Cap 4_EST10_2013

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EST-10 Mecnica dos Slidos ITA-2013 4.1

4

EQUAES CONSTITUTIVAS

Neste captulo veremos o terceiro aspecto fundamental na Mecnica dos Slidos, ou

seja, o comportamento resistivo do material atravs das equaes constitutivas, as

quais relacionam as tenses com as deformaes num ponto do slido. So essas

equaes que nos permitem levar em considerao na anlise de um problema

estrutural o comportamento resistivo do material que constitui a estrutura analisada.

intuitivo, por exemplo, que uma barra feita de ao e uma barra, geometricamente igual,

feita de borracha, ambas sujeitas ao mesmo carregamento, devam se deformar de

maneira diferente.

At agora, temos a seguinte situao:

Esttica: trs equaes de equilbrio e seis incgnitas (componentes de tenses)

Cinemtica da deformao: seis equaes e nove incgnitas (seis componentes

de deformaes e trs componentes de deslocamentos).

Portanto, precisamos de mais seis equaes para que o nosso problema de

Mecnica dos Slidos seja possvel e determinado. A considerao do comportamento

resistivo do material nos fornecer as seis equaes que esto faltando, ou seja, as

equaes constitutivas na verdade so seis equaes que relacionam as componentes

de tenses com as componentes de deformao, atravs de quantidades que

caracterizam o comportamento do material, as quais so tambm conhecidas como

propriedades mecnicas.

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4.1 CONSIDERAES PRELIMINARES

Como nesse curso maior nfase dada a materiais metlicos homogneos e

isotrpicos, apresentamos a seguir a definio desses termos.

Homogeneidade

O termo homogneo usado para descrever algo que possua uniformidade. Um

corpo material homogneo se cada poro similar possui os mesmos atributos fsicos

e propriedades.

Os materiais usados na engenharia no so verdadeiramente homogneos

devido sua constituio cristalina e a falhas entre os cristais, porm, quando

examinamos pores maiores as pequenas irregularidades nas vrias pores se

tornam sem importncia por causas da distribuio e orientao aleatrias dos

pequenos constituintes. A falta de homogeneidade significativa somente numa escala

muito pequena ou microscpica.

Isotropia

Um material que no exibe nenhuma orientao estrutural nem propriedades

dependentes de direes dentro do material definido como isotrpico. Ou seja, num

material isotrpico, num ponto as suas propriedades sero as mesmas em qualquer

direo.

Quando as propriedades do material dependem das direes consideradas ele denominado anisotrpico.Um caso especial encontrado na Mecnica dos Slidos o

de materiais ortotrpicos, os quais so materiais que possuem trs direes

mutuamente ortogonais, as quais definem trs planos de simetria elstica, segundo as

quais so definidas as suas propriedades mecnicas. Os materiais compsitos se

enquadram nessa definio e sero estudados em cursos dedicados.

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Devemos ter sempre em mente que isotropia no significa homogeneidade. Um

material pode ser isotrpico em cada ponto, mas ter as suas propriedades mecnicasvariando com a posio do ponto dentro do slido, ou seja, no ser homogneo.

4.2 ENSAIOS DE TRAO, COMPRESSO E CISALHAMENTO

As caractersticas essenciais do comportamento do material so obtidas por meio de

simples experimentos. O mais comum deles envolve a aplicao de cargas estticas

temperatura ambiente. As cargas e deformaes devem ser medidas e registradas.

Essa a natureza dos simples ensaios de trao, compresso e cisalhamento.

Ensaio de trao

Esse ensaio consiste da aplicao lenta e gradual de uma fora axial para

estender uma barra prismtica de dimenses padronizadas, denominada corpo-de-

prova. A seo transversal do corpo-de-prova uniforme e de forma circular ou

retangular. Os dados importantes registrados durante o ensaio so: a fora axial e ocorrespondente comprimento e largura da barra. A figura 4.1 ilustra uma montagem de

um ensaio de trao

Figura 4.1 Montagem de um ensaio de trao.

