Caixa Matematica Ivanir Grings 4o Enc

Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do Alfa Concursos Públicos Online.

1º BLOCO ........................................................................................................................................................................................... 2 I. Equações Exponenciais ......................................................................................................................................................... 2 II. Gráfico de uma Função Exponencial ..................................................................................................................................... 3

2º BLOCO ........................................................................................................................................................................................... 4 I. Logaritmo ............................................................................................................................................................................... 4 • Condição de Existência ..................................................................................................................................................... 4 • Propriedades dos Logaritmos ............................................................................................................................................ 5

3º BLOCO ........................................................................................................................................................................................... 6 I. Estatística ............................................................................................................................................................................... 6 • Medidas de Tendência Central .......................................................................................................................................... 6 • Medidas de Dispersão ....................................................................................................................................................... 7

4º BLOCO ........................................................................................................................................................................................... 8 I. Probabilidade ......................................................................................................................................................................... 8 • Probabilidade por Exclusão ............................................................................................................................................. 10

5º BLOCO ......................................................................................................................................................................................... 11 I. Exercícios Relativos ao Encontro ......................................................................................................................................... 11


I. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Potência e suas propriedades:

1...

322.2.2.2.22

0

4

5

=

=

==

aaaaaa

yxyx

y xyx

aaaaa

aa

+

−

=

=

=

.

11

Equações Exponenciais: Uma equação é exponencial se tiver variável no expoente. Exemplo:

422162

4

==

=

x

x

x

Exemplo:

3222

22

42

32

3 2

3

=

=

=

=

x

x

x

x

Exemplo:

6236362

33)3()3(

279

362

332

3

=−==+=

=

=

+

+

+

xxxxx

xx

xx

xx

Exemplo:

0452042.5)2(

042.52

2

2

2

=+−

==+−

=+−

ttt xxx

xx

4.5

=′′′=′′+′

tttt

41

=′′=′

tt

02212

0

==

=

x

x

x

ou

22242

2

==

=

x

x

x

}2,0{=S


Exemplo:

333273102703

2703.103

2703.93

903.33

3

903.333

9033

3

11

11

==

=

=

=

=+

=+

=+

=+ +−

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

II. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL

xxf 2)( = ou xy 2=

CRESCENTE x

xf

=

21)( ou

x

y

=

21

DECRESCENTE


I. LOGARITMO

cab =log

a – é o logaritmando b – é a base c – é o logaritmo Definição:

ab

cc

ab

=

=log

Podemos observar que tecnicamente o logaritmo é o expoente.

Exemplo:

6log642 = pois 6426 =

Logo, o logaritmo de 64 na base 2 é 6 porque dois elevado a 6 da 64. Exemplo:

2log10010 = pois 100102 =

Logaritmo na base 10 não é necessário apresentar a base, ou seja, log10010

pode ser escrito como log100 .

• CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA

Só existe logaritmo de números positivos e em base positiva e diferente de um.

logab só existe de a > 0 e se b > 0 com b ≠ 1

Mas não confunda, o resultado de um logaritmo pode ser negativo. Exemplo:

1log21

2−= pois

21

2 1 =−

Exemplo:

3log 001,010 −=

pois

10001

10 3 =− e 001,01000

1=


• PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

I. logloglog . y

b

x

b

yx

b+= propriedade da multiplicação;

II. logloglog y

b

x

byx

b−= propriedade da divisão;

III. loglog .x

bbtxt

= propriedade da potencia;

IV. loglog

log b

y

x

yx

b= propriedade da mudança de base.

Exemplo: Dado 301,0log2 = e 477,0log3 = calcule o 72log .

857,1954,0903,0477,0.2301,0.3

log.2log.3

loglog

log

log

32

.

72

32

3223

23

=+=+

=+

=+

=

=

Exemplo:

699,0301,01loglog

log

log

210

210

5

=−=−

=

=

Principal aplicação de logaritmo em concursos públicos é o uso das propriedades no cálculo do tempo em juros compostos.

