Cap 7_EST10_2015

EST-10 Mecânica dos Sólidos ITA-2015 7.1

7

FLEXÃO DE VIGAS

TEORIA CLÁSSICA (EULER-BERNOULLI)

Neste capítulo apresentaremos o desenvolvimento de uma teoria, denominada de

Teoria Clássica de Flexão de Vigas ou Teoria de Flexão de Vigas Euler-Bernoulli. Uma

viga é um elemento estrutural em forma de barra, com o seu comprimento no mínimo

três ou quatro vezes maior que as outras duas dimensões e sujeita a um carregamento

transversal, o qual produz sobre essa barra uma deformação denominada de flexão.

A teoria de Euler-Bernoulli para a flexão de vigas se aplica, com resultados

excelentes, aos problemas de vigas delgadas ou longas, ou seja, vigas cujo

comprimento longitudinal é no mínimo dez vezes maior que a sua maior dimensão

transversal. Essa restrição geométrica é importante, porque nos casos mais gerais de

carregamento, onde estão presentes as forças de cisalhamento transversal, observa-se

que os deslocamentos de uma viga longa, decorrentes da flexão são muito maiores do

que os deslocamentos devido ao cisalhamento, sendo que esses últimos podem ser,

portanto, desprezados.

Por questões didáticas, inicialmente os problemas de flexão de vigas tratados

neste capítulo se restringirão às vigas prismáticas cujas propriedades de material e

geométricas são simétricas em relação a um plano longitudinal. Também, para que o


carregamento resulte apenas em flexão da viga, as cargas aplicadas (forças

transversais e momentos fletores) serão consideradas atuando apenas nesse plano de

simetria longitudinal. Desse modo, observamos que o sistema de forças internas

resultantes em qualquer seção transversal da viga consiste em apenas uma força de

cisalhamento e um momento fletor, conforme ilustrado na Figura 7.1. Nesse caso o

plano de simetria longitudinal é o plano xy.

Figura 7.1: Viga sob carregamento atuando num plano de simetria longitudinal.

Da Figura 7.1 observa-se que as únicas componentes do sistema resultante de forças

internas são zM e yV .

O desenvolvimento a seguir será feito conforme os passos adotados nos

capítulos 5 e 6, ou seja, segundo os três aspectos fundamentais da Mecânica dos

Sólidos. A ordem de aplicação desses três passos, por uma questão didática, será

também a mesma.


7.1 FLEXÃO PURA Vamos iniciar os nossos estudos considerando uma situação especial de carregamento.

A viga está sujeita apenas a um momento fletor, o qual atua no seu plano de simetria

longitudinal. Por exemplo, seja a viga da Figura 7.2, onde o momento fletor aplicado na

extremidade livre atua no plano xy, o qual é de simetria longitudinal. O eixo x é paralelo

ao eixo longitudinal da viga.

Figura 7.2: Viga em flexão pura

Se “cortarmos” a viga na seção transversal S situada na posição x do sistema de

coordenadas e considerarmos o equilíbrio do diagrama de corpo livre da porção à

direita da seção S conforme a Figura 7.3, concluímos que a única componente não nula

do sistema resultante de forças internas sobre S é o momento fletor zM .

Figura 7.3: Diagrama de corpo livre da porção da viga à direita de S.


Cinemática da deformação

A restrição de que o carregamento aplicado atue segundo um plano de simetria

longitudinal da viga, nos permite estudar apenas os efeitos da flexão sem a combinação

com efeitos de torção.

As restrições geométricas discutidas para as barras sob cargas axiais são

também válidas para as vigas. Além disso, as seguintes hipóteses devem também ser

consideradas:

a) A seção transversal da viga tem um plano longitudinal de simetria geométrica e

de propriedades do material.

b) A resultante das cargas aplicadas transversalmente se situa no plano longitudinal

de simetria.

c) As seções planas originalmente perpendiculares ao eixo longitudinal da viga

permanecem planas e perpendiculares ao eixo longitudinal após a flexão. Essa

hipótese é denominada hipótese de Bernoulli.

d) Na viga deformada, os planos das seções transversais têm uma interseção

comum, isto é, qualquer linha originalmente paralela ao eixo longitudinal da viga

se torna um arco de circunferência. Veja a Figura 7.4.

Devido ao carregamento ser simétrico, com relação ao plano de simetria

longitudinal, a viga deformada continua simétrica com respeito ao plano longitudinal de

simetria.

Considerando-se o sentido do momento fletor indicado nas Figuras 7.3 e 7.4, o

seu efeito sobre a viga é o de comprimir as “fibras” da sua parte superior e alongar as

“fibras” da sua parte inferior. Isso sugere que alguma “fibra” axial no plano de simetria

longitudinal não sofra nenhuma compressão ou alongamento, mas apenas se deforma

numa curva nesse plano, a qual segundo a hipótese (d) seria um arco de

circunferência.


Figura 7.4: (a) Viga indeformada; (b) Viga em flexão pura.

Assim, devido à simetria geométrica e de propriedades do material das seções

transversais em relação ao plano longitudinal de simetria, as “fibras”, originalmente

paralelas ao eixo longitudinal e simétricas em relação a esse plano, devem deformar-se

do mesmo modo. Portanto, deve existir uma superfície perpendicular ao plano de

simetria que contenha as fibras longitudinais que não sofrem nenhum alongamento ou

contração durante a flexão. Essa superfície é denominada de superfície neutra e a sua

interseção com o plano longitudinal de simetria é denominada de linha neutra (ou linha

elástica), a qual, originalmente, era uma linha reta paralela ao eixo longitudinal e

situada no plano longitudinal de simetria, conforme mostra a Figura 7.5.

Figura 7.5: Superfície neutra, linha neutra e eixo neutro de uma viga em flexão.


O eixo neutro é o lugar geométrico dos pontos da seção transversal com

deformação longitudinal x nula. Na Figura 7.5 o eixo x do sistema de coordenadas foi

colocado ao longo da linha neutra da viga. Nós ainda não conhecemos ainda a posição

desse eixo na seção transversal da viga.

Consideremos a viga da Figura 7.6 para estudarmos a deformação normal de um

segmento de reta PQ, situado no plano longitudinal de simetria.

Figura 7.6: Elemento linear PQ no plano longitudinal de simetria.

O ponto P está situado na seção transversal S localizada numa distância x da

extremidade esquerda e o ponto Q na seção vizinha 1S localizada na posição x x . A

fatia da viga entre essas seções transversais é mostrada antes e após a flexão, na

Figura 7.7.

Figura 7.7: (a) Fatia entre as seções 1,S S antes da flexão; (b) Fatia entre as seções

1,S S após a flexão.


Na Figura 7.7(a) a coordenada y é a distância inicial dos pontos P e Q em

relação à linha neutra x. Após a deformação, Figura 7.7(b), essa distância se torna y*.

Da definição de deformação normal podemos escrever

* (1 )yy y , (7.1)

onde y é a deformação normal média de y entre as seções transversais separadas

pela distância x .

O ponto O na Figura 7.7(b) é o centro de curvatura da linha neutra x no ponto A*

e é o raio de curvatura em A*.

Como AB se situa na linha neutra, o seu comprimento não se altera após a

flexão da viga. Assim, escrevemos

* *PQ AB A B x . (7.2)

Mas, o comprimento deformado da “fibra” P*Q* é dado por

* * ( *)P Q y . (7.3)

Da definição de deformação específica, podemos escrever

* *( ) limx

Q P

P Q PQP

PQ

. (7.4)

Porém, quando Q P , 0 e considerando-se (7.3), a equação (7.4) pode ser

reescrita como

0

( *) *( ) lim ( )x x

y yP P

. (7.5)

Substituindo (7.1) em (7.5) obtemos


(1 )( ) y

x

yP

. (7.6)

Mas, considerando-se pequenas deformações, y << 1, o que ocorre na maioria dos

problemas de engenharia de estruturas, a equação (7.6) reescreve-se

1 1 ( )y x

yP

, (7.7)

onde y é medido a partir do eixo neutro.

A equação (7.7) é o resultado básico da análise cinemática da deformação da

viga em flexão pura considerando-se pequenas deformações. Ela é totalmente baseada

nas hipóteses (c) e (d) e, apesar de ter sido deduzida para uma “fibra” situada no plano

longitudinal de simetria, é válida para todas as “fibras” longitudinais da viga, devido à

simetria da geometria e das propriedades do material em cada seção transversal da

viga em relação ao plano longitudinal de simetria e ao carregamento (momento fletor)

atuante nesse plano. Ela se aplica a qualquer material.

Além disso, devido à hipótese de que as seções transversais permanecem

planas e perpendiculares ao eixo longitudinal da viga e devido ao carregamento

aplicado, podemos escrever

0xy xz , (7.8)

para todos os pontos numa seção transversal da viga.

Estática

Devido ao carregamento e à deformação descrita acima, podemos prever que o

momento fletor em cada seção transversal é o resultado de forças normais internas

atuando sobre a seção como na Figura 7.8.


Figura 7.8: Componentes do sistema de forças internas numa seção transversal da viga. Como no nosso problema a viga está sujeita a um momento fletor constante

(flexão pura) atuando no plano longitudinal de simetria xy, a única componente não nula

do sistema de forças internas numa seção transversal é o momento fletor, o qual, por

considerações de equilíbrio é igual ao momento aplicado. Assim, podemos escrever

xF A (7.9)

* *z xM y F y A . (7.10)

Somando-se essas parcelas sobre toda a área A da seção transversal e tomando-se o

limite com 0A ( x x ) podemos escrever

0x

S

F dA (7.11)

*z x

S

M y dA . (7.12)

Com o mesmo argumento usado para escrever a equação (7.7),

1 * (1 )y yy y y , a equação (7.12) reescreve-se

z x

S

M y dA . (7.13)


Aqui, novamente consideramos a hipótese fundamental que a deformação da

seção transversal é tão pequena que podemos considerar as coordenadas

indeformadas para localizar os pontos na seção transversal da viga deformada, isto é,

embora a tensão deva ser acompanhada da deformação, assumimos que para o

propósito de se escrever as equações de equilíbrio nós podemos associar a tensão

num ponto com a posição daquele ponto na viga indeformada.