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No corpo-de-prova marcam-se dois pontos Q e R ao longo do seu

comprimento e registra-se a distncia entre eles. Esse ser o comprimento dereferncia 0L . Os pontos Q e R esto situados longe o bastante das

extremidades onde so aplicadas as cargas, para no serem afetadas pela

distribuio local.

Por exemplo, consideremos um corpo-de-prova de seo circular com um

dimetro original 0d . Em intervalos regulares, durante a extenso da barra,

registra-se o comprimento deformado *L entre *Q e *R , o dimetro *d e a carga

axial P nesse instante. Mesmo um pequeno alongamento da barra acompanhado por uma reduo no seu dimetro.

Como o nosso objetivo descrever o comportamento do material, sem

referncia a um corpo particular, ento, dividimos a carga Ppela rea da seo

transversal original0A , o alongamento

*

0e L L pelo comprimento original

0L e

a reduo do dimetro * 0e d d pelo dimetro original 0d .

Assim, consideramos como variveis do ensaio: a tenso normal mdia

0

P

A , (4.1)

a deformao axial mdia

*

0

0 0

L Le

L L

(4.2)

e a deformao transversal mdia

*

0

0 0

d de

d d

. (4.3)

Com os valores dessas variveis obtidas durante o ensaio, podemos traar um

grfico como o da figura 4.2. Esse um grfico de tenso-deformaotpico.

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Figura 4.2 Curva tenso-deformaotpica.

A partir do ensaio de trao e do grfico da figura 4.2, podemos estabelecer asseguintes definies:

a) Mdulo de Elasticidade

A poro inicial OAda curva aproximadamente uma linha reta, a qual pode ser

expressa pela equao

E , (4.4)

onde E, uma constante de proporcionalidade, a tangente do ngulo de inclinao da

reta AO em relao ao eixo . A constante E uma propriedade do material e

denominada de mdulo de elasticidadedo material.

A equao (4.4) tambm conhecida como Lei de Hooke, em homenagem a

Robert Hooke, pelo seu trabalho sobre proporcionalidade entre a carga e a deformao

de molas, em 1676. O mdulo de elasticidade E tambm conhecido como mdulo de

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Young, em homenagem a Thomas Young que publicou em 1807 uma explicao da Lei

de Hooke. As unidades de Eso as mesmas das tenses, ou seja, fora/unidade rea.

b) Coeficiente de Poisson

Observa-se do ensaio de trao que na regio da reta AOa contrao * 0e d d do

dimetro da barra proporcional ao alongamento *0

e L L . Portanto 0e d

relacionado deformao 0e L atravs da equao

, (4.5)

onde uma constante positiva, denominada de coeficiente de Poisson. Essa

constante adimensional e para a maioria dos slidos o seu valor varia entre 1/4 e 1/3.

c) Limite de Proporcionalidade

Quando a tenso atinge certo valorL , a curva se afasta da linha reta AO.

Este desvio da relao linear, equao (4.4), marcado no grfico da figura 4.2 pelo

pontoA.

Essa tensoL denominada de limite de proporcionalidade.

d) Limite Elstico

Quando o corpo-de-prova retorna configurao inicial indeformada, aps a retirada do

carregamento, dizemos que o seu comportamento elstico. Ele ser elstico linear se

a relao E se aplicar e poder ser elstico no linear (como no caso da

borracha, por exemplo) se a relao entre a tenso e a deformao for no linear.

No grfico da figura 4.2 esse ponto no est assinalado, mas em geral ele

muito prximo do pontoA, tanto que para fins prticos considera-seE L , onde E

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a tenso a partir da qual o material, ao ser descarregado, apresentar uma deformao

residual permanente. Esse ponto no grfico muito difcil de determinar com preciso.Para as ligas de alumnio, por exemplo, define-se um ponto a partir do qual se

considera que o material tenha escoado, ou seja, apresente uma deformao

permanente. Ele considerado elstico at essa tenso Esse ponto a interseco de

uma reta traada a partir da deformao 0,002 (0,2%) e paralela reta do trecho da

curva em que o material elstico linear, com a curva do material. Veja a figura 4.3.