( )iCMt

+= 1 Exemplo: Um capital de R$ 800,00 aplicado a juros compostos de 2% ao mês, gera um montante de R$ 1.672,00 em quanto tempo? Dados 008,0log 02,1 = e 32,0log 09,2 =

( )

( )

( )

( )

mesesanostmesest

t

t

t

iCM

t

t

t

t

4340

008,032,0

loglog

log.log

02,109,2

02,1800

1672

02,018001672

1

02,1

09.2

09,2 02,1

==

=

=

=

=

=

+=

+=


I. ESTATÍSTICA

TABELA DE FREQUÊNCIA

A tabela de frequência serve para organizar dados.

Frequência absoluta: valor real “FA”. Frequência relativa: valor em porcentagem “FR”.

Exemplo: A idade dos alunos de uma sala está organizada na tabela abaixo:

• MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

Media; Moda; Mediana.

Media “ �̅� ” é a soma de todos os valores divididos pelo número de valores.

1320260

204542916022

2015.314.313.712.511.2

=

=

++++=

++++=

x

x

x

x

Moda é o valor que mais aparece.

Mo = 13

Mediana é o elemento que está exatamente no meio quando organizado em ordem crescente.

Quando o número de termos é par pegamos os dois elementos do meio e somamos e dividimos por dois, pois não existe elemento exatamente no meio. Pegamos o:

2n

e 12+

n

Exemplo:

1, 2, 3, 3, 4, 6, 6, 7, 8, 9

São 10 termos, pegamos o quinto e o sexto termos somamos e dividimos por dois. Os valores são 4 e 6 que somados e divididos por dois geram a mediana que é cinco. Quando o número de informações é impar pegamos n + 1 e dividimos por dois.


Exemplo:

1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9

13 valores pela regra 72

14=

Sétimo elemento da sequência o número 4 é a mediana

• MEDIDAS DE DISPERSÃO

Variância (Var); Desvio padrão (Dp).

Variância:

Todos os dados subtraídos da média e elevados ao quadrado somados, divididos pelo número de dados.

n

xxV

n

i

ar

∑ −= 1

2)(

Exemplo:

13=x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

4,11014

2028

20123058

202.31.30.71.52.2

201315.31314.31313.71312.51311.2

)(

2222

22222

1

2

=

==

++++=

+++−+−=

−+−+−+−+−=

−=∑

ar

ar

ar

ar

ar

n

i

ar

V

V

V

V

V

n

xxV

Desvio padrão: É a raiz quadrada da variância.

var=pD Exemplo:

4,1=arV

18,1

4,1

var

=

=

=

p

p

p

DD

D


I. PROBABILIDADE

Na probabilidade o objetivo é expressar numericamente por porcentagem ou por fração a chance de um determinado evento acontecer.

Evento: é cada um dos resultados de um experimento.

Ex.: Quando lançamos um dado numerado de um a seis cada um dos resultados é chamado de evento.

Espaço amostral (S): É o conjunto de todos os eventos possíveis.

Ex.: O espaço amostral do lançamento de um dado é 6, pois existem 6 resultados possíveis. Probabilidade: Probabilidade de um determinado evento P(A) acontecer é calculada pela razão entre o evento desejado n(A) e o total de eventos possíveis (espaço amostral).

SAnAP )()( =

Exemplo 1: Qual a probabilidade de jogarmos um dado oficial e a face voltada para cima conter o número 4.

61)( =AP

ou P(A) é aproximadamente 16,67%

Exemplo 2: Qual a probabilidade de jogarmos um dado oficial e a face voltada para cima conter um número par.

21

63)( ==AP ou seja 50% de chance

Exemplo 3: No lançamento de duas moedas calcule da probabilidade de: a) Sair cara na primeira e na segunda moeda. b) Sair cara na primeira ou na segunda moeda.

Utilizando C para cara e R para coroa, temos como espaço amostral: CC, CR, RC, RR como o nosso espaço amostral são só estas 4 possibilidade temos:

Letra a: só nos serve um dos eventos logo temos %2541)( ==AP

Letra b: nos servem 3 dos 4 eventos, logo %7543)( ==AP

Em probabilidade é necessário compreender a diferença entre “ou” e “e”.

“ou” significa adição; “e” significa multiplicação;

Exemplo 4: Qual a probabilidade de um casal ter 4 filhos e todos serem do sexo feminino?

