MATRIZES - · PDF filePROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE MATRIZES Seja A, B, C e O matrizes com m linhas e n colunas. Em que O é a matriz nula, m x n. É possível provar que

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Ano 2016

MATRIZES Aulas 01 a 06

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

Sumário MATRIZES ................................................................................................................................................................ 2

NOÇÃO DE MATRIZ ................................................................................................................................................. 2

REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ E SEUS ELEMENTOS ........................................................................................ 2

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 2

MATRIZES ESPECIAIS ............................................................................................................................................... 2

IGUALDADE ENTRE MATRIZES ................................................................................................................................ 3

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3

MATRIZ OPOSTA ..................................................................................................................................................... 3

MATRIZ TRANSPOSTA ............................................................................................................................................. 3

MATRIZ SIMÉTRICA ................................................................................................................................................. 3

MATRIZ ANTISSIMÉTRICA ....................................................................................................................................... 3

0 2 5 0 2 5

2 0 4 2 0 4

5 4 0 5 4 0

tA A A

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ................................................. 3

OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES ................................................................................................................................ 4

ADIÇÃO DE MATRIZES ............................................................................................................................................. 4

SUBTRAÇÃO DE MATRIZES ...................................................................................................................................... 4

PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE MATRIZES ............................................................................................................. 4

MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL .................................................................................. 4


MULTIPLICAÇÃO ENTRE MATRIZES ......................................................................................................................... 5


PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES ............................................................................................... 5

MATRIZ INVERSA ..................................................................................................................................................... 6


QUESTÕES EXTRAS .............................................................................................................................................. 6

CAIU NO SIGMA .................................................................................................................................................. 6

CAIU NO VEST ..................................................................................................................................................... 7

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2

AULA 01

MATRIZES NOÇÃO DE MATRIZ Dados dois números naturais m e n, denomina-se

matriz m por n (denotado por m x n), uma tabela

formada por números reais distribuídos em m linhas e

n colunas.

Exemplo 1.1: A seguir temos a representação de uma

matriz, A, de três linhas ( 3m ) e cinco colunas 5n

.

3 5

2 2 3 0 5

7 5 2 7

1 0 1 1x

A

e

REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ E

SEUS ELEMENTOS Os elementos de uma matriz A, m x n, são

representados por ija , em que 1, 2, 3, ,i m indica

a linha e 1, 2, 3, ,j n indica a coluna na qual esse

elemento se encontra na matriz. Assim podemos

representar uma matriz A, m x n, dos seguintes modos:

i.

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

n

n

m m m mn m x n

a a a a

a a a aA

a a a a

ii.

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

n

n

m m m mn m x n

a a a a

a a a aA

a a a a

iii.

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

n

n

m m m mn m x n

a a a a

a a a aA

a a a a

Obs.1: Pode-se representar uma matriz A, m x n, por

ij m x nA a .

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 1.1. Escreva a matriz determinada em cada item a

seguir.

a) 3 2ij x

A a , em que 2ija i j .

b) 2 3ij x

B b , em que 3 2ijb i j

c) 4 4ij x

C c , em que 1, se

0, se ij

i jc

i j

MATRIZES ESPECIAIS 1. Matriz linha: uma matriz A, 1 x n, é

denominada matriz linha.

2. Matriz coluna: uma matriz A, m x 1, é

denominada matriz coluna.

3. Matriz nula: uma matriz A é denominada

matriz nula se todos seus elementos são iguais

a zero.

4. Matriz quadrada de ordem n: uma matriz A,

n x n, é denominada matriz quadrada de ordem

n.

5. Matriz triangular: uma matriz quadrada de

ordem n, na qual todos os elementos que estão

acima, ou abaixo, da diagonal principal são

iguais a zero.

6. Matriz identidade de ordem n: Matriz

quadrada de ordem n na qual todos os

elementos da diagonal principal são iguais a 1

e todos os outros elementos dessa matriz são

iguais a zero.

Exemplo 1.1: A seguir temos a representação de uma

matriz identidade de ordem 3

𝐼3 = (1 0 00 1 00 0 1

).

Obs.1: Em uma matriz quadrada de ordem n os

elementos cujos índices de linha e coluna são iguais

constituem a diagonal principal dessa matriz.

[

𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛

⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛

]

Obs.2: Em uma matriz quadrada de ordem n os

elementos cuja soma dos índices é igual a n+1

constituem a diagonal secundária dessa matriz.

[

𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛

⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛

]

Diagonal

Principal

Diagonal

Secundária


AULA 02

IGUALDADE ENTRE MATRIZES Duas matrizes, A e B, são iguais se todos os

elementos correspondentes, isto é, que ocupam a

mesma linha e mesma coluna, forem iguais.

Exemplo 2.1: As matrizes A e B a seguir são matrizes

iguais.

