Universidade Federal de Rio de Janeiro Instituto de Matematica

CALCULO PARA FARMACIAEXERCICIOS PARA PROVA 1Prof. Marianty Ionel

Material: Stewart, ed 5: Sec. 1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 1.6; 2.1, 2.2, 2.3, 2.5, 2.6.Funcoes elementares (lineares, polinomios, exponential, logaritmica, trigonomtricas). Domnioe composicao de funcoes. Funcao inversa. Limite de uma funcao e propriedades. Funcoescontinuas. Assntotas verticais e horizontais de uma funcao.

Exerccios:1. Seja f(x) =

x 1, g(x) = x2 + 2, h(x) = x + 3. Encontre a funcao composta

f g h e o seu domnnio. Calcule (f g h)(1).

Resp: f g h(x) = x2 + 6x+ 10, dom f g h(x) = R, f g h(1) = 17

2. Seja f(x) =

3 e2x.(a) Determine o domnio de f(b) Determine a funcao inversa f1 e o seu domnio.

Resp: dom f = (, ln 32

]; f1(x) = 12

ln(3 x2); dom f1 = (3,3).

3. Encontre o domnio e a imagem da funcao f(x) = 1 ln(x). Esboca essa funcao.

Resp: dom f=(0, ); Im f = R;

4. Seja f(x) = 4x12x+3

.(a) Encontre o dominio de f(b) Encontre a formula para a funcao inversa de f

Resp: dom f = R {32}; f1(x) = 3x+1

4(1x)

5.(a) Decide se a funcao f : R R, f(x) = x3 e injetora ou nao. f e bijetora? No casoafirmativo, qual e a sua fucao inversa?(b) Decide se a funcao g : R R, g(x) = x4 e injetora ou nao. g e bijetora? No casoafirmativo, qual e a sua fucao inversa?

Resp: (a) f e injetora e bijetora; f1(x) = 3x; (b) g nao e injetora, nem bijetora; g

1

nao tem inversa;

6. Calcule o limite das seguintes funcoes. Caso o limite nao exista, justifique.

(1) limx2 x2xx1

(2) limx1 x2+x2x21

(3) limx1 1ex

x

(4) limx3 x2 ln(x 2)(5) limt(et + tt2+1)

(6) limx1+ x21|x1|

(7) limx1 x21|x1|

(8) limx x24x+83x2+1

(9) limx x83x2+1(10) limt5+ ln(t 5)

Resp: 2; 32; 1 e; 0; ; 2; nao existe; 1

3; 0;

7. Seja f a funcao definida por partes dada por:

f(x) =

x2, x 0lnx, se 0 < x < 1x 1, 1 x < 32x+ 1, x 3

(a) Esboca a funcao f e encontra o domnio de f(b) Encontra todos os pontos de descontinuidade da funcao f . Explique o seu raciocino.

Resp: dom f = R; pontos de discontinuidade de f : x = 0 e x = 3

8. Encontre as assntos verticais e horizontais e esboca a funcao:

f(x) =x2 + 2x

x2 1Resp: AV: x = 1, x = 1; AH: y = 1

9. Resolve as seguintes equacoes:(a) ln(x) + ln(x 1) = 1(b) 2x4 = 3(c) sin(x) = cos(x), x [0, 4pi](d) ln(ln(x)) = 0

Resp: (a) x = 1+1+4e2

e x = 11+4e2

; (b) ln 48ln 2

; (c) x = pi4

e x = 9pi4

; (d) x = e

2

10. Esboca o grafco de uma funcao f que satisfaz todas seguintes propriedades: f temdomnio R, f tem uma assintota horizontal y = 4 e f e continua em todos os pontosexceito x = 1 e x = 2.

11. A meia-vida do elemento radioactivo paladio-100 e de quatro dias (assim, a metadede qualquer cantidade de paladio-100 vai se desintegrar em 4 dias.) A quantidade inicialde uma amostra e de 1 grama.(a) Encontra a massa restante apos 16 dias.(b) Encontra a massa m(t) restante depois t dias. Esboca seu grafico.(c) Encontra a funcao inversa de m(t) e explique o seu significado.(d) Quando a massa ficara reduzida a 0,01 gramas?

Resp: (a) 116

; (b) m(t) =(

142

)t; (c) m1(t) = log 1

2(x4); (d) t = 12 ln 10

ln 2ou aprox

39.86 dias

12. Expresse F (x) = 1x+x

como uma composicao de tres funcoes.

Resp: F (x) = f g h(x), onde f(x) = 1x, g(x) =

x2 + x, h(x) =

x

3