CÁLCULO NÚMERICO UAB

7/28/2019 CLCULO NMERICO UAB

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PAR

CENTRO DE CINCIAS SOCIAIS E EDUCAODEPARTAMENTO DE MATEMTICA, ESTATSTICA E INFORMTICA.

.

CLCULO NUMRICO

PROF. RUBENS VILHENA

2013


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2

SUMRIO

APRESENTAOUNIDADE 1

APRESENTAO1. SISTEMA NUMRICO E ERROS1.1. INTRODUO1.2. ERROS NA FASE DE MODELAGEM1.3. ERROS NA FASE DE RESOLUO1.4. MUDANA DE BASE

1.5. ATIVIDADES2. RESOLUO NUMRICA DE EQUAES NO LINEARES2.1. RAIZ DE UMA EQUAO2.2. ISOLAMENTO DE RAZES2.3. TEOREMA DE BOLZANO2.4. EQUAES TRANSCENDENTES2.5. MTODO GRFICO

2.6. ATIVIDADES COMPLEMENTARES2.7 ATIVIDADES DE AVALIAO2.8. MTODO DA BISSEO2.9. ATIVIDADES COMPLEMENTARES2.10. ATIVIDADES DE AVALIAO2.11. MTODO DAS CORDAS2.12. ATIVIDADES COMPLEMENTARES2.13. ATIVIDADES DE AVALIAO2.14. MTODO DE NEWTON2.15. ATIVIDADES COMPLEMENTARES2.16. ATIVIDADES DE AVALIAO2.17. COMPARAO DOS MTODOS: BISSEO, CORDAS E NEWTON

3. INTERPOLAO LINEAR 3.1. INTRODUO

3.2. CONCEITO DE INTERPOLAO3.3. INTERPOLAO LINEAR


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3

3.4. INTERPOLAO QUADRTICA3.5. ERRO DE TRUNCAMENTO3.6. TEOREMA DE ROLLE3.7. INTERPOLAO DE LAGRANGE

3.8. INTERPOLAO DE NEWTON COM DIFERENAS DIVIDIDAS

4. INTEGRAO NUMRICA 4.1. INTRODUO4.2. REGRA DOS TRAPZIOS4.3. PRIMEIRA REGRA DE SIMPSON4.4. SEGUNDA REGRA DE SIMPSON


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4

1. SISTEMA NUMRICO E ERROS1.1. INTRODUO

A soluo de muitos problemas passa pela modelagem matemtica, para isto devem srepresentado por uma frmula ou procedimento matemtico, que expressam as caractersticprincipais deste problema. A seqncia lgica da soluo de um problema, segue o diagrama a ba

importante ressaltar, que em certas situaes a soluo estimada, pelos mtodos numricose afasta da verdadeira soluo do problema. Isto ocorre devido a presena de fontes de erro qpodem ocorrer na fase de modelagem do problema ou na fase resoluo do problema.

1.2. ERROS NA FASE DE MODELAGEMOs erros na fase de modelagem ocorrem quando desconsideramos ou desprezamos algum

varivel presente no problema.

1.3. ERROS NA FASE DE RESOLUONesta fase, o erro gerado no momento que se fazer os clculos na calculadora ou

computador devido aos processos de arredondamentos.

1.4. MUDANA DE BASE Todo nmero na base dez pode ser decomposta da seguinte forma

nn

22

11

00

11

22

mm

m

ni

ii 10.a...10.a10.a10.a10.a10.a...10.a10.a

ia 0 ou 1

m,n nmeros inteiros, com 0n e 0m

Exemplo: 3210123 10*610*010*410*210*510*010*8406,8052 De forma semelhante. um nmero na base 2 pode ser escrito por:

nn

22

11

00

11

22

mm

m

ni

ii 2.a...2.a2.a2.a2.a2.a...2.a2.a

Exemplo: 3210123 2.12.02.12.12.12.02.1101,1011

Para transformar um nmero inteiro da base 10 para a base 2, utiliza-se o mtodo de divissucessivas, que consiste em dividir o nmero por 2, a seguir dividi-se por 2 o quociente encontradassim o processo repetido at que o ltimo quociente seja igual a 1 . O nmero binrio ser, ent

ProblemaModelo

MatemticoSoluo

Modelagem Resoluo


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5

formado pela concatenao do ltimo quociente com os restos das divises lidos em sentido inveao que foram obtidos, ou seja,

N 2r1 q 1 2

r2 Q2 2R 3 q 3

q n-1 2rn-1 1

1231n10 r .r .r .....r .1 N

Para transformar nmeros fracionrios da base 10 para a base 2, utiliza-se o mtodo damultiplicaes sucessivas, que consiste em:

1 Passo multiplicar o numero fracionrios por 2;2 Passo deste resultado, a parte inteira ser o primeiro dgito do nmero na base 2 e a partefracionria novamente multiplicada por 2. O processo repetido at que a parte fracionria ltimo produto seja igual a zero.Exemplo: transforme 101875,0 para a base 2

logo 210 0011,01875,0

Exemplo: transforme 1025,13 para a base 2

13 21 6 2

0 3 21 1

1310= 11012

0,2510= 0,012 logo 210 01,110125,13

De maneira geral, o nmerox em uma base representado por:

0,1875

2

0 ,3750

0,375 2

0 ,750

0,75 2

1 ,50

0,50 2

1 ,00

0,25 2

0 ,50

0,50 2

1 ,00


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6

exptt

33

221 .

d...

dddx

id so os nmeros inteiros contidos no intervaloid0 , t,...,2,1i

exp representa o expoente dee assume valores entre SexpI ,

S,I os limites inferior e superior, respectivamente, para a variao do expoente

tt

33

221 d...

ddd chamado de mantissa e a parte do nmero que representa seus

dgitos significativos et o nmero de dgitos significativos do sistema de representao,comumente chamado de preciso da mquina.Exemplo:Sistema decimal

03210

10.10

710

5103357,0

2543210

10.10

7

10

5

10

3

10

9102

357,29

Obs: a mantissa um nmero entre 0 e 1.Sistema binrio

554322

2.

2

1

2

0

2

0

2

121

11001

57654322

2.2

1

2

0

2

1

2

0

2

0

2

121

01,11001

Saiba que cada dgito do computador chamado debit. Apresentaremos abaixo uma maquinafictcia de 10 bits para a mantissa, 4 bits para o expoente e 1 bit para o sinal da mantissa e outropara o sinal do expoente.

Para voc entender melhor faremos um exemplo numrico.Exemplo: Numa maquina de calcular cujo sistema de representao utilizado tenha2 , 10t ,

15I e 15S , o nmero 25 na base decimal representado por1015

210 2.11001,02.11001,01100125 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1

Observe que utilizamosbit = 0 para positivo ebit = 1para negativo.

