± 0.02) eV.
Após a realização deste projeto,tiramos nossas conclusões sobreos resultados e expomos nossabibliografia.
Conseguimos verificar a lei de Child de formaeficaz e comprovando, com grande certeza, adependência da corrente no potencial.
O material que emitia os elétrons é um filamentode tungstênio, cuja função trabalho é 4.55eVsegundo a Environmental Chemistry (consta oendereço eletrônico na bibliografia) e 4.52eVsegundo a referência Experiments in ModernPhysics de A. C. Melissimos.
Portanto os valores obtidos foram satisfatórios eo erro aproxima os valores esperados.
Introduction to Solid State Physics, Ashcroft.
Environmental Chemistry, http://environmentalchemistry.com/.
How Vacuum Tubes Really Works, John Harper, 2003, http://www.john-a-harper.com/tubes201/.
Thermionic phenomena and the laws which govern them, Owen W. Richardson,Nobel Lecture, 1929.
Experiments in Modern Physics, A. C. Melissimos, Academic Press Inc., Florida, USA.
Gráficos gerados utilizando o software livre Gnuplot, versão 2.2.
Todos os cálculos e propagações de erros foram calculadosutilizando scripts Python escritos pelos autores deste relatório.