2 3

3 5 7 11

1 0 2 5

e

A

,

2 3

3 5 7 11

1 0 2 5

e

B

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1 Determine os valores reais de x e y nos itens a

seguir.

a)

2 2 5

3 1 3 1

2 7 14 7

x

y

b) 2 5 2

5 2 1 2 4 1

x y

x y x y

c) 22 2 3 1

2 3 1 5 3 1

x y

x y y y

2.2 Considere as matrizes 4

3log 1

5y

xxA

e

16 1

25B

, em que 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. Sendo 𝐴 = 𝐵,

determine o valor de 𝑥 + 𝑦.

MATRIZ OPOSTA

A matriz oposta de ij m x nA a é a matriz

ij m x nA a .

Exemplo 2.2: Se

2 5

1 0

3 2

A

, então

2 5

1 0

3 2

A

.

MATRIZ TRANSPOSTA

Dada a matriz ij m x nA a , denomina-se transposta de

A a matriz 'tji n x m

A a , em que ' ji ija a para todo

1,2, ,i m e 1,2, ,j n .

MATRIZ SIMÉTRICA Uma matriz quadrada de ordem n, A, é denominada

matriz simétrica se tA A .

Exemplo 2.3:

1 2 5 1 2 5

2 7 4 2 7 4

5 4 0 5 4 0

tA A A

MATRIZ ANTISSIMÉTRICA Uma matriz quadrada de ordem n, A, é denominada

matriz antissimétrica se tA A .

Exemplo 2.4:

0 2 5 0 2 5

2 0 4 2 0 4

5 4 0 5 4 0

tA A A

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

2.3 Sabendo que a matriz

3 2

2 5

3 1

y

x

z

é simétrica,

qual o valor de 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧?

Transposição de matriz

Fazer a transposição de uma matriz , é

simples, basta trocar ordenadamente as linhas por

colunas, ou seja, a primeira linha da matriz A será a

primeira coluna , a segunda linha de A será a

segunda coluna de , e assim sucessivamente, por

exemplo:

TAREFA 1 – Ler páginas 8 e 9 do capítulo "Matrizes 1" e

fazer os PROPOSTOS 1, 2, 3.


AULA 03

OPERAÇÕES ENTRE

MATRIZES ADIÇÃO DE MATRIZES

Dadas duas matrizes, ij m x nA a e ij mx n

B b , a

matriz soma A B C , em que ij mx nC c , é tal que

ij ij ijc a b para todo 1,2, ,i m e 1,2, ,j n .

Em outras palavras, para somar duas matrizes basta

somar seus elementos correspondentes.

Obs.3: Só é possível somar duas matrizes se elas

tiverem a mesma quantidade de linhas e colunas.

Exemplo 3.1: Sejam 2 5 0

3 1 2A

e

4 1 2

1 1 2B

, a matriz soma C A B é

6 4 2

4 2 0C

.

SUBTRAÇÃO DE MATRIZES

Dadas duas matrizes, ij m x nA a e ij mx n

B b , a

matriz diferença A B é, por definição, a soma da

matriz A, com a oposta de B B , ou seja,

A B A B .

Em outras palavras, para subtrair duas matrizes basta

subtrair seus elementos correspondentes.

PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE

MATRIZES Seja A, B, C e O matrizes com m linhas e n colunas. Em

que O é a matriz nula, m x n. É possível provar que

valem as seguintes propriedades para a adição de

matrizes.

I. Comutativa: A B B A

II. Associativa: A B C A B C

III. Elemento neutro: A O A

IV. Oposto: A A O

MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ

POR UM NÚMERO REAL Multiplicar uma matriz A por um número real k é, por

definição, multiplicar todos os elemento de A por k.

Exemplo 3.2: Seja 2 5 0

3 1 2A

, temos que

4 10 0

26 2 4

A

6 15 0

39 3 6

A

2 5 0, para todo

1 23

k k kk A k

k k k


3.1 Dadas as matrizes

1 2 2 3

6 4 0 1

5 3 2 2

A

e

3 1 0 0

3 5 10 1

2 7 12 2

B

, determine:

a) A B

b) B A

c) 2A

d) 2 3A B

3.2 Resolva a equação 2𝑋 + 𝐵 = 𝐴, em que

3 1

0 2A

e 4 5

0 7B

.

3.3 Sendo as matrizes 3 2ij x

A a , com

cos2

ija i

e 3 2ij x

B b , com jijb i . Determine

2𝐴 + 𝐵.

TAREFA 2 – No capítulo "Matrizes 1" fazer os

PROPOSTOS de 4 a 9.


3.4 Resolva o sistema

16 12 2 6

18 14 8 4

0 2 2 2

4 6 4 6

X Y

X Y

.

