Caderno RQ9 Matrizes Determinantes Sistemas Lineares RQ9-Matrizes-e-Determinantes.pdf · Se uma matriz quadrada é tal que , ela é chamada matriz antissimétrica. Sabe-se que é

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Caderno RQ9

Matrizes

Determinantes

Sistemas Lineares

Prof. Milton Araujo

2016 INSTITUTO INTEGRAL | www.institutointegral.com.br

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Sumário

1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 4

2 MATRIZES ........................................................................................................................................ 5

2.1 ORDEM DA MATRIZ ...................................................................................................................... 5

2.2 NOTAÇÃO ................................................................................................................................... 5

3 CLASSIFICAÇÃO DAS MATRIZES ....................................................................................................... 7

3.1 MATRIZ LINHA ............................................................................................................................. 7

3.2 MATRIZ COLUNA .......................................................................................................................... 7

3.3 MATRIZ QUADRADA ..................................................................................................................... 7

3.3.1 Diagonais da Matriz Quadrada ............................................................................................ 8

3.4 MATRIZ DIAGONAL ....................................................................................................................... 8

3.5 MATRIZ IDENTIDADE ..................................................................................................................... 8

3.6 MATRIZ TRANSPOSTA .................................................................................................................... 9

3.6.1 Notação .............................................................................................................................. 9

3.7 MATRIZ SIMÉTRICA ....................................................................................................................... 9

3.8 MATRIZ OPOSTA ........................................................................................................................ 10

3.9 MATRIZ UNITÁRIA ...................................................................................................................... 10

3.10 MATRIZ ANTISSIMÉTRICA ............................................................................................................. 11

3.11 MATRIZ TRIANGULAR .................................................................................................................. 12

3.11.1 Triangular inferior ......................................................................................................... 12

3.11.2 Triangular superior ........................................................................................................ 13

4 IGUALDADE DE MATRIZES ............................................................................................................. 14

5 OPERAÇÕES COM MATRIZES ......................................................................................................... 15

5.1 ADIÇÃO.................................................................................................................................... 15

5.2 SUBTRAÇÃO .............................................................................................................................. 15

5.3 MULTIPLICAÇÃO DE UM ESCALAR ................................................................................................... 15

5.3.1 Operação........................................................................................................................... 16

5.4 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES ...................................................................................................... 17

5.4.1 Dispositivo prático ............................................................................................................. 17

5.4.2 Algumas Propriedades do Produto Matricial...................................................................... 18

6 DETERMINANTES ........................................................................................................................... 19

6.1 NOTAÇÃO ................................................................................................................................. 19

6.2 RESOLUÇÃO DE DETERMINANTES DE ORDENS 2 E 3 ............................................................................ 19

6.2.1 A Regra de Sarrus .............................................................................................................. 19

6.3 DETERMINANTE DE ORDEM SUPERIOR A 3 ....................................................................................... 21

6.4 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES ............................................................................................. 21

6.4.1 O determinante será nulo quando... .................................................................................. 21

6.4.2 Determinante da matriz transposta ................................................................................... 22

6.4.3 Multiplicação de uma fila por uma constante .................................................................... 23

6.4.4 Multiplicação da matriz por uma constante ...................................................................... 24

6.4.5 Determinante da matriz triangular .................................................................................... 25

6.4.6 Determinante da matriz inversa ........................................................................................ 25

6.4.7 Determinante do produto .................................................................................................. 25

2




6.4.8 Permutação de filas paralelas............................................................................................ 25

6.5 O DETERMINANTE DE VANDERMONDE ............................................................................................ 25

7 INVERSÃO DE MATRIZES ............................................................................................................... 28

7.1 MATRIZ INVERSA ........................................................................................................................ 28

7.1.1 Método de resolução pela definição .................................................................................. 29

7.1.2 Método de resolução pela matriz dos cofatores ................................................................ 29

8 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ............................................................................................... 32

8.1 REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DO SISTEMA ........................................................................................ 32

8.2 MÉTODOS DE RESOLUÇÃO ............................................................................................................ 32

8.2.1 Método da Substituição ..................................................................................................... 33

8.2.2 Regra de Cramer ............................................................................................................... 33

8.2.3 Método da Matriz Inversa ................................................................................................. 34

8.3 DISCUSSÃO DE SISTEMAS LINEARES ................................................................................................. 35

8.3.1 Sistema Possível e Determinado (SPD) ............................................................................... 35

8.3.2 Sistema Possível e Indeterminado (SPI) .............................................................................. 36

8.3.3 Sistema Impossível (SI) ...................................................................................................... 36

9 EXERCÍCIOS .................................................................................................................................... 37

10 TESTES ........................................................................................................................................... 39

11 INSTITUTO INTEGRAL EDITORA - CATÁLOGO ................................................................................ 51

12 CURRÍCULO INFORMAL ................................................................................................................. 58

3




Alertamos para o fato de que nosso material passa por constantes revisões, tanto

para a correção de erros, quanto para a inclusão de novos conteúdos ou questões

resolvidas, ou para melhorar as explicações em alguns tópicos. Tudo baseado nas

centenas de dúvidas que recebemos mensalmente.

