Caderno de Exercicios - 3

Caderno de exercícios Cálculo Financeiro 2011/12

Equivalência de Valores 1. O Banco Bique concedeu um empréstimo com juros à cabeça ao Sr. Sandro, tendo este pago €1100 de juros. Sabendo que o empréstimo foi concedido em regime de juros simples, à taxa anual de 6% e durante um prazo de 10 meses, calcule, considerando uma solução comercial: a) O valor que o mutuante recebeu do mutuário no final do prazo do empréstimo b) O capital efetivamente recebido pelo mutuário no momento da contração do empréstimo c) A taxa real anual associada a esta operação e interprete o resultado obtido 2. Considerando uma letra com valor nominal de €2500, calcule o valor líquido obtido pelo seu desconto quando faltarem 40 dias para o seu vencimento (acrescente 2 dias de tolerância ao sacado), com uma taxa anual de 8%. Leve em conta uma comissão de cobrança de 5‰, uma taxa de 4 % para cálculo do imposto de selo e portes no valor de €2. Determine ainda o custo efetivo anualizado para o cliente na ótica do regime de juro simples (i’CS). Considere a solução comercial. 3. Considerando os dados do exercício anterior, calcule: a) O custo efetivo anualizado para o cliente na ótica do regime de juro composto (i’CC) b) O retorno efetivo anualizado para o banco na ótica do regime de juro simples (i’BS) c) O retorno efetivo anualizado para o banco na ótica do regime de juro composto (i’BC) 4. Considere um capital de €10000 com vencimento daqui a 3 anos e a taxa anual de 10%. Assumindo o regime de juro composto, qual será o valor atual deste capital, utilizando a solução comercial? 5. Considerando os dados do exercício anterior, calcule a) O valor atual do capital, utilizando a solução racional b) A taxa real anual suportada, utilizando a solução comercial c) A taxa real anual suportada, utilizando a solução racional 6. O Sr. Pedro contraiu duas dívidas, uma no valor de €2000 à qual faltam 20 dias para o vencimento, outra de €5000 à qual faltam 60 dias para o seu vencimento. Se o Sr. Pedro pretender substituir as duas dívidas por uma única com vencimento a 30 dias, de que valor deve ser esta dívida, à taxa anual de 8%, considerando o dia de hoje como data focal e considerando regime de juro simples e solução racional?


Resoluções 1. O Banco Bique concedeu um empréstimo com juros à cabeça ao Sr. Sandro, tendo este pago €1100 de juros. Sabendo que o empréstimo foi concedido em regime de juros simples, à taxa anual de 6% e durante um prazo de 10 meses, calcule, considerando uma solução comercial: a) O valor que o mutuante recebeu do mutuário no final do prazo do empréstimo b) O capital efetivamente recebido pelo mutuário no momento da contração do empréstimo c) A taxa real anual associada a esta operação e interprete o resultado obtido Resolução: a) Como há juros à cabeça, o Sr. Sandro pagou ao Banco Bique o valor dos juros logo no momento da contração do empréstimo. Na ótica do mutuário, o Sr. Sandro recebe C’ no momento 0 (em que C’ é o capital atual, correspondente a C-J) e paga C no final do prazo. Quando se fala em juros à cabeça, e estando a operar em regime de juro simples, financeiramente está implícita a modalidade de desconto comercial simples. Nesta forma de atualização a parcela de desconto é calculada fazendo incidir a taxa sobre o capital nominal C, ou seja: Juro antecipado = DCS = C·n·i, em que DCS é a parcela de desconto, calculada através de desconto comercial simples Podemos então calcular o capital que foi pedido emprestado: €1100 = C·10/12·0.06 � C = €22000 O valor que o mutuante recebeu no final do prazo do empréstimo foi de €22000. b) O capital efetivamente recebido pelo Sr. Sandro corresponde ao capital que se pediu emprestado (€22000) deduzido o valor dos juros suportados nesse mesmo momento (€1100). Em termos líquidos, o mutuário receberá C’ CS (capital atual comercial simples). Podemos calcular o valor deste capital: C’CS = C – DCS � C’CS = €22000 - €1100 � C’CS = €20900. O capital efetivamente recebido pelo Sr. Sandro no momento da contração do empréstimo foi de €20900. c) A taxa real que o mutuário suporta nesta operação é a taxa que, aplicada ao capital efetivamente recebido no momento da contração do empréstimo, conduz, após o prazo deste (10 meses), ao capital que pediu emprestado. Assim, designando a taxa real por dCS, e como se trata de uma capitalização em regime de juro simples, fica: Cn = C0(1+n·dCS) � €22000 = €20900(1+10/12·dCS) � dCS = 0.063157895.