Figura 4.3 Curva tenso-deformao tpica de uma liga d e alumnio

e) Comportamento Elstico e Plstico

Consideremos a figura 4.4, onde o grfico da figura 4.2 foi redesenhado com mais

alguns detalhes.

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Figura 4.4 Comportamento elstico e plstico do material

O ponto Hdefine o ponto a partir do qual se considera que o material apresenta

uma deformao permanente. Como j vimos para o alumnio, a deformao OO

definida como 0,2%. Na realidade o ponto H muito prximo do ponto A, ou seja,

E L .

Quando a tenso atinge o valor correspondente ao ponto B da curva, odescarregamento percorre a reta

PBO e da deformao total correspondente , uma

parte recuperada ( E ), a qual a deformao elstica e uma parte permanece ( P ),

a qual a deformao plstica. Se, agora, quisermos carregar o corpo-de-prova

novamente, a curva de carga tomar o caminho retoPO B e o novo limite elstico ou de

proporcionalidade ser o ponto B. Esse aumento de tenso limite ou de escoamento

devido ao endurecimento por deformao do material. O mdulo de elasticidade E

continua o mesmo, porque a reta PO B paralela retaAO.

f) Resistncia ao escoamento

Como a tenso onde se inicia o escoamento no bem definida com preciso no

ensaio, o valor definido pela deformao de referncia OO na figura 4.4, tomado

pelos engenheiros como a tenso de resistncia ao escoamento do material.

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g) Resistncia final

o valoru correspondente ao ponto Cda curva tenso-deformao da figura 4.4. A

partir dessa tenso espera-se ocorrer falha por ruptura do corpo-de-prova.

Ensaio de Compresso

O ensaio de compresso feito da mesma maneira que o ensaio de trao,

exceto que a carga aplicada de compresso. Define-se a mesmas variveis , e

como no ensaio de trao. As curvas obtidas so semelhantes do ensaio de

trao. Quando a deformao comea a ficar grande, as duas curvas podem ser muito

diferentes.

Os manuais de propriedades mecnicas dos materiais recomendam usar para os

materiais dteis o mesmo valor deu do ensaio de trao, para a compresso.

Ensaio de Cisalhamento

Este ensaio realizado com um tubo de parede fina sujeito a um binrio de

toro. O corpo-de-prova padronizado. A figura 4.5, mostra uma ilustrao de um

corpo-de-prova tpico

Figura 4.5 Corpo-de-prova para ensaio de cisalhamento

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A tenso mdia de cisalhamento dada por

22

T

R t

, (4.6)

onde R o raio mdio do tubo e t a espessura da parede do tubo. A deformao

mdia por cisalhamento ou deformao mdia angular dada por

arctanR

L

, (4.7)

Onde o ngulo de toro de uma extremidade do tubo em relao outra e L o

comprimento do tubo, conforme a figura 4.6.

Figura 4.6 (a)ngulo de toro do corpo-de-prova; (b) Deformao angular.

Com esses valores de e podemos traar um grfico semelhante ao do teste

de trao, como na figura 4.7

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Figura 4.7 Curva tpica.

Como o tubo fino, podemos supor que a deformao a mesma em

qualquer ponto do corpo. Considerando-se um material tpico usado em estruturas, a

poroAOda curva da figura 4.7 aproximadamente uma reta, como no ensaio

de trao. Podemos ento escrever

G , (4.8)

Onde G a constante de proporcionalidade denominada de mdulo de elasticidade emcisalhamento. uma propriedade do material e a sua unidade a mesma da tenso.

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4.3 SUPERPOSIO DE DEFORMAES

Uma importante conseqncia da hiptese de pequenas deformaes que sucessivas

deformaes podem ser adicionadas algebricamente.

