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A Arte de Pensar 11.° ano

CCaaddeerrnnoo ddoo EEssttuuddaannttee

EExxeerrccíícciiooss ddee llóóggiiccaa

Aires Almeida ⋅ Célia TeixeiraDesidério Murcho ⋅ Paula Mateus ⋅ Pedro Galvão

Centro para o Ensino da FilosofiaSociedade Portuguesa de Filosofia

Didáctica Editora





Índice A Arte de Pensar 3

Todos os direitos reservados. Didáctica Editora, 2004.

ÍÍnnddiiccee

Prefácio............................................................................................................................. 4

Introdução Questões de revisão ........................................................................................ 5

Capítulo 1 Lógica aristotélica........................................................................................... 6

1. Teoria do silogismo ...............................................................................................................6

2. Quadrado de oposição..........................................................................................................13 Capítulo 2 Lógica proposicional .................................................................................... 15

1. Cinco conectivas..................................................................................................................15 2. Inspectores de circunstâncias...............................................................................................17 3. Argumentos com três variáveis............................................................................................20 4. O âmbito das conectivas ............................................................... ....................................... 22 5. Teste rápido de validade ................................................................ ...................................... 29 6. Variáveis de fórmula............................................................................................................31 7. Formalização........................................................................................................................32 8. Derivações ..................................................... ........................................................... ...........36

Capítulo 3 Falácias informais ......................................................................................... 39

Nota final Os problemas................................................................................................. 43

1. Como responder aos Problemas...........................................................................................44 2. Múltiplas respostas correctas ................................................................... ............................ 45 3. Actividades .............................................................. ............................................................ 46



4 A Arte de Pensar Caderno do Estudante


PPrreef f áácciioo

Aprender lógica é como aprender a tocar viola ou aprender a andar deskate: exige prática. É para poderes praticar, fazendo inúmeros exercícios delógica, que escrevemos este Caderno do Estudante.

Neste caderno há três tipos de materiais. Em primeiro lugar, exercíciosresolvidos do manual A Arte de Pensar — 11.o ano. O objectivo é exemplificar

como se resolvem esses exercícios, para que cada um saiba resolvê-los por si.Em segundo lugar, exercícios complementares. Estes exercícios complemen-tam os que constam do manual. Em terceiro lugar, algumas explicaçõescomplementares, que esclarecem certos aspectos que podem levantar dúvi-das ao resolver alguns exercícios.

Para tirar o máximo proveito deste Caderno e do manual é necessário usarpapel, lápis e borracha. É necessário praticar e resolver vários exercícios,todas as semanas, à medida que se vai avançando no estudo da lógica. Émuito importante praticar todas as semanas; se deixarmos tudo para a véspe-ra do teste, o resultado será muitíssimo mau. Mais uma vez: é como aprendera tocar viola ou aprender a andar de skate. É uma questão de adquirir certas

rotinas; e isso exige a prática constante, o treino sistemático.O próprio manual A Arte de Pensar — 11.o ano tem inúmeros exercícios,

em todos os capítulos. Mas o Capítulo 1, a partir da secção 3.2. ou 4.3.,exige ainda mais exercícios do que os que era possível disponibilizar nomanual. Por isso, só quando se chega a uma dessas secções, consoante seoptou por estudar lógica aristotélica ou proposicional, é que este Caderno entra verdadeiramente em acção.

Na Internet (www.didacticaeditora.pt/arte_de_pensar) há mais materiaiscomplementares para todos os capítulos do manual. E pode-se contactardirectamente connosco, por e-mail. Sugestões, críticas, dúvidas e comentá-rios são muito bem-vindos.

Os Autores



Introdução Questões de Revisão 5


IInnttrroodduuççããoo Q Q uueessttõõeess ddee rreevviissããoo

Ao longo do manual A Arte de Pensar — 11.o ano encontram-se dois tiposde exercícios: Questões de Revisão e Problemas. Como o nome indica, oprimeiro grupo de exercícios visa apenas rever a matéria dada. Para respon-der a este grupo de exercícios basta estudar com atenção a secção relevante

do manual.Por exemplo, na secção 1.1. do Capítulo 1, a Questão de Revisão 1 per-

gunta o seguinte: «O que é uma proposição? Define e dá exemplos.» Ora, nasecção 1.1. encontra-se a seguinte definição de proposição: «Uma proposiçãoé o pensamento que uma frase declarativa exprime literalmente». E encon-tram-se também vários exemplos de frases que não exprimem proposições; osexemplos de frases que exprimem proposições são fáceis de descobrir: «Aneve é azul», «Matar pessoas inocentes por prazer é mau», «Sócrates erasuíço», etc. Assim, uma resposta correcta à Questão de Revisão 1 é a seguin-te:

Uma proposição é o pensamento literalmente expresso por uma frasedeclarativa. Por exemplo, as frases «A neve é azul», «Matar pessoas ino-centes por prazer é mau» e «Sócrates era suíço» exprimem proposições. Já as frases «Fecha a janela!», «Quem me dera que fosse Domingo!» e«Prometo que amanhã vamos ao cinema» não exprimem proposições.

Como se vê, não é difícil apresentar uma boa resposta. O fundamentalestá explicado no próprio manual, e mesmo que não esteja lá exactamentetudo o que é necessário para responder, é fácil descobrir o resto pensandoum pouco.

Já os Problemas são mais difíceis; mas é ao responder aos Problemas queganhamos uma compreensão mais global e profunda da matéria dada. No finaldeste caderno veremos melhor a natureza dos Problemas, o que os distinguedas Questões de revisão e como se responde correctamente aos Problemas.Para já, vamos ver como se resolvem exercícios de lógica.





CCaappííttuulloo 11 LLóóggiiccaa aarriissttoottéélliiccaa

No Capítulo 1 do manual, pode-se optar pela secção 3 (lógica aristotélica)ou 4 (lógica proposicional). Assim, é necessário saber qual das duas opçõesserá escolhida antes de fazer os exercícios deste caderno. Neste capítuloapresentam-se exercícios relativos à lógica aristotélica (secção 3 do manual);

no capítulo seguinte apresentam-se exercícios relativos à lógica proposicional(secção 4 do manual).

11.. TTeeoorriiaa ddoo ssiillooggiissmmoo

Na secção 3.2. do Capítulo 1 do manual há dois tipos de exercícios. Ou nosé pedido para determinar a validade silogística de um silogismo dado, ou nosé pedido para apresentar silogismos válidos cujas premissas tenham as formaslógicas dadas. Nesta secção vamos começar por dar exemplos de como se

resolvem estes dois tipos de exercícios.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS — SECÇÃO 3.2.

Questão de revisão 1.1.

O argumento é um silogismo válido porque não viola qualquer das regrasdo silogismo válido:

1) O silogismo tem exactamente três termos: «O que os artistas fazem»(termo médio), «belo» (termo maior) e «arte» (termo menor).

2) O termo médio está distribuído pelo menos uma vez, na premissa menor.3) O único termo que está distribuído na conclusão é o termo maior, e está

também distribuído na premissa maior.4) O silogismo não tem duas premissas negativas: a menor é afirmativa.5) O silogismo não tem duas premissas particulares: a menor é universal.6) O silogismo não tem duas premissas afirmativas.



Capítulo 1 Lógica Aristotélica 7


7) A conclusão segue a parte mais fraca: é negativa e particular, tal como apremissa maior.


O argumento é um silogismo inválido porque:

1) O termo médio («verdades») não está distribuído em qualquer das premis-sas, o que viola a Regra 2.

2) As duas premissas são particulares, o que viola a Regra 5.


O argumento é um silogismo inválido porque viola a Regra 7: a conclusãonão segue a parte mais fraca, dado que uma das premissas é negativa mas aconclusão é afirmativa.

Note-se que, do ponto de vista estritamente lógico, basta que um dadosilogismo viole uma das regras para ser inválido. Assim, de um ponto de vistaestritamente lógico, a resposta à Questão de Revisão 1.3. poderia limitar-se amostrar que o silogismo é inválido porque viola a Regra 2. Contudo, paraefeitos de completude, costuma-se apresentar todas as regras que um dadosilogismo inválido viola.

Vejamos agora como se resolvem exercícios de outro tipo:



Alguns artistas não são geniais.Todos os artistas são pessoas criativas.Logo, algumas pessoas criativas não são geniais.

Sendo A «artistas», B «geniais» e C «pessoas criativas», as premissas destesilogismo têm a forma dada: a premissa maior é da forma «Alguns A não sãoB» e a menor é da forma «Todos os A são C». O silogismo é válido porque não

viola regra alguma da validade silogística:1) O silogismo tem exactamente três termos.2) O termo médio («artistas») está distribuído na premissa menor.3) O único termo que ocorre distribuído na conclusão é o termo maior

(«geniais»), e este termo ocorre igualmente distribuído na premissamaior.





