Brousseau g. Slides

5/10/2018 Brousseau g. Slides - slidepdf.com

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Didática e Teoria dasDidática e Teoria dasSituações Didática emSituações Didática em

MatemáticaMatemática

Parte 1: Princípiosarte 1: Princípios

Guy BrousseauGuy BrousseauTraduçãoTradução: Maria José Ferreira: Maria José Ferreira dada SilvaSilva

e Saddo Ag Almouloude Saddo Ag Almouloud



SumárioSumário

1.1. Introdução :Introdução : A didática A didática

2. Didática e didática da matemática2. Didática e didática da matemática

3. A micro didática: as situações3. A micro didática: as situações

4. Os processos4. Os processos

5. A organização do currículo5. A organização do currículo

6. Conclusões6. Conclusões



SumárioSumário

1.1. IntroduçãoIntrodução

2.2. Didática e didática da matemáticaDidática e didática da matemática

3. As situações3. As situações4. Os processos4. Os processos

5. A organização de currículos5. A organização de currículos




A didática «A didática « cláclássicassica »»

ParaPara ComeniusComenius, a didática é «, a didática é « a arte de ensinara arte de ensinar ».». um método único, suficiente para todas asum método único, suficiente para todas as

matériasmatérias «« Só existe um único método para ensinar todasSó existe um único método para ensinar todas

as ciências: é o método natural, válido tanto nasas ciências: é o método natural, válido tanto nasartes quanto nas línguas. As variações queartes quanto nas línguas. As variações que

poderiam existir são tão insignificantes que não poderiam existir são tão insignificantes que nãoexigiriam método especializadoexigiriam método especializado».». La La grande didactique grande didactique (1643 : Chapitre XIX, problème IV)(1643 : Chapitre XIX, problème IV)



Ação, arte e ciênciaAção, arte e ciência

OO projeto didático projeto didático é o projeto social de fazer é o projeto social de fazer

apropriar por um “ aluno” (sujeito ouapropriar por um “ aluno” (sujeito ou

instituição) um saber instituição) um saber – – língua, arte ou ciêncialíngua, arte ou ciência

O ensino é a realização desse projetoO ensino é a realização desse projeto

A A didática clássicadidática clássica é então a arte de ensinar, eé então a arte de ensinar, e

o estudoo estudo normativonormativo das boas condições dadas boas condições da

difusão “ do” conhecimento,difusão “ do” conhecimento, quando estaquando estadifusão se faz por iniciativa da instituição quedifusão se faz por iniciativa da instituição que

o difunde.o difunde.



Característica da didática clássicaCaracterística da didática clássica

Assim, a didática «Assim, a didática « clássicaclássica » :» :

trata os problemas do ensino, projetandotrata os problemas do ensino, projetando--osos

sobre dois componentessobre dois componentes independentesindependentes : de: de

um lado, oum lado, o conteúdo disciplinar conteúdo disciplinar , e de outro, a, e de outro, a

didática clássica;didática clássica;

e os considera como um problema dee os considera como um problema de“normas”“normas” racionais, sócioracionais, sócio--culturais.culturais.



ObjeçõesObjeções Especificidade segundo o «conteúdo» Especificidade segundo o «conteúdo»

Hoje se sabe que nem a humanidade como um todo,Hoje se sabe que nem a humanidade como um todo,nem cada um dos seres humanos, adquirem todos osnem cada um dos seres humanos, adquirem todos osconhecimentos nas mesmasconhecimentos nas mesmas circunstâncias,circunstâncias, nemnem

segundo os mesmossegundo os mesmos processos:processos: a geometria, a álgebraa geometria, a álgebraou as probabilidades não têm a mesma gênese nem aou as probabilidades não têm a mesma gênese nem amesma organização.mesma organização.

Estudos experimentais e científicos Estudos experimentais e científicos

O estudo da aprendizagem e do ensino tornouO estudo da aprendizagem e do ensino tornou--se umse umcampocampo de estudos experimentaisde estudos experimentais.. Convém considerar Convém considerar o conjunto de todas as condições do ensino e seuso conjunto de todas as condições do ensino e seusefeitos sobre todos os componentes.efeitos sobre todos os componentes.