As equações (7.11) e (7.13) são resultados básicos que independem do material

da viga.

Relações constitutivas

Suponha que a viga seja feita de material elástico linear e isotrópico e cujas

propriedades sejam simétricas em relação ao plano longitudinal de simetria, como já

havíamos estabelecido pela hipótese (a). Então, a partir da equação (4.30) escrevemos

1( )x x y zE

(7.14)

1( )y y x zE

(7.15)

1( )z z x yE

(7.16)

Da cinemática das deformações apenas as deformações , ,x xy xz foram

descritas explicitamente pelas equações (7.7) e (7.8). Quanto às tensões, apenas a

componente normal x foi antecipada. Portanto precisamos de algumas hipóteses

adicionais.

A ausência de qualquer tensão sobre as superfícies laterais da viga sugere que

as tensões y , z e yz permaneçam nulas ou podem ser consideradas desprezíveis

através do interior da viga, principalmente para uma viga delgada, conforme ilustrado

na Figura 7.9.


Então, das equações acima podemos escrever

10y z x xE

(7.17)

0 xy z y z x E

. (7.18)

Na realidade, na teoria clássica de flexão de viga as deformações y e z são

consideradas nulas, ou seja, a seção transversal é considerada rígida.

Das equações (4.31) e (7.8), escrevemos

00

0xy xy

xy xzxz xz

G

G

, (7.19)

O que está coerente com o fato de que as forças cortantes nas seções transversais da

viga são nulas no caso de flexão pura.

Figura 7.9: Componentes de tensões y , z e yz .

Substituindo-se a equação (7.7) em (7.17)

1x x x

y yE

E

. (7.20)

Com o resultado (7.20) nas equações (7.11) e (7.13), obtemos


10 0

S S

yF EdA F EydA

(7.21)

21z z

S S

yM y E dA M Ey dA

. (7.22)

A partir da equação (7.22) escrevemos

2

1 z

S

M

Ey dA

. (7.23)

Substituindo (7.23) em (7.20) obtemos

2 2

1 z zx x

S S

M EME y E y y

Ey dA Ey dA

. (7.24)

As equações (7.23) e (7.24) nos dão a curvatura e as tensões normais de flexão,

respectivamente, para uma viga de material elástico linear isotrópico.

Se o material, além de ser linear elástico e isotrópico for homogêneo, então o

módulo de elasticidade E é constante em todos os pontos da área S da seção

transversal da viga e, da equação (7.21) podemos escrever

0 0S S

EF ydA ydA

,

ou seja, a coordenada y deve ser medida a partir do centróide da seção transversal.

Portanto, o eixo neutro de cada seção transversal, representado pelo eixo z, passa pelo

seu centróide e a linha neutra, representada pelo eixo x, passa pelos centróides de

cada seção transversal da viga, conforme ilustrado na Figura 7.10.


Figura 7.10: Posição do eixo neutro na seção transversal de uma viga de material elástico linear isotrópico e homogêneo. Se o material não for homogêneo mas se a função ( , )E E y z for par e a viga for

simétrica em relação ao plano xz, a integral de (7.21) também será nula para y medido

a partir do centróide da seção transversal. Portanto, também nesses casos o eixo

neutro passa pelo centróide da seção transversal da viga. Na verdade, a função E

constante é um caso particular de função par das coordenadas y e z.

Deve ser observado que, para vigas compostas de mais de um material elástico

linear ou de materiais elásticos lineares não homogêneos, o eixo neutro pode ainda ser

localizado considerando-se as equações (7.21) e (7.22) e fazendo-se

0( , ) ( ,0) 0x xzy z y

, mas em geral em tais casos ele não passará através do

centróide da seção transversal da viga. Ainda, considerando-se o material da viga linear

elástico e isotrópico e homogêneo, da equação (7.23) podemos escrever

2 2

1 z z

S S

M M

Ey dA E y dA

. (7.25)

Definindo-se a integral como

2z

S

I y dA , (7.26)


a qual é denominada de momento de inércia de área da seção transversal em relação

ao eixo z, o qual no caso passa pelo centróide da seção. Veja o Apêndice B.

Com a definição (7.26), a equação (7.25) escreve-se

1 z

z

Mk

EI , (7.27)

onde k é a curvatura da linha neutra e EI é o coeficiente de rigidez à flexão da viga. Da

equação (7.27) observa-se que quanto maior for esse coeficiente, menor será a

curvatura da viga para um mesmo momento fletor zM .

Assim, as equações (7.7) e (7.24) escrevem-se, para o material elástico linear

isotrópico e homogêneo

1 z

x xz

My y

EI

z zx x

z z

EM My y

EI I , (7.28)

Onde a segunda equação é um caso particular da equação (2.88). A distribuição da

tensão x é ilustrada na Figura 7.11

Figura 7.11: Distribuição da tensão x sobre as duas seções transversais 1,S S da

Figura 7.6.


As distribuições de deformações e de tensões das equações (7.28) se aplicam à

todas seções transversais da viga em flexão pura de material elástico linear isotrópico e

homogêneo. A Figura 7.12 ilustra essas distribuições.

Figura 7.12: (a) Distribuição da deformação x ; (b) Distribuição da tensão de flexão x .

Em particular, essas distribuições de tensões e deformações incluem as faces

onde o momento é aplicado e onde a viga é suportada. Felizmente, o Princípio de

Saint-Venant nos permite usar esses resultados em regiões suficientemente afastadas

(observa-se na prática que essa distância pode ser igual à altura da viga) daquelas

onde as reações ou o momento são aplicados, o que para as vigas longas não é um

problema. Porém, se os momentos fletores nas extremidades são aplicados de acordo

com a equação (7.28), os resultados obtidos aqui são os mesmos obtidos a partir de

teorias mais elaboradas.

Exemplo 7.1

Uma viga de aço com 1 pol de largura e 3 pol de altura é apoiada nos suportes A

e B, conforme a Figura. Obter a máxima tensão de flexão no meio do vão da viga

quando ela é carregada com as forças de 1000 lb aplicadas nas suas extremidades.


Solução

Como o material é elástico linear isotrópico e homogêneo, o eixo neutro de cada

seção transversal passa pelo seu centróide.

Momento de inércia da seção transversal

O momento de inércia de área da seção transversal dessa viga, em relação ao eixo

neutro é dado por


3/ 2 32 2 4

3/ 2

11 1 3 2, 25

12z z z

S

I y dA y dy I I pol

Momento fletor

0 0x AF H (a)

0 2000y A BF R R (b)

0 1000 12 60 1000 72 0 1000A B BM R R lb

Substituindo na equação (b) obtemos

1000 2000 1000A AR R lb

Os esforços internos são obtidos conforme a seguir.


a) 0 12x :

0 1000 0 1000yF V V lb

0 1000 0 1000C zM M x M x

b) 12 72x :

0 1000 1000 0 0yF V V

0 1000 1000 12 0 12000 .C zM M x x M lb pol

c) 72 84x :


0 1000 1000 1000 0 1000yF V V lb

0 1000 1000 12 1000 72 0 1000 84000C zM M x x x M x

Tensão de flexão máxima

A partir da equação (7.28), escrevemos

2maxmax max

12000 3 28000 /

2, 25x xz

Mylb pol

I

2minmin min

12000 3 28000 /

2, 25x xz

Mylb pol

I


A Figura a seguir ilustra a distribuição da tensão normal numa seção transversal da

viga no trecho 12 72x (entre os apoios).

▲

Exemplo 7.2

Uma viga é construída colando-se lâminas muito finas de materiais elásticos

lineares e isotrópicos de modo que o módulo de elasticidade do conjunto varia

conforme a expressão

0 1y

E Eh

e os eixos de coordenada são posicionados de acordo com a Figura a seguir.


Determinar a posição do eixo neutro, a distribuição da deformação normal x e da

tensão de flexão x , considerando que a viga está sujeita a uma flexão pura, com o

momento fletor igual a M.

Solução

A origem do sistema de coordenadas na seção transversal foi colocada

arbitrariamente na face inferior da mesma, conforme ilustrado na Figura, de modo que

na lâmina inferior o módulo de elasticidade é igual a 0E .

Como a viga está sujeita a uma flexão pura com um momento fletor constante

igual a M, a deformação normal na direção longitudinal varia linearmente com a

coordenada y, mas a posição do eixo neutro, onde essa deformação é nula não é

conhecida a priori, pois o material não é homogêneo. Então, escrevemos, a partir da

equação (7.7) e da Figura abaixo

0y y y (onde y é medido a partir do eixo neutro z )

0 0x

y y yy y

Definindo 00

y

, escrevemos

0x

y

,


de modo que nos pontos com 0y , ou seja, na lâmina inferior da viga, a deformação

longitudinal seja 0 . Observe que para 0y y a deformação 0x .

A partir das equações de equilíbrio, escrevemos para a viga em flexão pura

0x

S

F dA (a)

x

S

M y dA . (b)

O momento fletor dado pela equação (b) é o mesmo que obteríamos escrevendo

em relação ao eixo neutro, como a seguir:

0 0x x x x

S S S S

M y dA y y dA y dA y dA

0 0 0x x x

S S S

y dA y dA y dA y

x x

S S

M y dA y dA ,

pois ele é um binário (a resultante F é nula).

A partir da equação (7.17), escrevemos

0 01x x x

y yE E

h

.

Substituindo nas equações (a) e (b) acima e levando em conta que

dA wdy ,

escrevemos

0 0 0 001 1 0

h

S

y y y yF E dA E wdy

h h

0 0 0 001 1

h

S

y y y yM yE dA yE wdy

h h

.