4) O silogismo tem apenas uma premissa negativa: a premissa maior.5) O silogismo tem apenas uma premissa particular: a premissa maior6) As duas premissas não são afirmativas.7) A conclusão segue a parte mais fraca: é particular porque uma das pre-

missas é particular e é negativa porque uma das premissas é negativa.

Note-se que, dadas as formas lógicas das premissas, nenhuma outra formasilogística poderia ser dada. A única escolha que há a fazer é quanto aostermos. Neste caso, escolhemos «artistas», «geniais» e «pessoas criativas».

A resolução do exercício está parcialmente errada se nos limitarmos aapresentar a forma do silogismo, em vez de um silogismo propriamente dito.Neste exercício pedia-se para apresentar um silogismo e não uma formasilogística e por isso não poderíamos limitar-nos a apresentar a forma seguin-te:

Alguns A não são B.Todos os A são pessoas C.Logo, alguns C não são B.



Alguns portugueses são lisboetas.Todos os lisboetas são mexicanos.Logo, alguns mexicanos são portugueses.

Sendo A «portugueses», B «lisboetas» e C «mexicanos», as premissas destesilogismo têm a forma dada: a premissa maior é da forma «Alguns A são B» ea menor é da forma «Todos os B são C». O silogismo é válido porque não violaqualquer das regras da validade silogística:

1) O silogismo tem exactamente três termos.2) O termo médio («lisboetas») está distribuído na premissa menor.3) Nenhum termo ocorre distribuído na conclusão.4) Ambas as premissas são afirmativas.

5)

Uma das premissas é universal.6) Tanto as premissas como a conclusão são afirmativas.7) A conclusão segue a parte mais fraca: uma das premissas é particular e a

conclusão também é particular.

Note-se que a conclusão apresentada na resolução da Questão de Revisão2.3. é falsa, porque escolhemos termos que tornam a segunda premissa falsa.





É perfeitamente correcto resolver um exercício deste género apresentandosilogismos válidos com premissas falsas que, em muitos casos (mas não emtodos), dão origem a conclusões igualmente falsas.

Vejamos agora como se responde ao Problema 1. Há vários exemplos deformas silogísticas que só são consideradas válidas porque na lógica aristotéli-

ca se excluem classes vazias. Todas as formas silogísticas válidas cujas pre-missas sejam universais e cuja conclusão seja particular dão origem a argu-mentos inválidos caso não se excluam classes vazias.


Problema 1

Tome-se o seguinte argumento:

Todo o habitante natural da Lua é um extraterrestre.Todo o selenita é um habitante natural da Lua.Logo, algum selenita é um extraterrestre.

Este argumento é evidentemente inválido, dado que as duas premissas sãoverdadeiras mas a conclusão é falsa. Contudo, o argumento tem uma formasilogística válida:

Todo o A é B.Todo o C é A.Logo, algum C é B.

A classe dos selenitas é vazia: não há selenitas. Logo, se admitirmos clas-ses vazias na lógica silogística, há argumentos inválidos que serão considera-dos válidos à luz das regras dadas.

A conclusão do argumento apresentado é falsa porque é uma existencial,equivalente a «Há selenitas que são extraterrestres». Como é evidente, dadoque não há selenitas, também não há selenitas que sejam extraterrestres,nem há selenitas que não sejam extraterrestres.

A melhor maneira de ver por que razão é verdadeira a premissa «Todo o

selenita é um habitante natural da Lua» é pensar na sua contraditória:«Algum selenita não é um habitante natural da Lua». Uma vez mais, dado quenão há selenitas, esta afirmação é falsa; logo, a sua contraditória, a nossapremissa, é verdadeira.





EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES — SECÇÃO 3.2.

11.. Determina a validade silogística das seguintes formas:

1) Todo o A é B.

Todo o A é C.Logo, algum C não é B.

2) Algum A não é B.Todo o A é C.Logo, algum C é B.

3) Todo o A é B.Algum A não é C.Logo, algum C é B.

4) Nenhum A é B.Todo o A é C.Logo, algum C é B.

5) Algum A é B.Todo o A é C.Logo, algum C não é B.

6) Nenhum A é B.Algum A não é C.

Logo, algum C é B.

7) Nenhum A é B.Todo o C é A.Logo, nenhum C é B.

8) Nenhum A é B.Todo o C é A.Logo, algum C é B.

9) Todo o A é B.

Algum C não é A.Logo, algum C é B.

10) Nenhum A é B.Algum C é A.Logo, algum C é B.

11) Nenhum A é B.Todo o C é B.Logo, nenhum C é A.

12) Nenhum A é B.Todo o C é B.Logo, algum C é A.

13) Todo o A é B.Nenhum C é B.Logo, nenhum C é A.

14) Todo o A é B.Nenhum C é B.

Logo, algum C é A.

15) Nenhum A é B.Algum C não é B.Logo, algum C é A.

16) Todo o A é B.Algum C é B.Logo, algum C não é A.

22.. Apresenta formas silogísticas válidas partindo de premissas com as seguin-tes formas:

1) Todo o A é B.Todo o A é C.

2) Algum A é B.

7) Todo o A é B.Todo o B é C.

8) Todo o A é B.





Todo o A é C.

3) Todo o A é B.Algum A é C.

4) Nenhum A é B.Todo o A é C.

5) Algum A não é B.Todo o A é C.

6) Nenhum A é B.Algum A é C.

Nenhum B é C.

9) Todo o A é B.Nenhum B é C.

10) Algum A é B.Todo o B é C.

11) Nenhum A é B.Todo B é C.

12) Nenhum A é B.Algum B é C.

33.. Tome-se as seguintes formas:

1) Algum A é B.2) Algum A não é B.3) Nenhum A é B.

Para cada uma das formas dadas, apresenta quatro formas silogísticasválidas diferentes que tenham essa forma como conclusão.

44.. Tome-se as seguintes proposições:

1) Nenhum mal é uma ilusão. Nenhum sofrimento é real.

2) Nenhum mal é uma ilusão. Algumas ilusões são perigosas.3) Todo o mal é uma ilusão. Toda a ilusão é irreal.4) Todo o mal é uma ilusão. Algumas ilusões não são perigosas. 5) Nenhum mal é uma ilusão. Nenhum mal é eterno.6) Nenhum mal é uma ilusão. Alguns males são eternos.7) Alguns bens são ilusórios. Algumas ilusões são perigosas.8) Alguns bens são ilusórios. Nenhuma ilusão é perigosa.9) Algumas ilusões são um mal. Alguns males são ilusões.

Para cada par de proposições dadas, determina se é possível construir umsilogismo válido que tenha essas proposições como premissas. Justifica aresposta.

Na lógica silogística há apenas vinte e quatro formas consideradas válidas.É útil dispor da lista completa dessas formas, a fim de verificar as soluções dealguns exercícios.





FORMAS SILOGÍSTICAS VÁLIDAS

Todo o A é B.Todo o C é A.Logo, todo o C é B.

Todo o A é B.Todo o C é A.Logo, algum C é B.

Nenhum A é B.Todo o C é A.Logo, nenhum C é B.

Nenhum A é B.

Todo o C é A.Logo, algum C não é B.

Todo o A é B.Algum C é A.Logo, algum C é B.

Nenhum A é B.Algum C é A.Logo, algum C não é B.

Nenhum A é B.Todo o C é B.Logo, nenhum C é A.

Nenhum A é B.Todo o C é B.Logo, algum C não é A.

Todo o A é B.Nenhum C é B.Logo, nenhum C é A.

Todo o A é B.Nenhum C é B.Logo, algum C não é A.

Nenhum A é B.

Todo o A é B.Todo o A é C.Logo, algum C é B.

Algum A é B.Todo o A é C.Logo, algum C é B.

Todo o A é B.Algum A é C.Logo, algum C é B.

Nenhum A é B.

Todo o A é C.Logo, algum C não é B.

Algum A não é B.Todo o A é C.Logo, algum C não é B.

Nenhum A é B.Algum A é C.Logo, algum C não é B.

Todo o A é B.Todo o B é C.Logo, algum C é A.

Todo o A é B.Nenhum B é C.Logo, nenhum C é A.

Todo o A é B.Nenhum B é C.Logo, algum C não é A.

Algum A é B.Todo o B é C.Logo, algum C é A.

Nenhum A é B.





Algum C é B.Logo, algum C não é A.

Todo o A é B.Algum C não é B.

Logo, algum C não é A.

Todo B é C.Logo, algum C não é A.

Nenhum A é B.Algum B é C.

Logo, algum C não é A.

22.. Q Q uuaaddrraaddoo ddee ooppoossiiççããoo

Esta secção é opcional.


Questão de revisão 2

O valor de verdade da contraditória de uma proposição verdadeira é falso.