Seja por exemplo, um pequeno segmento x sujeito a uma deformao normal

x , tal que o seu comprimento deformado escreve-se

* (1 )xx x . (4.9)

Se esse elemento, agora com o comprimento *x , deformado novamente com uma

deformao adicionalx , o seu novo comprimento escreve-se

** *(1 ) (1 ) (1 )x x xx x x . (4.10)

Efetuando-se as multiplicaes indicadas na equao (4.10) e considerando-se

que as deformaes x e x so pequenas comparadas com a unidade, apenas ostermos de primeira ordem so significativos, ou seja,

** (1 )x xx x . (4.11)

Podemos ento escrever, pela definio de deformao normal dada em (3.1)

**

0limx x xx

x x

x

. (4.12)

O mesmo argumento se aplica s deformaes angulares, e podemos escrever

xy xy xy . (4.13)

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Assim, podemos obter um estado de deformao resultante de deformaes

sucessivas num ponto do slido, considerando que elas sejam pequenas comparadascom a unidade.

Ento, as reas consideradas no clculo das tenses tambm se alteram com a

deformao do slido, de modo que se acrescentarmos novas cargas as novas reas

sero, a rigor, diferentes das originais. Mas se as deformaes so pequenas, ento as

reas tambm podero se consideradas como aproximadamente iguais quela

indeformada. Assim, podemos superpor tambm as tenses, do mesmo modo que as

deformaes, mas desde que as deformaes sejam pequenas.

4.4 MATERIAL ELSTICO LINEAR E ISOTRPICO

Um material elstico linear tambm denominado de material hookeano. A maioria dos

materiais usados na engenharia satisfaz essa condio alm de serem tambm

isotrpicos.Nesse caso, vamos considerar o seguinte problema: um bloco retangular

carregado como na figura 4.8.

Figura 4.8 Bloco carregado na direo x.

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Pela lei de Hooke, podemos escrever

xx x x

EE

. (4.14)

As deformaes transversais so

xy z x

E

. (4.15)

O mdulo de elasticidade E e o mdulo de elasticidade em cisalhamento Gso obtidos

atravs de ensaio, mas o coeficiente de Poisson, , obtido a partir de uma relao

entre Ge E, como veremos a seguir.

Agora, supomos que o mesmo bloco seja carregado apenas com uma tenso

uniformey

. Como o material elstico linear e isotrpico, podemos escrever

y

y E

(4.16)

y

x z yE

. (4.17)

Se o carregarmos apenas comz , escrevemos

z

z E

(4.18)

zx y z

E

. (4.19)

Devido linearidade dessas relaes e s deformaes serem pequenas

comparadas com a unidade, podemos aplicar a superposio apresentada na seo 4.3

e escrever

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1( )

x x x x x x y zE

(4.20)

1( )y y y y y y x z

E (4.21)

1( )z z z z z z x y

E . (4.22)

Consideramos at aqui as relaes entre as tenses normais e as deformaes

longitudinais associadas com as direes perpendiculares x, y, z. No caso de materialisotrpico, o bloco da figura 4.8 sob ao das tenses normais , ,x y z permanece

retangular. Essas tenses no causam nenhuma deformao angular. Isso uma

conseqncia da isotropia, o que implica que as direes principais de tenso (onde o

cisalhamento nulo) so tambm direes principais de deformao e vice-versa.

Vamos considerar agora, o estado de tenso representado na figura 4.9.

Figura 4.9 (a) Tenses principais; (b) Estado de cisalhamento puro.

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Aplicando-se as equaes (4.20) (4.22) ao estado de tenso representado nafigura 4.9(a), escrevemos

1 (1 )

( 0)x x

E E

(4.23)

1 (1 )

( 0)y yE E

(4.24)

1

0 0z z x y x z y zE

. (4.25)

Fazendo-se uma rotao horria de 45 no sistema xyz, em torno do eixo z,

obtemos o sistema xyzda figura 4.9(b). Aplicando-se as equaes (3.47), obtemos

,

1 1 1 11 1 0cos 2( 45 ) 2( 45 )

2 2 2

o o

x y senE E E E

.