Mantissa Expoente

S i n a

l d a

M a n

t i s s a

S i n a

l d o

E x p o e n t e


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7

Um parmetro muito utilizado para avaliar a preciso de um determinado sistema drepresentao o nmero de casas decimais exatas da mantissa e que este valor dado pelo va

decimal do ltimo bit da mantissa, ou seja, o bit de maior significado, logo: tPRECISO 1

EXERCCIO(01) Os nmeros a seguir esto na base 2, escreva-os na base 10.(a) 211011 (b) 2111100 (c) 2100111 (d) 201111, (e) 21110, (f) 2001110 , (02) Os nmeros a seguir esto na base 10, escreva-os na base 2.(a) 1015 (b) 1012 (c) 1036 (d) 106215, (e) 102510, (f) 1012530, (03) Considere uma mquina de calcular cujo sistema de representao utilizado tenha2 ,

10t , 15I e 15S .Represente nesta mquina os nmeros :(a) 1035 (b) 1028, (c) 1024 (d) 1064, 2. RESOLUO NUMRICA DE EQUAES NO LINEARES 2.1. RAIZ DE UMA EQUAO

Os mtodos numricos so usados na busca das razes das equaes, ou os zeros reais de f(xEm geral, os mtodos, utilizados apresentam duas fases distintas:Fase I Localizao ou Isolamento das RazesEst fase consiste em obter um intervalo que contm a raiz da funo f(x) = 0, e em seguida irempara a segunda fase.Fase II RefinamentoNesta fase definimos a preciso que desejamos da nossa resposta e escolhemos as aproximainiciais dentro do intervalo encontrado na Fase I. Em seguida melhoramos, sucessivamente,aproximao da raiz da funo f(x) = 0, at se obter uma aproximao para a raiz dentro de umpreciso pr-fixada.2.2. ISOLAMENTO DE RAZES

Os mtodos numricos utilizados para calcular razes da equao f(x) = 0, s calculam umraiz de cada vez. Esta a razo porque devemos determinar um intervalo para cada raiz qudesejamos calcular.

TeoremaSe uma funo cont nua )x(f assume valores de sinais oposto nos pontos extremos do intervalo [ a, b ] , isto , 0)b(f .)a(f , ento o intervalo conter, no mnimo, uma raiz da equao0)x(f , emoutras palavras haver no mnimo um nmero, pertencente ao intervalo aberto )b,a( ,

)b,a( , tal que, 0)(f Exemplo:Neste exemplo apresentamos uma funo)x(f que possui dentro do intervalo ]b,a[ trs razes:

1 , 2 e 3 . Isto , so trs valores dex , para os quais a funo )x(f tem imagem igual a zero, isto: 01)(f , 02 )(f e 03 )(f .

y

x1 a

b

2

3 0

f(x)Se a funo possui imagemzero nos pontos 1 , 2 e 3 ,o grfico da funo )x(f ,

nestes pontos, intercepta oeixo dos x.


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8

Observe no exemplo que 0)a(f e 0)b(f , logo o produto 0)b(f .)a(f

Observe que toda vez que dentro de um intervalo]b,a[ , tivermos 0)b(f .)a(f , significaque neste intervalo temos pelo menos uma raiz da funo)x(f , como vemos na figura a seguir.

0)a(f 0)a(f 0)b(f 0)b(f

logo 0)b(f .)a(f logo 0)b(f .)a(f

Quando uma funo no possui razes dentro do intervalos]b,a[ , temos 0)b(f .)a(f

0)a(f 0)a(f 0)b(f 0)b(f

logo 0)b(f .)a(f logo 0)b(f .)a(f

2.3. TEOREMA DE BOLZANOSeja 0)x(P uma equao algbrica com coeficientes reais e )b,a(x . Se 0)b(P.)a(P , ento existem um nmero mpar de razes reais no intervalo)b,a( .

y

xa

b0

f(x)f(b)

f(a)

y

x1

a b0

f(x)

y

x1

a b2 0

f(x)f(b)

f(a)

y

x1 a b2 0

f(x)f(b)

f(a)

a

y

x

b

0

f(x)f(b)

f(a)

y

x

a b

0

f(x)f(b)

f(a)

Quando uma funo possui umnmero par de razes dentro dointervalos ]b,a[ , temos 0)b(f .)a(f


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9

Se 0)b(P.)a(P , ento existem um nmero par de razes reais no intervalo)b,a( ouno existem razes reais no intervalo)b,a( .

2.4. EQUAES TRANSCENDENTESSaiba que a determinao do nmero de razes de funes transcendentes quase impossv

pois algumas equaes podem ter um nmero infinito de razes.Funo Seno Funo Cosseno

Funo Tangente Funo Exponencial

2.5. MTODO GRFICOLembre que uma raiz de uma equao 0)x(f um ponto onde a funo )x(f toca o eixo

dos x . Outra forma de identificarmos as razes da equao substituir )x(h)x(g)x(f , onde0)x(h)x(g . As razes de 0)x(f corresponderam a interseo das funes)x(g e )x(h .

Observe o exemplo a seguir, onde utilizamos a funo 1072 xx)x(f que possui razes2 e 5. Se fizermos )x(h)x(g)x(f , onde 2x)x(g e 107x)x(h temos a interseo de

)x(g com )x(h acontece em 2 e 5.


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10

Exerccio(01) Dada a funo xsenx.)x(f 220 , separe esta em duas funes e aproxime pelo menosuma de suas razes pelo mtodo grfico.(02) Dada a funo xx)x(f 42 , separe esta em duas funes e aproxime pelo menos uma desuas razes pelo mtodo grfico.(03) Dada a funo xcosx)x(f 2 , separe esta em duas funes e aproxime pelo menos uma desuas razes pelo mtodo grfico.(04) Dada a funo xsenx)x(f 3 , separe esta em duas funes e aproxime pelo menos uma desuas razes pelo mtodo grfico.

2.6. MTODO DA BISSEOPara utilizarmos este mtodo devemos primeiro isolar a raiz dentro de um intervalo]b,a[ ,

isto , devemos utilizar o mtodo grfico para aproximar visualmente a raiz para em seguida isopelo intervalo )b,a( , onde esta raiz pertena a este intervalo. Para utilizarmos o mtodo dasbisseo necessrios que a funo)x(f seja uma continua no intervalo ]b,a[ e que

0)b(f .)a(f .Para aplicamos o mtodo da bisseo devemos dividir o intervalo]b,a[ ao meio, obtendo

assim ox , com isto temos agora dois intervalos ]x,a[ o e ]b,x[ o

1072 xx)x(f

2x)x(g

107x)x(h

y

xa b

ox


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11

Se 0)x(f o , ento, ox ; Caso contrrio, a raiz estar no subintervalo onde a funo tem sinaisoposto nos pontos extremos, ou seja se

0)x(f .)a(f o implica que a raiz esta no intervalo ]x,a[ o .0)b(f .)x(f o implica que a raiz esta no intervalo ]b,x[ o .

A partir da construiremos um novo intervalo ]b,a[ 11

O novo intervalo ]b,a[ 11 que contm dividido ao meio e obtm-se1x onde se011 )x(f .)a(f implica que a raiz esta no intervalo ]x,a[ 11 .011 )b(f .)x(f implica que a raiz esta no intervalo ]b,x[ 11 .