ConseqüênciasConseqüências

A concepção ou o estudo de um fato didáticoA concepção ou o estudo de um fato didático(projeto ou ensino)(projeto ou ensino)

-- depende profundamente do conhecimentodepende profundamente do conhecimentoque é objeto do ensinoque é objeto do ensino

-- e exige, em contra partida, acomodaçõese exige, em contra partida, acomodaçõesoriginais e apropriadas desse conhecimentooriginais e apropriadas desse conhecimento

O ensino produz nos alunos formas deO ensino produz nos alunos formas deconhecimentos que variam de acordo com asconhecimentos que variam de acordo com ascondições didáticas e que diferem dos saberescondições didáticas e que diferem dos saberesde referênciade referência



A nova didática:A nova didática: Se interessa pelas condições reprodutíveis eSe interessa pelas condições reprodutíveis e

controláveis das aprendizagens e do ensino de todoscontroláveis das aprendizagens e do ensino de todosos tipos.os tipos.

Se interessa principalmente pela especificidade dessasSe interessa principalmente pela especificidade dessascondições de acordo com o conhecimento visado oucondições de acordo com o conhecimento visado ouobtido, e então, de acordo com a disciplina.obtido, e então, de acordo com a disciplina.

Se aplica em distinguir, nessas produções, asSe aplica em distinguir, nessas produções, asdeclarações de caráter científico dos dispositivos dedeclarações de caráter científico dos dispositivos de

engenharia ou de opiniões.engenharia ou de opiniões. Considera que ela não é redutível às disciplinas nemConsidera que ela não é redutível às disciplinas nem

aos domínios clássicos como a matemática ou aaos domínios clássicos como a matemática ou apsicologiapsicologia



ConseqüênciasConseqüências Se seus estudos devem legitimamente integrarSe seus estudos devem legitimamente integrar

fatos da psicologia, da sociologia, etc, elesfatos da psicologia, da sociologia, etc, elesdevem serdevem ser estabelecidosestabelecidos independentementeindependentemente

dos aportes dessas disciplinas. Um estudo dedos aportes dessas disciplinas. Um estudo depsicologia cognitiva no meio escolar não é umpsicologia cognitiva no meio escolar não é umestudo de didática.estudo de didática.

Para assegurar um caráter científico aos seusPara assegurar um caráter científico aos seus

objetos e seus métodosobjetos e seus métodos que não são levadosque não são levadosem conta por outras disciplinasem conta por outras disciplinas, ela é levada a, ela é levada aconstruir fundamentos própriosconstruir fundamentos próprios(epistemológicos, teóricos e metodológicos).(epistemológicos, teóricos e metodológicos).



Ramos da didática atualRamos da didática atual

A didática, comoA didática, como prática, arte e técnica prática, arte e técnica dada

difusão de conhecimentosdifusão de conhecimentos entre os seresentre os seres

humanos, no caso onde esta difusão se faz por humanos, no caso onde esta difusão se faz por

iniciativa da instituição que os difundeiniciativa da instituição que os difunde

compreende:compreende:

OO ensinoensino

A A engenharia didáticaengenharia didática (concepção, condução)(concepção, condução) A didática como A didática como ciênciaciência das condições destadas condições desta

difusãodifusão , específicas de um conhecimento , específicas de um conhecimento

preciso. preciso.



Domínios da ciência didáticaDomínios da ciência didática

Macro didática:Macro didática:

Micro didática:Micro didática:

Diferentes abordagens gerais

?

TSM,TSDM,TTD,TAD, TCC

TSM Teoria das situações matemáticas

TSDM Teoria das situações didáticas em matemática

TTD : Teoria da transposição didática

TAD : Teoria antropológica do didático

TCC : Teoria dos campos conceituais

Metodologia, Teoria dos objetos particulares emMetodologia, Teoria dos objetos particulares em

DdMDdM, sínteses etc., sínteses etc.



AlodidáticaAlodidática Vinda de origens diversas, aportes, trocas com aVinda de origens diversas, aportes, trocas com a

didática:didática: MatemáticaMatemática

Estatística,Estatística, Lógica, Teoria das linguagens, Teoria dos autômatosLógica, Teoria das linguagens, Teoria dos autômatos

Teoria dos jogosTeoria dos jogos

PsicologiaPsicologia

Epistemologia e História da matemáticaEpistemologia e História da matemática Lingüística e semiologiaLingüística e semiologia

Sociologia etc.Sociologia etc.



