Cap_01_EQP006

EQP00006 Mtodos Matemticos

Prof. Andr R. Muniz

1. Introduo e Conceitos Fundamentais

Apresentao da disciplina EQP00006

Mtodos para a soluo analtica e numrica de equaes diferenciais ordinrias e parciais, ou melhor, problemas de valor inicial (PVI) e problemas de valor de contorno (PVC).

Fenmenos de Transporte Cintica Qumica Termodinmica

equaes algbricas

equaes diferenciais

equaes algbrico-diferenciais

equaes integrais

Anlise de problemas de interesse na Engenharia Qumica:

Uso de recursos computacionais na resoluo de problemas.

Disciplina de formao geral do EQ. Base para estudos avanados em diversas reas de interesse (simulao/otimizao de processos, estimao de parmetros, fluidodinmica computacional, simulao molecular, etc.).

Slidos conhecimentos da teoria so importantes. Disciplina focada na obteno de solues e anlise crtica de resultados.

EQP00006 Mtodos Matemticos Prof. Andr R. Muniz 2 Cap 01

Aulas: Quintas, 08:30 (08:30-10:10, 10:30-11:20). Sala 305 ou SAUC

Atendimento aos alunos (dvidas): sala 219, Anexo 1

Contedo programtico, avaliaes, bibliografia: ver programa da disciplina/smula

Material de aula (slides, listas, cdigos, etc.) disponvel no Moodle

Estrutura da disciplina EQP00006


equaes algbricas

equaes diferenciais

ordinrias

Modelos matemticos em problemas de EQ

equaes algbrico-diferenciais

equaes integrais e integro-diferenciais

parciais

lineares no lineares

lineares no lineares


EDO (ODE): funes de uma varivel; derivadas totais

EDP (PDE): funes de mais de uma varivel; derivadas parciais

Equaes Diferenciais Ordinrias e Parciais

PVI (IVB): determinar a soluo de uma EDO que satisfaa uma dada condio inicial valor da funo e/ou derivada em um ponto

PVC (BVP): determinar a soluo de uma EDO ou EDP, vlida em um dado domnio, que satisfaa condies de contorno valores da funo e/ou derivada em diferentes pontos do domnio, tipicamente localizados nos contornos do domnio de interesse

Problemas de Valor de Contorno e de Valor Inicial

Nmero de condies requeridas depende da ordem das derivadas na equao

01 22 =

AA kC

drdCr

drd

rD )(rCC AA =( ) 0=+ fp TThAdt

dTmc ( )tTT =

tTCQ

xTk P

=+

2

2

( )txTT ,=

EQP00006 Mtodos Matemticos Prof. Andr R. Muniz

tTCQ

zT

yT

xTk P

=+

+

+ 2

2

2

2

2

2

( )tzyxTT ,,,=

5 Cap 01

(sistema a parmetros concentrados) (sistema a parmetros distribudos)

Exemplos: Reator de mistura Reator tubular

em estado transiente:

em estado estacionrio: )(

0

A

AA

rCC

=


AAAA rCC

dtdC

+

=

0

AAA r

dzCdD

dzdCU += 2

2

AAAA r

zCD

zCU

tC

+

=

+

2

2

6 Cap 01

AC ( )zCA

( )tCA ( )tzCA ,

Modelos a parmetros concentrados

Tipicamente,

Modelos a parmetros distribudos

estacionrio transiente

EA: equaes algbricas

EDO: equaes diferenciais ordinrias

EDP: equaes diferenciais parciais

EA

EAD: equaes algbrico-diferenciais

EDO, EAD

EDO, EDP EDP


Solues analticas versus solues numricas em PVI e PVC

Exemplos:

CSTR em estado transiente Difuso-reao em partcula cataltica

Objetivo: determinar a resposta dinmica do reator frente a mudanas de setpoint ou em procedimento de partida (cintica de 1 ordem)

Objetivo: determinar o perfil de concentrao do reagente ao longo da partcula e a taxa global de reao WA (cintica de 1 ordem)

Equao:

Soluo analtica:

++

+

+= tkCtk

kCtC AINIAA

1exp1exp1

1)( 0

01 22 =

AA

A kCdrdCr

drd

rD


01 A

AA CCk

dtdC

=+

+

AINIA CtC == )0( ASA CRrC == )(

sinh

sinh

= Rr

rR

CC

AS

AAD

kR2=

00

==r

A

drdCsujeita a:

Equao:

Soluo analtica:

sujeita a:

( ) coth144 2 ===

ASARr

AAA CRDdr

dCDRW

8 Cap 01


Exemplos:

CSTR em estado transiente Difuso-reao em partcula cataltica

Objetivo: determinar a resposta dinmica do reator frente a mudanas de setpoint ou em procedimento de partida (cintica de 1 ordem)

Soluo numrica:


Soluo numrica:

Objetivo: determinar o perfil de concentrao do reagente ao longo da partcula e a taxa global de reao WA (cintica de 1 ordem)

9 Cap 01


Geralmente soluo exata; funo contnua, explcita em termos de parmetros

Elegncia de resultados; dependncia entre variveis evidente (linear, quadrtica, exponencial, senoidal, etc)

Aplicao limitada (equaes lineares, geometrias simples, equaes constitutivas simples, etc.)

Obteno de informaes adicionais ou ps-tratamento gradientes, taxas, valores crticos, etc. trivial.

Soluo somente para equaes, no sistemas de equaes (exceo para EA ou EDOs lineares ou desacopladas)

solues analticas solues numricas

Qualidade/preciso da soluo depende de parmetros inerentes ao mtodo (nmero de pontos de discretizao, passo de integrao)

Valores das variveis em pontos discretos espao/tempo

Ps-tratamento requer esforo/procedimento numrico adicional (derivao, integrao numrica, etc.)