O processo se repete at que se obtenha uma aproximao para a raiz exata, com atolerncia desejada. Tolerncia ( ) um valor que o calculista define. A partir da tolerncia,definimos o critrio de parada, onde se para de refinar a soluo e se aceita o valor aproximacalculado. A tolerncia, muitas vezes avaliada por um dos trs critrios abaixo:

E|)x(f | n E|xx| nn 1

E|x|

|xx|n

nn 1

Exemplo:(01) Calcular a raiz da equao 32x)x(f com 010,E .SoluoPrimeiro devemos determinar um intervalo onde esta a raiz que desejamos calcular, para isdevemos fazer uma no seu grfico.

y

x1a

1b

1x

Raiz procuradaIntervalode busca


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12

A raiz procurada est prxima de 2 e esta dentro do intervalo][ 31 . LogoN an bn xn f (xn ) E01234567

1.0000 3.00002.0000 1.00001.0000 2.0000 1.5000 -0.7500 0.50001.5000 2.0000 1.7500 0.0625 0.25001.5000 1.7500 1.6250 -0.3594 0.12501.6250 1.7500 1.6875 -0.1523 0.06251.6875 1.7500 1.7188 -0.0459 0.03131.7188 1.7500 1.7344 0.0081 0.01561.7188 1.73441.7266 -0.0190 0.0078

Construo da tabela1 linha: Na iterao inicial ( N = 0 ) temos ][]ba[ oo 31 sendo o ponto mdio 2ox .2 linha: ( N = 1 ) Como 0)x(f .)a(f oo , substitumos oxb1 , logo ][]ba[ 2111 sendo

o ponto mdio 511 ,x .3 linha: ( N = 2 ) Como 011 )b(f .)x(f , substitumos 12 xa , logo ],[]ba[ 25122 sendo

o ponto mdio 7512 ,x ..........................................................................................................8 linha: ( N = 7 ) Como 066 )x(f .)a(f , substitumos 67 xa , logo

][]ba[ 1.7344 1.718877 sendo o ponto mdio 1.72667x ( E0.0078 ).Como o erro menor que tolerncia ento a aproximao final 1,7266x .

Exerccio

(01) Calcular a raiz da equao xlnx)x(f 2

com 010,E .

(02) Calcular a raiz da equao 423 xx)x(f com 010,E .

(03) Calcular a raiz da equao 102 2x)x(f com 010,E utilizando o mtodo da bisseo.(Sugesto utilizar intervalo de busca],[ 31 )

(04) Calcular a raiz da equao 523x)x(f com 010,E utilizando o mtodo da bisseo.

(Sugesto utilizar intervalo de busca],[ 30 )

(05) Calcular a raiz da equao 32x)x(f com 010,E utilizando o mtodo da bisseo.

(Sugesto utilizar intervalo de busca],[ 31 )

(06) Calcular a raiz da equao xsenx)x(f 162

com 010,E utilizando o mtodo dabisseo. (Sugesto utilizar intervalo de busca],[ 53 )

(07) Calcular a raiz da equao xsenx)x(f 52

com 010,E utilizando o mtodo dabisseo. (Sugesto utilizar intervalo de busca],[ 31 )

2.7. MTODO DAS CORDASPara utilizarmos este mtodo devemos primeiro isolar a raiz dentro de um intervalo]b,a[ ,

isto , devemos, novamente, utilizar o mtodo grfico para aproximar visualmente a raiz para seguida isol-la pelo intervalo ]b,a[ , onde esta raiz pertena a este intervalo)b,a( . No mtododas cordas, ao invs de se dividir o intervalo]ba[ ao meio, ele dividido em partes proporcionais razo )b(f /)a(f . A frmula de recorrncia para a aproximao da raiz ensima


13/36

13

2h

y

x b

1xa

Corda

f(a)

f(b)

2x

cx)c(f )x(f

)x(f xx nn

nnn 1 , onde ...,,,n 210 ,

onde o ponto fixadoc (ou a ou b ) aquele no qual o sinal da funo )x(f coincide com osinal da segunda derivada )x(''f , ou seja 0)c(f .)c(''f .

E|x|

|xx|

n

nn 1

Ao se aplicar este procedimento ao novo intervalo que contm, como mostra a figura aseguir, ]bx[ou]xa[ 11 , obtm-se uma nova aproximao2x da raiz pela aproximaoapresentada acima

y

x boxa 1x

1h

f(a)

f(b)

A existncia da corda daorigem a dois tringulossemelhantes, que permitemestabelecer a seguinterelao:

)a(f )b(f ab

)a(f h1

esta relao nos conduz auma valor aproximado da raiz

11 hax

)ab()a(f )b(f

)a(f ax1

y

x boxa 1x

1h Corda

f(a)

f(b)


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14

Nas figuras a seguir, como no mtodo das cordas escolhido o extremos do intervalo]b,a[ quedeve ser igual ao valorox .

Exemplo:(01) Calcular a raiz da equao 32x)x(f com 010,E .SoluoPrimeiro devemos determinar um intervalo onde esta a raiz que desejamos calcular, para isdevemos fazer uma no seu grfico.

y

x b

oxa 1x

1h

f(b )

f(a)

y

x

f(a)

f(b)

oxb a

1x 1h

0)x(''f 00 )b(f e)a(f

bc

0)x(''f 00 )b(f e)a(f

ac

y

x boxa

1x

1h

f(a)

f(b)

0)x(''f 00 )b(f e)a(f

bc

0)x(''f 00 )b(f e)a(f

ac

y

x

1x

1h

f(b )

f(a)

oxb a



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15


1.0000 3.00003.0000 6.0000 1.50001.0000 1.5000 1.5000 -0.7500 0.30001.0000 1.8000 1.8000 0.2400 0.08571.0000 1.7143 1.7143 -0.0612 0.02261.0000 1.73681.7368 0.0166 0.0061

Construo da tabelaComo 2)x(''f 023)(''f e 06333 2)(f logo 033 )(f .)(''f de onde temos que 1ac

usando a frmula de recorrncia cx)c(f )x(f

)x(f xx nn

nnn 1 temos que

30 bx

1.500011

00

001 x

)(f )x(f

)x(f xx ][]ba[ 1.50 1.0

1.800011 11

112 x)(f )x(f

)x(f xx ][]ba[ 1.80 1.0

1.714311 22

223 x)(f )x(f

)x(f xx ][]ba[ 1.7143 1.0

1.736811 33

334 x)(f )x(f

)x(f xx ][]ba[ 1.7368 1.0

Como o erro menor que tolerncia ( E0.0061 ) ento a aproximao final 1,7368x .

Exerccio(01) Calcular a raiz da equao xlnx)x(f 2 com 010,E .(02) Calcular a raiz da equao 423 xx)x(f com 010,E .(03) Calcular a raiz da equao 102 2x)x(f com 010,E utilizando o mtodo da bisseo.(Sugesto utilizar intervalo de busca],[ 31 )(04) Calcular a raiz da equao 52 3x)x(f com 010,E utilizando o mtodo da bisseo.(Sugesto utilizar intervalo de busca],[ 21 )(05) Calcular a raiz da equao 32x)x(f com 010,E utilizando o mtodo da bisseo.(Sugesto utilizar intervalo de busca],[ 31 )(06) Calcular a raiz da equao xsenx)x(f 162 com 010,E utilizando o mtodo dabisseo. (Sugesto utilizar intervalo de busca],[ 53 )(07) Calcular a raiz da equao xsenx)x(f 52 , com 010,E utilizando o mtodo dabisseo. (Sugesto utilizar intervalo de busca ].,.[ 5251 )


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16

2.8. MTODO DE NEWTONSemelhantes aos mtodos da bisseo e da corda, devemos primeiro isolar a raiz qu

desejamos procurar dentro de um intervalo ]b,a[ utilizando para isto o mtodo grfico. Parautilizarmos o mtodo de Newton necessrios que a funo)x(f seja uma continua no intervalo

]b,a[ e que o seu nico zero neste intervalo; as derivada)x('f ])x('f [ 0 e )x(''f devemtambm ser contnuas.