1 11 02( 45 ) cos 2( 45 )

2 2 2

xy o osen

E E

.

Simplificando, escrevemos

,2(1 )0x y xy

E . (4.26)

Em resumo, os resultados dessa mudana de coordenadas, considerando-se que

xy , so os seguintes:

2(1 )0x y z xz yz xy xy

E

. (4.27)

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De (4.27) podemos inferir ento, que um simples estado de cisalhamento puro

xy , como na figura 4.9(b) causa somente a de formao de cisalhamento xy . Essaconcluso suportada por experimentos em materiais elsticos lineares e isotrpicos.

Mas desses experimentos obtemos apenas o mdulo de elasticidade em cisalhamento,

G, tal que

xy xyG . (4.28)

Das equaes (4.27) e (4.28) definimos

2(1 )

EG

. (4.29)

Os mdulos Ee Gso obtidos por ensaios e o coeficiente obtido da relao

(4.29), para materiais isotrpicos.

Podemos aplicar o mesmo raciocnio acima para os outros componentes de

tenso xz e yz . Ento, escrevemos na forma matricial

10 0 0

10 0 0

10 0 0

1

0 0 0 0 0

10 0 0 0 0

10 0 0 0 0

x x

y y

z z

xy xy

xz xz

yz yz

E E E

E E E

E E E

G

G

G

. (4.30)

Devemos ter sempre em mente que para definirmos um material isotrpico

precisamos apenas de duas constantes, porque das trs que aparecem na equao

(4.30), uma pode ser obtida a partir das outras duas atravs da relao (4.29). Para

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materiais ortotrpicos necessita-se de nove constantes elsticas para a sua definio

completa.Muitas vezes necessrio calcular os componentes de tenses a partir de

valores conhecidos dos componentes de deformaes, por exemplo, medidas obtidas

em ensaio. Da, a importncia das seguintes equaes, obtidas a partir da equao

matricial (4.30):

1

1 2 1x x y z

E

1

1 2 1y y x zE

1

1 2 1z z x y

E

xy xyG

xz xzG

yz yzG , (4.31)

ou escrita na forma matricial

10 0 0

1 2 1 1 2 1 1 2 1

10 0 0

1 2 1 1 2 1 1 2 1

10 0 0

1 2 1 1 2 1 1 2 1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

x x

y y

z z

xy xy

xz xz

yz yz

E E E

EE E

EE E

G

G

G

. (4.32)

As equaes (4.31) ou (4.32) so tambm conhecidas como lei de Hooke

generalizadapara materiais elstico linear (hookeano) isotrpico.

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4.5 COMENTRIO SOBRE O COEFICIENTE DE POISSON

Como j vimos, a dilatao ou contrao volumtrica para um bloco que tenha sofrido

pequenas deformaes comparadas com a unidade, pode ser escrita como a seguir.

vol vol x y z

Ve e

V

. (4.33)

Para um material elstico linear isotrpico podemos aplicar a equao (4.30) e

escrever

1( )

x x y zE

1( )y y x z

E

1( )

z z x yE

. (4.34)

Substituindo (4.34) em (4.33) obtemos

3 1 2 13 3

x y z x y z

vole

E K

(4.35)

O fator 3x y z tambm denominado de parcela hidrostticado estado

de tenso.

O termo 3 1 2K E , tambm conhecido como mdulo de elasticidade

volumtrico, indica que se o coeficiente de Poisson do material for igual a 1 2no

ocorrer nenhuma deformao volumtrica no corpo. Como E e so positivos e o

coeficiente Ktambm deve ser positivo, ento

10

2 . (4.36)

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O coeficiente K deve ser positivo porque se ele for negativo contraria o

comportamento natural do material sob uma compresso hidrosttica(

x y z p ) pois assim ele apresentaria uma expanso volumtrica em vez de

uma contrao volumtrica que seria o natural.

A maioria dos metais e alguns outros materiais no metlicos o coeficiente de

Poisson situa-se entre 0,25 e 0,35. A cortia um exemplo de material com coeficiente

de Posson praticamente nulo.