Engenharia didáticaEngenharia didática

ConsisteConsiste em imaginar em quais condiçõesem imaginar em quais condições a invençãoa invençãoou o uso do que é fundamental,ou o uso do que é fundamental, por exemplo, a por exemplo, a

estatística,estatística, seria necessariamente “ produzida” pelosseria necessariamente “ produzida” pelos

alunos.alunos. Organizar o exercício do pensamento do aluno e lheOrganizar o exercício do pensamento do aluno e lhe

dar todo o campo necessáriodar todo o campo necessário aos momentos decisivosaos momentos decisivos

para que ele possa penetrar nas relações fundamentaispara que ele possa penetrar nas relações fundamentais

constitutivas de um conhecimento.constitutivas de um conhecimento. Mas, contrariamente à ideologia construtivista, todosMas, contrariamente à ideologia construtivista, todos

osos modos de ensinomodos de ensino têm, a priori, seu domínio detêm, a priori, seu domínio deutilidade.utilidade.



Resumo: etapas da DidáticaResumo: etapas da Didática

Definição de "didática“ como “a arte de ensinar"Definição de "didática“ como “a arte de ensinar"((ComeniusComenius, 1648), 1648)

“Projeto para ensinar qualquer coisa a qualquer“Projeto para ensinar qualquer coisa a qualquerum que não o queira aprender” (XIX).um que não o queira aprender” (XIX).

• “Projeto social de uma instituição ou de uma pessoa,

que uma outra instituição ou pessoa se apropria de um

saber constituído ou em vias de constituição”

(1975)

• Ciência das condições da produção e da difusão dos

conhecimentos úteis aos homens e as suas

instituições” (1986)



A micro didáticaA micro didática



SumárioSumário




5. A organização dos currículos5. A organização dos currículos




3. A Teoria das Situações Didáticas3. A Teoria das Situações Didáticas

em Matemáticaem Matemática

3.1. Princípios.1. Princípios



Princípio 1Princípio 1

Atenção voltada principalmente àsAtenção voltada principalmente às condiçõescondiçõesde ensino e de aprendizagem,de ensino e de aprendizagem, específicasespecíficas dodoconhecimento em estudo.conhecimento em estudo.

Estudo das características recíprocas deEstudo das características recíprocas de pertinência, adequação, possibilidade de pertinência, adequação, possibilidade de

realização, economiarealização, economia dos conhecimentos e dasdos conhecimentos e dassituações… (O único meio de que dispõem ossituações… (O único meio de que dispõem os

professores para provocar a aprendizagem deprofessores para provocar a aprendizagem deum saber é o de conhecer e reproduzir asum saber é o de conhecer e reproduzir ascondições que provocam sua aquisição)condições que provocam sua aquisição)




As condições não são independentes umasAs condições não são independentes umasdas outras,das outras,

Elas devem então ser estudadas comoElas devem então ser estudadas comocaracterísticas decaracterísticas de Sistemas, Sistemas,

Os objetos devem ser definidos por suasOs objetos devem ser definidos por suas

funções nesses sistemasfunções nesses sistemas




Modelar os sistemas didáticos em termos deModelar os sistemas didáticos em termos de jogos matemáticos jogos matemáticos (“agente” (“agente” – – aquele que ageaquele que age --,,estados do “estados do “milieumilieu”, regras, importância),”, regras, importância),

denominadasdenominadas situações situações . .

Nota : O parNota : O par “ jogo“ jogo -- estratégia do agente”estratégia do agente”

constitui um autômato estocástico:constitui um autômato estocástico:Um aluno diante de um problema escolar é umUm aluno diante de um problema escolar é umexemplo simplificado de situação.exemplo simplificado de situação.




O método geral paraO método geral para definir um conceitodefinir um conceito C C ememteoria das situações didáticas da matemáticateoria das situações didáticas da matemática é:é:

" C é o objeto que resolve satisfatoriamente uma" C é o objeto que resolve satisfatoriamente uma

situação determinada S(C). situação determinada S(C).

Este método prolonga o método de Hilbert, clássicoEste método prolonga o método de Hilbert, clássicoem matemática:em matemática:

" C é o objeto que satisfaz uma certa relação R : R(C)" C é o objeto que satisfaz uma certa relação R : R(C)

é verdadeira”é verdadeira”




Princípios dePrincípios de decomposição e de composição dasdecomposição e de composição dassituaçõessituações:: Um agente pode jogar diversos jogos independentesUm agente pode jogar diversos jogos independentes

(situações) ao mesmo tempo.(situações) ao mesmo tempo. Mas vários jogos podem compor um novo e um jogo seMas vários jogos podem compor um novo e um jogo se

decompor em vários.decompor em vários.