Duas frases contraditórias não podem ser ambas falsas porque, por defini-ção, a contraditória de uma frase falsa é uma frase verdadeira. Mas duasfrases contrárias podem ser ambas falsas, como é o caso de «Todos os homenssão portugueses» e «Nenhum homem é português». Por definição, duas frasessão contrárias quando não podem ser ambas verdadeiras mas podem ser

ambas falsas.


Dada uma certa proposição falsa não é possível saber exclusivamente pormeios lógicos qual é o valor de verdade da sua subalterna, pois a relação desubalternidade apenas nos diz qual é o valor de verdade da subalterna caso aproposição de partida seja verdadeira. Por exemplo, dada a verdade de umafrase da forma «Todo o A é B», sabemos que a sua subalterna («Algum A é B»)é também verdadeira. Mas se a frase de partida for falsa nada podemos

saber. Os exemplos seguintes mostram que dada a falsidade de uma dadaforma, a sua subalterna tanto pode ser verdadeira como falsa: «Todos oslisboetas são franceses» é falsa e «Alguns lisboetas são franceses» é igual-mente falsa; «Todos os homens são portugueses» é falsa, mas «Alguns homenssão portugueses» é verdadeira.






Se uma proposição for a contraditória de outra, esta é também a contra-ditória da primeira porque a relação de contradição é simétrica. Por exem-plo, a contraditória de «Todos os homens são mortais» é «Alguns homens não

são mortais»; e a contraditória da última frase é a primeira.

Problema 2

A relação entre a noção de subalternidade e a noção de argumento válidoé a seguinte: se P é a subalterna de Q, então o argumento «Q, logo P» éválido; e se «Q, logo P» for um argumento válido, então P é a subalterna deQ.

Problema 4

«Há contraditórias de grandes verdades que não são grandes verdades.»

Problema 6

Pode-se determinar o valor de verdade de «Todos os A são B» com base nainformação de que «Alguns A não são B» é verdadeira porque as duas formassão contraditórias. Logo, se alguns A não são B, então é falso que todos os Asão B.


11.. Considere-se a seguinte frase: «Todo o mal do mundo resulta do livrearbítrio».

1) Qual é a sua subalterna?2) Qual é a sua contrária?3) Qual é a sua contraditória?

22.. Considere-se a seguinte frase: «Algumas verdades são relativas».

1) Qual é a sua contraditória?2) Qual é a sua subcontrária?3) Há alguma proposição que seja a sua subalterna? Porquê?



Capítulo 2 Lógica proposicional 15


CCaappííttuulloo 22 LLóóggiiccaa pprrooppoossiicciioonnaall

Neste capítulo apresentam-se exercícios relativos à lógica proposicional(secção 4 do Capítulo 1 do manual).

11.. CCiinnccoo ccoonneeccttiivvaass



Admitindo que a vida não tem sentido, a frase «A vida tem sentido e afelicidade é real» é falsa porque numa conjunção basta que uma das frasesconjuntas seja falsa para que toda a conjunção seja falsa.


Admitindo que Deus existe e que não sabemos se a vida tem sentido, nãoé possível saber se a frase dada é verdadeira ou falsa porque o seu valor deverdade depende do valor de verdade da sua consequente («A vida tem senti-do»): se a sua consequente for verdadeira, a frase dada será verdadeira; se asua consequente for falsa, a frase dada será falsa.

Problema 2

A tabela de verdade da negação tem exactamente duas filas porque é

uma conectiva unária (aplica-se a uma única proposição) e porque só se usadois valores de verdade na lógica clássica. Assim, a combinação lógica exaus-tiva de condições de verdade esgota-se em duas filas: ou P é verdadeira ou Pé falsa.






11.. Considere-se a seguinte frase: «Deus é omnipotente ou omnisciente».

1) Considerando que Deus não é omnipotente, será possível saber qual é

o valor de verdade da frase dada? Porquê?2) Considerando que Deus é omnipotente, qual é o valor de verdade da

frase dada?3) Considerando que Deus não é omnipotente nem omnisciente, qual é o

valor de verdade da frase dada?

22.. Considerando que P simboliza «A vida é sagrada» e Q simboliza «O abortoé um mal», qual é o significado das expressões seguintes?

1) P 6) Q 11) Q → Q

2) P→

Q 7) Q →

P 12) P∧

P3) P ∧ Q 8) Q ∧ P 13) Q ∨ Q 4) P ∨ Q 9) Q ∨ P 14) P ↔ P5) P ↔ Q 10) Q ↔ P

33.. Considerando que P é falsa e Q verdadeira, qual é o valor de verdade das14 expressões anteriores?

44.. Se desconhecermos o valor de verdade de P, mas soubermos que Q éfalsa, que expressões do exercício 2 podemos determinar como verdadei-ras ou falsas? Porquê?

55.. Se desconhecermos o valor de verdade de P e de Q, que expressões doexercício 2 podemos determinar como verdadeiras ou falsas? Porquê?

66.. Formaliza as seguintes afirmações na lógica proposicional:

1) Zeus existe.2) Zeus e Cronos existem.3) Se Sócrates era grego, Platão também o era.4) O conhecimento é ilusório ou os cépticos estão enganados.5) O conhecimento não é ilusório.6) A arte tem valor se, e só se, tem valor cognitivo.

Note-se que, ao formalizar uma afirmação como «Zeus e Cronos existem»,temos de ter em conta que na linguagem corrente nós eliminamos muitasrepetições desnecessárias. A frase quer dizer «Zeus existe e Cronos existe» e





formaliza-se como «P ∧ Q» sendo P «Zeus existe» e Q «Cronos existe». É porisso um erro formalizar apenas como «P».

O mesmo tipo de fenómeno da linguagem corrente ocorre com «Se Sócra-tes era grego, Platão também o era». Esta frase é evidentemente uma formaabreviada de dizer «Se Sócrates era grego, então Platão era grego» — e por

isso formaliza-se como «P → Q».Ao formalizar afirmações temos de estar atentos às conectivas proposicio-

nais e completar frases que foram abreviadas. Formalizar «Zeus e Cronosexistem» como «P» é um erro.

22.. IInnssppeeccttoorreess ddee cciirrccuunnssttâânncciiaass



P Q P ∨ Q, ¬P Q

V V V F VV F V F FF V V V VF F F V F

A forma dada é válida dado que não há circunstância alguma em que asduas premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa.


P Q P → Q Q ∧ P

V V V VV F F FF V V FF F V F

A forma dada é inválida porque tanto na circunstância em que P é falsa eQ verdadeira como na circunstância em que tanto P como Q são falsas, a

premissa é verdadeira e a conclusão falsa.






P Q P ↔ Q Q → P

V V V VV F F VF V F FF F V V

A forma dada é válida dado que não há circunstância alguma na qual apremissa seja verdadeira e a conclusão falsa.


Argumento:Ou o livre-arbítrio é possível ou a nossa vida é uma ilusão.

Logo, a nossa vida é uma ilusão.

Interpretação:P = O livre-arbítrio é possível.Q = A nossa vida é uma ilusão.

Forma argumentativa: P ∨ Q Q

Inspector de circunstâncias:

P Q P ∨ Q Q

V V V VV F V FF V V VF F F F

O argumento dado é inválido porque na circunstância em que P é verda-deira e Q falsa a premissa é verdadeira e a conclusão falsa.

Questão de revisão 3.4. Argumento:

Sócrates era grego.Sócrates não era grego.Logo, Deus existe.





Interpretação:P = Sócrates era grego.Q = Deus existe.

Forma argumentativa:

P, ¬P Q


P Q P ¬P Q

V V V F VV F V F FF V F V VF F F V F

O argumento dado é válido porque não há quaisquer circunstâncias emque as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa.

Repare-se que a validade do último argumento testado resulta unicamen-te do facto de as suas premissas se contradizerem. Qualquer argumento compremissas contraditórias é um argumento dedutivamente válido porque nessecaso não há circunstâncias em que as premissas sejam verdadeiras e a conclu-são falsa.


1. Testa a validade das seguintes formas recorrendo a inspectores de cir-cunstâncias:

1) P ∧ Q, P ¬Q

2) P ∨ Q, P ¬Q

3) P → Q, ¬Q P

4) P → Q, P ¬Q

5) P → Q ¬Q

6) P ↔ Q P → Q

7) P, Q P ∨ Q

8) P, ¬Q Q ∨ P

9) P → Q, ¬Q P ∧ Q

10) P → Q Q

11) ¬P Q → P

12) P ↔ Q, ¬Q ¬P

2. Testa a validade dos seguintes argumentos recorrendo a inspectores decircunstâncias:





1) Se o mal existe, a vida é absurda.Se a vida é absurda, o mal existe.Logo, a vida é absurda se, e só se, o mal existe.

2) Deus existe.

Se Deus existe, o aborto é um mal.Logo, o aborto não é permissível.

3) Se Sócrates tem razão, a vida por examinar é absurda.Sócrates tem razão.Logo, a vida por examinar é absurda.

4) Sócrates era grego.Kant não era grego.Logo, Deus existe.