Quando 1 2 o material elstico linear e isotrpico dito incompressvel (no

experimenta nenhuma variao no seu volume). A borracha apresenta coeficiente dePoisson muito prximo de 0,5. Este limite do coeficiente de Poisson para materiais

isotrpicos. Para materiais ortotrpicos, pode ser maior que 1 2 .

Exemplo 4.1

Considere um estado de tenso de um elemento tal que a tensox exercida

na direo x, a contrao lateral livre para ocorrer na direo z, mas completamente

restrita na direo y. Ache a relao entre a tenso na direo xe a deformao nessadireo. Ache tambm a razo entre a deformao na direo z e a deformao na

direo x.

Soluo

Livre na direo z 0 0z z

Restrita na direo y 0 0y y

Pela lei de Hooke generalizada, escrevemos

1 1( ) ( 0) x

x x y z x y x yE E E E

(a)

1 1( ) ( 0) 0

y y x z y x y xE E

(b)

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1 1( ) 0 ( ) ( )z z x y x y z x yE E E

(c)

Substituindo (b) em (a) escrevemos

2

21

1

x x xx y x x x x

E

E E E E E

Substituindo (b) em (c) escrevemos

( ) 1xz x y x x zE E E

Substituindo na expresso acima o valor encontrado parax , escrevemos

2

1 1 11 1 11

xz x x z x

E E

E E E

Denomina-se a quantidade 21E de mdulo efetivo de elasticidade e a

razo 1 de coeficiente efetivo de Poisson.

A tensoy produzida pelo vnculo de restrio obtida de (b), como a seguir.

2 21 1y x x y x

E E

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Exemplo 4.2

Considere um bloco elementar sujeito a um carregamento uniaxial, como nafigura abaixo. Derive uma expresso aproximada para a variao de volume por

unidade de volume devido a esse carregamento.

Soluo

Deformao normal na direo x: x

Deformao nas direes y,z: y z x (devido ao efeito Poisson)

Comprimento das arestas indeformadas: , ,dx dy dz

Comprimento das arestas deformadas:

* 1 xdx dx

* 1 1y xdy dy dy

* 1 1z xdz dy dz

Volume do elemento antes da deformao:

V dx dy dz

Volume do elemento aps a deformao:

* * * * 1 1 1x x xV dx dy dz dx dy dz

2 2 2 2 31 2 2x x x x x dxdydz .

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Para pequenas deformaes, 1x podemos desprezar os produtos de x na

expresso acima e escrever

* 1 2x xV dxdydx .

A variao de volume por unidade volume para o elemento dada por

* 1 21 2

x x

vol vol x

dxdydz dxdydzV V V V e e

V V dxdydz V

Comentrios:

O resultado obtido paraV

V

o mesmo que obteramos a partir da equao

(4.35) com 0y z e levando em conta que x xE no nosso caso.

Podemos observar tambm que a rea da seo onde a tensox atua varia

muito pouco em relao rea indeformada, ou seja:

A dydz

2* * * *1 1 1x x xA dy dz dy dz A dydz

Assim, escrevemos

2 2* 2 21 1 1 2x x x xA dydz A A

Para pequenas deformaes, 1x , podemos desprezar o termo com2

x na

expresso acima, e escrevemos

*

* 1 21 2 2x

x xA AA A A AA A

A A A A

Para 1x e como 1 , ento 0A . Portanto a rea deformada

aproximadamente igual rea indeformada.

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Exemplo 4.3

Um bloco R de borracha rgida que obedece a lei de Hooke para pequenasdeformaes confinado entre paredes planas e paralelas de um bloco de ao S. Uma

presso uniformemente distribuda 0p aplicada no topo do bloco de borracha por uma

fora F.

(a) Derive uma frmula para a presso lateral pentre a borracha e o bloco

de ao (despreze o atrito entre a borracha e o ao a assuma que o

bloco de ao perfeitamente rgido comparado ao de borracha);

(b) Derive uma frmula para a dilatao volumtrica e da borracha

considerando que as deformaes so pequenas comparadas com a

unidade.