O Sr. Sandro suportou realmente com este empréstimo uma taxa anual de 6.3157895%. Esta taxa é superior à taxa anual divulgada de 6%. A taxa real associada ao desconto comercial simples (dCS) depende, neste regime de equivalência, do prazo da operação. Quanto maior o n, maior a diferença entre dCS e i. Em desconto comercial simples, para cada data de referência (também chamada data focal) há uma taxa real diferente. 2. Considerando uma letra com valor nominal de €2500, calcule o valor líquido obtido pelo seu desconto quando faltarem 40 dias para o seu vencimento (acrescente 2 dias de tolerância ao sacado), com uma taxa anual de 8%. Leve em conta uma comissão de cobrança de 5‰, uma taxa de 4 % para cálculo do imposto de selo e portes no valor de €2. Determine ainda o custo efetivo anualizado para o cliente na ótica do regime de juro simples (i’CS). Considere a solução comercial. Resolução: O valor líquido obtido pelo desconto de uma letra corresponde ao seu Produto Líquido de Desconto (PLD), em que PLD = L – A onde L é o valor nominal da letra e A é o Ágio (soma de todos os encargos). Os encargos são os seguintes:

• Desconto por fora (ou juros) � Df • Comissão de Cobrança � Cc • Imposto do Selo � IS • Portes � P

Começando pelo Df, este é calculado tendo por base o desconto comercial simples, em que DCS = Cni: Df = Lni/360 = €2500·42·0.08/360 � Df = €23.33. A Cc é calculada da seguinte forma: Cc = iCc·L em que iCc é a taxa de comissão de cobrança. Neste caso fica: Cc = 0.005·€2500 � Cc = €12.50


O IS é calculado com base na taxa de imposto de selo em vigor e incide sobre o Df e a Cc: IS = iS (Df + Cc) � IS = 0.04 (€23.33 + €12.50) � IS = €1.43. Os portes ascenderam a €2. O Ágio é o somatório de todos os encargos: A = Df + Cc + IS + P � A = €23.33 + €12.50 + €1.43 + €2.00 � A = €39.27. Uma vez calculado o Ágio, facilmente calculamos o PLD: PLD = L – A � PLD = €2500 - €39.28 � PLD = €2460.73. O valor líquido obtido pelo desconto da letra foi de €2460.73. A seguir podemos calcular o custo efetivo anualizado para o cliente que é pedido. O cliente do banco recebeu na data de desconto bancário um valor, o PLD, que normalmente só iria receber na data de vencimento da letra (L). Deste modo, o custo efetivo anualizado será uma taxa que aplicada ao PLD na data do desconto bancário permitirá obter o valor nominal da letra na data de vencimento. Trata-se de uma capitalização, em que neste caso consideramos o regime de juro simples: Cn = C (1 + ni) � L = PLD (1 + n/360 · i’ CS) � €2500 = €2460.73 (1 + 42/360 · i’ CS) � i’ CS ≈ 0.1368. O custo efetivo anualizado para o cliente na ótica do RJS foi ≈ 13.68%. 3. Considerando os dados do exercício anterior, calcule: a) O custo efetivo anualizado para o cliente na ótica do regime de juro composto (i’CC) b) O retorno efetivo anualizado para o banco na ótica do regime de juro simples (i’BS) c) O retorno efetivo anualizado para o banco na ótica do regime de juro composto (i’BC) Resolução: a) Cn = C (1 + i)n � L = PLD (1 + i’CC)n/360 � €2500 = €2460.73 (1 + i’CC)42/360 � 1.01596 ≈ (1 + i’CC)42/360 � 1.01596360/42 ≈ [(1+i’CC)42/360]360/42 � 1.1453 ≈ 1+i’CC � i’ CC ≈ 0.1453. O custo efetivo anualizado para o cliente na ótica do RJC ≈ 14.53%.