Resolvendo as integrais acima, obtemos o seguinte sistema de equações com as

incógnitas 0 e h :

0

3 50

2 6

hh h

(c)

2 20

0

5 7

6 12

h Mh h

E w

(d)

Posição do eixo neutro:

A partir da equação (c) escrevemos

0

0

0

5( )

93 50

1 92 6( )

5

he

hh h

fh

Para obtermos a posição do eixo neutro fazemos 0( ) 0x y , onde 0y é a coordenada y

do ponto onde passa esse eixo. Como esse ponto está no plano xy, longitudinal de

simetria, a sua coordenada z é nula. Então, escrevemos

00 0 0 0( ) 0x

yy y

Substituindo (e) na equação acima, escrevemos

0 0

5 5

9 9

hy y h

(posição do eixo neutro)

Se o material fosse homogêneo,teríamos: 0

5

2 10

hy h que é a posição do

centróide da seção transversal.


Deformação e tensão normais:

Multiplicando-se (c) por 7 2 h e somando-se com (d) multiplicada por 5 obtemos

2 20

2 20

0

20 0 2

0 0

21 350

4 12

25 35 5

6 12

126 100 5 60

24 13

hh h

h Mh h

E w

M Mh

E w E wh

Com (f) escrevemos

0 0 0 0

9 91

5 5x x

yy y y y

h h

Ou, substituindo o resultado anterior na equação acima

0 20

9 60 91 1

5 13 5x x

My y y y

h E wh h

Com a equação

0 01x

y yE

h

escrevemos

2 2

0 0 02 2

4 9 4 91 1

5 5 5 5x x

y yE y y

h h h h

ou,

2

2 2

60 4 91

13 5 5x

M yy

wh h h

com 0 0 0 0 02 2

0

60 60

13 13

M ME E

E wh wh


A Figura a seguir ilustra a distribuição da deformação e da tensão na seção transversal.

Para isso, com o resultado de (c) nas expressões acima, escrevemos

2 2002 2

0 0

4 9 4 91 1

5 5 5 5x y y y y

E E h h h h

2 00 02

0 0

4 90 1 0 0

5 5xy

E h h E

2 00 02

0 0

4 9 8 81

5 5 5 5xy h h h

E h h E

▲


7.2 VIGA SIMÉTRICA SOB FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR

Nessa seção estudaremos o problema de vigas com um plano longitudinal de simetria,

sujeitas a forças cortantes transversais e momentos fletores aplicados segundo esse

plano.

A Figura 7.13 mostra a distorção das seções originalmente planas de uma viga

de seção retangular, sob forças cortantes constantes ao longo do seu comprimento.

Podemos observar que qualquer linha longitudinal IJ não muda o seu comprimento

quando se deforma para a posição 1 1I J porque as duas seções adjacentes se

distorcem de modo idêntico. Assim, nós podemos supor que a presença de força

cortante constante não tem efeito sobre a deformação longitudinal x decorrente do

momento fletor atuante na seção como se fosse flexão pura. Nesse caso, a distribuição

de tensão x My I não seria afetada pela presença dessas forças cortantes. Isso

é, de fato, o caso, pois a solução exata da teoria da elasticidade mostra que as

expressões 1 z zM EI e x z zM y I são ainda corretas quando há uma força

cortante constante atuando sobre a viga.

Porém, quando a força cortante varia ao longo da viga as seções adjacentes se

distorcem diferentemente uma da outra e isso implica numa deformação longitudinal

além daquela produzida pelo momento fletor e as equações acima apresentam um erro.

Mas esse erro é muito pequeno para vigas longas ( 10L h ). Assim, consideramos as

expressões acima em cada seção de uma viga na teoria de engenharia para vigas

longas ( 10L h ) como válidas mesmo na presença de forças cortantes não constantes

ao longo da viga.

Então, todas as hipóteses estabelecidas anteriormente para a flexão pura serão

mantidas também no caso de forças cortantes porque a extensão das conclusões

anteriores para a flexão pura, onde todas a seções transversais apresentam a mesma

deformação, nos conduz a bons resultados. Portanto, ainda assim a teoria clássica de


flexão de vigas constitui uma ferramenta importante e útil na prática da engenharia de

estruturas.

Figura 7.13: Distorção das seções transversais retangulares planas de uma viga sujeita a força cortante constante ao longo do seu comprimento.

Cargas aplicadas e reações de apoio

Como já foi visto no início do capítulo 2, a reação de um apoio sobre qualquer

sólido sob carregamento, pode ser representada por um resultante consistindo de uma

força atuando num ponto e um binário (conjugado) e cada um deles pode ser

decomposto em três componentes segundo um sistema de coordenadas cartesianas

ortogonais, por exemplo. Como não conhecemos a distribuição dessas forças na seção

transversal no ponto de apoio, não podemos fazer uma análise do comportamento

local, isto é, tensões e deformações na vizinhança imediata. Mas em virtude do

Princípio de Saint –Venant, a resposta geral, bem como tensões e deformações em

regiões distantes desses pontos de atuação da reação de apoio, é muito pouco afetada

pela distribuição real. Observa-se experimentalmente, que essa distância mínima do


ponto de aplicação da reação é aproximadamente igual à maior dimensão transversal

da viga.

As reações de apoio serão especificadas por uma força atuando num ponto da

seção transversal e um momento em relação a esse ponto, conforme a seguir:

ˆˆ ˆx y zR F i R j R k

(7.29)

ˆˆ ˆx y zM T i M j M k

. (7.30)

Pelo fato do carregamento ser aplicado segundo um plano longitudinal de

simetria, as componentes não nulas das reações de apoio são conforme mostra a

Figura 7.14.

Figura 7.14: (a) Componentes nulas das reações de apoio; (b) Componentes não nulas da reação de apoio.

As reações de apoio podem, portanto, ser escritas simplesmente, como

ˆ ˆR Fi R j

(7.31)

ˆM M k

. (7.32)


A Figura 7.15 apresenta dois tipos de apoio e suas respectivas reações, mais comuns

nos problema envolvendo a flexão de vigas. No caso, o carregamento não é

apresentado, mas ele é aplicado transversalmente à viga e segundo o plano

longitudinal de simetria.

Figura 7.15: (a) Viga simplesmente apoiada; (b) Reações de apoio da viga simplesmente apoiada; (c) Viga em balanço; (d) Reações de uma viga em balanço.

Sistema resultante de forças internas

Pelo fato do carregamento segundo o plano longitudinal de simetria ser perpendicular

ao eixo da viga, o componente de força normal sobre qualquer seção transversal é

nulo. Consequentemente, o sistema resultante de forças internas sobre qualquer seção

transversal consiste, no máximo de uma componente de força cortante e um momento

fletor. A Figura 7.16 mostra as componentes do sistema resultante de forças internas


sobre uma seção S. O diagrama de corpo livre está considerando a porção da viga à

esquerda da seção transversal S.

Figura 7.16: Componentes do sistema resultante de forças internas sobre a seção S.

Como é usual na literatura, vamos adotar uma convenção de sinais para o

momento fletor e para a força cortante. Para um sistema de coordenadas xyz conforme

a Figura 7.15, um momento fletor que tende a comprimir as “fibras” longitudinais

superiores (acima da linha neutra) é considerado positivo e se ele tende a alongá-las, é

considerado negativo. Isso está de acordo com o sinal da curvatura, como veremos

mais adiante. Quanto à força cortante, ela é positiva se tender a girar o diagrama de

corpo livre, sobre o qual ela atua, no sentido anti-horário. Caso contrário ela é

considerada negativa. A Figura 7.17 ilustra essas convenções de sinais.

Figura 7.17: (a) Sinal do momento fletor; (b) Sinal da força cortante.


Como um exemplo geral, considere a viga da Figura 7.18(a), onde os apoios

foram substituídos pelas suas reações. A Figura 7.18(b) é um diagrama de corpo livre

da porção da viga à esquerda da seção de “corte” S, situada à distância x da

extremidade esquerda da viga. Para que as equações possam ser escritas de uma

maneira mais geral, uma variável auxiliar foi considerada.

Figura 7.18: (a) Viga sob carregamento genérico; (b) Diagrama de corpo livre da viga.

Das condições de equilíbrio podemos escrever para o diagrama de corpo livre

da Figura 7.18(b)

0

0 ( ) ( )x

y y A iF V x R F p d (7.33)

0

0 ( ) ( ) ( ) ( )x

z z A A i iCM M x M R x F x L x p d , (7.34)


onde ( )yV x e , ( )zM x as quais são funções da coordenada longitudinal x, são as

componentes do sistema resultante de forças internas sobre a seção transversal S

situada à distância x da extremidade esquerda da viga, segundo o sistema de

coordenadas xyz adotado. As relações (7.33) e (7.34) são equações de equilíbrio da

viga na forma global.

Equações diferenciais de equilíbrio da viga

Podemos obter equações de equilíbrio da viga considerando apenas uma fatia

elementar de largura x , como mostra a Figura 7.19.

Figura 7.19: Diagrama de corpo livre de uma fatia entre duas seções transversais.

