Campos Vetoriaisc _2011 Vinicius Cif LopesUFABC, 2oquad. 2011Este captulo continua com o desenvolvimento necessrio para responder s perguntas quezemos no incio de Derivao Espacial.Estudaremos, principalmente, as funes cujo domnioe contradomnio esto contidos no mesmo espao euclideano lRne introduziremos o conceito degradiente.Campos vetoriaisQual a reta tangente a uma reta dada?Qual o plano tangente a um plano dado?lRn tanto um espao de pontos (sistema de coordenadas) como um espao tangente emcada ponto (vetores com mdulo, direo e sentido).O campo vetorial associar, a cada ponto, um vetor tangente a esse ponto, que funcionarcomo origem de um espao vetorial ajustado. Em geral,pede-se que o campo,como funo,seja contnuo ou (como deniremos futuramente) sucientemente derivvel.Um campo vetorial uma funoF : lRn..pontos (pode ser subcjto.) lRn..direes(note mesmon).Representao: em cadax lRn, desenhe a seta dex ax + F(x).F central ou radial (com respeito origem) se(x) F(x) | x.(Um campo escalar simplesmente uma funo escalar de vrias variveis: lRnlR.)Paradenirumcampo, tudooqueprecisamos, dadasasncoordenadasdeumponto,combin-las para produzir asn coordenadas de outro vetor, que ser desenhado com sua baselocalizadanopontodado. Emoutraspalavras: Simbolicamente, umcampogeralmenteseapresenta como uma lista entre parnteses den expresses, sendo cada expresso uma funoescalar, sempre das mesmasn variveis. Gracamente, veremos alguns exemplos a seguir.Para compreender a denio de campo central, lembre que um ponto x tambm um vetor,que pode ser especialmente representado como a seta da origem at o prprio ponto x. Ento F central seF(x) ex so vetores paralelos para qualquerx, ou seja, se sempreF(x) mltiploescalar de x, existindo x lR de modo que F(x) = xx. (Esse escalar pode variar, dependendode x.)Nesse caso, quando aplicamos o vetor F(x) ao ponto x, a reta que ele determina tambmdeve passar pela origem, da o nome radial.1Dentre vrias possibilidades, destacam-se duas: Quando o escalarx, acima, sempre positivo, dizemos que o campo centrfugo; nesse caso, as setas que representamFgracamenteapontam sempre para o sentido oposto origem. Quandox sempre negativo, dizemos queo campo centrpeto e as setas no grco apontam sempre para a origem, mesmo que (por terum comprimento muito grande) cheguem a ultrapass-la.Exemplo (n = 2): F(x, y) = (2, 1).(Diagrama na lousa.)seta de(x, y) a(x + 2, y + 1).Exemplo (n = 2): F(x, y) = (x, y).(Diagrama na lousa.)seta de(x, y) a(x x, y y) = 0.centrpeto.Exerccio (n = 2): RepresenteF(x, y) = (2, 3).Exerccio (n = 2): RepresenteF(x, y) =(x, y)|(x, y)|=_x_x2+ y2,y_x2+ y2_.(Marque uma bola aberta na origem.) Esse campo central (exceto na origem)?Por qu?( dito centrfugo.)(Note que cada vetor unitrio.)Dica: Sermuitotrabalhosoeimprecisodesenhartalcampoapartirdeumpunhadodepontos (x, y) atravs do clculo repetido de (x, y)+F(x, y); vale a pena tent-lo somente com usode computador grco. O esprito do exerccio perceber isto: Comece mostrando que o campo centrfugo e unitrio, com base nas denies tericas. Ento bastar desenhar setas por todoo plano, sempre sobre retas que passam pela origem (radiais), apontadas em oposio origem(centrfugas) e com comprimento1 (unitrias). Isso ser suciente porque, ao determinar suadireo, seu sentido e seu mdulo, descrevemos esses vetores completamente.Convm conhecermos mais dois exemplos importantes:Exemplo (n = 3): Campo gravitacionalA de grande massaMcentrada na origem.Fora gravitacional sobre massam distanted:GMmd2Acelerao dem:Mdulo: ma =GMmd2a =GMd2.Direo e sentido: centrpeta (unitriou =(x, y, z)|(x, y, z)|).2Ento|A(x, y, z)| =GM|(x, y, z)|2eA(x, y, z) = |A(x, y, z)|.u =GM|(x, y, z)|2 (x, y, z)|(x, y, z)|== GM(x2+ y2+ z2)3/2(x, y, z) (centrpeto).Cargas eltricas de mesmo sinal: centrfugo.Exemplo (n = 2): F(x, y) =1(x,y)(y, x).no se dene na origem; ortogonal ao campo identidade: F(x, y)[(x, y) = 0;circular anti-horrio.(Diagrama na lousa.)O operador o vetor =_x1, . . . ,xn_.Podemos aplic-lo de trs modos:L-se como nablaou ainda del(cuidado para no confundir com o del ).Usaremos emtrsoperaes: gradiente, divergenteerotacional. Essasoperaessodiferentes formas de derivar funes escalares e campos, cada uma adequada a uma aplicao,como veremos futuramente.(a) multiplic-lo por escalar: dadaf :lRnlR,grad f= f=_fx1, . . . ,fxn_ o gradientedefe campo sobrelRn.Ex.: f= x3sen y + z grad f= (3x2sen y, x3cos y, 1).(b) tomar seu produto interno com vetor: dadoF :lRnlRn,div F= [F =F1x1+ . . . +Fnxn o divergentedeFe funolRnlR.Ex.: F= (x2y, 2xz sen y, x + 3) div F= 2xy + 2xz cos y + 0.3A notao para o divergente, para cada autor, depender obviamente da notao para produto interno: voc poder encontrar, por exemplo, F.(c) tomar seu produto vetorial com vetor: dadoF :lR3lR3,rot F= F=