5) A Justiça é possível se, e só se, Platão tiver razão.Platão tem razão.Logo, a Justiça é possível.

33.. AArrgguummeennttooss ccoomm ttrrêêss vvaarriiáávveeiiss



P Q R P ∧ Q, P → R, Q → R R

V V V V V V VV V F V F F FV F V F V V VV F F F F V FF V V F V V VF V F F V F FF F V F V V V

F F F F V V F

A forma dada é válida porque não há circunstâncias em que as premissassejam verdadeiras e a conclusão falsa.






P Q R P ↔ Q, Q ↔ R P ↔ R

V V V V V VV V F V F FV F V F F VV F F F V FF V V F V FF V F F F VF F V V F FF F F V V V



P Q R P ∧ Q, R Q → R

V V V V V VV V F V F FV F V F V VV F F F F VF V V F V VF V F F F FF F V F V V

F F F F F V




1) P ∨ Q, P → R, Q → R R

2) P → Q, Q → R R → P

3) P ↔ Q, Q ↔ R R ↔ P

4) P ∨ R Q → P

5) P ∧ Q, R R → Q

7) P ∧ Q, P ∧ R, Q → R R

8) P → Q, Q → R P ∧ R

9) P ↔ Q, Q ↔ R P ∨ R

10) P ∨ R, Q Q → P

11) P → Q, R Q → R





6) P → Q R ∨ Q 12) P → Q, R R → Q

44.. OO ââmmbbiittoo ddaass ccoonneeccttiivvaass



P Q ¬(P ∧ Q) ¬P ∨ ¬Q

V V F V F F FV F V F F V VF V V F V V F

F F V F V V V

A forma dada é válida dado que não há circunstância alguma em que apremissa seja verdadeira e a conclusão falsa.


P Q ¬(P → Q) P ∧ ¬Q

V V F V V F FV F V F V V VF V F V F F FF F F V F F V



P Q P → Q ¬P ∨ Q

V V V F V VV F F F F F

F V V V V VF F V V V F







Argumento:O livre-arbítrio é possível ou a nossa vida é uma ilusão.Se o livre-arbítrio for possível, a nossa vida não é uma ilusão.Logo, a nossa vida não é uma ilusão.

Interpretação:P = O livre-arbítrio é possível.Q = A nossa vida é uma ilusão.

Forma argumentativa: P ∨ Q, P → ¬Q ¬Q


P Q P ∨ Q, P → ¬Q ¬Q V V V V F F FV F V V V V VF V V F V F FF F F F V V V

O argumento dado é inválido porque na circunstância em que P é falsa e Q verdadeira as premissas são verdadeiras e a conclusão falsa.



1) ¬(P ∨ Q) ¬P ∨ ¬Q

2) ¬(P ∧ Q) ¬P ∧ ¬Q

3) P → Q P ∨ Q

4) ¬(P → Q) ¬P → ¬Q

5) P → (Q → R) (P → Q) → R

6) P → Q ¬P ∧ Q

7) ¬(P ↔ Q) ¬(P → Q)

8) P ↔ ¬Q ¬P ↔ Q

9) ¬P → Q, Q → ¬P ¬P ↔ Q

10) ¬P → (Q ∧ P) ¬Q

11) P ∧ (Q ∧ R) (P ∧ Q) ∧ R

12) (P → Q) → Q, ¬Q ¬(¬P ∨ Q)

2. Testa a validade dos seguintes argumentos recorrendo a inspectores decircunstâncias:

1) Se Deus existe, o mal não existe.





Mas o mal existe.Logo, Deus não existe.

2) Não é verdade que se Deus existe, o mal não existe.Logo, Deus existe.

3) Não é verdade que nada é real e que tudo é uma ilusão.Nada é real.Logo, não é verdade que tudo é uma ilusão.

4) Não é verdade que a vida faz sentido se, e só se, Deus existe.A vida faz sentido.Logo, Deus não existe.

5) Não se pode definir a arte nem se pode definir o conhecimento.Logo, não é verdade que se pode definir a arte e se pode definir oconhecimento.

6) Se o conhecimento não for possível, a filosofia é inútil.Logo, se a filosofia não é inútil, o conhecimento é possível.

Vimos até agora casos muito simples de proposições compostas. Os casosmais complexos (e mais próximos da linguagem que usamos no quotidiano)dão origem a ambiguidades de âmbito.

Ocorre uma ambiguidade de âmbito numa afirmação quando há mais de

uma maneira de interpretar o âmbito das suas conectivas.

Vejamos o seguinte exemplo: «Amanhã vou à praia ou leio um livro e vouao cinema.» Quem afirma isto pode ter em mente duas proposições muitodiferentes:

1. Amanhã vou fazer duas coisas: vou à praia ou leio um livro; e vou aocinema.

2. Amanhã tenho duas alternativas: posso ir à praia; ou então leio umlivro e vou ao cinema.

A formalização das duas possibilidades revela claramente as suas diferen-ças.

Interpretação:

P: Amanhã vou à praia.





Q: Amanhã leio um livro.R: Amanhã vou ao cinema.

1. (P ∨ Q) ∧ R2. P ∨ (Q ∧ R)

As ambiguidades de âmbito levantam um problema: como podemos saberqual das duas interpretações é a correcta, ao formalizar um argumento? Aresposta é que não há qualquer método automático que garanta que esco-lhemos a interpretação correcta. Mas devemos seguir a seguinte estratégia:

1. Começamos por formalizar as duas ou mais interpretações possíveis.2. Procuramos determinar que interpretação é necessária para tornar o

argumento válido.3. Procuramos determinar que interpretação é necessária para tornar as

afirmações em causa mais plausíveis.

Retomemos a afirmação dada como exemplo, e coloquemos a afirmaçãonum contexto argumentativo:

Amanhã vou à praia ou leio um livro e vou ao cinema.Se for ao cinema, tenho de telefonar à Paula.Logo, tenho de telefonar à Paula.

Neste contexto, a única interpretação que torna o argumento válido é a 1.Por isso, é razoável interpretar a primeira premissa dessa maneira.

E como sabemos que a única interpretação que torna o argumento válidoé a 1? Formalizamos o argumento das duas maneiras e determinamos qualdeles é válido. Sendo S «Tenho de telefonar à Paula», as duas formalizaçõessão as seguintes:

1. (P ∨ Q) ∧ R, R → S S

2. P ∨ (Q ∧ R), R → S S

Para testar a validade das formas dadas tanto podemos fazer dois inspec-tores de circunstâncias como podemos usar o teste rápido de validade.

Por vezes, nenhuma das interpretações torna o argumento em causaválido; ou ambas as interpretações tornam o argumento válido; ou até pode-mos querer conhecer a forma lógica de uma dada afirmação que não foiproferida num contexto argumentativo. Nesse caso, temos de nos guiar pelainterpretação mais plausível, dado o restante conhecimento das coisas.





Vejamos um exemplo: «Deus existe e o mal é uma ilusão ou os teístasestão enganados». Esta afirmação é ambígua; pode exprimir qualquer uma deduas proposições diferentes. Vejamos quais.

Interpretação

P: Deus existe.Q: O mal é uma ilusão.R: Os teístas estão enganados.

1. (P ∧ Q) ∨ R2. P ∧ (Q ∨ R)

Dado o conteúdo das afirmações e dado o nosso conhecimento filosóficogeral, a interpretação 2 é menos plausível do que a 1. Isto porque faz maissentido pensar que há uma alternativa entre a hipótese de Deus existir e omal ser uma ilusão, por um lado, e o engano dos teístas, por outro, do quepensar que há uma conjunção entre a existência de Deus e a alternativa entrea ilusão do mal e o engano dos teístas.

Por vezes, não há qualquer ambiguidade nas afirmações dos argumentosque queremos formalizar, mas cometemos erros de falta de atenção ao âmbi-to. Vejamos o seguinte exemplo: «Se Deus existe e o mal é uma ilusão, entãoos teístas estão enganados». A formalização correcta desta afirmação é aseguinte:

Interpretação

P: Deus existe.Q: O mal é uma ilusão.R: Os teístas estão enganados.

Formalização

(P ∧ Q) → R

Assim, é um erro formalizar como se segue:

P ∧ (Q → R)

Esta forma lógica não corresponde à afirmação dada, mas antes à afirma-ção «Deus existe e se o mal é uma ilusão, então os teístas estão enganados».Como se vê, esta afirmação é muito diferente da anterior.





Eis mais um exemplo: «Não é verdade que se Deus existe, a vida faz sen-tido». A formalização correcta, atribuindo as variáveis apropriadamente, é«¬(P → Q)», pois o que se está a negar é a própria condicional e não apenas asua antecedente. A formalização «¬P → Q» é incorrecta porque correspondeà afirmação «Se não é verdade que Deus existe, a vida faz sentido». Como é

evidente, esta afirmação é muito diferente da anterior.As proposições compostas podem tornar-se muito complexas. Eis um

exemplo: «Não é verdade que a vida faz sentido se, e só se, Deus não existe eos teístas estão enganados». Dado o conteúdo da afirmação, a forma lógicacorrecta é a seguinte:

Interpretação

P: A vida faz sentido.Q: Deus existe.R: Os teístas estão enganados.