Como a viga está em equilíbrio, podemos dizer que cada uma de suas partes

também está em equilíbrio. Então, das condições de equilíbrio da fatia mostrada na

Figura 7.19 podemos escrever para esse diagrama de corpo livre

0 ( ) ( ) 0y y yF V x x V x p x , (7.35)


onde p é o valor médio da carga distribuída sobre o comprimento x tal que

( )x x

xp x p x dx

. (7.36)

Assim, dividindo-se ambos os lados da equação (7.35) por x , escrevemos

( ) ( )y yV x x V xp

x

. (7.37)

Conforme 0x , p se aproxima do valor ( )p x em x , assim, no limite podemos

escrever

0 0

( ) ( )lim lim ( )y y y

x x

V x x V x dVp p x

x dx

. (7.38)

Agora, considerando o equilíbrio de momentos, escrevemos para o diagrama de corpo

livre da Figura 7.19

0 ( ) ( ) ( ) 0c z z yzM M x x M x V x x x p x x , (7.39)

onde x representa a posição do ponto de aplicação da resultante p x . Dividindo-se

(7.39) por x , escrevemos

( ) ( )( )z z

y

M x x M xV x x p x

x

. (7.40)

Tomando-se o limite com 0x e com as mesmas considerações anteriores, obtemos

0 0 0

( ) ( )lim lim ( ) limz z

yx x x

M x x M xV x x p x

x

ou

( )zy

dMV x

dx . (7.41)


As e equações diferenciais (7.38) e (7.41) são as equações diferenciais de

equilíbrio da viga. A partir dessas equações obtemos

2

2

( )( ) ( )yz z

y

dV xdM d MV x p x

dx dx dx . (7.42)

Essas equações valem para todas as seções da viga. Nas derivações dessas

equações e suas aplicações pressupõe-se que os limites existem e que as forças e os

momentos são contínuos e integráveis. Na presença de forças e/ou momentos

concentrados deve-se tomar os devidos cuidados, por exemplo, considerando o

problema por partes ao longo do comprimento da viga e levando–se em conta a

descontinuidade das funções ( )yV x e ( )yM x nesses pontos.

Tensões normais em vigas de material linearmente elástico,

isotrópico e homogêneo

A equação (7.28), x z zM y I nos dá uma relação entre a componente de

tensão normal sobre a seção transversal de uma viga em flexão pura e o momento

fletor aplicado, para o caso de um material linearmente elástico, isotrópico e

homogêneo.

Essa relação é baseada na hipótese que as seções transversais planas

permanecem planas e perpendiculares ao eixo neutro da viga após a flexão. No caso

de flexão pura o único componente do sistema resultante de forças internas é o

momento fletor ( )yM x . Porém, com forças transversais, a componente de força cortante

deve também atuar para manter o equilíbrio. A presença dessa força de cisalhamento

contraria a hipótese que a seção plana permaneça plana e normal ao eixo neutro, pois

para que isso ocorresse, a deformação de cisalhamento deveria ser nula. Portanto,

pela lei de Hooke a tensão de cisalhamento também seria nula, o que não é verdade

por causa da existência de uma força cortante na seção transversal. Esse é um ponto

frágil na teoria de flexão Euler-Bernoulli. Ela é correta para o caso de flexão pura, onde


não temos forças cortantes. É como se, nessa teoria, o material tivesse rigidez infinita à

deformação por cisalhamento transversal. A teoria de flexão de viga de Euler-Bernoulli

trabalha com um material hipotético com rigidez infinita em cisalhamento transversal de

modo que a deformação por cisalhamento transversal seja independente do valor da

força cortante necessária para o equilíbrio.

Mas, a partir de observações experimentais, sabe-se que para vigas delgadas

( 10L h ) a influência da deformação de cisalhamento é muito pequena, podendo na

maioria dos casos, ser desprezada. Portanto, nesses casos, a equação (7.28) nos dá

resultados excelentes, do ponto de vista da engenharia, mesmo a componente de

cisalhamento sendo não nula.

Portanto, em resumo temos: a teoria clássica de flexão de vigas considera

desprezível a influência da deformação de cisalhamento no plano da seção transversal

na descrição da deformação longitudinal (no caso de forças cortantes constantes ao

longo da viga essa influência é nula, como vimos no início da seção 7.2) e

conseqüentemente na dedução das equações da deformação longitudinal x e das

tensões normais x . Mas, para efeito do equilíbrio da viga, as tensões de cisalhamento

devem ser consideradas pois a componente de força cortante sobre a seção transversal

é dada por

( ) 0y xy

S

V x dA . (7.43)

Tensões de cisalhamento em vigas de material linearmente

elástico, isotrópico e homogêneo

Como nesse caso a componente do sistema resultante de forças internas ( )yV x é

não nula e é dada por ( )y xy

S

V x dA , então as componentes de tensão de cisalhamento

xy existem na seção transversal em consideração e para a sua dedução, vamos


considerar o equilíbrio do diagrama de corpo livre extraído de um segmento elementar

de comprimento x da viga, conforme mostrado na Figura 7.20.

Pela equação (7.28), o momento fletor numa seção é responsável pela tensão

normal atuando sobre ela. Então, a variação do momento fletor, indicada na Figura

7.20 (a) por zM será responsável pela variação da tensão normal numa seção e na

seção vizinha separada pela distância x .

Figura 7.20: (a) Diagrama de corpo livre de um segmento elementar da viga; (b) Distribuição das tensões normais x ; (c) Diagrama de corpo livre para determinação

das tensões de cisalhamento xy ; (d) Força resultante da tensão normal x numa seção

genérica da viga; (e) Distribuição das tensões de cisalhamento xy .


“Cortando-se” o segmento da viga representado na Figura 7.20(b) por um plano

paralelo à superfície neutra e à distância 1y do eixo neutro z, conforme ilustrado na

Figura 7.19(c) e considerando-se o equilíbrio do novo diagrama de corpo livre obtido,

escrevemos

1 1

0 0x x yx x

A Ax x x

F dA F dA

, (7.44)

onde:

1

x

A x

dA

força resultante da distribuição de tensão normal x sobre a área 1A na

posição x.

1

x

A x x

dA

força resultante da distribuição de tensão normal x sobre a área 1A na

posição x x .

yxF força de cisalhamento atuando sobre a face ( )y da seção de “corte” paralela à

superfície neutra e na posição 1y y .

1A área hachurada na Figura 7.20(d), acima da posição 1y y .

Como as forças resultantes da distribuição das tensões escritas na equação

(7.44) já são consideradas com o sentido coerente com os sentidos dos momentos

fletores aplicados nas seções transversais em x e x x , e lembrando que o sinal (-)

na equação (7.28) indica apenas que a tensão normal é compressão ou de tração,

então, substituímos o módulo do resultado dado por essa equação em (7.44) e

escrevemos

1 1

( )0z z z

yxz zA A

M y M M ydA F dA

I I

ou,

1 1

0z zyx yx

z zA A

M y M yF dA F dA

I I

(7.45)


Dividindo ambos os lados da equação (7.45) por x e levando em conta que

zM é constante em toda a área da seção transversal onde ele atua, tomamos o limite

com 0x e escrevemos

1 1

0 0

( ) 1lim limyx yxz z

x xz zA A

F dFM dM xydA ydA

x xI dx dx I

. (7.46)

Substituindo a equação diferencial de equilíbrio (7.41) em (7.46) escrevemos

1

( )( )( ) yx yz

yz A

dF V xdM xV x ydA

dx dx I . (7.47)

É comum na literatura definir-se a integral da equação acima como

1A

Q ydA (7.48)

e escrever a equação (7.47) da seguinte maneira

( )yx y

z

dF V x Q

dx I , (7.49)

onde Q é o primeiro momento da área 1A em relação ao eixo neutro z, o qual no nosso

caso passa pelo centróide da seção, porque o material é elástico linear isotrópico e

homogêneo.

O termo yxdF

dx é definido como o fluxo de cisalhamento yxq . Assim a equação

(7.49) reescreve-se

( )yyx

z

V x Qq

I . (7.50a)


Devemos ter sempre em mente que os índices yx de yxF ou de yxq significam:

y= eixo normal à superfície onde atuam yxF ou de yxq .

x = direção de yxF ou de yxq .

Como o fluxo de cisalhamento é uma força por unidade de comprimento, se o

dividirmos pela largura da seção onde ele atua, que no caso da Figura 7.19(e) é b,

podemos escrever

( ) ( )yx y yyx

z z

q V x Q V x Q

b I b I b , (7.51)

onde yx é o valor médio da tensão de cisalhamento através da largura b (a tensão de

cisalhamento é considerada constante ao longo da largura b). Como já vimos

anteriormente durante o estudo das tensões, podemos escrever yx xy . Portanto,

( )yxy yx

z

V x Q

I b . (7.52)

Como Q é calculado para a área situada acima da posição y na qual queremos

determinar a tensão de cisalhamento yx xy , vemos que Q é uma função de y. Então,

da equação (7.52) observamos que a tensão de cisalhamento xy numa seção

transversal onde atua a força cortante yV x , é uma função da coordenada y. Assim,

como o valor de Q será máximo para y=0, no eixo neutro, e será nulo para y no ponto

superior ou inferior da seção transversal, então, a tensão de cisalhamento xy também

variará de zero nos pontos superior ou inferior até um valor máximo no eixo neutro.

Como os pontos superior e inferior pertencem a superfícies livres de tensão de

cisalhamento, o resultado obtido para xy é coerente com a realidade física do

problema.


Exemplo 7.3

Seja a viga de seção retangular, sujeita a uma força cortante conforme a Figura a

seguir. A viga é de material elástico linear isotrópico e homogêneo.

Obter a distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal onde atua a força

de cisalhamento V.

Solução

A distribuição da tensão de cisalhamento ao longo de toda a seção transversal é

obtida calculando-se a tensão de cisalhamento numa posição y genérica, medida a

partir do eixo neutro. No nosso problema o eixo neutro passa pelo centróide da seção

transversal e é normal ao plano de carregamento da viga.


O momento de área Q para a área A’ da Figura acima é dado por

/22 2/2 2

2 2 4

hh

yy

by b hQ y bdy y

, onde y’ é apenas uma variável de integração.

Q pode ser calculado também da seguinte maneira:

' '' '

A

ydAQ

y Q A yA A

onde y é a posição do centróide da área A’ em

relação ao eixo neutro.

O momento de inércia zI é dado por

31

12zI bh .

Substituímos os valores encontrados acima, na equação (7.52)

22

22

33

( ) 2 4 61 4

12

yxy yx xy yx

z

b hV y

V x m V hy

I b bhbh b

O resultado acima indica que a distribuição da tensão de cisalhamento sobre a seção

transversal nesse caso é parabólica, e pode ser ilustrada pela Figura abaixo.