kx1x2x3F1F2F3 o rotacional deFe campo sobrelR3.Ex. (lousa):F= (x2y, z ln [x[, y + sen z) rot F= (1 ln [x[, 0, x1z x2).Em ingls, o rotacional chama-se curl.Existem regras de soma e produto paragrad,div erot. (Demidovich 2375, 2381, 2384).Tambm:(i)div(grad f) =n

i=12fx2ilaplaciano def, indicado 2fouf.(ii)div(rot F) = 0 (Schwarz).(iii)rot(grad f) = 0 (Schwarz).Por exemplo, a primeira componente derot(grad f) F3x2F2x3=x2_fx3_x3_fx2_= 0.Um campoU :lR3lR3 dito conservativoquando existe um potencial f :lR3lR talqueU= grad f.Teorema: Isso ocorre se e somente serot U 0.(Para domnio lR3, preciso conectividade simples, isto , domnio sem buracos.)O potencial simplesmente um campo escalar; em alguns estudos, pode-se entender femvez def.Serot U ,= 0, entoUno conservativo. Serot U= 0, entoU conservativo de algumafuno escalarf, e veremos como encontrarfnestes exemplos:Exemplo: U(x, y, z) = (xy, yz, 3x2). Temosrot U=

kxyzxy yz 3x2==_y3x2zyz,zxy x3x2,xyz yxy_== (y, 6x, x) , 0.EntoUno conservativo.4Exemplo: U(x, y, z) = (4xy + z, 2x2+ 5z3, 15yz2+ x). Temosrot U=

kxyz4xy + z 2x2+ 5z315yz2+ x==_y(15yz2+ x) z(2x2+ 5z3),x(2x2+ 5z3) +z(4xy + z),x(15yz2+ x) y(4xy + z)_== (15z215z2, 1 + 1, 4x 4x) = (0, 0, 0) 0.EntoU conservativo U= grad fpara algumaf. Vamos acharf:U= f (4xy + z, 2x2+ 5z3, 15yz2+ x) = (fx, fy, fz) ___fx= 4xy + zfy= 2x2+ 5z3fz= 15yz2+ xEntof=

fx dx =

(4xy + z) dx = 2x2y + zx + A(y, z)(constante da integrao quanto ax: independe dex; depende dey, z).Assim,fy= 2x2+Ayefz= x +Az .Agora, repetimos o procedimento:Obtemos_2x2+Ay= 2x2+ 5z3x +Az= 15yz2+ xDeAy= 5z3vemA =