Não é necessário imprimir o material a cada revisão. Apenas baixe a versão

corrigida e consulte-a no caso de encontrar alguma inconsistência em sua cópia

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1 Introdução

"Os melhores professores são aqueles que te

mostram para onde olhar, mas não dizem o que

você deve ver." [Alexandra K.Trenfor]

Você provavelmente já é, ou está em vias de se tornar, um pesquisador

acadêmico.

Aos que já são pesquisadores acadêmicos, parabéns! Estou dispensado de falar

da importância desse assunto.

Aos que estão no caminho para se tornarem pesquisadores, informo que Matrizes

e Determinantes farão parte de suas vidas a partir de hoje.

Apesar da importância do assunto para a área de pesquisa acadêmica, ele é pouco

explorado pela ANPAD em suas provas. Em Concursos Públicos é ainda mais

raro...

Na coleta dos dados de pesquisa, você terá um conjunto de variáveis, que

chamamos de variáveis determinantes do estudo, e precisará obter o maior

número de respostas possível. Tais dados irão compor sua matriz de dados a

serem manipulados por algum software, como SPSS, MATLAB, etc., a fim de

que se possa chegar a modelos preditivos que conduzam a conclusões plausíveis.

Mas não quero estragar a surpresa, nem sua diversão...

Por ora, quero apenas motivá-lo(a) a estudar esse assunto com carinho, mas, por

favor, nem por um minuto pense que este pequeno e-book irá ajudá-lo a dominar

o assunto. Como já disse anteriormente, meus e-books se propõem a

instrumentalizá-lo(a) com dicas que ajudarão a vencer a primeira barreira do

processo, que é o Teste ANPAD.

Então, comece...

Bons Estudos!

5




2 Matrizes

Matriz é um conjunto de dados, apresentados sob a forma de uma tabela com

linhas e colunas. Em outras palavras: uma matriz é um conjunto retangular de

números, símbolos ou expressões, organizados em linhas e colunas. Cada um dos

itens de uma matriz é chamado de elemento.

As matrizes são muito utilizadas para a resolução de sistemas de equações

lineares e transformações lineares.

2.1 Ordem da Matriz

A ordem da matriz é definida como (lê-se: “ por ”), onde representa

o número de linhas e representa o número de colunas da matriz.

Exemplo:

Uma matriz tem 2 linhas e 3 colunas.

2.2 Notação

onde:

representa a linha do elemento ;

representa a coluna do elemento ;

representa a quantidade de linhas da matriz ;

representa a quantidade de colunas da matriz ;

6




Exemplo:

A matriz tem ordem (lê-se: “três por dois”), isto é, tem 3 linhas e 2

colunas. Seus elementos são:

Obs.: Usa-se, para a apresentação dos elementos de uma matriz, parênteses ( ) ou

colchetes [ ].

7




3 Classificação das Matrizes

3.1 Matriz Linha

A matriz linha tem ordem

Exemplos:

3.2 Matriz Coluna

A matriz coluna tem ordem

Exemplos:

3.3 Matriz Quadrada

A matriz quadrada tem ordem ou simplesmente ordem , visto que a

matriz tem o número de linhas igual ao número de colunas.

Exemplos:

Ordem da matriz :

8




Ordem da matriz :

3.3.1 Diagonais da Matriz Quadrada

Somente matrizes quadradas têm diagonais.

3.4 Matriz Diagonal

A matriz quadrada diagonal é aquela na qual todos os elementos, exceto os da

diagonal principal, são nulos.

se

Exemplo:

3.5 Matriz Identidade

A matriz identidade é uma matriz quadrada diagonal, cujos elementos da

diagonal principal são todos unitários.

Exemplos:

9




é a notação da matriz identidade de ordem 2.

é a notação da matriz identidade de ordem 3.

3.6 Matriz Transposta

Matriz na qual há troca de linhas por colunas.

3.6.1 Notação

Exemplo:

Ordem da matriz :

Ordem da matriz :

3.7 Matriz Simétrica

A matriz simétrica é aquela na qual sua transposta é igual à matriz primitiva.

10




Note que , portanto, a matriz é simétrica.

3.8 Matriz Oposta

Matriz oposta é aquela obtida pela troca dos sinais de todos os elementos da

matriz primitiva.

Exemplo:

3.9 Matriz Unitária

É a matriz quadrada que obedece a relação:

Em outras palavras: quando a transposta de uma matriz quadrada é igual à sua

inversa, a matriz é dita unitária.