Comentários:

Para 2y h a tensão de cisalhamento é nula (superfícies livres de tensão de

cisalhamento)

22

32 2 2 2

60

4 4xy yx xy yxy h y h y h y h

V h h

bh

Se denominarmos xy media

V

A , então temos

2 2

3 3max max

6 6 60 1,5

4 4 4xy xy

A

V h V h V V

bh bh bh A

,

nesse caso, a tensão de cisalhamento máxima é 50% maior que a tensão de

cisalhamento média sobre a seção.

Como as componentes da tensão de cisalhamento ocorrem aos pares, para cada

xy existe uma componente yx xy atuando na superfície cuja normal é y,

conforme ilustrado na Figura a seguir.

▲


Exemplo 7.4

Uma viga de abas largas tem as dimensões mostradas na Figura a seguir.

Supondo que ela seja submetida a uma força cortante V=80kN, (a) traçar o gráfico da

distribuição de cisalhamento que atua sobre a sua seção transversal e (b) determinar a

força cortante suportada pela sua alma.

Solução

a) Distribuição da tensão de cisalhamento

Como as seções transversais das abas e da alma da viga são retangulares a tensão de

cisalhamento variará parabolicamente, como já vimos exemplo 7.3.

A tensão de cisalhamento é dada por

( )yxy

z

V x Q

I b

Precisamos determinar xy nos pontos B, B’ e C. O momento de inércia em torno

do eixo neutro é dado por


3 3 21 10,015 0,200 2 0,300 0,020 0,300 0,020 (0,110)

12 12zI

6 4155,6 10zI m

Para o ponto B’, a largura b da expressão que nos dá a tensão de cisalhamento

tem o seguinte valor:

0,300b m .

3 30,300 0,020 0,110 0,660 10B BQ A y Q m

3 3

6

80 10 0,660 10( )1,13

155,6 10 0,300y B

xy xyB Bz

V x QMPa

I b

No ponto B, a largura b da expressão que nos dá a tensão de cisalhamento é

0,015b m

O momento de área no ponto B é igual ao do ponto B’

3 30,660 10B BQ Q m

3 3

6

80 10 0,660 10( )22,6

155,6 10 0,015y B

xy xyB Bz

V x QMPa

I b

Para o ponto, sobre o eixo neutro, temos


3 30,300 (0,020)(0,110) (0,015)(0,100)(0,050) 0,735 10C CQ A y A y Q m

3 3

6

80 10 0,735 10( )25,2

155,6 10 0,015y C

xy xyC Cz

V x QMPa

I b

Para a região abaixo do eixo neutro, obtemos por simetria. A distribuição da tensão de

cisalhamento na seção transversal é apresentada na Figura a seguir.

Na realidade, as tensões de cisalhamento nas superfícies livres das abas são nulas,

mas no nosso cálculo resulta num valor diferente de zero nas superfícies internas. Essa

incoerência não impede de usarmos a formulação porque a maior parte da tensão de

cisalhamento está distribuída sobre a alma da viga, como podemos observar. Esse

resultado nas abas não tem muita utilidade.


b) Força cortante suportada pela alma:

A expressão da tensão de cisalhamento para uma posição genérica é dada por

0,1000,300 (0,020)(0,110) (0,015)(0,100 )

2y

yQ A y A y y y

2 3 30,735 7,50 10yQ y m

3 2 3

2 6

6

80 10 0,735 7,50 10( )25,192 257,07 10

155,6 10 0,015y y

xy xyz

yV x Qy MPa

I b

A força de cisalhamento (cortante) atuado na alma é dada por

alma

alma xy

A

V dA .

onde: 0,015dA bdy dy

2 625,192 257,07 10xy y MPa

Assim, escrevemos

0,100 2 6

0,10025,192 257,07 10 (0,015) 73alma almaV y dy V kN

Então, a parcela de força cortante que é suportada pela alma corresponde a 91%

da força cortante total aplicada na seção transversal, ou seja,

730,91

80alma

alma totaltotal

VV V

V

A força cortante suportada pelas abas corresponde a

2 80 73 3,5aba total alma abaV V V V kN ▲


Exemplo 7.5

Para a viga cuja seção transversal é representada na Figura abaixo, sendo

conhecida a força cortante atuando nessa seção, determinar o maior valor da tensão de

cisalhamento xy nessa seção.

3600yV lb 4800zI pol

Solução

O momento de área na posição desejada é dado por

9 0.57 9 3

0 9 0.57(0,358) (7,50) 50O OQ y dy y dy Q pol

ou

39 0,57 0,579 0,57 0,358 7,50 0,57 9 49,98 50

2 2OQ pol

A tensão de cisalhamento máxima ocorre no ponto O onde oQ é máximo, e é dada por

23600 50

628 /800 0,358

y Oxy xyO O

z

V mlb pol

I b

A tensão de cisalhamento no ponto A (na alma) é dada por

y Axy A

z

V m

I b , onde


9 3

8,437,50 37,3A AQ y dy Q pol . Substituindo na expressão da tensão,

obtemos

23600 37,3

469 /800 0,358

y Axy xyA A

z

V Qlb pol

I b

A Figura a seguir mostra a distribuição da tensão de cisalhamento na alma da viga.

Comentário:

Como a maior parte da força cortante V é suportada pela alma da viga, como

vimos no exemplo 7.4, podemos tomar como tensão de cisalhamento média na alma da

viga, a razão entre a força cortante e a área da alma, conforme a seguir:


23600596 /

9 9 0,570 0,570 0,358y

media mediaxy xyalma almaalma

Vlb pol

A

Comparando-se essa tensão média na alma com a tensão de cisalhamento

máxima 2628 /xy Olb pol , escrevemos

max

max

5960,95 95%

628

mediaxyalma

mediaxy xyalmaxy

▲

Exemplo 7.6

Considere uma viga construída a partir de 5 lâminas de 0,500 cm x 2,50 cm x

150 cm, rebitadas juntas. O passo de rebitagem é igual a 2,50 cm ao longo do eixo

longitudinal da viga. Os rebites são de aço com 70adm

MPa e diâmetro igual a

0,625 cm. Determinar a força P máxima que pode ser aplicada na extremidade livre da

viga.


Solução

Considerando a viga de material elástico linear, isotrópico e homogêneo, o eixo

neutro z passa pelo centróide da seção transversal.

O fluxo de cisalhamento yxq desenvolvido numa superfície paralela à superfície

neutra e na posição y=0,25 cm (veja a Figura a seguir) é dado pela equação (7.50)

( )yyx

z

V x Qq

I , e é resistido pela área da seção transversal de cada rebite,

conforme ilustrado nas Figuras a seguir.

Esse fluxo de cisalhamento, numa distância igual ao passo de rebitagem (2,50

cm) resulta numa força cortante sobre a área da seção transversal de um rebite,

conforme mostra a Figura a seguir.


As hachuras na Figura acima são para indicar que numa distância igual a um

passo de rebitagem está contido no máximo um rebite.

O momento de área da área A’, situada acima da seção de “corte” em

0, 25y cm (veja Figura ) é dado por

32,50 1, 25 0, 25 (0,75) 1,875Q A y Q cm .

O momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo neutro z é dado

por

33 41 12,50 2,50 3,255

12 12z zI bh I cm

Então, substituindo na equação do fluxo, o seu valor absoluto é dado por

( ) 1,875 3, 255

3, 255 1,875y

yx yxz

V x Q Vq V q

I

A força cortante resistida pelo rebite é dada por

(2,50)yxF q ,

onde 2,50 cm é o passo de rebitagem. O valor máximo dessa força é dado por

222 2 2 2

max max

0,62570 10 / 70 10 / 2147,6

4 4adm rebite

dF A N cm N cm F N

Assim, o valor máximo admissível para o fluxo de cisalhamento será

maxmax max max max

2147,6(2,50) 859,04 /

2,50 2,50yx yx yx

FF q q q N cm

Substituindo na expressão obtida para o esforço cortante, escrevemos

max maxmax

3, 255 3,255859,04 1491

1,875 1,875yxV q V N

O esforço cortante ao longo da viga é constante e igual à carga P aplicada na sua

extremidade livre, conforme ilustrado na Figura a seguir.


Então, escrevemos

max max max 1491P V P N ▲

FLUXO DE CISALHAMENTO EM VIGAS DE PAREDES FINAS

No exemplo 7.4 nós vimos que as tensões de cisalhamento que se desenvolvem na

direção vertical nas abas não correspondem com a realidade física, pois nas superfícies

livres internas das abas elas deveriam ser nulas, mas o cálculo resulta em tensões

diferentes de zero. Mas, no caso de abas com espessuras finas elas podem ser

desprezadas. A Figura 21 ilustra isso que foi dito acima.

Figura 7.21: Tensão de cisalhamento na direção vertical na aba da viga.


Consideremos o diagrama de corpo livre obtido a partir do “corte” da aba por um

plano normal ao eixo z e passando pelos pontos B e C indicados na Figura 7.22.

Figura 7.22: (a) Distribuição das tensões de flexão em duas seções adjacentes da viga; (b) Diagrama de corpo livre de uma porção da aba; (c) área para cálculo do primeiro momento de área Q.

Considerando-se o equilíbrio do diagrama de corpo livre obtido acima,

escrevemos


0 0x x zx x

A Ax x x

F dA F dA

,

onde:

x

A x

dA

força resultante da distribuição de tensão normal x sobre a área A na

posição x.

x

A x x

dA

força resultante da distribuição de tensão normal x sobre a área A na

posição x x .

zxF força de cisalhamento atuando sobre a face ( )z da seção de “corte

A área onde integramos a distribuição de tensão x para o equilíbrio do diagrama

de corpo livre considerado. Como as forças resultantes da distribuição das tensões escritas na equação de

equilíbrio já são consideradas com o sentido coerente com os sentidos dos momentos

fletores aplicados nas seções transversais em x e x x , e lembrando que o sinal (-)

na equação (7.28) indica apenas que a tensão normal é compressão ou de tração,

então, substituímos o módulo do resultado dado por essa equação e escrevemos

( )

0z z zzx

z zA A

M y M M ydA F dA

I I

ou,

0z zzx zx

z zA A

M y M yF dA F dA

I I

Dividindo ambos os lados da equação acima por x e levando em conta que

zM é constante em toda a área da seção transversal onde ele atua, tomamos o limite

com 0x e escrevemos


0 0

( ) 1lim limzx zxz z

x xz zA A

F dFM dM xydA ydA

x xI dx dx I

.