Aydy=

5z3dy= 5z3y + B(z)(constante da integrao quanto a y: independe de y; depende de z x no aparece porqueno consta emA(y, z)).TnhamosAz= 15yz2, mas agoraAz= 15yz2+dBdzB

(z) = 0 B(z) = Cconstante.5Assim:A(y, z) = 5z3y + B(z) = 5z3y + Cef(x, y, z) = 2x2y + zx + A(y, z) = 2x2y + zx + 5z3y + C.De fato, temos f= U ! (Verique!!)Exerccio: Decida se o campoU(x, y, z) = (5x4y37, 3x5y2+ z cos(yz), y cos(yz)) conservativo; em caso armativo, de qual funoU gradiente?(VeriqueU= grad f.)Para n = 3, est disponvel o teste de conservao com o rotacional nulo. Para outros valoresde n, porm, ainda vale esse mtodo para determinar a primitiva (cujo gradiente ser o campodado): basta eliminar repetidamente as variveis at chegar an=1, quando se trata de umaprimitiva tradicional.Uso do gradiente em clculosTome :lR lRncurva;f :lRnlR funo escalar;f :lR lR composta FUV.(Diagrama na lousa.)Veremos (Diferenciao) condies em que valem estas regras:(f )

(t) = f((t))[

(t) (regra da cadeia)fu(a) = f(a)[u parau unitrioLembre que, quando calculado em um ponto qualquer (a), o gradiente def um vetor. Aprimeira equao uma forma da Regra da Cadeia: em relao regra que j conhecemos, adiferena a substituio do produto de nmeros pelo produto interno de vetores.Usaremos isso com curvas de nvel e direo de maior crescimento.Exerccio (Demidovich 1879): Usando f, derive novamentef(x, y, z)=x2 3yz + 5 noponto(1, 2, 1) na direo(1, 1, 1).Curvas/superfcies de nvelAssumaf :D lR,D lRn,c lR.Sc= x D [ f(x) = c a superfcie de nvel c. (Diagrama na lousa.)(Paran = 2, diz-se curva de nvel.)Vocjconhececurvasdenvel deseusestudosdeGeograa: isotrmicas, isobricaseisoietas so curvas em um mapa ao longo das quais, respectivamente, a temperatura, a pressoe a precipitao so constantes.6Suponha :I lRncurva contida emSc, isto ,Im Sc. (Diagrama na lousa.)Entof((t)) = c para todot I.Derive:f((t))[

(t) = c

= 0.SeI 0,(0) = a e

(0) = v, temosf(a)[v = 0, donde f(a) v.Tomando todos oss (todos osvs tangentes aSc ema):f(a) Sc.Na ltima passagem do raciocnio, generalizamos o clculo feito para uma curva qualquer,desde que passe por a no instante 0, mas com qualquer direo. Desse modo, obtemos o mesmoresultadoparaqualquervetor v(correspondentea