A probabilidade de um filho ser do sexo feminino é de 21

, com queremos todos os filhos do sexo feminino, ou seja 1º

menina “e” o 2º menina “e” o 3º “e” o 4º, logo é multiplicação.

161

21.

21.

21.

21

= = 6,25%


Exemplo 5: Qual a probabilidade de um casal ter 4 filhos sendo dois meninos e duas meninas? Considere M para menino e F para menina. Queremos:

MMFF MFFM MFMF

FFMM FMMF FMFM

Temos 6 possibilidades todas com probabilidade 161

21.

21.

21.

21

= logo

83

166

161.6 == = 37,5%

Exemplo 6: Lançando-se um par de dados não viciados. Qual a probabilidade de a soma das faces voltadas para cima ser 6 ou 7? Para facilitar a resolução de exercícios com essa característica se torna mais fácil montar uma tabela como os resultados:

11 possibilidades dentre 36.

Temos que a probabilidade 3611)( =AP aproximadamente 30,56%

Exemplo 7: Lançando-se um par de dados não viciados. Qual a probabilidade de o produto das faces voltadas para cima ser impar?

9 possibilidades dentre 36.

Temos que a probabilidade 41

369)( ==AP = 25%


• PROBABILIDADE POR EXCLUSÃO

Usamos quando é mais simples calcular o que não pode acontecer e subtrairmos de 100%.

100% - P(A) ou 1 – P(A)

Exemplo: Um dado é lançado repetidas vezes. Qual é a probabilidade de sair o número 2 antes do quarto lançamento? Como temos 3 lançamento onde a única coisa que não pode acontecer é não ter saído o número 2 em nenhum dos três lançamentos:

21691

216125

216216

2161251

65.

65.

651 =−→−→−


I. EXERCÍCIOS RELATIVOS AO ENCONTRO

1. Após a data de seu vencimento, uma dívida é submetida a juros compostos com taxa mensal de 8%, além de ser acrescida de uma multa contratual correspondente a 2% da dívida original. Sabendo-se que log2 = 0,30 e log3 = 0,48 e utilizando-se para todo o período o sistema de capitalização composta, determine o tempo mínimo necessário, em meses, para que o valor a ser quitado seja 190% maior do que a dívida original.

a) 24 b) 23,5 c) 13 d) 11,5 e) 10

Para responder às questões de nos 2 e 3, utilize os dados da tabela abaixo, que apresenta as frequências acumuladas das idades de 20 jovens entre 14 e 20 anos.

2. Um desses jovens será escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que o jovem escolhido tenha menos de 18

anos, sabendo que esse jovem terá 16 anos ou mais?

a) 148

b) 168

c) 208

d) 143

e) 163

3. Uma das medidas de dispersão é a variância populacional, que é calculada por n

mxV

n

i

ar

∑ −= 1

2)(. Sabendo-

se que m é a média aritmética dessas idades, qual a variância das idades na população formada pelos 20 jovens?

a) 0,15 b) 0,20 c) 1,78 d) 3,20 e) 3,35


4. Um jogo consiste em lançar uma moeda honesta até obter duas caras consecutivas ou duas coroas consecutivas. Na primeira situação, ao obter duas caras consecutivas, ganha-se o jogo. Na segunda, ao obter duas coroas consecutivas, perde-se o jogo. A probabilidade de que o jogo termine, com vitória, até o sexto lance, é:

a) 167

b) 6431

c) 21

d) 321

e) 641

5. Em um posto de combustíveis entram, por hora, cerca de 300 clientes. Desses, 210 vão colocar combustível, 130 vão completar o óleo lubrificante e 120 vão calibrar os pneus. Sabe-se, ainda, que 70 colocam combustível e completam o óleo; 80 colocam combustível e calibram os pneus e 50 colocam combustível, completam o óleo e calibram os pneus. Considerando que os 300 clientes entram no posto de combustíveis para executar uma ou mais das atividades acima mencionadas, qual a probabilidade de um cliente entrar no posto para completar o óleo e calibrar os pneus?

a) 0,10 b) 0,20 c) 0,25 d) 0,40 e) 0,45

GABARITO

1 - D 2 - C 3 - D 4 - B 5 - B

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