Exemplo:

ANPAD 2014 (Adaptada) – Dada a matriz:

A transposta de A é a matriz

11




A inversa de A é a matriz

(Não demonstraremos aqui a inversa da matriz A. Consulte o Capítulo 6.)

Note que: , portanto, a matriz é unitária.

3.10 Matriz Antissimétrica

É a matriz quadrada que obedece a relação:

Em outras palavras: quando a transposta de uma matriz quadrada é igual à sua

matriz oposta, a matriz é dita antissimétrica.

Exemplo:

Se uma matriz quadrada é tal que , ela é chamada matriz

antissimétrica. Sabe-se que é antissimétrica e:

Os termos , e de valem respectivamente:

a) 4, 2 e 4.

b) 4, 2 e 4.

c) 4, 2 e 4.

d) 2, 4 e 2.

e) 2, 2 e 4.

Solução:

A matriz transposta de é:

12




A matriz oposta de é:

Conforme o enunciado, a matriz é antissimétrica. Então:

Resposta: , , .

Gabarito: Alternativa B.

3.11 Matriz Triangular

Se a matriz é quadrada de ordem , tem-se dois casos de matriz triangular:

3.11.1 Triangular inferior

É tal que se

13




Exemplo:

3.11.2 Triangular superior

É tal que se

Exemplo:

14




4 Igualdade de Matrizes

Duas matrizes de mesma ordem serão iguais quando todos os seus elementos

forem iguais.

Exemplo:

Exercício:

ANPAD 2000 – Considere as matrizes:

e

. Se

, então:

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

Gabarito: Alternativa A.

15




5 Operações com Matrizes

5.1 Adição

As matrizes devem ser de mesma ordem. A operação é realizada adicionando-se

os elementos de mesma posição.

Exemplo:

Sejam as matrizes:

e

, calcule .

Solução:

5.2 Subtração

As matrizes devem ser de mesma ordem. A operação é realizada subtraindo-se os

elementos de mesma posição.

Exemplo:

Sejam as matrizes:

e

, calcule .

Solução:

5.3 Multiplicação de um Escalar

Na matemática, na informática, e na física uma grandeza escalar é definida

quando precisamos somente de um valor numérico associado a uma unidade de

medida para caracterizar uma grandeza física. O termo é usado frequentemente

16




em contraste às entidades que são "compostas" de muitos valores, como o vetor,

a matriz, o tensor, a sequência, etc.

Exemplos de grandezas escalares: comprimento, massa, tempo, temperatura, etc.

Observe que a matriz é uma grandeza vetorial, uma vez que pode representar um

vetor ou um conjunto de vetores.

5.3.1 Operação

Dada a matriz

, a matriz é dada por:

A matriz pode ter qualquer ordem.

Exemplo:

Dada a matriz:

Calcule a matriz .

Solução:

17




5.4 Multiplicação de Matrizes

Dadas duas matrizes: de ordem e de ordem , tem-se que:

o produto só estará definido se

o produto só estará definido se

Em outras palavras:

Dadas as matrizes e , só será possível realizar o produto se o número de

colunas da matriz for igual ao número de linhas da matriz

5.4.1 Dispositivo prático

Exemplo:

Dadas as matrizes:

e

, calcule o produto

Solução:

18




Resposta:

5.4.2 Algumas Propriedades do Produto Matricial

Sejam as matrizes .

Se os produtos e são possíveis de cálculo, então

.

Se os produtos e são possíveis, então .

Se os produtos e são possíveis, então .

Se é a matriz unitária conforme foi descrita no item 3.9, então:

e

O produto matricial não é comutativo.

19




6 Determinantes

Determinante é um número que está associado a toda matriz quadrada.

6.1 Notação

A representação de um determinante é feita pela substituição dos colchetes [ ] ou

dos parênteses ( ) da matriz por duas barras laterais paralelas:

Também se denota o determinante de uma matriz por

6.2 Resolução de Determinantes de Ordens 2 e 3

6.2.1 A Regra de Sarrus

6.2.1.1 Determinante de Segunda Ordem

Dada a matriz

, seu determinante é:

O determinante de uma matriz de segunda ordem é dado pela diferença entre o

produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da

diagonal secundária.

Exemplo:

Dada a matriz

, calcule o seu determinante.

Solução:

20




6.2.1.2 Determinante de Terceira Ordem

Dada a matriz

, seu determinante é:

Pode-se usar o seguinte algoritmo prático:

Repetem-se as duas primeiras colunas ao lado da matriz original. A seguir,

somam-se os resultados dos três produtos no sentido da diagonal principal,

subtraindo-se a soma dos três produtos efetuados no sentido da diagonal

secundária, conforme a figura a seguir:

Exemplo:

Calcule o determinante da matriz

Solução:

21




6.3 Determinante de Ordem Superior a 3

Consta claramente no Programa da prova de Raciocínio Quantitativo do Teste

ANPAD:

... cálculo de determinantes de 2ª e de 3ª ordens. Propriedades.