(0))tangentesuperfcieema. Comof(a) um vetor ortogonal a todos eles, ento ortogonal prpria superfcie.Exemplo: Determinar a reta normal e o plano tangente superfcie de nvel def(x, y, z) =x2+ 3y2+ 4z2comc = 8 pora = (1, 1, 1).Temos f(x, y, z) = (2x, 6y, 8z),f(a) = f(1, 1, 1) = 1 + 3 + 4 = 8 = c (importante),Sc= (x, y, z) lR3[ x2+ 3y2+ 4z2= 8 um elipside (dim = 2).importante, aodeterminar-seumatangncia, vericarseopontorealmentepertencesuperfcie dada, ou seja, sea Sc.Ento f(a) = (2, 6, 8) Sc.Reta normal pora:(x, y, z) = a + f(a) ( lR)= (1 + 2, 1 6, 1 + 8) ( lR)Plano tangente pora: (diagrama na lousa)(x, y, z) = a + v ondev f(a);masv f(a) v[f(a) = 0 2vx6vy + 8vz= 0e tambmv= (x, y, z) a = (x 1, y + 1, z 1),donde o plano 2(x 1) 6(y + 1) + 8(z 1) = 0,ou seja,x 3y + 4z 8 = 0.7 fcil abstrair a frmula geral para o plano tangente: basta simplicar a equao f(a)[xa = 0, obtendo-sen

i=1(fxi(a))xin

i=1(fxi(a))ai= 0.Exerccio: Determinearetanormal eoplanotangenteax2+ 2y2 3z3=5noponto(0, 1, 1). (Quais sof, c, a ?)Direo de maior crescimento(Diagrama na lousa.)Temos:fu(a) = f(a)[u = |f(a)|.

>1|u|. cos projuf(a) = (|f(a)|. cos ).uEntofu(a) a componente escalar de f(a) na direo deu.Neste raciocnio, mantenha o ponto a xo, de modo que o vetor f(a) tambm constante.Conformeuassumetodasaspossveisdireesesentidos, ongulovariaetambmfu(a)varia.Temosfu(a) = |f(a)| cos e (quando f(a) ,= 0):fu(a) ___mximomnimozero___cos =___110___ =___0/2___.Ento, no pontoa,f___cresce maisdecresce maismantm-se___na direo e sentido___f(a)f(a)ortogonais a f(a)___.Note que, quandocos = 1, esse nmero negativo efdiminui!Exemplo (Guidorizzi): Para(x, y) no plano, montanha com alturaf(x, y)=5 x2 4y2.Alpinista em(1, 1) quer caminho mais ngreme (f(1, 1) = 0).Escalar sempre no sentido do gradientef(x, y) = (2x, 8y).8Para determinar caminho(t) = (x(t), y(t)),t0, resolvemos PVI:(0) = (1, 1),

(t) | f((t)).Pondo

(t) = f((t)), vem:x

(t) = 2x(t), x(0) = 1 x(t) = e2ty

(t) = 8y(t), y(0) = 1 y(t) = e8tEntoy= x4e altura do alpinista f(x, x4) = 5 x24x8.Nesse raciocnio, substitumos diretamente paralelismo por igualdade, entre

(t) e f((t)),porque a velocidade de escalada do alpinista no importa para o traado de seu percurso; essasimplicao possibilitou-nos eliminar uma funo desconhecida (o fator de proporcionalidadeem funo do tempo).Resolvemos as EDOs correspondentes pelo mtodo comum de separao de variveis e obtivemos umaparametrizaodocaminhodoalpinista, cujas coordenadas horizontais entoobedecemarelaoy=x4. Issonosignica, imediatamente, quenoinstantetoalpinistaesteja em(x(t), y(t)), porque essa soluo parano considerou a diculdade da escalada, ascondies do alpinista, etc. Ainda mais: note que, por essa parametrizao, o alpinista jamaischegar ao cume localizado na origem (por qu?), anal, x(t), y(t) 0 somente comt .Outra parametrizao possvel e mais realista tomarx=1 s ey=(1 s)4, que tambmsatisfazy=x4, coms [0, 1]; veriquequeacurvaassimdescritasatisfaz(0) =(1, 1),(1) = (0, 0) e

(s) | f((s)) (de fato,

(s) = 2(1 s)f((s))).Exerccio: Temperaturanoplano: f(x, y) =5x2 2y3. Noponto(1, 3), identiqueasdirees e sentidos em que a temperatura mais cresce; mais diminui; a isoterma estende-se.Esquematize isso gracamente.9