Os subsistemas podem ser estudados separadamente, mas suaOs subsistemas podem ser estudados separadamente, mas suaconfrontação com a contingência requer o exame do sistemaconfrontação com a contingência requer o exame do sistemacompleto.completo.

O observador está implicado no jogo e seu papel deve serO observador está implicado no jogo e seu papel deve seranalisado.analisado.



Componentes de uma situação didáticaComponentes de uma situação didática

Milieumilieumilieu S. agindo

S. aprendendo

P. professor

P. Preparando sua aula

P. profissional na

sociedade

P. como matemático

sociedade

Sociedade de

matemáticos

S. aluno

S = sujeito

P = professor




AxiomaAxioma dada correspondência entre oscorrespondência entre osconhecimentos matemáticos e as situações.conhecimentos matemáticos e as situações.

Cada conhecimento matemático possui pelo menosCada conhecimento matemático possui pelo menosuma situação que o caracteriza.uma situação que o caracteriza.

Cada situação matemática requer a utilização de peloCada situação matemática requer a utilização de pelo

menos um conhecimento matemático.menos um conhecimento matemático. Mas não há correspondência um a um.Mas não há correspondência um a um.




A um conhecimento preciso qualquer uma situaçãoA um conhecimento preciso qualquer uma situaçãopermite destacarpermite destacar diversas características :diversas características :

pertinênciapertinência

adequaçãoadequação possibilidades de realizaçãopossibilidades de realização

“custo” de utilização, de comunicação“custo” de utilização, de comunicação

“custo” de ensino,“custo” de ensino,

“custo” de aprendizagem etc.,“custo” de aprendizagem etc.,

Essas características mudam segundo os parâmetros da situação.Essas características mudam segundo os parâmetros da situação.




Hipótese da existência deHipótese da existência de situações fundamentais:situações fundamentais:

Toda coleção de situações que caracterizam umToda coleção de situações que caracterizam ummesmo conhecimento matemático, possui pelomesmo conhecimento matemático, possui pelomenos uma situação fundamental que as gerammenos uma situação fundamental que as gerampela determinação dos valores de suas variáveis.pela determinação dos valores de suas variáveis.




Uma aprendizagemUma aprendizagem se manifesta por umase manifesta por umamudança estável de estratégia e de ganho sobremudança estável de estratégia e de ganho sobreuma coleção determinada de situações.uma coleção determinada de situações. AA

substituição de um conhecimento por um outro ésubstituição de um conhecimento por um outro éprovocado por uma adaptação à situação.provocado por uma adaptação à situação.

Esta mudança pode resultar da adaptaçãopragmática a uma ou a várias componentes

da situação didática, ou a uma situação

reflexiva própria.




As situações podem se articular emAs situações podem se articular emprocessos de diversas maneiras:processos de diversas maneiras:

Seguindo uma das articulações (logística, lógica,Seguindo uma das articulações (logística, lógica,heurística…) dos conhecimentos que elasheurística…) dos conhecimentos que elasdeterminam.determinam.

Por extensão, segundo as variáveis cognitivas daPor extensão, segundo as variáveis cognitivas dasituaçãosituação

Por replicação por uma adaptação ergonômicaPor replicação por uma adaptação ergonômica Por questionamentos reflexivos sistemáticos: sobrePor questionamentos reflexivos sistemáticos: sobre

a consistência, sobre a “a consistência, sobre a “extensionabilidadeextensionabilidade”,”,segundo uma dialética ferramentasegundo uma dialética ferramenta--objeto, etc.objeto, etc.



Outros PrincípiosOutros Princípios

Os princípios,Os princípios, epistemológicosepistemológicos estabelecem asestabelecem asrelações da T.S.D.M. com as ciências matemáticasrelações da T.S.D.M. com as ciências matemáticas(teoria, experiências),(teoria, experiências),

OutrosOutros metodológicosmetodológicos indicam as modalidadesindicam as modalidadescientíficas de confrontações de modelos decientíficas de confrontações de modelos desituações com a contingênciasituações com a contingência

OutrosOutros tecnológicostecnológicos, enquadram a engenharia de, enquadram a engenharia deprodução e do desenvolvimentoprodução e do desenvolvimento

Outros precisam as condiçõesOutros precisam as condições éticaséticas, de interações, de interações(observações ou engenharia) com os sistemas(observações ou engenharia) com os sistemaseducativos.educativos.