Qualquer questão que solicite o cálculo de um determinante de ordem superior a

3 deve ser sumariamente anulada, pois está fora do programa. Agora observe

as questões 18 e 19 do Capítulo 8 – Exercícios.

6.4 Propriedades dos Determinantes

DICA: Determinantes é um tópico que envolve cálculos extensos,

principalmente quando se trata de determinantes de terceira ordem. Os

examinadores costumam cobrar as propriedades.

Fixe-as adequadamente e você conseguirá responder muitas questões sem

realizar cálculos!

6.4.1 O determinante será nulo quando...

6.4.1.1 A matriz tiver uma fila1 de zeros

Exemplo:

, pois a segunda linha da matriz é composta por elementos iguais a

zero. 1 Em uma matriz, o termo “fila” tanto pode designar uma linha ou uma coluna.

22




6.4.1.2 A matriz tiver duas filas paralelas iguais

Exemplo:

, pois a primeira e a terceira colunas são iguais.

6.4.1.3 A matriz tiver duas filas paralelas proporcionais

Exemplo:

, pois a primeira e a terceira linhas são proporcionais, ou seja:

6.4.1.4 Houver combinações lineares entre filas paralelas

Exemplo:

, pois a terceira linha forma a seguinte combinação linear com a

primeira linha:

6.4.2 Determinante da matriz transposta

O determinante de uma matriz e o determinante de sua transposta são iguais.

23




Exemplo:

Dada a matriz

Seu determinante é:

Transposta da matriz :

O determinante da matriz transposta é:

6.4.3 Multiplicação de uma fila por uma constante

Se uma fila de uma matriz quadrada for múltipla de um número , então o

determinante dessa matriz também será múltiplo de .

Exemplo:

ANPAD 2003 – O determinante da matriz

é um número

múltiplo de

a) 0.

b) 3.

c) 5.

d) 7.

e) 8.

Gabarito: Alternativa B.

Justificativa: a terceira coluna é múltipla de 3. Note que a terceira linha é

múltipla de 2.

24




6.4.4 Multiplicação da matriz por uma constante

Dada a matriz quadrada , de ordem , cujo determinante é diferente de zero

, a matriz ( ) terá como determinante:

Exemplo:

Dada a matriz

, cujo determinante é igual a 10, calcule o

determinante da matriz .

Solução:

Pela propriedade:

Desafio:

3º Simulado ANPAD – Instituto Integral – 2003. A matriz quadrada , de

terceira ordem, possui determinante igual a . Sabendo-se que a matriz é a

transposta da matriz , então a matriz tem determinante igual a

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

[Fonte: banco de questões do autor]

Gabarito: Alternativa E.

25




6.4.5 Determinante da matriz triangular

Exemplo:

Calcule o determinante da matriz :

Solução:

6.4.6 Determinante da matriz inversa

Lembre-se de que, se uma matriz tem inversa, o seu determinante é diferente de

zero: .

6.4.7 Determinante do produto

6.4.8 Permutação de filas paralelas

Permutando-se duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal

6.5 O Determinante de Vandermonde

A matriz de Vandermonde é quadrada e pode ser de ordem 3 ou superior.

26




Com , , e .

Observe que a linha 1 é formada pelos elementos:

Na segunda linha, todos os elementos estão elevados ao expoente 1. Nesta linha,

estão os elementos característicos da matriz de Vandermonde.

Na terceira linha, todos os elementos estão elevados ao expoente 2.

E assim por diante, até a última linha, na qual todos os elementos estarão

elevados ao expoente .

Valor do determinante da matriz de Vandermonde:

O determinante é calculado a partir da linha dos elementos característicos.

Subtraia cada elemento característico de cada um dos elementos à sua esquerda e

multiplique os resultados.

Exemplos:

1) Calcule o determinante:

Solução:

2) Calcule o determinante:

27




Solução:

28




7 Inversão de Matrizes

A inversão de matrizes surgiu da necessidade de se resolver equações matriciais

do tipo ( e são matrizes). Como o leitor pode observar, não existe

a operação do quociente entre matrizes.

A teoria da inversão de números reais foi estendida às matrizes e a solução da

equação matricial é dada por:

(Método da matriz inversa para solução de sistemas lineares)

7.1 Matriz Inversa

Seja uma matriz quadrada de ordem . Uma matriz é chamada inversa de

se, e somente se:

onde:

é a inversa da matriz , ou seja:

é a matriz identidade de ordem

Só é possível calcular a inversa de uma matriz quadrada se o seu determinante

for diferente de zero:

Exemplo:

Dada a matriz

, a matriz

é a sua inversa, pois:

29




7.1.1 Método de resolução pela definição

Dada a matriz , buscamos a matriz , tal que:

Exemplo:

Dada a matriz

, calcule a sua inversa.