Forma lógica

¬[P ↔ (¬Q ∧ R)]

Dado o conteúdo da afirmação, as seguintes alternativas não são correc-tas:

¬P ↔ (¬Q ∧ R)¬(P ↔ ¬Q) ∧ R


1. Formaliza as afirmações seguintes. Caso contenham ambiguidades deâmbito explicita-as.

1) Deus existe e a vida é sagrada ou nada faz sentido.2) Não é verdade que se Deus existe e é sumamente bom, então a vida

não faz sentido.3) Se não é verdade que Deus existe e é sumamente bom, então a vida

não faz sentido.4) Não é verdade que a vida faz sentido se, e só se, Deus existe e os

teístas estão enganados.5) A vida não faz sentido se, e só se, Deus existe e os teístas estão enga-

nados.6) Se o conhecimento não for possível e tudo for uma ilusão, a filosofia é

inútil.





7) O conhecimento é possível e não é tudo uma ilusão ou a filosofia éinútil.

8) Não é verdade que o conhecimento é impossível e é tudo uma ilusãoou a filosofia é inútil.

9) Não é verdade que se pode definir a arte e se pode definir o conheci-

mento.10) Não é verdade que nada é real e que se tudo é uma ilusão, nada vale a

pena.11) Não é verdade que nada é real e se tudo é uma ilusão, nada vale a

pena.

2. Avalia a validade dos argumentos seguintes. Caso contenham ambiguida-des de âmbito, apresenta as diferentes interpretações possíveis; se algu-ma das interpretações for mais plausível, indica qual é e explica porquê.

1) Se Deus existe e é omnisciente, o mal não é possível.O mal é possível.Logo, Deus não existe ou não é omnisciente.

2) Se não é verdade que Deus existe e é sumamente bom, a vida não fazsentido.Deus não existe ou não é sumamente bom.Logo, a vida não faz sentido.

3) Tudo é uma ilusão e se tudo é uma ilusão, nada vale a pena.Logo, nada vale a pena.

4) Não é verdade que nada vale a pena e se tudo é uma ilusão, nada valea pena.Logo, não é verdade que tudo é uma ilusão.

5) Não é verdade que se pode definir a arte e o conhecimento.Logo, não se pode definir a arte ou não se pode definir o conhecimen-to.

6) Se o conhecimento não for possível e tudo for uma ilusão, a filosofia éinútil.Se a filosofia for inútil, Platão e Kant estavam enganados.Não é verdade que Platão e Kant estavam enganados.Logo, o conhecimento é possível ou não é verdade que tudo é umailusão.





7) Não é verdade que se a vida faz sentido, Deus não existe e os teístasestão enganados.Logo, a vida faz sentido.

55.. TTeessttee rrááppiiddoo ddee vvaalliiddaaddee

Note-se que esta secção é opcional: é um complemento ao manual.O teste rápido de validade permite determinar a validade ou invalidade

de formas argumentativas sem usar inspectores de circunstâncias. Este méto-do consiste em pensar disciplinadamente, para descobrir se há circunstânciasnas quais as premissas são verdadeiras e a conclusão falsa.

Testemos esta forma: (P ∨ Q) ∧ R, R → S S

1. Para uma forma ser inválida tem de haver circunstâncias nas quais aspremissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. Logo, temos de exa-minar a circunstância na qual S é F.

2. Para que a segunda premissa seja V, R tem de ser F, dado que S é F.3. Mas se R é F, a primeira premissa não pode ser V.4. Logo, a forma argumentativa 1 é válida: não há qualquer circunstância

na qual as premissas sejam V e a conclusão F.

Testemos agora a seguinte forma: P ∨ (Q ∧ R), R → S S

1. Para uma forma ser inválida tem de haver circunstâncias nas quais aspremissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. Logo, temos de exa-minar a circunstância na qual S é F.

2. Para que a segunda premissa seja V, R tem de ser F, dado que S é F.3. Mas a primeira premissa pode ser V, ainda que R seja F, dado que bas-

ta que P seja V.4. Logo, a forma argumentativa é inválida: há pelo menos uma circuns-

tância na qual as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa.

Para não nos enganarmos no raciocínio podemos ir escrevendo num papelde rascunho os valores atribuídos às variáveis. No caso da forma que acabá-

mos de testar, o resultado é o seguinte:

P ∨ (Q ∧ R), R → S S

V F F F F[5 4 3 2 1]





A ordem pela qual fomos atribuindo os valores de verdade está represen-tada pelos números entre parênteses. Estes números não se escrevem quandofazemos o exercício.

Apliquemos a técnica a mais uma forma:

P ∨ Q, P → R, Q → R R ∨ SF F F F F F F F

Este método torna-se mais complexo quando há mais de uma circunstân-cia em que a conclusão é falsa. Nesse caso, temos de explorar essas circuns-tâncias todas para verificar se em alguma delas as premissas são verdadeirase a conclusão falsa.

Vejamos um exemplo: P ∨ Q, P → R, Q → R R ↔ S

1. Para uma forma ser inválida tem de haver circunstâncias nas quais as

premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. Neste caso, há duascircunstâncias nas quais a conclusão é falsa: I) quando R é V e S é F; II)quando R é F e S é V. Comecemos pela circunstância I.

2. Sendo R V, a segunda e terceira premissas são V independentementedo valor de verdade de P e Q.

3. Para que a primeira premissa seja V é necessário que P ou Q seja V.Ora, nós podemos atribuir V a P ou Q ou aos dois. Nesta circunstância,todas as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa.

4. Logo, a forma argumentativa é inválida e não é necessário explorar acircunstância II.

Vejamos outro exemplo: P → Q, Q → R P ∧ R

1. Para uma forma ser inválida tem de haver circunstâncias nas quais aspremissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. Neste caso, há 3 cir-cunstâncias nas quais a conclusão é falsa: I) P é F e R é V; II) P é V e Ré F; III) tanto P como R são F. Comecemos por I.

2. A falsidade de P garante a verdade da primeira premissa.3. A verdade de R garante a verdade da segunda premissa.4. Nesta circunstância, as premissas são verdadeiras e a conclusão falsa.5. Logo, a forma argumentativa é inválida e não é necessário explorar as

circunstâncias II e III.

Finalmente, vejamos este exemplo: P → Q, Q → P P ↔ Q

1. Para uma forma ser inválida tem de haver circunstâncias nas quais aspremissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. Neste caso, há 2 cir-





cunstâncias nas quais a conclusão é falsa: I) P é V e Q é F; II) P é F e Q é V. Comecemos por I.

2. A primeira premissa é falsa, dado que P é V e Q F. Logo, na circuns-tância I não se dá o caso de as premissas serem V e a conclusão F.Temos de explorar a circunstância II.

3. Na circunstância II, a segunda premissa é falsa, dado que Q é V e P éF.

4. Logo, a forma argumentativa é válida, dado que não há qualquer cir-cunstância na qual as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa.

Exercícios: Usando este método, testa a validade das formas apresenta-das nos exercícios complementares da secção anterior.

66.. VVaarriiáávveeiiss ddee f f óórrmmuullaa



Trata-se de uma contraposição:

A → BLogo, ¬B → ¬A

A = (P ∨ R)

B = ¬(Q ∨ P)


Trata-se de um modus ponens:

A → BALogo, B

A = ¬PB = Q






1. Tendo em mente o quadro da secção 4.7. do manual, identifica as seguin-tes formas lógicas:

1) ¬[P → (Q ∨ R)]Logo, P ∧ ¬(Q ∨ R)

2) (P ↔ Q) → (R ∧ S)R ∧ SLogo, P ↔ Q

3) ¬(¬P → ¬Q)Logo, ¬P ∧ ¬¬Q

4) ¬(P ∧ Q) → (R ∨ S)¬(P ∧ Q)Logo, R ∨ S

77.. FFoorrmmaalliizzaaççããoo

A formalização é um dos aspectos mais importantes do estudo da lógica,entendida como instrumento do pensamento correcto. Pois para poder aplicaros instrumentos lógicos de análise de argumentos é necessário primeiro for-malizar os argumentos tal como estes ocorrem no dia-a-dia, nos livros, nosensaios dos filósofos, etc.



Se Deus existe, os seres humanos são apenas o resultado de um desígnio

incompreensível.Se os seres humanos são apenas o resultado de um desígnio incompreensí-

vel, a vida não faz sentido.Logo, se a vida faz sentido, Deus não existe.


Alguém duvida que a nossa vida seja uma ilusão? É que, no que respeitaao livre-arbítrio, só há duas alternativas: ou é realmente possível ou a nossavida é uma completa ilusão.