Para se encontrar a expresso para o clculo da aproximaonx para a raiz devemos fazeruma expanso em srie de Taylor para 0)x(f , de onde temos )xx)(x('f )x(f )x(f nnn sefizermos 01)x(f )x(f n , obteremos a seguinte expresso 01 )xx)(x('f )x(f nnnn ,isolando o termo 1nx na temos

)x('f )x(f xx

nn

nn 1 .

onde 1nx uma aproximao de.

Exemplo:

(01) Calcular a raiz da equao32x)x(f

com010,E

.Soluo

y

x1x 0xb

f(a)

f(b)

2x a

0)x(''f 0)x('f

0xb

y

x1x

f(b)

f(a)

b

0xa

2x

0)x(''f 0)x('f

0xa

y

x0xb

a 1x

f(b )

f(a)

2x

0)x(''f 0)x('f

0xb

y

x

f(a)

f(b)

b oxa 1x

2x

0)x(''f 0)x('f

0xa


17/36

17

Primeiro devemos determinar um intervalo onde esta a raiz que desejamos calcular, para isdevemos fazer uma no seu grfico.


123

1.0000 3.00003.0000 6.0000

1.0000 2.0000 2.0000 1.0000 0.25001.0000 1.7500 1.7500 0.0625 0.01791.0000 1.73211.7321 0.0003 0.0001

Observe a construo da tabela:Como x)x('f 2 063)('f e como 02)x(''f logo temos

30 bx

usando a expresso)x('f )x(f xx

nn

nn 1 , temos a seguinte recorrncia

.000020

001

)x('f

)x(f xx ][]ba[ 2.0 1.0

.750011

112 )x('f

)x(f xx ][]ba[ 1.75 1.0

1.73212

223 )x('f

)x(f xx ][]ba[ 1.7321 1.0

Como o erro menor que tolerncia ( E0.0001 ) ento a aproximao final 1,7321x .

Exerccio(01) Calcular a raiz da equao xlnx)x(f 2 com 010,E .

(02) Calcular a raiz da equao 423 xx)x(f com 010,E .(03) Calcular a raiz da equao 102 2x)x(f com 010,E utilizando o mtodo da bisseo.(Sugesto utilizar intervalo de busca],[ 31 )(04) Calcular a raiz da equao 52 3x)x(f com 010,E utilizando o mtodo da bisseo.(Sugesto utilizar intervalo de busca],[ 21 )(05) Calcular a raiz da equao 32x)x(f com 010,E utilizando o mtodo da bisseo.(Sugesto utilizar intervalo de busca],[ 31 )(06) Calcular a raiz da equao xsenx)x(f 162 com 010,E utilizando o mtodo dabisseo. (Sugesto utilizar intervalo de busca],[ 53 )



18/36

18

(07) Calcular a raiz da equao xsenx)x(f 52 , com 010,E utilizando o mtodo dabisseo. (Sugesto utilizar intervalo de busca ].,.[ 5251 )

3. INTERPOLAO LINEAR

3.1. CONCEITO DE INTERPOLAOSeja a funo )x(f y , cujos valores esto em uma tabela. Se desejarmos determinar)x(f

sendo:(a) )x,x(x n0 e ixx onde n,...,,,i 210 (b) )x,x(x n0

O item (a) representa um problema de interpolao, isto ,x est dentro do intervaloamostrado, logo devemos calcular um polinmio interpolador, que uma aproximao da funtabelada.

O item (b) representa um problema de extrapolao, isto ,x est fora do intervaloamostrado. Nos trataremos apenas de problemas de interpolao neste captulo.4.2. INTERPOLAO LINEAR Exemplo - Na tabela est a produo seguir est assinalado o nmero de habitantes de uma cida A em quatro censos.

Tabela 1 ANO 1950 1960

N de Habitantes 352.724 683.908Determinar o nmero aproximado de habitantes na cidade A em 1955.SoluoNeste caso, o polinmio interpolador ter grau 1, isto , ser da forma

011 axa)x(P Para se determinar os coeficientes,0a e 1a devemos fazer

101111

000101

yaxa)x(Pyaxa)x(P

1011

0001yaxayaxa

Para 19500x e 352.724y0 temos que724.352a1950a 01

Para 1960x1 e 683.908y1 temos que683.908a1960a 01

Com isto temos o seguinte sistemas

683.908a1960a

724.352a1950a

01

01

onde 33118,40a1 e 64228156a0 logo teremos64228156x33118,40)x(P1

como queremos saber o nmero aproximado de habitantes na cidade A em1955x , temos518.31664228156195533118,40)x(P1 habitantes

3.3. INTERPOLAO QUADRATICA Exemplo - Na tabela a seguir est assinalado o nmero de habitantes de uma cidade A em quacensos.

Tabela 1 ANO 1950 1960 1970N de Habitantes 877500 901600 925900

Determinar o nmero aproximado de habitantes na cidade A em 1965.


19/36

19

SoluoNeste caso, o polinmio interpolador ser de 2 grau, isto , ser da forma

012

22 axaxa)x(P Para se determinar os coeficientes,0a , 1a e 2a devemos fazer

202122222

101121212

000120202

yaxaxa)x(P

yaxaxa)x(P

yaxaxa)x(P

2021222

1011212

0001202

yaxaxa

yaxaxa

yaxaxa

Para o problema em questo temos:

925900aa1950a1970

901600aa1950a1960

877500aa1950a1950

0122

0122

0122

cuja soluo, atravs de escalonamento ensinado no captulo anterior

25.2a1500a

1a

0

12

logo teremos25.2x1500x)x(P 22

como queremos saber o nmero aproximado de habitantes na cidade A em1965x , temos91372525.2196515001965)1965(P 22 habitantes

3.4. ERRO DE TRUNCAMENTO

Para que voc entenda o erro de truncamento, observe o grfico mostrado a figura a seguir.

Figura. )x(f a funo tabelada e )x(P1 um polinmio interpolador de 1 grau. Podemos observarque, neste caso, )x(P1 no aproxima bem a soluo.

O erro de truncamento cometido no pontox dado pela frmula A)xx()xx()x(E 10T ,

onde A uma constante a determinar, como a funo erro de truncamento.No calculo de A , utilizaremos a funo auxiliar)t(G definida por:

)t(E)t(P)t(f )t(G T1 .3.5. TEOREMA DE ROLLESe a funo )x(f contnua no intervalo ]b,a[ e diferencivel no intervalo )b,a( e )b(f )a(f ,ento, existe um )b,a( , tal que 0)('f

0x 1x

0y

1y )x(P1

)x(f

x

Valor Aproximado

Valor real


20/36

20

3.6. INTERPOLAO DE LAGRANGE As interpolaes apresentadas anteriormente (interpolao linear e quadrtica) so cas

particulares da interpolao de Lagrange. Agora vamos determinar, o polinmio interpolador)x(P de grau menor ou igual an , sendo dado para isto, 1n pontos distintos.Teorema

Sejam )y,x( ii , 1n,n,...,2,1,0i pontos distintos, isto , ji xx para ji . Existeum nico polinmio )x(P de grau no maior quen , tal que ii y)x(p , para todoi . O polinmio

)x(P pode ser escrito na forma:n

n3

32

210n xa...xaxaxaa)x(P ou da seguinte forma

n

0i

iin xa)x(P

Observe que )x(P , no mximo, de graun , se 0an . Para determinar o polinmio )x(P

devemos conhecer os valores n210 a,...,a,a,a . Como )x(P contm os pontos )y,x( ii podemos escrever ii y)x(p , da seguinte forma

S:

nnnn

3n3

2n2n10

2n2n

323

222210

1n1n

313

212110

0n0n

303

202010

yxa...xaxaxaa

..............................................................yxa...xaxaxaa

yxa...xaxaxaa

yxa...xaxaxaa

A soluo do sistema S so os valores n210a,...,a,a,a

, com os quais determinamos o polinmionn

33

2210n xa...xaxaxaa)x(P .