Solução:

e

e

7.1.2 Método de resolução pela matriz dos cofatores

A matriz inversa também pode ser determinada por:

onde:

é a matriz inversa;

30




é o determinante da matriz;

é a transposta da matriz dos cofatores, também conhecida como

matriz adjunta.

Exemplo:

Dada a matriz

, calcule a sua inversa.

Solução:

Primeiro passo: cálculo do determinante.

Como , sabe-se que a matriz é inversível.

Segundo passo: determinação da matriz dos cofatores.

Terceiro passo: determinação da transposta dos cofatores.

Quarto passo: determinação da matriz inversa.

31




Dica: Em concursos públicos, e principalmente no Teste ANPAD, as questões

que envolvem matriz inversa ficam restritas unicamente à sua condição de

existência:

32




8 Sistemas de Equações Lineares

Exemplo:

8.1 Representação Matricial do Sistema

Exemplo:

onde:

é a matriz dos coeficientes das equações do sistema;

é a matriz das incógnitas do sistema;

é a matriz dos termos independentes do sistema.

O sistema acima tem a representação de uma equação matricial:

8.2 Métodos de Resolução

Há várias formas de se resolver sistemas de equações lineares. Todos apresentam

cálculos extensos. Os mais comuns são o da substituição e a regra de Cramer,

abordados a seguir. Não abordaremos aqui os métodos de escalonamento.

33




8.2.1 Método da Substituição

Exemplo:

Solução:

Isolando-se a variável na primeira equação e substituindo nas outras duas

equações:

e

8.2.2 Regra de Cramer

A regra de Cramer é um método para resolução de sistemas lineares

(número de equações igual ao número de incógnitas), com o auxílio de

determinantes.

Exemplo:

Solução:

é o determinante da matriz dos coeficientes.

34




é o determinante da incógnita . Observe que a coluna da

incógnita foi substituída pelos termos independentes.





Resposta: , ,

8.2.3 Método da Matriz Inversa

O método da matriz inversa dá a solução da equação:

que é:

35




Exemplo:

Solução:

Representação do sistema na forma matricial:

Matriz inversa:

ou

8.3 Discussão de Sistemas Lineares

A discussão de sistemas de equações lineares é feita a partir dos determinantes da

regra de Cramer.

8.3.1 Sistema Possível e Determinado (SPD)

36




8.3.2 Sistema Possível e Indeterminado (SPI)

, , ,

8.3.3 Sistema Impossível (SI)

, , ,

37




9 Exercícios

1) Determine a matriz tal que .

Resposta:

.

2) Construa as seguintes matrizes:

tal que

tal que

Respostas:

e

.

3) Seja a matriz tal que

, então é

igual a:

Resposta: 8.

4) Determine a soma dos elementos da 3º coluna da matriz tal que

.

Resposta: 15.

5) Sejam

e

, determine .

Resposta:

.

6) Dadas as matrizes

e

, determine e para

que .

Resposta:

,

7) Determine os valores de e na equação matricial:

Resposta: ,

38




8) Se

, determine o valor de .

Resposta: 4.

9) Calcule o valor do determinante da matriz

Resposta: 63.

10) Resolva a equação

Resposta:

11) Classificar e resolver os sistemas lineares:

a)

Resposta: SPD,

b)

Resposta: SPI,

c)

Resposta: SI

12) Se Amélia der R$ 3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia.

Se Amélia perder a metade do que tem, ficará com uma quantia igual a um terço

do que tem Maria. Se Maria der um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará

com R$ 6,00 a mais que Amélia. Quanto possuem Amélia, Lúcia e Maria,

respectivamente?

Resposta: R$ 18,00; R$ 15,00; R$ 27,00.

39




10 Testes

1) ANPAD 2007 – A matriz , composta por números reais, de ordem , é

igual a

. Para quais valores de não se pode determinar a inversa

dessa matriz ?

a) e .

b) e .

c) e .

d) e .

e) e .

2) ANPAD 2006 – Uma empresa que trabalha com a revenda de notebooks tem

lojas nas seguintes cidades: Porto Alegre (POA), São Paulo (SPA) e Belo

Horizonte (BHZ). Uma marca particular de notebook está disponível nos

modelos A, B e C. Além disso, cada modelo tem uma bolsa correspondente que,

geralmente, é vendida junto com o notebook. Os preços de venda (em reais) do

notebook e da bolsa são dados pela matriz , onde a primeira linha indica os

preços dos notebooks nos três modelos e a segunda linha, o preço das bolsas.

O número de conjuntos (notebook e bolsa) disponíveis em cada loja é dado pela

matriz

Se João Paulo foi à loja de Porto Alegre e comprou todos os conjuntos do modelo

A e todos do modelo C, então ele gastou

a) R$ 48.000,00.

b) R$ 49.100,00.

c) R$ 62.000,00.

d) R$ 63.520,00.

40




e) R$ 64.150,00.