Não há receitas automáticas para formalizar adequadamente um dadoconjunto de afirmações ou argumentos. E há cinco aspectos que dificultam aformalização:





1. Muitas vezes, usamos certas expressões que literalmente querem dizeruma coisa para dizer coisas completamente diferentes. Por exemplo, ao dizer«Dê-me 20 a lógica e eu fico feliz» estamos literalmente a afirmar uma con-junção, com a forma P ∧ Q. Mas, na verdade, o que queremos dizer é «Se meder 20 a lógica, fico feliz»: uma condicional, com a forma P → Q. Eis outro

exemplo: ao dizer «Se te portares bem, dou-te um livro» parece que estamosa afirmar uma condicional, com a forma P → Q. Mas, na verdade, usamosquase sempre este tipo de estrutura para exprimir uma bicondicional, pois oque queremos realmente dizer é «Dou-te um livro se, e só se, te portaresbem».

2. Outras vezes, não nos damos ao trabalho de apresentar todas as pre-missas dos nossos argumentos. Quando um amigo nos diz «Se não deixares defumar, tens muitas probabilidades de desenvolver um cancro» pode estar aapresentar-nos um argumento, em certos contextos; mas limitou-se a expri-mir uma das premissas do argumento, porque quer a outra premissa quer aconclusão são evidentes: «Se não deixares de fumar, tens muitas probabilida-des de desenvolver um cancro; tu não queres desenvolver um cancro; logo,deves deixar de fumar». Trata-se, pois, de um modus ponens.

3. A maior parte das vezes, apresentamos os argumentos misturados coma defesa de algumas das suas premissas centrais. Por exemplo, uma pessoapode dizer o seguinte: «Se Deus existisse, a vida não faria sentido, pois nessecaso seríamos como um artefacto, que é um meio para um fim e não um fimem si; dado que a vida faz sentido, Deus não existe». Este argumento é ummodus tollens, mas a frase «nesse caso seríamos como um artefacto, que éum meio para um fim e não um fim em si» não faz parte do argumento; éapenas uma defesa muito sintética da primeira premissa.

4. A maior parte das vezes os argumentos apresentam-se cheios de «ruí-do», isto é, com muitos elementos que não desempenham qualquer papellógico. Por exemplo: «Como é que podes ser a favor do aborto? É evidenteque é um crime! Abortar é interromper uma vida e a vida é sagrada». Emtodas estas frases, acaba por só se apresentar um argumento: «A vida ésagrada; logo, o aborto é um crime». O argumento é ridiculamente mau, maso ruído que o rodeia cega-nos e esconde esse facto.

5. Finalmente, usamos várias formas diferentes de exprimir as cincoconectivas lógicas. A lista apresentada no manual dá uma ideia dessa diversi-dade, mas há outras formas de exprimir as conectivas (sobretudo a condicio-nal, que é a conectiva mais usada na argumentação). Por exemplo, dizer«Dado que Deus existe, a vida faz sentido» é uma forma de exprimir a condi-cional «Se Deus existe, a vida faz sentido».

Isto significa que para formalizar é necessário ter um conhecimento ade-quado das conectivas proposicionais e é preciso ter atenção ao que o argu-mento sob análise pretende realmente dizer. Muitas vezes, temos de recons-





truir fortemente o argumento original: temos de o interpretar. Como faze-mos isso? Apesar de não haver uma receita, é informativo ver como se poderaciocinar para decidir como formalizar uma dada afirmação.

Vejamos o exemplo dado: «Se te portares bem, dou-te um livro». Não épossível saber qual é a forma lógica desta afirmação sem pensar no contexto

em que a frase é proferida, no objectivo que se tem em vista ao proferi-la,etc. Literalmente, a afirmação é uma condicional com a forma P → Q. Masnuma situação normal esta afirmação não exprime uma condicional. Comopodemos saber isso? Pensando nas suas condições de verdade; e isto pode-sefazer imaginando situações diferentes.

Imaginemos uma situação em que a pessoa não se portou bem mas olocutor da frase dá-lhe à mesma um livro. Intuitivamente, diríamos que issonão é compatível com a afirmação original. Mas se interpretarmos essa afir-mação literalmente, a situação em que a pessoa não se portou bem e a outralhe deu um livro é perfeitamente compatível com a afirmação. Isto aconteceporque uma condicional é verdadeira mesmo que a sua antecedente sejafalsa e a sua consequente verdadeira.

Assim, a afirmação não pode ser entendida como uma condicional, porqueas condições de verdade da condicional não são compatíveis com as condiçõesde verdade da afirmação. E que condições de verdade tem a afirmação origi-nal? Bem, se a pessoa não se portar bem e a outra lhe der um livro, a afirma-ção é falsa; e é falsa também se a pessoa se portar bem e a outra não lhe derum livro. Temos assim duas filas da tabela de verdade:

P Q P ? Q

V V ?

V F FF V FF F ?

E se a pessoa se portar bem e a outra lhe der um livro? A afirmação origi-nal será evidentemente verdadeira. E se a pessoa não se portar bem e a outranão lhe der um livro? A afirmação é também evidentemente verdadeira.Completámos assim a nossa tabela de verdade:

P Q P ? Q

V V VV F FF V FF F V

Ora, esta é a tabela de verdade da bicondicional ou equivalência. Porisso, concluímos que a afirmação original «Se te portares bem, dou-te um





livro» tem de ser interpretada como uma forma económica de dizer «Dou-teum livro se, e só se, te portares bem».

Evidentemente, este processo é complexo, exige um domínio razoável dalógica elementar e uma forte intuição lógica. Não é isto que se exige nestemanual, mas é bom ter consciência de que o que estamos a estudar agora são

as bases para que, no futuro, se possa fazer isto.Para ajudar a dar os primeiros passos, os exercícios do manual, tal como

os exercícios complementares que apresentamos a seguir, são versões muitosimplificadas de formalizações. São simplificadas porque os argumentos dadospara formalizar já estão semi-formalizados.


1. Reescreve os argumentos seguintes na forma canónica:

1) A arte é a criação de um artista. A criação de um artista é a expressãodas emoções. Logo, a arte é a expressão das emoções.

2) Quem precisa do estado? Se o estado fosse útil, não haveria guerrasentre todos. Mas desde que se criaram os primeiros estados que asguerras não cessam.

3) Não é verdade que uma condição necessária para haver inteligência éter cérebro. Ter cérebro não é sequer uma condição suficiente parater inteligência. Portanto, qual é o problema de afirmar que os com-putadores um dia serão inteligentes?

4) Uma condição suficiente para ter direito à vida é querer viver. Ora,um feto não quer viver, porque não é consciente. Logo, os fetos nãotêm direito à vida.

5) A acção é, por natureza, egoísta. Ou agimos porque temos interesseem fazer o que estamos a fazer, ou não o fazemos. Se não temos inte-resse no que estamos a fazer, não agimos.

6) Uma decisão sobre um assunto qualquer nunca pode ser a melhor amenos que seja tomada por quem tem conhecimento de causa. Numademocracia, as decisões não são tomadas por quem tem conhecimentode causa. É por isso que defendo que a democracia é irracional.

7) Tanto Sócrates como Platão eram atenienses. Sócrates era grego seera ateniense. E Platão também. Portanto, tanto Sócrates como Pla-tão eram gregos.





2. Os argumentos seguintes estão na forma canónica; reescreve-os de umamaneira mais natural.

1) Ou a vida não é sagrada ou o aborto é permissível.

O aborto não é permissível.Logo, a vida é sagrada.

2) Se Sócrates era ateniense, era grego.Se Sócrates era grego, não era português.Sócrates era ateniense.Logo, Sócrates não era português.

3) A argumentação lógica não serve para nada.Se a argumentação lógica não serve para nada, não vale a pena estu-dar lógica.Não vale a pena estudar filosofia.Logo, não vale a pena estudar lógica nem filosofia.

88.. DDeerriivvaaççõõeess

Esta secção do manual é opcional.