Substituindo a equação diferencial de equilíbrio (7.41) na expressão acima, escrevemos

( )( )( ) yzxz

yz A

V xdFdM xV x ydA

dx dx I

.

A integral acima é o primeiro momento de área de A’, e pode ser calculado da seguinte

maneira:

Q A y , onde y é a posição do centróide da área A’ em relação ao eixo neutro e A’ pode ser

escrita como

1A t s . Na expressão acima, s é uma coordenada tangente à parede do elemento conforme

indicado na Figura 7.22.

Figura 7.23: Coordenada s para o cálculo de Q.


Assim, escrevemos

( )yzx

z

V x QdF

dx I ,

O termo zxdF

dx é definido como o fluxo de cisalhamento

( )yzx

z

V x Qq

I . (7.50b)

Dividindo-se esse fluxo pela espessura da aba, obtemos a tensão de cisalhamento

1

( )yzx xz

z

V x Q

I t . (7.52)

Essa tensão de cisalhamento é assumida como uniforme ao longo da espessura.

O fluxo de cisalhamento zx xzq q q e a tensão de cisalhamento zx xz são

tangentes à direção s da parede.

Análise do sentido do fluxo de cisalhamento calculado acima:

Se a força cortante for positiva significa que o fluxo dado expressão acima é negativo,

ou seja, o seu sentido é oposto àquele arbitrado para a força zxF no diagrama de

corpo livre. Isso é coerente com as forças resultantes das distribuições de tensão de

flexão sobre a área A’, porque a taxa de variação do momento fletor com a coordenada

x será negativa ( z ydM dx V ) e assim, o momento fletor na seção com coordenada

x x será menor que o momento fletor na seção com coordenada x . Então, a força

resultante na área A’ na coordenada x x é menor que aquela na coordenada x e a

força zxF deverá ter o sentido oposto àquele do diagrama de corpo livre considerado

para equilibrar a força desbalanceada.


Exemplo 7.7

Obter a distribuição de fluxo de cisalhamento na seção da viga abaixo.

Considerar a espessura t muito pequena em relação às dimensões da seção

transversal.

Solução

Como yV V é negativo, a taxa de variação do momento fletor com a

coordenada x , z ydM dx V , será positiva. Isso implica que a força zxF deverá ter o

sentido conforme ilustrado nas Figuras a seguir, para o lado direito e lado esquerdo da

aba superior.


Para o lado esquerdo da aba superior,consideremos o diagrama de corpo livre

ilustrado abaixo

As forças F e F F representam as resultantes das distribuições de tensão de

flexão x devido aos momentos fletores nas posições x e x x , sobre a área A’ ,

respectivamente.

O fluxo de cisalhamento zx xz abaq q q na aba será calculado, considerando

2Q A y ts d , conforme a seguir:


02 2 2aba zx xz aba

V V d Vtd bq q q Q ts q s s

I I I

(a)

A coordenada s deverá ser considerada como indicada nas figuras acima, para

cada caso. O limite 2s b é possível aqui porque estamos supondo que a espessura

da alma é fina, podendo portanto, ser desprezada.

Da equação (a) para o fluxo de cisalhamento, observamos que ele varia

linearmente com a coordenada s e o seu valor máximo é dado para 2s b

max max2 2 4aba aba

Vtd b Vtdbq q

I I

(b)

O fluxo de cisalhamento na alma é obtido como a seguir, de modo semelhante

aos exemplos anteriores:

yalma yx xy

V Vq q q Q Q

I I (c)

O sentido do fluxo é o mesmo da força yxF indicada no diagrama de corpo livre

da figura abaixo. O sentido dessa força é o indicado para que ela equilibre a força

desbalanceada resultante dos momentos fletores nas posições x e x x . Quando

deduzimos a expressão do fluxo yxq (que tem o mesmo sentido da força yxF ) a força

yxF foi considerada com seu sentido positivo contrário ao sentido do eixo x (força

atuando na face ( )y do plano de corte e na direção de x ). Devido ao fato de

0yV V o fluxo resultou negativo, portanto, ele atua com sentido oposto àquele

arbitrado no diagrama de corpo livre para a sua dedução. Na figura a seguir a força

yxF é indicada com o seu sentido de atuação nesse caso.


Assim, o fluxo de cisalhamento na alma é calculado como a seguir, levando em

conta que já conhecemos o seu sentido (podemos dispensar o sinal negativo):

yalma yx xy

V Vq q q Q Q

I I (d)

onde o primeiro momento de área Q é dado por

2

21

2 2 2 2 2 2 4

d d d btd t dQ A y bt y t y y y

(e)

Então, escrevemos

22

2 2 4alma yx xy

V btd t dq q q y

I

(f)

Para 2y d temos

max2 22 4alma aba

Vbtd Vbtdq q

I I (g)

Para 0y temos

2

max 2 8alma

V btd tdq

I

(h)

Devido à simetria, uma análise similar nos dá a mesma distribuição do fluxo nas

abas inferiores,mas com sentidos opostos aos da aba superior, como mostra a figura a

seguir.


A força total desenvolvida nas partes à esquerda e direita de cada aba e a força

total desenvolvida na alma, são obtidas por integração do fluxo de cisalhamento ao

longo dos comprimentos de atuação:

22 22 2

0 00

2 2 2 16

bb b

aba aba aba

Vtd Vtd s Vtb dF q ds sds F

I I I (i)

Podemos observar que essa força é igual à área do triângulo que representa a

distribuição do fluxo de cisalhamento nas abas:

2max 4 222 2 16

aba

aba aba

Vtdb bbq VtdbI

F FI

, que é o mesmo resultado

apresentado em (i).

2 22 2 2

2 2

1 12

2 2 4 4 3

d d

alma alma almad d

Vt db d VtdF q dy y dy F b d

I I

Podemos desenvolver a expressão acima do seguinte modo:


23 31 1

212 2 12

dI bt bt td

Como a espessura é fina, podemos desprezar os termos em 3t comparado com os

demais, e assim, escrever

2 231

2 24 12 4 3

d td dI bt td b

Substituindo na expressão da almaF , obtemos

2 2

2

1 12 2

4 3 34 2

4 3

alma alma

Vtd VtdF b d b d F V

td dIb

, (j)

o que era esperado. A figura seguir ilustra esses resultados

Observem que as forças nas abas são auto-equilibrantes (não temos força aplicada na

direção z, direção horizontal das abas). A única carga aplicada é V, na direção vertical

da alma.


COMENTÁRIOS:

Para se determinar o sentido do fluxo de cisalhamento nas abas ou na alma da

viga é importante observar qual deve ser o sentido da força, que atua na face do

plano de "corte" do diagrama de corpo livre, necessário para equilibrar a força

desbalanceada devido à diferença dos momentos fletores atuando nas seções

transversais da viga nas posições x e x x . O sinal da taxa de variação do

momento fletor, z ydM dx V , nos dá qual deve ser o sentido dessa força para

equilibrar a força desbalanceada. Assim, nós temos o sentido dos fluxos zxq e

yxq que atuam nos planos normais a z ou y, respectivamente. Os fluxos

correspondentes atuando no plano normal a x, são xzq e xyq , respectivamente.

Esses fluxos se aproximam ou se afastam das arestas formadas pelos planos

normais entre si onde eles atuam (plano normal a z e plano normal a x; plano

normal a y e plano normal a x), conforme os fluxos zxq e yxq se aproximam ou se

afastam dessas arestas, de modo semelhante ao que se observa para as

tensões de cisalhamento.

O cálculo das propriedades da seção de elementos de paredes finas é

normalmente feito considerando-se uma idealização da seção transversal por

meio de linhas de centro com espessuras iguais às do elemento real, mas

desprezando-se os termos em 3t . Quanto menor for a espessura, menor será o

erro cometido. Em geral, esse erro é desprezível do ponto de vista de

engenharia. Esse é um procedimento muito usado, principalmente na

aeronáutica, onde é muito comum a presença de elementos estruturais com

espessuras muito finas. Por exemplo, considere a seguinte seção transversal de

uma viga:


Propriedades de área da seção real:

2 21,56 10A m

5 424,8 10yI m

5 424,8 10zI m

5 414,8 10yzI m

Propriedades de área da seção idealizada:

2 20,390 0,020 0,390 0,020 1,56 10A A m

Considerando-se o teorema dos eixos paralelos, podemos escrever

3 210,390 0,020 0,390 0,020 0,0974

12yI

2

31 0,3900,020 0,390 0,390 0,020 0,0974

12 2

(k)

Desprezando os termos em 33 0,020t , a expressão (k) se simplifica para

2

2 31 0,3900,390 0,020 0,0974 0,020 0,390 0,390 0,020 0,0974

12 2yI

5 424,72 10yI m

Do mesmo modo, desprezando os termos em 33 0,020t , calculamos zI


2

2 31 0,3900,390 0,020 0,0974 0,020 0,390 0,390 0,020 0,0974

12 2zI

5 424,72 10zI m

O produto de inércia da área é calculado como

0,3900,390 0,020 0,0974 0,0974

2yzI

5 40,3900,390 0,020 0,0974 0,0974 14,8 10

2 yzI m

Comparando-se os valores obtidos para a seção idealizada onde desprezamos

os termos em 33 0,020t , com aqueles obtidos para a seção real, observamos

que o erro cometido é de 0,32%, o que desprezível do ponto de vista de

engenharia, além do que o cálculo se torna muito mais simples.