3) ANPAD 2006 – Os elementos de uma matriz representam as

distâncias (em quilômetros) entre as cidades e , e os elementos de uma

matriz representam o custo por quilômetro do transporte da cidade para a

cidade (sendo que o custo de transporte da cidade para a cidade é diferente

do custo de transporte da cidade para a cidade ). Se , representa

a) a soma dos custos de transporte das cidades 2, 3, ..., para a cidade 1.

b) a soma dos custos de transporte das cidades 2, 3, ..., para a cidade 2.

c) o custo de transporte da cidade 1 para a cidade 2.

d) a soma das distâncias entre as cidades 2, 3, ... e a cidade 1.

e) a soma das distâncias entre as cidades 2, 3, ... e a cidade 2.

4) ANPAD 2005 – Seja uma matriz real quadrada de ordem 2,

definida por

. A matriz é

a)

.

b)

.

c)

.

d)

.

e)

.

5) ANPAD 2004 – Sejam as matrizes

e

. Se , o valor de é igual a

a) 1.

b) 8.

c) 16.

d) 2.

e) 8.

41




6) ANPAD 2003 – A soma dos elementos da diagonal principal da matriz

, na qual , é igual a

a) .

b) 4.

c) 2.

d) 4.

e) 6.

7) ANPAD 2003 – O determinante da matriz

é um número

múltiplo de

a) 0.

b) 3.

c) 5.

d) 7.

e) 8.

8) ANPAD 2003 – Se considerarmos a matriz real determinada

por

. Então,

a)

.

b)

.

c)

.

d)

.

e)

.

9) ANPAD 2007 – B Considere a tabela abaixo, na qual , com

42




+

Se , , , , e , então,

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

10) ANPAD 2008 – Se

e sua transposta

,

então valo

a) 39.

b) 14.

c) 0.

d) 14.

e) 16.

11) ANPAD 2008 – Multiplicando-se a matriz

por sua

transposta, obtém-se uma matriz identidade. Se o determinante da matriz é

negativo, então o valor de é

a) 7/5.

b) 1/5.

c) 1/10.

d) 1/5.

e) 1/10.

12) ANPAD 2008 – O determinante da matriz , na qual e

, é igual a

a) .

43




b) 0.

c) 1.

d) 1.

e) .

13) ANPAD 2008 – Para que a matriz

tenha inversa, é necessário

que

a) .

b) .

c) .

d) .

e) e .

14) ANPAD 2007 – E Uma indústria fabrica três modelos diferentes de sofás:

Berlim, Paris e Veneza. Abaixo, a Tabela 1 mostra o número de almofadas e de

“pufs” que acompanham cada modelo, e a Tabela 2 mostra a produção que a

fábrica planeja alcançar para os meses de janeiro e fevereiro.

Componentes Modelo

Modelo Mês

Berlin Paris Veneza Janeiro Fevereiro

Almofadas 4 6 8 Berlin 500 600

“Pufs” 2 3 4 Paris 200 300

Veneza 300 250

Tabela 1 Tabela 2

As quantidades de almofadas e de “pufs” que deverão ser produzidos nesses dois

meses são, respectivamente,

a) 5.600 e 5.900.

b) 5.600 e 2.800.

c) 6.200 e 3.100.

d) 11.800 e 2.800.

e) 11.800 e 5.900.

44




15) ANPAD 2009 – A matriz é a matriz resultante da soma das

matrizes e . Sabendo-se que e que

, então o quociente dos elementos e da matriz é

a) -2.

b) -1.

c) 0.

d) 1.

e) 2.

16) ANPAD 2010 – O traço de uma matriz é definido como a soma dos

elementos da diagonal principal. Se a matriz é definida por

, então o traço dessa matriz é

a) 14.

b) 36.

c) 90.

d) 104.

e) 112.

17) ANPAD 2011 – O determinante da matriz real definida por

é igual a

a) 0.

b) 21.

c) 27.

d) -21.

e) -27.

18) ANPAD 2012 – Se

45




e

são matrizes inversíveis, então o valor de

é

a)

b)

c)

d) 72

e) – 72

19) ANPAD 2013 – Resolvendo o determinante associado à matriz

Encontraremos:

a) xyzt.

b) . c) . d) . e) .

20) ANPAD 2013 – Considere a matriz

.

Determine o conjunto de números reais x para os quais a matriz A não é

inversível.

a) ϕ (conjunto vazio).

b) . c) . d) . e) .

46




Esta questão está resolvida no seguinte livro digital:


21) ANPAD 2013 – Considere a matriz identidade

e a matriz nula

e sejam A e B duas matrizes reais 2 2 quaisquer. Analise as

afirmativas a seguir:

I. Se , então ou .

II. Se , então ou .

III.

Assinale a alternativa correta.

a) Todas as afirmativas são verdadeiras.

b) Nenhuma das afirmativas é verdadeira.

c) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.

d) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.

e) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.