3.2. Exercício:.2. Exercício: revisão de umarevisão de uma

concepção da didáticaconcepção da didática

Ilustração de uma conseqüência dessesIlustração de uma conseqüência desses

princípios:princípios: A didática às vezes é determinada pela ajudaA didática às vezes é determinada pela ajuda

de umde um esquema triangularesquema triangular

A Teoria das Situações rejeita esse esquema?A Teoria das Situações rejeita esse esquema?



O dito “triângulo didático”O dito “triângulo didático”

estudanteestudanteComunicação

Transposição

Didática

SistemaSistema

EducativoEducativo

Saber Saber

Escolar Escolar

Educação



A aprendizagem espontâneaA aprendizagem espontânea

Aprendizagem

ConhecimentoConhecimento

aprendizaprendiz

significação

MilieuMilieu

Adaptação



estudante

Comunicação

Transposição

Didática

Sistema

Educativo

Saber

Escolar

Adaptação

Conhecimento

aprendiz

significação

MilieuOrganização

fusões... e confusõesfusões... e confusões

1

2



O hexágono da didáticaO hexágono da didática

estudante

Sistema

Educativo

Saber

Escolar

Ensino

aculturação

Conhecimento

aprendiz

MilieuAção



Situação não didáticaSituação não didática

milieuS. agente

S. aprendizmilieu

A aprendizagem é uma reorganização, consciente ou

não, dos meios de ação do sujeito



Situação aSituação a--didáticadidática

Milieumilieu S. agente

S. aprendiz

P. professor

P. Preparando a aula

Profissional na

sociedade

P. matemático

sociedade

Sociedade de

matemáticos

S. aluno

Situação

a-didática

(dédidactifiée)

milieu



Resumoesumo

UmaUma situação a situação a--didáticadidática concerne a parte de umaconcerne a parte de uma situação didática situação didática que o professor delega (devolve)que o professor delega (devolve)ao estudante. O professor se esforça em excluirao estudante. O professor se esforça em excluirsuas intervenções relativas à solução.suas intervenções relativas à solução.

O estudante pode então interagir com umO estudante pode então interagir com um milieumilieuquase não didáticoquase não didático , , onde ele pode e deve ignorar asonde ele pode e deve ignorar asintenções didáticas do professor.intenções didáticas do professor.

Assim a produção pelo estudante de diferentesAssim a produção pelo estudante de diferentestipos detipos de açõesações,, dede formulações formulações ee dede validaçõesvalidações sósórespondem a necessidades próprias, não didáticas.respondem a necessidades próprias, não didáticas.



3.3.3.3. Teoria dasTeoria das situaçõessituaçõesmatemáticasmatemáticas

(não didáticas*)(não didáticas*)



Situações, formas de conhecimentosSituações, formas de conhecimentos

e de aprendizagense de aprendizagens As situações diferem essencialmente por suasAs situações diferem essencialmente por suas regrasregras..Essas regras são determinadas pelo conhecimento aEssas regras são determinadas pelo conhecimento aser ensinado. Entretanto,ser ensinado. Entretanto,

asas formas de conhecimentosformas de conhecimentos

seuseu tipo de aprendizagem ou de aquisiçãotipo de aprendizagem ou de aquisição sãosãodeterminados pela estrutura do sistema:determinados pela estrutura do sistema: as classesas classesde situaçõesde situações que podem as provocar pelo jogo deque podem as provocar pelo jogo desuas variáveis cognitivas e didáticas.suas variáveis cognitivas e didáticas.

formas, tipos e classes se correspondem um à umformas, tipos e classes se correspondem um à um Em primeira aproximação, distinguimos 4 classes deEm primeira aproximação, distinguimos 4 classes de

situações:situações:



Situações não didáticasSituações não didáticas(mas com uso didático) relativos a um conhecimento(mas com uso didático) relativos a um conhecimento