Grande versatilidade em relao a geometria do domnio, equaes constitutivas mais complexas, etc maior gama de aplicaes

Identificar dependncia entre variveis nem sempre simples/intuitiva

Soluo para sistemas requer pequena modificao do mtodo (apenas mais esforo computacional)

Soluo obtida para um dado valor de parmetro



Pode ser usado para validar solues numricas

Uso de mtodos aproximados para lidar com problemas mais complexos (expanses assintticas, perturbao)

Uso em estudos de otimizao, ajuste de parmetros, anlise de sensibilidade paramtrica, etc. facilitado/imediato

solues analticas solues numricas

Grande nmero de softwares/pacotes computacionais existentes


Cuidadoso estudo de convergncia das solues (passo de tempo de integrao, refinamento de malha) necessrio

Softwares de computao algbrica facilitam o trabalho

11 Cap 01

Aprenderemos mtodos matemticos, ento

Mtodos Analticos: soluo de EDOs de 1 ordem lineares e no lineares (separao de variveis,

variao de parmetros); soluo de EDOs lineares de ordem superior (variao de parmetros,

coeficientes a determinar, serie de potncias, Frobenius); soluo de problemas de auto-valores (Sturm-Liouville); soluo de EDPs lineares (transformada finita de Fourier, similaridade)

Mtodos Numricos: soluo de sistemas de equaes algbricas (Newton e derivados) soluo de PVI (Euler, Runge-Kutta, Preditor-Corretor e outros) soluo de PVC (diferenas finitas, volumes finitos)


Formulao de problemas de valor de contorno e de valor inicial

equao ou sistema de equaes

condies de contorno e inicial

+

fenmeno fsico

modelo matemtico

soluo (analtica ou numrica)

anlise

projeto otimizao ajuste de parmetros EQP00006 Mtodos Matemticos Prof. Andr R. Muniz

etc.. 13 Cap 01

Tipicamente, em PVI/PVC na EQ, equaes a serem resolvidas consistem em:

Equaes de conservao (massa, energia, quantidade de movimento) Relaes constitutivas

Ex: escoamento de um fluido newtoniano

+



022

=+ AA

A RdxCdD

Tipicamente, em PVI/PVC na EQ, equaes a serem resolvidas consistem em:

Equaes de conservao (massa, energia, quantidade de movimento) Relaes constitutivas

Ex: difuso/reao em filme cataltico

+

AA kCR =A

AA CK

CR+

=

022

=+

A

AAA CK

Cdr

CdD

022

= AA

A kCdxCdD

15 Cap 01

Condies de contorno e iniciais

Dependem da natureza do problema. Exemplificando:

Condies de contorno: informao sobre a varivel nas fronteiras do domnio

Valor da varivel conhecido no contorno (condies de Dirichlet, ou 1st-kind):

Valor da derivada conhecido no contorno (condies de Neumann, ou 2nd-kind):

Relao entre valor da varivel e derivada conhecido no contorno (condies de Robin ou mista ou 3rd-kind):

Condio inicial: valor inicial da varivel ou distribuio inicial da varivel no domnio


STLxT == )(

00

==xdx

dT

tT

xT

=

2

2

( ) )(0, 0 xTtxT ==

( )=

== TxThdxdTk

x

)0(0

16 Cap 01

Procedimento prvio a anlise analtica e numrica; aplicao de mudanas de varivel de forma a transformar todas as variveis em grandezas adimensionais

Reduo no numero de parmetros do problema;

A soluo obtida em termos de grandezas adimensionais mais elegante, mais clara, e de fcil aplicao na anlise de resultados (terico e experimental) generalizao de resultados, criao de grficos/diagramas estilo cartas;

Igualdade na ordem de magnitude da variveis: tipicamente, variveis adimensionalizadas so de ordem 1 (p.ex., variando entre 0 e 1); magnitude de diferentes termos na equao avaliada por parmetros adimensionais que aparecem como coeficientes (inclusive sugerindo quais so os termos dominantes ou negligenciveis). Esta igualdade tambm leva a vantagens do ponto de vista numrico;

Adimensionalizao de problemas (ou escalonamento, scaling)

Geralmente, as equaes diferenciais assumem uma forma mais simplificada, facilitando sua resoluo analtica (quando possvel).


Motivos e algumas vantagens:

17 Cap 01

Procedimento padro:

Seleo de valores caractersticos: em alguns casos, valor mximo atingido pela varivel, ou definido pela geometria do problema. Diferentes possibilidades; usar bom senso, tentativa e erro, e experincia com problemas similares. Escala pode ser esttica ou dinmica.

Parmetros adimensionais surgem naturalmente no procedimento; tipicamente representam relaes entre a importncia relativa de distintos processos ocorrendo simultaneamente (Ex: Numero de Reynolds, Peclet, Biot, Dahmkhler,...)

Aplicado tanto s equaes quanto s CCs e CIs Exemplos: transferncia de calor transiente, reao-difuso

Variveis so escalonadas ao dividi-las por um fator de escala ou valor caracterstico


ccLV=Re

m

cc

DLVPe =

m

c

DkLDa

2

=k

hLBi c=

18 Cap 01

Adimensionalizao de problemas (ou escalonamento, scaling)

Nmero do slide 1Nmero do slide 2Nmero do slide 3Nmero do slide 4Nmero do slide 5Nmero do slide 6Nmero do slide 7Nmero do slide 8Nmero do slide 9Nmero do slide 10Nmero do slide 11Nmero do slide 12Nmero do slide 13Nmero do slide 14Nmero do slide 15Nmero do slide 16Nmero do slide 17Nmero do slide 18

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