Soluo

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a) Frmula para clculo da presso lateral:

0zF pA

0 0x x

0y y p

00x z p

0

1 1( ) 0 ( )x x y z y p

E E (1)

01 1( ) (0 ) 0y y x z y pE E

(2)

0

1 1( ) (0 )z z x y yp

E E (3)

De (2) escrevemos

0 0 0

1(0 ) 0 0

y y yp p p

E

Ento, a presso lateral pser dada por

0 0y p p p p

b) Frmula para a dilatao volumtrica:

x y z

Ve

V

(pequenas deformaes) (4)

0 00 0 0( )1

0 ( ) 1y

x y

p pp p p

E E E E

0y

200 01

(0 ) 1zp

p pE E

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Substituindo os valores encontrados paras as deformaes em (4), obtemos

2 2 20 0 0 0 0 01

1 0 1p p

e p p p pE E E

2 200 01

2 1 2 1p

e p p eE E

Comentrio:

Para 1 2 (a borracha apresenta o coeficiente de Poisson muito prximo

desse valor) temos:

2

0 1 12 1 02 2

pe

E

4.6 EFEITOS DA TEMPERATURA

Quase todos os materiais tendem a se expandir quando aquecido. O aumento de

volume que acompanha um aumento de temperatura denominado expanso trmica.

Se o material isotrpico e livre para expandir, todos os segmentos de reta no

corpo experimentam a mesma deformao longitudinal quando a temperatura varia.

Esse material expandindo-se livremente no experimenta nenhuma deformao angularou por cisalhamento. A mais simples relao entre essas deformaes normais e a

variao de temperatura que as produzem so as relaes lineares

x y z T , (4.37)

onde uma constante, denominada de coeficiente de expanso trmica e uma

propriedade do material e T a variao de temperatura.

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As deformaes trmicas (4.37) podem ser adicionadas s deformaes

mecnicas (produzidas pelas tenses) das equaes (4.30) e escrevemos, para ummaterial elstico linear e isotrpico, as deformaes totais como

1( )x x y z T

E

1( )y y x z T

E

1( )z z x y T

E

1 1 1xy xy xz xz yz yz

G G G . (4.38)

Exemplo 4.4

Seja uma barra reta conforme a figura 4.10 , com uma extremidade fixa e a outra

livre, sob efeito de uma variao de temperatura T . Se o material da barra tem um

coeficiente de expanso trmica , determinar o seu alongamento e a tenso normal

longitudinal desenvolvida na barra.

Figura 4.10 Exemplo 4.4

Soluo

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No caso das barras a deformao que nos interessa no sentido longitudinal e a

nica componente de tenso a ser considerada na sua direo longitudinal, ou seja,da primeira equao (4.38) escrevemos

xx

TE

(a)

Da equao acima obtemos

x xE T (b)

A equao (a) nos d a deformao especfica longitudinal total, ou seja, uma

parcela devida ao de foras (deformao mecnica) e uma parcela devida

variao de temperatura (efeito trmico) e assim, definimos

x

mec T

TE

(c)

Ento, podemos escrever

x mec T (d)

No nosso problema temos

0mec T T (e)

A parcela de deformao mecnica nula porque no tem nenhuma fora atuando

sobre a barra, apenas uma variao de temperatura T . Portanto, da equao (d),

escrevemos

0x x

T T (f)

O alongamento da barra, ou o deslocamento da sua extremidade livre em

relao fixa, dado pela equao (3.8) e considerando (f), escrevemos

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* 0 0 0L L

x TL L dx T dx TL ,

ondeT o alongamento da barra devido ao efeito trmico.

Se substituirmos (f) em (b) escrevemos

0x xE T T

Portanto, nesse caso, houve deformao da barra, mas sem o desenvolvimento de

tenso sobre os seus pontos.