Informação,Informação,

ConvençãoConvenção

InstruçãoInstrução

Referência,Referência,Validação social ouValidação social ouculturalcultural

SaberSaberInstitucionalizaçãoInstitucionalização

RetóricaRetóricalógicalógica

demonstraçãodemonstração

Meio de convencerMeio de convencerde provarde provar

Enunciado, conjetura,Enunciado, conjetura,teoremateorema

TeoriaTeoria

Validação:Validação:Argumentação,Argumentação,

prova,prova,

Modificação ouModificação oucriação de umacriação de umalinguagemlinguagem

Meio de comunicarMeio de comunicarOral, escrito,Oral, escrito,

gestualgestual

mensagemmensagem

linguagemlinguagem

Formulação:Formulação:

PerformancePerformance

competência,competência,

códigocódigo

Assimilação,Assimilação,

acomodaçãoacomodação

Meio de tomarMeio de tomar

decisõesdecisõesDecisão,Decisão,Modelo implícito deModelo implícito de

açãoaçãoRepertórioRepertório

AçãoAção:: PerformancePerformance

competência,competência,

CódigoCódigo

Modo de aquisiçãoModo de aquisiçãoForma deForma deconhecimentoconhecimento

FunçãoFunçãoManifestaçãoManifestação



Situação de açãoSituação de ação

Conhecimentos

Milieu material,

social etc.

Ações Ações,

informaçõesinformaçõesSujeito ou

instituiçãoque age



Situação deSituação de comunicaçãocomunicação

Repertório

ConhecimentosLinguagensetc.

Repertório

Conhecimentos

Linguagensetc.

Emissor Mensagem Receptor

Milieumaterial,

social, etc.

Milieu de Ref .



Situação de demonstração,

ou de validação social

Repertório

Conhecimentos

LinguagensLógica

Teoriaetc.

asserção

Prova...oponente

Milieumaterial,

social, etc.

Modelo doMilieu Repertório

Conhecimentos

LinguagensLógica

Teoriaetc.

proponente



3.4.3.4. Teoria das situaçõesTeoria das situaçõesdidáticasdidáticas em matemáticaem matemática



ResponsabilidadesResponsabilidades

Os tipos deOs tipos de situações didáticas situações didáticas -- ouou contratoscontratos

didáticosdidáticos -- se determinam pela repartiçãose determinam pela repartição – – explícita ou implícitaexplícita ou implícita -- das responsabilidadesdas responsabilidades

entre o professor e os alunos.entre o professor e os alunos.

Da difusão sem retroação ao construtivismoDa difusão sem retroação ao construtivismodirigido, ou radical podedirigido, ou radical pode--se definir mais de 12se definir mais de 12

tipos de contratos ligeiramente ou fortementetipos de contratos ligeiramente ou fortementedidáticosdidáticos



ParadoxosParadoxos

Os paradoxos do contrato didáticoOs paradoxos do contrato didático

Efeitos diversos desses paradoxos:Efeitos diversos desses paradoxos:

«« TopázioTopázio »,», «« JourdainJourdain »,»,

«« deslize meta didáticodeslize meta didático »,»,

«« abuso de analogiaabuso de analogia »»

etc.etc.



É a passagem para um conhecimento de seu papel deÉ a passagem para um conhecimento de seu papel demeio de resolução de uma situação de ação, demeio de resolução de uma situação de ação, deformulação ou de prova, para um novo papel: aqueleformulação ou de prova, para um novo papel: aquelede referência para utilizações futuras, coletivas oude referência para utilizações futuras, coletivas oupessoais.pessoais.

O professor e os alunos entram em uma novaO professor e os alunos entram em uma nova

convenção: o valor do conhecimento em jogo não éconvenção: o valor do conhecimento em jogo não éestabelecido imediatamente, ele é garantido pelaestabelecido imediatamente, ele é garantido pelasociedade, pela cultura…Ele se revelará daqui emsociedade, pela cultura…Ele se revelará daqui emdiante em outras atividades didáticas ou não…diante em outras atividades didáticas ou não…

A institucionalização (1)A institucionalização (1)



A institucionalização (2)A institucionalização (2)

O professor reconhece e nomeia os conhecimentosO professor reconhece e nomeia os conhecimentosinteressantesinteressantes nas produções dos alunos, que devenas produções dos alunos, que deveesquecer suas próprias formulações e fixar oesquecer suas próprias formulações e fixar ovocabulário.vocabulário.