Para verificarmos que tal polinmio nico, basta calcularmos o determinante da matriz A (matriz dos coeficientes) e verificar que ele diferente de zero.

2n

2nn

21

211

n0

200

x...xx1...............x...xx1x...xx1

A

Observe que a matriz A , tem a forma da matriz de Vandermonte, tambm conhecidacomo matriz das potncias. Seu determinante, segundo a lgebra Linear, dado pela expresso:

ji ji )xx() Adet( , com ji xx

Sabemos que 0) Adet( , logo isto prova que )x(P nico.

Obteno da FrmulaPara que voc entenda a interpolao de Lagrange necessrio que compreender como

obtida a frmula de recorrncia deste mtodo.O teorema fundamental da lgebra garante que podemos escrever o polinmio)x(P da

seguinte forma )xx(...)xx()xx()xx()xx()x(P n3210


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21

onde n3210 x,...,x,x,x,x so as razes do polinmio )x(P . Montaremos agora, uma seqnciade polinmios auxiliares da seguinte forma1 polinmio: se retirarmos )xx( 0 obteremos o polinmio

)xx(...)xx()xx()xx()x(p n3210 2 polinmio: se retirarmos )xx( 1 obteremos o polinmio

)xx(...)xx()xx()xx()x(p n3201 3 polinmio: se retirarmos )xx( 2 obteremos o polinmio

)xx(...)xx()xx()xx()x(p n3102 Seguindo este raciocnio obteremos os polinmios )x(p,...),x(p),x(p),x(p n210 . Estes

polinmios podem ser escritos na forma sinttica:n

i j0 j

ji )xx()x(p , )n,...,3,2,1,0i(

Tais polinmios possuem as seguintes propriedades

(a) 0)x(p ii , para todo i.(b) 0)x(p ji , para todo i j .e so conhecidos como polinmios de Lagrange. O polinmio)x(P pode ser escrito como umacombinao linear dos polinmios )x(p,...),x(p),x(p),x(p n210 , da seguinte forma:

)x(pb...)x(pb)x(pb)x(pb)x(P nn221100 ou

n

0iii )x(pb)x(P

Mas, como 0)x(pji

, para todo i j e 0)x(pii

, para todo i, temos que)x(pb)x(P nnnnn

logo

)x(p)x(Pb

nn

nnn

e como iin y)x(P , teremos

)x(pyb

ii

ii

substituindo este valor no somatrio sern

0ii

iii )x(p)x(p y)x(P

de onde teremosn

0i ii

ii )x(p

)x(py)x(P

comon

i j0 j

ji )xx()x(p ento


22/36

22

n

0i

n

i j0 j ji

ji )xx(

)xx(y)x(P

denominada de frmula de interpolao de Lagrange.

Exemplo - A partir das informaes existentes na tabela, determine:i ix iy 0123

0.00.20.40.5

0.0002.0084.0645.125

(a) O polinmio interpolador de Lagrange(b) )3.0(P Soluo(a) Como temos 4 pontos, o polinmio interpolador ser de grau 3, logo

3

0i

3

i j0 j ji

ji3 )xx()xx(

y)x(P , ou seja

)xx()xx()xx()xx()xx()xx(y



)xx()xx()xx()xx()xx()xx(y)x(P

2313032103

321202

3102

312101

3201

302010

32103

substituindo os valores da tabela, teremos

)4.05.0()2.05.0()0.05.0()4.0x()2.0x()0.0x(125.5

)5.04.0()2.04.0()0.04.0()5.0x()2.0x()0.0x(064.4

)5.02.0()4.02.0()0.02.0()5.0x()4.0x()0.0x(008.2

)5.00.0()4.00.0()2.00.0()5.0x()4.0x()2.0x(000.0)x(P3

simplificando a expresso, temos o seguinte polinmio interpoladorx10x)x(P 33

(b) 027.33.0103.0)3.0(P 33


23/36

23

Exerccio(01) A partir das informaes existentes na tabela, determine:

I ix iy 0123

0.00.20.40.6

0.00001.04002.16003.3600

(a) O polinmio interpolador de Lagrange(b) )3.0(P

(02) A partir das informaes existentes na tabela, determine:I ix iy 0123

0.10.30.50.7

0.10100.32700.62501.0430

(a) O polinmio interpolador de Lagrange(b) ).(P 40

(03) A partir das informaes existentes na tabela, determine:I ix iy 012

3

0.00.20.4

0.6

0.00000.40800.8640

1.4160(a) O polinmio interpolador de Lagrange(b) ).(P 50 (04) A partir das informaes existentes na tabela, determine:

I ix iy 0123

0.10.30.50.7

0.01100.11700.37500.8330

(a) O polinmio interpolador de Lagrange

(b) ).(P 60

3.7. INTERPOLAO DE NEWTON COM DIFERENAS DIVIDIDASConceito de Diferenas Divididas

Seja )x(f y uma funo que contmn pontos distintos )y,x( ii , onde n,...,2,1,0i .Representaremos diferena divididas, por][f . Definiremos diferena dividida de ordem zero aprpria funo, isto ,

1110 y)x(f ]x[f .

A diferena dividida de 1 ordem para os argumentos0x e 1x uma aproximao da 1

derivada, isto ,01

0110

1xx

)x(f )x(f ]x,x[f ,


24/36

24

onde temos a seguinte propriedade ]x,x[f ]x,x[f 1001 . Considerando )x(f y ii , podemosescrever as diferenas divididas de 1 ordem, de forma geral, por:

i1i

i1i1ii

1xxyy]x,x[f .

A diferena dividida de 2 ordem para os argumentos0x , 1x e 2x dada por:

02

101211210

2xx

]x,x[f ]x,x[f ]x,x,x[f .

A diferena dividida de 3 ordem para os argumentos0x , 1x , 2x e 3x dada por:

03

2102

3212

32103

xx]x,x,x[f ]x,x,x[f ]x,x,x,x[f .

Genericamente, a diferena dividida de ordemn dada por:

ini

1ni2i1ii1n

ni2i1i1n

ni2i1iin

xx]x,...,x,x,x[f ]x,...,x,x[f ]x,...,x,x,x[f .