22) ANPAD 2014 – Sabendo que a transposta de uma matriz M é a matriz MT

cuja j-ésima coluna é a j-ésima linha de M, analise as seguintes afirmativas sobre

a matriz

I. O determinante de A é zero.

II. A transposta de A é a matriz

.

III. A inversa de A é a matriz

.

É verdadeiro o que se afirma

a) apenas em I.

b) apenas em II.

c) apenas em I e II.

d) apenas em I e III.

e) apenas em II e III.


47






23) ANPAD 2014 – Considere as matrizes

,

e

Qual das alternativas abaixo apresenta um produto possível entre essas três

matrizes?

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

24) ANPAD 2015 – Uma matriz 3x3, foi construída de maneira que

suas colunas são progressões geométricas, todas de mesma razão, e suas linhas

são progressões aritméticas. Sabe-se que , e . Sendo

assim, a entrada é igual a

a) 17.

b) 36.

c) 81.

d) 144.

e) 180.



25) Se uma matriz quadrada é tal que , ela é chamada matriz

antissimétrica. Sabe-se que é antissimétrica e:

Os termos , e de valem respectivamente:

a) 4, 2 e 4.

b) 4, 2 e 4.

c) 4, 2 e 4.

d) 2, 4 e 2.



48




e) 2, 2 e 4.

26) Se

, então, necessariamente:

a) .

b) .

c) e .

d) e .

e) e .

27) Na confecção de três modelos de camisas são usados botões

grandes (G) e pequenos (p). O número de botões por modelo é dado pela Tabela

1. A Tabela 2 informa as quantidades de cada modelo de camisa que serão

confeccionadas nos meses de maio e junho de certo ano.

Camisas

Camisas Mês

A B C Maio Junho

Botão p 3 1 3 A 100 50

Botão G 6 5 5 B 50 100

C 50 50

Tabela 1 Tabela 2

Nessas condições, a quantidade total de botões pequenos (p) e grandes (G)

utilizados na confecção de todas as camisas nos meses de maio e junho são,

respectivamente

a) 900 e 1020.

b) 450 e 1020.

c) 480 e 1130.

d) 450 e 2150.

e) 900 e 2150.

28) (MACK) Se é uma matriz e é uma matriz , então:

a) existe se, e somente se, e .

b) existe se, e somente se, e .

c) existem e se, e somente se, e .

d) existem, e são iguais, e se, e somente se .

e) existem, e são iguais, e se, e somente se .

49




29) (MACK) Sejam as matrizes

. Se , então

vale:

a) 3.

b) 14.

c) 39.

d) 84.

e) 258.

50




Gabarito

1-B 2-B 3-A 4-A 5-A 6-A 7-B 8-E 9-B 10-C

11-B 12-C 13-D 14-E 15-A 16-C 17-C 18-B 19-E 20-E

21-B 22-E 23-E 24-D 25-B 26-E 27-E 28-C 29-D

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11 Instituto Integral Editora - Catálogo

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4. Caderno RQ2 – Proporcionalidade


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5. Caderno RQ3 - Matemática Financeira


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10. Caderno RQ5 – Probabilidade

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11. Caderno RQ6 - Estatística


12. Caderno RQ7 – Funções











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13. Caderno RQ8 - Sequências e Progressões


14. Caderno RQ9 - Matrizes e Determinantes


15. Caderno RQ10 - Geometria Plana,

Geometria Espacial, Geometria Analítica


16. Caderno RQ11 – Matemática

Básica


17. Caderno RQ12 – Problemas do Primeiro

Grau – 1 ou 2 incógnitas







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- Véspera da prova

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- O que é um flash card?

- Como confeccionar um flash card?

- Como memorizar o conteúdo de um flash card?

- Uso de flash cards nas operações lógicas

- Aplicações dos flash cards nas operações

lógicas

- - Aplicações dos flash cards no argumento

lógico dedutivo

- Uso dos flash cards nas equivalências lógicas

notáveis

- Uso de flash cards em Tautologias,

Contradições e Contingências

- Uso dos flash cards nas negações:

Leis de De Morgan

Negação da Condição

Negação da bicondição

Negação das proposições categóricas:

todo, nenhum, algum, algum não é

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12 Currículo Informal

Sempre tive facilidade em aprender Matemática. Fui fortemente influenciado por

minha mãe, que fazia cálculos de cabeça e com uma velocidade impressionante.

Em 1972, aos 12 anos, fui convidado por uma professora a auxiliar os colegas em

dificuldades com a matéria. Éramos um grupo de 4 e todos passaram por média.

Ali nasceu o gosto por ensinar...

Aos 14 anos, comecei a reunir grupos em casa para estudar Matemática. Minha

mãe dizia que eu estava dando aulas particulares. Eu dizia que os colegas iam lá

para saborear os quitutes que ela fazia. Como descendente de italianos e

espanhóis, minha mãe era especialista em massas, pães, bolos e outros quitutes

deliciosos e irresistíveis.