1. P ∧ Q Premissa2. P 1, elim. da conjunção3. P ∨ R 2, intro. da disjunção


1. P → (R ∨ S) Premissa2. ¬R ∧ ¬S Premissa3. ¬(R ∨ S) 2, De Morgan4. ¬P 1, 3, modus tollens


1. ¬(¬P ∧ Q) Premissa





2. ¬P ∧ R Premissa3. ¬¬P ∨ ¬Q 1, De Morgan4. ¬P 2, elim. da conjunção5. ¬Q 3, 4, silogismo disjuntivo


1. P ∨ Q Premissa2. P → R Premissa3. ¬R → ¬ Q Premissa4. ¬R Premissa da redução5. ¬P 2, 4, modus tollens 6. Q 1, 5, silogismo disjuntivo7. ¬Q 3, 4, modus ponens8. Q ∧ ¬Q 6, 7, intro. da conjunção9. R 4, 8, redução ao absurdo


1. ¬(P ∨ Q) Premissa2. ¬P → R Premissa3. ¬R Premissa da redução4. ¬¬P 2, 3, modus tollens 5. ¬P ∧ ¬Q 1, De Morgan6. ¬P 5, elim. da conjunção7. ¬¬P ∧ ¬P 4, 6, intro. da conjunção8. R 3, 7, redução ao absurdo


1. ¬(P → Q) Premissa2. P → ¬R Premissa3. R Premissa da redução4. P ∧ ¬Q 1, neg. da condicional5. P 4, elim. da conjunção6. ¬R 2, 5, modus ponens 7. R ∧ ¬R 3, 6, intro. da conjunção8. ¬R 3, 7, redução ao absurdo

A última derivação pode provocar a seguinte perplexidade: Por que razãonão podemos parar no passo 6? Afinal, já tínhamos concluído nesse passo oque queríamos concluir: ¬R.

Não podemos parar o passo 6 porque estamos a fazer uma demonstraçãopor redução ao absurdo. E neste tipo de demonstrações temos primeiro deencontrar uma contradição (uma fórmula da forma «A ∨ ¬A»). É por isso que





usamos as linhas para demarcar a parte da demonstração que procede porabsurdo. Enquanto não chegarmos a uma contradição não podemos fechar alinha, e enquanto não fecharmos a linha não podemos dar a demonstraçãopor terminada.


1. Deriva as seguintes formas válidas sem recorrer à redução ao absurdo:

1) P ∧ Q, (P ∨ R) → S S

2) Q → R, ¬(¬P ∧ ¬Q), ¬R → ¬P, R

3) R, P → (¬R ∨ ¬S), S ¬P

4) ¬R → P, ¬(P ∨ Q), S R ∨ Q

5) ¬(¬P ∧ Q), R, R → ¬P ¬Q

6) S → ¬P, ¬(P → Q), ¬S → ¬R ¬R7) ¬(S → P) → ¬P, ¬(¬P ∨ ¬Q), Q → (S → P) S → P8) (Q → P) ∧ S, S → (P → R) ¬R → ¬Q

9) ¬(¬R ∨ ¬S) → ¬P, R, S ¬P ∧ S

10) ¬(P → ¬Q), ¬(R ∧ S) → ¬Q R

11) P ∨ (¬R → Q), P → Q, ¬Q ∧ S ¬Q → R

12) (P → Q) ∨ (Q ∨ R), (¬Q → ¬P) → R, ¬R → ¬(Q ∨ R) R

2. Deriva por redução ao absurdo todas as formas válidas do exercício ante-rior.



Capítulo 3 Falácias Iniformais 39


CCaappííttuulloo 33 FFaalláácciiaass iinnf f oorrmmaaiiss

Na secção 2.2. do Capítulo 2 do manual apresentam-se as seguintes falá-cias informais:

• Falso dilema• Derrapagem• Apelo à ignorância• Petição de princípio• Regressão infinita• Apelo ao povo• Apelo à misericórdia

Há muitas mais falácias informais. O que importa não é identificar nomesde falácias. O que importa é não cometer falácias na nossa argumentação esaber detectar falácias na argumentação alheia. Importa detectar falácias naargumentação alheia porque se alguém nos apresenta um argumento falacio-so, não temos mais razões para aceitar a conclusão desse argumento do quetínhamos antes do argumento; e o mesmo acontece nos nossos argumentos.



O argumento é formalmente válido: tem a forma de um silogismo disjun-tivo (A ∨ B, ¬A ¬B). Contudo, é falacioso porque a primeira premissa não

esgota todas as possibilidades. Trata-se da falácia do falso dilema. A primeira

premissa afirma que as verdades são todas relativas ou todas absolutas. Masestas duas alternativas não esgotam todas as possibilidades, pois poderá dar-se o caso de algumas verdades serem relativas e outras absolutas. Logo, oargumento não nos oferece qualquer boa razão para aceitar a sua conclusão.






O argumento é falacioso; trata-se da falácia do apelo à ignorância. Aausência de prova não é prova de ausência: ainda que seja verdade que osmelhores filósofos nunca conseguiram provar que há um mundo exterior, daí

não se segue que o mundo exterior é uma ilusão. Por exemplo, antes de osmelhores biólogos terem provado que há organismos invisíveis a olho nu, nãodeixaria de ser falacioso argumentar que, por causa disso, não há organismosinvisíveis a olho nu. Logo, o argumento não nos oferece qualquer boa razão afavor da ideia de que não há mundo exterior.

É importante compreender que se usa muitas vezes o termo «falácia» deum modo derivado e não literal. Literalmente, uma falácia é um argumentoinválido que parece válido. Mas a falácia do falso dilema, por exemplo, ocor-re muitas vezes em argumentos válidos. E por vezes diz-se que uma dada

premissa ou proposição é falaciosa. Contudo, literalmente, só os argumentospodem ser falaciosos. As premissas ou proposições só podem ser verdadeirasou falsas. Quando usamos esta forma de expressão o termo «falácia» tem umsignificado derivado; significa apenas que a premissa ou proposição é falsa,apesar de parecer verdadeira, e que está a ser usada num argumento como sefosse verdadeira. O resultado é um argumento que parece sólido mas não é,apesar de ser válido. E um argumento válido mas que não é sólido não apre-senta boas razões a favor da sua conclusão.

Quando detectamos uma falácia, o importante é compreender por querazão se trata de um argumento que não apresenta boas razões em defesa dasua conclusão. Quando apresentamos um argumento, temos de nos perguntar

até que ponto as premissas são boas razões a favor da nossa conclusão.Um argumento pode ser parecido com uma falácia informal e no entanto

não ser falacioso. Tomemos o exemplo do apelo à misericórdia. Poderia pen-sar-se que o seguinte argumento é falacioso por ser um apelo à misericórdia:

Se não me ajudares atirando-me uma bóia, vou morrer afogado.Logo, deves atirar-me uma bóia.

Este argumento é muito semelhante ao seguinte:

Se não me ajudar dando-me positiva, vou chumbar.Logo, deve dar-me positiva.

O segundo é falacioso, mas o primeiro não é. O facto de alguém se estar aafogar é uma boa razão para lhe atirar uma bóia; mas o facto de alguémchumbar não é uma boa razão para lhe dar positiva. Porquê? Porque darpositivas ou negativas é algo que deve unicamente responder ao desempenho



Capítulo 3 Falácias Iniformais 41


escolar do estudante, e não ao facto de isso ajudar ou deixar de ajudar oestudante em causa. Ao passo que atirar uma bóia a alguém é algo que res-ponde, precisamente, a situações de emergência, como quando alguém seestá a afogar.

Se um argumento invocar razões irrelevantes para a conclusão que pre-

tende estabelecer, é falacioso. Pois nesse caso as premissas não nos dão boasrazões para aceitar a conclusão. Avaliar um argumento é perguntar se aspremissas nos dão boas razões para aceitar a conclusão. Se a resposta fornegativa, o argumento deve ser recusado.

Note-se, contudo, que um argumento falacioso pode ter uma conclusãoverdadeira. Provar que um argumento é falacioso não é equivalente a provarque a conclusão desse argumento é falsa; é apenas provar que esse argumen-to não nos dá boas razões a favor da conclusão — mas pode haver outrosargumentos que nos dêem boas razões a favor daquela conclusão. Isto émuito fácil de ver no seguinte exemplo:

A neve é branca.Logo, Sócrates era um filósofo.

Este argumento não nos dá boas razões para aceitar a sua conclusão. Masdaqui não se segue que a conclusão é falsa. A conclusão é, de facto, verda-deira — porque há outros argumentos que nos dão boas razões a favor destaconclusão.


1. Avalia, comparativamente, os seguintes pares de argumentos:

1) Se legalizarmos as drogas, toda a gente poderá drogar-se.Se toda a gente puder drogar-se, acabaremos na mais completa barbá-rie.Logo, se legalizarmos as drogas, acabaremos na mais completa barbá-rie.

1*) Se Sócrates era ateniense, era grego.Se era grego, não era egípcio.Logo, se Sócrates era ateniense, não era egípcio.

2) A vida é sagrada.Se a vida é sagrada, o aborto é um assassínio.Logo, o aborto é um assassínio.

2*) O aborto é um assassínio.Logo, não deve ser permitido.





3) Mais de 90% da população humana acredita num qualquer tipo deDeus.

Logo, Deus existe.3*) Mais de 90% das pessoas acreditam que existem.

Logo, essas pessoas existem.

4) Ou podemos conhecer tudo ou não podemos conhecer nada.Mas não podemos conhecer tudo.Logo, não podemos conhecer nada.

4*) Ou existo ou não existo.Mas não é verdade que eu não existo.Logo, eu existo.



