Cap 4 - Rejane - MEC SOLIDOS - Ceunes 2013 2_sem 1- Slide-pag

Cap. 4 Resultantes de umsistema de foras

Referncias: Esttica: Mecnica para Engenharia. HIBBELER. 12 ed.,

Pearson. Mecnica para Engenharia: Esttica. MERIAM & KRAIGE, 6 ed.,

LTD.

Profa Rejane de Castro Santana

MOMENTO (M0) / TORQUE: definio

Tendncia rotao de um corpo em torno

de um ponto ou eixo quando uma fora

aplicada;

O ponto no deve interceptar a linha de

ao da fora;ao da fora;

Intensidade de M0 proporcional :

Intensidade da FORA aplicada;

DISTNCIA perpendicular d;

d: brao da alavanca, distncia perpendicular

do eixo at a linha de ao da fora.

MOMENTO (M0): intensidade

Anlise das Figuras de acordo com a direo

de aplicao das foras: O que mais

eficiente?

d=d sen

Intensidade de M Intensidade de M0

M0 = Fd

d: brao do momento, distncia perpendicular

do eixo at a linha de ao da fora.

Unidades de M0:

N.m;

lb.ft

MOMENTO (M0): direo e sentido

Direo: em torno do eixo que passa pelo

ponto O, e perpendicular ao plano que

contem a fora F e o brao do momento d;

Sentido: Regra da mo direita:

Os dedos indicam a tendncia

rotao;

O polegar direito indica o sentido de M0;

O vetor M0: representado por uma

seta curva;

MOMENTO (M0) resultante

Sistemas bidimensionais: adio algbrica

dos momentos causados no sistema por

todas as foras;

Conveno: Conveno:

+ : sentido anti-horrio, positivo no eixo z

- : sentido horrio;

EXEMPLO

Determine o momento da fora em relao ao ponto O

para cada caso:

EXEMPLO

Determine o momento resultante das 4 foras em relao

ao ponto O:

EXEMPLO: Determine o momento resultante das 4 foras

em relao ao ponto O:

MOMENTO (M0): produto vetorial

Produto vetorial de 2 vetores A e B:

C = A B

C igual a A vetor B

Intensidade de C: C = A B sen Intensidade de C: C = A B sen

Direo:

perpendicular ao plano que contem A e B;

Regra da mo direita

C = A B = (A B sen) uc


C = A B

Intensidade de C: C = A B sen

Direo: C = A B = (A B sen) uc

Propriedades:

Comutativa (no vlida):

A B = - B A

Multiplicao por um escalar:

a(A B) =(aA) B =A (aB) = (A B)a

Distributiva:

A (B + D) = (A B) + (A D)


C = A B



Formulao do vetor cartesiano:

i j : i j :

Intensidade: (i) (j) (sen 90) = (1) (1) (1) = 1

Direo: regra da mo direita: +k

Assim: i j = (1) k


C = A B



Formulao do vetor cartesiano:

MOMENTO (M0)

Produto vetorial

M0 = r F

r: vetor de posio que vai do ponto de referncia do

momento (O) a qualquer ponto na linha de ao de F;

Intensidade de M : Intensidade de M0:

M0 = r F sen = F r sen = F d

Princpio da Transmissibilidade

M0 = r1 F = r2 F = r3 F

F : vetor deslizante

MOMENTO (M0): Formulao do vetor cartesiano

Problemas tridimensionais:

rx, ry, rz: componentes x, y, z do vetor

posio definido do ponto O at qualquer

ponto sobre a linha de ao da fora;

Visualizao dos momentos gerados por cada fora !

MOMENTO (M0): Teorema de Varignon

Princpio dos momentos: o momento de uma fora em

relao a um ponto igual soma dos momentos das

componentes em relao ao mesmo ponto.

Problemas bidimensionais: Decompoe-se a fora F em Fx

e Fy, e calcula-se o momento de cada componente:

EXEMPLO:

Determine o momento da fora F em relao ao ponto O.