Exemplo - Dada a funo tabelada calcule a diferena dividida de segunda ordem.i ix iy 012

0.31.52.1

3.0917.2525.41

SoluoDevemos calcular as diferenas divididas de primeira ordem

80.113.05.109.325.17

xxyy]x,x[f

01

0110

1

60.135.11.225.1741.25

xxyy

]x,x[f 1212

211

com todas as diferenas divididas de primeira ordem calculadas, vamos ento calcular a de seguordem

0.13.01.2

80.1160.13xx

]x,x[f ]x,x[f ]x,x,x[f 02

101

211

2102

Para facilitar os procedimentos numricos e organizar os nossos clculos colocaremos na prptabela o desenvolvimento do calculo da seguinte forma:

i ix iy ]x,x[f 1ii1 ]x,x,x[f 2102 0 0.3 3.09 ]x,x[f

10

1 ]x,x,x[f 210

2 1 1.5 17.25 ]x,x[f 211 2 2.1 25.41

Fazendo a substituio numrica temos:

i ix iy ]x,x[f 1ii1 ]x,x,x[f 2102 0 0.3 3.09 11.80 1.001 1.5 17.25 13.602 2.1 25.41

A frmula de recorrncia de interpola, de Newton com diferenas dividida, depende dnmero de pontos existente na tabela.1 Caso:Existem s dois pontos na tabela


25/36

25

A frmula, de interpolao, obtida a partir da expresso de diferena divididas de primeordem,

10

10

01

0110

1xx

)x(f )x(f xx

)x(f )x(f ]x,x[f

onde isolando )x(f , para obter a frmula de interpolao:

]x,x[f )xx()x(f )x(f 101

1010 assumiremos 0xx , ondex qualquer valor dentro do intervalo ]x,x[ 10 .

2 Caso:Existem s trs pontos na tabela A frmula de interpolao, neste caso, obtida a partir da expresso de diferena divididas

segunda ordem,

20

211

101

02

101

211

2102

xx]x,x[f ]x,x[f

xx]x,x[f ]x,x[f ]x,x,x[f

onde isolando ]x,x[f 211 , obtemos:

]x,x,x[f )xx(]x,x[f ]x,x[f 210220211101 Substituindo na primeira frmula de interpolao, temos

]}x,x,x[f )xx(]x,x[f {)xx()x(f )x(f 2102202111010 que pode ser escrita por

]x,x,x[f )xx)(xx(]x,x[f )xx()x(f )x(f 210220102111010 que a frmula de interpolao para este caso, onde assumiremos0xx , ondex qualquer valordentro do intervalo ]x,x[ 20 .

3 Caso:Existem s quatro pontos na tabela A frmula de interpolao, neste caso, obtida a partir da expresso de diferena divididas

terceira ordem,

30

3212

2102

03

2102

3212

32103

xx]x,x,x[f ]x,x,x[f

xx]x,x,x[f ]x,x,x[f ]x,x,x,x[f

onde isolamos ]x,x,x[f 2102 , para obter:]x,x,x,x[f )xx(]x,x,x[f ]x,x,x[f 321033032122102

Substituindo na segunda frmula de interpolao, temos

}]x,x,x,x[f )xx(]x,x,x[f {)xx)(xx(

]x,x[f )xx()x(f )x(f

321033032122010

211

1010

que pode ser expresso por:

]x,x,x,x[f )xx)(xx)(xx(]x,x,x[f )xx)(xx(

]x,x[f )xx()x(f )x(f

32103

3020103212

2010

211

1010

que a frmula de interpolao para este caso, onde assumiremos0xx , ondex qualquer valordentro do intervalo ]x,x[ 30 .

4 Caso:Generalizao para n pontos na tabelaPara uma tabela de n pontos, a frmula de interpolao pode ser expressa, segundo o mesm

raciocnio, por:


26/36

26

n

0i

1i

0 j ji0

i10 )xx(]x,...,x[f )x(f )x(f

onde assumiremos 0xx , ondex qualquer valor dentro do intervalo ]x,x[ n0 .

Exemplo - Determinar o valor aproximado de )4.0(f , usando todos os pontos tabeladosi ix iy 0 0.0 1.0081 0.2 1.0642 0.3 1.1253 0.5 1.3434 0.6 1.512

SoluoI ix ][f yi ][f 1 ][f 2 ][f 3 ][f 4

0 0.0000 1.0080 0.2800 1.1000 1.0000 -0.0000 1 0.2000 1.0640 0.6100 1.6000 1.0000 0.00002 0.3000 1.1250 1.0900 2.0000 0.0000 0.00003 0.5000 1.3430 1.6900 0.0000 0.0000 0.00004 0.6000 1.5120 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

Utilizamos os valores em azul no momento as substituio

][f )x4.0)(x4.0)(x4.0)(x4.0(][f )x4.0)(x4.0)(x4.0(

][f )x4.0)(x4.0(][f )x4.0(][f )4.0(f 4

32103

210

210

10

2160.1)4.0(f Exerccio

(01) Determinar o valor aproximado de ).(f 30 , usando todos os pontos tabelados

I ix iy 0 0.0 0.00001 0.2 0.04802 0.4 0.22403 0.6 0.57604 0.8 1.1520

(02) Determinar o valor aproximado de )4.0(f , usando todos os pontos tabelados

I ix iy 0 0.1 0.10101 0.3 0.32702 0.5 0.62503 0.7 1.04304 0.9 1.6290


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27

(03) Determinar o valor aproximado de).(f 30 , usando todos os pontos tabeladosi ix iy 0 0.0 0.10001 0.2 0.10802 0.4 0.16403 0.6 0.31604 0.8 0.6120

4. INTEGRAO NUMRICA Se a funo )x(f contnua em um intervalo ]b,a[ e sua primitiva )x(F conhecida, ento

a rea calculada pela integral definida desta funo no intervalo definido e dada por:)a(F)b(Fdx)x(f b

a ,onde )x(f )x('F .

6.1. REGRA DOS TRAPZIOSNeste mtodo, substitumos a rachurada que se deseja calcular pela rea de um trapzio comilustra a figura a seguir.

Figura (a) rea rachurada compreendida pela funo)x(f e o eixo dox no intervalo ]xx[ 10 .(b) Trapzio utilizado para aproximar a rea rachurada do item (a).

O trapzio utilizado para aproximar a rea rachurada determinado, utilizando os dois pontdo intervalo, onde passamos uma reta. Da geometria sabemos que a rea deste trapzio dada por

)x(f )x(f h A 102 .

A diferena entre a integral exata de)x(f (rea sob a curva )x(f ) e a integral aproximada (reado trapzio) denominada de erro de integrao.Uma forma de se melhorar o resultado estimado, isto , diminuir a diferena entre o resultad

estimado e o exato na regra do trapzio subdividir o intervalo]xx[ 10 em n intervalos deamplitudeh e em cada intervalo aplica-se a regra dos trapzios.

x0 x0 x1 x1

f(x) f(x)f(x 0)

f(x 1) f(x 1)

f(x 0)

x

y

x

y

hh

(a) (b)

a = x 0 b= x n

f(x)

x

y

h

x1

h

x2

h

x3

h

x4

h

xn-1


28/36

28

Figura rea compreendida pela funo)x(f e o eixo dox no intervalo ]xx[ 10 aproximadapela soma de n reas dos trapzios de mesma base compreendidos no intervalo]xx[ 10 .

Desta forma, a rea aproximada calculada pela expresso:

)yy(h...)yy(h)yy(h A nn 12110 222,

Que pode ser simplificado para)yy...yyy(h A nn 1310 2222.

Onde iE o erro cometido na aplicao da regra dos trapzios no intervalo cujos extremos soix e 1ix , ou seja,

)(''f hE i 12

3;

Com isto o erro total cometido a soma dos erros cometidos em cada intervalo, logo1

1

3

12

n

ii)(''f

hE ,

e pela continuidade de )(''f , existen em ba , tal que:

)(''f n

)ab(E i 23

12, onde ba .