▲

7.3 DEFLEXÃO DE VIGAS SIMÉTRICAS Consideremos uma viga com plano longitudinal de simetria e feita de um material

linearmente elástico, isotrópico e homogêneo. Nesse caso, a equação da curvatura

Euler -Bernoulli é dada por (7.26), para o caso de flexão pura, e reescrita a seguir

1 z

z

Mk

EI . (7.53)

Como vimos na seção 7.2, podemos estender também essa equação para o

caso de vigas sob forças cortantes transversais, ou seja, para os casos onde a tensão

de cisalhamento não é nula nas seções transversais. Isso conduz a resultados muito

úteis e precisos para vigas delgadas, desde que os efeitos da deformação de

cisalhamento geralmente são insignificantes. No caso onde o momento fletor varia com

a coordenada longitudinal x, ou seja, quando existe a presença de força cortante,


segundo a equação (7.53), consideramos a curvatura k também como uma função da

coordenada x

1 z

z

M xk x

EI . (7.54)

A deformação da viga devida à flexão é determinada pela forma da linha neutra

(linha elástica) após a flexão. Inicialmente, a linha neutra é ao longo do eixo x, conforme

ilustrado na Figura 7.24. Após a flexão da viga, a linha neutra (linha elástica) se torna

uma curva no plano xy, o qual é o plano longitudinal de simetria. A equação dessa

curva determina o deslocamento transversal de cada partícula da viga sobre a linha

neutra. Essa equação é também conhecida como equação da linha elástica da viga.

Na Figura 7.24 s é um comprimento de arco ao longo da linha neutra após a

flexão. A coordenada v mede o deslocamento transversal do centróide da seção

transversal da viga (ponto na linha elástica) na coordenada x e a coordenada y é usada

para identificar a posição de um ponto, em relação ao eixo neutro z, na seção

transversal. O raio de curvatura da linha neutra (linha elástica) no ponto A*, na

coordenada x medida na configuração deformada é igual a . O centro de curvatura é

o ponto O, indicado na Figura 7.24.


Figura 7.24: Linha neutra após flexão da viga.

Da Figura 7.24 temos que o raio de curvatura no ponto B* é O’B* e o ângulo formado

entre os dois raios é . Assim, escrevemos

s , (7.55)

onde é um raio de curvatura médio entre os pontos A* e B*. Conforme 0s o raio

médio tende para o valor do raio no ponto A*. A partir de (7.55) escrevemos

0 0

1 1 1lim lims s

ks s

ou

1 d

ds

. (7.56)


Como o comprimento s, medido ao longo da curva ( )v v x que representa a

linha neutra após a flexão, pode ser expresso como uma função da coordenada x, a

partir da Figura 7.24 podemos escrever

2* * 2 2

* * * * * *1

s s A B s x v s v

x x x xA B A B A B

. (7.57)

Tomando-se o limite de (7.57) com 0x , escrevemos

2

* *0 0 0lim lim lim 1x x x

ds s s v

dx x xA B

. (7.58)

Como * *

1s

A B

quando 0x , a equação (7.58) escreve-se

2

1ds dv

dx dx

. (7.59)

O ângulo de inclinação da reta tangente em cada ponto da linha neutra é uma

função da coordenada x do ponto. Então, pela regra da cadeia para as derivadas,

podemos escrever

d d ds

dx ds dx

. (7.60)

Substituindo (7.59) em (7.60), obtemos

2

1d d dv

dx ds dx

. (7.61)

Da Figura 7.24 vemos que v representa o deslocamento transversal dos pontos

da linha neutra, após a flexão, e para pequenos gradientes de deslocamentos em

módulo (pequenas inclinações da linha elástica), podemos escrever


2

1 1 1dv dv

dx dx

. (7.62)

Substituindo (7.62) em (7.61), escrevemos

d d

ds dx

. (7.63)

A partir deste ponto as derivadas serão desenvolvidas com respeito às

coordenadas da configuração indeformada, porque estamos considerando pequenas

deformações e pequenos gradientes de deslocamentos, ou seja, a hipótese de

pequenas modificações na configuração.


1 d

dx

. (7.64)

Com (7.64) na equação (7.54), escrevemos

1 ( )zM x dk

EI dx

(7.65)

Da Figura 7.24 temos

0lim tanx

v dv

x dx

(7.66)

Como estamos considerando 1dv dx (pequenas inclinações da linha elástica),

podemos fazer a seguinte aproximação

tandv dv

dx dx . (7.67)



2

2

2

2

1

( )1

( )

z

z

z z

d v

dxM x d dvk

EI dx dx d vEI M x

dx

(7.68)

Assim, obtivemos uma equação diferencial de segunda ordem que relaciona o

deslocamento transversal de um ponto da linha neutra da viga após a flexão, com o

momento fletor atuante na seção transversal e o coeficiente de rigidez à flexão da viga.

Essa equação se aplica para pequenas deformações e pequenos gradientes de

deslocamentos (pequenas inclinações da linha elástica).

A partir das equações diferenciais de equilíbrio da viga, dadas em (7.38) e (7.41)

e da equação (7.68), escrevemos

2 2 3

2 2 3

( ) ( )1z zz y

z z

M x dM xd v d d v d vEI V x

dx EI dx dx EI dx dx

(7.69)

3 4

3 4

( )1 1( ) ( ) 0y

zz z

dV xd d v d vp x EI p x

dx dx EI dx EI dx

. (7.70)

A equação (7.70) é também conhecida como a equação da linha elástica (linha

neutra) para uma viga de material elástico linear isotrópico e homogêneo, fletida no

plano xy.

A expressão exata para a curvatura da linha elástica de uma viga com grandes

inclinações é dada por

2 2

3 22

1

1

d d v dxk

ds dv dx

(7.71)

e substituindo em (7.54), escrevemos

2 2

3 22

1

1

z

z

M xd v dx

EIdv dx

(7.72)


Da equação (7.71) observamos que com a hipótese de 1dv dx (pequenas

inclinações da linha elástica), 2dv dx pode ser desprezado em relação à unidade e a

curvatura se torna igual àquela dada pela primeira equação de (7.68).

O livro "History of Strength of Materials" de S.P. Timoshenko (1878-1972)

apresenta os seguintes comentários sobre o problema da linha elástica: a equação

básica, relacionando a curvatura com o momento fletor, foi imaginada e desenvolvida

por Jacob Bernoulli (1654-1705). O seu trabalho deve ser considerado como a primeira

contribuição para resolver problemas de grandes deflexões de viga; tempos depois,

Euler (1707-1783), empregando o cálculo variacional, rederivou a equação diferencial

da curva de deflexão e resolveu vários problemas de linha elástica exata. Esses

resultados ele apresentou no Apêndice I ("De curvis elastics") do livro "Methodus

inveniendi lineas curvas..." que ele publicou em 1744. Esse foi o primeiro livro publicado

sobre Cálculo Variacional; Lagrange (1736-1813) foi o próximo matemático a investigar

a linha elástica exata. Os resultados de seus estudos sobre esse assunto foram

publicados no artigo "Sur la force des ressorts pliés", em 1771.

Exemplo 7.7

Considerando o exemplo 7.1, determinar o ângulo entre as seções

transversais A e B após a deformação da viga e o raio de curvatura . O módulo de

elasticidade do material é 6 230 10 /E lb pol e o momento de inércia de área da seção

transversal em relação ao eixo neutro é 42, 25zI pol .


Solução

Da equação (7.65) escrevemos

( )z

z

d M x

dx EI

.

A diferencial do ângulo escreve-se

z

z

Md dx d dx

EI .

Integrando-se a expressão acima entre as extremidades A e B da viga, tomando a

coordenada x da configuração indeformada, obtemos

72

12

Bz

B AAz

Md dx

EI .

Substituindo os dados do problema na equação acima, escrevemos

72

612

120000,01068 0,61

30 10 2,25odx rad

.

O sinal (-) indica apenas que a curvatura é negativa. O que nos interessa é o

módulo desse valor, ou seja,

0,01068 0,61orad .

O raio de curvatura é obtido a partir da equação (7.65)

6

1 ( ) 120005618

30 10 2,25z

z

M xpol

EI

.

O sinal (-) indica que a curvatura é negativa e o centro de curvatura está oposto

ao eixo de coordenada v. Assim, tomamos o módulo do valor acima para o raio de

curvatura, ou seja,

5618 pol .

Comentário:

Os resultados obtidos mostram que a viga depois de deformada apresenta uma

curvatura muito pequena, pois o seu raio é muito grande. O ângulo entre os planos das

seções transversais em A e B, depois da flexão também é muito pequeno. ▲


Exemplo 7.8

A viga em balanço mostrada na figura a seguir está submetida a uma carga vertical P

na extremidade. Determinar a equação da linha elástica e obter a inclinação e a

deflexão no ponto A. Considerar EI constante.

Solução

A equação (7.68) nos dá uma relação entre o momento fletor e a curvatura da

viga

2 2

2 2

( )1( )z

z zz

M xd v d vEI M x

dx EI dx (a)

Para obtenção do momento fletor, considere o diagrama de corpo livre a seguir:

O momento fletor é obtido escrevendo-se a equação de equilíbrio

0 0zM M Px

M Px

Substituindo na equação (a), escrevemos

2

2z

d vEI Px

dx (b)


Integrando duas vezes a equação (b), obtemos

2

12z

dv PxEI C

dx (c)

3

1 26z

PxEI v C x C (d)

As constantes de integração 1C e 2C são obtidas aplicando-se as condições de

contorno

2 2

1 10 02 2B

x L

dv PL PLC C

dx

3 2 3

2 2( ) 0 06 2 3

PL PL PLv L L C C

Substituindo as constantes obtidas acima, nas equações (c) e (d), escrevemos

Equação da linha elástica:

3 2 3

3 2 33 26 2 3 6z

Px PL PL PEI v x v x L x L

EI

Equação da inclinação:

2 2

2 2

2 2 2z

dv Px PL dv PEI L x

dx dx EI

Deslocamento no ponto A:

O deslocamento no ponto A é obtido a partir da equação da linha elástica com 0x :

3

3 2 30 0 3 0 26 3A A

P PLv v L L v

EI EI

O sinal negativo indica que o deslocamento é para baixo do eixo x.