AULA 04

MULTIPLICAÇÃO ENTRE MATRIZES

Dadas duas matrizes ij m x pA a e ij p x n

B b ,

denomina-se o produto A B a matriz ij mx nC c , tal

que 1 1 2 2 3 3ij i j i j i j ip pjc a b a b a b a b .

Obs.4: Só é possível multiplicar duas matrizes se o

número de colunas da primeira matriz for igual ao

número de linhas da segunda.

𝐴𝑚×𝑝 ∙ 𝐵𝑝×𝑛 = 𝐶𝑚×𝑛

Obs.5: A matriz produto, caso exista, terá o número de

linhas da primeira e o número de colunas da segunda.

𝐴𝑚×𝑝 ∙ 𝐵𝑝×𝑛 = 𝐶𝑚×𝑛


4.1 Considere as matrizes 1 2 1

3 2 2A

,

1 1 2

2 1 3

0 2 1

B

e

1 2

1 2

3 4

C

. Determine se existir

os produtos a seguir.

a) A B

b) A C

c) C A

d) B A

e) 2A

f) 2B

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO

DE MATRIZES Seja A, B, C e I matrizes para as quais é possível realizar

as operações a seguir. Em que I é uma matriz

identidade. É possível provar que valem as seguintes

propriedades para a multiplicação de matrizes.

I. Associativa: A B C A B C

II. Distributiva a direita em relação a adição:

A B C A C B C .

III. Distributiva a esquerda em relação a adição:

C A B C A C B .

IV. Elemento neutro: A I I A A .

Para determinar o termo da matriz produto basta

"pegar" a linha i da matriz A e a coluna j da matriz B.

Em seguida realizar os produtos dos primeiros termos,

dos segundos termos, dos terceiros termos, e assim

sucessivamente, e somar os resultados. Por exemplo,

considere as matrizes e

, assim para descobrir ,

devemos "pegar" a primeira linha da matriz A

e a terceira coluna da matriz B .

Em seguida façamos a soma dos produtos realizados

entre os primeiros termos, entre os segundos termos

e assim sucessivamente, obtendo o termo .

Fazendo esse processo é possível descobrir totalmente

a matriz .

TAREFA 3 – No capítulo "Matrizes 2" fazer os

PROPOSTOS de 1 e 3 e COMPLEMENTAR 1

Multiplicação de matrizes

Tablet: Em "Matrizes 2" Ler a situação 3 na página

4.


AULA 05

MATRIZ INVERSA Considere uma matriz quadrada, A, de ordem n. Essa

matriz é dita inversível se existe uma matriz B tal que

nA B B A I

em que nI é a matriz identidade de ordem n. Nesse

caso a matriz B é dita a inversa de A e é indicada por 1A .


5.1 Verifique se 2 5

1 3

é a inversa de 3 5

1 2

.

5.2 Determine, se existir, as matrizes inversas das

matrizes dadas nos itens a seguir.

a) 2 5

1 3A

b) 1 2

1 4B

c) 1 2

3 6C

EXTRA

QUESTÕES EXTRAS

CAIU NO SIGMA

1) Determine a matriz 2 3ij x

B b , em que

sen cos2

ijb i j

, com 1 2i e 1 3j

.

2) Determine o valor de x para que

2

1 2 1 4

2 3 4 2

x x

x x x

.

3) Sendo 1 1

0 1A

, calcule 2A ,

3A e 4A .

4) As matrizes 2 1

1 0A

e 2 3

x yB

são tais que

A B B A . Calcule x y .

5) Sendo 1 2

2 5A

e

1 2

3 1

2 4

B

, resolva a

equação T TA X B .

6) Se a matriz A é igual a 1 2

2 3

, determine a

matriz 2TA .

7) A soma de todos os elementos da diagonal

principal com todos os elementos da diagonal

secundária da matriz transposta da matriz 𝐴 =

(𝑎𝑖𝑗)2𝑥2

, em que 𝑎𝑖𝑗 = {𝑖2 + 1, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗2𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗

é igual a

a) 17. b) 15 c) 16 d) 12 e) 18

8) A inversa da matriz 𝐴 = [3 52 4

] é igual a

(A) [1 00 1

] .

(B) [−35

2

−1 −4] .

(C) [

1

3

1

51

2

1

4

] .

(D) [2 −

5

2

−13

2

].

(E) [4 −5

−2 3].

9) Considere as matrizes 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3𝑥2

= [2 1

−1 30 −2

],

𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)3𝑥2

= [−3 11 −31 2

] e 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)3𝑥2

=

𝑥𝐴 − 𝑦𝐵, com 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. Para que os elementos 𝑐12

e 𝑐22 sejam iguais a 1, os valores de 𝑥 e 𝑦 devem

ser, respectivamente, iguais a

(A) 2

3 e

1

3 .

(B) 2

3 e −

1

3 .