Exemplo Calcule a rea entre o grfico 24 ttv e o eixo dox , dentro do intervalo ][ 40 . A preciso do valor aproximado depende do nmeron de trapzios, observe

Resoluo analtica:

40

32

4

0

23

24 )tt(dt)tt( A

)*()*( A3

002

34

423

23

2 6667103

32 . A

Aproximao para n = 2

)yyy(h A 321 22 8 A

)(''f n

)ab(E 2

3

12 2.6667E


)yyyyy(h A 54321 2222 10 A

)(''f n

)ab(E 2

3

12 0.6667E


29/36

29

Figura 5 Mostrando a aproximao pela regra dos trapzios para diferentes valores de n. Comt)t('v 24 , e como 2)t(''v , logo 20)(''f em todas as expresses, onde 40 .

Exerccio

(01) Dada a funo 2x)x(f calcular o valor da integral 30

dx)x(f I , usando a regra dostrapzios e dividindo o intervalos 6 partes.

(02) Dada a funo xln)x(f calcular o valor da integral4

2dx)x(f I , usando a regra dos

trapzios e dividindo o intervalos 6 partes.

(03) Dada a funo3

x)x(f calcular o valor da integral3

0 dx)x(f I , usando a regra dostrapzios e dividindo o intervalos 6 partes.

(04) Dada a funo xe)x(f calcular o valor da integral 42

dx)x(f I , usando a regra dostrapzios e dividindo o intervalos 6 partes.

Utilizamos uma aproximao de primeira ordem do polinmio interpolador de GregoryNewton )x(Pn para representar a funo )x(f .

02

03

02

00

1121

321

21

y*!)n(

)nz(*...*)z)(z(z

...y*!

)z)(z(zy*!

)z(zyzy)x(Pn

Isto , utilizamos na regra do trapzio, utilizamos 002 yzy)x(P (n = 1), para aproximar)x(f , com isto a integral passou a ser determinada por

b

a

b

adxyzydx)x(f I 00

Comohxxz 0 dzhdx ,

e considerando 0xa e 1xb , temos quepara ax 000

hxxz ,


)yyyyyyy(h A 7654321 222222

370410. A

)(''f n

)ab(E 2

3

12 0.2963E

Aproximao para n = 30654810. A

)(''f n

)ab(E 2

3

12 0.0119E


30/36

30

para bx 101h

xxz

substituindo os limes na integral temos

1

0

0

2

0

1

00000 2

yzyzhdzhyzydxyzyIb

a

0

2

00

2

0 20

02

11 yy*hyy*hI

00 21 yyhI )yy(yhI 00 2

1

20yyhI , foi esta a expresso utilizada no mtodo dos trapzios.

4.2. PRIMEIRA REGRA DE SIMPSON

A vantagem, de revermos o mtodo dos trapzios usando o polinmio interpolador de GregorNewton ( )x(Pn ) e que na primeira regra de Simpson, utilizamos uma aproximao de 2 ordem

deste polinmio, isto , faremos: 0200 21 y*

!)z(zyzy)x(f , onde

hxxz 0 .

Com isto o valor da integral ser:b

a

b

adxy*

!)z(zyzydx)x(f I 0

200 2

1

Comohxxz 0 dzhdx ,

Para se aproximar a funo)x(f por um polinmio do 2 grau, sero necessrios 3 pontos:0x , 1x e 2x (Figura).

Figura Grfico de )x(f juntamente com a aproximao de segunda ordem)x(P2 .

Considerando 0xa e 2xb , temos que :

ax 0h

aaz ,

x0 x1

f(x)f(x 0) f(x 2)

x

y

h h x2

f(x 1)

P2(x)


31/36

31

bx 2h

abz

Com isto, a integral ser resolvida da seguinte forma2

00

200 2

1 dzhy*!

)z(zyzydx)x(f Ib

a

Cujo resultado :

02

00 31

22 yyyhI

Como babemos que0120

2010

2 yyyy

yyy, ento com a substituio teremos

210 43yyyhI que denominado de 1 regra de Simpson.

2

0yyhI , foi esta a expresso utilizada no mtodo dos trapzios.

Para diminuir o erro, isto , a diferena do valor estimado e do valor real, devemos subdivio intervalo de integrao, da mesma forma que fizemos no mtodo dos trapzios, com isto,

integralb

adx)x(f I , ser aplicada em cada dupla de intervalos da seguinte forma:

ervalointsubltimonnn

ervalointsubervalointsub

yyyh...yyyhyyyhI 122

432

1

210 434

34

3

O erro total cometido ser a soma dos erros cometidos em cada aplicao da 1 regra dSimpson nas duplas de subintervalos e so determinados por:

)(f n

)ab(E )IV( 4

5

180, onde ba .

Exemplo 1. Calcule o valor da integral10 21 x

dx , com 410 .

Soluo

Figura Grfico da funo 211

x)x(f , onde a rea rachurada 1

0 21 xdx .

Devemos definir qual dever ser o nmero n de subintervalos devemos usar, para istoutilizaremos a nossa frmula do erro total

)(f n

)ab(E )IV( 4

5

180, onde ba .

Como21

1

x)x(f , ento temos que


32/36

32

524

42

2

32 1

384

1

288

1

24

x

x

x

x

x)x(f IV , onde 10

Sabemos que o maior erro total ser obtido quando0x , logo 24max

IV )x(f , e considerando

410 , ento temos:4

4

51024

180

01 *n

)( 44 1018024n 0426.n

Isto , devemos escolher um nmero de subintervalos maior que 7, e escolheremos para este ca8n . O valor da aproximao foi obtido, para8n , a partir da tabela a seguir.

i xi y i ci 0 0.0000 1.00001 0.1250 0.98462 0.2500 0.94123 0.3750 0.8767

4 0.5000 0.80005 0.6250 0.71916 0.7500 0.64007 0.8750 0.56648 1.0000 0.5000

1424

24241

Tabela - ci so os coeficientes que devem ser aplicados y i para determinar a aproximao do valor daintegral.

Para calcularmos o valor da integral pela seguinte expresso

8765432101

0 24242424

1

1yyyyyyyyy

hxdx

Substituindo os valores da tabela teremos 785401

1

0 2.

xdx

Exerccio

(01) Calcule o valor da integral1

0 221 xdx , com 410 , usando a primeira regra de Simpson.


1 1 dx)xln( , com4

10 , usando a primeira regra deSimpson.


0 321 xdx , com 410 , usando a primeira regra de Simpson.


21 dx)xln( , com 410 , usando a primeira regra deSimpson.

4.3. SEGUNDA REGRA DE SIMPSONNa segunda regra de Simpson utilizamos uma aproximao de terceira ordem no polinm

interpolador de Gregory-Newton ( )x(Pn ) o que resulta na expresso :


33/36

33

03

02

00 321

21 y*

!)z)(z(zy*

!)z(zyzy)x(Pn , onde h

xxz 0 .

Com isto o valor da integral ser: b

a

b

adxy*

!)z)(z(zy*

!)z(zyzydx)x(f I 0

30

200 3

212

1

comohxxz 0 dzhdx ,

Desta forma a soluo da integral :

3210 3383 yyyyhI

O erro total neste mtodo dado pela expresso

)(f xE IV 803 5 , ba .