Nota final Os problemas 43


NNoottaa f f iinnaall OOss pprroobblleemmaass

Ao longo do manual, os Problemas diferem das Questões de Revisão portrês motivos:

1. As respostas às Questões de Revisão estão quase na sua totalidade no

próprio manual. Para lhes responder pouco mais é necessário do que com-preender o que se estudou. Isto não acontece no caso dos Problemas. Pararesponder aos Problemas é necessário pensar por nós mesmos, com base noque estudámos; não basta estudar com atenção o que está no manual.

2. As respostas correctas às Questões de Revisão não permitem grandesvariações; há apenas um conjunto muito restrito de variações aceitáveis nasrespostas. O mesmo não acontece nas respostas aos Problemas; neste caso, épossível responder correctamente de inúmeras maneiras. O que é mais impor-tante na resposta aos Problemas são as justificações apresentadas, e não aresposta em si.

3. As respostas às Questões de Revisão quase não exigem qualquer tipo decapacidade discursiva: basta dizer mais ou menos pelas mesmas palavras oque se acabou de estudar. O mesmo não acontece no caso dos Problemas,que exigem alguma capacidade discursiva. Isto é, exigem a capacidade paraarticular um pequeníssimo ensaio (por vezes, é apenas um parágrafo) queresponda ao problema.

Por vezes, o grupo de respostas correctas aos Problemas é mais restrito;outras vezes é completamente aberto. Por exemplo, os dois Problemas dasecção 1.1. só podem ser correctamente respondidos de formas relativamen-te restritas. No caso do Problema 1, qualquer resposta que afirme que a frase

«Há seres inteligentes noutros planetas» não exprime uma proposição estáerrada. A resposta correcta é a seguinte:

A frase «Há seres inteligentes noutros planetas» exprime uma propo-sição apesar de ninguém saber se a frase é verdadeira ou falsa. Isto por-que o que determina se uma frase exprime uma proposição não é o facto





de alguém conhecer o valor de verdade dessa frase, mas simplesmente o facto de essa frase ter um valor de verdade, ainda que ninguém saibaqual é. Ora, a frase dada tem sem dúvida um determinado valor de ver-dade, conforme há ou não seres inteligentes noutros planetas, e por issoexprime uma proposição, apesar de ninguém conhecer o seu valor de ver-

dade.

Como se vê, este tipo de resposta exige uma articulação de ideias que asrespostas às Questões de Revisão não exigem. É necessário compreender amatéria dada no manual, mas é também necessário pensar e depois saberorganizar uma resposta articulada.

E como se aprende a fazer isto? Praticando; pensando; comparando res-postas de diferentes colegas; discutindo as respostas com o professor. Não háreceitas automáticas para aprender a fazer filosofia, tal como não há receitasautomáticas para aprender a fazer seja o que for. Há algumas técnicas, e háalguns elementos firmes que temos de dominar, mas depois é necessário sercriativo e caminhar pelos nossos próprios pés.

11.. CCoommoo rreessppoonnddeerr aaooss PPrroobblleemmaass

Uma das técnicas que nos pode ajudar a responder correctamente aosProblemas é pensar no seguinte: «Que elementos da matéria dada são rele-vantes para responder ao Problema?» No exemplo dado, verifica-se que oselementos fundamentais para dar uma resposta correcta se encontram nomanual:

• Uma frase pode ter valor de verdade ainda que ninguém saiba qual é;• Uma frase exprime uma proposição desde que tenha valor de verdade

Responder ao Problema dado é uma questão de saber isolar estes elemen-tos nos quais a resposta tem de se basear e depois organizar um pequeníssimoensaio que articule esses elementos de forma a responder ao que está emcausa.

Precisamente porque estamos no início do manual e porque a lógica éuma disciplina exacta, os Problemas do Capítulo 1 têm quase todos respostasdeterminadas à partida — isto é, se alguém responder que «Há vida inteligen-te noutros planetas» não exprime uma proposição, esse estudante está a daruma resposta errada. Mas noutros capítulos do manual isto não acontece:tanto se pode responder «sim», «não» ou até «talvez»!



Nota final Os problemas 45


22.. MMúúllttiippllaass rreessppoossttaass ccoorrrreeccttaass

Vejamos um exemplo: no Capítulo 2, secção 1.3., o Problema 1 pode serrespondido de maneiras muito diferentes. Tanto se pode concordar comodiscordar. Não é a concordância ou discordância que torna a resposta correc-ta ou errada. O que conta, nestes casos, é a justificação. Vejamos doisexemplos de respostas possíveis, igualmente correctas, mas que respondemde formas opostas:

Concordo com o argumento dado porque se compararmos as duashipóteses vemos que quando um orador é honesto há menos probabilida-de de ele nos estar a enganar e a conduzir ao erro. Imaginemos um ora-dor honesto, que está a dizer-nos o que genuinamente pensa. É verdadeque ele pode estar a conduzir-nos ao erro porque ele próprio pode estar enganado. Mas a probabilidade de isto acontecer é menor do que no caso

do orador desonesto. Pois neste último caso, à probabilidade normal deele poder estar enganado soma-se a probabilidade de ele saber a verdademas estar deliberadamente a enganar-nos porque isso lhe convém. Logo,sempre que um orador é honesto há mais razões para aceitar o que elediz do que quando um orador é desonesto.

Compare-se agora com outra resposta, igualmente correcta, mas oposta:

Discordo do argumento dado porque se compararmos as duas hipóte-ses vemos que o facto de um orador ser honesto não é suficiente para quea probabilidade de ele nos enganar ser menor do que a de um orador

desonesto. A falácia de pensar o contrário consiste em presumir que oorador desonesto é quase omnisciente: que, quando ele pensa que nosestá a enganar, está realmente a enganar-nos. Mas isso é falso. Um ora-dor pode ser desonesto porque está a afirmar que é verdade o que ele pensa que é falso; mas ele pode estar enganado e o que ele pensa que é falso ser de facto verdadeiro. Portanto, tanto faz que um orador sejahonesto como desonesto: a probabilidade de engano é sempre a mesma. É por isso que o que conta na argumentação é exclusivamente o valor dos próprios argumentos e não o carácter do orador.

Como se vê, as duas respostas são opostas. Mas ambas estão correctas.Porquê? Porque ambas articulam os elementos essenciais necessários parauma resposta correcta; porque nenhuma delas comete falácias evidentes;porque ambas justificam de forma sólida e sóbria o que defendem.

Assim, muitos dos problemas admitem mais de uma resposta correcta.Mas daqui não se segue que tudo é subjectivo e que se pode dizer tudo.Algumas respostas são erradas:





Concordo porque a probabilidade é menor e além disso quem nos quer enganar é porque está a dizer falsidades e portanto não devemos confiar nele.

Esta resposta está errada porque não é articulada, não justifica o quedefende, não revela qualquer reflexão pessoal e nem sequer uma compreen-são mínima da matéria dada. O facto de concordar é irrelevante. Se discor-dasse mas tivesse a mesma falta de articulação, justificação, reflexão ecompreensão, a resposta estaria igualmente errada.

33.. AAccttiivviiddaaddeess

Muitos dos Problemas sugeridos podem e devem ser aproveitados para

realizar diferentes tipos de actividades. Por exemplo, o Problema 2 da sec-ção 3 do Capítulo 2 é evidentemente uma actividade que implica a interac-ção entre estudantes. Mas muitos outros problemas podem e devem ser usa-dos para organizar actividades na sala de aula. Por exemplo, o Problema 1 dasecção 2.2. do mesmo capítulo pode ser respondido por cada estudante indi-vidualmente, mas também pode e deve ser discutido na sala de aula. Discutirfilosofia oralmente é um dos aspectos centrais do nosso estudo.

E como se discute filosofia oralmente? Uma vez mais, não há receitas, talcomo não há receitas para saber escrever boas respostas e bons ensaios. Mashá alguns elementos que nos ajudam a discutir melhor, muitos dos quais sãoexactamente os mesmos que nos ajudam a escrever melhor: ao discutir filoso-

fia oralmente é necessário articular os elementos essenciais necessários parauma resposta correcta; não cometer falácias evidentes; procurar justificar deforma sólida e sóbria o que se defende; ouvir com atenção as ideias e objec-ções dos outros e responder-lhes adequadamente e sem ataques pessoais.

Discutir ideias em filosofia é uma das experiências humanas mais ricas,com a qual se aprende imenso; é como entrar na cabeça das outras pessoas ever o mundo a partir dos olhos delas; aprendemos a ver coisas que antes nãovíamos, e corrigimos mutuamente os nossos erros e distracções. Mas para quea discussão filosófica seja uma experiência enriquecedora é necessário enca-rá-la com seriedade, com o objectivo de descobrir a verdade, e não com oobjectivo de «ganhar a discussão» ou de exibir superioridade perante osoutros. Ensinar a fazer isto foi um dos objectivos que nos levaram a escrevereste manual.

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