Rotação (inclinação) no ponto A:

A rotação (inclinação) da extremidade livre da viga (ponto A) é dada por

2

2 2

0

02 2A A

x

dv P PLL

dx EI EI

Comentários:

Considerando-se uma viga em balanço com comprimento 2L m , de aço com

210E GPa , com seção transversal de 75b mm e 150h mm , sujeita a uma carga

20P kN , temos

33

39

20000 20,012 12

13 3 210 10 0,075 0,15012

A A

PLv v m mm

EI

22

39

20000 20,009 0,52

12 2 210 10 0,075 0,15012

oA A

PLrad

EI

2

2 5

0 0

0,009 1 0,009 8,1 10 1x x

dv dv

dx dx

Dos resultados acima, observamos que o deslocamento máximo e a inclinação

máxima da linha elástica da viga, os quais ocorrem na sua extremidade livre, são muito

pequenos e verificamos que

tan tan 0,009 0,009 tanA A A .

▲


7.4 FLEXÃO ASSIMÉTRICA Consideremos uma viga de material elástico linear, isotrópico e homogêneo, de seção

assimétrica e sujeita a um momento fletor que pode ser decomposto em componentes

segundo os eixos de coordenadas y e z, conforme a Figura 7.25.

Figura 7.25: (a) Viga prismática com seção transversal assimétrica; (b) Eixo neutro.

A flexão da viga ocorrerá em torno de um eixo, o qual é denominado eixo neutro

porque a deformação e a tensão normais de flexão dos pontos da viga, localizados

sobre esse eixo, são nulas. Conforme a hipótese de Bernoulli para a flexão da viga, a

deformação normal dos pontos das seções transversais da viga escreve-se


x

y

, (7.73)

onde é o raio de curvatura da linha neutra e y é a coordenada medida a partir do

eixo neutro z , conforme mostra a Figura 7.25 (b). No caso de material elástico linear,

isotrópico e homogêneo, nós já vimos que esse eixo passa pelo centróide da seção

transversal.

Da Figura 7.25(b) podemos escrever

cos siny y z , (7.74)

onde é o ângulo que o eixo neutro z faz com o eixo z. Substituindo na equação

(7.73), escrevemos

cos sinx y z

. (7.75)

A tensão normal x , para essa viga de materiais elásticos lineares, isotrópicos e

homogêneos é dada pela equação (7.17) e levando em conta (7.75) escreve-se

cos sinx x xE E y E z

. (7.76)

Então, podemos dizer que a tensão normal de flexão x pode ser escrita como

uma função linear das coordenadas y e z, conforme a seguir.

1 2x C y C z , (7.77)

onde 1C e 2C independem de y e z.


Figura 7.26: Momentos fletores atuando sobre a seção transversal da viga.

A partir da Figura 7.26, escrevemos

y xM z F z A (7.78)

z xM y F y A . (7.79)

Somando-se todas as parcelas elementares desses momentos fletores e tomando-se o

limite com 0A , escrevemos

y x

S

M z dA (7.80)

z x

S

M y dA . (7.81)

Substituindo (7.77) em (7.80) e (7.81), escrevemos

21 2 1 2y

S S S

M z C y C z dA yzC dA z C dA

21 2

S S

C yzdA C z dA (7.82)


21 2 1 2z

S S S

M y C y C z dA y C dA yzC dA

21 2

S S

C y dA C yzdA . (7.83)

As integrais acima podem ser definidas como

2 2y z yz

S S S

I z dA I y dA I yzdA , (7.84)

as quais são, respectivamente, o momento de inércia de área da seção transversal em

relação aos eixos y e z e o produto de inércia de área em relação a esses eixos. Com

essas definições, as equações (7.82) e (7.83) escrevem-se

1 2y yz yM C I C I (7.85)

1 2z z yzM C I C I . (7.86)

Resolvendo-se o sistema formado pelas equações (7.85) e (7.86), obtemos

1 2

z y y yz

y z yz

M I M IC

I I I

(7.87)

2 2

y z z yz

y z yz

M I M IC

I I I

. (7.88)

Substituindo (7.87) e (7.88) em (7.77), escrevemos

2 2

z y y yz y z z yzx

y z yz y z yz

M I M I M I M Iy z

I I I I I I

. (7.89)


Se os eixos y e z forem eixos principais de inércia, então 0yzI e podemos

escrever

1 1 yz

xy z xz y

MM

EI EI , (7.90)

onde 1 xy e 1 xz são as curvaturas da linha neutra nos planos xy e xz,

respectivamente. A Figura 7.27 ilustra essas curvas nos planos mencionados.

1 10 0yz

xy z xz y

MM

EI EI

Figura 7.27: Convenção dos momentos fletores positivos e as curvaturas da linha neutra nos planos xy e xz. Então, conforme a convenção adotada, temos, atuando na face x :

yM momento fletor positivo oposto ao sentido positivo do eixo y.

zM momento fletor positivo com o sentido positivo do eixo z.

Um caso especial que ocorre freqüentemente em problemas de engenharia de

estruturas é o de vigas com seções transversais simétricas. Considerando-se o sistema


de coordenadas associado à seção transversal, com um dos eixos coincidente com o

eixo de simetria, poderemos empregar a equação (7.89) escrita de modo simplificado,

para o cálculo das tensões de flexão dessa viga, porque o eixo de simetria é um eixo

principal de inércia e conseqüentemente o outro eixo do sistema de coordenadas

normal a ele também será eixo principal de inércia. Então, o produto de inércia de área

dessa seção transversal em relação a esses eixos de coordenadas é nulo. Portanto,

podemos escrever

yzx

z y

MMy z

I I . (7.91)

Equação do eixo neutro:

Define-se como eixo neutro de flexão da viga, o lugar geométrico dos pontos da

seção transversal onde a tensão devido flexão é nula. A equação da reta que

representa o eixo neutro é obtida a partir da equação (7.89), conforme a seguir.

2 2

0 0z y y yz y z z yzx

y z yz y z yz

M I M I M I M Iy z

I I I I I I

. (7.92)

Então, podemos escrever

y z z yz

z y y yz

M I M Iy z

M I M I

, (7.93)

que é a equação da reta que representa o eixo neutro (EN), mostrado na Figura 7.28.


Figura 7.28: Eixo neutro de flexão

A orientação do eixo neutro é dada pelo ângulo , conforme mostrado na Figura

7.28, a partir da qual podemos escrever

tany

z . (7.94)

Substituindo (7.93) em (7.94), obtemos

tan y z z yz

z y y yz

M I M I

M I M I

. (7.95)

Considerando-se a superposição de efeitos de um carregamento axial com força

interna normal N com o carregamento de flexão, a equação (7.89) é escrita como

2 2

z y y yz y z z yzx

y z yz y z yz

M I M I M I M I Ny z

I I I I I I A

. (7.96)


Exemplo 7.9

Considere a viga de seção retangular sujeita a um momento fletor conforme

mostra a Figura a seguir. Determine as tensões normais de flexão nos pontos A, B, D e

E, e a orientação do eixo neutro. O momento fletor é 12 .M kN m e sin 4 5 e

cos 3 5

Solução

A equação (7.89) nos dá

2 2

z y y yz y z z yzx

y z yz y z yz

M I M I M I M Iy z

I I I I I I

A partir do Apêndice B calculamos os momentos de inércia de área da seção

transversal:

33 7 41 10, 4 0, 2 2667 10

12 12yI bh m

33 6 41 10, 2 0, 4 1067 10

12 12zI bh m

0yzI

O momento fletor pode ser decomposto em:


sin cosy zM M M M ,

onde

sin 4 5 cos 3 5 .

Então,

412 . 9,6 .

5yM kN m kN m

e 3

12 . 7,2 .5yM kN m kN m

.

Substituindo os momentos de inércia e o produto de inércia de área na equação da

tensão normal de flexão:

0 0

0 0z y y y z z yz

x xy z y z z y

M I M M I M MMy z y z

I I I I I I

3 36 6

6 7

7, 2 10 9,6 106,75 10 36,0 10

1067 10 2667 10x xy z y z

Substituindo as coordenadas dos pontos onde queremos calcular a tensão normal de

flexão, obtemos:

Ponto y (m) z (m) x (Mpa)

A 0,2 0,1 -4,95

B 0,2 -0,1 2,25

D -0,2 -0,1 4,95

E -0,2 0,1 -2,25

Orientação do eixo neutro:

3 6

3 7

9,6 10 1067 10 0tan 5,334 79,38

7, 2 10 2667 10 0

zy z z yz o

z y y yz y

MM I M I

M I M I M


3

3

9,6 10tan 1,333 53,13

7,2 10y o

z

M

M

▲

REFERÊNCIAS

1. Crandall, S. H.; Dahl, N. C.; Lardner, T. J.; An Introduction to the Mechanics of

Solids, McGraw-Hill, NY, 2a. edição, 1972

2. Donaldson, B. K., Analysis of Aircraft Structures – An Introduction, McGraw-Hill

Inc., NY, 1993

3. Lucena Neto, E., Análise Estrutural I, Notas de Aulas do curso EDI-31, ITA, 2007

4. Hibbeler, R. C., Resistência dos Materiais, Pearson Education do Brasil, SP, 5ª

edição, 2006

5. Timoshenko, S.P., History of Strength of Materials, Dover Publications, New

York, 1983.

6. Timoshenko, S.P.; Gere, J.E.; Mecânica dos Sólidos,Livros Técnicos e

Científicos Editora, RJ, 1994

7. Wempner, G., Mechanics of Solids, PWS Publishing Company, Boston, MA, 1995

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