Para diminuir o erro quando o intervalo no for muito pequeno, devemos subdividir o

intervalo de integrao da seguinte forma:

ervalointsubltimonnnn

ervalointsubervalointsub

yyyyh...yyyyhyyyyhI 1232

6543

1

3210 3383

338

333

83

Exemplo 1 Calcule o valor da integral4

1

3 dx)exln(I x

SoluoCalcular esta integral significa determinar a rea compreendida entre o grfico e o eixo

como mostra a Figura 8. O valor da integral obtido pela seguinte expresso:

98765432104

13

3323323383

yyyyyyyyyyh

dx)exln(x

Os valores de ny,...,y,y,y 210 so obtidos na tabela a seguir,

O valor da aproximao foi obtido, para9n , a partir da tabela a seguir.I xi y i ci 0 1.0000 1.31331 1.3333 1.81872 1.6667 2.29503 2.0000 2.7337

4 2.3333 3.13625 2.6667 3.50726 3.0000 3.85207 3.3333 4.17548 3.6667 4.48219 4.0000 4.7757

1332

332331

Tabela - ci so os coeficientes que devem ser aplicados y i para determinar a aproximao do valor daintegral.

Substituindo os valores da tabela teremos 9.6880dx)exln( x41

3


34/36

34

Exerccio

(01) Calcule o valor da integral10 221 x

dx , com 410 , usando a segunda regra de Simpson.


1 dx)xln( , com 410 , usando a segunda regra deSimpson.

(03) Calcule o valor da integral10 321 x

dx , com 410 , usando a segunda regra de Simpson.


21 dx)xln( , com 410 , usando a segunda regra deSimpson.

QUESTES COMPLEMENTARES

1) Na tabela abaixo, d a distancia, em metros, que uma bala percorre ao longo de um cano decanho em t segundos. Encontrar a distancia percorrida pela bala 5 segundos aps ter sidodisparada.

Tempo de disparo(s) 0 2 4 6 8Distancia percorrida ao longo do cano. 0,000 0,049 0,070 0,087 0,103

2)Durante trs dias consecutivos foram tomadas as temperaturas ( em C) numa regio de umacidade, por quatro vezes no perodo das 6 s 12 horas. Determinar, usando todos os dados da tabeabaixo, a mdia das temperaturas dos trs dias s 9 horas.

Hora 1 dia 2 dia 3 dia6 18 17 188 20 20 21

10 24 25 2212 28 27 233) Determinar, usando todos os valores das tabelas abaixo o valor de F(G(0,25)).

4) ( altitude de 2890m), sabendo que O ponto de ebulio da gua varia com a altitude, conformemostra a tabela abaixo.a) Determinar, usando os cinco primeiros pontos da tabela, o ponto de ebulio da gua em

um local que possui altitude de 1000m.b) Determinar, usando os cinco pontos mais prximos de 2890, o ponto de ebulio da gua

em um local que possui altitude de 2890m.

Altitude(m) Ponto de ebulio da gua ( C)850 97,18950 96,841050 96,51

1150 96,181250 95,84- -

X G(x)0 1,001

0,2 1,0830,4 1,6450,6 3,1670,8 6,1293

X F(x)1 0

1,1 0,211,3 0,691,6 1,562 3


35/36

35

- -- -

2600 91,342700 91,012800 90,672900 90,343000 905) A velocidade do som na gua varia com a temperatura, usando os valores da tabela abaixo,

determinar o valor aproximado da velocidade do som na gua a 100C. Temperatura ( C ) Velocidade (m/s)

86 155293,3 154898,9 1544104,4 1538110 1532

6) Um automvel percorreu 160 km numa rodovia que liga duas cidades e gastou, neste trajeto,2horas e 20 minutos. A tabela abaixo d o tempo gasto e a distancia percorrida em alguns pontosentre as duas cidades.Determinar:

a) Qual foi aproximadamente a distancia percorrida pelo automvel nos primeiros 45 minutos viagem, considerando apenas os quatro primeiros pontos da tabela?

b) Quantos minutos o automvel gastou para chegar metade do caminho? TEMPO (em minuto) DISTANCIA ( em metro)

0 0,0010 8,0030 27,0060 5890 100120 145140 160

7) A tabela abaixo relaciona a quantidade ideal de calorias, em funo da idade e do peso, parahomens e mulheres que possuem atividade fsica moderada e vivem a uma temperatura ambientemdia de 20C.Peso ( kg) Cota de calorias ( em kcal)Idade (em anos) homens. Idade (em anos) mulheres.

25 45 65 25 45 6540 - - - 1750 1650 140050 2500 2350 1950 2050 1950 1600

60 2850 2700 2250 2350 2200 185070 3200 3000 2550 2600 2450 205080 3550 3350 2800 - - -

Determine a cota aproximada de calorias para um homem de:a) 30 anos que pesa 70 quilogramas;b) 45 anos que pesa 62 quilogramas;c) 50 anos que pesa 78 quilogramas.

Determine a cota aproximada de calorias para uma mulher de:a) 25 anos que pesa 46 quilogramas;

b) 30 anos que pesa 50 quilogramas;c) 52 anos que pesa 62 quilogramas.


36/36

36

8) O grfico da figura foi registrado por um instrumento usado para medir uma qualidade fsiEstime as coordenadas-y dos pontos dos grficos e exprime a rea da regio sombreada usandcom n = 6 ). (a) a regra do trapzio e (b) a regra de Simpson.9) Um lago artificial tem a forma da figura, com mensuraes eqidistantes de 5 m. Usa a regratrapzio para estimar a rea da superfcie do lago.

10) Um aspecto importante na administrao de gua a obteno de dados confiveis de sobre

fluxo de corrente, que o nmero de metros cbicos que passam por uma seo transversa dcorrente ou rio. O primeiro passo neste calculo a determinao da velocidade mdia a umdistncia x metros da margem do rio. Se k uma profundidade da corrente em um ponto a x metrda margem e v(y) a velocidade (em m/s) a uma profundidade y metros (ver figura), ento

k

x dy yvk v

0)(

1

com o mtodo dos seis pontos, fazem-se as leituras da velocidade na superfcie, nas profundidad0,2k , 0,4K, 0,6k e 0,8k e prximo do leito do rio.Usa-se ento a regra do trapzio para estimar xv com os dados da tabela Y (m) 0 0,2k 0,4k 0,6k 0,8k k V(y) (m/s) 0,28 0,23 0,19 0,17 0,13 0,02

BIBLIOGRAFIA

DEMIDOVICH. B. P. e MARON, L. A.Clculo Numrico Fundamental Madri: Paraninfo .1977.

DORN. W. S. e CRAKEN. D. D. Mc,Clculo Numrico com Estudos de Casos em Fortran ZV / So Paulo : Ed. da Universidade de So Paulo 1978.

RUGGIEIRO. M. A. G., e LOPES V. L. de R.Clculo Numrico Aspectos Tericos eComputacionais So Paulo : Ed. McGraw - Hill. 1988.

MORAES. D. C., MARTINS J. M.Calculo Numrico Computacional: Teoria e Prtica; Algaritmoem Pseudo Linguagem, Indicao de Software Matemtico So Paulo: Atlas 1989.

6 m 6 m 8 m 10 m9 m

9 m

7 m7 m

5 m

k

x mL m

0,2k

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