b) Cn = C (1 + ni) � €2500 = €2462.17 (1 + 42/360 · i’ BS) � i’ BS ≈ 0.1317. O retorno efetivo anualizado para o banco na ótica do regime de juro simples ≈ 13.17%. c)€2500 = €2462.17 (1 + i’BC)42/360 � i’ BC ≈ 0.1396. O retorno efetivo anualizado para o banco na ótica do RJC ≈ 13.96%. 4. Considere um capital de €10000 com vencimento daqui a 3 anos e a taxa anual de 10%. Assumindo o regime de juro composto, qual será o valor atual deste capital, utilizando a solução comercial? Resolução: O valor atual fica: C’CC = C (1-i)n � C’CC = €10000 (1-0.1)3 � C’CC = €7290. O capital atual comercial composto é de €7290. 5. Considerando os dados do exercício anterior, calcule a) O valor atual do capital, utilizando a solução racional b) A taxa real anual suportada, utilizando a solução comercial c) A taxa real anual suportada, utilizando a solução racional Resolução: a) C’RC = C (1+i)-n � C’RC = €10000 (1+0.1)-3 � C’RC = €7513.15.


O capital atual racional composto é de €7513.15. b) Cn = C(1+i)n � €10000 = €7290(1+dCC)3 � 1.371742 = (1+dCC)3 � dCC = 0.(1). A taxa real anual suportada utilizando o desconto comercial composto é de 11.(1)%. c) Cn = C(1+i)n � €10000 = €7513.15(1+dRC)3 � 1.331 = (1+dRC)3 � dRC = 0.1. A taxa real anual suportada utilizando o desconto racional composto é de 10%, coincidindo com a taxa de atualização anunciada. De facto, nem sequer era necessário efetuar cálculos, pois na solução racional a parcela de desconto (que abate ao capital nominal) é calculada com base no capital atual. 6. O Sr. Pedro contraiu duas dívidas, uma no valor de €2000 à qual faltam 20 dias para o vencimento, outra de €5000 à qual faltam 60 dias para o seu vencimento. Se o Sr. Pedro pretender substituir as duas dívidas por uma única com vencimento a 30 dias, de que valor deve ser esta dívida, à taxa anual de 8%, considerando o dia de hoje como data focal e considerando regime de juro simples e solução racional? Resolução: Pretende-se efetuar uma equivalência de capitais entre duas dívidas, uma no valor de €2000 com vencimento a 20 dias e outra no valor de €5000 com vencimento a 60 dias, e um capital único a calcular, que designaremos por X, com vencimento a 30 dias. Esta equivalência corresponde ao cálculo do capital comum. Neste caso a data focal é o dia de hoje. A atualização de um capital único em desconto racional simples é feita multiplicando o capital nominal pelo respetivo fator de atualização, isto é, pelo Fator de Atualização Racional Simples (para um dado n e para uma dada taxa), FARSn,i: C’RS = C[1/(1+ni)] = C·FARSn,i Aplicando o FARSn,i a cada um dos capitais, fica: €2000 / (1 + 20/365 · 0.08) + €5000 / (1 + 60/365 · 0.08) = X / (1 + 30/365 · 0.08) � X = €6971.91. Se utilizarmos o RJS na solução racional, o capital comum é €6971.91.

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