O professor combina com os alunos a possibilidadeO professor combina com os alunos a possibilidadede exigir no futuro certos «de exigir no futuro certos « saberessaberes » como» comoconhecidos e familiaresconhecidos e familiares

Às vezes, certos objetivos de aprendizagem podemÀs vezes, certos objetivos de aprendizagem podemser escolhidos e sua responsabilidade dividida entre oser escolhidos e sua responsabilidade dividida entre oprofessor e os alunos.professor e os alunos.



Objetos da institucionalizaçãoObjetos da institucionalização

Identificação, denominação, verificaçãoIdentificação, denominação, verificação De uma situação, de um tipo de relação ou de umaDe uma situação, de um tipo de relação ou de uma

prática matemática.prática matemática.

De um projeto didático ou de aprendizagem.De um projeto didático ou de aprendizagem.

De um conhecimento.De um conhecimento.

De um repertório para a formulação.De um repertório para a formulação.

De um repertório de provas.De um repertório de provas. De um repertório didático e epistemológicoDe um repertório didático e epistemológico

comum com os alunos …comum com os alunos …



A devoluçãoA devolução

O ato pelo qual o professor obtém que o alunoO ato pelo qual o professor obtém que o alunoaceite eaceite e – – possa aceitarpossa aceitar – – agir em uma situaçãoagir em uma situaçãoaa--didática, assumindo o risco e adidática, assumindo o risco e aresponsabilidade de seus atos em condiçõesresponsabilidade de seus atos em condiçõesincertas.incertas.

A concepção e a gestão da incerteza dasA concepção e a gestão da incerteza das

situações asituações a--didáticas é a parte mais difícil dodidáticas é a parte mais difícil doato didático. Esta gestão produz diversosato didático. Esta gestão produz diversosefeitos indesejáveis mas às vezes inevitáveis.efeitos indesejáveis mas às vezes inevitáveis.



O professor mostra ao aluno que ele, o professor, seO professor mostra ao aluno que ele, o professor, se

desfez da responsabilidade de dizer e garantir adesfez da responsabilidade de dizer e garantir averacidade da resposta que ele, o aluno, deve dar.veracidade da resposta que ele, o aluno, deve dar.

E procura obter que este aluno aceite estaE procura obter que este aluno aceite esta

responsabilidade.responsabilidade.

Não é suficiente dizer ao aluno: «Não é suficiente dizer ao aluno: « você deve…você deve… ».».Para que esta devolução seja possível, o professor Para que esta devolução seja possível, o professor deve se assegurar que a situação não didática possadeve se assegurar que a situação não didática possaser «ser « compreendidacompreendida », quer dizer que o aluno conhece», quer dizer que o aluno conhece

uma «uma « estratégia básicaestratégia básica » (eficaz ou não) para» (eficaz ou não) pararesponder à situação.responder à situação.



Formas de devoluções …Formas de devoluções …

De um projeto, de uma preferênciaDe um projeto, de uma preferência

Da responsabilidade de um resultadoDa responsabilidade de um resultado

De uma interpretação causalDe uma interpretação causal Da responsabilidade de anteciparDa responsabilidade de antecipar

De uma situação aDe uma situação a--didáticadidática

Da reiteraçãoDa reiteração De umaDe uma reificacãoreificacão etc.etc.



SumárioSumário








4.. Processos didáticosProcessos didáticos

UmUm processo didáticoprocesso didático consiste em uma sérieconsiste em uma sériede situações didáticas:de situações didáticas:

Relativas a um mesmo conhecimento (objetoRelativas a um mesmo conhecimento (objetode ensino ou de aprendizagem)de ensino ou de aprendizagem)

De maneira que o bom desenvolvimento deDe maneira que o bom desenvolvimento de

cada situação exige o bom desenvolvimento decada situação exige o bom desenvolvimento de

todos os precedentes.todos os precedentes.



Cada situação pode ser proposta:Cada situação pode ser proposta: se ela é motivada por se ela é motivada por questõesquestões provocadas porprovocadas por

situações anterioressituações anteriores e graças ase graças as aquisiçõesaquisições feitas nesta ocasiãofeitas nesta ocasião As justificações de uma situação se referemAs justificações de uma situação se referem Ao projeto do professorAo projeto do professor (um currículo por (um currículo por

exemplo),exemplo),

Às possibilidades dos alunosÀs possibilidades dos alunos (inteligibilidade(inteligibilidadeda situação, pertinência e interesse imediato deda situação, pertinência e interesse imediato dequestões, possibilidades de resolver, etc.).questões, possibilidades de resolver, etc.).