Quando terminei o (antigo) segundo grau, virei professor particular de

Matemática, Estatística e Matemática Financeira.

Entrei na faculdade de Engenharia Elétrica da UFJF em 1979. Ainda em Juiz de

Fora-MG, ministrei aulas de Matemática no curso VIP (pré-vestibular) de um

professor amigo, durante o ano de 1980.

Em 1981 fui morar em Brasília-DF, e comecei a estudar Raciocínio Lógico

Formal por conta própria, mas tive muita dificuldade em entender as sutilezas

conceituais do assunto. Em 1983 comecei a faculdade de Matemática na Católica

de Brasília-DF. Foi aí que as portas da Lógica Formal se abriram para mim, pois

conheci o Padre Chico.

Antes de prosseguir, preciso contar brevemente a história e a influência que o

Padre Chico teve sobre o meu aprendizado de Lógica Formal.

O Padre Chico

Padre Chico era alemão. “Chico” era só um apelido que ele recebeu por ter um

nome impronunciável em português.

59




Na faculdade, ele lecionava Cultura Religiosa I, mas logo no primeiro dia de

aula, descobri que ele, além de Teólogo, também era Filósofo e mais meia dúzia

de outras formações. Falava 8 idiomas fluentemente. Um gênio!

Na Segunda Guerra, Padre Chico estudava Teologia em um seminário em Berlim

(Alemanha).

Certo dia, ele vinha pela rua com um colega de seminário, quando seu colega foi

jogar um papel dentro da lata de lixo, e, ao levantar a tampa, uma granada

explodiu, matando o seu colega instantaneamente e ferindo o Padre Chico

gravemente. Por consequência, ele mancava de uma perna.

Primeira Lição

Terminada a primeira aula de Cultura Religiosa I, fui conversar com o Padre

Chico a respeito da Lógica Formal.

– “Então o senhor se interessa por Lógica Formal?” perguntou Padre Chico, com

sua peculiar cordialidade.

– “Sim!”, respondi, “mas estou tendo dificuldades para captar as sutilezas

conceituais. Os conceitos parecem extremamente simples, mas, no momento de

aplicá-los, tudo fica muito confuso!”, completei.

– “Pois bem!”, retrucou Padre Chico, “o problema reside no fato de estares

raciocinando como matemático e Lógica Formal não é matemática! É puramente

filosófica... Filosofia é a ciência de todas as ciências. Cuidado com a arrogância

na qual incorrem muitos matemáticos, ao tentarem igualar a Matemática com a

Filosofia. Pior ainda é quando se tenta colocar a Matemática acima da Filosofia.

Acima da Filosofia, só há Deus...”, completou.

“Como bom padre que é, ele está puxando a brasa para o seu churrasco.”,

pensei.

– “Matematizar a Lógica Formal é arrogância!”, continuou Padre Chico,

“Aristóteles, o ‘Pai da Lógica Formal’, era um filósofo grego, discípulo de

Platão, que viveu entre 384 e 322 a.C. Em nenhum momento, ele pensou

matematicamente para propor os conceitos e regras da Lógica Formal. Essa

60




confusão faz com que muitos continuem sem entender Lógica Formal, ou

interpretando erroneamente seus conceitos.”

...

Preciso interromper aqui, senão transformarei essa breve história em livro... Um

dia, pretendo contar essa e outras histórias em um livro.

Em 1984, mudei-me de Brasília-DF para Porto Alegre-RS. Abandonei a

faculdade de Matemática e me concentrei em concluir a Engenharia

Elétrica/Eletrônica na UFRGS. Por motivos de saúde, este curso foi

interrompido, e só foi concluído em 1998.

Entre 2003 e 2005 cursei Mestrado na UFRGS.

De 1985 até 2001, ministrei aulas de Matemática, Raciocínio Lógico,

Matemática Financeira e Estatística em diversos cursos preparatórios para

concursos públicos.

Em 2000 iniciei as atividades do Instituto Integral, com o propósito de preparar

candidatos ao Teste ANPAD (prova de proficiência para quem vai cursar

Mestrado ou Doutorado em Administração de Empresas).

De 2007 a 2012 fui professor universitário na UFRGS, na Decision-FGV, na

Esade e na Unifin.

Fui examinador de concursos públicos de 2007 a 2014 nas Organizadoras

FAURGS, FDRH e FUNDATEC, tendo elaborado mais de 1.000 questões de

Matemática, Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e Estatística para

diversos concursos no RS, tais como: Banrisul 2010, SEFAZ-RS (Auditor e

Técnico) 2014, SUSEPE 2014, IGP 2011, SEPLAG 2011, etc.

Também sou ex-funcionário concursado da Petrobrás, do Banrisul e da Caixa

Federal.

Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/4955422465156693

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