Exemplo 4.5

Consideremos agora, a barra do exemplo anterior com as duas extremidades

fixas, conforme a figura 4.11(a) e sujeita a uma variao de temperatura T .

Figura 4.11Exemplo 4.5

Determine a tenso normal desenvolvida na direo longitudinal da barra, devido ao

efeito trmico.

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Soluo

Da figura 4.11(a) vemos que os deslocamentos das extremidades da barras so nulos,

portanto, o seu alongamento longitudinal tambm ser nulo. Assim, escrevemos

00x x

L L

(a)

Substituindo (a) em x xE T ,obtemos

0x xE T E T

Ento, nesse caso, ocorre o desenvolvimento de uma tenso normal de compresso na

direo longitudinal da barra.

Comentrios:

Em geral, na literatura, essa tenso que se originou devido ao efeito trmico

denominada de tenso trmica, mas esse termo no apropriado, porque na verdade

ela ocorre devido fora de reao do vnculo que fixa as extremidades da barra.

Portanto, essa tenso o resultado da ao de uma fora (no caso uma reao de

apoio), o que coerente com o conceito de tenso.

Poderamos fazer o seguinte raciocnio com a barra mostrada na figura 4.11(b):

imaginemos que a extremidade A seja liberada para se deslocar, como no exemplo

anterior. Ento, a partir da equao (3.8), devido ao efeito trmico, temos,

*0 0

0L L

x TL L dx T dx TL (b)

Da figura 4.11(c) podemos imaginar que a reao de apoioAR produza um

deslocamentomec no sentido oposto ao de T da figura 4.11(b) a fim de manter o

deslocamento resultante em A nulo, como na figura 4.11(a), pois esse um suporte

fixo. Assim, escrevemos

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mec x A Amec mec

R A R L

L E E EA

(c)

Como o deslocamento total nulo, temos

0mec T mec T (d)

Substituindo (b) e (c) em (d) obtemos

A AR L RTL E T

EA A

(e)

Comparandox

E T com(e), escrevemos

Ax

RE T

A ,

o que nos mostra que a tenso normalx

, de compresso nesse caso, deve-se ao

da fora de reao do apoio, mas originada do efeito trmico.

4.7 CONCLUSO

Como vimos, os trs aspectos fundamentais nos fornece o conjunto de equaes

necessrio para a soluo de qualquer problema na Mecnica dos Slidos, ou seja

Dinmica (esttica):Equaes de equilbrio (3)

Incgnitas (6)

Cinemtica das deformaes:relaes deformao-deslocamento (6)

Incgnitas (9)

Comportamento resistivo de material:relaes constitutivas (6)

Assim, temos quinze equaes e quinze incgnitas, portanto, um problema possvel e

determinado.

Mas como a soluo desses problemas exige a resoluo de sistemas de

equaes diferenciais parciais, em geral s ser possvel atravs de mtodos

numricos, com algumas excees quando o slido de geometria simples e tambm o

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carregamento aplicado de modo bem simples. Portanto, a soluo analtica s

obtida para algumas situaes bem especficas.Nos prximos captulos veremos algumas dessas situaes, onde se explora um

dos mais poderosos argumentos da cincia, o argumento da simetria. Desse modo,

consegue-se descrever a deformao de uma maneira muito simples, o que resulta em

teorias que conduzem a resultados muito satisfatrios do ponto de vista de engenharia

e muitas vezes at muito prximos daqueles obtidos por teorias mais avanadas.

REFERNCIAS

1. Donaldson, B. K., Analysis of Aircraft Structures An Introduction, McGraw-Hill

Inc., NY, 1993

2. Lucena Neto, E., Fundamentos de Elasticidade e Plasticidade, Notas de Aulas do

curso IG-209, ITA, 2006

3. Hibbeler, R. C., Resistncia dos Materiais, Pearson Education do Brasil, SP, 5edio, 2006

4. Malvern, L. E., Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium, Prentice-

Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ, 1969

5. Wempner, G., Mechanics of Solids, PWS Publishing Company, Boston, MA, 1995

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