Um tal processo constitui umaUm tal processo constitui uma cronogênesecronogênese::

uma gênese que estabelece entre osuma gênese que estabelece entre osconhecimentos ligações determinadasconhecimentos ligações determinadas Por suas posições em uma históriaPor suas posições em uma história e pelas relações entre as situações (ex.e pelas relações entre as situações (ex. Causalidade)Causalidade)

OrigogêneseOrigogênese

UmaUma topogênesetopogênese da matemáticada matemática é umaé umaorganização tal que cada objeto se situa, emorganização tal que cada objeto se situa, emfunção de sua definição e de suasfunção de sua definição e de suas

propriedades, em uma ordem parcial regidapropriedades, em uma ordem parcial regidapelas relações de necessidade lógica e depelas relações de necessidade lógica e deergonomia.ergonomia.



dilemadilema

Para permitir uma forma de aprendizagem, aPara permitir uma forma de aprendizagem, a

origogêneseorigogênese não pode coincidir em todos osnão pode coincidir em todos ospontos com umapontos com uma topogênesetopogênese..

Mas no final, seu resultado deve tender aMas no final, seu resultado deve tender a

coincidir com ela.coincidir com ela.



SumárioSumário

1.1. Introdução Introdução







5.. A ORGANIZÃÇÃO DEA ORGANIZÃÇÃO DE

CURRÍCULOSCURRÍCULOS A maior parte dos sujeitos da escolaridade primária foram objetoA maior parte dos sujeitos da escolaridade primária foram objetode proposições de processos longos: números naturais e suasde proposições de processos longos: números naturais e suasoperações, decimais, racionais, medidas, espaço, geometria,operações, decimais, racionais, medidas, espaço, geometria,probabilidades.probabilidades.

A maior parte não sendo proposições de ensino mas deA maior parte não sendo proposições de ensino mas deexperiências de epistemologia que tendem:experiências de epistemologia que tendem: à mostrar que o encaminhamento das situações tornaria possívelà mostrar que o encaminhamento das situações tornaria possível

a restituição de umaa restituição de uma cronogênesecronogênese correta dessas noções.correta dessas noções. e à provar a proeminência do papel das situações sobre certose à provar a proeminência do papel das situações sobre certos

fatores“

genéticos”

.fatores“

genéticos”

. A experiência de estatística que apresentamos é aliás desse tipoA experiência de estatística que apresentamos é aliás desse tipo..

A estatísticaA estatística inferencialinferencial não está fora do alcance da escolaridadenão está fora do alcance da escolaridadeobrigatóriaobrigatória



6.. ConclusõesConclusões

Se aSe a teoria das situaçõesteoria das situações, ilustra algumas situações, ilustra algumas situaçõesfundamentais típicas, começa a ser utilizada comfundamentais típicas, começa a ser utilizada comsucesso por numerosos pesquisadores em didática esucesso por numerosos pesquisadores em didática epor professores de matemática.por professores de matemática.

As aplicações em engenharia de processo e deAs aplicações em engenharia de processo e decurrículos são muito menos freqüentes.currículos são muito menos freqüentes.

Provavelmente a razão desta fraqueza reside naProvavelmente a razão desta fraqueza reside nadificuldade de experimentar e dominar os processosdificuldade de experimentar e dominar os processoslongos. Há portanto aí um amplo campo de reflexãolongos. Há portanto aí um amplo campo de reflexãoque é necessário cultivar se quer fazer progredir oque é necessário cultivar se quer fazer progredir oensino de matemática na escolaridade obrigatória.ensino de matemática na escolaridade obrigatória.



MacroMacro--didáticadidática

Exemplos de problemas deExemplos de problemas de macrodidáticamacrodidática::

-- A estatística na FrançaA estatística na França-- A numeração oralA numeração oral

Exemplo de modelação de um fenômeno deExemplo de modelação de um fenômeno demacrodidáticamacrodidática::

A acomodação informacional de uma sociedadeA acomodação informacional de uma sociedaderelativa a um conhecimento matemáticorelativa a um conhecimento matemático

OO campocampo da macro didática, vasto mas malda macro didática, vasto mas maldelimitado. Relações com adelimitado. Relações com a AntropoAntropo--didáticadidática











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