EXEMPLO: Determine o momento da fora F em relao ao ponto O.

EXERCCIO:

Determine o momento da fora F em relao ao ponto O.

MOMENTO (M0) de uma fora em relao a um eixo

Ex. : Fora aplicada a chave para soltar a porca do pneu;

O que importa?

Momento em torno do eixo y! (a porca s gira em torno do eixo y)

Anlise escalar: My = F dy = F (d cos)

Anlise vetorial:

1: Calculo do momento da fora em relao a qualquer

pomto O que passe pelo eixo (y): M0 = r F

2: My projeo de M0 no eixo y

Produto triplo escalar

MOMENTO (M0) de uma fora em relao a um eixo

My = j.M0 = j. (r F)

Para um eixo qualquer:

Ma = ua.M0 = ua. (r F)

M a = Ma ua

Exemplo: Determine o momento resultante das 3 foras em

relao ao eixo x, y e z.

M a = Ma ua

EXERCCIO: Determine o momento MAB produzido pela

fora F que tende a girar o tubo em relao ao eixo AB.

MOMENTO (M) de um binrio

Binrio: 2 foras paralelas de mesma intensidade e direes

opostas;

Fr= 0

Mr 0: binrio produz uma tendncia do corpo a rotacionar

M = rB F + rA (-F) = (rB rA) F

Como rB =r + rA , ou (rB - rA )= r

M = r F

M = depende somente da distncia entre

as foras, um vetor livre;


Formulao escalar:

M = Fd

d: distancia perpendicular entre as linhas de ao das

foras;

Direo: regra da mo direita

Formulao vetorial:

M = r F

M = depende somente do vetor r, um vetor livre;

OBS: considere o momento das duas foras em relao a

um ponto situado na linha de ao de uma das foras!!!


BINRIOS EQUIVALENTES: binrios que produzem um

momento com a mesma intensidade e direo;

M = Fd = 30 . 0,4 = 12 N.m

M = Fd = 40 . 0,3 = 12 N.m

MOMENTO (M) de um binrio resultante

Binrios so vetores;

A resultante de vrio binrio obtida atravs da soma vetorial;

Mr = (r F)

Exemplo: Determine a intensidade e a direo do momento

binrio agindo sobre a engrenagem

OBS: M = Fd e M = r F

Exemplo: Determine a intensidade e a direo do momento

binrio agindo sobre a engrenagem.


Exemplo: Substitua os 2 binrios agindo sobre a coluna de

tubo por um momento de binrio resultante.


EXERCCIO

Dois binrios agem sobre a estrutura. Se d = 4 ft, determine o momento de

binrio resultante. Calcule o resultado o resultado decompondo cada fora

em componentes x e y e:

a) Encontrado o momento de cada binrio;

b) Somando os momentos de todas as componentes de fora em relao ao

ponto B.

Simplificao de um sistema de foras e binrio

Substituio so sistema de foras e momentos binrios por um

sistema equivalente: FR + M

mantem mesmos efeitos externos:

efeitos de rotao e translao (corpo livre);

foras de reao (corpo em repouso);


Substituio so sistema de foras e momentos binrios por um

sistema equivalente: FR + M

Princpio da transmissibilidade: fora F um vetor deslizante,

pode ser aplicado em qualquer ponto de sua linha de ao;

A fora F tambm pode ser substituda por uma fora F que nao

esteja na mesma linha de ao + um momento binrio M:

F e -F formam momento binrio M (vetor livre), M=Fd


Do mesmo modo, um sistema de vrias foras Fi

e momentos binrios Mi podem ser substituidos por

um sistema equivalente: FR + M

Na condio original:

M1 = r1 F1 M1 = r1 F1

M2 = r2 F2

Na condio final (carregamentos em O)

Fr= F1 + F2 = F

(MR)O = M + M1 + M2 = M0 + M

Lembre-se: M (momento binrio) um vetor livre,

ou seja, pode ser deslocado e no modificar as

reaes no sistema;

EXEMPLO:

Substitua o sistema de foras e binrios por um sistema de

fora e momento binrio resultante equivalente agindo no

ponto O.