(C) 1

3 e

2

3 .

(D) 1

3 e

2

3 .

TAREFA 4: No capítulo "Matrizes 2" fazer os

PROPOSTOS de 4 a 6.

TAREFA 5: No capítulo "Matrizes 2" fazer os

PROPOSTOS de 7 a 12.


(E) −1

3 e

2

3.

10) Sejam as matrizes 𝐴 = (2 1 01 2 1

)2𝑥3

, 𝐵 =

(0 0 26 4 2

)2𝑥3

, 𝑋 = (𝑥𝑖𝑗)2𝑥3

e 𝑌 = (𝑦𝑖𝑗)2𝑥3

.

Sabendo que {2𝑋 − 𝑌 = 𝐴𝑋 + 3𝑌 = 𝐵

, determine as matrizes

𝑋 e 𝑌.

CAIU NO VEST

1. (AFA) Dadas as matrizes: 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)8𝑥3

e 𝐵 =

(𝑏𝑖𝑗)3𝑥7

, onde 𝑎𝑖𝑗 = 2𝑖 − 𝑗 e 𝑏𝑖𝑗 = 𝑖 ⋅ 𝑗, o

elemento 𝑐56 da matriz 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗) = 𝐴 ⋅ 𝐵 é:

a) 74 b) 162 c) 228 d) 276

2. (ESPECEX – 2008) Considere as matrizes 𝑀1 =

[1 𝑡𝑔 𝑥

− 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥] e 𝑀2 = [

1𝑡𝑔 𝑥

] para 𝑥 ≠𝑘𝜋

2,

𝑘 ∈ ℤ. A matriz resultante do produto matricial

𝑀1 ⋅ 𝑀2 é

a) [sec2 𝑥cos2 𝑥

] b) [𝑡𝑔2𝑥

− cos2 𝑥] c) [sec2 𝑥

𝑠𝑒𝑛2𝑥] d) [𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥

−𝑠𝑒𝑛2𝑥] e)

[cos2 𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥

]

3. (UERJ) Denominamos traço de uma matriz

quadrada à soma dos elementos da sua diagonal

principal. Assinale a opção que contém o traço da

matriz 𝐶, onde 𝐶 = 𝐴 − 2𝐵, em que 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)2𝑥2

, com 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 + 𝑗, e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)2𝑥2

, com 𝑏𝑖𝑗 = 𝑖2 −

𝑗.

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

4. (AFA) As matrizes 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são do tipo 𝑚 × 3, 𝑛 ×

𝑝 e 4 × 𝑟, respectivamente. Se a matriz transposta

de 𝐴𝐵𝐶 é do tipo 5 × 4, então

a) 𝑚 = 𝑝 b) 𝑚𝑝 = 𝑛𝑟 c) 𝑛 + 𝑝 = 𝑚 + 𝑟 d) 𝑟 = 𝑛

5. (ITA) Considere as matrizes 𝐴 = (1 0 −10 −1 2

),

𝐼 = (1 00 1

), 𝑋 = (𝑥𝑦) e 𝐵 = (

12

). Se 𝑥 e 𝑦 são

soluções do sistema (𝐴 ⋅ 𝐴𝑡 − 3 ⋅ 𝐼) ⋅ 𝑋 = 𝐵, então

𝑥 + 𝑦 é igual a

a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2

GABARITO


1.1. a)

3 4

5 6

7 8

b) 1 1 3

4 2 0

c)

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

2.1. a) 5, 7x y b) 2, 3x y c) 3, 1x y

2.2. 4

2.3. 3

3.1. a)

4 1 2 3

3 9 10 0

7 4 14 0

b)

2 3 2 3

9 1 10 2

3 10 10 4

c)

2 4 4 6

12 8 0 2

10 3 4 4

d)

7 7 4 6

21 7 30 5

4 24 32 10

3.2.

13

2

50

2

3.3.

1 1

0 2

3 9

3.4. 6 3 8 3

e 5 11 5 1

X Y

4.1. a) 3 5 5

7 3 14

b) 0 6

7 18

c)

5 6 5

7 2 3

9 14 11

d) Não existe

e) Não existe


f)

1 2 1

4 7 10

4 4 7

5.1. Sim

5.2. a) 3 5

1 2

b) 2 1

1 1

2 2

c) Não existe

QUESTÕES EXTRAS

1. 0 2 0

1 1 1B

2. 2x

3. 2 1 2

0 1A

, 3 1 3

0 1A

e 4 1 4

0 1A

4. 7x e 2y

5. 9 17 2

4 7 0X

6. 3 4

4 5

7. C

8. D

9. B

10.

6 3 2

7 7 7

9 10 5

7 7 7

X

e

2 1 4

7 7 7

11 6 3

7 7 7

Y

CAIU NO VEST

1. D

2. C

3. C

4. A

5. D

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