EXEMPLO: Substitua o sistema de foras e binrios por um sistema

de fora e momento binrio resultante equivalente agindo no ponto O.

EXEMPLO: O membro estrutural est sujeito a um momento de

binrio M e s foras F1 e F2. Substitua esse sistema por um sistema

de fora e momento de binrio resultante equivalente agindo no ponto

O.

EXEMPLO:

Simplificaes adicionais de um sistema de

foras e binrio

Para sistemas com linha de ao de FR e (MR)O

perpendiculares: o sistema pode ser reduzida a somente uma FR .

Sistemas de foras concorrentes;

Sistemas de foras coplanares; Sistemas de foras coplanares;

Sistema de foras paralelas;

Simplificao adicional de um sistema de foras

e binrio

Sistemas de foras concorrentes:

Todas as linhas de fora interceptam no ponto O;

O sistema de foras no produz momento em relao ao

ponto O;

F = F Fr= F


e binrio

Sistemas de foras coplanares:

Todas as linhas de fora atuam no mesmo plano: as foras podem ser

substituidas por Fr = F

O momento de cada fora Fi est direcionado perpendicularmente ao

plano, totos Mi possuem mesma direo;i

A somatria dos momentos MO = (MR)O pode ser substituda por uma

Fr em uma distncia perpendicular d do ponto O, tal que Fr produza o

mesmo momento (MR)O , ou seja: (MR)O = Fr d ou d = (MR)O / Fr


e binrio

Sistemas de foras paralelas:

As foras paralelas podem ser substituidas por Fr = F na mesma

direo;

O momento Mi de cada fora Fi est no plano da chapa;

A somatria dos momentos MO = (MR)O pode ser substituda por umaO R O

Fr em uma distncia perpendicular d do ponto O, tal que Fr produza o

mesmo momento (MR)O , ou seja: (MR)O = Fr d ou d = (MR)O / Fr

EXEMPLO: Substitua o sistema de foras e momentos de

binrio que agem sobre a viga por uma fora resultante

equivalente, Encontre onde sua linha de ao intercepte a

viga.

EXEMPLO:

EXEMPLO: Substitua o sistema de foras por uma fora

resultante equivalente e especifique seu ponto de aplicao.

EXEMPLO:

Reduo de carregamento distribudo simples

Ex. de carregamento distribudo:

Presso do vento sobre um edifcio;

Presso da gua em tanque;

P =F/A (N/m2 = Pa)

Carregamento uniforme de presso: p=p(x) N/m2

p = p(x) = F/(b.x)

W(x) = p(x) b (N/m)

Fr = p(x) b dx = W(x) dx = dA

Coplanar: o sistema de foras pode ser

substitudo por uma fora resultante FR que age em

uma posio especfica da barra, tal que provoque o

mesmo momento que o sistema original;FR : rea sob a curva

Reduo de carregamento distribudo simples:

POSIO DA FORA RESULTANTE

p=p(x) N/m2

W (x) = p(x) b (N/m)

Fr = p(x) b dx = W(x) dx

FR : rea sob a curva

FR: aplicada no centride da rea ou centro geomtrico:

EXEMPLO: Determine a intensidade e a posio da

fora resultante equivalente que agem sobre a viga.

p=p(x) N/m2

W (x) = p(x) b (N/m)

Fr = p(x) b dx = W(x) dx

FR : rea dob a curva

EXEMPLO: Determine a intensidade e a posio da

fora resultante equivalente que agem sobre a viga.

EXERCCIO: Determine as intensidades w1 e w2 do

carregamento distribudo agindo na parte inferior da plataforma, de

modo que esse carregamento tenha uma fora resultante equivalente

igual mas oposta resultante do carregamento distribudo atuando

no topo da plataforma.

EXERCCIO: Represente a resultante das 3 foras e do

momento binrio por uma fora equivalente Fr e um

momento binrio em A. Descreva M e a direo de Fr.

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